2014年天津市高考数学试卷(理科)
2014年天津市高考数学试卷(理科)(附参考答案+详细解析Word打印版)
2014年天津市普通高等学校招生统一考试数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分）1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．15 B．105 C．245 D．9454．（5分）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=16．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC 于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④A F•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④7．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件8．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC 上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．11．（5分）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．13．（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为．14．（5分）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．（13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．18．（13分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．19．（14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．20．（14分）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．2014年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分）1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i，即求出值．【解答】解：复数==，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=1+2×1=3，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．15 B．105 C．245 D．945【分析】算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，∵跳出循环的i值为4，∴输出S=1×3×5×7=105．故选：B．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．4．（5分）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【分析】令t=x2﹣4＞0，求得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），且函数f（x）=g（t）=log t．根据复合函数的单调性，本题即求函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．【解答】解：令t=x2﹣4＞0，可得x＞2，或x＜﹣2，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），当x∈（﹣∞，﹣2）时，t随x的增大而减小，y=log t随t的减小而增大，所以y=log（x2﹣4）随x的增大而增大，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增．故选：D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．6．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC 于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④【分析】本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项．【解答】解：∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，∴∠DBC=∠DAC．∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，∴∠FBD=∠BAF．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAF=∠DAC．∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确．又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．由，FB2=FD•FA．即结论②成立．由，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立．正确结论有①②④．故选：D．【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题．7．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若a＞b，①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞b•b，此时成立．②0＞a＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a•a＞﹣b•b，即a2＜b2，此时成立．③a≥0＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞﹣b•b，即a2＞﹣b2，此时成立，即充分性成立．若a|a|＞b|b|，①当a＞0，b＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0，因为a+b ＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b．②当a＞0，b＜0时，a＞b．③当a＜0，b＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0，因为a+b ＜0，所以a﹣b＞0，即a＞b．即必要性成立，综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键．8．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC 上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由•=1，求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①；再由•=﹣，求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．结合①②求得λ+μ的值．【解答】解：由题意可得若•=（+）•（+）=+++=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．•=﹣•（﹣）==（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．由①②求得λ+μ=，故选：C．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60名学生．【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60，故答案为：60．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π．故答案为：．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．11．（5分）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为﹣．【分析】由条件求得，S n=，再根据S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，由此求得a1的值．【解答】解：由题意可得，a n=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，S n==，再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，即=a1•（4a1﹣6），解得a1=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为﹣．【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosA=的值．【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，∴2b=3c ②，∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得cosA===﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．13．（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为3．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出B的坐标的值，代入x2+（y﹣2）2=4，可得a的值．【解答】解：直线ρsinθ=a即y=a，（a＞0），曲线ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，即x2+（y﹣2）2=4，表示以C（0，2）为圆心，以2为半径的圆，∵△AOB是等边三角形，∴B（a，a），代入x2+（y﹣2）2=4，可得（a）2+（a﹣2）2=4，∵a＞0，∴a=3．故答案为：3．【点评】本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出B的坐标是解题的关键，属于基础题．14．（5分）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为（0，1）∪（9，+∞）．【分析】由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函数y=f（x），y=a|x ﹣1|的图象利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函数y=f（x），y=g（x）=a|x﹣1|的图象，当a≤0，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件，则a＞0，此时g（x）=a|x﹣1|=，当﹣3＜x＜0时，f（x）=﹣x2﹣3x，g（x）=﹣a（x﹣1），当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时﹣x2﹣3x=﹣a（x﹣1），即x2+（3﹣a）x+a=0，则由△=（3﹣a）2﹣4a=0，即a2﹣10a+9=0，解得a=1或a=9，当a=9时，g（x）=﹣9（x﹣1），g（0）=9，此时不成立，∴此时a=1，要使两个函数有四个零点，则此时0＜a＜1，若a＞1，此时g（x）=﹣a（x﹣1）与f（x），有两个交点，此时只需要当x＞1时，f（x）=g（x）有两个不同的零点即可，即x2+3x=a（x﹣1），整理得x2+（3﹣a）x+a=0，则由△=（3﹣a）2﹣4a＞0，即a2﹣10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，综上a的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），方法2：由f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，若x=1，则4=0不成立，故x≠1，则方程等价为a===||=|x﹣1++5|，设g（x）=x﹣1++5，当x＞1时，g（x）=x﹣1++5≥，当且仅当x﹣1=，即x=3时取等号，当x＜1时，g（x）=x﹣1++5=5﹣4=1，当且仅当﹣（x ﹣1）=﹣，即x=﹣1时取等号，则|g（x）|的图象如图：若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则满足a＞9或0＜a＜1，故答案为：（0，1）∪（9，+∞）【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期；（Ⅱ）由（Ⅰ）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=cosx•（sinx cosx）====所以，f（x）的最小正周期=π．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，由x∈[﹣，]得，2x∈[﹣，]，则∈[，]，∴当=﹣时，即=﹣1时，函数f（x）取到最小值是：，当=时，即=时，f（x）取到最大值是：，所以，所求的最大值为，最小值为．【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题．16．（13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数，代入古典概型概率公式求出值；（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）列出随机变量X的分布列求出期望值．【解答】（Ⅰ）解：设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A，则，所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为．（Ⅱ）解：随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）所以随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，互斥事件，离散型随机变量的分布列与数学期望，考查应用概率解决实际问题的能力．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【分析】（I）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC 的方向向量，根据•=0，可得BE⊥DC；（II）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）根据BF⊥AC，求出向量的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【解答】证明：（I）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）∴=（0，1，1），=（2，0，0）∵•=0，∴BE⊥DC；（Ⅱ）∵=（﹣1，2，0），=（1，0，﹣2），设平面PBD的法向量=（x，y，z），由，得，令y=1，则=（2，1，1），则直线BE与平面PBD所成角θ满足：sinθ===，故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．（Ⅲ）∵=（1，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（2，2，0），由F点在棱PC上，设=λ=（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），故=+=（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），由BF⊥AC，得•=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0，解得λ=，即=（﹣，，），设平面FBA的法向量为=（a，b，c），由，得令c=1，则=（0，﹣3，1），取平面ABP的法向量=（0，1，0），则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足：cosα===，故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为：【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．18．（13分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．【分析】（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|=|F1F2|．可得，再利用b2=a2﹣c2，e=即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．可设椭圆方程为，设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得，．利用圆的性质可得，于是=0，得到x0+y0+c=0，由于点P在椭圆上，可得．联立可得=0，解得P．设圆心为T（x1，y1），利用中点坐标公式可得T，利用两点间的距离公式可得圆的半径r．设直线l的方程为：y=kx．利用直线与圆相切的性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|=|F1F2|，可得，化为a2+b2=3c2．又b2=a2﹣c2，∴a2=2c2．∴e=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．因此椭圆方程为．设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得=（x0+c，y0），=（c，c）．∵，∴=c（x0+c）+cy0=0，∴x0+y0+c=0，∵点P在椭圆上，∴．联立，化为=0，∵x0≠0，∴，代入x0+y0+c=0，可得．∴P．设圆心为T（x1，y1），则=﹣，=．∴T，∴圆的半径r==．设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx．∵直线l与圆相切，∴，整理得k2﹣8k+1=0，解得．∴直线l的斜率为．【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．19．（14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．【分析】（Ⅰ）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|x=x1+x2•2+x3•22，x i∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A．（Ⅱ）由于a i，b i∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，可得a n﹣b n≤﹣1．由题意可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…+（a n﹣1﹣b n﹣1）q n﹣2+（a n﹣b n）q n﹣1≤（q﹣1）+（q﹣1）q+…+（q﹣1）q n﹣2﹣q n﹣1再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】（Ⅰ）解：当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|x=x1+x2•2+x3•22，x i∈M，i=1，2，3}．可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．（Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，∴s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…+（a n﹣1﹣b n﹣1）q n﹣2+（a n﹣b n）q n﹣1≤（q﹣1）+（q﹣1）q+…+（q﹣1）q n﹣2﹣q n﹣1=（q﹣1）（1+q+…+q n﹣2）﹣q n﹣1=﹣q n﹣1=﹣1＜0．∴s＜t．【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．20．（14分）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，讨论f′（x）的正负以及对应f（x）的单调性，得出函数y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；（Ⅱ）由f（x）=0，得a=，设g（x）=，判定g（x）的单调性即得证；（Ⅲ）由于x1=a，x2=a，则x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，令=t，整理得到x1+x2=，令h（x）=，x∈（1，+∞），得到h（x）在（1，+∞）上是增函数，故得到x1+x2随着t的减小而增大．再由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，即得证．【解答】解：（Ⅰ）∵f （x ）=x ﹣ae x ，∴f′（x ）=1﹣ae x ；下面分两种情况讨论：①a ≤0时，f′（x ）＞0在R 上恒成立，∴f （x ）在R 上是增函数，不合题意； ②a ＞0时，由f′（x ）=0，得x=﹣lna ，当x 变化时，f′（x ）、f （x ）的变化情况如下表：∴f （x ）的单调增区间是（﹣∞，﹣lna ），减区间是（﹣lna ，+∞）；∴函数y=f （x ）有两个零点等价于如下条件同时成立：①f （﹣lna ）＞0；②存在s 1∈（﹣∞，﹣lna ），满足f （s 1）＜0；③存在s 2∈（﹣lna ，+∞），满足f （s 2）＜0；由f （﹣lna ）＞0，即﹣lna ﹣1＞0，解得0＜a ＜e ﹣1；取s 1=0，满足s 1∈（﹣∞，﹣lna ），且f （s 1）=﹣a ＜0，取s 2=+ln ，满足s 2∈（﹣lna ，+∞），且f （s 2）=（﹣）+（ln ﹣）＜0；∴a 的取值范围是（0，e ﹣1）．（Ⅱ）证明：由f （x ）=x ﹣ae x =0，得a=， 设g （x ）=，由g′（x ）=，得g （x ）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，并且当x ∈（﹣∞，0）时，g （x ）≤0，当x ∈（0，+∞）时，g （x ）≥0，x1、x2满足a=g（x1），a=g（x2），a∈（0，e﹣1）及g（x）的单调性，可得x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；对于任意的a1、a2∈（0，e﹣1），设a1＞a2，g（X1）=g（X2）=a1，其中0＜X1＜1＜X2；g（Y1）=g（Y2）=a2，其中0＜Y1＜1＜Y2；∵g（x）在（0，1）上是增函数，∴由a1＞a2，得g（X i）＞g（Y i），可得X1＞Y1；类似可得X2＜Y2；又由X、Y＞0，得＜＜；∴随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明：∵x1=a，x2=a，∴lnx1=lna+x1，lnx2=lna+x2；∴x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，设=t，则t＞1，∴，解得x1=，x2=，∴x1+x2=…①；令h（x）=，x∈（1，+∞），则h′（x）=；令u（x）=﹣2lnx+x﹣，得u′（x）=，当x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0，∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，∴对任意的x∈（1，+∞），u（x）＞u（1）=0，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是增函数；∴由①得x1+x2随着t的增大而增大．由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，∴x1+x2随着a的减小而增大．【点评】本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力，是综合型题目．。
2014年高考理科数学天津卷-答案
34i，即求出值【解析】作出可行域，如图：【解析】由弦切角定理得FBD EACBAE ，又AF BD AB BF =，排除A 、C. DBC ，排除B 、故选D.本题利用角与弧的关系，得到角相等，，所以||||cos1202AB AD AB AD =︒=-，所以AE AB AD λ=+，AF AB AD μ=+.因为1AE AF =，所以()()1AB AD AB AD λμ++=，即2λ2-②，①+②得5λμ+=，故选C. 【提示】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义求得2120ππ4π2233+=m 【考点】空间立体图形三视图、体积.结合图象可知01a <<或9a >.][),4∞+，所以][)9,∞+.结合图象可得01a <<或9a >.1sin 2x x ⎛+ ⎝3cos 2x x -43π3x 的范围，再利用正弦函数的性质求出再已【考点】三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法1203373734960C C C C +=. 3463k k C C -(k =3463k kC C -(k =(0,0,2)P.由E为棱PC的中点，得(1,1,1)E.证明：向量(0,1,1)BE=，(2,0,0)DC=，故0BE DC=.所以，）向量(1,2,0)BD=-，(1,0,PB=设(,,)n x y z=0,0,n BDn PB⎧=⎪⎨=⎪⎩即-⎧，可得(2,1,1)n=为平面的一个法向量,||||6n BEn BEn BE==⨯与平面PBD3）向量(1,2,0)BC=，(2,CP=-，(2,2,0)AC=，(1,0,0)AB=由点F在棱PC上，设CF CPλ=，0≤故()1,2BF BC CF BC CPλλλ=+=+=-.，得0BF AC=，因此，2(1即12BF⎛=-设(1,n x y=为平面FAB的法向量，则110,0,n ABn BF⎧=⎪⎨=⎪⎩即，可得1(0,n=-FAB的一个法向量的法向量1(0,1,0)n=121212,||||10n nn nn n-==31010.【提示】（1）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE ，DC 的方向向量，根据0BE DC =，可得BE DC ⊥；（2）求出平面PBD 的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值； （3）根据BFAC ，求出向量BF 的坐标，进而求出平面F AB 和平面ABP 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F ABP 的余弦值2，有10(F P x =+，1(,)F B c c =由已知，有110F P F B =，即1.②由①和②可得234x cx +可得1F P ，1F B .利用圆的性质可得11F B F P ⊥，于是110F B F P =，得到040cx =，解得1n n a q -++1n n b q -++1,2,,n 及n a (1n a -++-()1q ++-q。
2014年天津高考数学(理科)答案word版
