现代控制理论第六章最优控制PPT课件
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容许控制 u(t)U 3.初始条件
初始集 0 x ( t0 )| j[x ( t0 ) ] 0
可变始端 x(t0)0 4.终端条件
目标集 f x ( tf)| j[ x ( tf) ] 0
可变终端 x(tf )f
5.目标泛函－－性能指标
J(x) [x (tf) ]tt0fL [x (t)u ,(t)t] ,d t 综合型、鲍尔扎型
解法 （1）嵌入法 （2）拉个朗日乘子法
拉个朗日乘子法
目标函数 mJin f(x,u)
等式约束条件 g i(x ,u ) 0 i 1 ,2 , ,m
核心思想：
构造与原目标函数具有相同最优解的拉个朗日函数， 作为新得目标函数，同时消去等式约束。
拉格朗日函数构造： Hf(x,u )λTg(x,u )
将拉格朗日函数最为优化目标函数：minH 则目标函数存在最优解的条件是：
J(x)tf L[x(t)u ,(t)t,]dt t0
积分型、拉格朗日型
J(x)[x(tf )]
终端型、梅耶型
满足 minJ(x)的控制，称为最优控制； 在最优控制 u* (t )下，状态方程的解，称为最优轨线 x * (t ) 使性能指标能够达到的最优值，称为最优指标 J *
线性二次型性能指标
J ( x ) 1 2 x T ( tf) Q 0 x ( tf) 1 2 t t 0 f[ x T ( t) Q 1 x ( t) u T ( t) Q 2 u ( t) ]td
6.3 静态最优化问题的解
静态最优化问题 动态最优化问题
目标函数 多元普通函数 泛函数
解法
古典微分法
古典变分法
6.3.1 一元函数的极值
最优化问题的数学描述
动态最优化问题
目标函数
mJ i(n x)tf L[x(t)u ,(t)t,]dt t0
约束条件－－受控对来自百度文库的状态方程 x (t)f[x(t)u ,(t)t] ,
6.2 最优控制的前提条件
1.状态方程 x (t)f[x(t)u ,(t)t] ,
2.控制作用域
控制集 U u (t)| j(x ,u ) 0
H0, H0, H0 x u λ
Hf(x,u )λTg(x,u ) 则目标函数存在最优解的条件是：
Hf gTλ0 x x x Hf gTλ0 u u u g(x,u)0 H f(x ,u )λT 0f(x ,u )
例6-2 求使 Jf(x,u)1 2xT Q 1x1 2uT Q 2u 取极值的x*和u*，并满足约束条件 g (x ,u ) x F d u 0
x的约束条件
x1x2x31500
x4x5x61800
x1x4 900 x2 x5 600 x3 x6 1200
约束条件 最优化问题
最优化问题的数学描述
静态最优化问题
目标函数 mJ i(n x)f(x)
等式约束条件 g i(x )0 i 1 ,2 , ,m
不等式约束条件 hj(x)0 j1 ,2, ,l
设J=f(x)为定义在闭区间[a,b]上的实数连续可微函 数，则存在极值u*点的必要条件是：
f(u)|uu*0 u*极小值点的充要条件是
f(u )|u u * 0 ,f(u )|u u * 0 u*极大值点的充要条件是
f(u )|u u * 0 ,f(u )|u u * 0
6.3.2 多元函数的极值
2 f
unu2
2 f
u1un
2 f
u2un
2 f
un2
例6-1 求函数 f(x) 的极值点及极小值。
f( x ) 2 x 1 2 5 x 2 2 x 3 2 2 x 2 x 3 2 x 3 x 1 6 x 2 3
解：根据极值必要条件 fx 0 ，得：
f x1
4x1
2x3
0
f x2
10x22x360
f x3
2x32x22x10
解得： x11,x21,x32 x*1,1,2T
海赛矩阵：
2 f (x) x2
4 0
0 10
2 2
2 2 2
正定，x*为极小值点
6.3.3 具有等式约束条件的极值
目标函数 mJ i(n x)f(x)
等式约束条件 g i(x )0 i 1 ,2 , ,m
设n元函数 f = f(u), u=[u1, u2,…, un] ，存在极值点 的必要条件是：
f (u) 0 u
或者函数的梯度为零矢量
T
fuuf1
f u2
ufn
0
2 f
取极小值点的充要条件是
u12
2 f (u) u2
0
海赛矩阵
2 f (u) u2
2 f
u2u1
2 f
unu1
2 f
u1u2 2 f u22
第六章 最优控制
2020年12月7日
本章内容
➢ 6.1 概述 ➢ 6.2 研究最优控制的前提条件 ➢ 6.3 静态最优化问题的解 ➢ 6.4 泛函及其极值――变分法 ➢ 6.5 用变分法求解连续系统的最优控制问题 ➢ 6.6 极小值原理 ➢ 6.7 线性二次型最优控制问题
6.1 概述
1元 工地A 900包
由于Q1，Q2均为正定矩阵，满足极小值的充分条件。
6.4 泛函及其极值――变分法 1.什么是泛函?
