4.线化代数方程组的迭代解法 PPT
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4.2.4 线化代数方程组的迭代解法
• 2. 线化的代数方程组，系数矩阵不再是三对角阵， 而是一个大型稀疏矩阵，不能TDMA直接求解。 Gauss消元法，需很大的内存，且计算效率低 • 内迭代：求解线化方程而使用迭代方法的过程
流程图
（非稳态情况）
建立控制方程、确 定初始与边界条件 解域离散、方程离散 初边条件离散 给出节点初始温度值 计算系数，固定， 线化代数方程 求解离散的 线化的代数方程组 以新温度值 替代老温度值
松弛因子
1
1
逐次超松弛(SOR)
逐次欠松弛(SUR)
0 2
一般形式
T
( n 1) P
T
(n) P
T
( n 1) P
T
(n) P
,
0 2
GS或简单迭代结果
• 相邻两轮的迭代值之差恒为正或负时，采 用超松弛能加速收敛。 • 当相邻两轮的迭代值之差的符号无规变化 时，采用亚松弛，可以避免迭代发散
实施
• 引入边界条件后，均可用TDMA直接求解。 整个解域逐线扫描一遍后，完成一轮迭代
2) 块迭代法(隐式迭代)
• ii Gauss-Seidel线迭代:立即启用新值 从左往右逐列扫描：
a T
( n1) S S
Hale Waihona Puke a T( n1) P P
a T
( n1) N N
a T
( n) E E
a T
0 2
4 若方程组的系数数矩阵A不可约，且对角优， 松弛因子 ，则松弛迭代法收敛。 0 1
5 若方程组的系数矩阵A正定，松弛因子 满 足 ，则松弛迭代收敛。
0 2
收敛条件
T
( n 1) i, j
T
(n) i, j max
流程图
（非稳态情况）
建立控制方程、确 定初始与边界条件 解域离散、方程离散 初边条件离散 给出节点初始温度值 计算系数，固定， 线化代数方程 求解离散的 线化的代数方程组 以新温度值 替代老温度值
松弛因子
1
1
逐次超松弛(SOR)
逐次欠松弛(SUR)
0 2
一般形式
T
( n 1) P
T
(n) P
T
( n 1) P
T
(n) P
,
0 2
GS或简单迭代结果
• 相邻两轮的迭代值之差恒为正或负时，采 用超松弛能加速收敛。 • 当相邻两轮的迭代值之差的符号无规变化 时，采用亚松弛，可以避免迭代发散
实施
• 引入边界条件后，均可用TDMA直接求解。 整个解域逐线扫描一遍后，完成一轮迭代
2) 块迭代法(隐式迭代)
• ii Gauss-Seidel线迭代:立即启用新值 从左往右逐列扫描：
a T
( n1) S S
Hale Waihona Puke a T( n1) P P
a T
( n1) N N
a T
( n) E E
a T
0 2
4 若方程组的系数数矩阵A不可约，且对角优， 松弛因子 ，则松弛迭代法收敛。 0 1
5 若方程组的系数矩阵A正定，松弛因子 满 足 ，则松弛迭代收敛。
0 2
收敛条件
T
( n 1) i, j
T
(n) i, j max
chapter03线性代数方程组迭代解法PPT课件
不完全分解
当矩阵无法进行完全分解时，迭代法可以作为 替代方案进行求解。
数值稳定性
对于某些数值不稳定的问题，迭代法可以提供更稳定的近似解。
迭代解法的优缺点分析
优点
适用于大规模问题，计算量相对较小； 适用于不完全分解和数值不稳定问题； 能够提供近似解，满足工程精度要求。
缺点
需要设定初始解向量或近似解向量； 迭代过程可能不收敛或收敛速度慢； 对于某些问题可能无法得到准确解。
SOR方法案例分析
01
SOR（Successive Over-Relaxation）方法是一种改进
的迭代方法，通过引入松弛因子来加速收敛。
02
SOR方法适用于系数矩阵为稀疏、对称正定的情况，
广泛应用于实际工程问题。
03
SOR方法的收敛速度与松弛因子的选择有关，选择合
适的松弛因子可以加快收敛速度。
Jacobi方法案例分析
松弛方法
松弛方法是另一种改进的迭代 算法，用于求解线性代数方程
组。
该方法通过引入松弛因子来调 整迭代过程中的系数矩阵，以
提高收敛速度和稳定性。
松弛方法适用于系数矩阵为非 对角占优的情况，尤其在处理 稀疏矩阵时具有优势。
总结词：松弛方法是一种适用 于非对角占优矩阵的迭代算法 ，通过调整松弛因子提高收敛 速度和稳定性。
收敛速度与系数矩阵
收敛速度与系数矩阵的特征值和范数有关，不同的迭 代法适用于不同的系数矩阵情况。
