《风险理论与非寿险精算》期末复习

一般地，对估计值的精确度要求越高，对样 本容量的要求就越大。
第五章 短期个体风险模型
5.1 引 言 5.2 个别保单的理赔分布 5.3 独立和分布的卷积 5.4 求理赔分布的矩母函数法 5.5 中心极限定理与正态分布逼近 5.6 应用举例
5.1 引 言
假定第i 张保单可能的理赔为Xi，则Xi为非负随机变 量(i=1,2,…,n)。进而保险人在这个时间段内的理赔或 赔付总量为：
4.3 服从各种分布的随机数
随机数生成方法：
1) 反函数法
2) 取舍法
3) Box-Muller法
4) 极方法 标准正态分布：
标准正态分布随机数生成方法
1) 检表法
2) 中心极限定理法
标准正态分布→ 正态分布N(μ,σ2) →对数正态分布
u
→ v =μ+σu → exp(v)
泊松分布的随机数
泊松分布随机数生成方法：
3.1 贝叶斯方法的基本过程
步骤3：确定参数θ的后验分布 由贝叶斯公式求得关于参数θ的后验分布：
f ( x) f (x ) f ( )
f (x ) f ( )d
步骤4：选择损失函数 步骤5：估计参数
通过求损失函数期望值的最小值，作为参数θ 的贝叶斯估计值。
3.3 先验概率与后验概率
风险理论与非寿险精算
期末复习
主要内容
第一章 风险与精算
第七章 长期聚合风险模型
第二章 损失分布
第八章 效用理论与保险决
第三章 损失分布的贝叶斯 策
方法
第九章 费率厘定
第四章 随机模拟
第十章 经验费率
第五章 短期个体风险模型 第十一章 准备金
第六章 短期聚合风险模型 第十二章 再保险
7.1 盈余过程与破产概率 7.2 理赔过程 7.3 破产概率 7.4 破产概率与调节系数
7.1 盈余过程与破产概率
盈余过程模型为：
U (t) u ct S(t), t 0,u 0,c 0
其中S(t)称为理赔过程，表示从0到t时刻发生 的所有理赔之和。
S
(t)
C1
C2
L
CN (t) ,
函数为Pi(x), i=,1,2,…,m，则S= S1+S2+…+Sm服从参 m
数为 i 的复合泊松分布， S的理赔额的分布 i 1
函数为：
P(x)
m i 1
i
Pi
(
x)
6.4 复合泊松分布及其性质
2、可分解性
定理6.4.2 假设S服从复合泊松分布，参数λ>0，个别理 赔额为离散型概率分布，记πi=P(C=xi)，其中x1,x2,…,xm 表示个别理赔额的取值；记Ni为S中取值为xi的次数， i=1,2,…,m，则有 N N1 N2 L Nm , N 0 ，且 S x1N1 x2 N2 L xm Nm , N 0 则以下结论成立： a) N1,N2,…,Nm相互独立； b) Ni服从参数λi =λπi的泊松分布， i=1,2,…,m 。
n
S X1 X 2 L X n X i i 1
称之为短期个体风险模型。
短期个体风险模型的四个假设条件
假设1 每张保单是否发生理赔以及理赔额大小是相互独
立的，即Xi是相互独立的随机变量。
假设2 每张保单至多发生一次理赔。若用随机变量I表示
每张保单可能发生理赔的次数，则 表示发生理赔的概率。
为； ……
1.3 保险精算问题
保险精算的四个问题： （1）厘订费率 （2）准备金计提及其分配 （3）再保险形式的选择及自留额的确定问题 （4）资产负债配比与偿付能力问题
第二章 损失分布
2.1 引言 2.2 获得损失分布的一般过程 2.3 损失分布的数学工具 2.4 拟合损失分布
2.1 引言
第四章 随机模拟
4.1 引 言 4.2 均匀分布的随机数与伪随机数 4.3 服从各种分布的随机数 4.4 模拟应用举例 4.5 模拟样本的容量
4.2 均匀分布的随机数与伪随机数
产生均匀分布随机数的方法： 1、检表法 2、物理方法（可获得真正的随机数） 3、数学方法（伪随机数）
自然取中法（平方取中法） 倍积取中法 乘同余法（Skellam一阶线性同余法）
e n
fS (x)
n0
n!
