四节隐函数与参数式函数的导数
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隐函数参数方程求导法则
1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 对 x 求导
y 1 1 1 1 1 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4
若参数方程 关系, 可导, 且
可确定一个 y 与 x 之间的函数
则
(t ) 0 时, 有
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 d x d x d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) dt (此时看成 x 是 y 的函数 )
4
因x=0时y=0, 故
例2. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y 3 3 y 3 y 3
2 2
3 3 故切线方程为 y 3 ( x 2) 2 4
第三章
第四节 隐函数和参数方程求导
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
若由方程 函数为隐函数 . 由 例如, 表示的函数 , 称为显函数 . 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
可确定 y 是 x 的函数 ,
但此隐函数不能显化 .
隐函数求导方法: 两边对 x 求导
x a cos t 确定函数 例5. 设由方程 （其中 为参数） y b sin t
t
y y ( x) , 求
x 1-sin 例6. 设由方程 （其中 为参数）确定函数 y cos
隐函数与参数式函数的导数
隐函数的求导办法是：在方程两边同时对自变量求导
（注意y是的x函数），即可得到一个含 ，即为所求隐函壹数的导数。貳
是在
y x
的方程，从中解 的 一 个 隐 函 数 。
该 区 间 上 确 定 了
在隐函数导数的结此处 果中，既此处含有自变量x，又含有
添
添
加
加
因变量y，通常不能也无小标须求得只含小标 自变量的表达式.。
• 202X
思考与练习
不对．
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，求
解 两边取对数，得
例
已
两边对x求导，壹得
貳
知
此
此
处
处
添
添
加
加
小
小
标
标
题
题
于是得到
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例设
解 两边取对数，得
，求
两边对x求导，得
于是得到
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三、参数 式函数的 导数
添加标题
设t为参数，则
添加标题
即参数式函数
添加标题
这就是参数式函数的导数公式。
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例 求由参数方程
确定的函数
的导数
解：
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例 求由参数方程
所确定的函数的二
阶导数
解：
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作业：
P60 23(2),25,26(2)(3),27(2)28
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第四节 隐函数与参数式函数的导数
隐函数和参数方程求导、相关变化率
#
x＝ t t－1 例 6 求曲线 在 t＝ 0 点处的切线方程. y 1＋t e y － dx 解： 令 t 0 得切点 (0 , 1) ， 2t 1 dt
y dy dy dy e 由隐函数求导法： e y te y 解得 dt dt dt 1 te y dy dy 斜率 dt e 1 dx t 0 dx dt t 0
证毕 #
记住方法！
参数方程求二阶导数的 方法：
ψ t 将一阶导函数视作复合 关系 y ＝ ， t＝ 1 x t
则
d2y d dt d y d ψ t 1 ＝ y ＝ ＝ ＝ 2 dx dx dt dx dt t t
解： 如图所示 dx 水平速度 v x ＝ ＝v0 cos θ dt dy 垂直速度 v y ＝ ＝v0 sin θ －g t dt
y
vy v0 θ
α
v vx x
2
0
2
则t 时刻炮弹速度的
2 2
v0 sin θ－gt ＝ 大小：v＝ v x ＋v y ＝ v0 cos θ ＋
dy dy dt v0 sin θ－ gt 方向： tan α ＝ ＝ ＝ dx dx v0 cos θ dt
证：
由条件 x＝ t 单调、可导，且 t 0 ，
则反函数 t＝ 1 x 存在且可导， dt 1 ＝ dx t
视
y＝ t ， t＝ 1 x ，
由复合函数求导法则有 dy dy dy dt 1 ＝ ＝ t ＝ dt dx dt dx t dx dt
例3
解：
设 x , y 满足方程 cos x ＝sin y ， 求 y .
