数值模拟

u ( x, y ), v( x, y )
1 xj 0 0 1 xk
这里: ai (i = 1,2,3,...) 是广义坐标。 可以得到： −1 e
a =C q
2.2、有限元法基本原理
ai b i 1 ci −1 C = 2A 0 0 0
1 xi yi
0 0 0 ai bi ci
（7）
∆t
差分计算中的时间单元，称时间步长或时段； 时段序号。
p
2.1、有限差法基本原理
式（4）和（5）是在固定的某个时段推出的，因此在每个温度上也应 注明时段序号。于是，根据式（4）、（5）和（6），微分方程（1）转 变为
λ(
Ti+p j − 2Ti ,pj + Ti−p j 1, 1,
( ∆x )
1、数值模拟简介
近年来，热加工工艺模拟不断向广度、深度拓展，其技术发展趋势是：
宏观－中观－微观 已普遍由建立在温度场、速度场、变形场基础上的旨在预测形状、尺寸，轮 廓的宏观尺度模拟（mm-m级）进入到以预测组织、结构、性能为目的的中 观尺度模拟（毫米量级）及微观尺度模拟（微米量级）阶段。 • 单－分散－耦合集成 模拟功能已由单一的物理场模拟普遍进入到多种物理场相互耦合集成的阶段， 以真实模拟复杂的热加工过程。 • 共性、通用－专用、特性 由于普通铸造、冲压、锻造工艺模拟的日益成熟及商业软件的出现，研究工 作的重点和前沿已由共性通用问题转向难度更大的专用特性问题。主要方向 一是解决特种热加工工艺（如压铸、金属型铸造、楔横轧等）模拟及工艺优 化问题；二是解决加工件的缺陷（混晶、回弹、热裂、冷裂、变形等）消除 问题。 •
aj bj cj 0 0 0
0 0 0 aj bj cj
ak bk ck 0 0 0
0 0 0 ak bk ck
式中：
2A = 1 x j 1 xk
y j = x j − xi y k − y j − x k − x j y j − y i yk
(
)(
) (
)(
)
ai = xj yk − xk yj aj = xk yi −xi yk ak = xi yj − xj yi
bi = y j − y k b j = y k − y i bk = y i − y j ci = x k − x j c j = xi − x k c k = x j − xi
2.2、有限元法基本原理
为不使A 为负值，图1中的i，j，k必须按逆时针方向标注
将上述式子代入 d = Sa 有：
ai b i 0 ci 0 y 0 0 0 0 0 ai bi ci aj bj cj 0 0 0 0 0 0 aj bj cj ak bk ck 0 0 0 0 u i 0 vi 0 u j a k v j bk u k c k v k
• 由于系统越来越高性能化或复杂化，单纯的实验已难以使严 峻的状况重现出来
•
计算机的性能已经大大提高和普及,使复杂过程的数值模拟成 为可能
•
数值模拟起到验证并指导实验的作用,可以大大地减低实验量
1、数值模拟简介 材料加工中模拟及优化设计技术是应 用模拟仿真、试验测试等手段，在拟实的 环境下模拟材料加工工艺过程，显示材料 在加工过程中形状、尺寸、内部组织及缺 陷的演变情况，预测其组织性能质量，达 到优化工艺设计目的的一门崭新技术
既然是单元内某点的位移表达式， 当然三个节点上的位移也满足同样的表达式。
ui 1 xi v i 0 0 u j 1 x j e q = = v j 0 0 1 x k uk vk 0 0 yi 0 yj 0 yk 0 0 1 0 0 xi 0 0 a1 yi a 2 0 a3 = Ca y j a4 0 a5 y k a6
如果温度对时间取向后差分：
∂T p Ti , j − Ti , j ( )i , j = ∂t ∆t
p
p −1
（10）
则差分方程变为：
λ(
Ti+p j − 2Ti ,pj + Ti−p j 1, 1,
