必修二第一章立体几何和第二章点线面之间关系知识点归纳

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高中数学 必修二-第一章 立体几何初步 知识点整理

高中数学 必修二-第一章  立体几何初步 知识点整理

底面为三角形、四边形、五边形„„的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥„„,
其中三棱锥又叫四面体。
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正棱锥:如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面上的射影是底面的中心, 这样的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质: ①各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形; ②棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形,棱锥的高、侧棱和侧 棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。 (4)棱台的结构特征 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱 锥,底面与截面之间的部分叫做棱台。 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的 下底面和上底面;其它各面叫做棱台的侧 面;相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱; 底面与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点; 当棱台的底面水平放置时,铅垂线与两底 面交点间的线段叫做棱台的高。 由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。正棱台的性质: ①各侧棱相等,侧面是全等的等腰梯形;②两底面以及平行于底面的截面是相似多边 形;③两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形;④两底面中心连线、侧 棱和两底面外接圆相应半径组成一个直角梯形;⑤正棱台的上下底面中心的连线是棱台的 一条高;⑥正四棱台的对角面是等腰梯形。
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②在已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′ 轴的线段。
③在已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于 y 轴的线段, 长度变为原来的一半。
用斜二测法画直观图,关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法,而画水平放 置的平面图形的关键是确定多边形的顶点。因为多边形顶点的位置一旦确定,依次连接这 些顶点就可画出多边形。
在一束平行光线照射下形成的投影,叫做平行投影。平行投影的投影线是平行的。在 平行投影中,投影线正对着投影面时,叫做正投影,否则叫做斜投影。

人教A版高中数学必修二空间点、直线、平面之间的位置关系解读点、线、面间的位置关系文字素材

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解读点、线、面间的位置关系一、知识点精析1、平面的概念(1)“平面”是一个只描述而不定义的最基本的概念,它与点、线一样,都是从实际生活中抽象出来的数学概念.(2)平面的无限延展性平面内包含着无数条直线,而直线是可以无限延伸的,因此平面也必然具有无限延展的性质.日常接触到的很多平面的实例都只是平面的一部分,用平行四边形来表示平面,也只能画出平面的一部分.2.平面的基本性质(1)“有且只有一个”的含义:“有”说明图形是存在的,“只有一个”说明图形是唯一的.数学中的“只有一个”并不保证符合条件的图形一定存在,所以不能用“只有一个”来代替“有且只有一个”,符合某一条件的图形既存在,而且只能有一个,就说明这个图形完全是确定的,因此“有且只有一个”和“确定”是同义词.(2)公理1是判定直线在平面内或点在平面内的工具.例如:A α∈、B AB αα∈⇒⊂,又如A a ∈,a A αα⊂⇒∈.(3)公理2给出了确定两个相交平面的交线的方法.根据公理2要找到两个平面的交线,只要找出它们的两个公共点,经过这两点的直线就是它们的交线,同时公理2还可以用来证明点在直线上,即如果a αβ=,A α∈且A β∈,则A a ∈,进而可证明三点共线. (4)公理3及其推论是确定平面和判定平面重要的依据.在立体几何中,常常需将空间图形问题转化为平面图形的问题,进而利用平面几何知识来求解,因此要确定诸元素是否在同一个平面内,而公理3及其推论正是起着确定平面的作用.3.两条直线的位置关系(1)两条直线的三种位置关系:a .相交:共面,有且只有一个公共点.b .平行:共面,没有公共点.c .异面:不同在任何一个平面内,没有公共点.(2)异面直线的判定方法:a .定义:不同在任何一个平面内的两条直线,称为异面直线.b .判定定理:若l α⊂,A α∉,B α∈,B l ∉,则直线AB 和l 是异面直线.(3)公理4(平行公理)、等角定理及推论公理4是论证平行问题的主要根据,也是确定平面的基础.等角定理及其推论是证明空间两角相等的重要理论依据.(4)异面直线所成的角的概念及其取值范围a .异面直线所成的角的定义中,异面直线a 和b 所成的角和a '与b '所成的锐角(或直角)相等,但与点O 的位置无关,因此在解具体问题时,可将点O 取在a 或b 上,或者取几何体中具有特殊性的点.b .要明确过空间一点O ,引直线a 的平行线的方法和依据.因为O a ∉,所以点O 和a 确定一个平面α,在面α内过点O 作a a '∥,作b b '∥.c .两条异面直线互相垂直,它们所成的角为90°,今后再说两条直线互相垂直,它们可能相交,也可能异面.d .异面直线所成的角θ的范围是090θ≤≤二、典例解析例1 已知四边形A B C D 中,A B D C∥,AB BC DC AD ,,,所在直线分别与平面α交于点E GF H ,,,,求证:E FGH ,,,必共线.证明:如图1,∵AB CD ∥,∴AB CD ,共面.设A B C D ,,,确定平面β,∵点E F G H ,,,分别在直线AB CD BC AD ,,,上,∴E F G H ,,,都在β内,又∵点E F G H ,,,在平面α内,∴点E F G H ,,,在α和β的交线上,即E F G H ,,,共线.说明:要证明多点共线,只需证这些点同在两个相交平面的交线上,这是证点共线的常用方法之一,其理论依据是公理2.例2 已知:正方体1111ABCD A B C D -中,E F ,分别是棱1111A B B C ,的中点,求异面直线EF 与1AD 所成角的大小.解:如图2,分别连结11A C ,AC .∵E F ,分别是1111A B B C ,的中点,∴11EF A C ∥.又∵在正方体中,11A A C C ∥, ∴11AC AC ∥.∴EF AC ∥.∴1D AC ∠的大小即为所求,连结1CD ,∵1ACD △为正三角形,∴160D AC ∠=,故EF 与1AD 所成角为60°.说明:求异面直线所成的角的问题,关键是抓住平移,将三维空间两直线所成的角的问题转化为二维平面两相交直线所成角问题来研究.三、应注意的几个问题1.注意公理的复习公理是人们经过长期观察与实践总结出来的,因此我们在学习公理时,要对图形进行认真的观察并动手进行验证;同时公理是几何推理的基本依据,也是我们进一步学习和研究空间图形的基础,所以我们不但要熟记公理的内容,还要知道每个公理的用途和如何用.例如,公理1是用来判断直线是否在平面内的依据,如果要判断一直线l 在平面α内,就要想办法在直线l 上找出不重合的两点A B ,,证明A B ,两点均在平面α内.在这里提醒同学们注意,公理3是确定一个平面的依据,我们对公理3进一步探究发现,“两条相交直线可以确定一个平面”、“两条平行线可以确定一个平面”、“一条直线和直线外一点可以确定一个平面”这些推论都可以作为确定一个平面的依据,而且应用很广.2.注意数学语言和图形语言的复习数学语言我们并不陌生,在集合中我们学习过很多.学好立体几何的数学语言,能使立体几何语言的表达方法简明扼要、清楚明白、符合逻辑;在这里提醒同学们注意:①点A 在立体几何中永远是元素,直线l 和平面α均是集合,因此,有A l ∈,A α∈,l α∈或A l ∉,A α∉,l α⊄;②直线l 与平面α相交记作l A α=,它是{}l A α=的简记并没错误.图形语言的学习就是如何快速准确地作出空间图形的学习.空间图形是画在一个平面内的,因此识图和画图的技巧就十分重要.如何根据题目的条件画出图形,需要用实物模型参考,更需要多观察、多比较、多分析,逐步积累一些画法技巧,同时要注意图形的合理性、美观性和直观性.有些性质的判定和长度的计算及点的位置的确定,往往借助图形就可以估算一个大概,这有利于最后经过计算或论证得到结果的验证.3.注意空间点、线、面之间位置关系的自主探究学习本节课前,请同学们准备好一个长方体的几何模型.现在拿出你的长方体几何模型,再拿出一支铅笔(权当直线)或一本书(权当平面),通过比划你会很快得出直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.4.注意与平面几何的比较对平面图形的研究是讨论立体图形的基础;立体图形的问题常常转化为平面图形的问题来解决.将立体几何与平面几何的“同类问题”进行比较学习有助于我们学好立体几何.例如,在平面几何中,两直线的位置关系只有两种,但在立体几何中两直线的位置关系却有三种;四边相等的四边形在平面几何中的图形是菱形,但在立体几何中的图形是菱形或空间四边形.5.立体几何中,通常画平行四边形表示平面,但应注意以下几点:(1)所画的平行四边形是表示它所在的整个平面,需要时我们可以把它扩展出去,这同画直线一样,直线是可以无限延伸的,但在画图时也只能画一段来表示直线.(2)加“通常”两字的意思,是因为有时根据需要也可用其他的平面图形,如菱形、封闭的曲线图形等来表示平面.(3)画表示水平平面的平行四边形时,通常把它的锐角画成45°,横边画成邻边的两倍,也可根据图形的不同需要来画,并不强求一律.画相交平画时,一定要画出它们的交线.6.立体几何中,被遮住的部分可画成虚线或不画,为了不产生混淆,立体图形的直观图中,辅助线和图形中原有的线同样处理,可见部分不画成虚线.7.对异面直线的概念要着重明确如下几点:(1)两条直线若异面则必不能同在任何一个平面内,因此它们不相交也不平行.(2)分别在某两个平面内的两条直线,不一定是异面直线,如图3.(3)画异面直线时,以辅助平面作衬托,更为直观,如图4.8.注意“降维”思想的应用,将空间的问题转化为平面内的问题,将已知条件与所求结论集中到同一个平面内,很多关系就容易发现了.9.要注意培养空间意识同学们在复习立体几何时要有一个意识,即立体几何是平面几何的“升级”.在复习中要有意识地将平面几何中的“点、线、面”问题“升级”为立体几何中的“线、面、体”问题,养成这种意识,对以后的空间意识的学习习惯的养成是很有帮助的.。

