胡适耕-实变函数答案-第一章(B)

第一章习题 B

36．若A ΔB =A ΔC ，则B =C ．

证一：（反证）不妨设，∃x 0∈B ,且x 0∉C

1) x 0∈A ,则x 0∉A ΔB ，x 0∈A ΔC 这与A ΔB =A ΔC 矛盾 2) x 0∉A ，则x 0∈A ΔB ，x 0∉A ΔC 这与A ΔB =A ΔC 矛盾 所以假设不成立，即B =C ．

证二：()B A A ∆∆()[]()[]A B A B A A \\∆∆=Y =()()B A B B A =\Y I 同理()C C A A =∆∆，现在已知A B A C ∆=∆故上两式左边相等，从而C B =． 37．集列{A n }收敛⇔{A n }的任何子列收敛．

证 由习题8集列{}n A 收敛⇔特征函数列{}

n A χ收敛，由数分知识得数列

{}n

A χ收敛⇔{}n

A χ的任一子列{}j

n A χ

均收敛，又由习题8可得{}j

n A 收敛．

38．设)2,1}(:/{Λ=∈=n Z m n m A n ,则lim n n

A =Z ，lim n n

A =Q ．

证 显然有lim lim n n n

n

Z A A Q ⊂⊂⊂

1） 假设∃x \,Q Z ∈使x ∈lim n n

A

∴∃N >0,当n>N 时，有n x A ∈，特别地， n x A ∈，1n x A +∈ ∴∃m 1,m 2∈Z ,使x =1m n ,x =21m n + ∴1m n =21

m

n + 从而1

21,m m m n

=+

这与m 2∈Z 矛盾，所以假设不成立，即：lim n n A =Z ．

2）∀x ∈Q,则∃m,n ∈Z,使得x =

m

n

∴x=m n =2m n

n

⋅=…=1k k m n n +⋅=…

∴x ∈k n A ,(k =1,2…),从而x ∈lim n n

A ∴lim n n

A =Q ．

39．设0

a b =(0,1]．

证 (0,1]x ∀∈

1) ∵ 0当n>N 时，有n a N 时，x ∈[n a ,n b ] ∴(0,1]⊂lim[,]n n n

a b ．

2) 假设∃y >1,使y ∈lim[,]n n n

a b ，则y 属于集列{[,]n n a b }中的无限多个集

合．又因为y >1, 1n b ↓ ，故0,N ∃>当n>N 时，有n b N 时，y ∉[,]n n a b 从而y 只会属于集列{[,]n n a b }中的有限多个集合． 这与y 会属于集列{[,]n n a b }中的无限多个集合矛盾． 所以假设不成立，即∀y ∈(1,)∞,有y ∉lim[,]n n n

a b ．

显然，∀y ∈(0]-∞，有y ∉lim[,]n n n

a b ,故]1,0(],[lim ⊂n n n

b a .

综上所述，lim[,]n n n

a b =(0,1]．

40．设n f ：R X →（n →∞）, n f A χ→(n →∞),求lim (1/2)n n

X f ≥．

解 1）∀0x A ∈，n f A χ→( n →∞)，故0()n f x 0()1A x χ→=( n →∞)． ∴0,N ∃>当n>N 时，有0()n f x 1/2>．

∴当n>N 时，0(1/2)n x X f ∈≥，从而0x ∈lim (1/2)n n

X f ≥．

2）∀0c

x A ∈，n f A χ→( n →∞)，故0()n f x 0()0A x χ→=( n →∞)．

∴0,N ∃>当n>N 时，有0()n f x 3/1>．

∴0lim (1/2)n n

x X f ∉≥ ∴ lim (1/2)n n

X f ≥=A

41．设{n A }为升列，A ⊂U n A ，对任何无限集B ⊂A ,存在n 使B I n A 为无限集，则A 含于某个n A ．

证 假设A 不含于任何n A 中,又{n A }为升列，

则对1=n ，11\A A x ∈∃，由于n A A Y ⊂，故N n ∈∃1，使11n A x ∈，即

11\1A A x n ∈；对2=n ，22\A A x ∈∃，又n A A Y ⊂故N n ∈∃2使

Λ⊂⊂∈+1222n n A A x ．于是可取12n n >使Λ22\2A A x n ∈．因此对i n =，

1->∃i i n n ，i n i A A x i \∈．

令B ={x 1, x 2,… x i …}，则B ⊂A 且B 为无限集，

但∀i ,B I A ni ={x 1, x 2,… x i }为有限集，这与已知条件矛盾． ∴假设不成立，即A 含于某个n A 中．

42.设f :2x →2x ，当A ⊂B ⊂X 时f (A ) ⊂f (B )，则存在A ⊂X 使

f (A )=A ．

证 因为()X X f ⊂，故子集族()(){

}

B B f B X P X

⊂∈=∆

:2

0非空，令

()X B A X

P B ⊂=

∈∆

I 0，下证：

ο1()A A f ⊂，即要证()X P A 0∈．首先由定义B A ⊂对每个()X P B 0∈成

立，那么由已知就有()()B f A f ⊂对一切()X P B 0∈成立，从而

()()()()I I X

P B X

P B A B B f A f 00∈∈=⊂⊂

．

ο

2再证()A f A ⊂．为此，由A 的定义，只要能证()()X P A A f 00∈=∆

就可

以了．但从ο

1已证的()A A f A ⊂=0，又由已知f 的单调性应有

()()[]()00A A f A f f A f =⊂=，故确定()X P A 00∈．

43.设X 是无限集，f :X →X ，则有X 的非空真子集A ，使f (A )⊂A ．

证 ∀x 1∈X ，若x 1≠x 2，令x 2=f ( x 1)

若x 2≠x 3 ，令3x =f (2x )… 若1n n x x -≠，令1()n n x f x -=…

1）若存在1i i x x +=，则令A ={x 1,x 2,…x i }，显然f (A )⊂A ． 2）若不存在1i i x x +=,则令A ={x 1,x 2,…x i ,…}，显然f (A )⊂A ．

44.设|A |>1,则有双射f :A →A ,使得∀x ∈A : f (x )≠x ；当|A |=偶数或|A |ω≥时可要求f (f (x ))=x (∀x ∈A )．

证 （1）|A |=2n +1, n ∈N ,则A ={x 1,x 2,…x 2n+1 }，作映射: