高考自主招生数学试题及答案
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卓越联盟自主招生数学试题
(1)向量a ，b 均为非零向量，(a -2b )⊥a ，(b -2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为 (A )
6
π
(B )
3
π
(C )
23
π (D )
56
π (2)已知sin2(α+γ)=n sin2β，则
tan()
tan()
αβγαβγ++-+22等于
(A )
11
n n -+
(B )
1
n n +
(C )
1
n n - (D )
1
1
n n +- (3)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AA 1的中点，F 是棱A 1B 1上的点，且A 1F ：FB 1=1：3，则异面直线EF 与BC 1所成角的正弦值为 (A )
153
(B )
155
(C )
53
(D )
55
(4)i 为虚数单位，设复数z 满足|z |=1，则222
1z z z i
-+-+的最大值为
(A )2-1
(B )2-2
(C )2+1 (D )2+2
(5)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，△ABC 三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC 边所在直线的方程为4x +y -20=0，则抛物线方程为
(A )y 2
=16x
(B )y 2
=8x
(C )y 2
=-16x (D )y 2
=-8x
(6)在三棱锥ABC —A 1B 1C 1中，底面边长与侧棱长均等于2，且E 为CC 1的中点，则点C 1到平面AB 1E 的距离为
(A )3
(B )2
(C )
32
(D )
22
(7)若关于x 的方程||4
x x +=kx 2
有四个不同的实数解，则k 的取值范围为( ) (A )(0，1)
(B )(14，1)
(C )(14
，+∞) (D )(1，+∞)
(8)如图，△ABC 内接于⊙O ，过BC 中点D 作平行于AC 的直线l ，l 交AB 于E ，交⊙O 于G 、F ，交⊙O 在A 点的切线于P ，若PE =3，ED =2，EF =3，则PA 的长为
(A )5
(B )6 (C )7
(D )22
(9)数列{a n }共有11项，a 1=0，a 11=4，且|a k +1-a k |=1，k =1，2，…，10．满足这种条件的不同数列的个数为( ) (A )100
(B )120
(C )140 (D )160
(10)设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为
27
π
的旋转，τ表示坐标平面关于y 轴的镜面反射．用τσ表示变换的复合，先做τ，再做σ，用σk
表示连续k 次的变换，则στσ2
τσ3
τσ4
是( ) (A )σ
4
(B )σ
5
(C )σ2
τ
(D )τσ2
(11)设数列{a n }满足a 1=a ，a 2=b ，2a n +2=a n +1+a n ． (Ⅰ)设b n =a n +1-a n ，证明：若a ≠b ，则{b n }是等比数列； (Ⅱ)若lim n →∞
(a 1+a 2+…+a n )=4，求a ，b 的值．
(12)在△ABC 中，AB =2AC ，AD 是A 的角平分线，且AD =kAC ． (Ⅰ)求k 的取值范围；
(Ⅱ)若S △ABC =1，问k 为何值时，BC 最短？
(13)已知椭圆的两个焦点为F 1(-1，0)，F 2(1，0)，且椭圆与直线y =x
相切． (Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)过F 1作两条互相垂直的直线l 1，l 2，与椭圆分别交于P ，Q 及M ，N ，求四边形PMQN 面积的最大值与最小值．
(14)一袋中有a 个白球和b 个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复n 次这样的操作后，记袋中白球的个数为X n ． (Ⅰ)求EX 1；
(Ⅱ)设P (X n =a +k )=p k ，求P (X n +1=a +k )，k =0，1，…，b ； (Ⅲ)证明：EX n +1=(1-
1
a b
+)EX n +1． (15)(Ⅰ)设f (x )=x ln x ，求f ′(x )；