椭圆离心率求法总结

椭圆离心率的解法

一、 运用几何图形中线段的几何意义。

基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜

｜BO ｜④

e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜

｜AO ｜

评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 ∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜

BO ｜= a2

c

∴有③。

题目1：椭圆x2 a2 +y2

b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭

圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？

思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B ，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。 解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c

c+3c=2a ∴e= c

a

= 3-1

变形1：椭圆x2 a2 +y2

b2

=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P 在椭圆上，使△OPF1 为正

三角形，求椭圆离心率？

解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP ｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1

变形2: 椭圆x2 a2 +y2

b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一

点，且PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？

解：∵｜PF1｜= b2

a ｜F2 F1｜=2c ｜OB ｜=

b ｜OA ｜=a

PF2 ∥AB ∴｜PF1｜ ｜F2 F1｜= b

a 又 ∵b= a2-c2

∴a2=5c2 e=

55

点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。

二、运用正余弦定理解决图形中的三角形

题目2：椭圆x2 a2 +y2

b2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠

ABF=90°，求e?

解：｜AO ｜=a ｜OF ｜=c ｜BF ｜=a ｜AB ｜=a2+b2

a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 e2+e-1=0 e=-1+ 5 2 e=-1-5

2

(舍去)

变形：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，e=-1+ 5

2, A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个

顶点，求∠ABF ？

点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90° 引申：此类e=

5-1

2

的椭圆为优美椭圆。 性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B1 ,则ABFB1 四点共圆。3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。

总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e 的方程式。

题目3：椭圆x2 a2 +y2

b2 =1(a>b >0)，过左焦点F1 且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB 两

点，若｜F1A ｜=2｜BF1｜,求e?

解：设｜BF1｜=m 则｜AF2｜=2a-am ｜BF2｜=2a-m

在△AF1F2 及△BF1F2 中，由余弦定理得：⎩⎨⎧a2 –c2=m(2a-c) 2(a2-c2)=m(2a+c) 两式相除：2a-c 2a+c

=

12 ⇒e=2

3

题目4：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c ，0）、F2 (c,0)，P 是以｜F1F2｜

为直径的圆与椭圆的一个交点，且 ∠PF1F2 =5∠PF2F1 ,求e?

分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。

解：由正弦定理：｜F1F2｜sin F1PF2 = ｜F1P ｜sin F1F2P = ｜PF2｜

sin PF1F2

根据和比性质：

｜F1F2｜sin F1PF2 = ｜F1P ｜+｜PF2｜

sinF1F2P+sin PF1F2

变形得： ｜F1F2｜ ｜PF2｜+｜F1P ｜ =sin F1PF2

sin F1F2P +sin PF1F2 =

=2c 2a

=e ∠PF1F2 =75°∠PF2F1 =15° e=

sin90° sin75°+sin15° =6

3

点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知 e=

sin F1PF2

sin F1F2P +sin PF1F2

变形1：椭圆x2 a2 +y2

b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c ，0）、F2 (c,0)，P 是椭圆上一点，

且∠F1PF2 =60°，求e 的取值围？ 分析：上题公式直接应用。

解：设∠F1F2P=α，则∠F2F1P=120°-α e=

sin F1PF2 sin F1F2P +sin PF1F2 = sin60°

sin α+sin(120°-α) =

1 2sin(α+30°)≥1

2 ∴1

2

≤e<1

变形2：已知椭圆x24+ y2 4t2 =1 (t>0) F1F2 为椭圆两焦点，M 为椭圆上任意一点（M 不与

长轴两端点重合）设∠PF1F2 =α,∠PF2F1 =β若13

2 ,求e 的取值围？

分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切。

解;根据上题结论e=sin F1PF2 sin F1F2P +sin PF1F2 =sin(α+β)

sin α+sin β =

2sin α+β 2 cos

α+β

2 2sin α+β 2 cos α-β

2

= cos α 2cos β 2 -sin α 2 sin β

2

cos α 2cos β 2 +sin α 2 sin β 2

=1- tan α 2 tan β2

1- tan α 2 tan β

2

=e

∵13<1-e 1+e <12 ∴13

2

三、 以直线与椭圆的位置关系为背景，用设而不求的方法找e 所符合的关系式. 题目5：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B

两点，→OA +→OB 与→

a =(3,-1)共线，求