离散时间系统题目及答案

1 判断下列序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。 (1) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=53

sin )(x ππn n 解 z k 63

220

∈===k k k w T ππ 当k=1时，x(n)的最小正周期为6. (2) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=541)

(πn j e n x 解 z 84

1220

∉===k k k w T πππ x(n)为非周期序列. 2.简述离散时间系统线性，时不变性，因果性，稳定性。

答：线性：满足齐次性和可加性

设y 1(n )=T [x 1(n )]， y 2(n )=T [x 2(n )]

对任意常数a,b ，若

T [ax 1(n )+bx 2(n )]=aT [x 1(n )]+bT [x 2(n )]

=a y 1(n )+b y 2(n )

则称T[ ]为线性离散时间系统。

非时变：

设y (n ) = T [x (n )]

对任意整数k ,有

y (n-k )=T [x (n-k )]

稳定性

稳定系统是有界输入产生有界输出的系统，充要条件是

因果性

若系统 n 时刻的输出，只取决于n 时刻以及n 时刻以前的输入序列，而与n 时刻以后的输入无关，则称该系统为因果系统

线性时不变离散系统是因果系统的充要条件：

3傅里叶变换、拉普拉斯变换以及Z 变换的区别与联系。

答：信号与系统的分析方法除时域分析方法以外，还有频域的分析方法。在连续时间信号与系统中，其变换域方法就是拉普拉斯变换与傅里叶变换。在离散时间信号与系统中变换域分析方法是Z 变换法和离散时间傅里叶变换法。Z 变换在离散时间系统中的作用就如同拉普拉∑∑∑=====N k N k N k k k k k k k n y a n x T a n x a T 111

)()]([)]([()00

h n n =

∑

斯变换在连续时间系统中的作用一样，它把描述离散系统的差分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。

傅里叶变换的实质是将一个信号分离为无穷多正弦/复指数信号的加权，也就是说，傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式。

傅里叶变换虽然好用，而且物理意义明确，但有一个最大的问题是其存在的条件比较苛刻，其要求时域内绝对可积的信号才可能存在傅里叶变换。拉普拉斯变换可以说是推广了这以概念。在自然界，指数信号e^x是衰减最快的信号之一，对信号乘上指数信号之后，很容易满足绝对可积的条件。因此将原始信号乘上指数信号之后一般都能满足傅里叶变换的条件，这种变换就是拉普拉斯变换。这种变换能将微分方程转化为代数方程，从上面的分析可以看出，傅里叶变换可以看做是拉普拉斯的一种特殊形式，即所乘的指数信号为e0。也即是说拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广，是一种更普遍的表达形式。

Z变换可以说是针对离散信号和系统的拉普拉斯变换.