人教版数学九年级上册：专题训练(二) 一元二次方程的解法 同步练习(附答案)
最新人教版九年级上册 解一元二次方程 同步练习(含答案)
解一元二次方程同步练习一．选择题1．方程x2-6x+5=0的两个根之和为（）A．-6B．6C．-5D．52．下列方程中，没有实数根的是（）A．2x2+3x=0B．（x-1）2=2C．x2+3=0D．x2-4x+3=03．已知方程x2-6x+q=0配方后是（x-p）2=7，那么方程x2+6x+q=0配方后是（）A．（x-p）2=5B．（x+p）2=5C．（x-p）2=9D．（x+p）2=7 4．关于x的一元二次方程ax2-x+0.25=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a＞0B．a＞-1C．a＜1D．a＜1且a≠05．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，下列说法：①若a+b+c=0，则b2-4ac＞0；②若方程两根为-1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；④若b=2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④6．使方程2x2-5mx+2m2=5的一根为整数的整数m的值共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．已知实数x满足（x2-2x+1）2+2（x2-2x+1）-3=0，那么x2-2x+1的值为（）A．-1或3B．-3或1C．3D．18．定义运算：a*b=2ab，若a、b是方程x2+x-m=0（m＞0）的两个根，则（a+1）*b+2a的值为（）A．mB．2-2mC．2m-2D．-2m-29．三角形两边的长是6和8，第三边满足方程x2-24x+140=0，则三角形周长为（）A．24B．28C．24或28D．以上都不对10．从-2，-1，0，1，2，4，这六个数中，随机抽一个数、记为a，若数a使关于x的一元二次方程x2-2（a-4）x+a2=0有实数解，且关于y的分式方有整数解，则符合条件的a的值的和是（）A．-2B．0C．1D．211．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的两倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，以下说法不正确的是（）A．方程x2-3x+2=0是2倍根方程B．若关于x的方程（x-2）（mx+n）=0是2倍根方程，则m+n=0 C．若m+n=0且m≠0，则关于x的方程（x-2）（mx+n）=0是2倍根方程D．若2m+n=0且m≠0，则关于x的方程x2+（m-n）x-mn=0 是2倍根方程12．若整数a使得关于x的一元二次方程（a+2）x2+2ax+a-1=0有实数根，且关于x的不等式组有解且最多有6个整数解，则符合条件的整数a的个数为（）A．3B．4C．5D．6二．填空题13．方程（x-3）（x+2）=0的根是．14．已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）=8．则x2+y2的值为．15．已知a，b是方程x2+3x-1=0的两根，则a2b+ab2的值是．16．已知关于x的一元二次方程（0.25m-1）x2-x+1=0有实数根，则m的取值范围是．17．对于实数a，b，定义运算“*“，a*b=例如4*2，因为4＞2，所以4*2=42-4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2-8x+16=0的两个根，则x1*x2=．三．解答题18．解下列一元二次方程：（1）x2+4x-8=0；（2）（x-3）2=5（x-3）；（3）2x2-4x=1（配方法）．19．设实数a，b满足a2（b2+1）+b（b+2a）=40，a（b+1）+b=8，求的值．20．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若m为正整数，求m的值；（2）在（1）的条件下，求代数式（x1x2）（x12+x22）的值．21．已知关于x的一元二次方程kx2+（1-2k）x+k-2=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）当k取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式α3+β2+β+2016的值．22．基本事实：“若ab=0，则a=0或b=0”．方程x2-x-6=0可通过因式分解化为（x-3）（x+2）=0，由基本事实得x-3=0或x+2=0，即方程的解为x=3或x=-2．（1）试利用上述基本事实，解方程：3x2-x=0；（2）若实数m、n满足（m2+n2）（m2+n2-1）-6=0，求m2+n2的值．参考答案1-5：BCDDC 6-10:DDDAD 11-12:BC13、x=3或x=-214、115、316、m≤5且m≠417、018、19、820、（1）m=1；（2）21、：（1）k＞-0.25且k≠0；（2）2020．22、（2）3。
人教版九年级上册 21.2解一元二次方程 同步练习 (含答案)
21.2解一元二次方程一元二次方程的解法1.直接开方法。
适用形式：x 2=p 、(x +n )2=p 或(mx +n )2=p 。
2.配方法。
套用公式a 2+2ab +b 2=(a +b )2；a 2-2ab +b 2=(a -b )2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；②移项——把常数项移项到等号的右边；③配方——两边同时加上一次项系数的一半的平方，把左边配成x 2+2bx +b 2的形式，并写成完全平方的形式；④开方，即降次；⑤解一次方程。
3.公式法。
当b 2-4ac ≥0时，方程ax 2+bx +c =0的实数根可写为：a ac b b x 242-±-=的形式，这个式子叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0的求根公式。
这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
①b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根。
a acb b x 2421-+-=，aac b b x 2422---= ②b 2-4ac =0时，方程有两个相等的实数根。
ab x x 221-== ③b 2-4ac ＜0时，方程无实数根。
4.因式分解法。
主要用提公因式法、平方差公式、十字相乘法。
1．一元二次方程2104x x -+=的根（ ） A ．1211x ,x 22==- B ．x 1＝2，x 2＝﹣2 C ．1212x x ==-D ．1212x x == 【答案】D 2．一元二次方程()20x x +=的解是（ ）A ．0x =B ．2x =C ．10x =D ．10x =，22x =- 【答案】D 3．关于x 的一元二次方程()212019x k -=-，下列说法错误的是（ ）A ．2017k =方程无实数解B ．2018k =方程有一个实数解C ．2019k =有两个相等的实数解D ．2020k =方程有两个不相等的实数解【答案】B4．一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的求根公式是（ ）A ．1,2xB ．1,22b x a±=C ．1,22b x a±= D ．1,22a x b -±= 【答案】A 5．用配方法解方程x 2－6x ＝5，下列变形正确的是（ ）A ．(x －6)2＝41B ．(x －3)2＝4C ．(x －3)2＝14D ．(x －3)2＝9【答案】C 6．下列一元二次方程中无实数解的方程是（ ）A ．210x x +-=B ．210x +=C ．221x x -=-D ．2450x x --= 【答案】B7．下列各数是一元二次方程 x 2+x ﹣12=0 的根的是（ ）A ．﹣1B ．1C ．2D ．3 【答案】D8．如果 、 是一元二次方程 的两根，则 的值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B9．三角形两边的长分别为5和6，第三边的长是方程2680x x -+=的解，则这个三角形的周长是（ ）A ．15B ．13C ．15或13D ．15和13 【答案】C10．一元二次方程x 2＝c 有解的条件是 ( )A ．c ＜OB ．c ＞OC ．c≤0D ．c≥0【答案】D11．如果关于x 的方程()21210m x x ++-=有实数根，那么m 的取值范围是（ ） A ．2m ≤- B ．21m m ≥-≠-且 C ．21m m ≤-≠-且 D ．2m ≥-【答案】B12．已知关于x 的一元二次方程x 2+（m ﹣1）x+214m =0有两个实数根，则m 的取值范围是________． 【答案】12m ≤ 13．若多项式x 2－6x －b 可化为（x +a ）2－1，则b 的值是 ______．【答案】-8.14．一元二次方程26x =的解为______.【答案】1,2x =15．已知－3是一元二次方程x 2＝p 的一个根，则另一个根是__________【答案】316．若,a b 是方程2230x x --=的两个实数根，则22a b +=_______。
2023-2024学年人教版数学九年级上册21.2解一元二次方程 同步练习 (含答案)
2023-2024学年人教版数学九年级上册21.2解一元二次方程同步练习（含答案）21.2解一元二次方程同步练习2023-2024学年人教版数学九年级上册姓名班级学号成绩一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．一元二次方程x2﹣81=0的解是（）A．x=﹣9 B．x=9C．x1=9，x2=﹣9 D．x=812．用配方法转化方程时，结果正确的是（）A．B．C．D．3．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个不等的实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣4 B．k＞﹣3C．k＞﹣3且k≠1 D．k≥﹣3且k≠14．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）A．B．C．D．5．设x1，x2是方程2x2﹣6x+3=0的两根，则x12+x22的值是（）A．15 B．12 C．6 D．36．已知x1，x2是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2的值是（）A．6 B．0 C．7 D．-17．三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程的两根，则该三角形的周长为（）A．4 B．13 C．4或9 D．13或188．如果关于的一元二次方程有下列说法：①若，则；②若方程两根为-1和2，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根，其中结论正确的是有（）个。
A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）9．请给出一元二次方程x2－4x＋＝0的一个常数项，使这个方程有两个不相等的实数根10．设分别为一元二次方程的两个实数根，则.11．已知a2﹣2a﹣1＝0，b2+2b﹣1＝0，且ab≠1，则的值为. 12．一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是．13．已知关于x的方程x2﹣（2k2﹣3）x+k+7＝0的两个不等实数根x1、x2满足：x1＝5﹣x2，则k的值为．三、解答题：（本题共5题，共45分）14．用公式法解方程：15．解方程（1）2（x﹣3）=3x（x﹣3）；（2）x2﹣3x+2=0．16．已知关于x的一元二次方程的两根、满足，求k的值．17．已知关于的一元二次方程方程有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围；（2）当取最大整数时，不解方程直接写出方程的两根之和与两根之积．18．已知：平行四边形的两边，的长是关于x的方程的两个实数根.（1）m为何值时，四边形是菱形？（2）若的长为3，求的周长.参考答案：1．C 2．A 3．D 4．B 5．C 6．D 7．B 8．D9．1（答案不唯一）10．-202511．312．1413．－214．解：∵a=1 b=1 c=-12 ∵∵= -4ac=1-4×1×（-12）=49＞0∵x= 解得：15．解：（1）移项得：2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，（x﹣3）（2﹣3x）=0，x﹣3=0，2﹣3x=0，x1=3，x2=；（2）x2﹣3x+2=0，（x﹣2）（x﹣1）=0，x﹣2=0，x﹣1=0，x1=2，x2=1．16．解：根据题意，得，．∵∵ ，解得．17．（1）解：根据题意得，解得（2）解：的最大整数为，则方程变形为，所以两根之和为，两根之积为18．（1）解：∵平行四边形是菱形，∵，∵方程有两个相等的实数根，∵，∵，当时，四边形是菱形；（2）解：∵，的长是方程的两个实数根，的长为3，∵，3是方程的一个根，∵，解得.∵，∵，即平行四边形的周长为8。
人教版数学九年级上册解一元二次方程因式分解法同步练习题含答案与解析