加速迭代法
为了提高迭代法的收敛速度，可以采用一些加速技巧， 如预处理技术、共轭梯度法等。
03 几种常见的迭代解法
Gauss-Seidel迭代法
Gauss-Seidel方法是一种迭 代算法，用于求解线性代数
线性方程组的迭代解法50页PPT
有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
线性方程组的迭代解法
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
线性方程组的迭代解法
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
线性代数方程组迭代法PPT课件
超松弛法
收敛速度快
总结词
总结词
计算量较大
ABCD
详细描述
超松弛法具有较快的收敛速度，尤其对于大型线 性方程组，能够显著减少迭代次数。
详细描述
由于超松弛法的计算量较大，因此在实际应用中 可能需要考虑计算效率的问题。
CHAPTER 04
迭代法的实现步骤
初始化
设置初值
为方程组的解向量设定一个初始值。
迭代法的应用场景
当方程组的系数矩阵难以直接求解时 ，迭代法可以作为一种有效的替代方 案。
在科学计算、工程技术和经济领域中 ，许多问题可以转化为线性代数方程 组求解，而迭代法在这些领域有广泛 的应用。
迭代法的优缺点
优点
迭代法通常比直接法更加灵活和通用，对于大规模和高维度的线性代数方程组， 迭代法更加高效。
缺点
迭代法需要选择合适的迭代公式和参数，并且需要满足收敛条件，否则可能无 法得到正确的解。此外，迭代法的计算过程比较复杂，需要较高的计算成本。
CHAPTER 02
迭代法的基本原理
迭代法的数学模型
迭代法是一种求解线性代数方程组的数值方法，通过不断迭代逼近方程的 解。
迭代法的数学模型通常表示为：$x_{n+1} = T(x_n)$，其中$x_n$表示第 $n$次迭代时的近似解，$T(x)$表示迭代函数。
03
非线性方程组的迭代法在求解优化问题、控制问题 等领域有广泛应用。
在优化问题中的应用
01
迭代法在优化问题中也有广泛应用，如求解无约束优化问题、 约束优化问题和多目标优化问题等。
02
常见的优化问题迭代法包括梯度下降法、牛顿法和共轭梯度法
等。
这些方法通过不断迭代来逼近最优解，广泛应用于机器学习、
迭代解法(全章)讲解ppt课件
10/18/2023
第六章 线性方程组的迭代解法
21
§3 常用的三种迭代解法
一、 Jacobi迭代法
对于线性方程组 Ax=b
(1)
设 det(A)≠ 0 ，aii ≠ 0,i=0,1,2,…,n ，按照如下方式对A
进行分裂：
A=L+D+U
(2)
10/18/2023
第六章 线性方程组的迭代解法
22
则由 Ax=b 得到 (L+D+U) x=b >D x=-(L+U)x+b
或 向量序列 {x(k)} 收敛于向量 x* ，当且仅当它的每一 个分量序列收敛于x* 的对应分量，即
10/18/2023
第六章 线性方程组的迭代解法
7
二、矩阵的范数
矩阵范数是反映矩阵“大小”的一种度量，具体定义如下。 定义6.3 设||·||是以n阶矩阵为变量的实值函数，且满足 条件：
(1) || A ||≥0，且|| A ||＝0时，当且仅当A＝0
矩阵1-范数：
列和
矩阵2-范数：
矩阵∞-范数：
行和
以上三种范数都满足矩阵范数的条件，通常将这三种 矩阵范数统一表示为||A ||p，P＝1 ，2 ，∞。
10/18/2023
第六章 线性方程组的迭代解法
9
例6.2 设矩阵
求矩阵A的范数||A ||p，P＝1 ，2 ，∞ 。 解 根据定义
由于 则它的特征方程为:
25
对于 n 元线性方程组 其一般式为：
从中解出：
得Jacobi迭代格式
通过|| x(k+1)-x(k)||<ε 控制迭代次数。
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线性代数及其应用PPT课件
金融数据的线性模型分析
线性回归模型
利用线性代数中的矩阵运算和线性方 程组求解方法，对金融数据进行回归 分析，预测未来趋势。
主成分分析
通过线性代数中的特征值和特征向量 计算，将金融数据降维，提取主要影 响因素，便于分析和决策。
图像处理中的矩阵运算
图像变换
利用矩阵运算对图像进行缩放、旋转 、平移等几何变换，实现图像的精确 控制。
征值和Байду номын сангаас征向量。