(完整版)高中数学必修2立体几何知识点

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高中数学必修 2 知识点第一章空间几何体1.1 柱、锥、台、球的构造特色(略)棱柱:棱锥:棱台:圆柱:圆锥:圆台:球:1.2 空间几何体的三视图和直观图1三视图:正视图:以前去后侧视图:从左往右俯视图:从上往下2画三视图的原则:长对齐、高对齐、宽相等3直观图:斜二测画法4斜二测画法的步骤:(1).平行于坐标轴的线依旧平行于坐标轴;(2).平行于 y 轴的线长度变半,平行于x,z 轴的线长度不变;(3).画法要写好。

5用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴( 2)画底面( 3)画侧棱( 4)成图1.3 空间几何体的表面积与体积(一)空间几何体的表面积1 棱柱、棱锥的表面积:各个面面积之和2圆柱的表面积4圆台的表面积S 2 rl2r 2 3 圆锥的表面积S rlr 2 S rl r 2Rl R2 5 球的表面积S 4R26扇形的面积公式S扇形n R21lr (此中l表示弧长,r表示半径)3602(二)空间几何体的体积1柱体的体积 V S底h 2 锥体的体积1S底h V33台体的体积V1S上h4 球体的体积V4R3(下下3S上 SS )3第二章直线与平面的地点关系2.1 空间点、直线、平面之间的地点关系1平面含义:平面是无穷延展的 , 无大小,无厚薄。

2平面的画法及表示450,且横边画成邻边的(1)平面的画法:水平搁置的平面往常画成一个平行四边形,锐角画成 2 倍长(2)平面往常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也能够用表示平面的平行四边形的四个极点或许相对的两个极点的大写字母来表示,如平面AC、平面 ABCD等。

3三个公义:(1)公义 1:假如一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内A l符号表示为B ll AB公义 1 作用:判断直线能否在平面内(2)公义 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。

符号表示为: A、B、C 三点不共线有且只有一个平面α,使A∈α、 B∈α、 C∈α。

高二必修二第一章空间几何体第二章点线面的位置关系复习

高二必修二第一章空间几何体第二章点线面的位置关系复习

教师一对一个性化教案学生姓名年级高二科目数学授课教师日期时间段课时 2 授课类型新课/复习课/作业讲解课教学目标教学内容空间几何体与点直线平面位置关系复习教学过程区分四棱柱、直四棱柱、斜四柱、正四棱柱的区别一、空间几何体2.下图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正视图、俯视图如右图;②存在四棱柱,其正视图、俯视图如右图;③存在圆柱,其正视图、俯视图如右图.其中真命题的个数是().A.3 B.2 C.1 D.03.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是().A.13B.23C.1 D.24.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如右图所示的直观图,其中1B OC O''=''=,32A O''=,那么原△ABC是一个().A.等边三角形B.直角三角形C.三边中有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形6.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是().A.①②B.①③C.①④D.②④教学过程7.一平面截一球得到直径是6 cm的圆面,球心到这个平面的距离是4 cm,则该球的体积是().A.1003πcm3 B.2083πcm3 C.5003πcm3 D.416133πcm3 8.一圆台上底面半径为5 cm,下底面半径为10 cm,母线AB长为20 cm,其中A在上底面上,B 在下底面上,从AB中点M,拉一条绳子,绕圆台的侧面一周转到B点,则这条绳子最短长为().A.30 cm B.40 cm C.50 cm D.60 cm10.设下图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为().A.9π+42B.36π+18C.9122π+D.9182π+11.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示,右图是一个正方体的表面展开图,若图中“2”在正方体的上面,则这个正方体的下面是().A.0 B.9 C.快D.乐14.一个正四棱柱的各个顶点都在一个直径为2 cm的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1 cm,那么该棱柱的表面积为__________cm2.18.(12分)一个直角梯形的两底长为2和5,高为4,将其绕较长的底旋转一周,求所得旋转体的侧面积.19.(12分)一个正三棱柱的三视图如图,求这个正三棱柱的表面积.21.(12分)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6,高为4的等腰三角形.求:(1)该几何体的体积V;(2)该几何体的侧面面积S.二、点、直线、平面之间的位置关系1.在空间内,可以确定一个平面的条件是().A.两条直线B.三条直线,其中的一条与另外两条直线相交C.三个点D.三条直线,它们两两相交,但不交于同一点3.设P是△ABC所在平面α外一点,H是P在α内的射影,且P A、PB、PC与α所成的角相等,则H是△ABC的().A.内心B.外心C.垂心D.重心4.已知二面角α-l-β的大小为60°,m、n为异面直线,且m⊥α,n⊥β,则m、n所成的角为().A.30°B.60°C.90°D.120°5.如图所示,点S在平面ABC外,SB⊥AC,SB=AC=2,E、F分别是SC和AB的中点,则EF的长是().A.1 B.2C.22D.126.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是().A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥αB.若l⊥α,l∥m,则m⊥αC.若l∥α,m⊂α,则l∥mD.若l∥α,m∥α,则l∥m8.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在().A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部13.如图所示,A,B,C,D为不共面的四点,E,F,G,H分别在线段AB,BC,CD,DA上.(1)如果EH∩FG=P,那么点P在直线__________上;(2)如果EF∩GH=Q,那么点Q在直线__________上.14.已知平面α∥平面β,P是α、β外一点,过P点的两条直线AC、BD分别交α于A、B,交β于C、D,且P A=6,AC=9,AB=8,则CD的长为__________.19.(12分)如图是一个棱长为1的正方体的表面展开图,MN和PQ是两条面对角线,请在图(2)的正方体中将MN、PQ画出来,并解答下列问题:(1)MN和PQ所成角的大小;(2)四面体M-NPQ的体积.20.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,且DB平分∠ADC,E为PC的中点,AD=CD=1,DB=.22(1)证明:P A∥平面BDE;(2)证明:AC⊥平面PBD;(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值.22.(14分)如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点.(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值;(2)在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F∥平面A1BE?证明你的结论.课后作业可附页班主任收回 审批签字教学主任课前 审批签字(或盖章)课 外 练 习2.下列命题中,正确的是( ).A .平面α内的一条直线和平面β内的无数条直线垂直,则平面α⊥平面βB .过平面α外一点P 有且只有一个平面β和平面α垂直C .直线l ∥平面α,直线l ⊥平面β,则α⊥βD .垂直于同一个平面的两个平面平行 7.若正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面边长为1,AB 1与底面ABCD 成60°角,则A 1C 1到底面ABCD 的距离为( ). A.33B .1C.2D.39.已知二面角α-AB -β的平面角是锐角θ,面α内有一点C 到β的距离为3,点C 到棱AB 的距离为4,那么tan θ=( ).A.34B.35C.77D.37710.下列命题中错误..的是( ). A .如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β B .如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C .如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l ,那么l ⊥平面γ D .如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β11.如图所示,在正三角形ABC 中,D ,E ,F 分别为各边的中点,G ,H ,I ,J 分别为AF ,AD ,BE ,DE 的中点.将△ABC 沿DE ,EF ,DF 折成三棱锥以后,GH 与IJ 所成角的度数为( ).A .90°B .60°C .45°D .0°12.如图,若Ω是长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体,其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点,F 为线段BB 1上异于B 1的点,且EH ∥A 1D 1,则下列结论中不正确...的是( ).A .EH ∥FGB .四边形EFGH 是矩形C .Ω是棱柱D .Ω是棱台 15.已知菱形ABCD 中,AB =2,∠A =120°,沿对角线BD 将△ABD 折起使二面角A -BD -C 为120°,则点A 到△BCD 所在平面的距离为__________.16.已知m 、n 是直线,α、β、γ是平面,给出下列说法: ①若α⊥β,α∩β=m ,n ⊥m ,则n ⊥α或n ⊥β;②若α∥β,α∩γ=m ,β∩γ=n ,则m ∥n ;③若m 不垂直于α,则m 不可能垂直于α内的无数条直线;④若α∩β=m ,n ∥m 且n α⊄,n β⊄,则n ∥α且n ∥β.其中正确的说法序号是__________.(注:把你认为正确的说法的序号都填上)17.(12分)如图所示,已知E ,F ,G ,H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 的中点. (1)求证:E ,F ,G ,H 四点共面;(2)若四边形EFGH 是矩形,求证:AC ⊥BD . 18.(12分)如下图,在三棱锥P -ABC 中,已知△ABC 是等腰直角三角形,∠ABC =90°,△P AC 是直角三角形,∠P AC =90°,∠ACP =30°,平面P AC ⊥平面ABC .(1)求证:平面P AB ⊥平面PBC ; (2)若PC =2,求△PBC 的面积.21.(12分)如图,四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,AB ⊥AD ,点E 在线段AD 上,且CE ∥AB .(1)求证:CE ⊥平面P AD ;(2)若P A =AB =1,AD =3,2CD =,∠CDA =45°,求四棱锥P -ABCD 的体积.1.过棱柱不相邻两条侧棱的截面是( ). A .矩形 B .正方形 C .梯形D .平行四边形9.圆台的母线长扩大到原来的n 倍,两底面半径都缩小为原来的1n,那么它的侧面积为原来的______倍.( ). A .1B .nC .n 2D.1n13.若球O 1、O 2表面积之比124S S =,则它们的半径之比12RR =__________.17.(12分)画出如图所示几何体的三视图.12.如图,在一个盛满水的圆柱形容器内的水面下有一个用细绳吊着的薄壁小球,小球下方有一个小孔,当慢慢地、匀速地将小球从水下面往上拉动时,圆柱形容器内水面的高度h 与时间t 的函数关系图象大致为( ).。