x＝ t t－1 例 6 求曲线 在 t＝ 0 点处的切线方程. y 1＋t e y － dx 解： 令 t 0 得切点 (0 , 1) ， 2t 1 dt
y dy dy dy e 由隐函数求导法： e y te y 解得 dt dt dt 1 te y dy dy 斜率 dt e 1 dx t 0 dx dt t 0
证毕 #
记住方法！
参数方程求二阶导数的 方法：
ψ t 将一阶导函数视作复合 关系 y ＝ ， t＝ 1 x t
则
d2y d dt d y d ψ t 1 ＝ y ＝ ＝ ＝ 2 dx dx dt dx dt t t
解： 如图所示 dx 水平速度 v x ＝ ＝v0 cos θ dt dy 垂直速度 v y ＝ ＝v0 sin θ －g t dt
y
vy v0 θ
α
v vx x
2
0
2
则t 时刻炮弹速度的
2 2
v0 sin θ－gt ＝ 大小：v＝ v x ＋v y ＝ v0 cos θ ＋
dy dy dt v0 sin θ－ gt 方向： tan α ＝ ＝ ＝ dx dx v0 cos θ dt
证：
由条件 x＝ t 单调、可导，且 t 0 ，
则反函数 t＝ 1 x 存在且可导， dt 1 ＝ dx t
视
y＝ t ， t＝ 1 x ，
由复合函数求导法则有 dy dy dy dt 1 ＝ ＝ t ＝ dt dx dt dx t dx dt
例3
解：
设 x , y 满足方程 cos x ＝sin y ， 求 y .
3.4 隐函数及其参变量函数的求导方法_修改
r
内容小结
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法
转化
极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式 4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式 对 t 求导 相关变化率之间的关系式
2
2
3 3 故切线方程为 y 3 = (x 2) 2 4 即
练习： 求由方程 x y2 e y ln x = 0所确定的隐函 练习： dy 数y = y( x)的导数 . dx
例3. 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
两边对 x 求导
∴
1 ′ = cos x ln x + sin x y y x sin x sin x y′ = x (cos x ln x + ) x
′(t) ≠ 0时, 有
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导, 且 可求二阶导数 .
x = (t) 利用新的参数方程 dy ψ ′(t) ,可得 = dx ′(t) d2 y d (dy) d dy dx = ( ) = 2 dx dx dt dx dt dx ψ′′(t)′(t) ψ′(t)′′(t) = ′(t) 2 ′ (t)
故
dx = 2(t +1) dt dy 2t = dt 1ε cos y
t dy dy dx = = dt (t +1)(1 ε cos y) dx dt
三、相关变化率
为两可导函数 之间有联系 相关变化率问题解法: 找出相关变量的关系式 对 t 求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率 之间也有联系 称为相关变化率 相关变化率
隐函数与参数式函数的求导.ppt
y0
y
2(1
sin y) 2x c(1os ysinyy ) (1(1sisninyy)2)2
2(1 sin y) 2x cos y 2x
1 sin y (1 sin y)2
2(1
sin y)2 4x2 (1 sin y)3
cos
y
，
d2 y dx2
x1 2.
y0
8
例4 设 y y(x) 是由方程 x 2 y cos y 0 所确定的
上式两边对x求导得
y cos x ln tan x sin x 1 sec2 x
y
tan x
cos xln tan x sec x
y y (cos x ln tan x sec x)
(tan x)sin x (cos x ln tan x sec x).
18
作业
P97 2(2, 4,9),3(2, 4,5)
算所构成的复杂函数和幂指函数.
20
例9 设 x y y x , 求 dy . dx
解 等式两边取对数得 y ln x x ln y ,
方程两边关于 x 求导,得
yln x y ln y x y ,
x
y
(ln x x ) y ln y y
y
x
y
xy ln y xy ln x
y2 x2
隐函数,求 d2 y dx2
x1 .
y0
另解 原方程两边关于x求导，得
2x y sin y y 0
代入 x 1, y 0,可得y |x1 2.
y0
上式两边继续关于x求导，得
2 y cos y ( y)2 sin y y 0
代入 x 1, y 0, y |x1 2可得
y
2(1
sin y) 2x c(1os ysinyy ) (1(1sisninyy)2)2
2(1 sin y) 2x cos y 2x
1 sin y (1 sin y)2
2(1
sin y)2 4x2 (1 sin y)3
cos
y
，
d2 y dx2
x1 2.
y0
8
例4 设 y y(x) 是由方程 x 2 y cos y 0 所确定的
上式两边对x求导得
y cos x ln tan x sin x 1 sec2 x
y
tan x
cos xln tan x sec x
y y (cos x ln tan x sec x)
(tan x)sin x (cos x ln tan x sec x).