p*n (x)
E(S) p1
Var(S ) p2
S的矩母函数：
M S (t) M N [ln M C (t)] e[MC (t)1]
6.4 复合泊松分布及其性质
1、求和的封闭性
定理6.4.1 若S1,S2,…,Sm是相互独立的随机变量，且
Si是服从参数为λi的复合泊松分布，理赔额的分布
1、利用个体理赔的分布计算总理赔S的均值
n
n
E(S) E( X k ) 和方差Var(S) Var(X k ) 。
k 1
k 1
2、对S的分布进行标准化处理：
P{S s} P{S E(S) s E(S) } Var(S) Var(S)
3、利用中心极限定理近似计算：
P{S s} ( s E(S) ) Var (S )
5.5 中心极限定理与正态分布逼近
令 s (1 )E(S) ，称θE(S)为保单组合的安全
附加保费，称θ为相对附加安全系数（或安全附 加保费率）。
第六章 短期聚合风险模型
6.1 引 言 6.2 理赔次数和理赔额的分布 6.3 理赔总量模型 6.4 复合泊松分布及其性质 6.5 聚合理赔量的近似模型
Var( X ) Var(E(B | I )) E(Var(B | I )) E2 (B)Var(I ) E(I )Var(B) q(1 q)E2 (B) qVar(B)
5.3 独立和分布的卷积
两项卷积 离散型随机变量的两项卷积
5.4 求理赔分布的矩母函数法
对于独立的随机变量和 S X1 X 2 L X n，由于 X1,X2,…,Xn相互独立，因此有：
t
第八章 效用理论与保险决策问题
8.1 引言 8.2 效用与期望效用原理 8.3 效用函数与风险态度 8.4 效用原理与保险定价问题 8.5 期望效用的计算 8.6 效用理论的应用
8.2 效用与期望效用原理
最大期望效用原理：在具有风险和不确定的条 件下，个人进行决策的行为动机和准则是获得 最大的期望效用值，而不是为了获得最大期望 金额值。
6.4 复合泊松分布及其性质
3、分布计算的递推性
推论6.4.1 假设S服从复合泊松分布，若理赔额C仅取值 为正整数，则有如下迭代公式：
f (0) e
f
(x)
x i 1
i x
i
f
(x i)
x i p(i) f (x i), i1 x
xFra Baidu bibliotek 1, 2,L
第七章 长期聚合风险模型 （破产理论）
M S (t) M X1 (t)M X2 (t)L M Xn (t), t 0 (5.4.1)
若X1,X2,…,Xn同分布，设其共同的矩母函数为MX(t) ，
则有：
M S (t) [M X (t)]n , t 0
(5.4.2)
5.5 中心极限定理与正态分布逼近
利用中心极限定理求保单数很多时保单组合的总理 赔分布，基本步骤为：
第一章 风险与精算
1.1 风险的含义 1.2 保险经营中的风险和风险因素 1.3 保险精算问题 1.4 本书的基本内容
1.2 保险经营中的风险和风险因素
保险公司的收支
收入
支出
保费收入 投资收入 分保和再保险佣金 新投入资本 其他收入
赔付 营运费用 再保险费 红利、税务 其他杂费
保险公司面临的不确定因素 （非寿险公司经营中的风险因素）
保费计算与实际相差较大； 准备金的提取不充分； 赔付过早发生； 营运成本扩大； 佣金的提高； 投资失利； 巨灾事故频繁发生； 风险聚合估计不周；
意外责任事故的赔付； 市场条件发生不利的变化； 保单责任文字界定不清晰； 宏观经济环境的不利变化； 法律法规的改变； 公司管理人员的贪污渎职行
风险和不确定情形下的一般决策准则：人们将 追求效用的期望值尽可能地达到最大。
8.3 效用函数与风险态度
决策者的三类风险态度： 1、u(w)为线性函数，即u’’(w)=0，
称决策者为风险中立型。 2、u(w)为凸函数（上凸），即
N(t) 0
0,
N(t) 0
7.1 盈余过程与破产概率
性质7.1.1 对于u1≤u2及0<t1≤t2<∞，有以下结论成 立：
(i) (u2,t) (u1,t), t 0; (ii) (u2) (u1) (iii) (u,t1) (u,t2) (u), u 0; (iv) lim (u,t) (u)
6.1 引 言
用N表示某类保单在单位时间内的理赔次数，用Ci 表示该类保单第i次理赔金额，则理赔总量S为：
S
C1
C2
L
CN
N
Ci ,
i 1
0,
N 0 N 0
称为短期聚合风险模型，其中：
N取值为非负整数，称为理赔数变量。 Ci是取值于正数（连续或离散）称为理赔额变量。
6.3 理赔总量模型
命题6.3 设若短期聚合风险模型中的N和C的数 学期望和方差都存在，则有
E(S) E(N)E(C)
Var(S) E2 (C)Var(N ) E(N )Var(C)
6.4 复合泊松分布及其性质
复合泊松分布S的分布函数和密度函数：
FS (x)
n0
e n
n!