《新课程标准高中数学必修②复习讲义》第一、二章-立体几何

《新课程标准高中数学必修②复习讲义》第一、二章-立体几何

一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体(一)空间几何体的结构特征(1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做顶点.旋转体--把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。

其中,这条定直线称为旋转体的轴。

(2)柱,锥,台,球的结构特征 1。

棱柱1。

1棱柱—-有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1。

2相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱)的关系: ①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形侧棱与底面边长相等1.3①侧棱都相等,侧面是平行四边形;②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形;④直棱柱的侧棱长与高相等,侧面与对角面是矩形。

1。

4长方体的性质:①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和;【如图】222211AC AB AD AA =++②(了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ,,,那么222cos cos cos 1αβγ++=,222sin sin sin 2αβγ++=;③(了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ,,,则,222sin sin sin 1αβγ++=222cos cos cos 2αβγ++=.1.5侧面展开图:正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 1.6面积、体积公式:2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底,V (其中c 为底面周长,h 为棱柱的高)2.圆柱2。

1圆柱—-以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.2圆柱的性质:上、下底及平行于底面的截面都是等圆;过轴的母线截面(轴截面)是全等的矩形.2。

立体几何——点线面的位置关系

立体几何——点线面的位置关系

点线面的位置关系〔1〕四个公理公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内符号语言:A l,B l,且A ,B l .公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.三个推论:① 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面②经过两条相交直线,有且只有一个平面_______________________③经过两条平行直线,有且只有一个平面_______________________它给出了确定一个平面的依据.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线〔两个平面的交线〕.符号语言:P ,且P I l,P 1.公理4:〔平行线的传递性〕平行与同一直线的两条直线互相平行符号语言:a//l,nb//l a//b 0〔2〕空间中直线与直线之间的位置关系1 .概念异面直线及夹角:把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.两条异面直线a,b ,经过空间任意一点O作直线a //a,b //b ,我们把a与b所成的角〔或直角〕叫异面直线a, b所成的夹角.〔易知:夹角范围0 90 〕公理4:〔平行线的传递性〕平行与同一直线的两条直线互相平行.符号语言:a〃l,且b//l a//b 0定理:空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行, 那么这两个角相等或互补.〔注意:会画两个角互补的图形〕小,击〃心相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;u向宜线2 .位置关系:八’ 平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点〔3〕空间中直线与平面之间的位置关系直 线 与 平 面 的 位 置 关 系 有 三 种 直线在平面内〔l 〕有无数个公共点〔4〕空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系有两种 两个平面平行〔// 〕没有公共点 两个平面相交〔I 1〕有一条公共直线考点1:点,线,面之间的位置关系例1.〔2021辽宁,4,5分〕m,n 表示两条不同直线,a 表示平面.以下说法正确 的是〔〕A.假设 m// a ,n // a ,那么 m/l nB.假设 a ,n ? a ,那么 nC.假设 a ,m±n, WJ n // aD.假设 mil a ,m±n,那么 n± a[答案]1.B[解析]1.A 选项m n 也可以相交或异面,C 选项也可以n? a ,D 选项也可以n // a 或n 与a 斜交.根据线面垂直的性质可知选 B.例2.〔2021山东青岛高三第一次模拟测试,5〕设"、"是两条不同的直线,空 ,是两个不同的平面,那么以下命题正确的选项是〔〕A.假设 口〃瓦口〃/那么 6"a B .假设 01 人口那么."C .假设 ,, 「那么D .假设・ . . ..那么[答案]2. D[解析]2.A 选项不正确,由于方匚口是可能的;直线在平面外直线与平面相交〔11 直线与平面平行〔1 / / 〕 A 有且只有一个公共点没有公共点B选项不正确,由于以‘产,""靠时,""尸,"仁/都是可能的;C选项不正确,由于我上方,口工户时,可能有m;D选项正确,可由面面垂直的判定定理证实其是正确的.应选D例3. 〔2021广西桂林中学高三2月月考,4〕设小、"是两条不同的直线,以、川是两个不同的平面.以下命题中正确的选项是〔A〕';:」-•・;〃一/…」「;二.一不〔C〕滂,£©[8―明〃,••曾 = .,・,A[答案]3. D[解析]3. 假设m上R MU E用工'、那么平面"与“垂直或相交或平行,故〔A〕错误;假设“1凤阳1 g//Q,那么直线用与〃相交或平行或异面,故〔B〕错误;假设口L凤仪1.二风雨工,;那么直线片与平面#垂直或相交或平行,故〔C〕错误; 假设那么直线、1M,故©正确.选D.例4. 〔2021周宁、政和一中第四次联考, 示不同的平面,给出以下四个命题:①假设州且EU•那么u〞;②假设州// f,且阳// c.贝〞// 口;③假设Hl…内T = M ",那么'//巾//E ;④假设m D 且打// #,那么f //7〕设L E,H表示不同的直线,小丹「表( )(B) " ’(D)睽C f其中正确命题的个数是〔〕A. 1B. 2C. 3D. 4 [答案]4. B[解析]4. ①正确;②直线也或£上,错误;③错误,由于正方体有公共端点的三条棱两两垂直;④正确.故真正确的选项是①④,共2个.2.空间几何平行关系转化关系:i I城线平行---------- "线面平行" ------------ "面面平行直线、平面平行的判定及其性质归纳总结证实线线平行的方法:11 (平行线的传递性)平行与同一直线的两条直线互相平行.即公理4(2证实这条两条直线的方向量共线.③如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.即面面平行的性质.2 .证实直线和平面相互平行的方法(1证实直线和这个平面内的一条直线相互平行;②证实这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行;③证实这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直.3 .证实两平面平行的方法:(1)利用定义证实.利用反证法,假设两平面不平行,那么它们必相交,再导出矛盾.(2)判定定理:一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行,这个定理可简记为线面平行那么面面平行.用符号表示是:anb, aa , a// e , b// e , WJ a // e.(3)垂直于同一直线的两个平面平行.用符号表示是:a±a , a,B那么a// B.(4)平行于同一个平面的两个平面平行. 〃 ,// //4.两个平面平行的性质有五条:(1)两个平面平行,其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面,这个定理可简记为:〞面面平行,那么线面平行〞.