2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）理科数学试题答案与解析1. 解析()()7i 34i 7i 2525i1i 34i 2525+-+-===-+. 2. 解析 作出可行域，如图所示.由2z x y =+得122z y x =-+，故将直线12y x =-向上平移，当过()1,1A 时，z 有最小值3.3. 解析 1S =，1i =；3S =，2i =；15S =，3i =；105S =，4i =，结束循环，输出105S =.4. 解析 由240x ->得2x <-或2x >.又12log y u =为减函数，故()f x 的单调递增区间为(),2-∞-.评注 本题考查对数型复合函数的单调性，注意定义域以及同增异减的判定方法.5. 解析 由题意得2ba=且5c =.故由222c a b =+，得22254a a =+，则25a =，220b =，从而双曲线方程为221520x y -=. 6. 解析 ①F B D B A D ∠=∠，DBC DAC ∠=∠，故FBD CBD ∠=∠，即①正确.由切割线定理知②正确. ③BED AEC △△，故BE AEDE CE=，当DE CE ≠时，③不成立. ②ABF △△BDF ，故AB BDAF BF=，即AB BF AF BD ⋅=⋅，④正确.故①②④正确，选D. 7. 解析 先证“a b >” ⇒“a a b b >”.若0a b >…，则22a b >，即a a b b >；若0a b >…，则0a a b b >…；若0a b >>，则22a b <，即a a b b ->-，从而a a b b >.再证“a a b b >” ⇒“a b >”.若a ，0b …，则由a a b b >，得22a b >，故a b >； 若a ，0b …，则由a a b b >，得22a b ->-，即22a b <，故a b >；若0a …，0b <，则a b >.而0a <，0b …时，a a b b >不成立.2综上，“a b >”是“a a b b >”的充要条件.8. 解析 以AB ，AD 为基向量，则()()AE AF AB AD AD AB λμ⋅=+⋅+=22AB AD μλ++()()()1421AB AD λμμλλμ+⋅=+-+①.()()()()2112113CE CF BC DC λμλμ⋅=-⋅-=---=-②，由①②可得56λμ+=.评注 本题考查平面向量的基本定理，数量积等相关运算，难度适中等. 9. 解析43006020⨯=（名） 10. 解析 该几何体由一个圆锥和一个圆柱组成， 故体积()223120π14π22π33V m =⨯⨯+⨯⨯⨯=. 11. 解析 11S a =，2121S a =-，4146S a =-.故()()21112146a a a -=⨯-，解得112a =-. 12. 解析 由2sin 3sin B C =得23bc =，即32b c =，代入14b c a -=，整理得2a c =， 故2222229414cos 32422c c c b c a A bc c c +-+-===-⋅⋅.13. 分析 本题考查极坐标，直线与圆.将极坐标方程转化为普通方程，再结合直线与圆的位置关系求解.解析 由4sin r q =，224x y y +=，即圆的标准方程为()2224x y +-=，由sin a r q =知，直线y a =，如图所示，设圆与y 轴的另一个交点为D ，直线AB 与y 轴交点为C ，连接BD ，由对称性及AOB △是等边三角形知，30AOC BOC ∠=∠=︒，又90OBD ∠=︒，在Rt OBD △中，因为4OD =，则OB =BC =，OC ,所以.14. 分析 本题考查函数的图像变换，零点问题，利用导函数秒杀.借助函数图像，求解方程实根.解析 首先作函数()23f x x x =+的图像，如图所示，（将抛物线()23f x x x =+在x 轴下方的部分沿x 轴对称到x 轴上方，原x 轴上方的图像不变）.其次要将方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根， 等价转化为曲线()y f x =与折线1y a x =-恰有4个不同的公共点.最后结合图像，可将折线与曲线()y f x =有公共点的情况分类讨论：① 当0a ≤时，()y f x =与1y a x =-最多有2个公共点，不符合题意；② 当0a >时，又可分为折线1y a x =-左半支与曲线()y f x =有4个公共点.和折线1y a x =-左、右半支分别与曲线()y f x =有2个不同的公共点.如图所示，当折线1y a x =-的左半支与曲线()y f x =相切于点1P 时，即方程()()231x x a x -+=--的10∆=，整理得，()230x a x a +-+=，所以()2134a a ∆=--2109a a =-+()()190a a =--=，解得1a =或9a =（舍）.要使()1f x a x =-恰有4个互异的实数根，则需01a <<. 当折线1y a x =-的左半支与曲线()y f x =相切于点2P 时，即方程()231x x a x +=-的20∆=，整理得，()230x a x a +-+=，x所以()22340a a ∆=--=，解得1a =（舍）或9a =要使()1f x a x =-恰有4个互异的实数根，则需9a >.故实数a 的取值范围为()()0,19,+∞.评注 利用图像法求解方程实根问题（零点问题）时，不仅仅要看交点的个数，还要考虑函数图像本身的变化趋势.15. 解析 （I ）由已知，有()21cos sin 2f x x x x x ⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭2111πsin cos sin 2sin 22423x x x x x x ⎛⎫⋅==- ⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==. （II ）因为()f x 在区间ππ,412⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上式减函数，在区间ππ,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数.π144f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π1122f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π144f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 所以函数()f x 在闭区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为14，最小值为12-.评注 本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识考查基本运算能力.16. 解析 （I ）设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则()120337373104960C C C C P A C ⋅+⋅==.所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为4960. （II ）随机变量X 的所以可能值为0，1，2，3.()()3463100,1,2,3K kC C P X k k C -===.所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望()1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 评注 本题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.17. 解析 解法一：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得()1,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2P .由E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E .（I ）证明：向量()0,1,1BE =，()2,0,0DC =，故0BE DC ⋅=.所以BE DC ⊥. （II ）向量()1,2,0BD =-，()1,0,2PB =-.设(),,x y z n =为平面PBD 的法向量，则0,0,BD PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,20.x y x z -+=⎧⎨-=⎩不妨令1y =，可得()2,1,1=n 为平面PBD 的一个法向量.于是有cos ,6BE BE BE⋅===⋅n n n 所以直线BE 与平面PBD . （III ）向量()1,2,0BC =，()2,2,2CP =--，()2,2,0AC =，()1,0,0AB =.由点F 在棱PC 上，设CF CP λ=，01λ剟.故()12,22,2BF BC CF BC CP λλλλ=+=+=--.由BF AC ⊥，得0BF AC ⋅=，因此，()()2122220λλ-+-=，解得34λ=.即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 设()1,,x y z =n 为平面FAB 的法向量，则110,0,AB BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,1130.222x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩不妨令1z =，可得()10,3,1=-n 为平面FAB 的一个法向量.取平面ABP 的法向量()20,1,0=n ，则121212cos ,⋅==⋅n n n n n n 易知，二角面F AB P --解法二：（I ）证明：如图，取PD 的中点M ，连接EM ，AM .由于E ，M 分别为PC ，PD的中点，故//EM DC ，且12EM DC =，又由已知，可得//EM AB 且EM AB =，故四边形ABEM 为平行四边形，所以//AM BE .因为PA ⊥底面ABCD ，故PA CD ⊥，而CD DA ⊥，从而CD ⊥平面PAD，因为AM ∈平面PAD ，M E P D于是CD AM ⊥，又//AM BE ，所以BE CD ⊥.（II ）连接BM ，由（I ）有CD ⊥平面PAD ，得CD PD ⊥，而//EM CD ，故PD EM ⊥.又因为AD AP =，M 为PD 的中点，故PD AM ⊥，可得PD BE ⊥，所以PD ⊥平面BEM ，故平面BEM ⊥平面PBD ，所以直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ，而BE EM ⊥，可得EBM ∠为锐角，故EBM ∠为直线BE 与平面PBD 所成的角.依题意，有PD =M 为PD的中点，可得AMBE =故在直角三角形BEM中，tan EM AB EBM BE BE ∠===，因此sin EBM ∠=所以直线BE 与平面PBD. （III ）如图，在PAC △中，过点F 作//FH PA 交AC 于点H .因为PA ⊥底面ABCD ，故FH ⊥底面ABCD ，从而FH AC ⊥.又BF AC ⊥，得AC ⊥平面FHB ，因此AC BH ⊥.在底面 ABCD 内，可得3CH HA =，从而3CF FP =.在平面PDC 内，作//FG DC 交PD 于点G ， 于是3DG GP =.由于//DC AB ，故//GF AB ，所以A ，B ，F ，G四点共面.由AB PA ⊥，AB AD ⊥，得AB ⊥平面PAD ，故AB AG ⊥.所以PAG ∠为二面角F AB P --的平面角.在PAG △中，PA=2，14PG =PD =045APG ∠=，由余弦定理可得AG =cos PAG ∠=所以二面角F AB P --.评注 本题主要考查空间两条直线的位置关系，二面角、直线与平面所成的角，直线与平面垂直等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.18. 解析 （I ）设椭圆右焦点2F 的坐标为(),0c .由12AB F F =，可得2223a b c +=，又222b ac =-，则2212c a =.所以椭圆的离心率e =.（II ）由（I ）知222a c =，22b c =.故椭圆方程为222212x y c c+=.设()00,P x y .由()1,0F c -，()0,B c ，有()100,F P x c y =+，()1,F B c c =.由已知，110F P F B ⋅=，即()000x c c y c ++=.又0c ≠，故有000x y c ++=.①又因为P 在椭圆上，故22002212x y c c+=.②由①②可得20040x cx +=3.而点P 不在椭圆的顶点，故043x c =-，代入①得03cy =，即HF G ABCDP点P 的坐标为4,33c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭.设圆的圆心为()11,T x y ，则1402323c x c -+==-，12323c cy c +==，进而圆的半径r =.设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y kx =.由l与圆相切，r ==，整理得2810k k -+=，解得4k =所以直线l的斜率为4或4评注 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力. 19. 分析 本题考查数列与不等式.新定义与数列相关的集合问题，要理解集合中元素的性质特征.解析 （1）当2q =，3n =时，由题意{}0,1M =，12324x x x x =++，(),1,2,3i x M i ∈=.则{}0,1,2,3,4,5,6,7A =.（2）因为,s t A ∈，所以112+++n n a s a a q q -=()()11+1++n n q q q a q ---≤…()()1111+n n n q q qa q --=-+++… ()111=1+1n n n q q a q q-----11=1n n n q a q ---+()1=11n n a q -+-.1112+++n n n n t b b b q b q q --=≥，又,n n a b M ∈，且n n a b <，所以1n n b a +≥.所以()()111111n n n n n n q q b a a q ---+>+-≥.即()1111n n n n q q t s b a -->-+≥≥，所以n n a b <，则s t <.20. 解析 （I ）由()e x f x x a =-，可得()1e x f x a '=-，下面分两种情况讨论：①0a …时，()0f x '>在R 上恒成立，可得()f x 在R 上单调递增，不合题意.②0a >时，由()0f x '=，得ln x a =-.当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：这时，()f x 的单调递增区间是(),ln a -∞-；单调递减区间是()ln ,a -+∞.于是，“()y f x =有两个零点”等价于如下条件时成立：（i ）()ln 0f a ->；（ii ）存在()1,ln s a ∈-∞-，满足()10f s <；（iii ）存在()2ln ,s a ∈-+∞，满足()20f s <.由()ln 0f a ->，即ln 10a -->，解得10e a -<<.而此时，取10s =，满足()1,ln s a ∈-∞-，且()10f s a =-<；取222ln s a a=+，满足()2ln ,s a ∈-+∞， 且()22222e ln e 0a a f s a a ⎛⎫⎛⎫=-+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以a 的取值范围是()10,e a -.（II ）证明：由()e x f x x a =-，有e x x a =.设()e x x g x =，由()1exxg x -'=，知()g x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减.并且，当(],0x ∈-∞时，()0g x …；当()0,x ∈+∞时，()0g x >.由已知，1x ，2x 满足()1a g x =，()2a g x =.由()10,e a -∈，及()g x 的单调性，可得()10,1x ∈，()21,x ∈+∞.对于任意的1a ，()120,e a -∈，设12a a >，()()121g g a ξξ==，其中1201ξξ<<<；()()122g g a ηη==，其中1201ηη<<<.因为()g x 在()0,1上单调递增，故由12a a >，即()()11g g ξη>，可得11ξη>，类似可得22ξη<.又由1ξ，10η>，得222111ξηηξξη<<.所以21xx 随着a 的减小而增大. （III ）证明：由11e x x a =，22e x x a =，可得11ln ln x a x =+，22ln ln x a x =+. 故221211ln ln lnx x x x x x -=-=. 设21x t x =，则1t >，且2121,ln ,x tx x x t =⎧⎨-=⎩解得1ln 1tx t =-，2ln 1t t x t =-.所以()121ln 1t t x x t ++=-.（*）令()()1ln 1x xh x x +=-，()1,x ∈+∞，则()()212ln 1x x x h x x -+-'=-.令()12ln x x x xμ=-+-，得()21x x x μ-⎛⎫'= ⎪⎝⎭.当()1,x ∈+∞时，()0x μ'>.因此，()x μ在()1,+∞上单调递增，故对于任意()1,x ∈+∞，()()10x μμ>=，由此可得()0h x '>，故()h x 在()1,+∞上单调递增. 因此，由（*）可得12x x +随着t 的增大而增大.而由（II ），知t 随着a 的减小而增大，所以12x x +随着a 的减小而增大.评注 本题主要考查函数的零点、导数的运算、利用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.。
2014天津高考数学理科
2014天津高考数学理科2014年天津高考数学理科试题一、填空题1. 已知集合 A = {2, 4, 6, 8}，B = {x | x 是不小于3的奇数}，则A ∩ B = ______。
2. 设∠ABC = 60°，AD 是 BC 延长线上的一点，且 AD = DC，则∠CDA = ______。
3. 2000 mL 饮料含有对人体每日需要的80 mg 维生素 C。
某厂使用一种浓度更高的饮料来生产新产品，则相同容积的新产品中维生素 C 的含量将是________mg。
4. 若 5 + ab= − 2，则数对(a,b) = ______。
二、选择题1. 已知若 f(x) = x - 1，则 f(-a) - f(1 - a) = ______。
A. 0B. 2aC. -2D. a + 12. 设函数 y = (1 + x - x^2) / (1 + x^3)，则 y 的定义域为____。
A. (-∞,∞)B. (-∞,-1]∪[-1,∞)C. (-∞, -1)∪(-1, ∞)D. (-1, 1)3. 已知线段 AB 长度为 a，BC 长度为 b，三角形 ABC 的面积为 S，则 ______。
A. S > (a+b)^2B. S < (a+b)^2C. S = (a+b)^2D. 无法确定4. 在△ABC 中，∠B = 90°，BM 是 AC 的中线，连结 BM，交 AC 于 D，则AD/DC = ______。
A. 1B. 2C. 3/2D. 3三、解答题1. 若 log2 (x + y) = log2 (x - y)，且 x > y > 0，求 x:y 的值。
2. 已知函数 f(x) = 2x^2 - (a + 1)x - a^2 + a + 2。
确定 a 的取值范围使得f(x) > 0 对一切实数 x 成立。
3. 函数y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) 的图像与 x 轴交于两个不同点，相应的二次函数对应的直接变换图像与 x 轴交于两个不同点，证明：其中|a| ≠ |c|。
2014年天津高考理科数学试题含答案(Word版)
则该几何体的体积 _______ m . 其前 n 和.若 S1 , S 2 , S 4 成等比数列 则 a1 的
3
11 设 { an }是首 值 __________.
a1 公差 -1 的等差数列 Sn
12 在 D ABC 中 内角 A, B, C 所对的边 别是 a, b, c . 知 b - c = 的值 _______. 13 在
数 a 的取值范围 __________. 解答题 15 本题共 6 道大题 13 满 80 ．解答 写出文 说明 证明过程或演算 骤．
本小题满
知函数 f ( x ) = cos x ⋅ sin x + 求 f ( x ) 的最小 周期 求 f ( x) 在 16 本小题满 区间 − 13 男
0,1,2,L, q - 1} 集合 知 q 和 n 均 给定的大于 1 的自然数.设集合 M = {
D
-
17 25 + i 7 7
2 设变
x y 满足 束条
x + y − 2 ≥ 0, x − y − 2 ≤ 0, 则目标函数 z = x + 2 y 的最小值 y ≥ 1,
C 4 D 5
A 2
B
3
3 阅读右边的程序框
行相 的程序 输出的 S 的值
A 15
B 105
1
C 245
π
3 2 − 3 cos x + 3 4
x∈R .
π π , 4 4
学 4
的最大值和最小值.
某大学志愿者协会有 6
女 学. 在这 10
学中 3
学来自数学学院 其余 7 学 到希望小学
学来自物理 化学等其他互 相 的七个学院. 现从这 10 进行支教活动 求选出的 3 设X 17 如 位 学被选到的可能性相 .
天津市高考数学试卷 理科
2014年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分）1．（5分）（2014?天津）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i2．（5分）（2014?天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．（5分）（2014?天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．15 B．105 C．245 D．9454．（5分）（2014?天津）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）5．（5分）（2014?天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=16．（5分）（2014?天津）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD?FA；③AE?CE=BE?DE；④AF?BD=AB?BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③ D．①②④7．（5分）（2014?天津）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件8．（5分）（2014?天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若?=1，?=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）（2014?天津）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．10．（5分）（2014?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．11．（5分）（2014?天津）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为．12．（5分）（2014?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．13．（5分）（2014?天津）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为．14．（5分）（2014?天津）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）（2014?天津）已知函数f（x）=cosx?sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．（13分）（2014?天津）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）（2014?天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．18．（13分）（2014?天津）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．19．（14分）（2014?天津）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．20．（14分）（2014?天津）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．2014年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分）1．（5分）（2014?天津）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i，即求出值．【解答】解：复数==，故选A．【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．2．（5分）（2014?天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=1+2×1=3，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．3．（5分）（2014?天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．15 B．105 C．245 D．945【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，∵跳出循环的i值为4，∴输出S=1×3×5×7=105．故选：B．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．4．（5分）（2014?天津）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【考点】复合函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】令t=x2﹣4＞0，求得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），且函数f （x）=g（t）=log t．根据复合函数的单调性，本题即求函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．【解答】解：令t=x2﹣4＞0，可得x＞2，或x＜﹣2，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），当x∈（﹣∞，﹣2）时，t随x的增大而减小，y=log t随t的减小而增大，所以y=log（x2﹣4）随x的增大而增大，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增．故选：D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．5．（5分）（2014?天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．6．（5分）（2014?天津）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD?FA；③AE?CE=BE?DE；④AF?BD=AB?BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③ D．①②④【考点】与圆有关的比例线段；命题的真假判断与应用．【专题】直线与圆．【分析】本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项．【解答】解：∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，∴∠DBC=∠DAC．∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，∴∠FBD=∠BAF．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAF=∠DAC．∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确．又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．由，FB2=FD?FA．即结论②成立．由，得AF?BD=AB?BF．即结论④成立．正确结论有①②④．故答案为D【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题．7．（5分）（2014?天津）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若a＞b，①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a?a＞b?b，此时成立．②0＞a＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a?a＞﹣b?b，即a2＜b2，此时成立．③a≥0＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为a?a＞﹣b?b，即a2＞﹣b2，此时成立，即充分性成立．若a|a|＞b|b|，①当a＞0，b＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0，因为a+b＞0，所以a﹣b ＞0，即a＞b．②当a＞0，b＜0时，a＞b．③当a＜0，b＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0，因为a+b＜0，所以a﹣b ＞0，即a＞b．即必要性成立，综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键．8．（5分）（2014?天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若?=1，?=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由?=1，求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①；再由?=﹣，求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．结合①②求得λ+μ的值．【解答】解：由题意可得若?=（+）?（+）=+++=2×2×cos120°++λ?+λ?μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．?=﹣?（﹣）==（1﹣λ）?（1﹣μ）=（1﹣λ）?（1﹣μ）=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．由①②求得λ+μ=，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）（2014?天津）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60名学生．【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60，故答案为：60．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．10．（5分）（2014?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π．故答案为：．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．11．（5分）（2014?天津）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为﹣．【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由条件求得，S n=，再根据S1，S2，S4成等比数列，可得=S1?S4，由此求得a1的值．【解答】解：由题意可得，a n=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，S n==，再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得=S1?S4，即=a1?（4a1﹣6），解得a1=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题．12．（5分）（2014?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为﹣．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosA=的值．【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，∴2b=3c ②，∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得cosA===﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．13．（5分）（2014?天津）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为3．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出B的坐标的值，代入x2+（y﹣2）2=4，可得a的值．【解答】解：直线ρsinθ=a即y=a，（a＞0），曲线ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，即x2+（y﹣2）2=4，表示以C（0，2）为圆心，以2为半径的圆，∵△AOB是等边三角形，∴B（a，a），代入x2+（y﹣2）2=4，可得（a）2+（a﹣2）2=4，∵a＞0，∴a=3．故答案为：3．【点评】本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出B 的坐标是解题的关键，属于基础题．14．（5分）（2014?