特征值计算 的算法
特征值计算是矩阵分析中的重要内容，可以用于解决 许多实际问题，如振动分析、控制论、经济学等。
数据降维与可视化
数据降维的必要性
数据降维的方法
可视化的意义
可视化的工具和技术
在处理高维数据时，数据的维 度可能非常高，导致数据难以 分析和处理。数据降维可以将 高维数据降为低维数据，便于 分析和可视化。
矩阵分解与特征值计算
矩阵分解是将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易 于处理的矩阵，以便进行计算和分析。
输入 矩阵标分题解的
方法
常见的矩阵分解方法包括LU分解、QR分解、SVD分 解等。这些方法可以将一个矩阵分解为一个下三角矩 阵、一个上三角矩阵和一个正交矩阵等。
矩阵分解的 定义
特征值计算 的应用
特征值计算的常用算法有QR算法、Jacobi方法、 Power方法等。这些算法可以用于计算给定矩阵的特
数值计算稳定性
数值计算稳定性
在进行数值计算时，由于计算机的舍入误差，可能会导致 计算结果的误差。线性代数中的一些算法和技巧可以帮助 提高数值计算的稳定性，减少误差。
数值稳定性的评估
评估数值稳定性的方法包括观察计算结果的收敛性和稳定 性，以及比较不同算法的误差和稳定性。
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• ii Gauss-Seidel线迭代:立即启用新值 从左往右逐列扫描：
a S T S ( n 1 ) a P T P ( n 1 ) a N T N ( n 1 ) a E T E ( n ) a W T W ( n 1 ) b
优点：构造简单 缺点：收敛很慢
1) 点迭代法 (显式迭代)
• ii Gause-Seidel(G-S)迭代: 立即启用新值
T P ( n 1 ) a E T E ( n ) a W T W ( n 1 ) a N T N ( n ) a S T S ( n 1 ) b a P
收敛速度明显加快。收敛速度还与扫描方向 有关。越是能把边界条件的影响尽快引入 迭代的方向，越有利于加快收敛。
• 差分离散方程为时间层演进，上标为n, n+1
• 迭代格式代表迭代层演进，上标(k),(k+1)
1) 点迭代法 (显式迭代)
• i 简单迭代：又称Jacobi迭代
T P ( n 1 ) a E T E ( n ) a W T W ( n ) a N T N ( n ) a S T S ( n ) b a P
1) 点迭代法 (显式迭代)
iii 逐次松弛迭代(SOR/SUR): 将简单迭代或者G-S迭代之值，与上一轮迭代
值加权平均 基于简单迭代：
T P ( n 1 ) ( 1 ) T P ( n ) a E T E ( n ) a W T W ( n ) a N T N ( n ) a S T S ( n ) b a P
以直角坐标下二维非稳态导热 离散方程为例(全隐式)
a P T P a E T E a W T W a N T N a S T S b
特别注意
• 虽然差分离散格式方程为全隐式，但其迭 代求解方法可以是显式迭代(点迭代)，隐式 迭代(块迭代/线迭代)，或者交替方向隐式迭 代(交替方向线迭代)。
T (n )
试探解
T A bபைடு நூலகம்n
*
1
迭代收敛过程
真实解
构造向量的方法
T(n) F(A,b,T(n1))
• 也称为“迭代方式” • 从 n-1 迭代层，经过一次迭代(与A,b相关)，
演进到 n 迭代层
收敛条件
(n1)
(n)
T T i, j
i, j
(n)
Ti, j
max
• 或者：
(n1)
建立控制方程、确 定初始与边界条件
解域离散、方程离散 初边条件离散
给出节点初始温度值
计算系数，固定， 线化代数方程
求解离散的 线化的代数方程组
外迭代
以新温度值 替代老温度值
解收敛否？ No Yes
进入下一时层求解
1．迭代求解的基本思想
• 方程组的矩阵形式：
AT b
• 构造向量(即求解函数T的序列)
• i 简单线迭代 逐行扫描：
a W T W ( n 1 ) a P T P ( n 1 ) a E T E ( n 1 ) a N T N ( n ) a S T S ( n ) b
实施
• 引入边界条件后，均可用TDMA直接求解。 整个解域逐线扫描一遍后，完成一轮迭代
2) 块迭代法(隐式迭代)
• 内迭代：求解线化方程而使用迭代方法的过程