➢ 泛函就是函数的函数
➢ 函数：对于x定义域中的每一个x值，y又有一个 （或者一组）确定的值与之对应，则称y是x的函数， 记做y(x)。
其中，Q1，Q2均为正定矩阵，F为任意矩阵。
解：构造拉格朗日函数：
Hf(x,u )λTg(x,u )
1 2x T Q 1x1 2u T Q 2 u λT xF u d
则目标函数存在最优解的条件是：
H x Q1xλ0 H uQ2xFTλ0 HxFud0 λ
解得极值点为： u * (Q 2 F T Q 1 F ) 1 F T Q 1 d x * [ I F ( Q 2 F T Q 1 F ) 1 F T Q 1 ] d λ * [ Q 1 Q 1 F ( Q 2 F T Q 1 F ) 1 F T Q 1 ] d
4元
甲仓
1500包
4元
2元
工地B 600包
工地C 1200包
5元
乙仓
9元
1800包
如何发送水泥最省运费?
假设从甲仓运往A,B,C三个工地的水泥包数分别为x1,x2,x3; 从乙仓运往A,B,C三个工地的水泥包数分别为x4,x5,x6 总运费为:
f( x ) x 1 2 x 2 4 x 3 4 x 4 5 x 5 9 x 6 目标函数
初始集 0 x ( t0 )| j[x ( t0 ) ] 0
可变始端 x(t0)0 4.终端条件
目标集 f x ( tf)| j[ x ( tf) ] 0
可变终端 x(tf )f
5.目标泛函－－性能指标
J(x) [x (tf) ]tt0fL [x (t)u ,(t)t] ,d t 综合型、鲍尔扎型
解法 （1）嵌入法 （2）拉个朗日乘子法
拉个朗日乘子法
目标函数 mJin f(x,u)
等式约束条件 g i(x ,u ) 0 i 1 ,2 , ,m
核心思想：
构造与原目标函数具有相同最优解的拉个朗日函数， 作为新得目标函数，同时消去等式约束。
拉格朗日函数构造： Hf(x,u )λTg(x,u )
将拉格朗日函数最为优化目标函数：minH 则目标函数存在最优解的条件是：
J(x)tf L[x(t)u ,(t)t,]dt t0
积分型、拉格朗日型
J(x)[x(tf )]
终端型、梅耶型
满足 minJ(x)的控制，称为最优控制； 在最优控制 u* (t )下，状态方程的解，称为最优轨线 x * (t ) 使性能指标能够达到的最优值，称为最优指标 J *
线性二次型性能指标
J ( x ) 1 2 x T ( tf) Q 0 x ( tf) 1 2 t t 0 f[ x T ( t) Q 1 x ( t) u T ( t) Q 2 u ( t) ]td
6.3 静态最优化问题的解
静态最优化问题 动态最优化问题
目标函数 多元普通函数 泛函数
解法
古典微分法
古典变分法
6.3.1 一元函数的极值
最优化问题的数学描述
动态最优化问题
目标函数
mJ i(n x)tf L[x(t)u ,(t)t,]dt t0
约束条件－－受控对来自百度文库的状态方程 x (t)f[x(t)u ,(t)t] ,
6.2 最优控制的前提条件
1.状态方程 x (t)f[x(t)u ,(t)t] ,
2.控制作用域
控制集 U u (t)| j(x ,u ) 0
H0, H0, H0 x u λ
Hf(x,u )λTg(x,u ) 则目标函数存在最优解的条件是：
Hf gTλ0 x x x Hf gTλ0 u u u g(x,u)0 H f(x ,u )λT 0f(x ,u )
例6-2 求使 Jf(x,u)1 2xT Q 1x1 2uT Q 2u 取极值的x*和u*，并满足约束条件 g (x ,u ) x F d u 0