用符号表示是:a // B, aa ,那么a // B.(2)如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行,这个定理可简记为:〞面面平行,那么线线平行〞.用符号表示是:a//0, aP 丫=a, B C = =b,贝U a// bo(3) 一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面.这个定理可用于证线面垂直.用符号表示是:a // B , a, a ,那么a, B.(4)夹在两个平行平面间的平行线段相等口(5)过平面外一点只有一个平面与平面平行七3.空间几何垂直关系1 .线线垂直判断线线垂直的方法:所成的角是直角,两直线垂直;垂直于平行线中的一 条,必垂直于另一条.三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂 直,那么它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂 直,那麽它也和这条斜线的射影垂直.注意:⑴三垂线指PA PQ AO 都垂直a 内的直线a 其实质是:斜线和平 面内一条直线垂直的判定和性质定理.⑵要考虑a 的位置,并注意两定理交替使 用.2 .线面垂直(1)定义:如果一条直线l 和一个平面a 相交,并且和平面a 内的任意一条直 线都垂直,我们就说直线l 和平面a 互相垂直,其中直线l 叫做平面的垂线,平面 a 叫做直线l 的垂面,直线与平面的交点叫做垂足.直线l 与平面a 垂直记作:I ,ob a J /不(2)直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.(3)直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条 直线平行. 3 .面面垂直(1)两个平面垂直的定义:相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面. (2)两平面垂直的判定定理:(线面垂直 面面垂直)如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.(3)两平面垂直的性质定理:(面面垂直 线面垂直)假设两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面PO 推理模式:PAI,OA ,a APa AOAOa考点2:证实线面之间的平行与垂直例1 .如图,四边形ABC时正方形,PD,平面ABCD/DPC=30 ,AF,PC于点F,FE // CD,交PD于点E.(1)证实:CFL平面ADF;[解析]1.⑴证实:V PDL平面ABCD/ PDL AD,又CDL AD,Pm CD=D,• ・ADL平面PCD/ ADL PC,又AF, PC,AFA AD=A,「• PC1平面ADF,即CF,平面ADF.例2. (2021江苏,16, 14分)如图,在四棱锥P-ABC时,平面PADL平面ABCD, AB=AD, / BAD=60 , E, F 分别是AP, AD的中点.求证:(I )直线EF//平面PCD;(R)平面BEFL平面PAD.J)[答案](I )在△ PAD中,由于E, F分别为AP, AD的中点,所以EF// PD.又因为EF?平面PCD, PC?平面PCD,所以直线EF//平面PCD.(n)连结BD.由于AB=AD, /BAD=60 ,所以△ ABM正三角形.由于F是AD 的中点,所以BF±AD.由于平面PADL平面ABCD, BF?平面ABCD,平面PAD? 平面ABCD=AD所以BF,平面PAD.又由于BF?平面BEF,所以平面BEFL平面PAD.例3. (2021 江苏,16, 14 分)如图,在直三棱柱ABC-ABG中,E、F分别是AB、A i C的中点,点D在BC上,A iD± B i C.求证:(I ) EF // 平面ABC;(II)平面AFD1平面BBCC.[答案]3.( I )由于E、F分别是A i B、A i C的中点,所以EF// BC, EF?面ABC, BC ?面ABC.所以EF//平面ABC.(II)由于直三棱柱ABC-AB i C i,所以BBL面A i B i C i, BB iX A i D,又A i DLBC,所以A i DL面BBCC,又AD?面A i FD,所以平面AFDL平面BBCC.例4. (2021江苏,i6, i4 分)如图,在四面体ABCm,CB=CD, ADLBD,点E、F分别是AB BD的中点.求证:(I )直线EF//平面ACD;(n)平面EFd平面BCD.[答案]4.( I )在4ABD中,由于E、F分别是AB BD的中点,所以EF// AD.又AD?平面ACD, EF?平面ACD,所以直线EF//平面ACD.(H)在AABD^ ,由于ADL BD, EF // AD,所以EF, BD.在△BCDt ,由于CD=CB, F为BD的中点,所以CF± BD.由于EF?平面EFC, CF?平面EFC, EF与CF交于点F,所以BDL平面EFC.又由于BD?平面BCD,所以平面EFCL平面BCD.例5. (2021北京海淀区高三三月模拟题,17,14分)在四棱锥P-/3m 中,产,!平面N夙力,匚是正三角形,金.与凡0的交点5/恰好是AC中点,又= ZCTH二120.,点A『在线段PB上,且(H)求证:AN"平面『DC;[答案]7.(1) 由于必出.是正三角形,■是JC'中点,所以m C',即8OLRC.又由于^ 平面HBCD , 80u平面月8CQ,所以以_LHD.又Rin」心=1,所以叨_L平面心C.又尸.仁平面尸〃’,所以皿_LPC.(H)在正三角形月中,3M =2V'3,在AJC.中,由于M为/C中点, DM±AC y所以才口二CD.又2OM = 120 ,所以NCMf = 60..1tan ZCDM = ♦"=々=出DM —二'所以由冈冈,得3 .所以a1九=31在等腰直角三角形尸/E中,2月"/lA",所以PB = 4五. 所以BMNPCA , BN 小)= BY : ,所以MN NPD .又“V之平面"DC , PD仁平面产比,所以W j平面热乂:.。

高中数学必修2第一二章知识点总结

高中数学必修2第一二章知识点总结

高中数学必修②知识点————立体几何一、空间中点、直线、平面之间的位置关系(1)四个公理公理1:符号语言:公理2:三个推论:①②③它给出了确定一个平面的依据。

公理3:符号语言: 。

公理4:符号语言:(2)空间中直线与直线之间的位置关系1.概念 异面直线及夹角:已知两条异面直线,a b ,经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b '',我们把a '与b '所成的角(或直角)叫 。

(易知:夹角范围 )空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行,那么这两个角 。

)2.位置关系:⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线:_______________________________;共面直线平行直线:_______________________________;异面直线:_________________________________________.(3)空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种: 1.23//l l A l ααα⊂⎧⎪=⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内:.直线与平面相交:直线在平面外.直线与平面平行: (4)空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系有两种: 1.//2.l αβαβ⎧⎨=⎩ 两个平面平行:两个平面相交:二、直线、平面平行的判定及其性质三、直线、平面平垂直的判定及其性质(一)基本概念1.直线与平面垂直:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α垂直,记作lα⊥。

直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面。

直线与平面的公共点P叫做垂足。

2. 直线与平面所成的角:角的取值范围:。

3.二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。

二面角的取值范围:多面体定义:旋转体定义:棱柱的定义:棱锥的定义:棱台的定义:圆柱的定义:圆锥的定义:圆台的定义:特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,'h为斜高,l为母线)S直棱柱侧面积= S正棱锥侧面积= S正棱台侧面积=S圆柱侧= S圆柱表= S=圆锥侧S圆锥表=S圆台侧= S圆台侧=柱体、锥体、台体的体积公式V柱= V锥= V台=V圆柱= V圆锥= V圆台=(4)球体的表面积和体积公式:V球= S球=。