天津）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为（0，1）∪（9，+∞）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函数y=f（x），y=a|x﹣1|的图象利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函数y=f（x），y=g（x）=a|x﹣1|的图象，当a≤0，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件，则a＞0，此时g（x）=a|x﹣1|=，当﹣3＜x＜0时，f（x）=﹣x2﹣3x，g（x）=﹣a（x﹣1），当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时﹣x2﹣3x=﹣a（x﹣1），即x2+（3﹣a）x+a=0，则由△=（3﹣a）2﹣4a=0，即a2﹣10a+9=0，解得a=1或a=9，当a=9时，g（x）=﹣9（x﹣1），g（0）=9，此时不成立，∴此时a=1，要使两个函数有四个零点，则此时0＜a＜1，若a＞1，此时g（x）=﹣a（x﹣1）与f（x），有两个交点，此时只需要当x＞1时，f（x）=g（x）有两个不同的零点即可，即x2+3x=a（x﹣1），整理得x2+（3﹣a）x+a=0，则由△=（3﹣a）2﹣4a＞0，即a2﹣10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，综上a的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），方法2：由f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，若x=1，则4=0不成立，故x≠1，则方程等价为a===||=|x﹣1++5|，设g（x）=x﹣1++5，当x＞1时，g（x）=x﹣1++5≥，当且仅当x﹣1=，即x=3时取等号，当x＜1时，g（x）=x﹣1++5=5﹣4=1，当且仅当﹣（x ﹣1）=﹣，即x=﹣1时取等号，则|g（x）|的图象如图：若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则满足a＞9或0＜a＜1，故答案为：（0，1）∪（9，+∞）【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）（2014?天津）已知函数f（x）=cosx?sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期；（Ⅱ）由（Ⅰ）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=cosx?（sinx cosx）====所以，f（x）的最小正周期=π．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，由x∈[﹣，]得，2x∈[﹣，]，则∈[，]，∴当=﹣时，即=﹣1时，函数f（x）取到最小值是：，当=时，即=时，f（x）取到最大值是：，所以，所求的最大值为，最小值为．【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题．16．（13分）（2014?天津）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数，代入古典概型概率公式求出值；（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）列出随机变量X的分布列求出期望值．【解答】（Ⅰ）解：设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A，则，所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为．（Ⅱ）解：随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）所以随机变量X的分布列是X 0 1 2 3P随机变量X的数学期望．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，互斥事件，离散型随机变量的分布列与数学期望，考查应用概率解决实际问题的能力．17．（13分）（2014?天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角．【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．【分析】（I）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC的方向向量，根据?=0，可得BE⊥DC；（II）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）根据BF⊥AC，求出向量的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【解答】证明：（I）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）∴=（0，1，1），=（2，0，0）∵?=0，∴BE⊥DC；（Ⅱ）∵=（﹣1，2，0），=（1，0，﹣2），设平面PBD的法向量=（x，y，z），由，得，令y=1，则=（2，1，1），则直线BE与平面PBD所成角θ满足：sinθ===，故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．（Ⅲ）∵=（1，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（2，2，0），由F点在棱PC上，设=λ=（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），故=+=（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），由BF⊥AC，得?=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0，解得λ=，即=（﹣，，），设平面FBA的法向量为=（a，b，c），由，得令c=1，则=（0，﹣3，1），取平面ABP的法向量=（0，1，0），则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足：cosα===，故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为：【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．18．（13分）（2014?天津）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|=|F1F2|．可得，再利用b2=a2﹣c2，e=即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．可设椭圆方程为，设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得，．利用圆的性质可得，于是=0，得到x0+y0+c=0，由于点P在椭圆上，可得．联立可得=0，解得P．设圆心为T（x1，y1），利用中点坐标公式可得T，利用两点间的距离公式可得圆的半径r．设直线l的方程为：y=kx．利用直线与圆相切的性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|=|F1F2|，可得，化为a2+b2=3c2．又b2=a2﹣c2，∴a2=2c2．∴e=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．因此椭圆方程为．设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得=（x0+c，y0），=（c，c）．∵，∴=c（x0+c）+cy0=0，∴x0+y0+c=0，∵点P在椭圆上，∴．联立，化为=0，∵x0≠0，∴，代入x0+y0+c=0，可得．∴P．设圆心为T（x1，y1），则=﹣，=．∴T，∴圆的半径r==．设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx．∵直线l与圆相切，∴，整理得k2﹣8k+1=0，解得．∴直线l的斜率为．【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．19．（14分）（2014?天津）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（Ⅰ）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|，x i∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A．（Ⅱ）由于a i，b i∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，可得a n﹣b n≤﹣1．由题意可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…++≤﹣[1+q+…+q n﹣2+q n﹣1]，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】（Ⅰ）解：当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|，x i∈M，i=1，2，3}．可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．（Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，∴a n﹣b n≤﹣1．可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…++≤﹣[1+q+…+q n﹣2+q n﹣1]=＜0．∴s＜t．【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．20．（14分）（2014?天津）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，讨论f′（x）的正负以及对应f（x）的单调性，得出函数y=f （x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；（Ⅱ）由f（x）=0，得a=，设g（x）=，判定g（x）的单调性即得证；（Ⅲ）由于x1=a，x2=a，则x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，令=t，整理得到x1+x2=，令h（x）=，x∈（1，+∞），得到h（x）在（1，+∞）上是增函数，故得到x1+x2随着t的减小而增大．再由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，即得证．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x﹣ae x，∴f′（x）=1﹣ae x；下面分两种情况讨论：①a≤0时，f′（x）＞0在R上恒成立，∴f（x）在R上是增函数，不合题意；②a＞0时，由f′（x）=0，得x=﹣lna，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣lna）﹣lna （﹣lna，+∞）f′（x）+0 ﹣f（x）递增极大值﹣lna﹣1 递减∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣lna），减区间是（﹣lna，+∞）；∴函数y=f（x）有两个零点等价于如下条件同时成立：①f（﹣lna）＞0；②存在s1∈（﹣∞，﹣lna），满足f（s1）＜0；③存在s2∈（﹣lna，+∞），满足f（s2）＜0；由f（﹣lna）＞0，即﹣lna﹣1＞0，解得0＜a＜e﹣1；取s1=0，满足s1∈（﹣∞，﹣lna），且f（s1）=﹣a＜0，取s2=+ln，满足s2∈（﹣lna，+∞），且f（s2）=（﹣）+（ln﹣）＜0；∴a的取值范围是（0，e﹣1）．（Ⅱ）证明：由f（x）=x﹣ae x=0，得a=，设g（x）=，由g′（x）=，得g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，并且当x∈（﹣∞，0）时，g（x）≤0，当x∈（0，+∞）时，g（x）≥0，x1、x2满足a=g（x1），a=g（x2），a∈（0，e﹣1）及g（x）的单调性，可得x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；对于任意的a1、a2∈（0，e﹣1），设a1＞a2，g（X1）=g（X2）=a1，其中0＜X1＜1＜X2；g（Y1）=g（Y2）=a2，其中0＜Y1＜1＜Y2；∵g（x）在（0，1）上是增函数，∴由a1＞a2，得g（X i）＞g（Y i），可得X1＞Y1；类似可得X2＜Y2；又由X、Y＞0，得＜＜；∴随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明：∵x1=a，x2=a，∴lnx1=lna+x1，lnx2=lna+x2；∴x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，设=t，则t＞1，∴，解得x1=，x2=，∴x1+x2=…①；令h（x）=，x∈（1，+∞），则h′（x）=；令u（x）=﹣2lnx+x﹣，得u′（x）=，当x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0，∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，∴对任意的x∈（1，+∞），u（x）＞u（1）=0，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是增函数；∴由①得x1+x2随着t的增大而增大．由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，∴x1+x2随着a的减小而增大．【点评】本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力，是综合型题目．参与本试卷答题和审题的老师有：wdnah；maths；清风慕竹；caoqz；刘长柏；王老师；gongjy；翔宇老师；沂蒙松；szjzl（排名不分先后）菁优网2016年6月8日考点卡片1．命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1=0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．【解题方法点拨】1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“p q”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．2．必要条件、充分条件与充要条件的判断【知识点的认识】正确理解和判断充分条件、必要条件、充要条件和非充分非必要以及原命题、逆命题否命题、逆否命题的概念是本节的重点；掌握逻辑推理能力和语言互译能力，对充要条件概念本质的把握是本节的难点．1．充分条件：对于命题“若p则q”为真时，即如果p成立，那么q一定成立，记作“p?q”，称p为q的充分条件．意义是说条件p充分保证了结论q的成立，换句话说要使结论q成立，具备条件p就够了当然q成立还有其他充分条件．如p：x≥6，q：x＞2，p是q成立的充分条件，而r：x＞3，也是q成立的充分条件．必要条件：如果q成立，那么p成立，即“q?p”，或者如果p不成立，那么q一定不成立，也就是“若非p则非q”，记作“￢p?￢q”，这是就说条件p是q的必要条件，意思是说条件p 是q成立的必须具备的条件．充要条件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p 成立的充要条件，记作“p?q”．2．从集合角度看概念：如果条件p和结论q的结果分别可用集合P、Q 表示，那么①“p?q”，相当于“P?Q”．即：要使x∈Q成立，只要x∈P就足够了﹣﹣有它就行．②“q?p”，相当于“P?Q”，即：为使x∈Q成立，必须要使x∈P﹣﹣缺它不行．③“p?q”，相当于“P=Q”，即：互为充要的两个条件刻画的是同一事物．3．当命题“若p则q”为真时，可表示为，则我们称p为q的充分条件，q是p的必要条件．这里由，得出p为q的充分条件是容易理解的．但为什么说q是p的必要条件呢？事实上，与“”等价的逆否命题是“”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p 是必不可少的，所以说q是p的必要条件．4．“充要条件”的含义，实际上与初中所学的“等价于”的含义完全相同．也就是说，如果命题p等价于命题q，那么我们说命题p成立的充要条件是命题q成立；同时有命题q成立的充要条件是命题p成立．【解题方法点拨】1．借助于集合知识加以判断，若P?Q，则P是Q的充分条件，Q是的P的必要条件；若P=Q，则P与Q互为充要条件．2．等价法：“P?Q”?“￢Q?￢P”，即原命题和逆否命题是等价的；原命题的逆命题和原命题的否命题是等价的．3．对于充要条件的证明，一般有两种方法：其一，是用分类思想从充分性、必要性两种情况分别加以证明；其二，是逐步找出其成立的充要条件用“?”连接．【命题方向】充要条件主要是研究命题的条件与结论之间的逻辑关系，它是中学数学最重要的数学概念之一，它是今后的高中乃至大学数学推理学习的基础．在每年的高考中，都会考查此类问题．3．复合函数的单调性【知识点的认识】所谓复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考虑整体的单调性．平常常见的一般以两个函数的为主．【解题方法点拨】求复合函数y=f（g（x））的单调区间的步骤：（1）确定定义域；（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；（3）分别确定两基本初等函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．【命题方向】理解复合函数的概念，会求复合函数的区间并判断函数的单调性．4．函数零点的判定定理【知识点的知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）?f （b）＜0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=O，这个c也就是f（x）=0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）=x2﹣3x+2有f（0）?f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．。
2014年高考数学天津卷(理工类) 附详细答案解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)一、选择题，共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. i 是虚数单位,复数7+i 3+4i = ( ). A.1- i B.-1+i C.1725+3125 i D.- 177+257 i2.设变量x , y 满足约束条件{x +y -2≥0,x -y -2≤0,y ≥1,则目标函数z= x+2y 的最小值为( ).A.2B.3C.4D.53.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,输出S 的值为( ).A.15B.105C.245D.9454.函数f (x )=lo g 12(x 2-4)的单调递增区间为( ). A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(2,+∞) D.(-∞,-2)5.已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l :y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( ). A.x 25−y 220=1 B.x 220−y 25=1 C.3x 225−3y 2100=1 D.3x 2100−3y 225=1 6.如图,△ABC 是圆的内接三角形,∠BAC 的平分线交圆于点D ,交BC 于点E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F.在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分∠CBF ; ②FB 2=FD ·FA ;③AE ·CE=BE ·DE ; ④AF ·BD=AB ·BF.则所有正确结论的序号是( ).A.①②B.③④C.①②③D.①②④7.设a ,b ∈R ,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8.已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD=120°,点E ,F 分别在边BC , DC , BE=λBC , DF=μDC.若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ = - 23,则 λ+μ=( ).A. 12B.23C.56D.712二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取名学生.10.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.11.设{a n}是首项为a1,公差为-1的等差数列,S n为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为.12.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=14a , 2sin B=3sin C,则cos A的值为.13.在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A,B两点,若△AOB 是等边三角形,则a的值为.14.已知函数f (x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f (x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)已知函数f (x)=cos x·sin(x+π3)−√3cos2x+√34, x∈R.(1)求f (x)的最小正周期;(2)求f (x)在闭区间[-π4,π4]上的最大值和最小值.16.(本小题满分13分)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.17.(本小题满分13分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC, AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.(1)证明: BE⊥DC ;(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;(3)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F-AB-P的余弦值.18.(本小题满分13分)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=√32|F1F2|.(1)求椭圆的离心率;(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切,求直线l的斜率.。
2014天津高考数学(理)试题及标准答案解析
绝密 ★ 启用前20１4年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学(理工类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：１.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
２本卷共8小题,每小题5分,共４0分。
参考公式：•如果事件A ，B 互斥，那么ﻩﻩ•如果事件A ,B 相互独立，那么 ()()()P A B P A P B =+ﻩﻩ()()()P AB P A P B =． •圆柱的体积公式V Sh =. •圆锥的体积公式13V Sh =. 其中S 表示圆柱的底面面积， 其中S 表示圆锥的底面面积,h 表示圆柱的高. h 表示圆锥的高．ﻩ一、选择题:在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（１)i 是虚数单位，复数734ii ( ）（A ）1i （B)1i （C)17312525i (D ）172577i （２)设变量x ,y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为( ）(A ）２ (B)3 (C ）4 (D)５（3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序，输出的S 的值为( )学科网(A)15 （Ｂ）105E D C BA (Ｃ)24５ （D ）945(4)函数212log 4f xx 的单调递增区间是( ) (A)0,(B),0 (C)2, （Ｄ),2(５)已知双曲线22221x y a b 0,0a b 的一条渐近线平行于直线l :210y x ,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为（ ) (A)221520x y (Ｂ)221205x y （C ）2233125100x y (D ）2233110025x y （6)如图,ABC 是圆的内接三角形,BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分CBF ；②2FBFD FA ；③AE CE BE DE ;④AF BD AB BF ． 则所有正确结论的序号是( )(A ）①② (B)③④ (C ）①②③ (Ｄ）①②④(7)设,a b R ,则|“a b ”是“a a b b ”的( ） (Ａ)充要不必要条件 （B ）必要不充分条件（C)充要条件 （D)既不充要也不必要条件（8)已知菱形ABCD 的边长为2,120BAD，点,E F 分别在边,BC DC 上,BE BC ,DF DC ．若1AE AF ，23CE CF ，则( ）（A ）12 (Ｂ）23 （Ｃ)56 （D ）712第Ⅱ卷注意事项:学科网ﻩ1.用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2014年全国高考天津省数学(理)试卷及答案【精校版】
（6）如图， D ABC 是圆的内接三角形， DBAC 的平分线交圆于点 D ， 交 BC 于点 E ，过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F . 在上述条
件下，给出下列四个结论：① BD 平分 DCBF ；② FB 2 = FD ?FA ；
y 1,
（A）2
（B）3 （C）4
（D）5
（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的
S 的值为（
）
（A ） 15
（ B ）105
（C） 245
（D ）945
（4）函数 f ( x) = log 1 (x2 - )4 的单调递增区间是（
）
2
（A ） (0,+ ￥)
（ B） (- ￥,0)
（C） (2,+ ￥)
B
A EC
③ AE ?CE BE ?DE ；④ AF ?BD AB ?BF .
则所有正确结论的序号是（
）
（A ）①②
（B ）③④
（ C ）①②③
（ D）①②④
D F
（7）设 a,b ? R ，则 |“ a > b ”是“ a a > b b ”的（ ）
（A ）充要不必要条件 （ C ）充要条件
（ B ）必要不充分条件 （ D ）既不充要也不必要条件
（8）已知菱形 ABCD 的边长为 2， ? BAD 120 ，点 E , F 分别在边 BC, DC 上，
BE = l BC ， DF = mDC . 若 AE ?AF
1， CE ?CF
-
2 ，则 l
+ m=
（
）
3
1
（A ）
