高考自主招生数学试题及答案

卓越联盟自主招生数学试题(1)向量a ，b 均为非零向量，(a -2b )⊥a ，(b -2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为 (A )6π(B )3π(C )23π (D )56π (2)已知sin2(α+γ)=n sin2β，则tan()tan()αβγαβγ++-+22等于(A )11n n -+(B )1n n +(C )1n n - (D )11n n +- (3)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AA 1的中点，F 是棱A 1B 1上的点，且A 1F ：FB 1=1：3，则异面直线EF 与BC 1所成角的正弦值为 (A )153(B )155(C )53(D )55(4)i 为虚数单位，设复数z 满足|z |=1，则2221z z z i-+-+的最大值为(A )2-1(B )2-2(C )2+1 (D )2+2(5)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，△ABC 三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC 边所在直线的方程为4x +y -20=0，则抛物线方程为(A )y 2=16x(B )y 2=8x(C )y 2=-16x (D )y 2=-8x(6)在三棱锥ABC —A 1B 1C 1中，底面边长与侧棱长均等于2，且E 为CC 1的中点，则点C 1到平面AB 1E 的距离为(A )3(B )2(C )32(D )22(7)若关于x 的方程||4x x +=kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为( ) (A )(0，1)(B )(14，1)(C )(14，+∞) (D )(1，+∞)(8)如图，△ABC 内接于⊙O ，过BC 中点D 作平行于AC 的直线l ，l 交AB 于E ，交⊙O 于G 、F ，交⊙O 在A 点的切线于P ，若PE =3，ED =2，EF =3，则PA 的长为(A )5(B )6 (C )7(D )22(9)数列{a n }共有11项，a 1=0，a 11=4，且|a k +1-a k |=1，k =1，2，…，10．满足这种条件的不同数列的个数为( ) (A )100(B )120(C )140 (D )160(10)设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为27π的旋转，τ表示坐标平面关于y 轴的镜面反射．用τσ表示变换的复合，先做τ，再做σ，用σk表示连续k 次的变换，则στσ2τσ3τσ4是( ) (A )σ4(B )σ5(C )σ2τ(D )τσ2(11)设数列{a n }满足a 1=a ，a 2=b ，2a n +2=a n +1+a n ． (Ⅰ)设b n =a n +1-a n ，证明：若a ≠b ，则{b n }是等比数列； (Ⅱ)若lim n →∞(a 1+a 2+…+a n )=4，求a ，b 的值．(12)在△ABC 中，AB =2AC ，AD 是A 的角平分线，且AD =kAC ． (Ⅰ)求k 的取值范围；(Ⅱ)若S △ABC =1，问k 为何值时，BC 最短？(13)已知椭圆的两个焦点为F 1(-1，0)，F 2(1，0)，且椭圆与直线y =x相切． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过F 1作两条互相垂直的直线l 1，l 2，与椭圆分别交于P ，Q 及M ，N ，求四边形PMQN 面积的最大值与最小值．(14)一袋中有a 个白球和b 个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复n 次这样的操作后，记袋中白球的个数为X n ． (Ⅰ)求EX 1；(Ⅱ)设P (X n =a +k )=p k ，求P (X n +1=a +k )，k =0，1，…，b ； (Ⅲ)证明：EX n +1=(1-1a b+)EX n +1． (15)(Ⅰ)设f (x )=x ln x ，求f ′(x )；(Ⅱ)设0<a <b ，求常数C ，使得1|ln |bax C dx b a --⎰取得最小值；(Ⅲ)记(Ⅱ)中的最小值为m a ,b ，证明：m a ,b <ln2．一.选择题1. 2. 3. 4. 5. 6.7.8.9.10.B D B C A D C B B D二.解答题11.【解】(1)证:由1221,,2n n n a a a b a a a ++===+,得2112()().n n n n a a a a +++-=--令1,nn n b a a +=-则112n n b b +=-,所以{}n b 是以b a -为首项,以12-为公比的等比数列;(2)由(1) 可知1*11()()()2n n n n b a a b a n N -+=-=--∈,所以由累加法得1111()2(),11()2nn a a b a +---=---即121()[1()],32n n a a b a +=+---也所以有121()[1()](2),132n na ab a n n -=+---≥=时,1a a =也适合该式;所以1*21()[1()]()32n n a a b a n N -=+---∈1211()224412()[]()()()()13399212nn n a a a na b a n na b a n b a b a --+++=+--=+---+--+ 由于12lim()4,n n a a a →∞+++=所以24()0,()4,39a b a b a +-=--=解得6,3a b ==-.12.【解】(1)过B 作直线BE AC ,交AD 延长线于E ,如图右.