(完整版)高中数学必修二立体几何知识点总结

(完整版)高中数学必修二立体几何知识点总结

第一章 立体几何初步特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高,'h 为斜高,l 为母线)ch S =直棱柱侧面积'21ch S =正棱锥侧面积 ')(2121h c c S +=正棱台侧面积 rh S π2=圆柱侧 ()l r r S +=π2圆柱表rl S π=圆锥侧面积 ()l r r S +=π圆锥表 lR r S π)(+=圆台侧面积 ()22R Rl rl r S +++=π圆台表柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱13V Sh =锥'1()3V S S h =台 2V Sh r h π==圆柱h r V 231π=圆锥 '2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台 (4)球体的表面积和体积公式:V 球=343R π ; S 球面=24R π第二章 直线与平面的位置关系2.11 2 三个公理:(1符号表示为A ∈LB ∈L => l α⊂ A ∈αB ∈α(2符号表示为:A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α, 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理(3公理 L A · α C · B · A · α2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。

2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为:设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.4 注意点:① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定,与O 的选择无关,为了简便,点O 一般取在两直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ∈(0, ); ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a ⊥b ;④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

必修二立体几何知识点

必修二立体几何知识点

必修二立体几何知识点一、引言本文档旨在概述高中必修二课程中立体几何的核心知识点,为教师和学生提供一个清晰的学习指南。

二、立体图形的基础1. 点、线、面的关系- 点的位置关系:共面、异面- 线的位置关系:平行、相交、异面- 面的位置关系:平行、相交2. 立体图形的分类- 多面体:棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球体- 旋转体:球面、圆锥面、圆柱面三、多面体1. 棱柱- 棱柱的结构特征- 棱柱的体积和表面积计算2. 棱锥- 棱锥的结构特征- 棱锥的体积和表面积计算3. 棱台- 棱台的结构特征- 棱台的体积计算四、旋转体1. 圆柱和圆锥- 结构特征- 体积和表面积计算- 旋转体的方程表示2. 球体- 结构特征- 体积和表面积计算五、立体图形的截面1. 截面的概念- 截面的定义- 截面的形状分类2. 截面的性质- 截面与原图形的关系- 截面的计算方法六、空间向量1. 空间向量的定义- 空间向量的基本概念- 空间向量的加法、减法和数乘2. 空间向量的应用- 点到直线的距离- 直线到平面的距离- 立体图形的体积计算七、立体角1. 立体角的定义- 立体角的概念- 立体角的度量2. 立体角的性质- 立体角与平面角的关系- 立体角的计算方法八、结语本文档提供的知识点是理解和掌握立体几何的基础。

教师应根据学生的实际情况,适当调整教学进度和深度。

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苏教版必修2数学课件-第1章立体几何初步第2节点、线、面之间的位置关系

苏教版必修2数学课件-第1章立体几何初步第2节点、线、面之间的位置关系

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法二: ∵l1∩l2=A,∴l1,l2确定一个平面α. ∵l2∩l3=B,∴l2,l3确定一个平面β. ∵A∈l2,l2 α,∴A∈α. ∵A∈l2,l2∈β,∴A∈β. 同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β. ∴不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内. ∴平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.
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D [A错误,不共线的三点可以确定一个平面. B错误,一条直线和直线外一个点可以确定一个平面. C错误,四边形不一定是平面图形. D正确,两条相交直线可以确定一个平________.
α∩β=m,n α 且 m∩n=A [由题图可知平面 α 与平面 β 相交 于直线 m,且直线 n 在平面 α 内,且与直线 m 相交于点 A,故用符 号可表示为:α∩β=m,n α 且 m∩n=A.]
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2.本节课要重点掌握的规律方法 (1)理解平面的概念及空间图形画法要求. (2)文字语言、符号语言、图形语言的转换方法. (3)证明点、线共面的方法. (4)证明点共线、线共点的方法. 3.本节课的易错点是平面基本性质运用中忽略重要条件.
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当堂达标 固双基
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1.已知点A,直线a,平面α,以下命题表述不正确的个数( )
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,画出平面ACD1与平面BDC1的 交线,并说明理由.
[解] 设AC∩BD=M,C1D∩CD1=N,连结MN,则平面ACD1 ∩平面BDC1=MN,
如图.理由如下: ∵点M∈平面ACD1, 点N 平面ACD1, 所以MN 平面ACD1.
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同理,MN 平面BDC1, ∴平面ACD1∩平面BDC1=MN,即MN是平面ACD1与平面BDC1 的交线.

高中数学第一章立体几何初步1.2点线面之间的位置关系素材苏教版必修2

高中数学第一章立体几何初步1.2点线面之间的位置关系素材苏教版必修2

点、线、面之间的位置关系知识点一:空间中点、直线、平面之间的位置关系 (1)三个公理平面含义:平面是无限延展的平面的画法及表示:①平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成450,且横边画成邻边的2倍长(如图)②平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC 、平面ABCD 等。

三个公理:公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈αB ∈α公理1作用:判断直线是否在平面内公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。

符号表示为:A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α, 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用:确定一个平面的依据。

公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为:P ∈α∩β =>α∩β=L ,且P ∈L 公理3作用:判定两个平面是否相交的依据(2)空间中直线与直线之间的位置关系①空间的两条直线有如下三种关系:相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。

② 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为:设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。

③ 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.注意点:① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定,与O 的选择无关,为了简便,点O 一般取在两直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ∈(0, );③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a ⊥b ;L A · α C · B· A · α P · α L β D C B A α 共面直线 =>a ∥c2④两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;⑤计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

人教版数学必修2立体几何初步知识点

人教版数学必修2立体几何初步知识点

第一章 立体几何初步1.柱、锥、台、球的结构特征(1)棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。

(2)棱锥:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体(3)棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分(4)圆柱:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体(5)圆锥:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体(6)圆台:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分(7)球体:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体2. 空间几何体的表面积和体积:(1)侧面积公式:① 直棱柱S ch =(c 为底面周长,h 为高)② 正棱锥'12S ch =(c 为底面周长,'h 为斜高)③ 正棱台'121()2S c c h =+(12c c 、分别为上下底面的周长,'h 为斜高)④ 圆柱2S rh π=(r 为底面半径,h 为高)⑤ 圆锥S rl π=(r 为底面半径,l 为母线长)⑥ 圆台12()S r r l π=+(12r r 、分别为上下底面半径,l 为母线长)(2)体积公式:① 棱柱V Sh =(S 为底面积,h 为高)② 棱锥13V Sh =(S 为底面积,h 为高)③ 棱台121()3V S S h =+(12S S 、分别为上下底面积,h 为高)④ 圆柱2V Sh r h π==(S 为底面积,r 为底面半径,h 为高)⑤ 圆锥21133V Sh r h π==(S 为底面积,r 为底面半径,h 为高)⑥ 圆台121()3V S S h =+(12S S 、分别为上下底面积,h 为高)(3)球:①球的表面积公式:24S R π=②球的体积公式:343V R π= (R 表示球的半径)③球的任意截面的圆心与球心的连线垂直截面,若设球的半径为R ,截面圆的半径是r ,截面圆的圆心与球心的连线长为d ,则:222d R r =-。