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2014年高考天津理科数学试题及答案(精校版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 如果事件A ，B 相互独立，那么 ()()()P A B P A P B =+ ()()()P AB P A P B =.圆柱的体积公式V Sh =. 圆锥的体积公式13V Sh =. 其中S 表示圆柱的底面面积， 其中S 表示圆锥的底面面积， h 表示圆柱的高. h 表示圆锥的高.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，复数734ii+=+（ ）（A ）1i - （B ）1i -+ （C ）17312525i + （D ）172577i -+ （2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 （3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为（ ）（A ）15 （B ）105 （C ）245 （D ）945 （4）函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是（ ）（A ）),0(∞+ （B ）)0,(-∞ （C ）),2(∞+ （D ）)2,(--∞（5）已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）（A ）221520x y -= （B ）221205x y -= （C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -= （6）如图，ABC ∆是圆的内接三角形，BAC ∠的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F . 在上述条件下，给出下FED CBA 列四个结论：①BD 平分CBF ∠； ② FA FD FB ⋅=2；③DE BE CE AE ⋅=⋅；④ BF AB BD AF ⋅=⋅.则所有正确结论的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ （7）设R b a ∈,，则|“a b >”是“a a b b >”的（ ）（A ）充要不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充要也不必要条件 （8）已知菱形ABCD 的边长为2，120=∠BAD ，点,E F 分别在边,BC DC 上，BC BE λ=，DC DF μ=.若1=⋅，32-=⋅，则μλ+（ ）（A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）（9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生.（10）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_______3m .（11）设{}n a 是首项为1a ，公差为－1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________.（12）在A B C ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_______.（13）在以O 为极点的极坐标系中，圆θρsin 4=和直线a =θρsin 相交于,A B 两点.若AOB ∆是等边三角形，则a 的值为___________.（14）已知函数()23f x x x =+，R x ∈.若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为__________.三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） （15）（本小题满分13分）已知函数()2cos sin 3f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭，x R ∈.俯视图侧视图正视图（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.（16）（本小题满分13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学. 在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）. （Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率； （Ⅱ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，⊥PA 底面ABCD ，AB AD ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点. （Ⅰ）证明 DC BE ⊥； （Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值； （Ⅲ）若F 为棱PC 上一点，满足AC BF ⊥， 求二面角F AB P --的余弦值.（18）（本小题满分13分）设椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B .已知12AB F =.（Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点O 的直线l 与该圆相切. 求直线l 的斜率.C BP（19）（本小题满分14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合{}0,1,2,1,q M =-，集合},,2,1,,|{121n i M x q x q x x x x A i n n =∈+++==-. （Ⅰ）当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ； （Ⅱ）设A t s ∈,，112n n s a a q a q -=+++，112n n t b b q b q -=+++，其中n i M b a i i ,,2,1,, =∈. 证明：若n n b a <，则t s <.（20）（本小题满分14分）已知函数()xf x x ae =- )(R a ∈，R x ∈.已知函数()y f x =有两个零点12,x x ，且12x x <.（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）证明 21x x 随着a 的减小而增大； （Ⅲ）证明 12x x +随着a 的减小而增大.x2014年高考天津卷理科数学参考答案一、选择题 （1）【答案】 A【解析】()()()()73472525134343425i i ii i i i i +-+-===-++-（2）【答案】 B【解析】 作出可行域，如图结合图象可知，当目标函数通过点()1,1时，z 取得最小值3.（3）【答案】 B【解析】 1i =时，3T =，3S =；2i =时，5T =，S =3i =时，7T =，105S =，4i =输出105S =. （4）【答案】 D【解析】 240x ->，解得2x <-或2x >.由复合函数的单调性知()f x 的单调递增区间为)2,(--∞. （5）【答案】 A【解析】 依题意得22225b ac c a b ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，所以25a =，220b =，双曲线的方程为221520x y -=.（6）【答案】 D【解析】 由弦切角定理得EAC BAE FBD ∠=∠=∠，又AFB BFD ∠=∠，所以BFD ∆∽AFB ∆，所以BF BDAF AB=，即BF AB BD AF ⋅=⋅，故④正确，排除A 、C . 又DBC EAC FBD ∠=∠=∠，故①正确，排除B . （7）【答案】 C【解析】 设()f x x x =，则可知()f x 是R 上的增函数，“a b >”是“a a b b >”的充要条件. （8）【答案】 C【解析】 因为120=∠BAD ，所以2120cos ||||-=⋅⋅=⋅ AD AB AD AB . 因为BC BE λ=，DC DF μ=，，1=⋅，所以1)()(=+⋅+=⋅μλ，即2322=-+λμμλ ① 同理由32-=⋅CF CE 可得 32)(-=+-μλλμ ②，①+②得65=+μλ.二、填空题（9）【答案】 60【解析】 应从一年级抽取6065544300=+++⨯名.（10）【答案】320π【解析】 该几何体的体积为32041223122πππ=⨯⨯+⨯⨯=V 3m . （11）【答案】 12-【解析】 依题意得2214S S S =，所以()()21112146a a a -=-，解得112a =-. （12）【答案】 14-【解析】 因为2sin 3sin B C =，所以23b c =，解得32cb =，2a c =. 所以2221cos 24b c a A bc +-==-. （13）【答案】 3【解析】 圆的方程为()2224x y +-=，直线为y a =.因为AOB ∆是等边三角形，所以其中一个交点坐标为),33(a a ，代入圆的方程可得3a =. （14）【答案】 ),9()1,0(∞+ 【解析】 显然0a >.（ⅰ）当()1y a x =--与23y x x =--相切时，1a =，此时()10f x a x --=恰有3个互异的实数根. （ⅱ）当直线()1y a x =-与函数23y x x =+相切时，9a =，此时()10f x a x --=恰有2个互异的实数根. 结合图象可知01a <<或9a >.三、解答题（15）本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式与余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识. 考查基本运算能力. 满分13分.（Ⅰ）解：由已知，有 43cos 3-)3πsin(cos )(2++=x x x x f43cos 3-)23cos 21(sin cos 2+∙+∙=x x x x4323cos -412sin 2+∙∙=x x )cos 2(43-412sin 2－１x x ∙=)232cos -212(sin 21∙∙=x x 1sin 223x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 所以，()f x 的最小正周期 ππ==22T . （Ⅱ）解：因为()f x 在区间]12,4[ππ--上是减函数，在区间]4,12[ππ-上是增函数. 41)4(-=-πf ，21)12(-=-πf ，41)4(=πf .所以，函数()f x 在闭区间]4,4[ππ-上的最大值为14，最小值为12-.（16）本小题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识. 考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 满分13分. （Ⅰ）解：设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A ，则6049C C C C )(P 310132737=+=A . 所以，选出的3名同学来自互不相同学院的概率为4960. （Ⅱ）解：随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3..3011204120)3(,10312036120)2(,2112060)1(,6112020)0(3406241631014263100436================C C X p C C X p C C C X p C C C X p随机变量X 的数学期望561201203120212011200 ==⨯+⨯+⨯+⨯=EX .（17）本小题主要考查空间两条直线的位置关系，二面角、直线与平面所成的角，直线与平面垂直等基础知识. 考查用空间向量解决立体几何问题的方法. 考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 满分13分. （方法一） 依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得()1,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2P .由E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E .C（Ⅰ）证明：向量()0,1,1BE =，()2,0,0DC =，故0=⋅DC BE . 所以，DC BE ⊥. （Ⅱ）解：向量()1,2,0BD =-，()1,0,2PB =-.设(),,n x y z =为平面PBD 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,0 即⎩⎨⎧=-=+-0202z x y x ，不妨令1y =，可得()2,1,1n =为平面PBD 的一个法向量.于是有cos ,36n BE n BE n BE×===× 所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为3. （Ⅲ）,0),-2,,(,λ),,,(=∙=x x x F z y x F 则解得设21,021-(2)0,2,2()-2,,1-(==+=∙x x x x x x 解得）即).2,0,0(),00,1(),23,21,21(∴===AP AB AF ，,0),,,);0,1,0(21====z y x n FAB n ABP 则（的法向量设面的法向量显而易见，面 .10103190010030||||,cos ).1-,3,0(2121212=++∙++++=<=n n n n n 解得一个.10103|,cos |θcos θ--21=><=n n P AB F 的的夹角所以，二面角（方法二）（Ⅰ）证明：如图，取PD 中点M ，连接EM ，AM . 由于,E M 分别为,PC PD 的中点， 故//EM DC ，且12EM DC =，又由已知，可得//EM AB 且EM AB =，故四边形ABEM 为平行四边形，所以//BE AM .因为⊥PA 底面ABCD ，故CD PA ⊥，而DA CD ⊥，从而⊥CD 平面PAD ，因为⊂AM 平面PAD ，于是MA CD ⊥，又//BE AM ，所以CD BE ⊥. （Ⅱ）解：连接BM ，由（Ⅰ）有⊥CD 平面PAD ，得PD CD ⊥，而//EM CD ，故EM PD ⊥.又因为AD AP =，M 为PD 的中点，故AM PD ⊥，可得BE PD ⊥，所以⊥PD 平面BEM ，故平面⊥BEM 平面PBD .所以直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ，而EM BE ⊥，可得EBM ∠为锐角，故EBM ∠为直线BE 与平面PBD所成的角.依题意，有PD =，而M 为PD 中点，可得AM =BE =B C故在直角三角形BEM 中，21tan ===∠BE AB BE EM EBM ，因此33sin =∠EBM . 所以，直线BE 与平面PBD.（Ⅲ）解：如图，在PAC ∆中，过点F 作//FH PA 交AC 于点H .因为⊥PA 底面ABCD ，故⊥FH 底面ABCD ，从而AC FH ⊥.又AC BF ⊥，得⊥AC 平面FHB ，因此BH AC ⊥.在底面ABCD 内，可得3CH HA =，从而3CF FP =.在平面PDC 内，作//FG DC 交PD 于点G ，于是3DG GP =.由于//DC AB ，故//GF AB ，所以,,,A B F G 四点共面.由PA AB ⊥，DA AB ⊥，得⊥AB 平面PAD ，故AG AB ⊥.所以PAG ∠为二面角F AB P --的平面角. 在PAG ∆中，2PA =，142PG PD ==，45=∠APG ，由余弦定理可得2AG =，10103cos =∠PAG .所以，二面角F AB P --的余斜值为10.（18）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识. 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质. 考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分13分.（Ⅰ）解：设椭圆的右焦点2F 的坐标为(),0c .由12AB F =，可得2223a b c +=，又222b ac =-，则2212c a =.所以，椭圆的离心率2e =.，所以22223a c c -=，解得a =，2e =. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知222a c =，22b c =.故椭圆方程为222212x y c c+=.设()00,P x y .由()1,0F c -，()0,B c ，有()100,F P x c y =+，()1,F B c c =.由已知，有110FP FB ?，即()000x c c y c ++=.又0≠c ，故有000x y c ++=. ①BC又因为点P 在椭圆上，故22002212x y c c+=. ② 由①和②可得200340x cx +=.而点P 不是椭圆的顶点，故043c x =-，代入①得03cy =，即点P 的坐标为)3,34(cc -. 设圆的圆心为()11,T x y ，则1402323c x c -+==-，12323c cy c +==，进而圆的半径r =. 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y kx =.由lr =，即351|32)32(|2c k c c k =+--， 整理得2810k k -+=，解得154±=k. 所以，直线l的斜率为4+4-（19）本小题主要考查集合的含义和表示，等比数列的前n 项和公式，不等式的证明等基础知识和基本方法. 考查运算能力、分析问题和解决问题的能力. 满分14分. （Ⅰ）解：当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}，可得A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．（Ⅱ）证明：由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )q n －1≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋(q －1)q n －2－q n －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q－q n －1＝－1<0，所以，s t <.（20）本小题主要考查函数的零点、导数的运算、利用导数研究函数的性质等基础知识和方法. 考查函数思想、化归思想. 考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力. （Ⅰ）解：由()xf x x ae =-，可得xae x f -=1)('.下面分两种情况讨论： （1）0≤a 时0)('>x f 在R 上恒成立，可得()f x 在R 上单调递增，不合题意. （2）0a >时，由0)('=x f ，得ln x a =-.当x 变化时，)('x f ，()f x 的变化情况如下表：这时，f x 的单调递增区间是)ln ,(a --∞；单调递减区间是),ln (∞+-a . 于是，“函数()y f x =有两个零点”等价于如下条件同时成立： 1°()ln 0f a ->；2°存在)ln ,(1a s --∞∈，满足()10f s <； 3°存在),ln (2∞+-∈a s ，满足()20f s <.由()ln 0f a ->，即ln 10a -->，解得10a e -<<，而此时，取10s =，满足)ln ,(1a s --∞∈，且()10f s a =-<；取222ln s a a=+，满足),ln (2∞+-∈a s ，且0)2(ln )2()(222<-+-=a a e ae a sf .所以，a 的取值范围是()10,e -.（Ⅱ）证明：由()0x f x x ae =-=，有x x a e=. 设()x x g x e =，由xe xx g -=1)('，知()g x 在)1,(-∞上单调递增，在),1(∞+上单调递减.并且，当]0,(-∞∈x 时，0)(≤x g ；当),0(∞+∈x 时，()0g x >.由已知，12,x x 满足()1a g x =，()2a g x =. 由∈a ()10,e-，及()g x 的单调性，可得)1,0(1∈x ， ),1(2∞+∈x .对于任意的∈21,a a ()10,e-，设12a a >，()()121g g a x x ==，其中1201x x <<<；()()122g g a h h ==，其中1201h h <<<.因为()g x 在()0,1上单调递增，故由12a a >，即()()11g g x h >，可得11x h >；类似可得22x h <.又由11,0x h >，得222111x h h x x h <<. 所以，21x x 随着a 的减小而增大. （Ⅲ）证明：由11xx ae =，22xx ae =，可得11ln ln x a x =+，22ln ln x a x =+. 故221211ln ln ln x x x x x x -=-=. 设21x t x =，则1t >，且⎩⎨⎧=-=,ln ,1212t x x tx x 解得1ln 1t x t =-，2ln 1t t x t =-.所以，()121ln 1t tx x t ++=-. ①令()()1ln 1x xh x x +=-，),1(∞+∈x ，则2)1(1ln 2)('--+-=x x x x x h .令()12ln u x x x x=-+-，得2)1()('x x x u -=. 当),1(∞+∈x 时，0)('>x u .因此，()u x 在),1(∞+∈x 上单调递增，故对于任意的),1(∞+∈x ，()()10u x u >=，由此可得0)('>x h ，故()h x 在),1(∞+上单调递增.因此，由①可得12x x +随着t 的增大而增大.而由（Ⅱ），t 随着a 的减小而增大，所以12x x +随着a 的减小而增大.。
2014年天津卷数学试题及答案(理)
绝密 ★ 启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：•如果事件A ，B 互斥，那么 •如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =+()()()P AB P A P B =.•圆柱的体积公式V Sh =. •圆锥的体积公式13V Sh =. 其中S 表示圆柱的底面面积， 其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆柱的高. h 表示圆锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，复数734ii+=+（ ）（A ）1i - （B ）1i -+ （C ）17312525i + （D ）172577i -+ （2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为（ ）（A ）15 （B ）105ED CBA （C ）245 （D ）945（4）函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是（ ）（A ）()0,+¥ （B ）(),0-¥ （C ）()2,+¥（D ）(),2-?（5）已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）（A ）221520x y -= （B ）221205x y -= （C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -= （6）如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF Ð；②2FB FD FA =?；③AE CEBE DE ??；④AF BD AB BF ??.则所有正确结论的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ （7）设,a b R Î，则|“a b >”是“a a b b >”的（ ） （A ）充要不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充要也不必要条件 （8）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD? ，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，DF DC m =.若1AE AF?，23CE CF?- ，则l m +=（ ） （A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712第Ⅱ卷注意事项： 1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2014年高考(天津卷)理科数学
2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)选择题：共40分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2014天津，理1)i 是虚数单位，复数7i34i++＝( )． A ．1－i B ．－1＋i C ．1731i 2525+ D ．1725i 77-+ 答案：A解析：7+i (7+i)(34i)2525i===1i 3+4i (3+4i)(34i)25----，故选A ． 2．(2014天津，理2)设变量x ，y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，，，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )．A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：B解析：画出不等式组所确定的可行域(如图阴影部分)．由z ＝x ＋2y ，得1122y x z =-+， 作直线l ：12y x =-，平移l ，由图形可知当l 经过可行域中的点A (1,1)时，z 取最小值，且z min ＝1＋2×1＝3，故选B.3．(2014天津，理3)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为( )．A ．15B ．105C ．245D ．945 答案：B解析：第一次执行循环体T ＝2×1＋1＝3，S ＝1×3＝3，i ＝2； 第二次执行循环体T ＝2×2＋1＝5，S ＝3×5＝15，i ＝3； 第三次执行循环体T ＝2×3＋1＝7，S ＝15×7＝105，i ＝4. 这时满足i ≥4，跳出循环，输出S ＝105，故选B.4．(2014天津，理4)函数212()log (4)f x x =-的单调递增区间为( )．A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2) 答案：D解析：由x 2－4＞0得x ＞2或x ＜－2，因此函数定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 令t ＝x 2－4，当x ∈(－∞，－2)时，t 随x 的增大而减小，12log y t =随t 的减小而增大，所以212log (4)y x =-随x 的增大而增大，即f (x )在(－∞，－2)上单调递增．故选D.5．(2014天津，理5)已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )．A ．221520x y -= B ．221205x y -= C ．2233125100x y -= D ．2233110025x y -= 答案：A解析：由于双曲线焦点在x 轴上，且其中一个焦点在直线y ＝2x ＋10上，所以c ＝5. 又因为一条渐近线与l 平行，因此2ba=，可解得a 2＝5，b 2＝20，故双曲线方程为221520x y -=，故选A ． 6．(2014天津，理6)如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分∠CBF ；②FB 2＝FD ·F A ；③AE ·CE ＝BE ·DE ；④AF ·BD ＝AB ·BF .则所有正确结论的序号是( )．A ．①②B ．③④C ．①②③D ．①②④ 答案：D解析：由弦切角定理知∠FBD ＝∠BAD ， ∵AD 平分∠BAC ，∠CBD ＝∠CAD ， ∴∠BAD ＝∠DBC .∴∠FBD ＝∠CBD ，即BD 平分∠CBF ，∴①正确； 由切割线定理知，∴②正确； 由相交弦定理知，AE ·ED ＝BE ·EC ，∴③不正确； ∵△ABF ∽△BDF ，∴AB AFBD BF=. ∴AF ·BD ＝AB ·BF ，∴④正确．故选D.7．(2014天津，理7)设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案：C解析：令f (x )＝x |x |，则22,0,(),0,x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩画出f (x )的图象(如图)，易知f (x )在R 上为单调递增函数，因此a ＞b ⇔f (a )＞f (b )，故“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的充要条件，故选C.8．(2014天津，理8)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若1AE AF ⋅=，23CE CF ⋅=-，则λ＋μ＝( )． A ．12 B ．23 C ．56 D ．712答案：C解析：由于菱形边长为2，所以BE ＝λBC ＝2λ，DF ＝μDC ＝2μ，从而CE ＝2－2λ，CF ＝2－2μ.由1AE AF ⋅=，得()()AB BE AD DF +⋅+＝AB AD AB DF BE AD BE DF ⋅+⋅+⋅+⋅ ＝2×2×cos 120°＋2·(2μ)＋2λ·2＋2λ·2μ·cos 120° ＝－2＋4(λ＋μ)－2λμ＝1， 所以4(λ＋μ)－2λμ＝3.由23CE CF ⋅=-，得12(22)(22)23λμ⎛⎫-⋅-⋅-=- ⎪⎝⎭，所以23λμλμ-=+， 因此有44()2()33λμλμ-+=++，解得56λμ=+，故选C.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．(2014天津，理9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．答案：60解析：依题意知，应从一年级本科生中抽取430060()4556⨯=+++名．10．(2014天津，理10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为__________m 3.答案：20π3解析：由三视图可知，该几何体是一个组合体，其上部是一个圆锥，且底面圆半径为2，高为2；下部是一个圆柱，底面圆半径为1，高为4，故该几何体的体积2218π20ππ22π144π333V =⋅⋅⋅⋅⋅=+=+.11．(2014天津，理11)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为__________．答案：12-解析：由已知得S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1－1，411434(1)462S a a ⨯⨯--=+＝，而S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，整理得2a 1＋1＝0，解得112a =-.12．(2014天津，理12)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知14b c a -=,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为__________． 答案：14-解析：由2sin B ＝3sin C ，结合正弦定理得2b ＝3c ，又14b c a -=，所以32b c =，a ＝2c . 由余弦定理得222cos =2b c a A bc+-＝22232222c c c c c ⎛⎫+-() ⎪⎝⎭⋅⋅＝14-.13．(2014天津，理13)在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点，若△AOB 是等边三角形，则a 的值为__________．答案：3解析：由ρ＝4sin θ可得ρ2＝4ρsin θ，所以x 2＋y 2＝4y .所以圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，其圆心为C (0,2)，半径r ＝2；由ρsin θ＝a ，得直线的直角坐标方程为y ＝a ，由于△AOB 是等边三角形，所以圆心C 是等边三角形OAB 的中心，若设AB 的中点为D (如图)．则1sin 30212CD CB ⋅︒⨯===，即a －2＝1，所以a ＝3. 14．(2014天津，理14)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为__________．答案：(0,1)∪(9，＋∞)解析：在同一坐标系中分别作出函数f (x )与y ＝a |x －1|的图象，由图知，当a ＝0时，两函数的图象只有2个交点，当a ＜0时，两图象没有交点，故必有a ＞0.若曲线y ＝－x 2－3x (－3≤x ≤0)与直线y ＝－a (x －1)(x ≤1)相切，联立方程得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，则由Δ＝0得a ＝1(a ＝9舍去)，因此当0＜a ＜1时，f (x )的图象与y ＝a |x －1|的图象有4个交点；若曲线y ＝x 2＋3x (x ＞0)与直线y ＝a (x －1)(x ＞1)相切，联立方程得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，则由Δ＝0可得a ＝9(a ＝1舍去)，因此当a ＞9时，f (x )的图象与y ＝a |x －1|的图象有4个交点，故当方程有4个互异实数根时，实数a 的取值范围是(0,1)∪(9，＋∞)．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)(2014天津，理15)已知函数()2πcos sin 34f x x x x ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在闭区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 分析：(1)先利用两角和与差的正弦公式及二倍角的正弦、余弦公式，化简函数解析式为一个角的三角函数的形式，再求周期．(2)可利用函数f (x )在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性求最值．解：(1)由已知，有()21cos sin 2f x x x x x ⎛⎫⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭=＝21sin cos 224x x x ⋅+＝1sin 2cos 2)444x x -+＝1sin 244x x =-＝1πsin 223x ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 所以，f (x )的最小正周期2ππ2T ==. (2)因为f (x )在区间ππ,412⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数，在区间ππ,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，π144f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π1122f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π144f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，函数f (x )在闭区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为14，最小值为12-.16．(本小题满分13分)(2014天津，理16)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 分析：(1)利用古典概型及其概率计算公式即可求解．