所以,2,BD AB CD AC==也所以有2DE BE BDAD AC DC===,即2,3.BE AC AE BD == 在ABE ∆中,有2222cos .AE AB BE AB BE EBA =+-⋅∠即222(3)(2)(2)2(22)cos AD AC AC AC AC A =++⋅⋅所以,2229()88cos ,kAC AC AC A =+⋅即2816(1cos )(0,)99k A =+∈所以403k<<. (2)因为21sin sin 12ABC S AB AC A AC A ∆=⋅⋅==在ABC ∆中,有2222254cos 2cos 54cos sin ABC AB AC AB AC A AC AC A A-=+-⋅=-=记54cos sin A y A-=,则sin 4cos )5y A A A ϕ+=+=当sin()1A ϕ+=时,53y ⇒=此时y 取最小值,此时3cos 5A =.故当15k=时,BC 取最小值13.【解】设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>,因为它与直线y x =只有一个公共点,所以方程组22221,x y a b y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩只有一解,整理得2222222()30a b x x a a b +-+-=.所以2222222(23)4((3)0,a a b a a b =--+-=得223a b +=.又因为焦点为12(1,0),(1,0)F F -,所以221,ab -=联立上式解得222,1a b ==所以椭圆方程为2212x y +=.(2)若PQ 斜率不存在(或为0)时,则||||22PMQN PQ MN S ⋅===四边形.若PQ 斜率存在时,设为(0)k k ≠,则MN 为1k-.所以直线PQ 方程为y kx k =+.设PQ 与椭圆交点坐标为1122(,),(,)P x y Q x y联立方程221,2.x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩化简得2222(21)4220k x k x k +++-=.则22121222422,2121k k x x x x k k --+==++所以12|||PQ x x =-==同理可得||MN =所以222422242421||||(1)21124444()2(2)(21)2522252PMQNkPQ MN k k k S k k k k k k ⋅+++====-++++++四边形 242221114()4()12410424410k k k k k =-=-++++因为22144101018kk ++≥=（当且仅当21k =时取等号） 所以,2211(0,],1184410k k ∈++也所以2211164()[,2]1294410k k-∈++所以综上所述,PMQN S 四边形的面积的最小值为169,最大值为2.14.【解】(1)1n =时,袋中的白球的个数可能为a 个(即取出的是白球),概率为aa b+;也可能为1a +个(即取出的是黑球),概率为ba b+,故21(1)a b a ab b EX a a a b a b a b ++=⋅++⋅=+++. (2)首先,10(0);n aP X a P a b+=+=⋅+1k ≥时,第1n +次取出来有a k +个白球的可能性有两种; 第n 次袋中有a k +个白球,显然每次取出球后,球的总数保持不变,即a b +个白球(故此时黑球有b k-个),第1n +次取出来的也是白球,这种情况发生的概率为;ka kP a b+⋅+ 第n 次袋中有1a k +-个白球,第1n +次取出来的是黑球,由于每次球的总数为a b +个,故此时黑球的个数为1b k -+.这种情况发生的概率为11(1)k b k P k a b--+⋅≥+.故111()(1).n k k a k b k P X a k P P k a b a b+-+-+=+=⋅+⋅≥++ (3)第1n +次白球的个数的数学期望分为两类:第n 次白球个数的数学期望,即n EX .由于白球和黑球的总个数为a b +,第1n +次取出来的是白球,这种情况发生的概率是n EX a b +;第1n +次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是na b EX a b+-+,此时白球的个数是 1.nEX +故21()(1)(1)(1)n n n nn n n n EX a b EX EX EX EX EX EX EX a b a b a b a b++-=+⋅+=+-+++++22()())11(1)1n n n n n EX EX EX EX EX a b a b a b a b=+-+-=-+++++15.(1)1()ln ln 1f x x x x x'=+⋅=+;(2)若ln ,c a ≤则|ln |ln ,x c x c -=-显然,当ln ,ln c a x c =-取最小; 若ln ,c b ≤则|ln |ln ,x c c x -=-当ln ,ln c b c x =-取最小.故ln ln .a c b ≤≤11|ln |[(ln )(ln )]c c b e b a ae x c dx x c dx c x dx b a b a -=-+---⎰⎰⎰1{[(ln 1)(1)][(1)(ln 1)]}c c e b ae x c dx c x dx b a =+-+++-+-⎰⎰由(1)知[(ln 1)(1)]ln |(1)()cce e ca ax c dx x x c e a +-+=-+-⎰[(1)(ln 1)](1)()ln |ccbc b e ec x dx c e a x x +-+=+--⎰所以,11|ln |(ln ln 2)()b c a x c dx a a b b e a b ac bc b a b a-=---+++-*--⎰记()2()ln ln ,cg c e a b c a a b b a b =-++--++则令()20cg c e a b '=-++=,得2a bc +=即2a b c +=时,1|ln |ba x C dxb a --⎰取最小值. (3)将2a bc +=代入()*式右边,1,[ln ln ()ln ]ln 22a bMa b a a b b a b b a +=--++<-等价于()ln ln ln ()ln 2()ln()ln ln 2ln 22a ba b a a b b b a a b a b a a b b b ++--<-⇔+⋅+<++ln()ln ln()ln 2ln 2ln(1)ln(1)2ln 2.b aa ab a a b a b b b b a b b a b⇔+-++-<⇔+++<由于0,12a a b b <<+<时,ln(1)ln 2.a b b b +<所以下面只须证明ln(1)ln 2ba b a+<即可.