【新必修2·立体几何】空间点线面的位置关系知识梳理

【新必修2·立体几何】空间点线面的位置关系知识梳理

第1课时平面※知识梳理1 平面1.平面的概念几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的,平面的特征是和.2.平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个,它的锐角通常画成,且横边长等于其邻边长的倍.如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用画出来.如图②.图①图②3.平面的表示法图①的平面可表示为、、或.【即时训练1】下列说法:①书桌面是平面;②8个平面重叠后,要比6个平面重叠后厚;③有一个平面的长是100 m,宽是90 m;④平面是绝对平滑,无厚度,无限延展的抽象概念.其中正确的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3※知识梳理2 平面的基本性质1.公理1:如果一条直线上的在一个平面内,那么这条直线在此平面内,如图1所示.(1)符号语言:.2.公理2过的三点,有且只有一个平面,如图2所示;(1)符号语言:A,B,C不共线⇒存在惟一的α使A,B,C∈α3.公理3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的,如图3所示.;(1)符号语言:.图1 图2 图3【即时训练2】判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)三点可以确定一个平面.()(2)一条直线和一个点可以确定一个平面.()(3)四边形是平面图形.()(4)两条相交直线可以确定一个平面.()※课堂反馈1.用符号表示“点A在直线l上,l在平面α外”正确的是() A.A∈l,l∉αB.A∈l,l⊄αC.A⊂l,l⊄αD.A⊂l,l∉α2.下列说法中正确的个数为()①三角形一定是平面图形;②若四边形的两对角线相交于一点,则该四边形是平面图形;③圆心和圆上两点可确定一个平面;④三条平行线最多可确定三个平面.A.1 B.2 C.3 D.43.设平面α与平面β交于直线l,A∈α,B∈α,且直线AB∩l=C,则直线AB∩β=________.4.有以下三个说法:①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点;②直线l在平面α内,可以用符号“l∈α”表示;③已知平面α与β不重合,若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交,则α与β相交.其中正确的序号是________.5.如图,已知平面α,β,且α∩β=l.在梯形ABCD中,AD∥BC,且AB⊂α,CD⊂β.求证:AB,CD,l共点(相交于一点).第2课时 点线面之间的位置关系※知识梳理1 空间直线的位置关系 1.异面直线(1)定义:把的两条直线叫做异面直线. (2)画法:(通常用平面衬托)2.空间两条直线的位置关系位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧异面直线:不同在任何一个平面内【即时训练1】判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两条直线无公共点,则这两条直线平行.( ) (2)两直线若不是异面直线,则必相交或平行.( )(3)过平面外一点与平面内一点的连线,与平面内的任意一条直线均构成异面直线.( )※知识梳理2 直线与平面的位置关系 位置关系公共点数符号表示图形表示【即时训练2】判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若直线与平面不相交,则直线与平面平行.( ) (2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行.( ) (3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.( ) (4)过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行.( )位置关系图示 表示法 公共点个数【即时训练3】在三棱锥的四个面中,任意两个面的位置关系是( ) A .相交 B .平行 C .异面 D .不确定※课堂反馈1.对于任意的直线l 与平面α,在平面α内必有直线m ,使m 与l ( ) A .平行 B .相交 C .垂直 D .互为异面直线 2.a 、b 为异面直线是指①a ∩b =∅,且a 不平行于b ;②a ⊂平面α,b ⊄平面α,且a ∩b =∅; ③a ⊂平面α,b ⊂平面β,且α∩β=∅;④不存在平面α能使a ⊂α,且b ⊂α成立.( )A .①②③B .①③④C .②③D .①④3.如果平面α外有两点A 、B ,它们到平面α的距离都是a ,则直线AB 和平面α的位置关系一定是( ) A .平行 B .相交 C .平行或相交 D .AB ⊂α 4.以下四个命题:①三个平面最多可以把空间分成八部分;②若a ⊂面α,b ⊂面β,则“a 与b 相交”与“α与β相交”等价; ③若α∩β=l , a ⊂平面α,b ⊂平面β,且a ∩b =P ,则P ∈l ; ④若n 条直线中任意两条共面,则它们共面. 其中正确的是( )A .①②B .②③C .③④D .①③ 5.若直线a 不平行于平面α,则下列结论成立的是( ) A .α内的所有直线均与a 异面 B .α内不存在与a 平行的直线 C .α内直线均与a 相交D .直线a 与平面α有公共点第3课时 线面平行的判定与性质※知识梳理1 公理4及等角定理 1.公理4文字表述:平行于同一条直线的两条直线 .这一性质叫做空间平行线的 性.符号表述:⎭⎬⎫a ∥b b ∥c ⇒ . 2.等角定理空间中如果两个角的两边分别对应 ,那么这两个角 .【即时训练1】已知AB ∥PQ ,BC ∥QR ,若∠ABC =30°, 则∠PQR 等于( ) A .30° B .30°或150° C .150° D .以上结论都不对※知识梳理2 直线与平面平行的判定定理(1)自然语言: 的一条直线与此平面内的一条直线 ,则该直线与此平面平行;注:该定理可简记为: ⇒ ; (2)符号语言: ⇒a ∥α; (3)图形语言:【即时训练2】能保证直线a 与平面α平行的条件是( ) A .b ⊂α,a ∥bB .b ⊂α,c ∥α,a ∥b ,a ∥cC .b ⊂α,A 、B ∈a ,C 、D ∈b ,且AC =BD D .a ⊄α,b ⊂α,a ∥b※知识梳理3 直线与平面平行的性质定理(1)自然语言:一条直线与一个平面 ,则过这条直线的任一平面与此平面的 与该直线 ; 注:该定理可简记为: ⇒ ; (2)符号语言: ⇒a ∥b ; (3)图形语言:【即时训练3】判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)一条直线如果和一个平面平行,它就和这个平面内的无数条直线平行.( )(2)一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线无公共点.( )(3)过直线外一点,有且仅有一个平面和已知直线平行.( ) (4)如果直线l 和平面α平行,那么过平面α内一点和直线l 平行的直线在α内.( )※课堂反馈1.在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中,M 是棱CD 上的动点,则直线MC 1与平面AA 1B 1B 的位置关系是( )A .相交B .平行C .异面D .相交或平行 2.如图,四棱锥P ABCD 中,M ,N 分别为AC ,PC 上的点,且MN ∥平面P AD ,则( ) A .MN ∥PD B .MN ∥P A C .MN ∥ADD .以上均有可能3.如图,四边形ABCD 是平行四边形,S 是平面ABCD 外一点,M 为SC 的中点,求证:SA ∥平面MDB .4.已知公共边为AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一平面内,P ,Q 分别是对角线AE ,BD 上的点,且AP =DQ (如图所示).求证:PQ ∥平面CBE .5.如图,四边形EFGH 是空间四边形ABCD 的一个截面,若截面为平行四边形,求证:AB ∥平面EFGH .第4课时面面平行的判定与性质※知识梳理1 平面与平面平行的判定定理(1)自然语言:一个平面内的直线与另一个平面平行,则这两个平面平行;注:该定理可简记为:⇒;(2)符号语言:⇒β∥α;(3)图形语言:【即时训练1】判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.()(2)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.()(3)平行于同一平面的两条直线平行.()(4)若α∥β,且直线a∥α,则直线a∥β.()※知识梳理2平面与平面平行的性质定理(1)自然语言:如果两个平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线;注:该定理可简记为:⇒;(2)符号语言:⇒a∥b;(3)图形语言:【即时训练2】已知平面α∥平面β,过平面α内的一条直线a的平面γ,与平面β相交,交线为直线b,则a,b的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不确定※课堂反馈1.已知m,n是两条直线,α,β是两个平面.有以下说法:①m,n相交且都在平面α,β外,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,则α∥β;②若m∥α,m∥β,则α∥β;③若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β.其中正确的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.32.已知平面α∥平面β,A、C∈α,B、D∈β,直线AB和CD 交于点S,若AS=18,BS=9,CD=34,则SC= .3.如图,在四棱锥OABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,M为OA的中点,N为BC的中点.证明:直线MN∥平面OCD. 4.如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=2CD,E,E1分别是棱AD,AA1上的点.设F是棱AB的中点,证明:直线EE1∥平面FCC1.5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面P AO?第5课时线面垂直的判定与性质※知识梳理1 直线与平面垂直的定义(1)文字语言:如果直线l与平面α内的直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直;(2)符号语言:直线l与平面α内的任意直线⇒;(3)图形语言:【即时训练1】直线l⊥平面α,m⊂α,则l与m不可能() A.平行B.相交C.异面D.垂直※知识梳理2直线与平面垂直的判定定理(1)文字语言:一条直线与一个平面内的都垂直,则该直线与此平面垂直,可简记为:⇒;(2)符号语言:⇒l⊥α;(3)图形语言:【即时训练2】一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交不垂直D.不确定※知识梳理3直线与平面所成的角1.定义:平面的一条斜线和它在平面上的所成的;2.范围:直线与平面所成的角为θ的范围是;3.画法:如图所示,斜线AP与平面α所成的角是.【即时训练3】若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍,则AB与平面α所成角的大小为()A.60°B.45°C.30°D.90°※知识梳理4 直线与平面垂直的性质定理1(1)文字语言:垂直于同一个平面的两条直线;(2)符号语言:⇒a∥b;※知识梳理5直线与平面垂直的性质定理2(1)文字语言:垂直于一个平面的直线这个平面内的所有直线,可简记为:⇒;(2)符号语言:;【即时训练4】判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行.()(2)垂直于同一平面的两条直线互相平行.()(3)一条直线在平面内,另一条直线与这个平面垂直,则这两条直线互相垂直.()※课堂反馈1.垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是() A.垂直B.相交但不垂直C.平行D.不确定2.若两条不同的直线与同一平面所成的角相等,则这两条直线()A.平行B.相交C.异面D.以上皆有可能3.在Rt△ABC中,D是斜边AB的中点,AC=6,BC=8,EC ⊥平面ABC,且EC=12,则ED=________.4.正四棱锥的侧棱长为23,侧棱与底面所成角为60°,则该四棱锥的高为________.5.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,S是△ABC 所在平面外一点,且SA=SB=SC.(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.11.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC =AA1.(1)求证:AB1⊥平面A1BC1.(2)若D为B1C1的中点,求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值.第6课时面面垂直的判定与性质※知识梳理1 二面角1.定义:从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角(如图1).叫做二面角的棱,叫做二面角的面,记法:.在α,β内,分别取点P,Q时,可记作;当棱记为l时,可记作或. 2.二面角的平面角(1)定义:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,如图2所示,以点O为垂足,在分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线和构成的∠AOB叫做二面角的平面角.(2)直二面角:平面角是的二面角.图1 图2 图3【即时训练1】如图3,三棱锥P-ABC中,P A⊥平面ABC,∠BAC=90°,则二面角B-P A-C的大小等于________.※知识梳理2平面与平面垂直的判定1.平面与平面垂直(1)定义:如果两个平面相交,且它们所成的二面角是,就说这两个平面互相垂直(如图4),记作:.2.判定定理(1)文字语言:一个平面过另一个平面的,则这两个平面垂直(如图5),可简记为:⇒;(2)符号语言:⇒α⊥β图3 图4【即时训练2】对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是()A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂αC.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥β※知识梳理3平面与平面垂直的性质定理(1)文字语言:两个平面垂直,则一个平面内垂直于的直线与另一个平面(如图所示).注:该定理可简记为⇒;(2)符号语言:⇒a⊥β;【即时训练3】在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点E,作EF⊥A1B1于F,则EF与平面A1B1C1D1的关系是() A.平行B.EF⊂平面A1B1C1D1C.相交但不垂直D.相交且垂直※课堂反馈1.已知l⊥α,则过l与α垂直的平面()A.有1个B.有2个C.有无数个D.不存在2.空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,AD⊥BD,那么有() A.平面ABC⊥平面ACD B.平面ABC⊥平面ABD C.平面ABC⊥平面BCD D.平面ADC⊥平面BCD 3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)二面角D1-AB-D的大小是________;(2)二面角A1-AB-D的大小是________.4.下列说法正确的有________.①α∥β,β⊥γ,则α⊥γ;②α∥β,β∥γ,则α∥γ;③α⊥β,γ⊥β,则α⊥γ;④α⊥β,γ⊥β,则α∥γ.5.如图,四棱锥VABCD的底面是矩形,侧面VAB⊥底面ABCD,又VB⊥平面VAD.求证:平面VBC⊥平面VAC.11.如图,在△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是AC,AD上的动点,且AEAC=AFAD=λ(0<λ<1).(1)求证:无论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC.(2)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD?。