(2)根据随机变量x 的所有可能值及古典概型概率公式可求出分布列，再由数学期望的定义求解即可得所求数学期望．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则()12033737310C C C C 49C 60P A ⋅+⋅==. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960. (2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3.346310C C()C k k P X k -⋅==(k ＝0,1,2,3)．所以，随机变量X随机变量X的数学期望6()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 17．(本小题满分13分)(2014天津，理17)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．(1)证明：BE ⊥DC ；(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F －AB －P 的余弦值．分析：方法一：用向量方法解．通过建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标．(1)用向量积为0，证线线垂直．(2)设平面PBD 的一个法向量．利用垂直关系确定法向量坐标，再由向量夹角公式求线面角．(3)确定出二面角的两个面的一个法向量，由向量夹角公式求二面角余弦值．注意共线向量定理的应用．方法二：几何证明法：(1)取PD 中点M .通过证明ABEM 为平行四边形来证明线线平行．由已知线面垂直证线线垂直，再证线面垂直．由此证得CD ⊥AM ，故可得结论．(2)由线与面、线与线、面与面的垂直，寻找并证明线面角，再通过解三角形，求出线面角的正弦值．(3)利用垂直关系寻找并证明二面角的平面角为∠P AG ，再通过解三角形，利用余弦定理，求出二面角的余弦值．方法一：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B (1,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)．由E 为棱PC 的中点，得E (1,1,1)．(1)证明：向量()0,1,1BE =，()2,0,0DC =， 故0BE DC ⋅=.所以BE ⊥DC .(2)解：向量(1,2,0)BD -=，(1,02)PB -=，． 设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的法向量，则0,0,BD PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,20.x y x z -+=⎧⎨-=⎩ 不妨令y ＝1，可得n ＝(2,1,1)为平面PBD 的一个法向量．于是有cos ||||6BE BE BE ⋅〈〉===⋅，n n n . 所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为3. (3)解：向量()1,2,0BC =，(22,2)CP =--，，()2,2,0AC =，()1,0,0AB =．由点F 在棱PC 上，设CF CP λ=，0≤λ≤1. 故(12222)BF BC CF BC CP λλλλ=+=+--=，，． 由BF ⊥AC ，得0BF AC ⋅=， 因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得34λ=. 即113,,222BF ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 设n 1＝(x ，y ，z )为平面F AB 的法向量，则110,0,AB BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,1130.222x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩ 不妨令z ＝1，可得n 1＝(0，－3,1)为平面F AB的一个法向量．取平面ABP 的法向量n 2＝(0,1,0)． 则121212cos ||||10⋅===-⋅〈，〉nn n n n n . 易知，二面角F －AB －P .方法二：(1)证明：如图，取PD 中点M ，连接EM ，AM .由于E ，M 分别为PC ，PD 的中点，故EM ∥DC ，且12EM DC =， 又由已知，可得EM ∥AB 且EM ＝AB ，故四边形ABEM 为平行四边形，所以BE ∥AM . 因为P A ⊥底面ABCD ，故P A ⊥CD ，而CD ⊥DA ，从而CD ⊥平面P AD ， 因为AM ⊂平面P AD ，于是CD ⊥AM ， 又BE ∥AM ，所以BE ⊥CD .(2)解：连接BM .由(1)知CD ⊥平面P AD ，得CD ⊥PD ，而EM ∥CD ，故PD ⊥EM . 又因为AD ＝AP ，M 为PD 的中点，故PD ⊥AM ，可得PD ⊥BE ， 所以PD ⊥平面BEM ，故平面BEM ⊥平面PBD .所以，直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ，而BE ⊥EM ， 可得∠EBM 为锐角，故∠EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角．依题意，有PD =M 为PD 中点，可得AM BE故在直角三角形BEM 中，tanEM AB EBM BE BE ∠===，因此sin EBM ∠所以，直线BE 与平面PBD (3)解：如图．在△P AC 中，过点F 作FH ∥P A 交AC 于点H .因为P A ⊥底面ABCD ，故FH ⊥底面ABCD ，从而FH ⊥AC . 又BF ⊥AC ，得AC ⊥平面FHB ，因此AC ⊥BH . 在底面ABCD 内，可得CH ＝3HA ，从而CF ＝3FP .在平面PDC 内，作FG ∥DC 交PD 于点G ，于是DG ＝3GP . 由于DC ∥AB ，故GF ∥AB ，所以A ，B ，F ，G 四点共面． 由AB ⊥P A ，AB ⊥AD ，得AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥AG . 所以∠P AG 为二面角F －AB －P 的平面角．在△P AG 中，P A ＝2，142PG PD ==，∠APG ＝45°，由余弦定理可得AG =，cos PAG ∠=所以二面角F －AB －P. 18．(本小题满分13分)(2014天津，理18)设椭圆2222=1x y a b +(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B .已知12AB F .(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率．分析：(1)由题知A (a,0)，B (0，b )，|F 1F 2|＝2c ，因此可由已知条件结合b 2＝a 2－c 2，求出离心率．(2)由(1)可设出只含一个参数c 的椭圆标准方程，设出P 点坐标．由以PB 为直径的圆过F 1知PF 1⊥BF 1，得P 点坐标关系．由P 点在椭圆上，得P 点坐标另一关系，由此确定P 点坐标．再根据过原点的直线l 与圆相切，列出斜率k 的方程，即可求出k 值．解：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0)．由12||||AB F F ，可得a 2＋b 2＝3c 2， 又b 2＝a 2－c 2，则221=2c a .所以椭圆的离心率2e =.(2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2.故椭圆方程为2222=12x y c c+.设P (x 0，y 0)．由F 1(－c,0)，B (0，c )，有100=()F P x c y +，，1=()F B c c ， 由已知，有11=0F P F B ⋅，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0.又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0. ①又因为点P 在椭圆上，故220022=12x y c c+. ②由①和②可得200340x cx +=.而点P 不是椭圆的顶点，故043x c =-，代入①得0=3c y ，即点P 的坐标为433c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，.设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则14023==23c x c -+-，12323c cy c +==，进而圆的半径r ==.设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx . 由lr ，， 整理得k 2－8k ＋1＝0，解得4k =所以，直线l的斜率为44.19．(本小题满分14分)(2014天津，理19)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0,1,2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1，x i ∈M ，i ＝1,2，…，n }．(1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A ；(2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1,2，…，n .证明：若a n ＜b n ，则s ＜t .分析：在第(1)问中，由于q 和n 的值已给出，因此集合M 确定，从而x i 的取值确定．只需列出x 的所有可能的取值，即得集合A ．在第(2)问中，考虑到s 和t 表达式的结构特点，应采用作差法证明它们的大小关系．在s －t 的表达式中，由于a i 与b i (i ＝1,2,3，…，n －1)的大小关系不确定，因此可将a i －b i (i ＝1,2，…，n －1)统一放大为其最大值q －1，而a n ＜b n ，可将a n －b n 放大为其最大值－1，然后将s －t 的表达式用等比数列求和公式化简，即可证得s －t ＜0.(1)解：当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0,1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1,2,3}． 可得，A ＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．(2)证明：由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1,2，…，n 及a n ＜b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )q n －1≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋(q －1)q n －2－q n －1＝11(1)(1)1n n q q q q------＝－1＜0.所以，s ＜t .20．(本小题满分14分)(2014天津，理20)设f (x )＝x －a e x (a ∈R )，x ∈R .已知函数y ＝f (x )有两个零点x 1，x 2，且x 1＜x 2.(1)求a 的取值范围；(2)证明21x x 随着a 的减小而增大； (3)证明x 1＋x 2随着a 的减小而增大．分析：在第(1)问中，由f (x )有两个零点知f (x )图象与x 轴有两个不同交点，因此可通过用导数研究f (x )的单调性与极值情况，结合图象分析，建立关于参数a 的不等条件求得其取值范围；在第(2)问中，首先应结合图象确定零点x 1，x 2的所在区间，然后针对a 的两个不同值a 1，a 2，考察它们对应零点ξ1，ξ2与η1，η2的大小关系，结合f (x )的单调性确定21ξξ与21ηη的大小关系，证得结论；在第(3)问中，可结合(2)问的结论，只需证明x 1＋x 2的值随21xx 的增大而增大即可．这时可通过对已知式子两边取对数，将x 1＋x 2表示为关于21xx 的函数h (x )，然后用导数证明h (x )单调递增即可证得结论．(1)解：由f (x )＝x －a e x ，可得f ′(x )＝1－a e x . 下面分两种情况讨论：①a ≤0时，f ′(x )＞0在R 上恒成立，可得f (x )在R 上单调递增，不合题意． ②a ＞0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－ln a .当x于是，“函数y ＝f (x )有两个零点”等价于如下条件同时成立： 1° f (－ln a )＞0； 2° 存在s 1∈(－∞，－ln a )，满足f (s 1)＜0； 3° 存在s 2∈(－ln a ，＋∞)，满足f (s 2)＜0.由f (－ln a )＞0，即－ln a －1＞0，解得0＜a ＜e －1.而此时，取s 1＝0，满足s 1∈(－∞，－ln a )，且f (s 1)＝－a ＜0；取222ln s a a =+，满足s 2∈(－ln a ，＋∞)，且22222()=e ln e 0a a f s a a ⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以，a 的取值范围是(0，e －1)．(2)证明：由f (x )＝x －a e x ＝0，有ex xa =. 设()e x x g x =，由()1e xxg x -'=，知g (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．并且，当x ∈(－∞，0]时，g (x )≤0； 当x ∈(0，＋∞)时，g (x )＞0.由已知，x 1，x 2满足a ＝g (x 1)，a ＝g (x 2)．由a ∈(0，e －1)，及g (x )的单调性，可得x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)．对于任意的a 1，a 2∈(0，e －1)，设a 1＞a 2，g (ξ1)＝g (ξ2)＝a 1，其中0＜ξ1＜1＜ξ2； g (η1)＝g (η2)＝a 2，其中0＜η1＜1＜η2.因为g (x )在(0,1)上单调递增，故由a 1＞a 2， 即g (ξ1)＞g (η1)，可得ξ1＞η1； 类似可得ξ2＜η2.又由ξ1，η1＞0，得222111ξηηξξη<<. 所以21x x 随着a 的减小而增大． (3)证明：由11e xx a ＝，22e xx a ＝， 可得ln x 1＝ln a ＋x 1，ln x 2＝ln a ＋x 2. 故x 2－x 1＝ln x 2－ln x 1＝21ln x x . 设21x t x =，则t ＞1， 且2121,ln ,x tx x x t =⎧⎨-=⎩解得1ln 1t x t =-，2ln 1t tx t =-.所以12(1)ln 1t tx x t ++=-. ①令(1)ln ()1x xh x x +=-，x ∈(1，＋∞)，则212ln ()(1)x x x h x x -+-'=-.令1()2ln u x x x x =-+-，得21()()x u x x-'=. 当x ∈(1，＋∞)时，u ′(x )＞0.因此，u (x )在(1，＋∞)上单调递增，故对于任意的x ∈(1，＋∞)，u (x )＞u (1)＝0. 由此可得h ′(x )＞0，故h (x )在(1，＋∞)上单调递增． 因此，由①可得x 1＋x 2随着t 的增大而增大．而由(2)，t 随着a 的减小而增大，所以x 1＋x 2随着a 的减小而增大．。
2014年高考理科数学天津卷
二、填空题：本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟
采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容
2
量为 300 的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、
四年级的本科生人数之比为 4 : 5 : 5 : 6 ,则应从一年级本科生中
（Ⅰ）求 a 的取值范围； （Ⅱ）证明： x2 随着 a 的减小而增大；
x1
（Ⅲ）证明： x1 x2 随着 a 的减小而增大.
17.（本小题满分 13 分）
如图,在四棱锥 P ABCD 中, PA 底面 ABCD , AD AB , AB DC , AD DC AP 2 , AB 1 ,点 E 为棱 PC 的中点.
（Ⅰ）证明： BE DC ； （Ⅱ）求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值； （Ⅲ）若 F 为棱 PC 上一点,满足 BF AC ,求二面角 F AB P 的余弦值.
19.（本小题满分 14 分）
已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数.设集合 M {0,1, 2,, q 1} ,集合 A {x | x x1 x2q xnqn1, xi M ,i 1, 2,, n}. （Ⅰ）当 q 2 , n 3 时,用列举法表示集合 A ； （Ⅱ）设 s , t A , s a1 a2q anqn1 , t b1 b2q bnqn1 ,其中 ai , bi M , i 1, 2,, n .证明：若 an bn ,则 s t .
实数 a 的取值范围为
.
三、解答题：本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
2014年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分）1．（5分）（2014•天津）i 是虚数单位，复数=（）+i +解：复数==2．（5分）（2014•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）﹣3．（5分）（2014•天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）4．（5分）（2014•天津）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）=logy=log ty=log（5．（5分）（2014•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）﹣=1 ﹣=1﹣=1 ﹣=1先求出焦点坐标，利用双曲线=1=2∵双曲线﹣=1∴∴双曲线的方程为﹣=16．（5分）（2014•天津）如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ，在上述条件下，给出下列四个结论： ①BD 平分∠CBF； ②FB 2=FD•FA ； ③AE•CE=BE•DE； ④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（ ）7．（5分）（2014•天津）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）8．（5分）（2014•天津）已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD=120°，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（ ）•=3 ①；再由=﹣ 解：由题意可得若•（+）•（+）++•+•=••（﹣））=•（，﹣，故答案为：．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）（2014•天津）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取 60 名学生． 解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为==6010．（5分）（2014•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 m 3．×ππ故答案为：11．（5分）（2014•天津）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为﹣．==S==，故答案为：﹣．12．（5分）（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为﹣．，再由余弦定理求得cosA=c= a ①，b=cosA==，故答案为：﹣．13．（5分）（2014•天津）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB 是等边三角形，则a的值为 3 ．是等边三角形，∴B（，可得（14．（5分）（2014•天津）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为（0，1）∪（9，+∞）．1|=a==1++5|1++5≥1=+5﹣三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）（2014•天津）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．求的范围，求出）=cosx•（sinx====）的最小正周期=，]﹣]∈，]∴当﹣时，即）取到最小值是：当=时，即时，）取到最大值是：，所以，所求的最大值为，最小值为本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式16．（13分）（2014•天津）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．（则名同学是来自互不相同学院的概率为（的数学期望17．（13分）（2014•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．的方向向量，根据=0 BF⊥AC，求出向量∴），=∵=0（Ⅱ）∵=），=的法向量=由，得====所成角的正弦值为．（Ⅲ）∵=），），上，设=故=+•=，即，，），=由，得，则的法向量==的余弦值为：18．（13分）（2014•天津）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．|AB|=|F．可得，再利用e=．可设椭圆方程为，可得．利用圆的性质可得，于是=0在椭圆上，可得．联立可得PT，利用两点间的距离公式可得圆的半径|AB|=，可得∴e=．因此椭圆方程为．），可得=），∵∴．联立，化为=0≠0，∴，，可得∴P=﹣=∴T，r==∴，解得的斜率为19．（14分）（2014•天津）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．A={x|+≤﹣A={x|）q+…++=20．（14分）（2014•天津）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．a==，=a，则=ln，令，令，=+ln，满足（﹣﹣）＜，，由=＜＜；∴=a=a，∴lnx=ln，设∴，，…①；==﹣=。
2014年高考真题理科数学(天津卷)
2014年高考真题理科数学（天津卷）是虚数单位，复数（）（A）（B）（C）（D）【答案解析】A设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（）（A）2（B）3（C）4（D）5【答案解析】B此题区域不是封闭区域，属于陷阱题。
作出可行域，如图。
结合图象可知，当目标函数通过点时，取得最小值3.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的的值为（）（A）15 （B）105（C）245 （D）945【答案解析】B函数的单调递增区间是（）（A）（B）（C）（D）【答案解析】D已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（）（A）（B）（C）（D）【答案解析】A如图，是圆的内接三角形，的平分线交圆于点，交于点，过点的圆的切线与的延长线交于点.在上述条件下，给出下列四个结论：①平分；①；①；①.则所有正确结论的序号是（）（A）①① （B）①① （C）①①① （D）①①①【答案解析】D设，则|“”是“”的（）（A）充要不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充要也不必要条件【答案解析】C已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，.若，，则（）（A）（B）（C）（D）【答案解析】C因为，所以.因为，所以，.因为，所以，即①同理可得①，①+①得.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生.【答案解析】60已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_______.【答案解析】设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前项和.若成等比数列，则的值为【答案解析】在中，内角所对的边分别是.已知，，则的值为_______.【答案解析】因为，所以，解得，.所以.在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点.若是等边三角形，则的值为___________.【答案解析】3已知函数，.若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________.【答案解析】（本小题满分13分）已知函数，.（①）求的最小正周期；（①）求在闭区间上的最大值和最小值.【答案解析】（①）（①）,（①）解：由已知，有.所以，的最小正周期.（①）解：因为在区间上是减函数，在区间上是增函数.，，.所以，函数在闭区间上的最大值为，最小值为.（本小题满分13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学. 在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.（①）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（①）设为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望.【答案解析】（①）（①）（①）解：设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件，则.所以，选出的3名同学来自互不相同学院的概率为.所以，的最小正周期.（①）解：随机变量的所有可能值为0，1，2，3..所以，随机变量的分布列是23随机变量的数学期望.（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.（①）证明；（①）求直线与平面所成角的正弦值；（①）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值.【答案解析】（①）见解析（①）（①）（方法一）依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，，，.由为棱的中点，得.（①）证明：向量，，故. 所以，.（①）解：向量，.设为平面的法向量，则即不妨令，可得为平面的一个法向量.于是有.所以，直线与平面所成角的正弦值为.（①）解：向量，，，.由点在棱上，设，.故.因此，，解得.即.设为平面的法向量，则即不妨令，可得为平面的一个法向量.取平面的法向量，则.易知，二面角是锐角，所以其余弦值为.（方法二）（①）证明：如图，取中点，连接，.由于分别为的中点，故，且，又由已知，可得且，故四边形为平行四边形，所以.因为底面，故，而，从而平面，因为平面，于是，又，所以.（①）解：连接，由（①）有平面，得，而，故.又因为，为的中点，故，可得，所以平面，故平面平面.所以直线在平面内的射影为直线，而，可得为锐角，故为直线与平面所成的角. 依题意，有，而为中点，可得，进而.故在直角三角形中，，因此.所以，直线与平面所成角的正弦值为.（①）解：如图，在中，过点作交于点.因为底面，故底面，从而.又，得平面，因此.在底面内，可得，从而.在平面内，作交于点，于是.由于，故，所以四点共面.由，，得平面，故.所以为二面角的平面角.在中，，，，由余弦定理可得，.所以，二面角的斜率值为.设椭圆（）的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为.已知.（①）求椭圆的离心率；（①）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点O 的直线与该圆相切. 求直线的斜率.【答案解析】（①）（①）（①）解：设椭圆的右焦点的坐标为.由，可得，又，则.所以，椭圆的离心率.，所以，解得，.（①）解：由（①）知，.故椭圆方程为.设.由，，有，.由已知，有，即.又，故有. ①又因为点在椭圆上，故. ①由①和①可得.而点不是椭圆的顶点，故，代入①得，即点的坐标为.设圆的圆心为，则，，进而圆的半径.设直线的斜率为，依题意，直线的方程为.由与圆相切，可得，即，整理得，解得.所以，直线的斜率为或.（本小题满分14分）已知和均为给定的大于1的自然数.设集合，集合.（①）当，时，用列举法表示集合；（①）设，，，其中，. 证明：若，则.【答案解析】（①）{0,1,2,3,4,5,6,7} （①）见解析（①）解：当，时，，.（①）证明：由，，，，及，可得.所以，.（本小题满分14分）已知函数，.已知函数有两个零点，且.（①）求的取值范围；（①）证明随着的减小而增大；（①）证明随着的减小而增大.【答案解析】（①）（①）见解析（①）见解析（①）解：由，可得.下面分两种情况讨论：（1）时在上恒成立，可得在上单调递增，不合题意. （2）时，由，得.当变化时，，的变化情况如下表：＋－①①这时，的单调递增区间是；单调递减区间是.于是，“函数有两个零点”等价于如下条件同时成立：1°；2°存在，满足；3°存在，满足.由，即，解得，而此时，取，满足，且；取，满足，且.所以，的取值范围是.（①）证明：由，有.设，由，知在上单调递增，在上单调递减. 并且，当时，；当时，.由已知，满足，. 由，及的单调性，可得，.对于任意的，设，，其中；，其中.因为在上单调递增，故由，即，可得；类似可得.又由，得.所以，随着的减小而增大.（①）证明：由，，可得，.故.设，则，且解得，.所以，. ①令，，则.令，得.当时，.因此，在上单调递增，故对于任意的，，由此可得，故在上单调递增. 因此，由①可得随着的增大而增大.而由（①），随着的减小而增大，所以随着的减小而增大.精品文档可下载编辑修改第11页共11页。
2014年天津高考数学理科