18
作业
P97 2(2, 4,9),3(2, 4,5)
算所构成的复杂函数和幂指函数.
20
例9 设 x y y x , 求 dy . dx
解 等式两边取对数得 y ln x x ln y ,
方程两边关于 x 求导,得
yln x y ln y x y ,
x
y
(ln x x ) y ln y y
y
x
y
xy ln y xy ln x
y2 x2
隐函数,求 d2 y dx2
x1 .
y0
另解 原方程两边关于x求导，得
2x y sin y y 0
代入 x 1, y 0,可得y |x1 2.
y0
上式两边继续关于x求导，得
2 y cos y ( y)2 sin y y 0
代入 x 1, y 0, y |x1 2可得
3.4 隐函数及参数方程所确定函数的导数
dy y dy x y x 0 e e dx dx dy e x y 由原方程知 x 0 时 , y 0 , 解得 , dx x e y
dy dx
x 0
e y y xe
x
x 0 y 0
1.
x2 y 2 3 例3 求椭圆 1在点(2, 3 )处的切线方程. 16 9 2
sec2
dt
作业 P88 T1(3) T2(3) T4(3) T5(1)
于是
即
4x 4x 2x y ' y( 2 4 2 ), x 2 x 1 x 1
( x 2) 4x 4x 2x y' 4 ( 2 4 2 ) 2 ( x 1)( x 1) x 2 x 1 x 1
2 2 3
3
二、参数方程所确定的函数的导数 若方程 x ( t )和 y ( t ) 确定y与x间的函数 关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程
直接对方程 F(x, y)=0 两边求导，应用复合函数的求
导法可得一个含有 y 的方程，解出 y 即得隐函数 的导数.
例1
设y y ( x)是由方程 sin xy ln( x y ) 0所确定
dy 的隐函数，求 . dx 解 方程两边对x求导，注意到y是x的函数，有
1 y cos( xy)( y xy) 0 x y
x ( t ), y ( t ), t ( , )
所确定的函数． 例如，不计空气阻力时，抛射体的运动轨迹 可表示为 x v t
1 1 2 y v2 t gt 2
若消去参数t, 有
v2 g 2 y x x 2 v1 2v1
第四节隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数
但并不是所有的隐函数都能被显化，如 y x ln y
由隐函数的显化我们可以看到，所谓方程F(x, y)=0 确定一个函数 y=f (x) 就是将此函数代入方程，则方
程F (x, y)= F (x, f(x))≡0成为恒等式。
例如，将函数 y 1 x2 代入方程 x2 y2 1 0
第四节 隐函数的导数、 由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
若由方程
可确定y是x的函数, 则称此
函数为隐函数.