高中数学必修二立体几何知识点总结(供参考)

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第一章 立体几何初步特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高,'h 为斜高,l 为母线)柱体、锥体、台体的体积公式(4)球体的表面积和体积公式:V 球=343R π ; S 球面=24R π第二章 直线与平面的位置关系2.11 2 三个公理:(1符号表示为A ∈LB ∈L => l α⊂ A ∈α B ∈α(2符号表示为:A 、B 、C 三点不共线=> 有且只有一个平面α,使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理(3公理1 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。

2 符号表示为:设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。

3 4 注意点:① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定,与O 的选择无关,为了简便,点O 一般取在两直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ∈(0, ); ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a ⊥b ;④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系:(1)直线在平面内 —— 有无数个公共点(2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点L A · α C · B· A · α =>a ∥c2π(3)直线在平面平行——没有公共点指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a α来表示a α a∩α=A a∥α2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。

简记为:线线平行,则线面平行。

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2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
①柱体的体积 V S底 h
②锥体的体积
V
1 3 S底
h
③台体的体积
V 13(S上上 S S下下 S ) h
④球体的体积V 4 R3 3
1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a
画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系:
相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;
β
P
α ·L
3.直观图:直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
共面直 平行直线:同一平面内,没有公共点;
4.斜二测法:在坐标系 x 'o ' y ' 中画直观图时,已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变,平行于 x
的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面 AC、平面 ABCD 等。
(1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.
3 三个公理:
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中,这条定直 (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内
(1)若 A1B2 A2B1 0 ,两直线相交;
(2)若 A1B2 A2B1 0 ,两直线平行或重合;
(3)若 A1A2 B1B2 0 ,若两直线垂直。
10.点 (x1, y1)和(的x2中, y点2 ) 坐标是

经典必修二立体几何总结

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必修二立体几何总结 第一章 空间几何体(1)棱柱:①定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

棱柱斜棱柱直正棱柱;四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体。

②性质:Ⅰ、侧面都是平行四边形; Ⅱ、两底面是全等多边形;Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等;对角面是平行四边形;Ⅳ、长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。

③面积:ch S =直棱柱侧(c 是底周长,h 是高) ④体积:d S Sh V 侧面棱柱21==(S 为底面积,h 为高,d 为已知侧面与它对棱的距离)(2)棱锥:①定义:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面围成的几何体叫做棱锥;正棱锥:底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面中心,这样的棱锥叫做正棱锥;②性质:Ⅰ、平行于底面的截面和底面相似,截面的边长和底面的对应边边长的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比; 它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比;截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比;Ⅱ、正棱锥性质:各侧面都是全等的等腰三角形;通过四个直角三角形POH Rt ∆,POB Rt ∆,PBH Rt ∆,BOH Rt ∆实现边,高,斜高间的换算③面积:'21ch S =正棱锥(c 为底周长,'h 为斜高) ④体积:Sh V 31=棱锥(S 为底面积,h 为高)(3)正四面体:对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为a 22的正方体问题。

棱长都相等底面是正方形底面是矩形侧棱垂直于底面底面是平行四边形 底面是正多边形侧棱垂直于底面侧棱不垂直于底面ABC D POH对棱间的距离为a 2(正方体的边长) 正四面体的高a 6(正方体体对角线l 32=) 正四面体的体积为32a (正方体小三棱锥正方体V V V 314=-) 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1(正方体体对角线正方体体对角线:l l 2161=) 外接球的半径为a 6(是正方体的外接球,则半径正方体体对角线l 21=) 内切球的半径为a 6(是正四面体中心到四个面的距离,则半径正方体体对角线l 61=) (4)球(组合体问题转化为平面问题 即过球心的截面)(1)定义:①球面:半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面。

人教B版高中数学必修二《第一章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.2 空间中的平行关系》_33