2014年天津高考（理）一、选择题1． i 是虚数单位,复数734ii+=+ ( ) A.1i - B.1i -+ C.1731i 2525+ D.1725i 77-+ 2．设变量,x y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为( )A.2B.3C.4D.53．阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出S 的值为( )A.15B.105C.245D.945 4．函数212()log (4)f x x =-的单调递增区间是( )A.(0,)+∞B.(,0)-∞C.(2,)+∞D.(,2)-∞-5．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线平行于直线l :210y x =+,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )A.221520x y -=B.221205x y -= C.2233125100x y -= D.2233110025x y -=6．如图,ABC ∆是圆的内接三角形,BAC ∠的平分线交圆于点D ,交BC 于点E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分CBF ∠;②2FB FD FA =⋅;③AE CE BE DE ⋅=⋅;④AF BD AB BF ⋅=⋅.则所有正确结论的序号是( )A.①②B.③④C.①②③D.①②④ 7．设,a b ∈R ,则“a b >”是“||||a a b b >”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8．已知菱形ABCD 的边长为2,120BAD ∠=,点,E F 分别在边,BC DC 上,BE BC λ=,DF DC μ=.若1AE AF ⋅=,23CE CF ⋅=-,则λμ+=( )A.12B.23C.56D.712 二、填空题9．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取_________名学生.10．已知一个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为_________3m .11．设{}n a 是首项为1a ,公差为1-的等差数列,n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列,则1a 的值为_________.12．在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知14b c a -=,2sin 3sin B C =,则cos A 的值为_________.13．在以O 为极点的极坐标系中,圆4sin ρθ=和直线sin a ρθ=相交于,A B 两点.若AO B ∆是等边三角形,则a 的值为_________.14．已知函数2()|3|f x x x =+,x ∈R .若方程()|1|0f x a x --=恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围为_________. 三、解答题15．已知函数2()cos sin()3f x x x x π=⋅+,x ∈R .(Ⅰ)求()f x 的最小正周期;(Ⅱ)求()f x 在闭区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.16．某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (Ⅰ)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(Ⅱ)设X 为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望.17．如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,,AD AB ⊥AB DC ‖,2AD D C AP ===,1AB =,点E 为棱PC 的中点.(Ⅰ)证明:BE DC ⊥;(Ⅱ)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值;(Ⅲ)若F 为棱PC 上一点,满足BF AC ⊥,求二面角F AB P --的余弦值.18．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ,右顶点为A ,上顶点为B .已知12AB F =. (Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB 为直径的圆经过点1F ,经过原点O 的直线l 与该圆相切.求直线的l 斜率.19．已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合{}0,1,2,1,q M =-,集合112,,1,2,|,{}n n i x q x M A x x x i q n x -+∈===++.(Ⅰ)当2q =,3n =时,用列举法表示集合A ; (Ⅱ)设,s t A ∈,112n n s a a q a q -=+++,112n n t b b q b q -=+++,其中,i i a b M ∈,1,2,,i n =. 证明:若n n a b <,则s t <.20．设()x f x x ae =-(),a x ∈∈R R .已知函数()y f x =有两个零点12,x x ,且12x x <. (Ⅰ)求a 的取值范围; (Ⅱ)证明21x x 随着a 的减小而增大; （Ⅲ）证明 12x x +随着a 的减小而增大. 参考答案一、选择题1．A 解析:直接计算7i (7i)(34i)2525i1i 34i (34i)(34i)25++--===-++-.故选A. 考点:⑴复数的四则运算;⑵运算求解能力. 难度:A 备注:高频考点 2．B解析:画出可行域,不难发现在点(1,1)A 处目标函数2z x y =+有最小值min 3z =.故选B.考点:⑴线性规划知识;⑵数形结合思想;⑶运算求解能力. 难度:A 备注:易错题3．B解析:逐次计算的结果是3,3,2T S i ===;5,15,3T S i ===;7,105,4T S i ===,此时输出的结果为105S =.故选B.考点:⑴程序框图;⑵运算求解能力;⑶分析问题、解决问题的能力. 难度:A 备注:易错题 4．D解析:函数()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞-+∞,因为函数()f x 是由12log y t =与2()4t g x x ==-复合而成,而12log y t =在(0,)+∞上单调递减,()g x 在(,2)-∞-上单调递减,所以函数()f x 在(,2)-∞-上单调递增.故选D.考点:⑴函数的定义域;⑵复合函数的单调性;⑶运算求解能力;⑷转化与化归的数学思想. 难度:A 备注:易错题 5．A解析:双曲线的其中一条渐近线b y x a =与直线210y x =+平行,所以2ba=且左焦点为(5,0)-,所以22225a b c +==,解得25a =,220b =,故双曲线方程为221520x y -=.故选A.考点:⑴双曲线的概念及其几何性质;⑵直线的斜率;⑶运算求解能力;⑷转化与化归的数学思想; ⑸数形结合思想. 难度:A 备注:高频考点 6．D解析:因为BAD FBD BD ∠=∠=,DBC DAC CD ∠=∠=,又AE 平分BAC ∠,所以BAD DAC ∠=∠,所以FBD DBC ∠=∠,所以BD 平分CBF ∠,结论①正确;易证ABF ∆∽BDF ∆,所以AB BDAF BF=,所以AB BF AF BD ⋅=⋅,结论④正确;由AF BFBF DF=得2BF AF DF =⋅,结论②正确.故选D. 考点:⑴圆的性质;⑵相似三角形;⑶逻辑推理能力. 难度:B 备注:易错题 7．C解析:构造函数()||f x x x =,则()f x 在定义域R 上为奇函数,因为22,0,(),0,x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩ 所以函数()f x 在R 上单调递增,所以a b >()()||||f a f b a a b b ⇔>⇔>.故选C.考点:⑴函数的单调性定义;⑵充要条件的判断;⑶推理论证能力;⑷转化与化归的数学思想. 难度:B 备注:易错题 8．C解析:记CE m =,CF n =,则2()()AE AF AC CE AC CF AC CACE CACF CE CF ⋅=+⋅+=-⋅-⋅+⋅ 22242cos602cos6044(22)(22)1333m n m n λμ=-⋅︒-⋅︒-=---=-----=,所以56λμ+=.故选C. 考点:⑴平面向量的运算;⑵向量的模、数量积的概念;⑶向量运算的几何意义;⑷推理论证能力; ⑸转化与化归的数学思想. 难度:B 备注:易错题 9．60解析:设应从一年级本科生中抽取x 名,则43004556x =+++,解得60x =. 考点:⑴分层抽样;⑵运算求解能力. 难度:A 备注:高频考点 10．203π 解析:该几何体是一个组合体,上半部分是一个圆锥,下半部分是一个圆柱.因为21=3V r h π圆锥2182233ππ=⨯⨯=,22=144V R H πππ=⨯⨯=圆柱,故该组合体体积843V ππ=+203π=.考点:⑴识别三视图所表示的空间几何体;⑵空间几何体体积计算;⑶空间想象能力;⑷运算求解能力. 难度:A 备注:高频考点 二、填空题 11．12-解析:由已知得2142=S S S ⋅,即2111(46)=(21)a a a ⋅--,解得112a =-.考点:⑴等差数列的前n 项和公式;⑵等比数列的概念、等比中项;⑶运算求解能力.难度:A 备注:高频考点 12．14-解析:由已知得23b c =,因为14b c a -=.不妨设3,2b c ==,所以4a =,所以cos A =222124b c a bc +-=-.考点:⑴正弦定理;⑵余弦定理;⑶运算求解能力. 难度:B 备注:高频考点 13．3解析:由于圆方程和直线方程的普通方程为224x y y +=和y a =, 它们相交于,A B 两点,因为AO B ∆为等边三角形,所以直线OB 方程为y ,联立224x y yy ⎧+=⎪⎨=⎪⎩消去y得2x =,解得x =0x = (舍去),所以3y =,即3a =.考点:⑴极坐标方程与直角坐标方程的互化;⑵直线与圆的位置关系;⑶运算求解能力.难度:A 备注:易错题 14．(0,1)(9,)+∞解析:画出函数2()|3|f x x x =+的大致图象,令()|1|g x a x =-,则函数()f x 的图象与函数()g x 的图象有且仅有4个不同的交点,如图,显然0a >(0a ≤不可能). 联立23(1)y x xy a x ⎧=--⎨=-⎩消去y 得2(3)0x a x a +-+=, 由0∆=解得1a =或9a =(舍去);联立23(1)y x xy a x ⎧=+⎨=-⎩消去y得2(3)0xa x a +-+=,由0∆=解得9a =或1a =(舍去). 结合图象,实数a 的取值范围为(0,1)(9,)+∞.考点:⑴函数的零点;⑵函数的综合性质;⑶直线与抛物线的位置关系;⑷转化与化归、数形结合、分类讨论;⑸运算求解能力. 难度:C 备注:易错题15．(Ⅰ)π;(Ⅱ)14,12-.解析:(Ⅰ)由已知,有21()cos (sin )2f xx x x x =⋅21sin cos 2x x x =⋅ 1sin 2cos2)4x x =+ 1sin 24x x = 1πsin(2)23x =- 所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.(Ⅱ) 因为()f x 在区间[,]412ππ--上是减函数,在区间[,]124ππ-上是增函数,而1()44f π-=-,1()122f π-=-,1()44f π=,所以,函数()f x 在闭区间[,]44ππ-上的最大值为14,最小值为12-. 考点:⑴两角和与差的正弦公式;⑵二倍角的正弦 、余弦公式;⑶三角函数的最小正周期、单调性;⑷运算求解能力. 难度:B 备注:典例. 三、解答题 16．(Ⅰ)4960;(Ⅱ)详见解析. 解析:(Ⅰ)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ,则1203373731049()60C C C C P A C ⋅+⋅==. 所以,选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960. (Ⅱ)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3,则346310()(0,1,2,3).k k C C P X k k C -⋅=== 所以,随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望1131612362()100503E X ⨯+⨯+⨯+⨯==.考点:⑴古典概型及其概率计算公式;⑵互斥事件;⑶离散型随机变量的分布列与数学期望;⑷运用概率知识解决简单实际问题的能力. 难度:B 备注:典例.17解析:(方法一)依题意,以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图),可得()1,0,0B ,()2,2,0C ,()0,2,0D ,()0,0,2P .由E 为棱PC 的中点,得()1,1,1E . (Ⅰ)()0,1,1BE =,()2,0,0DC =,故0BE DC ⋅=. 所以,BE DC ⊥.(Ⅱ)()1,2,0BD =-,()1,0,2PB =-.设(),,x y z =n 为平面PBD 的法向量,则0,0,BD PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即20,20.x y x z -+=⎧⎨-=⎩不妨令1y =,可得()2,1,1=n 为平面PBD 的一个法向量.于是有cos ,||||6BE BE BE ⋅<>===⋅n n n , 所以,直线BE 与平面PBD (Ⅲ)()1,2,0BC =,()2,2,2CP =--,()2,2,0AC =,()1,0,0AB =.由点F 在棱PC 上,设CF CP λ=,01λ≤≤.故()12,22,2BF BC CF BC CP λλλλ=+=+=--. 由BF AC ⊥,得0BF AC ⋅=,因此,()()2122220λλ-+-=, 解得34λ=.即113(,,)222BF =-. 设()1,,x y z =n 为平面FAB 的法向量,则110,0,AB BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,1130.222x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩ 不妨令1z =,可得()10,3,1=-n 为平面FAB 的一个法向量. 取平面ABP 的法向量()20,1,0=n ,则121212cos ,||||⋅<>===⋅n n n n n n .易知,二面角F AB P --是锐角,(方法二)(Ⅰ)如图,取PD 中点M ,连接EM ,AM .由于,E M 分别为,PC PD 的中点,故//EM DC ,且12EM DC =.由已知,可得//EM AB 且EM AB =,故四边形ABEM 为平行四边形,所以//BE AM . 因为PA ⊥底面ABCD ,故PA CD ⊥,而CD DA ⊥,从而 CD ⊥平面PAD .因为AM ⊂平面PAD ,于是CD AM ⊥.又//BE AM ,所以BE CD ⊥.(Ⅱ)连接BM .由(Ⅰ)有CD ⊥平面PAD ,得CD PD ⊥, 而//EM CD ,故PD EM ⊥.又因为AD AP =,M 为PD 的中点,故PD AM ⊥,可得PD BE ⊥,所以PD ⊥平面BEM ,故平面BEM ⊥平面PBD .所以直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM , 而BE EM ⊥,可得EBM ∠为锐角,故EBM ∠为直线BE 与平面PBD 所成的角.依题意,有PD =而M 为PD 中点,可得AM =故BE 在直角三角形BEM 中,tanEM AB EBM BE BE ∠==,因此in s EMB ∠=所以,直线BE 与平面PBD (Ⅲ)如图,在PAC ∆中,过点F 作//FH PA 交AC 于点H .因为PA ⊥底面ABCD ,故FH ⊥底面ABCD ,从而FH AC ⊥.又BF AC ⊥,得AC ⊥平面FHB ,因此AC BH ⊥.在底面ABCD 内,可得3CH H A =,从而3CF FP =. 在平面PDC 内,作//FG DC 交PD 于点G ,于是3D G G P =. 由于//DC AB ,故//GF AB ,所以,,,A B F G 四点共面. 由AB PA ⊥,AB AD ⊥,得AB ⊥平面PAD ,故AB AG ⊥. 所以PAG ∠为二面角F AB P --的平面角.在PAG ∆中,2PA =,14PG PD ==,45APG ∠=,由余弦定理可得AG ,os c PAG ∠=.所以,二面角F AB P --考点:⑴空间两条直线的位置关系;⑵二面角;⑶直线与平面所成的角;⑷直线与平面垂直;⑸空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力. 难度:B 备注:典例. 18;(Ⅱ)44解析:(Ⅰ)设椭圆右焦点2F 的坐标为(),0c .由12AB F ,可得2223a b c +=, 又222b ac =-,则2212c a =.所以,椭圆的离心率e =.(Ⅱ)由(Ⅰ)知22222,a c b c ==.故椭圆方程为222212x y c c+=.设()00,P x y .由()()1,0,0,F c B c -,有1F P ()00,x c y =+,()1,F B c c =.由已知,有110F P F B ⋅=,即()000x c c y c ++=.又0c ≠,故有000x y c ++=.① 又因为点P 在椭圆上,故22002212x y c c+=.②由①和②可得200340x cx +=.而点P 不是椭圆的顶点,故043cx =-, 代入①得03c y =,即点P 的坐标为4(,)33c c-. 设圆的圆心为()11,T x y ,则1402323c x c -+==-,12323c cy c +==, 进而圆的半径r =. 设直线l 的斜率为k ,依题意,直线l 的方程为y kx =.由l 与圆相切,r =,, 整理得2810k k-+=,解得4k =所以,直线l的斜率为44考点:⑴椭圆的标准方程和几何性质;⑵直线的方程;⑶圆的方程;⑷运算求解能力;⑸用方程思想解决问题的能力. 难度:C 备注:典例.19．(Ⅰ){}0,1,2,3,4,5,6,7A =;(Ⅱ)详见解析.解析:(Ⅰ)当2,3q n ==时,{}0,1M =,{}12324,,1,2,3i A x x x x x M x i ==+∈=+.可得,{}0,1,2,3,4,5,6,7A =. (Ⅱ)由,s t A ∈,112n n s a a q a q -=+++,112n n t b b q b q -=+++,,i i a b M ∈,1,2,,i n =及n n a b <,可得()()()()()()()1212121121111n n n n n n n n a b q a s t a b a b b q q q q q q q q -------=-++-+-≤-+-++---+()()11111n n q q q q----=--10=-<.所以,s t <.考点:⑴集合的含义和表示;⑵等比数列的前n 项和公式;⑶不等式的证明;⑷运算求解能力;⑸分析问题和解决问题的能力. 难度:C 备注:典例.20．(Ⅰ)1(0,)e -;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)详见解析.解析:(Ⅰ)由()x f x x ae =-,可得()1x f x ae '=-.下面分两种情况讨论:⑴当0a ≤时,由()0f x '>在R 上恒成立,可得()f x 在R 上单调递增,不合题意. ⑵当0a >时,由()0f x '=,得ln x a =-.当x 变化时,()f x ',()f x 的变化情况如下表:这时,()f x 的单调递增区间是(),ln a -∞-;单调递减区间是()ln ,a -+∞. 于是,“函数()y f x =有两个零点”等价于如下条件同时成立: ①(ln )0f a ->；②存在1(,ln )a s ∈-∞-,满足1()0f s <； ③存在2(ln ,)s a ∈-+∞,满足2()0f s <.由()ln 0f a ->,即ln 10a -->,解得10a e -<<,而此时,取10s =,满足()1,l n a s ∈-∞-,且()10f s a =-<;取222ln s a a =+,满足()2ln ,a s ∈-+∞,且22222()()(ln )0a a f s e e a a=-+-<.所以,a 的取值范围是1(0,)e -. (Ⅱ)由()0x f x x ae =-=,有x x a e =.设()xx g x e =,由1()x xg x e -'=知: ()g x 在(),1-∞上单调递增,在()1,+∞上单调递减.并且当(],0x ∈-∞时,()0g x ≤;当()0,x ∈+∞时,()0g x >.由已知,12,x x 满足()1a g x =,()2a g x =.由()10,a e -∈及()g x 的单调性,可得()10,1x ∈,()21,x ∈+∞.对于任意的()1120,,a a e -∈,设12a a >,()()121g g a ξξ==,其中1201ξξ<<<;()()122g g a ηη==,其中1201ηη<<<.因为()g x 在()0,1上单调递增,故由12a a >,即()()11g g ξη>,可得11ξη>; 类似可得22ξη<. 又由11,0ξη>,得222111ξηηξξη<<. 所以,21x x 随着a 的减小而增大. (Ⅲ)由11x x ae =,22x x ae =,可得11ln ln x a x =+,22ln ln x a x =+.故221211ln ln lnx x x x x x -=-=. 设21x t x =,则1t >,且2121,ln ,x tx x x t =⎧⎨-=⎩解得1ln 1t x t =-,2ln 1t t x t =-. 所以,12(1)ln 1t tx x t ++=-.① 令()(1)ln 1x xh x x +=-,()1,x ∈+∞,则()()212ln 1x x x h x x -+-'=-.令()12ln u x x x x =-+-,得21()()x u x x-'=.当()1,x ∈+∞时,()0u x '>.因此,()u x 在()1,+∞上单调递增,故对于任意的()1,x ∈+∞,()()10u x u >=,由此可得()0h x '>,故()h x 在()1,+∞上单调递增. 因此,由①可得12x x +随着t 的增大而增大.而由(Ⅱ),t 随着a 的减小而增大,所以12x x +随着a 的减小而增大.考点:⑴函数的零点;⑵导数的运算;⑶利用导数研究函数的性质;⑷函数思想、转化与化归思想;⑸抽象概况能力、综合分析问题和解决问题的能力. 难度:C 备注:典例.。
2014年高考理数真题试卷(天津卷)及解析
○…………外…………○…………装…学校:___________姓名：_○…………内…………○…………装…2014年高考理数真题试卷（天津卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.i 是虚数单位，复数 7+i3+4i =（ ） A.1﹣i B.﹣1+i C.1725+ 3125 I D.﹣ 177 + 257 i2.设变量x ，y 满足约束条件 {x +y −2≥2x −y −2≤0y ≥1，则目标函数z=x+2y 的最小值为（ ）A.2B.3C.4D.53.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为（ ）A.15答案第2页，总15页…外…………○…………装…………○………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线…内…………○…………装…………○………C.245 D.9454.函数f （x ）= log 12（x 2﹣4）的单调递增区间为（ ）A.（0，+∞）B.（﹣∞，0）C.（2，+∞）D.（﹣∞，﹣2）5.已知双曲线 x 2a 2 ﹣ y 2b2 =1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线平行于直线l ：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）A.x 25﹣ y 220 =1 B.x 220﹣ y 25 =1 C.3x 225﹣ 3y 2100 =1 D.3x 2100﹣ 3y 225 =16.如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ，在上述条件下，给出下列四个结论： ①BD 平分∠CBF； ②FB 2=FD•FA； ③AE•CE=BE•DE； ④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（ ） A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④7.设a ，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件…○…………装…………○…学校:___________姓名：___________班级：…○…………装…………○…第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取 名学生．9.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b ﹣c= 14 a ，2sinB=3sinC ，则cosA 的值为 ．10.已知函数f （x ）=|x 2+3x|，x∈R，若方程f （x ）﹣a|x ﹣1|=0恰有4个互异的实数根，的取值范围为 ．三、解答题（题型注释）11.已知函数f （x ）=cosx•sin（x+ π3 ）﹣ √3 cos 2x+ √34 ，x∈R． （1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在闭区间[﹣ π4 ， π4 ]上的最大值和最小值．12.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E 为棱PC 的中点．（1）证明：BE⊥DC；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）若F 为棱PC 上一点，满足BF⊥AC，求二面角F ﹣AB ﹣P 的余弦值．13.设椭圆 x 2a 2 + y 2b2 =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2 ， 右顶点为A ，上顶点为B ，已知|AB|= √32 |F 1F 2|．（1）求椭圆的离心率；（2）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1 ， 经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率．14.已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q ﹣1}，集合A={x|x=x 1+x 2q+…+x n q n ﹣1 ， x i ∈M，i=1，2，…n}． （1）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A ；答案第4页，总15页（2）设s ，t∈A，s=a 1+a 2q+…+a n q n ﹣1 ， t=b 1+b 2q+…+b n q n ﹣1 ， 其中a i ， b i ∈M，i=1，2，…，n ．证明：若a n ＜b n ， 则s ＜t ．15.设f （x ）=x ﹣ae x （a∈R），x∈R，已知函数y=f （x ）有两个零点x 1 ， x 2 ， 且x 1＜x 2 ．（1）求a 的取值范围；（2）证明： x2x 1随着a 的减小而增大；（3）证明x 1+x 2随着a 的减小而增大．……装…………○…………订……………………线……_______姓名：___________班级：___________考号：_________……装…………○…………订……………………线……参数答案1.A【解析】1.解：复数 7+i3+4i = (7+i)(3−4i)(3+4i)(3−4i) =25−25i 25=1−i ，故选A ．【考点精析】利用复数的乘法与除法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知设则；．2.B【解析】2.解：作出不等式对应的平面区域， 由z=x+2y ，得y=﹣ 12x +z2 ，平移直线y=﹣ 12x +z2 ，由图象可知当直线y=﹣ 12x +z2 经过点B （1，1）时，直线y=﹣12x +z2 的截距最小，此时z 最小．此时z 的最小值为z=1+2×1=3， 故选：B ．3.B【解析】3.解：由程序框图知：算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值， ∵跳出循环的i 值为4， ∴输出S=1×3×5×7=105． 故选：B ．【考点精析】根据题目的已知条件，利用程序框图的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形;一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明． 4.D【解析】4.解：令t=x 2﹣4＞0，可得 x ＞2，或 x ＜﹣2， 故函数f （x ）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），答案第6页，总15页当x∈（﹣∞，﹣2）时，t 随x 的增大而减小，y= log 12t 随t 的减小而增大，所以y= log 12（x 2﹣4）随x 的增大而增大，即f （x ）在（﹣∞，﹣2）上单调递增．故选：D ．【考点精析】利用复合函数单调性的判断方法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”． 5.A【解析】5.解：∵双曲线的一个焦点在直线l 上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线 x 2a 2 ﹣ y 2b2 =1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线平行于直线l ：y=2x+10，∴ ba =2， ∵c 2=a 2+b 2 ， ∴a 2=5，b 2=20，∴双曲线的方程为 x 25 ﹣ y 220 =1．故选：A ． 6.D【解析】6.解：∵圆周角∠DBC 对应劣弧CD ，圆周角∠DAC 对应劣弧CD ， ∴∠DBC=∠DAC．∵弦切角∠FBD 对应劣弧BD ，圆周角∠BAD 对应劣弧BD ， ∴∠FBD=∠BAF．∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAF=∠DAC．∴∠DBC=∠FBD．即BD 平分∠CBF．即结论①正确． 又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB． 由 FBFA =FDFB ，FB 2=FD•FA．即结论②成立． 由 BFAF =BDAB，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立．正确结论有①②④． 所以答案是D【考点精析】通过灵活运用命题的真假判断与应用，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系即可以解答此题． 7.C【解析】7.解：若a ＞b ，①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞b•b，此时成立．②0＞a ＞b ，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a•a＞﹣b•b，即a 2＜b 2 ， 此时成立． ③a≥0＞b ，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞﹣b•b，即a 2＞﹣b 2 ， 此时成立，即充分性成…外…………○…………装………学校:___________姓名：_______…内…………○…………装………立．若a|a|＞b|b|，①当a ＞0，b ＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a ﹣b ）（a+b ）＞0，因为a+b ＞0，所以a ﹣b ＞0，即a ＞b ．②当a ＞0，b ＜0时，a ＞b ．③当a ＜0，b ＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a ﹣b ）（a+b ）＜0，因为a+b ＜0，所以a ﹣b ＞0，即a ＞b ．即必要性成立，综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件， 故选：C ． 8.60【解析】8.解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为 44+5+5+6 =15， 故应从一年级本科生中抽取名学生数为300× 15 =60，所以答案是：60． 【考点精析】通过灵活运用分层抽样，掌握先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本即可以解答此题． 9.﹣ 14【解析】9.解：在△ABC 中， ∵b﹣c= 14 a ①，2sinB=3sinC ， ∴2b=3c ②，∴由①②可得a=2c ，b= 3c2 ． 