由
表示的函数，称为显函数。
例如,
可确定y是x的函数 ,
可确定显函数
（隐函数的显化）
对于不能显化或不易显化隐函数如何求导？
再设函数 x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
dt
dy
即
dy dx
dt dx
t t
dt
例1 设
求
解：
例2 已知摆线方程
求在
但有时会遇到因变量与自变量的对应规则是用一
个方程 F (x, y)=0 表示的函数，这种函数称为隐函数。
如，
x2 y2 1 0
x2 xy y2 4
一般的，如果变量 x 和 y 满足方程 F (x, y)=0， 在一定条件下，当 x 在某区间内任取一值时，相应 的总有满足该方程的唯一的 y 值存在，那么就说方 程 F (x, y)=0 在该区间内确定了一个隐函数。
高等数学上册第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
速度的水平分量为
vx
dx dt
，垂直分量为
vy
dy dt
vx
dx dt
v0
cos,
vy ddyt v0singt0
故炮弹速度大小：
v v x 2 v y 2(v 0 c o s)2 (v 0 s in g t0 )2
v022v0gtsing2t2
©
三、相关变化率
dx dt
v1
,
的导数。
解: 两边取对数 , 化为隐式
lny1lnx 2 3lnx 1 2ln4x 3
两边对求导得
y 1 3 2 y 3(x2) x1 4x
y(x3 1 )x 3( 42 x)2 3 (x 1 2)x3 14 2x
©
又如,
y
(x1)(x2) (x3)(x4)
注意:
lnyvlnu
1 y vlnu u v
y
u
yuv(vlnuuv) u
yuvlnuvvuv1u
按指数函数求导公式
©
按幂函数求导公式
2) 对多因式函数用对数求导法求导很方便
例如, y b a x b x a a x b(a 0,b 0,b a 1 )
dx dy
1
1 e
x
方法2 等式两边同时对 y求导
1 ex
d d
x y
1 1 ex
©
例2 求由方程 y52yx3x70确定的隐函数
yy(x) 在
x
=
0
处的导数
dy dx
x
0
.
解: 方程两边对 x 求导
第四节 隐函数及参变量函数求法
第四节 隐函数与 参变量函数的导数
复习
一、和差积商的求导法则
(u v) u v; (u v) uv uv;
(
u v
)
uv uv v2
(v 0);
二、复合函数的求导法则
设y f [φ( x)]由y f (u), u φ( x)复合而成, 则
2sin y y代入y
(2 cos y)2
4sin y (cos y 2)3
.
例:求下列函数的导数
(1) y ( x 1)3 (3x 1)2( x 2).
(2) y
x ( x 1)2 .
3 x2 x3
(3) y xsin x ( x 0).
一、隐函数的求导法则
根据隐函数求导法，还可以得到一个简化求导运算的
方法—— 对数求导法．
对数求导法的步骤： （1）对函数取绝对值； （2）对绝对值函数取对数； （3）利用隐函数求导法求导; （4）解出导数表达式.
对数求导法适用于 由几个因子通过乘、除、乘方、 开方所构成的比较复杂的函数及幂指函数的求导.
dy dx
dy du du dx
f (u)'( x)
yu ux .
三.导数公式 十八条公式
求导方法：
（1）分析结构 四则运算、复合
（2）求导
相应法则和公式
四则运算法则
复合函数求导法则， 求导的基本公式，
例1 设y=y (x)由e x y2 xy 确定求y' .
例2
x a cos3 t,
例：圆心在原点、半径为1的上半圆周可表示为
（1）显函数形式 y 1 x2 , x [1,1]
复习
一、和差积商的求导法则
(u v) u v; (u v) uv uv;
(
u v
)
uv uv v2
(v 0);
二、复合函数的求导法则
设y f [φ( x)]由y f (u), u φ( x)复合而成, 则
2sin y y代入y
(2 cos y)2
4sin y (cos y 2)3
.
例:求下列函数的导数
(1) y ( x 1)3 (3x 1)2( x 2).
(2) y
x ( x 1)2 .
3 x2 x3
(3) y xsin x ( x 0).
一、隐函数的求导法则
根据隐函数求导法，还可以得到一个简化求导运算的
方法—— 对数求导法．
对数求导法的步骤： （1）对函数取绝对值； （2）对绝对值函数取对数； （3）利用隐函数求导法求导; （4）解出导数表达式.
对数求导法适用于 由几个因子通过乘、除、乘方、 开方所构成的比较复杂的函数及幂指函数的求导.
dy dx
dy du du dx
f (u)'( x)
yu ux .
三.导数公式 十八条公式
求导方法：
（1）分析结构 四则运算、复合
（2）求导
相应法则和公式
四则运算法则
复合函数求导法则， 求导的基本公式，
例1 设y=y (x)由e x y2 xy 确定求y' .