21.2 解一元二次方程 21.2.3 因式分解法一、单项选择题1. 一元二次方程x 2－x ＋＝0的根是( ) A ．， B ．x 1＝2，x 2＝－2 C ．x 1＝x 2＝ D ．x 1＝x 2＝2. 方程3x 2=0与方程3x 2=3x 的解（ ）A ．都是x=0B ．有一个相同的解x=0C ．都不相同D ．无法确定3．解方程(x ＋5)2－3(x ＋5)＝0，较为简便的方法是( )A ．直接开平方法B ．因式分解法C ．配方法D ．公式法4．方程x(x －4)＝32－8x 的解是( )A ．x ＝－8B ．x 1＝4，x 2＝－8C ．x 1＝－4，x 2＝8D ．x 1＝2，x 2＝－85. 一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程（x-3）（x-4）=0的根，则这个三角形的周长（ ）A ．13B ．11或13C ．11D ．11和136、要使4452-+-x x x 的值为0，x 的值为（ ）A ．4或1B ．4C ．1D ．-4或-114112x =21=2x -12-127、已知x2-5xy+6y2=0，那么x与y的关系是（）A．2x=y或3x=y B．2x=y或3y=xC．x=2y或x=3y D．x=2y或y=3x8、已知（a2+b2）2-2（a2+b2）+1=0，则a2+b2的值为（）A．0 B．-1 C．1 D．±1二、填空题9．方程(x－1)(x＋2)＝2(x＋2)的根是__________．10．如果代数式3x2－6的值为21，那么x的值为__________．11．已知x＝2是一元二次方程(m－2)x2＋4x－m2＝0的一个根，则m的值是______．12. 一元二次方程x(x－1)＝0的解是__________．13. 一元二次方程x2-3x=0的根是__________．14. 方程（x+1）（3x-2）=0的根是15. 请写出一个根为x=1，另一个根满足-1＜x＜1的一元二次方程：16. 已知一元二次方程（m-1）x2+7mx+m2+3m-4=0有一根为0，则m=y=17. 若2x2+9xy-5y2=0，则x三、解答题18. 用因式分解法解下列一元二次方程：(1)(x－1)(x＋3)＝－3；(2)(3x－1)2＝4(2x＋3)2.19. 如果方程x2＋mx－2m＝0的一个根为－1，求方程x2－6mx ＝0的根.20. 用因式分解法解方程x2－mx－7＝0时，将左边分解后有一个因式为x＋1，求m的值.21. 若m是关于x的方程x2+nx+m=0的根，切m≠0，则m+n的值是多少？22. 有一大一小两个正方形，小正方形的边长比大正方形边长的一半多4cm，大正方形的面积比小正方形面积的2倍少32cm2，求这两个正方形的边长．23. 阅读材料：为解方程（x 2-1）2-5（x 2-1）+4=0，我们可以将x 2-1看作一个整体，然后设x 2-1=y ①，那么原方程可化为y 2-5y+4=0，解得y 1=1，y 2=4，当y=1时，x 2-1=1，∴x 2=2，∴x=±2；当y=4时，x 2-1=4，∴x 2=5，∴x=±5，故原 方程的解为x 1=2，x 2= -2，x 3=5，x 4= -5解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想。
人教版初三上学期数学一元二次方程及解法练习题(附答案)
人教版初三上学期数学一元二次方程及解法练习题（附答案）人教版初三上学期数学一元二次方程及解法练习题（附答案）（1）；（2）；（3）；（4）。
4、一元二次方程根的判别式与其根的关系：综合练习： 1．观察下列方程: ①x2=1 ②3x2=1-x ③x(x-1)= x -1 ④ +2x-5=0 ⑤x2-y-1=0 ⑥x2-(x-3)2=9 其中是一元二次方程的是 . 2.把方程(x-2)(x+3)=5化为一元二次方程一般形式为 .其中二次项系数为 . 一次项系数为 . 常数项为 . 3.关于x的方程（m+2）xn-1-(2m-1)x-3=0,当时,它是一元二次方程,当时,它是一元一次方程. 1、用直接开平方法解方程：⑴x2=9 ⑵3x2=12 ⑶ 1/3 x2-3=0 ⑷ (3x+1)2=1 ⑸(2x-1)2 -9=0 ⑹x2+4x+4=1(7)．x2=16 (8) . 2x2 -6 =0 (9) (x+1)2=4(10) (3x+2)2=4 （11）3(x-1)2=15 （12）x2+6x+9=25能力提升： 1.关于x的方程（n-1）xn2+1-(2n+1)x-3=0,当n= 时,它是一元二次方程 2.解一元二次方程：(1) x2+2x+1=4 （2）x2+2x-3=0一元二次方程及解法（2）配方法步骤：举例说明题组训练： 1、把下列方程化为（x+ m）2=n（m，n是常数，n≥0）的形式（1）x2+2x=48；（2）x2－4x=12；（3）x2－6x+6=0；（4） 2、完成下列填空：x2+4x+4=(__+__)2 x2-8x+___=(__―__)2 4x2+__x+25=(___+__)2 16 x2+__x+1=(__+__)2 x2+10x+___=(__+__)2 x2-5x+___=(__―__)29x2-__x+25=(___+__)2 9 x2-¬__x+1=(__-__)2 3、用配方法解方程（1）x2-10x-11=0 （2）x2－6x+4= 0 （3）x2+4x－16= 0（4）x2－4x=12；（5）x2－6x=7 （6）x2+8x+2=0（7）x2－4x-5=0 （8） x2+5x+2=0 （9）3x2+2x－5=0（10）2y2+y－6=0 （11）3x2+8x-3=0 (12)-2x2=5x-3一元一次方程及解法（3）求根公式推导过程：（和应用求根公式的步骤）根的判别式与根的关系：跟踪训练：先用根的判别式判断根的情况再求解：（1）x -x-1=0；（2）5x +2=3x2；（3）y -6=5y(4)3t -2t-1=0 (5)4x(x-1)=x -1 （6）x2－6x+4= 0(7)3x +1=2 x （8）2y2+y－5= 0 （9）x2－4x=12；（10）3x2+6x=1 （11）2t2-7t－4=0； (12)x2-x-1=0(13)y2-6=5y (14)3t2-2t-1=0 (15)4x(x-1)=x2-1一元一次方程及解法（4）因式分解法解一元二次方程的原理： 1、填空（1）方程x2=x的解是。
人教版数学九年级上册第21章一元二次方程用公式法解一元二次方程同步训练含答案
人教版数学九年级上册第21章一元二次方程用公式法解一元二次方程同步训练含答案1. 一元二次方程x 2＋22x －6＝0的根是( )A ．x 1＝x 2＝ 2B ．x 1＝0，x 2＝2 2C ．x 1＝2，x 2＝－3 2D ．x 1＝2，x 2＝3 2 2. 一元二次方程4x 2－2x ＋14＝0的根的状况是( ) A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判别3. 方程2x 2＝5x －3中，a 、b 、c 各等于( )A ．a ＝2，b ＝5，c ＝－3B ．a ＝2，b ＝5，c ＝3C ．a ＝2，b ＝－5，c ＝3D ．a ＝2，b ＝－5，c ＝－34. 用配方法推导一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式x ＝－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac≥0)的进程中，以下性质：①等式的性质；②分式的基本性质；③开平方的性质；没有用到的有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个5．方程x 2－4x ＝0中，b 2－4ac 的值为( )A ．－16B ．16C ．4D ．－46. 关于x 的一元二次方程(m －2)x 2＋2x ＋1＝0有实数根，那么m 的取值范围是( )A ．m≤3B ．m ＜3C ．m ＜3且m≠2D ．m≤3且m≠27. 方程x(x －1)＝2的解是( )A ．x ＝－1B ．x ＝－2C ．x 1＝1，x 2＝－2D ．x 1＝－1，x 2＝2 8. 假定关于x 的一元二次方程(k ＋1)x 2＋2(k ＋1)x ＋k －2＝0有实数根，那么k 的取值范围在数轴上表示正确的选项是( )9. 关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0有两个相等的实数根，那么k的值为( )A．1 B．－1 C．2 D．－210. 将方程(x－3)(x＋2)＝5化为普通方式是，其中a＝，b＝，c＝.11. 一元二次方程3x2＝6x－1化为普通方式是，其中a＝，b＝，c＝.12．方程2x2－3＝4x，其中b2－4ac＝，方程的根为.13．假定关于x的一元二次方程(k－1)x2－4x－5＝0没有实数根，那么k的取值范围是.14. 应用求根公式解以下方程．(1)x2－2x－1＝0；(2)2x2＋5x－1＝0.15. 不解方程，判别以下一元二次方程根的状况．(1)9x2＋6x＋1＝0；(2)16x2＋8x＝－3.16. 用公式法解以下方程：(1)x2＋4x－1＝0；(2)(x＋5)2＋(x－2)2＋(x＋7)(x－7)＝11x＋30.17. 求证：不论m为任何实数，关于x的一元二次方程x2＋(4m＋1)x＋2m－1＝0总有两个不相等的实数根．18. 关于x的一元二次方程x2－3x－k＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．参考答案：1---9 CBCDB DDAA10. x 2－x －11＝0 1 －1 －1111. 3x 2－6x ＋1＝0 3 －6 1 12. 40 2±10213. k ＜1514. 解：(1)x ＝1± 2(2)x ＝－5±33415. 解：(1)∵a ＝9，b ＝6，c ＝1，∴Δ＝b 2－4ac ＝36－36＝0，∴此方程有两相等的实数根；(2)化为普通方式：16x 2＋8x ＋3＝0，∵a ＝16，b ＝8，c ＝3，∴Δ＝b 2－4ac ＝64－4×16×3＝－128＜0，∴此方程没有实数根． 16. (1) 解：x 1＝－2＋5，x 2＝－2－5；(2) 解：x 1＝－103，x 2＝5. 17. 证明：∵Δ＝(4m ＋1)2－4(2m －1)＝16m 2＋5＞0，∴不论m 为任何实数，关于x 的一元二次方程总有两个不相等的实数根．18. 解：(1)方程有两个不相等的实数根，∴(－3)2－4(－k)＞0，即4k ＞－9，解得，k ＞－94. (2)假定k 是负整数，k 只能为－1或－2，假设k ＝－1，原方程为x 2－3x ＋1＝0，解得，x 1＝3＋52，x 2＝3－52.(假设k ＝－2，原方程为x 2－3x ＋2＝0，解得，x 1＝1，x 2＝2.)。
初中数学 人教版九年级上册 21.2 解一元二次方程 同步练习(含答案)
解一元二次方程同步练习一．选择题（共12小题）1．方程x2+5x=0的解为（）A．x=5B．x=-5C．x1=0，x2=5D．x1=0，x2=-52．一元二次方程2x2+6x+3=0经过配方后可变形为（）A．（x+3）2=6B．（x-3）2=12C．D．3．在下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（）A．x2+3=0B．x2+6x-9=0C．D．4．已知三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2-16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（）A．24或2B．24C．8D．24或85．将一元二次方程2x2-6x+1=0配方，得（x+h）2=k，则h、k的值分别为（）A．3、8B．-3、8C．D．6．若α，β是方程x2-2x-3=0的两个实数根，则α2+β2+αβ的值为（）A．10B．9C．7D．57．已知实数x满足（x2-2x+1）2+2（x2-2x+1）-3=0，那么x2-2x+1的值为（）A．-1或3B．-3或1C．3D．18．用因式分解法解方程x2+px-6=0，若将左边分解后有一个因式是x+3，则p的值是（）A．-1B．1C．-5D．59．若x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，则2（x1+x2）的值是（）A．1B．10C．-10D．1210．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2-4x+k=0的两个根，则k的值为（）A．3B．4C．3或4D．711．x的方程x2+2（m-1）x+m2-m=0有两个实数根α，β，且α2+β2=12，那么m的值为（）A．-1B．-4C．-4或1D．-1或412．定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b=（a+b）（a-b）-1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3=（4+3）（4-3）-1=7-1=6．若x*k=x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根二．填空题（共5小题）13．一个一元二次方程的二次项系数为1，其中一个根是-3，另一个根是2，则这个方程是．14．若关于x的一元二次方程ax2-x+1=0有实数根，则a的最大整数值是．15．设m、n是方程x2+x-1001=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为．16．若方程x2-3x-4=0的两个根分别为x1和x2，则= ．17．已知a，b是方程x2+3x-1=0的两根，则a2b+ab2的值是三．解答题（共5小题）18．