再由余弦定理可得 cosA= b 2+c 2−a 22bc=9c 24+c 2−4c 23c⋅c=﹣ 14 ，所以答案是：﹣ 14 ．【考点精析】掌握正弦定理的定义和余弦定理的定义是解答本题的根本，需要知道正弦定理:；余弦定理:;;．10.（0，1）∪（9，+∞）【解析】10.解：由y=f （x ）﹣a|x ﹣1|=0得f （x ）=a|x ﹣1|， 作出函数y=f （x ），y=g （x ）=a|x ﹣1|的图象，答案第8页，总15页则a ＞0，此时g （x ）=a|x ﹣1|= {a(x −1),x ≥1−a(x −1),x ＜1，当﹣3＜x ＜0时，f （x ）=﹣x 2﹣3x ，g （x ）=﹣a （x ﹣1）， 当直线和抛物线相切时，有三个零点， 此时﹣x 2﹣3x=﹣a （x ﹣1）， 即x 2+（3﹣a ）x+a=0，则由△=（3﹣a ）2﹣4a=0，即a 2﹣10a+9=0，解得a=1或a=9，当a=9时，g （x ）=﹣9（x ﹣1），g （0）=9，此时不成立，∴此时a=1， 要使两个函数有四个零点，则此时0＜a ＜1，若a ＞1，此时g （x ）=﹣a （x ﹣1）与f （x ），有两个交点， 此时只需要当x ＞1时，f （x ）=g （x ）有两个不同的零点即可， 即x 2+3x=a （x ﹣1），整理得x 2+（3﹣a ）x+a=0，则由△=（3﹣a ）2﹣4a ＞0，即a 2﹣10a+9＞0，解得a ＜1（舍去）或a ＞9， 综上a 的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），方法2：由f （x ）﹣a|x ﹣1|=0得f （x ）=a|x ﹣1|， 若x=1，则4=0不成立， 故x≠1，则方程等价为a= f(x)|x−1| = |x 2+3x||x−1| =| (x−1)2+5(x−1)+4x−1 |=|x ﹣1+ 4x−1+5|，设g （x ）=x ﹣1+ 4x−1 +5，当x ＞1时，g （x ）=x ﹣1+ 4x−1 +5≥ 2√(x −1)4x−1+5=4+5=9 ，当且仅当x ﹣1=4x−1，即x=3时取等号，当x ＜1时，g （x ）=x ﹣1+ 4x−1 +5 ≤5−2√[−(x −1)⋅−4x−1] =5﹣4=1，当且仅当﹣（x ﹣1）=﹣ 4x−1 ，即x=﹣1时取等号，则|g （x ）|的图象如图：若方程f （x ）﹣a|x ﹣1|=0恰有4个互异的实数根， 则满足a ＞9或0＜a ＜1，所以答案是：（0，1）∪（9，+∞）…○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…11.（1）解：由题意得，f （x ）=cosx•（ 12 sinx+ √32 cosx ） −√3cos 2x +√34= 12sinx ⋅cosx −√32cos 2x +√34= 14sin2x −√34(1+cos2x)+√34= 14sin2x −√34cos2x= 1sin(2x −π)答案第10页，总15页○…………装………※※请※※不※※要※※在※※○…………装………所以，f （x ）的最小正周期 T =2π2=π．（2）解：由（1）得f （x ）= 12sin(2x −π3) ，由x∈[﹣ π4 ， π4 ]得，2x∈[﹣ π2 ， π2 ]，则 2x −π3∈[ −5π6， π6 ]，∴当 2x −π3=﹣ π2 时，即 sin(2x −π3) =﹣1时，函数f （x ）取到最小值是： −12， 当 2x −π3= π6 时，即 sin(2x −π3) = 12 时，f （x ）取到最大值是： 14 ，所以，所求的最大值为 14 ，最小值为- 12【解析】11.（1）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式 T =2π|ω|求出此函数的最小正周期；（2）由（1）化简的函数解析式和条件中x 的范围，求出 2x −π3的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值． 12.（1）证明：∵PA⊥底面ABCD ，AD⊥AB，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E 为棱PC 的中点．∴B（1，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2），E （1，1，1） ∴ BE →=（0，1，1）， DC →=（2，0，0） ∵ BE →• DC →=0， ∴BE⊥DC；（2）解：∵ BD →=（﹣1，2，0）， PB →=（1，0，﹣2）， 设平面PBD 的法向量 m →=（x ，y ，z ），由 {Bd →⋅m →=0PB →⋅m →=0，得 {−x +2y =0x −2z =0 ， 令y=1，则 m →=（2，1，1）， 则直线BE 与平面PBD 所成角θ满足： sinθ=BE →⋅m→|BE →|⋅|m →|=√6⋅√2= √33 ，故直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为 √33 ．（3）解：∵ BC →=（1，2，0）， CP →=（﹣2，﹣2，2）， AC →=（2，2，0）， 由F 点在棱PC 上，设 CF →=λ CP →=（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1）， 故 BF →= BC →+ CF →=（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1）， 由BF⊥AC，得 BF →• AC →=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0， 解得λ= 34 ，即 BF →=（﹣ 12 ， 12 ， 32 ），设平面FBA 的法向量为 n →=（a ，b ，c ），由 {AB →⋅n →=0BF →⋅n →=0，得 {a =0−12a +12b +32c =0 令c=1，则 n →=（0，﹣3，1）， 取平面ABP 的法向量 i →=（0，1，0）， 则二面角F ﹣AB ﹣P 的平面角α满足： cosα= |n →⋅i →||n →|⋅|i →|=√10= 3√1010 ，故二面角F ﹣AB ﹣P 的余弦值为：3√1010【解析】12.（1）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE ，DC 的方向向量，根据 BE →• DC →=0，可得BE⊥DC；（2）求出平面PBD 的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）根据BF⊥AC，求出向量 BF →的坐答案第12页，总15页………线…………○………线…………○标，进而求出平面FAB 和平面ABP 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F ﹣AB ﹣P 的余弦值．【考点精析】解答此题的关键在于理解空间角的异面直线所成的角的相关知识，掌握已知为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是上的任意两点，所成的角为，则．13.（1）解：设椭圆的右焦点为F 2（c ，0）， 由|AB|= √32 |F 1F 2|，可得 √a 2+b 2=√32×2c ，化为a 2+b 2=3c 2．又b 2=a 2﹣c 2，∴a 2=2c 2． ∴e= c a =√22．（2）解：由（1）可得b 2=c2．因此椭圆方程为 x 22c 2+y 2c 2=1 ．设P （x 0，y 0），由F 1（﹣c ，0），B （0，c ），可得 F 1P →=（x 0+c ，y 0）， F 1B →=（c ，c ）． ∵ F 1B →⊥F 1P →，∴ F 1B →⋅F 1P →=c （x 0+c ）+cy 0=0， ∴x 0+y 0+c=0， ∵点P在椭圆上，∴ x 022c 2+y 02c 2=1 ．联立 {x 0+y 0+c =0x 02+2y 02=2c 2，化为 3x 02+4cx 0 =0，∵x 0≠0，∴ x 0=−43c ， 代入x 0+y 0+c=0，可得 y 0=c3 ． ∴P (−43c,c3) ．设圆心为T （x 1，y 1），则 x 1=−43c+02=﹣ 23c ， y 1=c 3+c 2= 23c ．∴T (−23c,23c) ，∴圆的半径r= √(−23c)2+(23c −c)2= √53c ．设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为：y=kx ． ∵直线l 与圆相切，…………○…………线：___________…………○…………线∴|−23ck−23c|√1+k 2=√53c ，整理得k 2﹣8k+1=0，解得 4±√15 ． ∴直线l 的斜率为 4±√15 ．【解析】13.（1）设椭圆的右焦点为F 2（c ，0），由|AB|= √32 |F 1F 2|．可得 √a 2+b 2=√32×2c ，再利用b 2=a 2﹣c2， e= ca 即可得出．（2）由（1）可得b 2=c2． 可设椭圆方程为 x 22c 2+y 2c 2=1 ，设P （x 0 ， y 0），由F 1（﹣c ，0），B （0，c ），可得 F 1P →， F 1B →．利用圆的性质可得F 1B →⊥F 1P → ，于是 F 1B →⋅F 1P →=0，得到x 0+y 0+c=0，由于点P 在椭圆上，可得 x 022c 2+y 02c 2=1 ．联立可得 3x 02+4cx 0 =0，解得P (−43c,c 3) ．设圆心为T （x 1 ， y 1），利用中点坐标公式可得T (−23c,23c) ，利用两点间的距离公式可得圆的半径r ．设直线l 的方程为：y=kx ．利用直线与圆相切的性质即可得出．14.（1）解：当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x| x =x 1+x 2⋅2+x 3⋅22 ，x i ∈M，i=1，2，3}．可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．（2）证明：由设s ，t∈A，s=a 1+a 2q+…+a n q n ﹣1，t=b 1+b 2q+…+b n q n ﹣1，其中a i ，b i ∈M，i=1，2，…，n ．a n ＜b n ，∴a n ﹣b n ≤﹣1．可得s ﹣t=（a 1﹣b 1）+（a 2﹣b 2）q+…+ (a n−1−b n−1)q n−2 + (a n −b n )q n−1 ≤﹣[1+q+…+q n ﹣2+q n ﹣1] = −q n −1q−1＜0．∴s＜t ．答案第14页，总15页……○…………线………题※※……○…………线………【解析】14.（1）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x| x =x 1+x 2⋅2+x 3⋅22 ，x i ∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A ．（2）由于a i ， b i ∈M，i=1，2，…，n ．a n ＜b n ， 可得a n ﹣b n ≤﹣1．由题意可得s ﹣t=（a 1﹣b 1）+（a 2﹣b 2）q+…+ (a n−1−b n−1)q n−2 + (a n −b n )q n−1 ≤﹣[1+q+…+q n ﹣2+q n ﹣1]，再利用等比数列的前n 项和公式即可得出．【考点精析】关于本题考查的数列的前n 项和，需要了解数列{a n }的前n 项和s n 与通项a n的关系才能得出正确答案．15.（1）解：∵f（x ）=x ﹣ae x ，∴f′（x ）=1﹣ae x ； 下面分两种情况讨论：①a≤0时，f′（x ）＞0在R 上恒成立，∴f（x ）在R 上是增函数，不合题意；②a＞0时，由f′（x ）=0，得x=﹣lna ，当x 变化时，f′（x ）、f （x ）的变化情况如下，+∞）； ∴函数y=f （x ）有两个零点等价于如下条件同时成立： ①f（﹣lna ）＞0；②存在s 1∈（﹣∞，﹣lna ），满足f （s 1）＜0； ③存在s 2∈（﹣lna ，+∞），满足f （s 2）＜0；由f （﹣lna ）＞0，即﹣lna ﹣1＞0，解得0＜a ＜e ﹣1； 取s 1=0，满足s 1∈（﹣∞，﹣lna ），且f （s 1）=﹣a ＜0， 取s 2= 2a +ln 2a ，满足s 2∈（﹣lna ，+∞），且f （s 2）=（ 2a ﹣ e 2a ）+（ln 2a ﹣ e 2a ）＜0；∴a 的取值范围是（0，e ﹣1）．（2）证明：由f （x ）=x ﹣ae x =0，得a= xe x ， 设g （x ）= xe x ，由g′（x ）=1−xe x，得g （x ）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，并且当x∈（﹣∞，0）时，g （x ）≤0，当x∈（0，+∞）时，g （x ）≥0，x 1、x 2满足a=g （x 1），a=g （x 2），a∈（0，e ﹣1）及g （x ）的单调性，可得x 1∈（0，1），x 2∈（1，+∞）；对于任意的a 1、a 2∈（0，e ﹣1），设a 1＞a 2，g （X 1）=g （X 2）=a 1，其中0＜X 1＜1＜X 2； g （Y 1）=g （Y 2）=a 2，其中0＜Y 1＜1＜Y 2；………○…………装…………○学校:___________姓名：___________班………○…………装…………○∵g（x ）在（0，1）上是增函数，∴由a 1＞a 2，得g （X i ）＞g （Y i ），可得X 1＞Y 1；类似可得X 2＜Y 2；又由X 、Y ＞0，得 X 2X 1＜ Y 2X 1＜ Y 2Y 1；∴ x2x 1随着a 的减小而增大；（3）证明：∵x 1=a e x 1 ，x 2=a e x 2 ，∴lnx 1=lna+x 1，lnx 2=lna+x 2； ∴x 2﹣x 1=lnx 2﹣lnx 1=ln x 2x 1，设 x2x 1=t ，则t ＞1，∴ {x 2−x 1=lnt x 2=x 1t，解得x 1= lnt t−1 ，x 2= tlntt−1 ，∴x 1+x 2= (t+1)lntt−1…①； 令h （x ）= (x+1)lnxx−1 ，x∈（1，+∞），则h′（x ）=−2lnx+x−1x (x−1)2；令u （x ）=﹣2lnx+x ﹣ 1x ，得u′（x ）= (x−1x )2，当x∈（1，+∞）时，u′（x ）＞0，∴u（x ）在（1，+∞）上是增函数，∴对任意的x∈（1，+∞），u （x ）＞u （1）=0， ∴h′（x ）＞0，∴h（x ）在（1，+∞）上是增函数； ∴由①得x 1+x 2随着t 的增大而增大． 由（2）知，t 随着a 的减小而增大， ∴x 1+x 2随着a 的减小而增大．【解析】15.（1）对f （x ）求导，讨论f′（x ）的正负以及对应f （x ）的单调性，得出函数y=f （x ）有两个零点的等价条件，从而求出a 的取值范围；（2）由f （x ）=0，得a= xe x ，设g （x ）= xe x ，判定g （x ）的单调性即得证；（Ⅲ）由于x 1=a e x 1 ，x 2=a e x 2 ，则x 2﹣x 1=lnx 2﹣lnx 1=ln x 2x 1，令 x2x 1=t ，整理得到x 1+x 2=(t+1)lntt−1，令h （x ）=(x+1)lnxx−1，x∈（1，+∞），得到h （x ）在（1，+∞）上是增函数，故得到x 1+x 2随着t 的减小而增大．再由（2）知，t 随着a 的减小而增大，即得证．【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．。
2014天津市高考数学试卷(理科)答案与解析word版本
2014年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分）1．（5分）（2014•天津）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i，即求出值．解答：解：复数==，故选A．点评：本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．2．（5分）（2014•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2B．3C．4D．5考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=1+2×1=3，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．3．（5分）（2014•天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．15 B．105 C．245 D．945考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出S的值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，∵跳出循环的i值为4，∴输出S=1×3×5×7=105．故选：B．点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．4．（5分）（2014•天津）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：令t=x2﹣4＞0，求得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），且函数f（x）=g（t）=log t．根据复合函数的单调性，本题即求函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．解答：解：令t=x2﹣4＞0，可得x＞2，或x＜﹣2，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），当x∈（﹣∞，﹣2）时，t随x的增大而减小，y=log t随t的减小而增大，所以y=log（x2﹣4）随x的增大而增大，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增．故选：D．点评：本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．5．（5分）（2014•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1考点：双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．解答：解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．6．（5分）（2014•天津）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④考点：与圆有关的比例线段；命题的真假判断与应用．专题：直线与圆．分析：本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项．解答：解：∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，∴∠DBC=∠DAC．∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，∴∠FBD=∠BAF．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAF=∠DAC．∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确．又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．由，FB2=FD•FA．即结论②成立．由，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立．正确结论有①②④．故答案为D点评：本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题．7．（5分）（2014•天津）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：若a＞b，①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞b•b，此时成立．②0＞a＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a•a＞﹣b•b，即a2＜b2，此时成立．③a≥0＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞﹣b•b，即a2＞﹣b2，此时成立，即充分性成立．若a|a|＞b|b|，①当a＞0，b＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0，因为a+b＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b．②当a＞0，b＜0时，a＞b．③当a＜0，b＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0，因为a+b＜0，所以a﹣b＞0，即a＞b．即必要性成立，综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件，故选：C．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键．8．（5分）（2014•天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由•=1，求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①；再由•=﹣，求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．结合①②求得λ+μ的值．解答：解：由题意可得若•=（+）•（+）=+++=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．•=﹣•（﹣）==（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．由①②求得λ+μ=，故答案为：．点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）（2014•天津）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60名学生．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．解答：解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60，故答案为：60．点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．10．（5分）（2014•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算．解答：解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π．故答案为：．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．11．（5分）（2014•天津）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为﹣．考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由条件求得，S n=，再根据S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，由此求得a1的值．解答：解：由题意可得，a n=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，S n==，再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，即=a1•（4a1﹣6），解得a1=﹣，故答案为：﹣．点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题．12．（5分）（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为﹣．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosA=的值．解答：解：在△ABC中，∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，∴2b=3c ②，∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得cosA===﹣，故答案为：﹣．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．13．（5分）（2014•天津）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为3．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出B的坐标的值，代入x2+（y﹣2）2=4，可得a 的值．解答：解：直线ρsinθ=a即y=a，（a＞0），曲线ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，即x2+（y﹣2）2=4，表示以C（0，2）为圆心，以2为半径的圆，∵△AOB是等边三角形，∴B（a，a），代入x2+（y﹣2）2=4，可得（a）2+（a﹣2）2=4，∵a＞0，∴a=3．故答案为：3．点评：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出B的坐标是解题的关键，属于基础题．14．（5分）（2014•天津）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为（0，1）∪（9，+∞）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函数y=f（x），y=a|x﹣1|的图象利用数形结合即可得到结论．解答：解：由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函数y=f（x），y=g（x）=a|x﹣1|的图象，当a≤0，不满足条件，则a＞0，此时g（x）=a|x﹣1|=，当﹣3＜x＜0时，f（x）=﹣x2﹣3x，g（x）=﹣a（x﹣1），当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时﹣x2﹣3x=﹣a（x﹣1），即x2+（3﹣a）x+a=0，则由△=（3﹣a）2﹣4a=0，即a2﹣10a+9=0，解得a=1或a=9，当a=9时，g（x）=﹣9（x﹣1），g（0）=9，此时不成立，∴此时a=1，要使两个函数有四个零点，则此时0＜a＜1，若a＞1，此时g（x）=﹣a（x﹣1）与f（x），有两个交点，此时只需要当x＞1时，f（x）=g（x）有两个不同的零点即可，即x2+3x=a（x﹣1），整理得x2+（3﹣a）x+a=0，则由△=（3﹣a）2﹣4a＞0，即a2﹣10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，综上a的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），方法2：由f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，若x=1，则4=0不成立，故x≠1，则方程等价为a===||=|x﹣1++5|，设g（x）=x﹣1++5，当x＞1时，g（x）=x﹣1++5≥，当且仅当x﹣1=，即x=3时取等号，当x＜1时，g（x）=x﹣1++5=5﹣4=1，当且仅当﹣（x﹣1）=﹣，即x=﹣1时取等号，则|g（x）|的图象如图：若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则满足a＞9或0＜a＜1，故答案为：（0，1）∪（9，+∞）点评：本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）（2014•天津）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期；（Ⅱ）由（Ⅰ）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值．解答：解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=cosx•（sinx cosx）====所以，f（x）的最小正周期=π．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，由x∈[﹣，]得，2x∈[﹣，]，则∈[，]，∴当=﹣时，即=﹣1时，函数f（x）取到最小值是：，当=时，即=时，f（x）取到最大值是：，所以，所求的最大值为，最小值为．点评：本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题．16．（13分）（2014•天津）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．考点：古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数，代入古典概型概率公式求出值；（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）列出随机变量X的分布列求出期望值．解答：（Ⅰ）解：设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A，则，所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为．（Ⅱ）解：随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）所以随机变量X的分布列是X 0 1 2 3P随机变量X的数学期望．点评：本题考查古典概型及其概率公式，互斥事件，离散型随机变量的分布列与数学期望，考查应用概率解决实际问题的能力．17．（13分）（2014•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．分析：（I）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC的方向向量，根据•=0，可得BE⊥DC；（II）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）根据BF⊥AC，求出向量的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值．解答：证明：（I）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）∴=（0，1，1），=（2，0，0）∵•=0，∴BE⊥DC；（Ⅱ）∵=（﹣1，2，0），=（1，0，﹣2），设平面PBD的法向量=（x，y，z），由，得，令y=1，则=（2，1，1），则直线BE与平面PBD所成角θ满足：sinθ===，故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．（Ⅲ）∵=（1，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（2，2，0），由F点在棱PC上，设=λ=（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），故=+=（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），由BF⊥AC，得•=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0，解得λ=，即=（﹣，，），设平面FBA的法向量为=（a，b，c），由，得令c=1，则=（0，﹣3，1），取平面ABP的法向量=（0，1，0），则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足：cosα===，故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为：点评：本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．