人教B版高中数学必修二《第一章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.2 空间中的平行关系》_33
学生观察,归纳,教师引导,总结
欲证线面平行,须证出此直线与平面内的一条直线平行。若寻求此直线,中位线是常用的。
构造平行四边形证明直线与平面平行
教学目标
知识与技能目标
1.掌握空间中线与面的位置关系;
2.掌握直线与平面平行的判定定理;
过程与方法目标
通过本节学习,培养学生空间想象能力及推理论证能力,进而形成科学的思维方法和良好的思维品质
3.
教师点出本节课的重点板演,提供范例后学生自己动手解题
使学生清晰地领会解题过程,熟练掌握解法,分析三道题之间的区别联系
定理形成
二、线面平行的判定定理
1、实例演示(用简单的位置关系去认识复杂的位置关系)
2、归纳出定理的内容(文字语言、符号语言)
①平面外一条线
②平面内一条直线
③这两条直线平行
3、定理的证明
3、定理应用4、巩固提高
学生独立思考交流讨论,老师点拨指导
反证法是数学中一种重要的思想方法,从反面考虑问题往往能出奇制胜,达到证明的目的
定理深化
三、判定定理的应用
例一、1、下列说法中正确的是()
(A)若直线a平行于平面α内的无数条直线,则a//α
(B)若直线a在平面α外,则a//α
(C)若直线a//b,b α,则a//α
(D)若直线a//b,b α,那么直线a平行于平面α内的无数条直线
情感态度价值目标
通过不断强化数学论证的教学活动过程,使学生不断有感性认识上升到理性认识、体会获得知识的愉悦,提高学习数学的兴趣。
教学重点
直线与平面平行的判定定理
教学难点
直线与平面平行判定定理的应用
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
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第一章:空间几何体1、空间几何体的结构⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球。

⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。

2、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影的投影线交于一点;把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影,平行投影的投影线是平行的。

3、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积;l r S ⋅⋅=π2侧面⑵圆锥侧面积:l r S ⋅⋅=π侧面⑶圆台侧面积:l R l r S ⋅⋅+⋅⋅=ππ侧面⑷体积公式:h S V ⋅=柱体;h S V ⋅=31锥体; ()h S S S S V 下下上上台体+⋅+=31⑸球的表面积和体积:32344R V R S ππ==球球,. 第二章:点、直线、平面之间的位置关系1、公理1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。

2、公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。

3、公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

4、公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。

6、线线位置关系:平行、相交、异面。

7、线面位置关系:直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。

8、面面位置关系:平行、相交。

第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证1 、公理1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内,,A l B ll A B ααα∈∈⎧⇒⊂⎨∈∈⎩ 公理1的作用:判断直线是否在平面内2、公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。

若A ,B ,C 不共线,则A ,B,C 确定平面α推论1:过直线的直线外一点有且只有一个平面若A l ∉,则点A 和l 确定平面α推论2:过两条相交直线有且只有一个平面 若mn A =,则,m n 确定平面α推论3:过两条平行直线有且只有一个平面若mn ,则,m n 确定平面α公理2及其推论的作用:确定平面;判定多边形是否为平面图形的依据。

3、公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈且公理3作用:(1)判定两个平面是否相交的依据;(2)证明点共线、线共点等。

4、公理4:也叫平行公理,平行于同一条直线的两条直线平行.,a b c b a c ⇒5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。

,1212a a b b ''∠∠⇒∠∠且与方向相同= ,1212180a a b b ''∠∠⇒∠+∠︒且与方向相反= 作用:该定理也叫等角定理,可以用来证明空间中的两个角相等。

m nαP· αL βab ba b 'a '方向相反则∠1+∠2=180°方向相同则∠1=∠22121a'b '6、线线位置关系:平行、相交、异面。

,,,a b a b A a b =异面(1)在同一个平面内,没有任何公共点的两条直线平行(2)有一个公共点的两条直线相交(3)不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线7、线面位置关系: a α⊂ α//a a A =8、面面位置关系:平行、相交。

9、线面平行:(即直线与平面无任何公共点)⑴判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。

(只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以)////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭【证明两直线平行的主要方法】①三角形中位线定理:三角形中位线平行并等于第三边的一半;②平行四边形的性质:平行四边形两组对边分别平行;(矩形、菱形、正方形、梯形) ③线面平行的性质:如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线和它们的交线平行;a a ab b αβαβ⊂⇒=⎫⎪⎬⎪⎭④平行线的传递性:,a b c b a c ⇒⑤面面平行的性质:如果一个平面与两个平行平面相交,那么它们的交线平行;a ab b αβαγβγ=⇒=⎫⎪⎬⎪⎭⑥垂直于同一平面的两直线平行; a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭(1)αa(2)αa(3)αa A b αa A⑦比例线段及相似多边形⑵直线与平面平行的性质:如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线和它们的交线平行;(上面的③)10、面面平行:(即两平面无任何公共点)(1)判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。

,,a b a b A a b αααβββ⊂⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭(2)两平面平行的性质:性质Ⅰ:如果一个平面与两平行平面都相交,那么它们的交线平行;a ab b αβαγβγ=⇒=⎫⎪⎬⎪⎭性质Ⅱ:平行于同一平面的两平面平行;αγαββγ⇒⎫⎬⎭性质Ⅲ:夹在两平行平面间的平行线段相等;,,A C AC BD B D AB CD αβαβ∈⇒=∈⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭性质Ⅳ:两平面平行,一平面上的任一条直线与另一个平面平行;a a a a αβαββααβ⇒⇒⊂⊂⎫⎫⎬⎬⎭⎭或11、线面垂直:⑴定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么就说这条直线和这个平面垂直。

⑵判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。

,l ml n l m n A m n αα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬=⎪⎪⊂⎭⑶性质Ⅰ:垂直于同一个平面的两条直线平行。

a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭性质Ⅱ:垂直于同一直线的两平面平行l l ααββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭12、面面垂直:⑴定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。

⑵判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直。

l l βαβα⊥⇒⊥⊂⎫⎬⎭(只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直)⑶性质:两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

【证明两直线垂直的主要方法】①利用勾股定理证明两相交直线垂直;②利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直; ③利用矩形(有四个直角)、菱形(对角线垂直)、正方形; ④利用直径所对的圆周角是直角⑤利用线面垂直的定义证明(特别是证明异面直线垂直); ⑥利用三垂线定理证明两直线垂直(“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”,“线斜垂”) ⑦面面垂直的性质定理⑧如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面. ⑨如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.a 斜影线αP O A ,PO OA PA a PA a a OA ααα⊥⇒⇒⊥⊂⊥⇒⎫⎬⎭图线线线如:是在平面上的射影 又直且即:影垂直斜垂直,反之也成立。

【空间角及空间距离的计算】1.异面直线所成角:使异面直线平移后相交形成的夹角,通常在两异面直线中的一条上取一点,过该点作另一条直线平行线,如图:直线a 与b 异面,b b '//,直线a 与直线b '的夹角为两 异面直线a 与b 所成的角,异面直线所成角的取值范围是]90,0(2. 斜线与平面所成的角:斜线与它在平面上的射影成的角。

如图:PA 是平面α的一条斜线,A 为斜足,O 为垂足,OA 叫斜线PA 在平面α上射影,PAO ∠为线面角。

斜线和平面所成角取值范围是]90,0(解题步骤:作图——证明——计算求角的关键在于找出平面的垂线及斜线的射影。

一般地通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线来找角。

角的计算一般是把已知条件归结到同一个或归结到几个有关的三角形中,从而把空间的计算转变为平面图形内的解直角三角形或斜三角形的问题。

作二面角的三种常用方法(1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①,则∠AOB 为二面角α-l -β的平面角.(2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图②,∠AOB 为二面角α-l -β的平面角.(3)垂线法:过二面角的一个面内异于棱上的A 点向另一个平面作垂线,垂足为B ,由点B 向二面角的棱作垂线,垂足为O ,连接AO ,则∠AOB 为二面角的平面角或其补角,如图③,∠AOB 为二面角α-l -β的平面角.4.点到平面的距离:指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。

如图:O 为P 在平面α上的射影,线段OP 的长度为点P 到平面α的距离求法通常有:定义法和等体积法等体积法:就是将点到平面的距离看成是三棱锥的一个高。

如图在三棱锥ABC S -中有:S ABC A SBC B SAC C SAB V V V V ----===空间关系示意图:1.空间中各种平行关系相互转化关系的示意图m l l l mαβαββα⊥=⇒⊥⊂⊥⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭2.垂直关系之间的相互转化3.平行关系与垂直关系之间的相互转化。

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