x的约束条件
x1x2x31500
x4x5x61800
x1x4 900 x2 x5 600 x3 x6 1200
约束条件 最优化问题
最优化问题的数学描述
静态最优化问题
目标函数 mJ i(n x)f(x)
等式约束条件 g i(x )0 i 1 ,2 , ,m
不等式约束条件 hj(x)0 j1 ,2, ,l
设J=f(x)为定义在闭区间[a,b]上的实数连续可微函 数，则存在极值u*点的必要条件是：
f(u)|uu*0 u*极小值点的充要条件是
f(u )|u u * 0 ,f(u )|u u * 0 u*极大值点的充要条件是
f(u )|u u * 0 ,f(u )|u u * 0
6.3.2 多元函数的极值
2 f
unu2
2 f
u1un
2 f
u2un
2 f
un2
例6-1 求函数 f(x) 的极值点及极小值。
f( x ) 2 x 1 2 5 x 2 2 x 3 2 2 x 2 x 3 2 x 3 x 1 6 x 2 3
解：根据极值必要条件 fx 0 ，得：
f x1
4x1
2x3
0
f x2
10x22x360
f x3
2x32x22x10
解得： x11,x21,x32 x*1,1,2T
海赛矩阵：
2 f (x) x2
4 0
0 10
2 2
2 2 2
正定，x*为极小值点
6.3.3 具有等式约束条件的极值
目标函数 mJ i(n x)f(x)
等式约束条件 g i(x )0 i 1 ,2 , ,m
设n元函数 f = f(u), u=[u1, u2,…, un] ，存在极值点 的必要条件是：
f (u) 0 u
或者函数的梯度为零矢量
T
fuuf1
f u2
ufn
0
2 f
取极小值点的充要条件是
u12
2 f (u) u2
0
海赛矩阵
2 f (u) u2
2 f
u2u1
2 f
unu1
2 f
u1u2 2 f u22
第六章 最优控制
2020年12月7日
本章内容
➢ 6.1 概述 ➢ 6.2 研究最优控制的前提条件 ➢ 6.3 静态最优化问题的解 ➢ 6.4 泛函及其极值――变分法 ➢ 6.5 用变分法求解连续系统的最优控制问题 ➢ 6.6 极小值原理 ➢ 6.7 线性二次型最优控制问题
6.1 概述
1元 工地A 900包
由于Q1，Q2均为正定矩阵，满足极小值的充分条件。
6.4 泛函及其极值――变分法 1.什么是泛函?
➢ 泛函就是函数的函数
➢ 函数：对于x定义域中的每一个x值，y又有一个 （或者一组）确定的值与之对应，则称y是x的函数， 记做y(x)。
其中，Q1，Q2均为正定矩阵，F为任意矩阵。
解：构造拉格朗日函数：
Hf(x,u )λTg(x,u )
1 2x T Q 1x1 2u T Q 2 u λT xF u d
则目标函数存在最优解的条件是：
H x Q1xλ0 H uQ2xFTλ0 HxFud0 λ
解得极值点为： u * (Q 2 F T Q 1 F ) 1 F T Q 1 d x * [ I F ( Q 2 F T Q 1 F ) 1 F T Q 1 ] d λ * [ Q 1 Q 1 F ( Q 2 F T Q 1 F ) 1 F T Q 1 ] d
4元
甲仓
1500包
4元
2元
工地B 600包
工地C 1200包
5元
乙仓
9元
1800包
如何发送水泥最省运费?
假设从甲仓运往A,B,C三个工地的水泥包数分别为x1,x2,x3; 从乙仓运往A,B,C三个工地的水泥包数分别为x4,x5,x6 总运费为:
f( x ) x 1 2 x 2 4 x 3 4 x 4 5 x 5 9 x 6 目标函数