第4章 变形体静力学基础

假想沿1－1截面将杆截开，取1－1截面左端部分为研 究对象，受力分析如图4-5（c）所示。静力平衡方程
X 0, FAx FN 0 Y 0, FAy FS 0
M D (F ) 0, M FAy 2 0
解得：
FN FAx 8.66kN , FS FAy 5kN,
• 第4章 弹性变形体静力分析基础
• • • • 4．1变形体的基本假设 4．2杆件变形的基本形式 4．3杆件内力的计算方法 4. 4应力和应变的概念 胡克定律
4.1变形体的基本假设
变形固体：任何固体在外力作用下会产生形状和大小的变化。 弹性变形：当外力不超过某一限度时，外力撤去后，变形 随外力撤去而消失，这种变形称为弹性变形。 塑性变形：当外力超过一定限度时，外力撤去后将遗留一 部分不能消失的变形，称这部分变形为塑性变形，或称为 残留变形或永久变形。 构件按几何形状分为杆、板、壳和块体。
直杆
曲杆
板 研究对象：直杆
壳
块体
研究任务：使构件在外力作用下能够正常工作。 构件应具有足够的强度，以保证构件不会产生断裂或明显 的塑性变形。强度是指构件抵抗破坏（断裂或产生明显塑 性变形）的能力。 构件具有足够的刚度，以保证构件工作时的弹性变形在规 定的限度内。刚度是指构件抵抗变形的能力。 构件应具有足够的稳定性，以使构件在工作时不产生失稳 现象。失稳是指直杆从直线的平衡形式突然变为曲线的平 衡形式。稳定性是指构件保持原有平衡形态的能力。
弯矩M ：使微段发生“上凹下凸” 的弯曲变形的弯矩为正，反之为负。
为避免符号出错,要求：
未知内力均按符号规定的正 向假设。
例题
1）剪力Q：截面上的剪力Q 使所取脱离体产生顺时针转动趋 势时（或者左上右下）为正，反 之为负。 2）弯矩M：截面上的弯矩M 使所取脱离体产生下边凸出的变 形时（或者左顺右逆）为正，反 之为负。
对应的变 形
拉伸或压 缩 剪切
T
My、Mz
扭矩
弯矩
矩矢沿轴线（x)方向
矩矢在横截面内（y、z面）
扭转
弯曲
2.内力的正负规定
轴力 FN ：拉伸时轴力（背离截 面）为正，压缩时轴里（指 向截面） 为负。 剪力Fs：截面上的剪力使所取脱 离体产生顺时针转动趋势时（或者左 上右下）为正，反之为负。
扭矩T ：当扭矩矢量方向与横截 面的外法线方向相同时，该扭矩为正， 反之为负。
在一对大小相等、方向相反，作用面垂直于杆轴的外 力偶作用下，杆件的任意两个横截面发生相对转动。杆件表面 纵向线将成斜线，而杆件的轴线仍维持直线。这种变形称为扭 转。
4.平面弯曲
在一对转向相反、作用面在包含杆轴线的纵向平面内的力偶或横 向力作用下，直杆的相邻横截面将绕垂直于杆轴线的轴发生相对 转动，变形后杆轴线将弯成曲线，这种变形称为平面弯曲，简称 弯曲。
M 10 kN m
由上计算结果知，1－1截面上的轴力是压力，剪力的方向向 下，弯矩为逆时针转向。 按内力分量正负号的规定法则的结果 与上相同，应取的正负号也是 为负，和为正。
截面法确定杆件横截面上的内力分量的步骤：
（1）由静力平衡方程确定杆件上的未知外力；
（2）在要考察的横截面处，用假想的截面将杆件截开
分为两部分； （3）取其中的一部分作为研究对象，在截面形心处建 立合适的坐标系，建立平衡条件，由静力平衡方程计算 各内力分量；
（4）考查另一部分的平衡，检验结果的正确性。
4.4 应力与应变的概念 胡克定律
4.4.1 应力的概念
截面法所确定的截面上分布内力的合力，不能说明 截面上任一点处内力的强弱程度。为了度量 任一点处内力的强弱程度，引入应力的概念。
研究构件强度、刚度和稳定性时，为了计算简化，略去 材料的一些次要性质，并根据与问题有关的主要因素，对变 形固体作如下假设： 连续性假设：构件的体积内毫无间隙地充满物质。 可以对连续介质采用无穷小量的分析方法。 均匀性假设：假设构件任取一部分，不论其体积大小如何， 其机械性质完全相同。 构件内部各部分的性质是均匀的。 机械性质是指材料在外力作用下表现出的变形和破坏等方 面的特性。
4.3.2 截面法
N
利用截面法求内力的步骤：
NF
欲求某一截面的内力，就沿该截面假想地把构件截为两部分 保留其中一部分作为研究对象。 用作用在截面上的内力，代替弃去部分对保留部分的作用。 建立保留部分的平衡条件，确定未知内力。
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1.六个内力分量：
代号 FN Fsy、Fsz 名称 轴力 剪力 方向（或转向） 沿横截面法向方向 沿横截面切线方向
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例4-1 计算图4-5（a）所示结构中杆AB的1－1截面上
的内力。已知载荷FP=10KN，1－1截面位于FP作用点的左
侧，各杆不计自重。
解 :杆受力分析如图4-5（b）所示。由静力平衡方程求出、 处约束力 FAx 8.66kN , FAy 5kN , FB 10kN
4.2 杆件变形的基本形式
材料力学主要研究杆件
横向尺寸远小于纵向尺寸的构件
4.2
杆件变形的基本形式
1.轴向拉伸和压缩
在一对大小相等方向相反的轴向外力作用下，杆件主要 发生沿轴向的伸长或缩短。
2.剪切
F
F
F
m
F
m
在一对相距很近，大小相等方向相反的横向力外力作 用下，杆件的相邻截面发生相对错动。
3.扭转
4.3 杆件内力的计算方法
内力：构件内部两相邻部分间的相互作用力。
4.3.1 内力
变形固体在一定的外力作用下，内部相邻部分之间相互作用的
力称为内力。由于假设变形固体是均匀连续的，实际上内力是 一个连续分布的力系，而将分布内力系的合成（力或力偶）简 称为内力。注意此内力不同于受外力前固有的内力，而是由外 力引起变形时所产生的附加内力。
各向同性假设：认为固体在各方面的机械性质完全相同。 具有这种性质的材料为各向同性材料。如玻璃，金属等。 不具有这种性质的材料为各向异性材料。如纤维织品、木 材等。 小变形问题：构件的变形远远小于构件的尺寸时，则这类 问题为小变形问题。在研究这类问题的平衡和运动时，可 不计构件变形的影响，仍按变形前的原始尺寸进行分析计 算。例如：