( ∆x )
2
+
Ti ,pj +1 − 2Ti ,pj + Ti ,pj−1
( ∆y )
2
) = cρ (
1、数值模拟简介
• 材料加工过程的数值模拟。通过建立能准确描述某一热加 工工艺过程的数理模型及对数理方程的简化求解，动态显 示该过程并预测其结果。分为宏观（mm-m级）、微观 （µm-mm级）、原子（nm-µm级）三个不同的模拟尺度。 • 材料加工过程的物理模拟及专家系统。通过得到准确的临 界判据，检验、校核数值模拟的结果；用于影响因素十分 复杂的工艺过程，作为数值模拟的必要补充。 • 热加工过程的基础理论及缺陷形成原理。它是准确地建立 过程数理模型，得到缺陷科学判据的研究基础。
1、数值模拟简介
• 重视提高数值模拟精度和速度的基础性研究 主要有：热加工基础理论、缺陷形成机理及判据、新的数 理模型、新的算法、前后处理等基础性研究及物理模拟与 精确测试技术等。 • 重视集成技术，使工艺模拟成为先进制造系统的重要组成 部分 包括：在并行环境下，与产品、模具CAD／CAE／CAM 系统集成，与零件加工制造系统集成，与零件的安全可靠 性能实现集成。
（9）
其中：
p=1，2，3…；
∆x 2
t = p∆t
；
E=
α ⋅ ∆T
i =1，2，3…； x = i∆x ； j =1，2，3…； y = j ∆y ；
2.1、有限差法基本原理
式（9）表明，只要已知某一时刻的温度场，便可直接算出 ∆T 时间后的温度场。因 此，只要知道浇注温度和浇注当时的铸型温度，便可以此温度为初始温度，算出 任意时刻的温度场。这种形式的方程称显式格式的差分方程。
1、数值模拟简介
• 材料热加工工艺模拟研究于1962年开始于铸造过 程，进入70年代后，从铸造逐步扩展到锻压、焊 接、热处理，在全世界形成了材料热加工工艺模 拟的研究热潮。 • 经多年研究开发，针对常规铸造、冲压、热锻已 经形成一批热加工工艺模拟商业软件；并已在铸 造、锻压生产中得到一定应用，在注塑、焊接、 热处理中的应用刚刚起步；同时数值模拟已逐步 成为新工艺研究开发的重要手段和方法。
（2） 式（2）、（3）和 （4）的右边项分别 称T关于x的向前、 （3） 向后和中心差分。 （4）
或
T −T dT ( )i = i +1 i −1 dx 2∆x
2.1、有限差法基本原理
差分就是用函数 曲线上一个或两个单 元间的割线代替曲线 上的切线，因此差分 是一个近似表达式。 由图还可以看出，中 心差分的准确度高于 其它两种形式的差分。
[
(
)
]
[来自百度文库
(
)
]
或写成：
v ( x, y ) = N i v i + N j v j + N k v k
可简写为：
Ni N = 0
d = Nq
0 Ni Nj 0
e
0 Nj
Nk 0
0 Nk
2.2、有限元法基本原理
k ( xk , y k )
uk
v ( x, y )
vi
vj
u ( x, y )
ui
i ( xi , y i )
j(x j , y j )
uj
2.2、有限元法基本原理 1、设定位移函数
单元内的位移通过节点的位移插值得到。对于三角形单元，可假 定单元内的位移为 x, y 的线性函数。
u ( x, y ) = a1 + a2 x + a3 y
2.1、有限差法基本原理
在二维问题中，采用中心差分时有：
∂T ( )i , j = ∂x
∂ 2T ( 2 )i , j ∂x
T
1 i+ , j 2
−T
1 i− , j 2
∆x T 1 −T 1 i− , j ∂ i+ 2, j 2 = ∂x ∆x ∂T ∂T ( ) 1 −( ) 1 ∂x i + 2 , j ∂x i − 2 , j = ∆x Ti +1, j − Ti , j Ti , j − Ti −1, j − Ti +1, j − 2Ti , j + Ti −1, j ∆x ∆x = = 2 ∆x ( ∆x )