例2
x a cos3 t,
例：圆心在原点、半径为1的上半圆周可表示为
（1）显函数形式 y 1 x2 , x [1,1]
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数课件
一般地
f ( x) = u( x)v( x) (u( x) > 0)
Q ln f ( x) = v( x) ⋅ lnu( x)
d 1 d f ( x) 又Q ln f ( x) = ⋅ dx f ( x) dx
d ∴ f ′( x) = f ( x) ⋅ ln f ( x) dx
∴ f ′( x) = u( x)
解 方程两边对 求导, 3 x 2 + 3 y 2 y′ = 3 y + 3 xy′ 方程两边对x
y − x2 ∴ y′ 3 3 = 2 = − 1. ( , ) y −x 22 3 3 所求切线方程为 y − = − ( x − ) 即 x + y − 3 = 0. 2 2 3 3 法线方程为 y − = x − 即 y = x , 显然通过原点 显然通过原点. 2 2
′ − sec2 t d y d dy ( − tan t ) = = ( ) = 2 3 ′ − 3a cos 2 t sin t dx dx dx ( a cos t )
2
sec 4 t = 3a sin t
四、相关变化率
设 x = x ( t )及 y = y( t )都是可导函数 , 而变量 x与 dx y之间存在某种关系 , 从而它们的变化率 与 dt dy 之间也存在一定关系 , 这样两个相互依赖的 dt 变化率称为相关变化率 .
公里/ 七、在中午十二点正甲船的 6 公里/小时的速率向东行 公里， 公里/ 驶，乙船在甲船之北 16 公里，以 8 公里/小时的速 率向南行驶， 率向南行驶 ，问下午一点正两船相距的速率为多 少？ 米的正圆锥形容器中， 八、注入水深 8 米，上顶直径 8 米的正圆锥形容器中， 立方米， 米时， 其速率为每分钟 4 立方米，当水深为 5 米时，其表 面上升的速率为多少？ 面上升的速率为多少？
第四节隐函数与参数方程的求导法-PPT精选
第四节 隐函数与参数方程的求导法
一、隐函数的导数
定义:由方程所确 y定 y(x)的 称函 为数 隐 . 函
y f (x) 形式的函数称为显.函数
解出
F(x,y)0 yf(x) 隐函数的显化 问题: 若隐函数不易显化或不能显化，如何求导? 隐函数求导法: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
dt
d 2y dx 2
d ( dy ) dt dx
dx
dt
( tan t )
se2ct
(a cos 3 t ) 3aco2stsint
1
3asi ntco4st
例9 不计空气的阻力, 以初速度v0, 发射角
发射炮弹, 其运动方程为
x y
v0t v0t
cos sin
作业
P111，习题2-4 1(单), 2, 3 (3),(4),4(单), 5(2), 7(1), 8(双)，10
dx
)
d dy
d2y dx2
() dt dx
dx
dt
dt
dt
例7 求摆 y x 线 a a((1 t c siottn ))s在 t2处的切
方程.
dy
解 dy
dx
dt dx
asint sint aacost 1 cost
dt
dy dx
t 2
sin
yxsix n.
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
--------对数求导法 适用范围:
多个函数相乘数 和u幂 (x)v指 (x)函 的情.形
例5 设y(x(x1)43)2xex1,求y.
一、隐函数的导数
定义:由方程所确 y定 y(x)的 称函 为数 隐 . 函
y f (x) 形式的函数称为显.函数
解出
F(x,y)0 yf(x) 隐函数的显化 问题: 若隐函数不易显化或不能显化，如何求导? 隐函数求导法: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
dt
d 2y dx 2
d ( dy ) dt dx
dx
dt
( tan t )
se2ct
(a cos 3 t ) 3aco2stsint
1
3asi ntco4st
例9 不计空气的阻力, 以初速度v0, 发射角
发射炮弹, 其运动方程为
x y
v0t v0t
cos sin
作业
P111，习题2-4 1(单), 2, 3 (3),(4),4(单), 5(2), 7(1), 8(双)，10
dx
)
d dy
d2y dx2
() dt dx
dx
dt
dt
dt
例7 求摆 y x 线 a a((1 t c siottn ))s在 t2处的切
方程.
dy
解 dy
dx
dt dx
asint sint aacost 1 cost
dt
dy dx
t 2
sin
yxsix n.
