第2章-线性系统的数学模型

。
则y可0 近f似(x为10：, x20 )
y K1x1 K2x2
式中：x x1 ，x10 x2。 x2 x20
为K与1 工xy作1 |xx点12xx1有200 , K关2 的 常xy2数|xx12。xx1200
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线性系统微分方程的编写步骤
线性系统微分方程的编写步骤： ⑴确定系统和各元部件的输入量和输出量。 ⑵对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理 的方程。 ⑶对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小 的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。 ⑷从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部 件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关 系的微分方程。
Fk
F kx
m
m
f
x
fx
mx
图1
图2
[解]：图1和图2分别为系统 原理结构图和质量块受力分 析图。图中，m为质量，f 为粘性阻尼系数，k为弹性 系数。
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相似系统
根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下： mx fx kx F
这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。 在国际单位制中，m,f和k的单位分别为：kg, N.s / m, N / m [讨论]：相似系统
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复习拉氏变换
复习拉氏变换 ①定义：如果有一个以时间t为自变量的函数f(t)，它的定 义域t>0，那么下式即是拉氏变换式：
F (s) f (t)estdt,式中s为复数。记作 F(s) L[ f (t)] 0
一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是： ⑴t<0时，f(t)=0； ⑵t≥0时，f(t)分段连续；
L[ f (n) (t)] sn F (s) sn1 f (0) sn2 f(0) ... f (n1) (0)
⑶积分定理：（设初值为零）
L[
f
(t)dt]
F (s) s
⑷时滞定理：L[ f (t T )] e st f (t T )dt esT f (s) 0
⑸初值定理：lim f (t) lim sF (s)
⑶ f (t)est dt 。 0
F(s) —象函数，f(t) —原函数。
记f (t) L1[F (s)]为反拉氏变换。
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复习拉氏变换
②性质：
⑴线性性质：L[f1(t) f2 (t)] F1(s) F2 (s)
⑵微分定理：L[ f(t)] sF (s) f (0)
L[ f(t)] s2F (s) sf (0) f(0)
注意到:例1和例2的微分方程形式是完全 一样的。
可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系 统也可以有相同形式的数学模型。
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[定义]具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。 [作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟 相对复杂的系统，实现仿真研究。
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2.2 微分方程的线性化（选）
y
则将函数在该点展开为泰勒级
数，得：y
f
(x0 )
df (x) dx
| x x0
y0
(x x0 )
y0
y0
1 df 2(x) 2! dx2
| x x0
(x
x0 )2
...
0
B y f (x) A
x0 x0 x x
若 x很小，则 y
y0
dy dx
| x x0
(x x0 ) ，即y
ui
L
R
i
C
uo
ui 输入
uo 输出
[解]：据基尔霍夫电路定理：
L di dt
Ri 1 C
idt
ui
①
uo
1 C
idt
②
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控制系统的微分方程
由②：i C d，uo代入①得： dt
LC
d 2uo dt 2
RC
duo dt
uo
ui
这是一个线性定常二阶微分方程。
[例2] 求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输 入量为外力F，输出量为位移x。
dy dx
| x x0
x
Kx
式中，K为与工作点有关的常数，显然，上式是线性方程，
是非线性方程的线性表示。为了保证近似的精度，只能在工 作点附近展开。
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ห้องสมุดไป่ตู้ 非线性环节微分方程的线性化
对于具有两个自变量的非线性方程，也可以在静态工作点附
近展开。设双变量非线性方程为：y f (x1,，x2工) 作点为
等效的线性环节。
设具有连续变化的非线性函数为:y=f(x)， y
若取某一平衡状态为工作点， 图，A(附x0,近y0有) 点为
如y0 y0
y0
B(x x, y y)，当 x很小时，AB段
B y f (x) A
可近似看做线性的。
0 x0 x0 x x
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非线性环节微分方程的线性化
设f(x)在 A(x0, y0 )点连续可微，
t 0
s
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复习拉氏变换
⑹终值定理：lim f (t) lim sF (s)
t
s0
⑺卷积定理：L[
t 0
f1 (t
)
f2 ( )d ]
F1(s)F2 (s)
③常用函数的拉氏变换：
单位阶跃函数：f (t) 1(t), F(s) 1
单位脉冲函数：F
(s)
L[
(t)]
s
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单单正位位弦斜抛函坡物数函线：f数函(t)：数 ：fs(intf)(tt),t,FF12((sts)2),Fs(s12s2)s123
第 2 章 线性系统的数学模型
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本章的主要内容
2.1 控制系统的微分方程-建立和求解 2.2 微分方程的线性化 2.3 传递函数 2.4 方框图（结构图） 2.5 信号流图-梅逊公式 补充：各种数学模型的相互转换
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概述
概述
[数学模型]：描述控制系统输入、输出变量及内部各变量之间 动态关系的数学表达式。 [建立方法]：解析法和实验法 常用的数学模型有微分方程，传递函数，结构图，信号流图， 频率特性以及状态空间描述等。
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非线性环节微分方程的线性化
若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应
的系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在
经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程
应用中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大
的情况，一般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可
在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到
建立控制系统的数学模型是对系统进行分析的第一步也是最 重要的一步。
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2.1 线性系统的微分方程
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控制系统的微分方程
微分方程的编写应根据组成系统各元件工作过程中所遵循 的物理定理来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学 中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。
[例1]：写出RLC串联电路的微分方程。