数值模拟
数值模拟
1. 数值模拟简介 2. 数值模拟基本原理
2.1、有限差法基本原理 2.2、有限元法基本原理
3. 数值模拟步骤
3.1、有限元法模拟步骤 3.2、有限差法模拟步骤
4. 数值模拟的应用
4.1、有限元法应用实例 4.2、有限差法应用实例
1、数值模拟简介
随着现代科学技术的发展，数学建模和数值 模拟技术的地位显得越来越重要,其原因有以下 几方面:
2
+
Ti ,pj+1 − 2Ti ,pj + Ti ,pj−1
( ∆y )
2
) = cρ (
Ti ,pj+1 − Ti ,pj ∆t
)
（8）
p p p p Ti ,pj+1 = (1 − 4 E )Ti ,pj + E (Ti +1, j + Ti +1, j + Ti +1, j + Ti +1, j )
（5）
2.1、有限差法基本原理
Ti , j +1 − 2Ti , j + Ti , j −1 ∂ 2T ( 2 )i , j = 2 ∂y ( ∆y )
同理
（6）
温度对时间的微分也转变成差分，我们采用如下形式的向前差分：
∂T p ( )i, j = ∂t
式中：
Ti ,pj+1 − Ti ,pj ∆t
2.1、有限差法基本原理
微分方程转变为差分方程 对于导热方程 2
∂ T ∂ 2T ∂T λ ( 2 + 2 ) = cρ ∂x ∂y ∂t
T −T dT )i = i +1 i ∆x dx
（1）
用差分来代替微分，即可将微分方程转变为差分方程。 微分和差分的关系是：
(
或
(
T −T dT )i = i i −1 dx ∆x
v ( x, y ) = a 4 + a 5 x + a 6 y
写成矩阵：
a1 a 2 u 1 x y 0 0 0 a3 d = = a = Sa v 0 0 0 1 x y 4 a 5 a6
2.2、有限元法基本原理
Ti ,pj − Ti ,pj−1 ∆t
)
（11）
2.1、有限差法基本原理
由式（11）看出，采用这种方程时，即使已知某一时 刻的温度，也不能直接算出时间后的温度，因为在方程中 与当前单元相邻的四个单元温度也都以一个时段后的温度 即以未知量的形式出现。如果把铸件铸型剖分为 n 个 单 元，那么式（11）便是 n 阶线性代数方程组，每求解一次 这个方程组，便得到个第时段上的温度。这种形式的方程 称隐式格式的差分方程。
2.2、有限元法基本原理 有限元分析的六个基本步骤是： （以平面应力应变问题为例）
• • • • • • 结构离散化； 选择位移模式； 分析单元力学特性； 集合所有单元的平衡方程，建立整个结构的平衡方程； 求解未知节点位移； 计算单元应变和应力。
2.2、有限元法基本原理
以平面三角形单元为例：
vk
节点位移
u 1 1 x v = 2 A 0 0
y 0 0 0 1 x
任意点位移
任意点坐标
节点几何量
2.2、有限元法基本原理
u(x, y) = v( x, y) = 1 (ai + bi x + ci y)ui + a j + b j x + c j y u j + (ak + bk x + ck y)uk 2A 1 (ai + bi x + ci y)vi + a j + b j x + c j y v j + (ak + bk x + ck y)vk 2A
数值模拟
2. 数值模拟基本原理
2.1、有限差法基本原理 2.2、有限元法基本原理
2.1、有限差法基本原理
有限差分法，这种方法将计算对象（铸件和 铸型系统）剖分为许许多多有限小尺寸的单元体。 假定每个单元体之间的温度梯度为常数，在每个 单元体上建立代数方程来代替以无限小单元体为 基础建立的微分方程，形成以与单元体数相等的 方程组成的代数方程组，最后用计算机解这一通 常是十分庞大的方程组。