解下列方程：（1）3x2-2x-1=0；（2）（2x-1）2+2（2x-1）-3=0．19．已知关于x的一元二次方程x2-（k+3）x+2k+2=0．（1）利用判别式判断该方程的根的情况；（2）若方程有一根小于1，求k的取值范围．20．已知关于x的方程x2-（m+2）x+2m=0．（1）若该方程的一个根为x=1，求m的值；（2）求证：不论m取何实数，该方程总有两个实数根．21．已知关于x的方程mx2-（2m-1）x+m-2=0；（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若m为满足（1）的最小正整数，求此时方程的两个根x1，x2．22．已知关于x的一元二次方程x2+6x+（2m+1）=0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2-x1-x2≥8，求m的取值范围参考答案1-5：DCCDD 6-10:CDBBC 11-12:AC13、14、-115、100016、-0.7517、318、（1）（2）19、：（1）在已知一元二次方程中a=1，b=-（k+3），c=2k+2，∴∴=（k+3）2-4×1×（2k+2）=k2-2k+1=（k-1）2≥0，所以，原方程始终有实根；（2）当k＜1时，∴=（k-1）2＞0，方程有不等实根x＝即x1=2，x2=k+1，由题意k+1＜1，即k＜0，所以k＜0时，方程有一根小于1时．20、：（1）将x=1代入原方程可得1-（m+2）+2m=0，解得：m=1．（2）由题意可知：∴=（m+2）2-4×2m=（m-2）2≥0，不论m取何实数，该方程总有两个实数根21、解：（1）根据题意得m≠0且∴=（2m-1）2-4m（m-2）＞0，解得m＞-0.25且m≠0；（2）根据题意得m=1，此时方程化为x2-x-1=0，∴=（-1）2-4×（-1）=5，22、：（1）∴方程有实数根，∴∴=36-4（2m+1）=36-8m-4=32-8m≥0，解得：m≤4．故m的取值范围是m≤4；（2）∴x1，x2是方程x2+6x+（2m+1）=0的两个实数根，∴x1+x2=-6，x1•x2=2m+1，∴2x1x2-x1-x2≥8，∴2（2m+1）+6≥8，解得m≥0，由（1）可得m≤4，∴m的取值范围是0≤m≤4。
人教版九年级数学上册21.2：解一元二次方程 (二)同步练习(包含答案)
第二十一章 21.2 解一元二次方程（二）同步练习解一元二次方程：公式法同步练习（答题时间：15分钟）1. 利用求根公式求x x 62152=+的根时，a 、b 、c 的值分别是 （ ） A.6215、、 B. 2165、、 C. 2165、、- D. 2165--、、 2. 方程012=-+x x 的一个根是 （ ）A. 1 –5B. 251- C. –1＋5 D. 251+- 3. 要使6429+-n n a 与n a 3是同类项，则n 等于 （ ）A. 2B. 3C. 0D. 2或3 4. 若04)1(5)2(22=-+-+-m x m x m 是关于x 的一元二次方程，且该方程有一个根是0，则m ＝_______。
5. 若)0(03422≠=+-xy y xy x ，则y x 的值是_________。
6. 用公式法解下列方程：（1）0432=--x x （2）322=+x x （3） 24210x x --=（4）2610y y --=7. 已知921-=x y ，x y -=32，当x 为何值时，1y 与2y 相等?解一元二次方程：公式法同步练习参考答案1. C 解析：先将原方程化为一般形式得，215602x x -+=，即1562a b c ==-=，，，故选C 。
2. D 解析：利用求根公式得：x ==，112-+=x212--=x ，故选D 。
3. D 解析：∵两代数式是同类项，∴246n n n -+=，即：2560n n -+=，利用求根公式可得：1232n n ==，，故选D 。
4. －2 解析：把0x =代入方程得：240m -=，∴2m =±，∵20m -≠，∴2m ≠， ∴2m =-。
5. 1或3 解析：∵0xy ≠，∴00x y ≠≠，，两边同时除以2y 得：22430x x y y-+=， 令x a y=，则原方程可化为：2430a a -+=，利用求根公式得： 1231a a ==，。
人教版九年级数学上册：一元二次方程同步练习 (含答案)
第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程知识点1.只含有 个未知数，并且未知数的 方程叫一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是 ，其中二次项为 ，一次项 ，常数项 ，二次项系数 ，一次项系数 .3.使一元二次方程左右两边 叫一元二次方程的解。
一．选择题1．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．x-2=0B ．x 2-4x-1=0C ．x 2-2x-3D ．xy+1=02．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A ．5x+3=0B ．x 2-x （x+1）=0C ．4x 2=9D ．x 2-x 3+4=03．关于x 的方程013)2(22=--+-x x a a 是一元二次方程，则a 的值是（ ）A ．a=±2B ．a=-2C ．a=2D ．a 为任意实数4．把一元二次方程4)3()1(2+-=-x x x 化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（ ）A ．2，-3B ．-2，-3C ．2，-3xD ．-2，-3x5．若关于x 的一元二次方程x 2+5x+m 2-1=0的常数项为0，则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．1或-1D ．06．把方程2（x 2+1）=5x 化成一般形式ax 2+bx+c=0后，a+b+c 的值是（ ）A ．8B ．9C ．-2D ．-17．（2013•安顺）已知关于x 的方程x 2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-28．（2013•牡丹江）若关于x 的一元二次方程为ax 2+bx+5=0（a ≠0）的解是x=1，则2013-a-b 的值是（ ）A ．2018B ．2008C ．2014D ．2012二．填空题9.当m= 时，关于x 的方程5)3(72=---x x m m 是一元二次方程；10．若方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程，则k 的取值范围是 .11．方程5)1)(13(=+-x x 的一次项系数是 .12．（2012•柳州）一元二次方程3x 2+2x-5=0的一次项系数是 .13．关于x 的一元二次方程3x （x-2）=4的一般形式是 .14．（2005•武汉）方程3x 2=5x+2的二次项系数为 ，一次项系数为 .15．（2007•白银）已知x=-1是方程x 2+mx+1=0的一个根，则m= .16．（2010•河北）已知x=1是一元二次方程x 2+mx+n=0的一个根，则m 2+2mn+n 2的值为 ．17．（2013•宝山区一模）若关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+x+m 2-4=0的一个根为0，则m 值是 .18．已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有一个根为1，一个根为-1，则a+b+c= ，a-b+c= ．三．解答题19．若（m+1）x |m|+1+6-2=0是关于x 的一元二次方程，求m 的值．20．（2013•沁阳市一模）关于x 的方程（m 2-8m+19）x 2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程？请证明你的结论．2１．一元二次方程0)1()1(2=++++c x b x a 化为一般式后为01232=-+x x ，试求0222=-+c b a 的值的算术平方根．21.1 一元二次方程知识点1.一，最高次数是2的整式。
九年级数学上册《第二十一章 解一元二次方程》同步练习题及答案(人教版)
九年级数学上册《第二十一章解一元二次方程》同步练习题及答案(人教版)一、选择题（共8题）1.方程x2=0的根为( )A．x1=x2=0B．x=0C．x2=0D．无实数根2.下列方程中，有实数解的方程是( )A．√4x+1+1=0B．2x4−1=0C．x2+3x+6=0D．1x−1=xx−13.已知m，n是关于x的一元二次方程x2−3x+a=0的两个解，若(m−1)(n−1)=−6，则a的值为( )A．−10B．4C．−4D．104.已知x1，x2是关于x的方程x2+ax−2b=0的两实数根，且x1+x2=−2，x1⋅x2=1则b a的值是( )A．14B．−14C．4D．−15.关于x的一元二次方程x2−(m+n)x+mn=0的根的情况是( )A．有两个相等的实数根B．有两个不相等实数根C．有两个实数根D．没有实数根6.三角形的一边长为10，另两边长是方程x2−14x+48=0的两个根，则这个三角形是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定7.用配方法解方程x2+x−5=0时，此方程变形正确的是( )A．(x+12)2=214B．(x+12)2=194C．(x+1)2=6D．(x+1)2=48.利用配方法解一元二次方程x2−6x+7=0时，将方程配方为(x−m)2=n，则m，n的值分别为( )A．m=9，n=2B．m=−3，n=−2C．m=3，n=0D．m=3，n=2二、填空题（共5题）9.已知二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的方程x2+x+c=0的两实数根分别是．10.一元二次方程x2−2x−1=0的根的判别式的值是．11.关于x的一元二次方程(2−a)x2−2x+1=0有两个不相等的实数根，则整数a的最小值是．12.已知一元二次方程x2−3x−10=0的两个实数根为x1，x2则(x1−1)(x2−1)的值是．13.关于x的方程2x2+kx−4=10的一个根是−2，则方程的另一个根是，k=．三、解答题（共6题）14.解关于x的方程．(1) (5x−3)2=(x+1)2．(2) （配方法）2x2+3=7x．15.已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．(1) 求实数k的取值范围．(2) 是否存在实数k，使得x1⋅x2−x12−x22=0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．16.已知a，b，c是三角形的三条边长，且关于x的方程(b+c)x2+√2(a−c)x−34(a−c)=0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状．17.定义：方程cx2+bx+a=0是一元二次方程ax2+bx+c=0的倒方程．(1) 已知x=2是x2+2x+c=0的倒方程的解，求c的值．(2) 若一元二次方程ax2−2x+c=0无解，求证：它的倒方程也一定无解．(3) 一元二次方程ax2−2x+c=0（a≠c）与它的倒方程只有一个公共解，它的倒方程只有一个解，求a 和c的值．18.已知关于x的方程(m+2)x2−√5mx+m−3=0．(1) 求证方程有实数根；(2) 若方程有两个实数根，且两根平方和等于3，求m的值．19.阅读材料：如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，那么有x1+x2=−ba ，x1x2=ca这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题．例x1、x2是方程x2+6x−3=0的两根，求x12+x22的解，解法可以这样：x1+x2=−6，x1x2=−3则x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−6)2−2×(−3)=42．请根据以上解法解答下题：已知x1、x2是方程x2−4x+2=0的两根，求：(1) 1x1+1x2的值；(2) (x1−x2)2的值．参考答案1. A2. B3. C4. A5. C6. B7. A8. D9. x1=2，x2=110. 811. 312. −1213. 72；−314.(1) (5x−3)2−(x+1)2=0,(5x−3+x+1)(5x−3−x−1)=0,5x−3+x+1=0或5x−3−x−1=0,所以x1=13,x2=1;(2) x2−72x=−32,x2−72x+4916=−32+4916,(x−74)2=2516,x−74=±54,所以x1=3,x2=12.15.(1) ∵原方程有两个实数根∴[−(2k+1)]2−4(k2+2k)≥0∴4k2+4k+1−4k2−8k≥0∴1−4k≥0∴k≤14．∴当k≤14时，原方程有两个实数根．(2) 假设存在实数k使得x1⋅x2−x12−x22=0成立．∵x1，x2是原方程的两根∴x1+x2=2k+1，x1⋅x2=k2+2k由x1⋅x2−x12−x22=0得3x1⋅x2−(x1+x2)2=0∴3(k2+2k)−(2k+1)2=0整理得：−(k−1)2=0∴只有当k=1时，上式才能成立又∵由（1）知k≤14∴不存在实数k使得x1⋅x2−x12−x22=0成立．(a−c)]=0 16. 根据题意得Δ=2(a−c)2−4(b+c)×[−34即2(a−c)2+3(b+c)(a−c)=0∴(a−c)(2a+3b+c)=0∵2a+3b+c≠0∴a−c=0，即a=c∴原三角形为等腰三角形．17.(1) x2+2x+c=0的倒方程为cx2+2x+1=0把x=2代入cx2+2x+1=0得4c+4+1=0．解得c=−54(2) ∵一元二次方程ax2−2x+c=0无解∴Δ=(−2)2−4ac<0∴ac>1一元二次方程ax2−2x+c=0的倒方程为cx2−2x+a=0∵Δʹ=(−2)2−4ca=4−4ac而 ac >1∴Δʹ<0∴ 它的倒方程也一定无解．(3) 一元二次方程 ax 2−2x +c =0 的倒方程为 cx 2−2x +a =0而倒方程只有一个解∴c =0则 −2x +a =0，解得 x =a 2把 x =a 2 代入 ax 2−2x =0 得 a ×a 24−a =0而 a ≠c∴a =2 或 a =−2．18.(1) 当 m +2=0 时，方程化为 2√5x −5=0，解得 x =√52； 当 m +2≠0 时Δ=(−√5m)2−4(m +2)(m −3)=(m +2)2+20∵(m +2)2≥0∴Δ>0即 m ≠−2 时，方程有两个不相等的实数根∴ 方程有实数根；(2) 设方程两实数根为 a ，b则 a +b =√5m m+2，ab =m−3m+2∵a 2+b 2=3∴(a +b )2−2ab =3∴(√5m m+2)2−2×m−3m+2=3 解得 m =0．19.(1) ∵x1+x2=4，x1x2=2∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=42=2.(2) ∵x1+x2=4，x1x2=2∴(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=42−4×2=8.。