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
--------对数求导法 适用范围:
多个函数相乘数 和u幂 (x)v指 (x)函 的情.形
例5 设y(x(x1)43)2xex1,求y.
第四节、隐函数和参数方程求导
500
例9. 有一底半径为 R cm,高为 h cm 的圆锥容器 , 今以 25 cm3 s 自顶部向容器内注水 ,试求当容器内水 位等于锥高的一半时水面上升的速度. r 解: 设时刻t容器内水面高度为 x, 水的 h x 体积为V, 则 2 1 R 1 R 2 h r 2 ( h x ) 2 [ h3 ( h x ) 3 ] 3h 3 3 r h x 两边对 t 求导 R h R2 dV d V 2 ( h x )2 d x , 而 25 (cm 3 s) r h x R h dt dt dt h 2 25h d x 100 , 故 (cm s) 2 2 2 R (h x ) dt R
M
O 2
x
2. 设 y (sin x )
tan x
x x
ln x
3
2 x , 求 y . 2 (2 x )
y1
y2
, y2 . 提示: 分别用对数微分法求 y1 答案: y2 y y1
(sin x )tan x (sec2 x lnsin x 1)
二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
关系,
可确定一个 y 与 x 之间的函数
可导, 且 则
( t ) 0 时, 有
dy dy d t dy 1 ( t ) dx d t dx d t d x ( t ) dt ( t ) 0 时, 有 dx 1 ( t ) dx dx d t d t dy dy dt d y ( t ) (此时看成 x 是 y 的函数 ) dt
三、相关变化率
为两可导函数
之间有联系 相关变化率问题解法: 之间也有联系
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不对．
((t) 0)
yx
d
dx
yx
dyx dt
dt dx
((tt))t 1(t)
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第四节 隐函数与参数式函数的导数
一、隐函数的导数 两个变量之间的对应关系如果由表达式 y f(x)
给出，这种形式的函数叫做显函数，例如 yesinx,yarcta1n x
等。两个变量之间的对应关系如果由一个方程 F(x,y)0 所确定，这种形式的函数叫做隐函数。也就是说，如果在 方程 F(x,y)0 中，当x取某区间内的任一确定值时， 相应地总有满足方程的唯一y的值存在，那未就称方程
例 已知方程 y2 xlny 确定了y是x的函数，求 y
解 方程两边对求导，得
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2yylnyx 1y y
即得
y y ln y 2y2 x
Байду номын сангаас
二、对数求导法
这个方法适用于幂指函数（形如 f (x)g(x) 的函数）以
及由多个因子连乘积、商形式构成的函数。 对数求导法的具体做法是：先两边取对数，且利用对
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三、参数式函数的导数
设t为参数，则
x(t) y(t)
t[]
即参数式函数
dy
dy dt
dx
dx
dt
这就是参数式函数的导数公式。
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例
求由参数方程
x a(t sint) y a(1cost) 确定的函数
yy(x) 的导数
解：
dy
dy dx
dx2
( ) ( ) ( ) dx dx dx 2 dt 2 dx
d (t) dt 2
1 2
1t2
dx 2t 4t
dt 1 t2
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作业： P60 23(2),25,26(2)(3),27(2)28
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思考与练习
设xy((tt))，由yx ((tt)) 可知yx ((tt))，对吗？
dt dx
asin t a(1 cost)
dt
2sin
t cos t 22
cos t
2sin2 t
2
2
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例
求由参数方程
x ln(1t2)
所确定的函数的二
y t arctant
阶导数
d 2y dx 2
解：
dy dx
dy dt
dx
111t2 2t
t 2
dt
1t2
d 2 y d dy d t d t dt
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例
设
y
(x1)(2x1)2 (3x4)2
，求 y
解 两边取对数，得
ln y1 [lxn 1 )( 2 ln 2 x (1 ) 2 ln 3 x (4 )] 3
两边对x求导，得
1y1[12 2 2 3 ] y 3x1 2x1 3x4
于是得到