流程图 （非稳态情况）
建立控制方程、确 定初始与边界条件
解域离散、方程离散 初边条件离散
给出节点初始温度值
计算系数，固定， 线化代数方程
求解离散的 线化的代数方程组
外迭代
以新温度值 替代老温度值
解收敛否？ No Yes
进入下一时层求解
流程图
线化方程的 迭代解法 (内迭代)
• 将解域分成为由一条网格线或数条网格线组 成的若干个块，每个块内节点值以隐式方法 相互关联，用 TDMA 得到其解，格块之间则 按迭代方式推进
按列扫描
按行扫描
特别注意
• 虽然差分离散格式方程为全隐式，但其迭 代求解方法可以是显式迭代，隐式迭代， 或者交替方向隐式迭代。
• 差分离散方程为时间层演进，上标为n, n+1
(n)
T T i, j
i, j
(n)
1
T i, j
i, j
103 ~106 1 N
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
“迭代”是求解线化了的代数 方程组的方法
在算法地位上与TDMA方法类似
迭代推进一层与时间演进一步 的区别
• 迭代是求解方程的方法，迭代推进一层并 非时间演进一步
02
一般形式
T P ( n 1 ) T P ( n )T ( P n 1 ) T P ( n ), 0 2
GS或简单迭代结果
• 相邻两轮的迭代值之差恒为正或负时，采 用超松弛能加速收敛。
• 当相邻两轮的迭代值之差的符号无规变化 时，采用亚松弛，可以避免迭代发散
2) 块迭代法(隐式迭代)
• 迭代收敛之后才表示该方程组已经求解， 此时表示该次的内迭代求解过程结束
• 只有在方程为线性的情况下，迭代收敛才 意味着时间演进了一步
2．常用的迭代求解方法
• 三类迭代方法：点迭代(显式迭代)、块迭代 (隐式迭代)和交替方向线迭代
• 三种实施方式：简单(Jacob)迭代、GaussSeidel迭代和逐次松弛迭代
4.线化代数方程组的迭代解法
多维情况求解特点和难点
• 1. 系数可能是求解函数的函数，而使方程具有非 线性性质，需要线化迭代求解
• 外迭代：反复更新非线性方程的系数而使方程线 化求解的过程
• 2. 线化的代数方程组，系数矩阵不再是三对角阵， 而是一个大型稀疏矩阵，不能TDMA直接求解。 Gauss消元法，需很大的内存，且计算效率低
或基于G-S：(从左往右，从下往上)
T P ( n 1 ) ( 1 ) T P ( n ) a E T E ( n ) a W T W ( n 1 ) a N T N ( n ) a S T S ( n 1 ) b a P
松弛因子
1 逐次超松弛(SOR)
1 逐次欠松弛(SUR)
• 迭代格式代表迭代层演进，上标(n),(n+1)
2) 块迭代法(隐式迭代)
• i 简单线迭代 逐列扫描：
a S T S ( n 1 ) a P T P ( n 1 ) a N T N ( n 1 ) a E T E ( n ) a W T W ( n ) b
2) 块迭代法(隐式迭代)
a S T S ( n 1 ) a P T P ( n 1 ) a N T N ( n 1 ) a E T E ( n ) a W T W ( n 1 ) b
优点：构造简单 缺点：收敛很慢
1) 点迭代法 (显式迭代)
• ii Gause-Seidel(G-S)迭代: 立即启用新值
T P ( n 1 ) a E T E ( n ) a W T W ( n 1 ) a N T N ( n ) a S T S ( n 1 ) b a P
收敛速度明显加快。收敛速度还与扫描方向 有关。越是能把边界条件的影响尽快引入 迭代的方向，越有利于加快收敛。
• 差分离散方程为时间层演进，上标为n, n+1
• 迭代格式代表迭代层演进，上标(k),(k+1)
1) 点迭代法 (显式迭代)
• i 简单迭代：又称Jacobi迭代
T P ( n 1 ) a E T E ( n ) a W T W ( n ) a N T N ( n ) a S T S ( n ) b a P
1) 点迭代法 (显式迭代)
iii 逐次松弛迭代(SOR/SUR): 将简单迭代或者G-S迭代之值，与上一轮迭代
值加权平均 基于简单迭代：
T P ( n 1 ) ( 1 ) T P ( n ) a E T E ( n ) a W T W ( n ) a N T N ( n ) a S T S ( n ) b a P
以直角坐标下二维非稳态导热 离散方程为例(全隐式)