人教版九年级数学上册解一元二次方程 同步练习含答案【优选范本】
21.2专题训练 一元二次方程的解法及配方法的应用一、一元二次方程的解法1．用直接开平方法解方程：(1)(4x －1)2＝225；解：x 1＝4，x 2＝－72(2)13(x －2)2＝8； 解：x 1＝2＋26，x 2＝2－2 6(3)9x 2－6x ＋1＝9；解：x 1＝43，x 2＝－23(4)3(2x ＋1)2－2＝0.解：x 1＝－12＋66，x 2＝－12－662．用配方法解方程：(1)2t 2－3t ＝－1；解：t 1＝12，t 2＝1(2)2x 2＋5x －1＝0；解：x 1＝－5＋334，x 2＝－5－334(3)(2x －1)(3x －1)＝3－6x ；解：x 1＝12，x 2＝－23(4)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7.解：x 1＝4，x 2＝23．用公式法解方程：(1)x 2＝6x ＋1;解：x 1＝3＋10，x 2＝3－10(2)0.2x 2－0.1＝0.4x ；解：x 1＝2＋62，x 2＝2－62(3)2x －2＝2x 2.解：原方程无实数根4．用因式分解法解方程：(1)(x －1)2－2(x －1)＝0；解：x 1＝3，x 2＝1(2)5x(x －3)＝(x －3)(x ＋1)；解：x 1＝3，x 2＝14(3)(x ＋2)2－10(x ＋2)＋25＝0.解：x 1＝x 2＝35．用适当的方法解方程：(1)2(x －3)2＝x 2－9；解：x 1＝3，x 2＝9(2)(2x ＋1)(4x －2)＝(2x －1)2＋2；解：x 1＝－1＋62，x 2＝－1－62(3)(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋3)＝8.解：x 1＝1，x 2＝－3二、配方法的应用(一)最大(小)值6．利用配方法证明：无论x 取何实数值，代数式－x 2－x －1的值总是负数，并求出它的最大值．解：－x 2－x －1＝－(x ＋12)2－34，∵－(x ＋12)2≤0，∴－(x ＋12)2－34＜0，故结论成立．当x ＝－12时，－x 2－x －1有最大值－347．对关于x 的二次三项式x 2＋4x ＋9进行配方得x 2＋4x ＋9＝(x ＋m)2＋n.(1)求m ，n 的值；(2)求x 为何值时，x 2＋4x ＋9有最小值，并求出最小值为多少？解：(1)∵x 2＋4x ＋9＝(x ＋m)2＋n ＝x 2＋2mx ＋m 2＋n ，∴2m ＝4，m 2＋n ＝9，∴m ＝2，n ＝5(2)∵m＝2，n＝5，∴x2＋4x＋9＝(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，有最小值是5(二)非负数的和为08．已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求3a2＋5b2－5的值．解：∵a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，∴(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0，即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，∴a＝－2，b＝1.∴3a2＋5b2－4＝3×(－2)2＋5×12－5＝129．若a，b，c是△ABC的三边长且满足a2－6a＋b2－8b＋c－5＋25＝0，请根据已知条件判断其形状．解：等式变形为a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋c－5＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋c－5＝0，由非负性得(a－3)2＝0，(b－4)2＝0，c－5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形。
九年级上1.2一元二次方程的解法(因式分解法)同步练习含答案.doc
九年级上 1.2 一元二次方程的解法（ 因式分解法 ）同步练习含答案第 1 章 一元二次方程1.2 一元二次方程的解法（ 6）【基础提优】1．方程 ( x 1)( x 2） 0 的两个根分别是（ ）A ． x 11， x 2 2B ． x 1 1， x 2 2C ． x 11，x 22D ． x 11， x 222．方程 x 2 5x0 的解是（）A ． x 1 0 ， x 25B ． x 1 x 2 5C ． x 10 ， x 25D ． x 1 x 23．方程 x( x 2) x 2 0 的解是（）A ． x 1 x 2 2B ． x 1 2 ， x 2 1C ． x 1x 21D ． x 1 2 ， x 21．方程 x22 x3 0 的解是（）4A ． x 1 x 2 1B ． x 1 x 2 3C ． x 1x 23D ． x 11， x 235．方程 x( x 2)x 的跟是．6．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt △ ABC 的两条直角边的长，且 S △ ABC=3，请写出 一个符合题意的一元二次方程：．．方程 x23 x2 0 的跟是．78．若方程 x 29x18 0 的两个根分别是等腰三角形的底边长和腰长，则这个等腰三角形的周长为．9．用因式分解法解下列方程： （1） ( x 3) 2 90 ； （ 2） 2x(x 4) x 4 02 2（ 4）x 2（3）( 2x 1) (3x 2）；10x 9 0 （5）( 2x1)2x(3x 2） 7【拓展提优】1．一元二次方程x(x 3) 3 x 的根是（）A ．x1 x2 1B ．x1 x2 3C．x1 1， x2 3 D ．x1 3 ， x2 12 x的方程x 2x1 1 0 的解为（）．关于A ．x1 2 ， x2 1B ．x1 0 ， x2 1C．x1 x2 1 D ．x1 x2 23．如果三角形的两条边的长分别是方程x 2 8x 15 0 的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（）A．5.5 B．5 C．4.5 D．44．如果( x2 y2 1)( x2 y 2 4) 0 ，那么x 2 y 2 ．5．现定义运算：对于任意实数a， b ，都有 a ★ b a2 3a b ，如 3 ★5 32 335．若x ★ 2 6 ，则实数 x 的值是．6．若最简二次根式x 2 4 x 3 与2x 13 是同类二次根式，则x ．7．若分式x25x6的值为 0，则x ．8．用适当的方法解下列方程：（1） ( 2x 1)22(2x 1) 3 ；（ 2） 2( x 3) 2 x 2 9（3） ( x 3) 2 (x 4)2 ( x 5) 2 17 x 24（4） x 22x 2x 1 ；（5） x 22x 2 09．已知 x(2x y) y( y 2 x)( xy 0) ，求 x2y 2 的值．xy．先化简，再求值：m 3 ( m 2 5 2 ) ，其中 m 是方程 x 2 2x 3 0 的根．103m 2 6mm参考答案【基础提优】 1-4 DCDD5． x 1 0 ， x 2 36． x 2 5x 6 0 （答案不唯一）7． x 1 1， x 228． 159．解：（ 1） x 16 ， x 2 0（ 2） x 11 4 ， x 21， x 22（ 3） x 1 3 （ 4） x 11， x 2 95（ 5） x 12 ， x 24【拓展提优】 1-3 DBA 4． 4 5．4或 16． 8 7． 68．解：（ 1） x1 ， x21（ 2） x3 ， x2911（ 3） x 1 3 ， x 2 8 （ 4） x 1 2 5 ， x 2 25（5）x 13 1， x 23 19． 5或 2210．化简得：原式1 ，解方程得： m 1 3 （舍去）， m2 1，带入 m1 得：3m(m 3)1 原式12。
人教版九年级上册 21.2 解一元二次方程 同步练习(含答案)
解一元二次方程同步练习一．选择题（共12小题）1．解方程（5x-3）2=2（5x-3），选择最适当的方法是（）A．.直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法2．用公式法解方程3x2+5x+1=0，正确的是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝3．方程x2+9x+9=0的两根为x1，x2，则x1+x2-x1x2=（）A．-18B．18C．9D．04．设方程x2+x-2=0的两个根为α，β，那么α+β-αβ的值等于（）A．-3B．-1C．1D．35．关于x的一元二次方程x2+（a2-3a）x+a=0的两个实数根互为倒数，则a的值为（）A．-3B．0C．1D．-3 或06．已知关于x的一元二次方程x2-（2m-1）x+m2=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≠0B．m≤0.25C．m＜0.25D．m＞0.257．设a，b是方程x2+3x-2017=0的两个实数根，则a2+2a-b的值为（）A．2017C．2019D．20208．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m-1=0的两个根分别是x1，x2，且满足x12+x22=3，则m的值是（）A．0B．-2C．0 或-0.5D．-2或09．若x1、x2是方程x2-5x+6=0的两个解，则代数式（x1+1）（x2+1）的值为（）A．8B．10C．12D．1410．设a、b为x2+x-2011=0的两个实根，则a3+a2+3a+2014b=（）A．2014B．-2014D．-201111．已知实数x满足（x2-2x+1）2+2（x2-2x+1）-3=0，那么x2-2x+1的值为（）A．-1或3B．-3或1C．3D．112．如果，那么a，m的值分别为（）A．3，0B．9，C．9，D．,9二．填空题（共5小题）13．填空：x2-2x+3=（x- ）2+2．14．已知x为实数，且满足（2x2+3）2+2（2x2+3）-15=0，则2x2+3的值为．15．已知关于x的一元二次方程（m+2）x2-3x+1=0有实数根，则m的取值范围是．16．设m、n是方程x2+x-1001=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为．17．若方程x2-3x-4=0的两个根分别为x1和x2，= ．三．解答题（共6小题）18．解一元二次方程：（1）x2+2x=29；（2）19．x取何值时，代数式3x2+6x-8的值与1-2x2的值互为相反数？20．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+3ax-x+2a2=1的两个实数根，其满足（3x1-x2）（x1-3x2）+80=0．求实数a的所有可能值．21．关于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2+5=0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）已知等腰△ABC的底边长为4，另两边的长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．22．已知关于x的方程x2-4x+k+1=0有两实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程两实数根分别为x1、x2，，求实数k的值．23．阅读下内容，再解决问题．在把多项式m2-4mn-12n2进行因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但是经过变形，可以利用完全平方公式进行分解：m2-4mn-12n2=m2-4mn+4n2-4n2-12n2=（m-2n）2-16n2=（m-6n）（m+2n），像这样构造完全平方式的方法我们称之为“配方法”，利用这种方法解决下面问题．（1）把多项式因式分解：a2-6ab+5b2；（2）已知a、b、c为△ABC的三条边长，且满足4a2-4ab+2b2+3c2-4b-12c+16=0，试判断△ABC的形状参考答案1-5：DAACC 6-10:BDCCB 11-12:DB13、214、315、16、100017、-0.7518、19、根据题意，得：3x2+6x-8+1-2x2=0，整理，得：x2+6x-7=0，则（x+7）（x-1）=0，△x+7=0或x-1=0，解得x1=-7，x2=1．△当x取-7或1时，代数式3x2+6x-8的值与1-2x2的值互为相反数．20、21、：（1）根据题意得△=4（m+1）2-4（m2+5）≥0，解得m≥2；（2）△等腰△ABC的底边长为4，另两边的长恰好是方程的两个根，△方程有两个相等的实数解，△△=4（m+1）2-4（m2+5）=0，解得m=2，此时方程为x2-6x+9=0，解得x1=x2=3，△△ABC的周长=3+3+4=10．22、：（1）△=16-4（k+1）=16-4k-4=12-4k≥0，△k≤3．（2）由题意可知：x1+x2=4，x1x2=k+1，，△k=5或k=-3，由（1）可知：k=5舍去，△k=-3．23、：（1）a2-6ab+5b2=a2-6ab+9b2-4b2=（a-3b）2-（2b）2=（a-3b+2b）（a-3b-2b）=（a-b）（a-5b）；（2）4a2-4ab+2b2+3c2-4b-12c+16=0 4a2-4ab+b2+b2-4b+4+3c2-12c+12=0 （2a-b）2+（b-2）2+3（c-2）2=0解得，a=1，b=2，c=2，△△ABC为等腰三角形．。