y(x (3 1x ) 2(x 4) 21)2[3(x1 1)3(2x 41)3x2 4]
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F(x,y)0在该区间上确定了y是x的一个隐函数。 隐函数的求导办法是：在方程两边同时对自变量求导
（注意y是的x函数），即可得到一个含 y 的方程，从中解
出 y ，即为所求隐函数的导数。
在隐函数导数的结果中，既含有自变量x，又含有 因变量y，通常不能也无须求得只含自变量的表达式.。
数的性质化简，再两边同时对自变量求导数，然后求得y 。
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例 已知 y(2x2)coxs ，求 y
解 两边取对数，得 ln ycoxlsn2 (x2) 两边对x求导，得 1 yysixn ln 2(x2)co x2 s 2xx2
于是得到
y(2x2)co x[ ssixlnn 2(x2)2 2 x cx2o x]s
((t) 0)
yx
d
dx
yx
dyx dt
dt dx
((tt))t 1(t)
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第四节 隐函数与参数式函数的导数
一、隐函数的导数 两个变量之间的对应关系如果由表达式 y f(x)
给出，这种形式的函数叫做显函数，例如 yesinx,yarcta1n x
等。两个变量之间的对应关系如果由一个方程 F(x,y)0 所确定，这种形式的函数叫做隐函数。也就是说，如果在 方程 F(x,y)0 中，当x取某区间内的任一确定值时， 相应地总有满足方程的唯一y的值存在，那未就称方程
例 已知方程 y2 xlny 确定了y是x的函数，求 y
解 方程两边对求导，得
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2yylnyx 1y y
即得
y y ln y 2y2 x
Байду номын сангаас
二、对数求导法
这个方法适用于幂指函数（形如 f (x)g(x) 的函数）以
及由多个因子连乘积、商形式构成的函数。 对数求导法的具体做法是：先两边取对数，且利用对
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三、参数式函数的导数
设t为参数，则
x(t) y(t)
t[]
即参数式函数
dy
dy dt
dx
dx
dt
这就是参数式函数的导数公式。
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例
求由参数方程
x a(t sint) y a(1cost) 确定的函数
yy(x) 的导数
解：
dy
dy dx
dx2
( ) ( ) ( ) dx dx dx 2 dt 2 dx
d (t) dt 2
1 2
1t2
dx 2t 4t
dt 1 t2
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作业： P60 23(2),25,26(2)(3),27(2)28
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思考与练习
设xy((tt))，由yx ((tt)) 可知yx ((tt))，对吗？
dt dx
asin t a(1 cost)
dt
2sin
t cos t 22
cos t
2sin2 t
2
2
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例
求由参数方程
x ln(1t2)
所确定的函数的二
y t arctant
阶导数
d 2y dx 2
解：
dy dx
dy dt
dx
111t2 2t
t 2
dt
1t2
d 2 y d dy d t d t dt
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例
设
y
(x1)(2x1)2 (3x4)2
，求 y
解 两边取对数，得
ln y1 [lxn 1 )( 2 ln 2 x (1 ) 2 ln 3 x (4 )] 3
两边对x求导，得
1y1[12 2 2 3 ] y 3x1 2x1 3x4
于是得到
y(x (3 1x ) 2(x 4) 21)2[3(x1 1)3(2x 41)3x2 4]
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F(x,y)0在该区间上确定了y是x的一个隐函数。 隐函数的求导办法是：在方程两边同时对自变量求导
（注意y是的x函数），即可得到一个含 y 的方程，从中解
出 y ，即为所求隐函数的导数。
在隐函数导数的结果中，既含有自变量x，又含有 因变量y，通常不能也无须求得只含自变量的表达式.。
数的性质化简，再两边同时对自变量求导数，然后求得y 。
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例 已知 y(2x2)coxs ，求 y
解 两边取对数，得 ln ycoxlsn2 (x2) 两边对x求导，得 1 yysixn ln 2(x2)co x2 s 2xx2
于是得到
y(2x2)co x[ ssixlnn 2(x2)2 2 x cx2o x]s