18．（13分）（2014•天津）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|=|F1F2|．可得，再利用b2=a2﹣c2，e=即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．可设椭圆方程为，设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得，．利用圆的性质可得，于是=0，得到x0+y0+c=0，由于点P在椭圆上，可得．联立可得=0，解得P．设圆心为T（x1，y1），利用中点坐标公式可得T，利用两点间的距离公式可得圆的半径r．设直线l的方程为：y=kx．利用直线与圆相切的性质即可得出．解答：解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|=|F1F2|，可得，化为a2+b2=3c2．又b2=a2﹣c2，∴a2=2c2．∴e=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．因此椭圆方程为．设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得=（x0+c，y0），=（c，c）．∵，∴=c（x0+c）+cy0=0，∴x0+y0+c=0，∵点P在椭圆上，∴．联立，化为=0，∵x0≠0，∴，代入x0+y0+c=0，可得．∴P．设圆心为T（x1，y1），则=﹣，=．∴T，∴圆的半径r==．设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx．∵直线l与圆相切，∴，整理得k2﹣8k+1=0，解得．∴直线l的斜率为．点评：本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．19．（14分）（2014•天津）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|，xi∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A．（Ⅱ）由于a i，b i∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，可得a n﹣b n≤﹣1．由题意可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…++≤﹣[1+q+…+q n﹣2+q n﹣1]，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．解答：（Ⅰ）解：当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|，x i∈M，i=1，2，3}．可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．（Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，∴a n﹣b n≤﹣1．可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…++≤﹣[1+q+…+q n﹣2+q n﹣1]=＜0．∴s＜t．点评：本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．20．（14分）（2014•天津）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）对f（x）求导，讨论f′（x）的正负以及对应f（x）的单调性，得出函数y=f （x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；（Ⅱ）由f（x）=0，得a=，设g（x）=，判定g（x）的单调性即得证；（Ⅲ）由于x1=a，x2=a，则x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，令=t，整理得到x1+x2=，令h（x）=，x∈（1，+∞），得到h（x）在（1，+∞）上是增函数，故得到x1+x2随着t的减小而增大．再由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，即得证．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x﹣ae x，∴f′（x）=1﹣ae x；下面分两种情况讨论：①a≤0时，f′（x）＞0在R上恒成立，∴f（x）在R上是增函数，不合题意；②a＞0时，由f′（x）=0，得x=﹣lna，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣lna）﹣lna （﹣lna，+∞）f′（x）+0 ﹣f（x）递增极大值﹣lna﹣1 递减∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣lna），减区间是（﹣lna，+∞）；∴函数y=f（x）有两个零点等价于如下条件同时成立：①f（﹣lna）＞0；②存在s1∈（﹣∞，﹣lna），满足f（s1）＜0；③存在s2∈（﹣lna，+∞），满足f（s2）＜0；由f（﹣lna）＞0，即﹣lna﹣1＞0，解得0＜a＜e﹣1；取s1=0，满足s1∈（﹣∞，﹣lna），且f（s1）=﹣a＜0，取s2=+ln，满足s2∈（﹣lna，+∞），且f（s2）=（﹣）+（ln﹣）＜0；∴a的取值范围是（0，e﹣1）．（Ⅱ）证明：由f（x）=x﹣ae x=0，得a=，设g（x）=，由g′（x）=，得g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，并且当x∈（﹣∞，0）时，g（x）≤0，当x∈（0，+∞）时，g（x）≥0，x1、x2满足a=g（x1），a=g（x2），a∈（0，e﹣1）及g（x）的单调性，可得x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；对于任意的a1、a2∈（0，e﹣1），设a1＞a2，g（X1）=g（X2）=a1，其中0＜X1＜1＜X2；g（Y1）=g（Y2）=a2，其中0＜Y1＜1＜Y2；∵g（x）在（0，1）上是增函数，∴由a1＞a2，得g（X i）＞g（Y i），可得X1＞Y1；类似可得X2＜Y2；又由X、Y＞0，得＜＜；∴随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明：∵x1=a，x2=a，∴lnx1=lna+x1，lnx2=lna+x2；∴x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，设=t，则t＞1，∴，解得x1=，x2=，∴x1+x2=…①；令h（x）=，x∈（1，+∞），则h′（x）=；令u（x）=﹣2lnx+x﹣，得u′（x）=，当x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0，∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，∴对任意的x∈（1，+∞），u（x）＞u（1）=0，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是增函数；∴由①得x1+x2随着t的增大而增大．由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，∴x1+x2随着a的减小而增大．点评：本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力，是综合型题目．。
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2014年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分）1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．15 B．105 C．245 D．9454．（5分）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=16．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC 于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④7．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件8．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC 上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．11．（5分）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．13．（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为．14．（5分）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．（13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．18．（13分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．19．（14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．20．（14分）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．2014年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分）1．（5分）（2014•天津）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i，即求出值．【解答】解：复数==，故选A．2．（5分）（2014•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=1+2×1=3，故选：B．3．（5分）（2014•天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．15 B．105 C．245 D．945【分析】算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，∵跳出循环的i值为4，∴输出S=1×3×5×7=105．故选：B．4．（5分）（2014•天津）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【分析】令t=x2﹣4＞0，求得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），且函数f（x）=g（t）=log t．根据复合函数的单调性，本题即求函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．【解答】解：令t=x2﹣4＞0，可得x＞2，或x＜﹣2，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），当x∈（﹣∞，﹣2）时，t随x的增大而减小，y=log t随t的减小而增大，所以y=log（x2﹣4）随x的增大而增大，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增．故选：D．5．（5分）（2014•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．6．（5分）（2014•天津）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④【分析】本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项．【解答】解：∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，∴∠DBC=∠DAC．∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，∴∠FBD=∠BAF．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAF=∠DAC．∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确．又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．由，FB2=FD•FA．即结论②成立．由，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立．正确结论有①②④．故答案为D7．（5分）（2014•天津）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若a＞b，①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞b•b，此时成立．②0＞a＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a•a＞﹣b•b，即a2＜b2，此时成立．③a≥0＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞﹣b•b，即a2＞﹣b2，此时成立，即充分性成立．若a|a|＞b|b|，①当a＞0，b＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0，因为a+b ＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b．②当a＞0，b＜0时，a＞b．③当a＜0，b＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0，因为a+b ＜0，所以a﹣b＞0，即a＞b．即必要性成立，综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件，故选：C．8．（5分）（2014•天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由•=1，求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①；再由•=﹣，求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．结合①②求得λ+μ的值．【解答】解：由题意可得若•=（+）•（+）=+++=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．•=﹣•（﹣）==（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．由①②求得λ+μ=，故答案为：．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）（2014•天津）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60名学生．【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60，故答案为：60．10．（5分）（2014•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π．故答案为：．11．（5分）（2014•天津）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为﹣．【分析】由条件求得，S n=，再根据S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，由此求得a1的值．【解答】解：由题意可得，a n=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，S n==，再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，即=a1•（4a1﹣6），解得a1=﹣，故答案为：﹣．12．（5分）（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为﹣．【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosA=的值．【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，∴2b=3c ②，∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得cosA===﹣，故答案为：﹣．13．（5分）（2014•天津）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a 相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为3．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出B的坐标的值，代入x2+（y﹣2）2=4，可得a的值．【解答】解：直线ρsinθ=a即y=a，（a＞0），曲线ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，即x2+（y﹣2）2=4，表示以C（0，2）为圆心，以2为半径的圆，∵△AOB是等边三角形，∴B（a，a），代入x2+（y﹣2）2=4，可得（a）2+（a﹣2）2=4，∵a＞0，∴a=3．故答案为：3．14．（5分）（2014•天津）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x ﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为（0，1）∪（9，+∞）．【分析】由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函数y=f（x），y=a|x ﹣1|的图象利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函数y=f（x），y=g（x）=a|x﹣1|的图象，当a≤0，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件，则a＞0，此时g（x）=a|x﹣1|=，当﹣3＜x＜0时，f（x）=﹣x2﹣3x，g（x）=﹣a（x﹣1），当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时﹣x2﹣3x=﹣a（x﹣1），即x2+（3﹣a）x+a=0，则由△=（3﹣a）2﹣4a=0，即a2﹣10a+9=0，解得a=1或a=9，当a=9时，g（x）=﹣9（x﹣1），g（0）=9，此时不成立，∴此时a=1，要使两个函数有四个零点，则此时0＜a＜1，若a＞1，此时g（x）=﹣a（x﹣1）与f（x），有两个交点，此时只需要当x＞1时，f（x）=g（x）有两个不同的零点即可，即x2+3x=a（x﹣1），整理得x2+（3﹣a）x+a=0，则由△=（3﹣a）2﹣4a＞0，即a2﹣10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，综上a的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），方法2：由f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，若x=1，则4=0不成立，故x≠1，则方程等价为a===||=|x﹣1++5|，设g（x）=x﹣1++5，当x＞1时，g（x）=x﹣1++5≥，当且仅当x﹣1=，即x=3时取等号，当x＜1时，g（x）=x﹣1++5=5﹣4=1，当且仅当﹣（x﹣1）=﹣，即x=﹣1时取等号，则|g（x）|的图象如图：若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则满足a＞9或0＜a＜1，故答案为：（0，1）∪（9，+∞）三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）（2014•天津）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x ∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期；（Ⅱ）由（Ⅰ）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=cosx•（sinx cosx）====所以，f（x）的最小正周期=π．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，由x∈[﹣，]得，2x∈[﹣，]，则∈[，]，∴当=﹣时，即=﹣1时，函数f（x）取到最小值是：，当=时，即=时，f（x）取到最大值是：，所以，所求的最大值为，最小值为．16．（13分）（2014•天津）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数，代入古典概型概率公式求出值；（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）列出随机变量X的分布列求出期望值．【解答】（Ⅰ）解：设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A，则，所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为．（Ⅱ）解：随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）所以随机变量X的分布列是X0123P随机变量X的数学期望．17．（13分）（2014•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【分析】（I）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC 的方向向量，根据•=0，可得BE⊥DC；（II）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）根据BF⊥AC，求出向量的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【解答】证明：（I）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）∴=（0，1，1），=（2，0，0）∵•=0，∴BE⊥DC；（Ⅱ）∵=（﹣1，2，0），=（1，0，﹣2），设平面PBD的法向量=（x，y，z），由，得，令y=1，则=（2，1，1），则直线BE与平面PBD所成角θ满足：sinθ===，故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．（Ⅲ）∵=（1，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（2，2，0），由F点在棱PC上，设=λ=（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），故=+=（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），由BF⊥AC，得•=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0，解得λ=，即=（﹣，，），设平面FBA的法向量为=（a，b，c），由，得令c=1，则=（0，﹣3，1），取平面ABP的法向量=（0，1，0），则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足：cosα===，故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为：18．（13分）（2014•天津）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．【分析】（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|=|F1F2|．可得，再利用b2=a2﹣c2，e=即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．可设椭圆方程为，设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得，．利用圆的性质可得，于是=0，得到x0+y0+c=0，由于点P在椭圆上，可得．联立可得=0，解得P．设圆心为T（x1，y1），利用中点坐标公式可得T，利用两点间的距离公式可得圆的半径r．设直线l的方程为：y=kx．利用直线与圆相切的性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|=|F1F2|，可得，化为a2+b2=3c2．又b2=a2﹣c2，∴a2=2c2．∴e=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．因此椭圆方程为．设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得=（x0+c，y0），=（c，c）．∵，∴=c（x0+c）+cy0=0，∴x0+y0+c=0，∵点P在椭圆上，∴．联立，化为=0，∵x0≠0，∴，代入x0+y0+c=0，可得．∴P．设圆心为T（x1，y1），则=﹣，=．∴T，∴圆的半径r==．设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx．∵直线l与圆相切，∴，整理得k2﹣8k+1=0，解得．∴直线l的斜率为．19．（14分）（2014•天津）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．【分析】（Ⅰ）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|，x i∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A．（Ⅱ）由于a i，b i∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，可得a n﹣b n≤﹣1．由题意可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…++≤﹣[1+q+…+q n﹣2+q n﹣1]，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】（Ⅰ）解：当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|，x i∈M，i=1，2，3}．可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．（Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i ∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，∴a n﹣b n≤﹣1．可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…++≤﹣[1+q+…+q n﹣2+q n﹣1]=＜0．∴s＜t．20．（14分）（2014•天津）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，讨论f′（x）的正负以及对应f（x）的单调性，得出函数y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；（Ⅱ）由f（x）=0，得a=，设g（x）=，判定g（x）的单调性即得证；（Ⅲ）由于x1=a，x2=a，则x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，令=t，整理得到x1+x2=，令h（x）=，x∈（1，+∞），得到h（x）在（1，+∞）上是增函数，故得到x1+x2随着t的减小而增大．再由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，即得证．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x﹣ae x，∴f′（x）=1﹣ae x；下面分两种情况讨论：①a≤0时，f′（x）＞0在R上恒成立，∴f（x）在R上是增函数，不合题意；②a＞0时，由f′（x）=0，得x=﹣lna，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，﹣lna）﹣lna（﹣lna，+∞）f′（x）+0﹣f（x）递增极大值﹣lna﹣1递减∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣lna），减区间是（﹣lna，+∞）；∴函数y=f（x）有两个零点等价于如下条件同时成立：①f（﹣lna）＞0；②存在s1∈（﹣∞，﹣lna），满足f（s1）＜0；③存在s2∈（﹣lna，+∞），满足f（s2）＜0；由f（﹣lna）＞0，即﹣lna﹣1＞0，解得0＜a＜e﹣1；取s1=0，满足s1∈（﹣∞，﹣lna），且f（s1）=﹣a＜0，取s2=+ln，满足s2∈（﹣lna，+∞），且f（s2）=（﹣）+（ln﹣）＜0；∴a的取值范围是（0，e﹣1）．（Ⅱ）证明：由f（x）=x﹣ae x=0，得a=，设g（x）=，由g′（x）=，得g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，并且当x∈（﹣∞，0）时，g（x）≤0，当x∈（0，+∞）时，g（x）≥0，x1、x2满足a=g（x1），a=g（x2），a∈（0，e﹣1）及g（x）的单调性，可得x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；对于任意的a1、a2∈（0，e﹣1），设a1＞a2，g（X1）=g（X2）=a1，其中0＜X1＜1＜X2；g（Y1）=g（Y2）=a2，其中0＜Y1＜1＜Y2；∵g（x）在（0，1）上是增函数，∴由a1＞a2，得g（X i）＞g（Y i），可得X1＞Y1；类似可得X2＜Y2；又由X、Y＞0，得＜＜；∴随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明：∵x1=a，x2=a，∴lnx1=lna+x1，lnx2=lna+x2；∴x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，设=t，则t＞1，∴，解得x1=，x2=，∴x1+x2=…①；令h（x）=，x∈（1，+∞），则h′（x）=；令u（x）=﹣2lnx+x﹣，得u′（x）=，当x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0，∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，∴对任意的x∈（1，+∞），u（x）＞u（1）=0，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是增函数；∴由①得x1+x2随着t的增大而增大．由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，∴x1+x2随着a的减小而增大．。