人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》同步练习题-带答案
人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》同步练习题-带答案一、单选题1．已知关于x 的一元二次方程250x x +=的一个根是0，则另一个根是（ ） A ．5- B ．5 C ．1- D ．1 2．方程221x =的根是（ ）A ．112x = 212x =- B ．12x 22x =C ．1212x x == D ．122x x =3．一元二次方程2350x x +-=的两根为1x 和2x ，则12x x +的值为（ ） A ．3 B ．3- C ．5 D ．5-4．若方程()29240x k x +++=的左边可以写成一个完全平方式，则k 的值为( ) A ．10-或14 B ．14- C ．10 D ．10或14- 5．若关于x 的方程2210kx x +-=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．1k ≥-且0k ≠ B ．1k ≥- C ．1k >- D ．1k >-且0k ≠ 6．在平面直角坐标系中，若直线2y x m -＝不经过第四象限，则关于x 的方程2210mx x +-=的实数根的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1或2个 7．已知关于x 的一元二次方程20x mx m ++=有两个相等的实数根，则m 的值是（ ） A ．0B ．2C ．4D ．0或4 8．解方程()()2531231x x ---=0，最合适的方法是（ ）A ．直接开平方法B ．公式法C ．因式分解法D ．配方法 9．若m ，n 为方程2220160x x +-=的两个实数根，则23m m n ++=（ ） A ．2014 B ．2015 C ．2016 D ．201710．已知方程2230x x +-=的解是11x =，23x =-则给出另一个方程()()22322330x x +++-=，它的解是（ ）A ．1-或3B ．1或3C ．1-或3-D ．1或3-二、填空题11．方程2680x x -+=的两个根为a b ，，则a b += ．12．将方程2670x x ++=配方成()2x m n +=的形式，则n m = ． 13．关于方程27160x x -+=有如下判断：（1）该方程的两根之和是7；（2）该方程的两根之积是16，以上两个判断中正确的有 个．14．三角形两边的长是2和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的周长为 ． 15．（1）已知一元二次方程2310x x -+=的两根为12x x 、，则211252x x x --的值为 ． （2）若m 、n 是方程2220x x --=的两个实数根，则222442022m n n +-+的值为 ．三、解答题16．解方程：(1)22410x x --=；(2)()5454x x x +=+．17．已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=有两个相等的实数根，求k 的值．18．已知关于x 的一元二次方程()22210m x x --+=．(1)若方程的一个根是1-，求方程的另一个根；(2)若该一元二次方程的两个根分别为1x 和2x ，当121213x x x x +=-时，求m 的值． 19．关于x 的一元二次方程()()2212210a x bx c x --++=中，a ，b ，c 是Rt ABC △的三条边，其中90C ∠=︒． (1)求证此方程有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个根是1x 和2x ，且221212x x +=，求::a b c ．参考答案1．A2．B3．B4．D5．B6．D7．D8．C9．A10．C11．612．913．014．1115． 7- 204216．(1)122626x x +-==(2)1241,5x x == 17．8k18．(1)方程的另一个根为13； (2)3m =．19． (2)1:223。
人教版九年级数学上册解一元二次方程同步练习题含答案
解一元二次方程同步练习一、选择题1．若2(1)10x +-=，则x 的值等于（） A ．1±B ．2±C ．0或2D ．0或2-2．用公式法解﹣x 2+3x=1时，先求出a 、b 、c 的值，则a 、b 、c 依次为（ ）A ﹣1 3 ﹣1B 1 ﹣3 ﹣1C ﹣1 ﹣3 ﹣1D ﹣1 3 13．用配方法解方程时,下列配方错误的是( )A ．100)1(099222=+=-+x x x 化为B ．441)25(04522=-=--x x x 化为C ．16)3(07622=+=++x x x 化为D ．910)32(024322=-=--x x x 化为 4．解方程)15(3)15(22-=-x x 的最合适的方法是( )A ．配方法B ．公式法C ．因式分解法D ．直接开平方法 5．等腰三角形的底和腰是方程2680x x -+=的两根，则这个三角形的周长为（ ）A ．8B ．10C ．8或10D ．不能确定 6．关于x 的一元二次方程21(1)420mm x x ++++=的解为（ ） A ．11x =，21x =-B ．121x x ==C ．121x x ==-D ．无解 二、填空题 7．.__________________)(014222的形式为化成把方程b a x x x =+=-+ 8．.______1,06122=-=+--=a ax x x 则的一个解是方程已知 9．3121)2(3,______2的值小的值比代数式时当++-=m m m 10．写出一个一元一次方程,使其中一个根是2,这个方程可以是__________________.11．在一次同学聚会上,见面时两两握手一次,共握手28次,设共有x 名同学参加聚会,则所列方程为_________________,x=_____________三、解答题12．按要求解下列方程:(1) 9)1(2=+x (直接开平方法)(2) 2410x x +-=(配方法)(3) 23510x x -+= (公式法)(4) y y y 22)1(3-=-(因十分解法)13．用适当的方法解下列方程:(1) 0652=--x x(2) 100211)1(2=--x(3) 63)2(8+=+x x x(4) ()()2055=-+y y14．阅读下题的解题过程,请判断其是否正确,若有错误,请写出正确的答案.解方程6322+=+x x x解: )2(3)2(+=+x x x两边同时除以x+2,得: x=3参考答案一、选择题1．D 2． A 3． C 4． C 5． B 6． C 二、填空题7． 23)1(2=+x 8． 34 9． 35或3 10．答案不惟一 11． 282)1(=-x x x=8 三、解答题12．(1) 21=x ，42-=x (2) 122525x x =-+=--， (3) 15136x +=，25136x -= (4) 11=y ，322-=y13．(1) 61=x ，12-=x (2) 1011-=x ，10212=x(3) 21-=x ，832=x (4) 51=y ，52-=y14．解: 因为不能判断x+2是否为0,所以方程两边不能同时除以x+2.正确得解题过程为: )2(3)2(+=+x x x0)2(3)2(=+-+x x x0)2)(3(=+-x x2,321-==x x人教版七年级上册期末测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．某天的最高气温是8℃，最低气温是－3℃，那么这天的温差是() A ．－3℃ B ．8℃C ．－8℃D ．11℃2．下列立体图形中，从上面看能得到正方形的是( )3．下列方程是一元一次方程的是( )A ．x －y ＝6B ．x －2＝xC．x2＋3x＝1 D．1＋x＝34．今年某市约有108 000名应届初中毕业生参加中考，108 000用科学记数法表示为()A．0.108×106B．10.8×104C．1.08×106D．1.08×1055．下列计算正确的是()A．3x2－x2＝3 B．3a2＋2a3＝5a5C．3＋x＝3x D．－0.25ab＋14ba＝06．已知ax＝ay，下列各式中一定成立的是()A．x＝y B．ax＋1＝ay－1C．ax＝－ay D．3－ax＝3－ay7．某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10%，则该商品每件的进价为()A．100元B．105元C．110元D．120元8．如果一个角的余角是50°，那么这个角的补角的度数是() A．130°B．40°C．90°D．140°9．如图，C，D是线段AB上的两点，点E是AC的中点，点F是BD的中点，EF＝m，CD＝n，则AB的长是()A．m－n B．m＋nC．2m－n D．2m＋n10．下列结论：①若a＋b＋c＝0，且abc≠0，则a＋c2b＝－12；②若a＋b＋c＝0，且a≠0，则x＝1一定是方程ax＋b＋c＝0的解；③若a＋b＋c＝0，且abc≠0，则abc＞0；④若|a|>|b|，则a－ba＋b>0.其中正确的结论是()A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④二、填空题(每题3分，共24分) 11．－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23的相反数是________，－15的倒数的绝对值是________． 12．若－13xy 3与2x m －2y n ＋5是同类项，则n m ＝________.13．若关于x 的方程2x ＋a ＝1与方程3x －1＝2x ＋2的解相同，则a 的值为________．14．一个角的余角为70°28′47″，那么这个角等于____________．15．下列说法：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③若∠AOC ＝12∠AOB ，则射线OC 是∠AOB 的平分线；④连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；⑤学校在小明家南偏东25°方向上，则小明家在学校北偏西25°方向上，其中正确的有________个．16．在某月的月历上，用一个正方形圈出2×2个数，若所圈4个数的和为44，则这4个日期中左上角的日期数值为________．17．规定一种新运算：a △b ＝a ·b －2a －b ＋1，如3△4＝3×4－2×3－4＋1＝3.请比较大小：(－3)△4________4△(－3)(填“>”“＝”或“<”)．18．如图是小明用火柴棒搭的1条“金鱼”、2条“金鱼”、3条“金鱼”……则搭n条“金鱼”需要火柴棒__________根．三、解答题(19，20题每题8分，21～23题每题6分，26题12分，其余每题10分，共66分)19．计算：(1)－4＋2×|－3|－(－5)；(2)－3×(－4)＋(－2)3÷(－2)2－(－1)2 018.20．解方程：(1)4－3(2－x)＝5x；(2)x－22－1＝x＋13－x＋86.21．先化简，再求值：2(x2y＋xy)－3(x2y－xy)－4x2y，其中x＝1，y＝－1. 22．有理数b在数轴上对应点的位置如图所示，试化简|1－3b|＋2|2＋b|－|3b－2|.23．如图①是一些小正方体所搭立体图形从上面看得到的图形，方格中的数字表示该位置的小正方体的个数．请在如图②所示的方格纸中分别画出这个立体图形从正面看和从左面看得到的图形．24．已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分线．(1)当点C，E，F在直线AB的同侧时(如图①所示)，试说明∠BOE＝2∠COF.(2)当点C与点E，F在直线AB的两侧时(如图②所示)，(1)中的结论是否仍然成立？请给出你的结论，并说明理由．25．