又ln(1)ln 2ln(1)ln 2.b a b a b a b a +<⇔+<令(0,1)at b =∈, 则11ln(1)ln(1)ln(1)t a b t b a t t +=+=+,注意到函数1ln(1)tt+是单调递增的,且 1.t < 所以111ln(1)ln(1)ln 21t t +<+=.得证.2012年卓越联盟自主招生数学试题2013年卓越联盟自主招生数学试题一、选择题：（本大题共4小题，每小题5分．在每小题给出的4个结论中，只有一项是符合题目要求的．） （1）已知()f x 是定义在实数集上的偶函数，且在(0,)+∞上递增，则（A ）0.72(2)(log 5)(3)f f f <-<- (B) 0.72(3)(2)(log 5)f f f -<<- (C) 0.72(3)(log 5)(2)f f f -<-< (D) 0.72(2)(3)(log 5)f f f <-<-（2）已知函数()sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象经过点(,0)6B π-，且()f x 的相邻两个零点的距离为2π，为得到()y f x =的图象，可将sin y x =图象上所有点（A ）先向右平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变 (B) 先向左平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变(C) 先向左平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变(D) 先向右平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变（3）如图，在,,,,A B C D E 五个区域中栽种3种植物，要求同一区域中只种1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的栽种方法的总数为 （A ）21 (B)24 (C)30 ( D)48 (4)设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R ∈，有2()()f x f x x -+=，且在(0,)+∞上()f x x '>．若(2)()22f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为（A ）[1,)+∞ (B) (,1]-∞ (C) (,2]-∞ (D) [2,)+∞ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分）（5）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点是双曲线2218x y p-=的一个焦点，则双曲线的渐 近线方程为 ．（6）设点O 在ABC ∆的内部，点D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，且21OD DE +=， 则23OA OB OC ++= ．（7）设曲线22y x x -与x 轴所围成的区域为D ，向区域D 内随机投一点，则该点落 入区域22{(,)2}x y D x y ∈+<内的概率为 ． (8)如图，AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD 与OE 垂直，垂足是D ，割线EC 交圆O 于,B C ，且,ODC DBC αβ∠=∠=，则OEC ∠=（用,αβ表示）三、解答题（本大题共4小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（9）（本小题满分13分）在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ．已知()(sin sin )()sin a c A C a b B -+=-．（1）求角C 的大小； （2）求sin sin A B ⋅的最大值． （10）（本题满分13分）设椭圆2221(2)4x y a a +=>的离心率为，斜率为k 的直线l 过点(0,1)E 且与椭圆交于,C D 两点．（1）求椭圆方程；（2）若直线l 与x 轴相交于点G ，且GC DE =，求k 的值； （3）设A 为椭圆的下顶点，AC k 、AD k 分别为直线AC 、AD 的斜率，证明对任意的k 恒 有2AC AD k k ⋅=-． （11）（本题满分15分）设0x >，（1）证明：2112xe x x >++； （2）若2112xye x x e =++，证明：0y x <<． （12）（本题满分15分）已知数列{}n a 中，13a =，2*1,,n n n a a na n N R αα+=-+∈∈．（1）若2n a n ≥对*n N ∀∈都成立，求α的取值范围；（2）当2α=-时，证明*121112()222n n N a a a +++<∈---．答案：(1)A ； （2）B ； （3）C ； （4）B ． （5）y x =±； （6）2； （7）11π-； （8）βα-．2013大学自主招生模拟试题一一.选择题1． 把圆x 2+(y －1)2=1与椭圆9x 2+(y +1)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为( ) (A )线段 (B )不等边三角形 (C )等边三角形 (D )四边形2． 等比数列{a n }的首项a 1=1536,公比q=－12,用πn 表示它的前n 项之积。