a P T P a E T E a W T W a N T N a S T S b
特别注意
• 虽然差分离散格式方程为全隐式，但其迭 代求解方法可以是显式迭代(点迭代)，隐式 迭代(块迭代/线迭代)，或者交替方向隐式迭 代(交替方向线迭代)。
T (n )
试探解
T A bபைடு நூலகம்n
*
1
迭代收敛过程
真实解
构造向量的方法
T(n) F(A,b,T(n1))
• 也称为“迭代方式” • 从 n-1 迭代层，经过一次迭代(与A,b相关)，
演进到 n 迭代层
收敛条件
(n1)
(n)
T T i, j
i, j
(n)
Ti, j
max
• 或者：
(n1)
建立控制方程、确 定初始与边界条件
解域离散、方程离散 初边条件离散
给出节点初始温度值
计算系数，固定， 线化代数方程
求解离散的 线化的代数方程组
外迭代
以新温度值 替代老温度值
解收敛否？ No Yes
进入下一时层求解
1．迭代求解的基本思想
• 方程组的矩阵形式：
AT b
• 构造向量(即求解函数T的序列)
• i 简单线迭代 逐行扫描：
a W T W ( n 1 ) a P T P ( n 1 ) a E T E ( n 1 ) a N T N ( n ) a S T S ( n ) b
实施
• 引入边界条件后，均可用TDMA直接求解。 整个解域逐线扫描一遍后，完成一轮迭代
2) 块迭代法(隐式迭代)
• 内迭代：求解线化方程而使用迭代方法的过程
流程图 （非稳态情况）
建立控制方程、确 定初始与边界条件
解域离散、方程离散 初边条件离散
给出节点初始温度值
计算系数，固定， 线化代数方程
求解离散的 线化的代数方程组
外迭代
以新温度值 替代老温度值
解收敛否？ No Yes
进入下一时层求解
流程图
线化方程的 迭代解法 (内迭代)
• 将解域分成为由一条网格线或数条网格线组 成的若干个块，每个块内节点值以隐式方法 相互关联，用 TDMA 得到其解，格块之间则 按迭代方式推进
按列扫描
按行扫描
特别注意
• 虽然差分离散格式方程为全隐式，但其迭 代求解方法可以是显式迭代，隐式迭代， 或者交替方向隐式迭代。
• 差分离散方程为时间层演进，上标为n, n+1
(n)
T T i, j
i, j
(n)
1
T i, j
i, j
103 ~106 1 N
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
“迭代”是求解线化了的代数 方程组的方法
在算法地位上与TDMA方法类似
迭代推进一层与时间演进一步 的区别
• 迭代是求解方程的方法，迭代推进一层并 非时间演进一步
02
一般形式
T P ( n 1 ) T P ( n )T ( P n 1 ) T P ( n ), 0 2
GS或简单迭代结果
• 相邻两轮的迭代值之差恒为正或负时，采 用超松弛能加速收敛。
• 当相邻两轮的迭代值之差的符号无规变化 时，采用亚松弛，可以避免迭代发散
2) 块迭代法(隐式迭代)
• 迭代收敛之后才表示该方程组已经求解， 此时表示该次的内迭代求解过程结束
• 只有在方程为线性的情况下，迭代收敛才 意味着时间演进了一步
2．常用的迭代求解方法
• 三类迭代方法：点迭代(显式迭代)、块迭代 (隐式迭代)和交替方向线迭代
• 三种实施方式：简单(Jacob)迭代、GaussSeidel迭代和逐次松弛迭代
4.线化代数方程组的迭代解法
多维情况求解特点和难点
• 1. 系数可能是求解函数的函数，而使方程具有非 线性性质，需要线化迭代求解
• 外迭代：反复更新非线性方程的系数而使方程线 化求解的过程
• 2. 线化的代数方程组，系数矩阵不再是三对角阵， 而是一个大型稀疏矩阵，不能TDMA直接求解。 Gauss消元法，需很大的内存，且计算效率低
或基于G-S：(从左往右，从下往上)
T P ( n 1 ) ( 1 ) T P ( n ) a E T E ( n ) a W T W ( n 1 ) a N T N ( n ) a S T S ( n 1 ) b a P
松弛因子
1 逐次超松弛(SOR)
1 逐次欠松弛(SUR)
• 迭代格式代表迭代层演进，上标(n),(n+1)
2) 块迭代法(隐式迭代)
• i 简单线迭代 逐列扫描：
a S T S ( n 1 ) a P T P ( n 1 ) a N T N ( n 1 ) a E T E ( n ) a W T W ( n ) b
2) 块迭代法(隐式迭代)