为鼓励居民节约用电，某市电力公司规定了电费分段计算的方法：每月用电不超过100度，按每度电0.50元计算；每月用电超过100度，超出部分按每度电0.65元计算．设每月用电x度．(1)当0≤x≤100时，电费为________元；当x>100时，电费为____________元．(用含x的整式表示)(2)某用户为了解日用电量，记录了9月前几天的电表读数．日期9月1日9月2日9月3日9月4日9月5日9月6日9月7日电表读123130137145153159165 数/度该用户9月的电费约为多少元？(3)该用户采取了节电措施后，10月平均每度电费0.55元，那么该用户10月用电多少度？26．如图，O为数轴的原点，A，B为数轴上的两点，点A表示的数为－30，点B表示的数为100.(1)A，B两点间的距离是________．(2)若点C也是数轴上的点，点C到点B的距离是点C到原点O的距离的3倍，求点C表示的数．(3)若电子蚂蚁P从点B出发，以6个单位长度/s的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/s的速度向左运动，设两只电子蚂蚁同时运动到了数轴上的点D，那么点D表示的数是多少？(4)若电子蚂蚁P从点B出发，以8个单位长度/s的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/s的速度向右运动．设数轴上的点N到原点O的距离等于点P到原点O的距离的一半(点N在原点右侧)，有下面两个结论：①ON＋AQ的值不变；②ON－AQ的值不变，请判断哪个结论正确，并求出正确结论的值．(第26题)答案一、1.D 2.A 3.D 4.D 5.D 6.D7．A8.D9.C10.B二、11.23；512.－813.－514．19°31′13″15.316.717．>18.(6n＋2)三、19.解：(1)原式＝－4＋2×3＋5＝－4＋6＋5＝7；(2)原式＝12＋(－8)÷4－1＝12－2－1＝9.20．解：(1)去括号，得4－6＋3x＝5x.移项、合并同类项，得－2x＝2.系数化为1，得x＝－1.(2)去分母，得3(x－2)－6＝2(x＋1)－(x＋8)．去括号，得3x－6－6＝2x＋2－x－8.移项、合并同类项，得2x＝6.系数化为1，得x＝3.21．解：原式＝2x2y＋2xy－3x2y＋3xy－4x2y＝(2x2y－3x2y－4x2y)＋(2xy＋3xy)＝－5x2y＋5xy.当x＝1，y＝－1时，原式＝－5x2y＋5xy＝－5×12×(－1)＋5×1×(－1)＝5－5＝0.22．解：由题图可知－3<b<－2.所以1－3b>0，2＋b<0，3b－2<0.所以原式＝1－3b－2(2＋b)＋(3b－2)＝1－3b－4－2b＋3b－2＝－2b－5.23．解：如图所示．24．解：(1)设∠COF＝α，则∠EOF＝90°－α.因为OF是∠AOE的平分线，所以∠AOE＝2∠EOF＝2(90°－α)＝180°－2α.所以∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－(180°－2α)＝2α.所以∠BOE＝2∠COF.(2)∠BOE＝2∠COF仍成立．理由：设∠AOC＝β，则∠AOE＝90°－β，又因为OF是∠AOE的平分线，所以∠AOF＝90°－β2.所以∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－(90°－β)＝90°＋β，∠COF＝∠AOF＋∠AOC＝90°－β2＋β＝12(90°＋β)．所以∠BOE＝2∠COF.25．解：(1)0.5x；(0.65x－15)(2)(165－123)÷6×30＝210(度)，210×0.65－15＝121.5(元)．答：该用户9月的电费约为121.5元．(3)设10月的用电量为a度．根据题意，得0.65a－15＝0.55a，解得a＝150.答：该用户10月用电150度．26．解：(1)130(2)若点C在原点右边，则点C表示的数为100÷(3＋1)＝25；若点C在原点左边，则点C表示的数为－[100÷(3－1)]＝－50.故点C表示的数为－50或25.(3)设从出发到同时运动到点D经过的时间为t s，则6t－4t＝130，解得t＝65.65×4＝260，260＋30＝290，所以点D表示的数为－290.(4)ON－AQ的值不变．设运动时间为m s，则PO＝100＋8m，AQ＝4m. 由题意知N为PO的中点，得ON＝12PO＝50＋4m，所以ON＋AQ＝50＋4m＋4m＝50＋8m，ON－AQ＝50＋4m－4m＝50.故ON－AQ的值不变，这个值为50.。
最新人教版九年级数学上册 解一元二次方程 同步习题(解析版)
解一元二次方程 同步习题一、选择题1.一元二次方程2x2＋6x ＋3= 0 经过配方后可变形为（ ）A. (x +3)2 =6B. (x −3)2 =12C. (x +32)2=34D. (x −32)2=154 2.下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）A. x 2−x +14=0 B. x2+2x+4=0 C. x2-x+2=0D. x2-2x=03.已知x1 ， x2是方程x2﹣3x ﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（ ）A. 5B. 10C. 11D. 134.已知m 、n 、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m 、n 是关于 x 的一元二次方程 x 2−6x +k +2=0 的两个根，则k 的值等于 ( )A. 7B. 7或6C. 6或−7 D. 65.已知矩形的长和宽是方程 x 2−7x +8=0 的两个实数根，则矩形的对角线的长为（ ）A. 6B. 7C. √41D. √33二、填空题6.一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1 ，x2 ，则1x1+1x2的值为________．7.若关于x的一元二次方程x²-4x+m=0没有实数根，请写出一个满足条件的m 的值________。
8.三角形两边的长分别是8cm和15cm，第三边的长是方程x2﹣24x+119=0的一个实数根，则三角形的面积是________．9.已知α，β是方程x2−3x−2=0的两个实数根，则α2−3α−αβ的值为________．10.方程组{x+y=3xy=2的根是________三、计算题11.解方程：（1）(x+2)2=4(自选方法)（2）2x²-x-1=0(配方法)、（3）x²-1=4x(公式法)（4）x²-1=2x+2(因式分解法)12.小明同学在解一元二次方程3x2-8x(x-2)=0时，他是这样做的：解一元二次方程3x2-8x(x-2)=0解：3x-8x-2=0…………第一步-5x-2=0………………第二步-5x=2……………………第三步x=- 25……………………第四步小明的解法从第几步开始出现错误？请你写出正确的求解过程。
最新人教版九年级上册数学解一元二次方程(因式分解法)同步练习(含答案)
解一元二次方程（因式分解法）一、填空题(填出下列一元二次方程的根)1．x (x －3)=0．______2．(2x －7)(x ＋2)=0．______3．3x 2=2x ．______4．x 2＋6x ＋9=0．______5．______6．______ 7．(x －1)2－2(x －1)=0．______．8．(x －1)2－2(x －1)=－1．______二、选择题9．方程(x －a )(x ＋b )=0的两根是( )．A ．x 1=a ，x 2=bB ．x 1=a ，x 2=－bC ．x 1=－a ，x 2=bD ．x 1=－a ，x 2=－b10．下列解方程的过程，正确的是( )．A ．x 2=x ．两边同除以x ，得x =1．B ．x 2＋4=0．直接开平方法，可得x =±2．C ．(x －2)(x ＋1)=3×2．∵x －2=3，x ＋1=2， ∴x 1=5， x 2=1．D ．(2－3x )＋(3x －2)2=0．整理得3(3x －2)(x －1)=0， .03222=-x x .)21()21(2x x -=+.1,3221==∴x x三、解答题(用因式分解法解下列方程，*题用十字相乘法因式分解解方程)11．3x (x －2)=2(x －2)．12．*13．x 2－3x －28=0．14．x 2－bx －2b 2=0．*15．(2x －1)2－2(2x －1)=3．*16．2x 2－x －15=0．四、解答题17．x 取什么值时，代数式x 2＋8x －12的值等于2x 2＋x 的值． .32x x综合、运用、诊断一、写出下列一元二次方程的根18．．______________________．19．(x －2)2=(2x ＋5)2．______________________．二、选择题20．方程x (x －2)=2(2－x )的根为( )．A ．－2B ．2C ．±2D ．2，221．方程(x －1)2=1－x 的根为( )．A ．0B ．－1和0C ．1D ．1和022．方程的较小的根为( )． A ．B ．C ．D ．三、用因式分解法解下列关于x 的方程23．24．4(x ＋3)2－(x －2)2=0．0222=-x x 0)43)(21()43(2=--+-x x x 43-218543.2152x x =-25．26．abx 2－(a 2＋b 2)x ＋ab =0．(ab ≠0)四、解答题27．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m 2＋2)x ＋2m =0．(1)求证：当m 取非零实数时，此方程有两个实数根；(2)若此方程有两个整数根，求m 的值．.04222=-+-b a ax x参考答案1．x ＝0，x 2＝3． 2． 3．4．x 1＝x 2＝－3． 5． 6． 7．x ＝1，x 2＝3． 8．x 1＝x 2＝2． 9． B ． 10． D ．11．12． .2,2721-==x x ⋅==32,021x x .6,021==x x .322,021-==x x ⋅==32,221x x ⋅==33,021x x13．x 1＝7，x 2＝－4.14．x 1＝2b ，x 2＝－b ． 15．x 1＝0，x 2＝2．16． 17．x 1＝3，x 2＝4．18． 19．x 1＝－1，x 2＝－7．20．C ． 21．D ． 22．C ．23．x 1＝0，x 2＝－10.24． 25．26． 27．(1)∆＝(m 2－2)2．当m ≠0时，∆≥0；(2)(mx －2)(x －m )＝0，m ＝±1或m ＝±2． .3,2521=-=x x .2,021==x x ⋅-=-=34,821x x .2,221b a x b a x +=-=⋅==b a x a b x 21,。
人教版九年级上册《解一元二次方程》同步练习卷(含答案解析)
新人教版九年级上册《21.2 解一元二次方程》同步练习卷一、选择题（本大题共8道小题）1. 方程3x(2x +1)＝2(2x +1)的两个根为（ ）A.x 1=23,x 2=0B.x 1=23,x 2=12C.x 1=32,x 2=−12D.x 1=23,x 2=−122. 下列一元二次方程中，没有实数根的是( )A.x 2−2x =0B.x 2+4x −1=0C.2x 2−4x +3=0D.3x 2=5x −23. 一元二次方程(x +1)(x −1)=2x +3的根的情况是( )4. 当b +c =5时，最新x 的一元二次方程3x 2+bx −c =0的根的情况为( )5. 对于二次三项式−x 2+4x −5的值，下列叙述正确的是（ ）C.正、负都有可能−16. 代数式x 2−4x −2020的最小值是（ ）A.−2018B.−2020C.−2022D.−20247. 以x =b±√b 2+4c 2为根的一元二次方程可能是（ ）A.x 2+bx +c ＝0B.x 2+bx −c ＝0C.x 2−bx +c ＝0D.x 2−bx −c ＝08. 如果最新x 的一元二次方程k 2x 2−(2k +1)x +1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是( )A.k >−14B.k >−14且k ≠0C.k <−14D.k ≥−14且k ≠0二、填空题（本大题共8道小题）9. 若(m+2)x m2−2+3x−1＝0是最新x的一元二次方程，则m的值为________．10. 填空：（1）x2+4x+(________)＝(x+________)2；（2）x2+(________)x+254=(x−52)2；（3）x2−73x+(________)＝(x−________)2；（4）x2−px+(________________)＝(x−________________11. 方程(3x−4)2−(3x−4)＝0的解是________．12. 一元二次方程4x2+12x+9＝0的解为________．13. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2−6x+8=0的解，则此三角形的周长是________．14. 一元二次方程4x2＝3x的解是________．15. 最新x的方程kx2−4x−4＝0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为________．16. 已知方程x2−6x+q＝0可转化为x−3＝±√7，则q＝________．三、解答题（本大题共4道小题）17. 我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法．请选择适当的方法解下列方程：（1）x2−3x+1＝0；（2）(x−1)2＝3；（3）x2+23x+19=0；（4）x2−2x＝4．