P*n (x)
S的均值和方差：
从先验概率到后验概率的过程是直接应用贝叶斯公
式，即
f (x ) f ( ) f ( x)
f (x ) f ( )d
其中 f (x ) f ( )d 是与θ无关的常数。
可以把贝叶斯公式简化为 f ( x) ∝ f (x ) f ()
∝表示“成比例关系”。
3.4 损失函数与贝叶斯估计量
常用的三种损失函数形式及其贝叶斯估计
3.1 贝叶斯方法的基本过程
估计参数的贝叶斯方法步骤：
步骤1：选择随机变量θ的先验分布
步骤2：确定似然函数
假设所获得的观察值为x1,x2,…,xn，构造似然函 数
n
L(x1, x2,L , xn; ) f (xi ),i 1, 2,L , n i 1
记为 L(x1, x2,L , xn; ) f (x )
I
~
0 1
q
1 ，其中q
q
假设3 保单组合中的风险均为同质风险，即每张保单的 理赔额变量Xi具有相同的概率分布。
假设4 保单总数n是事先确定的正整数。因此又称个体 风险模型为封闭模型。
5.2 个别保单的理赔分布
一般地，若随机变量X可表示为两个随机变量I 和B的乘积 X =I B ，则有
E( X ) E(E(B | I )) E(I )E(B) qE(B)
2.3 损失分布的数学工具
矩母函数定义
M X (t) E(etX )
etxdF (x)
矩母函数性质
(2.3.2)
矩母函数性质
矩母函数定义
M X (t) E(etX )
etxdF (x)
矩母函数性质
(2.3.2)
2.4 拟合损失分布
整理记录数据 频率直方图→频率折线图→密度函数 累积频率曲线图→分布函数
1) 一般的离散型随机变量生成方法
2) 分数乘积法
(适用于λ较小时)
步骤：
1)首先从0点开始，若e-λ>u1，则令x=0;
2)否则，若e-λ>u1·u2，则令x=1;
k 1
3)依此方法继续，直至存在某个k 首次满足 e ui ，则
i0
令x=k。
3) 中心极限定理法
(适用于λ较大时)
4.5 模拟样本的容量
分布参数的估计 矩估计法、极大似然估计法、分位点法
常用分布 二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、 正态分布、伽玛分布、贝塔分布 期望、方差
第三章 损失分布的贝叶斯方法
3.1 贝叶斯方法的基本过程 3.2 先验概率的估计 3.3 先验概率与后验概率 3.4 损失函数与贝叶斯估计量 3.5 贝叶斯方法的理论基础－主观概率
损失与赔付 损失：承保标的的可能发生的实际损失大小。 赔付：保险人按承保合同规定的保险责任所 支付的实际费用。 赔付≤实际损失
2.2 获得损失分布的一般过程
获得随机变量概率分布的方法： 数理统计方法 又称为频率学派方法，主要依靠样本信息来估计未 知参数，从而获得概率分布。 贝叶斯方法 又称为主观贝叶斯方法，通过采用“先验概率”、 “损失函数”等主观信息，在不具备样本信息的情 况下估计未知参数，获得损失分布。 随机模拟方法 利用现代计算机技术，用机器的高速运算结果来模 拟实际过程，以获得对实际过程的了解。