18. 最新x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−1=0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．19. 古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax＝b2(a>0, b>0)的方程的图解法是：如图，以a2和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD=a2，则AD的长就是所求方程的解．（1）请用含字母a、b的代数式表示AD的长．（2）请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．20. 已知最新x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−1=0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)设x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2−17=0，求m的值．参考答案与试题解析新人教版九年级上册《21.2 解一元二次方程》同步练习卷一、选择题（本大题共8道小题）1.【答案】D【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】先变形得到3x(2x +1)−2(2x +1)＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】3x(2x +1)−2(2x +1)＝0，(2x +1)(3x −2)＝0，2x +1＝0或3x −2＝0，所以x 1=−12，x 2=23．2.【答案】C【考点】根的判别式【解析】利用根的判别式△=b 2−4ac 分别进行判定即可．【解答】解：A ，Δ=4>0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；B ，Δ=16+4=20>0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；C ，Δ=16−4×2×3=−8<0，没有实数根，故此选项符合题意；D ，Δ=25−4×3×2=25−24=1>0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意.故选C .3.【答案】A【考点】根的判别式【解析】先化成一般式后，在求根的判别式．【解答】解：原方程可化为：x2−2x−4=0，∴ a=1，b=−2，c=−4，∴ Δ=(−2)2−4×1×(−4)=20>0，∴ 方程有两个不相等的实数根．故选A.4.【答案】A【考点】根的判别式【解析】由b+c＝5可得出c＝5−b，根据方程的系数结合根的判别式可得出△＝(b−6)2+24，由偶次方的非负性可得出(b−6)2+24>0，即△>0，由此即可得出最新x的一元二次方程3x2+bx−c＝0有两个不相等的实数根．【解答】解：∴ b+c=5，∴ c=5−b．Δ=b2−4×3×(−c)=b2+12c=b2−12b+60=(b−6)2+24．∴ (b−6)2≥0，∴ (b−6)2+24>0，∴ Δ>0，∴ 最新x的一元二次方程3x2+bx−c=0有两个不相等的实数根．故选A.5.【答案】B【考点】非负数的性质：算术平方根配方法的应用非负数的性质：绝对值非负数的性质：偶次方【解析】利用配方法将−x2+4x−5进行配方，再利用非负数的性质得出答案．【解答】∴ −x2+4x−5＝−(x2−4x+4)−1＝−(x−2)2−1<0，∴ 原式一定为负数．6.【答案】D【考点】非负数的性质：算术平方根配方法的应用非负数的性质：绝对值非负数的性质：偶次方【解析】利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答．【解答】x2−4x−2020＝x2−4x+4−4−2020＝(x−2)2−2024．∴ (x−2)2≥0，∴ (x−2)2−2024≥−2024，即代数式x2−4x−2020的最小值是−2024，7.【答案】D【考点】解一元二次方程-公式法【解析】对照求根公式确定二次项系数、一次项系数和常数项．【解答】根据求根公式知，−b是一次项系数，二次项系数是1或−1，常数项是−c或c．所以，符合题意的只有D选项．8.【答案】B【考点】根的判别式【解析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△＝b 2−4ac >0，建立最新k 的不等式，求出k 的取值范围．【解答】解：由题意知，k ≠0，方程有两个不相等的实数根，所以Δ>0，Δ=b 2−4ac =(2k +1)2−4k 2=4k +1>0．又∴ 方程是一元二次方程，∴ k ≠0，∴ k >−14且k ≠0．故选B .二、填空题（本大题共8道小题）9.【答案】2【考点】一元二次方程的定义【解析】根据一元二次方程的定义列出方程和不等式，解方程和不等式得到答案．【解答】由题意得，m 2−2＝2，m +2≠0，解得，m ＝2，10.【答案】4,2−54936,76p 24,p 2,,）2【考点】配方法的应用【解析】根据配方法的步骤首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．【解答】x 2+4x +4＝(x +2)2；x 2+(−5)x +254=(x −52)2； x 2−73x +4936=(x −76)2；x 2−px +p 24=(x −p 2)2．故答案为：4，2，−5，4936，76，p 24，p 2． 11.【答案】x 1=43，x 2=53【考点】一元二次方程的解【解析】根据因式分解法解一元二次方程的步骤求解即可．【解答】(3x −4)2−(3x −4)＝0，(3x −4)(3x −4−1)＝0，3x −4＝0，或3x −5＝0，解得x 1=43，x 2=53． 12.【答案】x 1＝x 2=−32【考点】解一元二次方程-配方法【解析】利用配方法求解可得．【解答】原方程可化为(2x+3)2＝0，∴ 2x+3＝0，∴ x1＝x2=−3．213.【答案】13【考点】解一元二次方程-因式分解法三角形三边关系【解析】求出方程的解，有两种情况：x=2时，看看是否符合三角形三边关系定理；x=4时，看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．【解答】解：x2−6x+8=0，(x−2)(x−4)=0，x−2=0，x−4=0，x1=2，x2=4，当x=2时，2+3<6，不符合三角形的三边关系定理，所以x=2舍去，当x=4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4=13．故答案为：13．14.【答案】x1＝0，x2=34【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】4x2＝3x，4x2−3x＝0，x(4x−3)＝0，x＝0，4x−3＝0，x1＝0，x2=3415.【答案】1【考点】根的判别式【解析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k ≠0且b 2−4ac >0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【解答】∴ 最新x 的方程kx 2−4x −4＝0有两个不相等的实数根，∴ k ≠0且b 2−4ac >0，即{k ≠0∴=16+16k >0，解得k >−1且k ≠0，∴ k 的最小整数值为：1． 16.【答案】2【考点】解一元二次方程-配方法【解析】将x −3＝±√7两边平方后展开化简可得．【解答】由x −3＝±√7，得(x −3)2＝7，∴ x 2−6x +9＝7，∴ x 2−6x +2＝0，∴ q ＝2，三、解答题（本大题共4道小题）17.【答案】∴ a ＝1，b ＝−3，c ＝1，∴ b 2−4ac ＝(−3)2−4×1×1＝5>0，∴ x =−(−3)±√52×1，∴ x 1=3+√52，x 2=3−√52．∴ (x −1)2＝3，∴ x −1＝±√3，∴ x 1＝1+√3，x 2＝1−√3．∴ (x +13)2＝0，∴ x 1＝x 2=−13．x 2−2x +1＝4+1，即(x −1)2＝5，∴ x −1＝±√5，∴ x 1＝1+√5，x 2＝1−√5． 【考点】解一元二次方程-公式法 解一元二次方程-配方法 解一元二次方程-因式分解法 解一元二次方程-直接开平方法 【解析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用直接开平方法求解可得；（3）利用因式分解法求解可得；（4）利用配方法求解可得． 【解答】∴ a ＝1，b ＝−3，c ＝1，∴ b 2−4ac ＝(−3)2−4×1×1＝5>0，∴ x =−(−3)±√52×1，∴ x 1=3+√52，x 2=3−√52．∴ (x −1)2＝3，∴ x −1＝±√3，∴ x 1＝1+√3，x 2＝1−√3． ∴ (x +13)2＝0，∴ x 1＝x 2=−13．x 2−2x +1＝4+1，即(x −1)2＝5，∴ x −1＝±√5，∴ x 1＝1+√5，x 2＝1−√5． 18. 【答案】解：(1)∴ 最新x 的一元二次方程x 2+(2m +1)x +m 2−1=0有两个不相等的实数根，∴ Δ=(2m +1)2−4×1×(m 2−1)=4m +5>0，解得：m >−54．(2)m =1，此时原方程为x 2+3x =0，即x(x +3)=0，解得：x 1=0，x 2=−3． 【考点】 一元二次不等式 【解析】（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出△>0，代入数据即可得出最新m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）结合（1）结论，令m ＝1，将m ＝1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论．【解答】解：(1)∴ 最新x 的一元二次方程x 2+(2m +1)x +m 2−1=0有两个不相等的实数根，∴ Δ=(2m +1)2−4×1×(m 2−1)=4m +5>0，解得：m >−54．(2)m =1，此时原方程为x 2+3x =0，即x(x +3)=0，解得：x 1=0，x 2=−3． 19. 【答案】∴ ∠C ＝90∘，BC =a2，AC ＝b ，∴ AB =√b 2+a 24，∴ AD =√b 2+a 24−a 2=√4b 2+a 2−a2；用求根公式求得：x 1=−√4b 2+a 2−a2；x 2=√4b 2+a 2−a2正确性：AD 的长就是方程的正根．遗憾之处：图解法不能表示方程的负根． 【考点】解一元二次方程-公式法 【解析】（1）先根据勾股定理求得AB 的长，再求AD 的长．（2）正确性：形象直观；遗憾之处：图解法不能表示方程的负根． 【解答】∴ ∠C ＝90∘，BC =a2，AC ＝b ，∴ AB =√b 2+a 24，∴ AD =√b 2+a 24−a 2=√4b 2+a 2−a2；用求根公式求得：x 1=−√4b 2+a 2−a2；x 2=√4b 2+a 2−a2正确性：AD 的长就是方程的正根．遗憾之处：图解法不能表示方程的负根． 20. 【答案】解：(1)根据题意得：Δ=(2m +1)2−4(m 2−1)>0，即4m +5>0，解得：m >−54.∴ m 的取值范围为m >−54. (2)根据题意得：{x 1+x 2=−(2m +1),x 1x 2=m 2−1,∴ x 12+x 22+x 1x 2−17=(x 1+x 2)2−x 1x 2−17=(2m +1)2−(m 2−1)−17=0，化简得：3m 2+4m −15=0，解得：m 1=53，m 2＝−3（不合题意，舍去），∴ m 的值为53． 【考点】根与系数的关系 根的判别式 【解析】①根据“最新x 的一元二次方程x 2+(2m +1)x +m 2−1＝0有两不相等的实数根”，结合判别式公式，得到最新m 的不等式，解之即可，②根据“x 1，x 2是方程的两根且x 12+x 22+x 1x 2−17＝0”，结合根与系数的关系，列出最新m 的一元二次方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案． 【解答】解：(1)根据题意得：Δ=(2m +1)2−4(m 2−1)>0，即4m +5>0，解得：m >−54.∴ m 的取值范围为m >−54. (2)根据题意得：{x 1+x 2=−(2m +1),x 1x 2=m 2−1,∴ x 12+x 22+x 1x 2−17=(x 1+x 2)2−x 1x 2−17=(2m +1)2−(m 2−1)−17=0，化简得：3m 2+4m −15=0，解得：m 1=53，m 2＝−3（不合题意，舍去），∴ m 的值为53．。
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专题训练一元二次方程的解法
►方法一形如(mx＋n)2＝p(m≠0，p≥0)的一元二次方程可用直接开平方法
1．若8x2－16＝0，则x的值是________．
2．一元二次方程(x＋3)2－4＝0的根为______________________________________．3．方程2(x＋3)2＝8的解是()
A．x1＝2，x2＝－2 B．x1＝5，x2＝1
C．x1＝－1，x2＝－5 D．x1＝1，x2＝－7
4．用直接开平方法解下列方程：
(1)3x2－1＝5；(2)4(x－1)2－9＝0.
►方法二二次项系数为1，且一次项系数为偶数的一元二次方程，用配方法求解较简便
5．用配方法解方程x2＋6x－5＝0，配方结果正确的是()
A．(x＋3)2＝14 B．(x－3)2＝14
C．(x＋3)2＝4 D．(x－3)2＝4
6．用配方法解一元二次方程x2－6x－4＝0，下列变形正确的是()
A．(x－6)2＝－4＋36 B．(x－6)2＝4＋36
C．(x－3)2＝－4＋9 D．(x－3)2＝4＋9
7．一元二次方程x2－8x＝48可表示成(x－a)2＝48＋b的形式，则a＋b的值为() A．20 B．12 C．－12 D．－20
8．用配方法将二次三项式a2－4a＋3变形，结果是()
A．(a－2)2－1 B．(a＋2)2－1
C．(a＋2)2－3 D．(a－2)2－6
9．用配方法解下列方程：
(1)x2－6x＝7；(2)x2＋4x－5＝0.
►方法三易化成一般形式且系数的绝对值较小的一元二次方程，用公式法求解较简便
10．用公式法解下列方程：
(1)2x2－6x－1＝0；(2)6x2－13x－5＝0；
(3)x2－7x＝－5；(4)y(y－3)＝1.
►方法四一边是0且另一边又易分解成两个一次因式的积的一元二次方程，用因式分解法求解较简便
11．方程(x＋1)(x－3)＝0的解是()
A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝－3 12．下列方程，适合用因式分解法求解的是()
A．x2－4 2x＋1＝0 B．2x2＝x－3
C．(x－2)2＝3x－6 D．x2－10x－9＝0
13．方程(x＋2)(x－3)＝x＋2的解是__________________________________．
14．用因式分解法解下列方程：
(1)(x－5)(x＋6)＝0；(2)2(x－3)＝3x(x－3)；(3)3(x－5)2＝2(x－5)．
► 方法五 如果在方程中出现一些相同的代数式，把它们用某一个字母代替后能形成一个较简单的一元二次方程，这样的方程可用换元法求解
15．解方程(x －1)2－5(x －1)＋4＝0时，我们可以将x －1看成一个整体，设x －1＝y ，则原方程可化为y 2－5y ＋4＝0，解得y 1＝1，y 2＝4.当y ＝1，即x －1＝1时，解得x ＝2；当y ＝4，即x －1＝4时，解得x ＝5.所以原方程的解为x 1＝2，x 2＝5.利用这种方法求得方程(2x ＋5)2－4(2x ＋5)＋3＝0的解为( )
A ．x 1＝1，x 2＝3
B ．x 1＝－2，x 2＝3
C ．x 1＝－3，x 2＝－1
D ．x 1＝－1，x 2＝－2
16．已知实数a ，b 满足(a 2＋b 2)2－2(a 2＋b 2)＝8，则a 2＋b 2的值为( )
A ．－2
B ．4
C ．4或－2
D ．－4或2
17．若(a ＋b )(a ＋b －2)－8＝0，则a ＋b 的值为( )
A ．－4或2
B ．3或－3
2
C ．－2或4
D ．3或－2
参考答案
1．±2 [分析] 8x 2＝16，x 2＝2，x ＝±2.
2．x 1＝－5，x 2＝－1 [分析] (x ＋3)2＝4，x ＋3＝±2，x ＋3＝－2或x ＋3＝2， ∴x 1＝－5，x 2＝－1.
3．C [分析] ∵2(x ＋3)2＝8，
∴(x ＋3)2＝4，则x ＋3＝2或x ＋3＝－2， 解得x 1＝－1，x 2＝－5. 故选C .
4．解：(1)移项，得3x 2＝6，x 2＝2， 即x 1＝2，x 2＝－ 2.
(2)整理，得(x －1)2＝94.根据平方根的意义，得x －1＝±32，即x 1＝52，x 2＝－12.
5．A
6．D [分析] 先将常数项移到方程的右边，再把方程两边都加上一次项系数一半的平方，即x 2－6x ＝4，x 2－6x ＋9＝4＋9，()x －32
＝4＋9.故选D .
7．A [分析] x 2－8x ＝48， x 2－8x ＋16＝48＋16， (x －4)2＝48＋16，
∴a ＝4，b ＝16，则a ＋b ＝20. 故选A . 8．A
9．解：(1)配方，得x 2－6x ＋9＝7＋9，(x －3)2＝16. 由此可得x －3＝±4，x 1＝7，x 2＝－1. (2)移项，得x 2＋4x ＝5.
配方，得x 2＋4x ＋4＝5＋4，(x ＋2)2＝9. 由此可得x ＋2＝±3，x 1＝－5，x 2＝1. 10．解：(1)a ＝2，b ＝－6，c ＝－1. Δ＝b 2－4ac ＝(－6)2－4×2×(－1)＝44＞0.
方程有两个不相等的实数根x ＝－b±b 2－4ac 2a ＝6±442×2＝6±2114
，
即x 1＝3＋112，x 2＝3－11
2.
(2)a ＝6，b ＝－13，c ＝－5，
Δ＝b 2－4ac ＝(－13)2－4×6×(－5)＝289＞0.
方程有两个不相等的实数根x ＝－b±b 2－4ac 2a ＝13±2892×6＝13±17
12，
即x 1＝52，x 2＝－1
3.
(3)移项，得x 2－7x ＋5＝0. a ＝1，b ＝－7，c ＝5.
Δ＝b 2－4ac ＝(－7)2－4×1×5＝29＞0.
方程有两个不相等的实数根x ＝－b±b 2－4ac 2a ＝7±292×1＝7±29
2，
即x 1＝7＋292，x 2＝7－29
2.
(4)方程化为y 2－3y －1＝0. a ＝1，b ＝－3，c ＝－1.
Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×(－1)＝13＞0.
方程有两个不相等的实数根y ＝－b±b 2－4ac 2a ＝3±132×1＝3±13
2，
即y 1＝
3＋132，y 2＝3－13
2
. 11．C
12．C [分析] 由(x －2)2＝3x －6，得(x －2)2＝3(x －2)，(x －2)2－3(x －2)＝0，(x －2)(x －2－3)＝0，(x －2)(x －5)＝0，
∴x 1＝2，x 2＝5. 故选C .
13．x 1＝－2，x 2＝4 [分析] 移项，得(x ＋2)(x －3)－(x ＋2)＝0.提取公因式，得(x ＋2)(x －4)＝0，即x ＋2＝0或x －4＝0.解得x 1＝－2，x 2＝4.
14．解：(1)x －5＝0或x ＋6＝0， ∴x 1＝5，x 2＝－6.
(2)移项，得2(x －3)－3x(x －3)＝0. 提取公因式，得(x －3)(2－3x)＝0. 于是得x －3＝0或2－3x ＝0，
x 1＝3，x 2＝2
3
.
(3)移项，得3(x －5)2－2(x －5)＝0. 提取公因式，得(x －5)(3x －15－2)＝0， (x －5)(3x －17)＝0.
于是得x －5＝0或3x －17＝0， x 1＝5，x 2＝17
3
.
15．D [分析] (2x ＋5)2－4(2x ＋5)＋3＝0，设2x ＋5＝y ，则原方程可化为y 2－4y ＋3＝0， 解得y 1＝1，y 2＝3.
当y ＝1，即2x ＋5＝1时，解得x ＝－2； 当y ＝3，即2x ＋5＝3时，解得x ＝－1. 所以原方程的解为x 1＝－1，x 2＝－2.故选D .
16．B [分析] 设a 2＋b 2＝x ，则原方程可化为x 2－2x ＝8，x 2－2x －8＝0，解得x 1＝4，x 2＝－2.因为平方和是非负数，所以a 2＋b 2的值为4.
17．C [分析] 设a ＋b ＝t ，则原方程可化为t(t －2)－8＝0，即(t ＋2)(t －4)＝0，解得t ＝－2或t ＝4，即a ＋b 的值为－2或4.故选C .。