现代控制理论第六章最优控制PPT课件

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刘豹版现代控制理论第六章课件6最优控制11

TechnicalTechnical parameters for turntable (2) parametersforturntable(1)通过实例来初步认识为转动惯量；内，电动机从静止起动，转过一定角度最小，求θt t I R D t D fd )(2∫=)(t I D 的函数，E 是函数的函数，称为中的直流他励电动机，如果电动机从初始)(t I D 又停下，求控制（是。

θ()D I t FD D D m T J I J K ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤100末值状态⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0)()(21θf f t x t x 最优控制问题提法为：在状态方程约束下，寻求最优控制，使J 为最小最优控制：在某个性能指标下的最优控制；性能指标处的增量为：：求平面上两固定点连线最短的曲线c=自由的终端约束的极值问题。

ce t回顾前面最优控制问题提出的第二个例子可以看出：1、当终值时刻，ω＝02、I D (t )为负斜率线性函数,,]x u t ③边界条件（以始端固定、终端自由为例）：[(),]()f f f x t t x t φ∂],,,*t λu 与通常基于变分法的最优控制不同处极值的必要条件是使哈密尔顿函1线性系统的二次型性能指标最优控制u 在这里不是输入，而是一种（反馈）控制结构03,0f t t ==322212121(242)2x x x x u dt+++10⎡⎤⎢21⎡⎤⎥02S =⎥⎣⎦14Q =⎢⎣⎦121222p x p x ⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎦⎣⎦xxx+）}t随着参考输入的不同，系统的结构（输入部份）也不同变输入变结构控制？其状态方程模型u x=2&21x x=&}u ≤1系统的初始状态为)0(1x )0(2x 末值状态为)(1=f t x 0)(2=f t x 性能指标为ft t t J f ==∫d )(f t x 要求在状态方程约束下，寻求最优控制，转移到，同时使J 取极小值。

现代控制理论最优控制课件

04 离散时间系统的最优控制
CHAPTER
离散时间系统的最优控制问题的描述
定义系统
离散时间系统通常由差分方程描述，包括状态转移方程和输出方程。
确定初始状态
最优控制问题通常从一个给定的初始状态开始，我们需要确定这个初始状态。
确定控制输入
在离散时间系统中，控制输入是离散的，我们需要确定哪些控制输入是可行的。
工业生产领域
02 现代控制理论在工业生产领域中也得到了广泛的应用
，如过程控制、柔性制造等。
社会经济领域
03
现代控制理论在社会经济领域中也得到了广泛的应用
，如金融风险管理、能源调度等。
02 最优控制基本概念
CHAPTER
最优控制问题的描述
确定受控系统的状态和输入，以便在给定条件下使系统的性能指标达到最优。
LQR方法
利用LQR（线性二次调节器）设计最优控制器。
线性二次最优控制的应用实例
经济巡航控制
在航空航天领域，通过线性二次最优控制实现燃料消耗最小化。
电力系统控制
在电力系统中，利用线性二次最优控制实现稳定运行和最小化损耗。
机器人控制
在机器人领域，通过线性二次最优控制实现轨迹跟踪和避障等任务。
03
02
时变控制系统
04
非线性控制系统
如果系统的输出与输入之间存在非线性关系，那么该系统就被称为非线性控制系统。
这类系统的特点是系统的参数随时间而变化。
静态控制系统
这类系统的特点是系统的输出与输入之间没有时间上的依赖关系。
发展历程
古典控制理论
这是最优控制理论的初级阶段，其研究的主要对象是单输入单输出系统，主要方法是频率分析法和根轨迹法。

最优控制理论PPT课件.ppt

J x y J x J y
则称J x为线性泛函
Modern Control Theory
Page: 8
§6-2 最优控制中的变分法
现
代 (5)泛函的变分
控制
泛函Jx的增量：Jxt,x Jxt x Jxt
理论
Lxt,x rxt,x
其中Lxt ,x— J的线性函数
rxt ,x— J的高阶无穷小
论
J x(t) 0
Modern Control Theory
Page: 12
§6-3 无约束条件的泛函极值问题
现
代控
一、t0 , t f 给定的泛函极值问题
制
理定理：设
论
J tf L(x, x,t) t0
求min J的x*(t) ?
x *(t)满足以下条件：L d (L) 0 x dt x ---- 欧拉方程
ut Rp为控制向量，且ut 在t0,t f 上分段连续；
f Rn为连续向量函数，xt连续可微
2.初态和终态： x t0 ，x t f S 目标集
3.容许控制： ut—控制域
指控制矢量u t 应满足的约束条件
Modern Control Theory
Page: 4
§6-1 一般概念
Page: 6
§6-2 最优控制中的变分法
现
代一.泛函与变分的基本概念
控制 1.泛函与变分的基本概念
理论
(1)泛函如果对于自变量t, 存在一类函数x t , 对于每个函数x t ,有一J值
与之对应，则变量J 称为依赖于函数x t 的泛函数，简称泛函，
记作J x t
(2)函数的变分
泛函J x t 的变量x t 变分 x : x x t x0 t , 它表示x t 与x0 t 之间的差

最优控制理论(课堂PPT)

求解最优控制的变分方法
2.1 泛函与变分法基础
平面上两点连线的长度问题
1
S
1 x2 (t)dt
1
一般来说，曲线不同，弧长就不同，即弧长依赖于曲线，记为 S(x( ))
S(x( )) 称为泛函
x(t) 称为泛函的宗量
2
现
48
求解最优控制的变分方法
泛函与函数的几何解释
2021年4月13日星期二
现代控制理论
m m Ku
m 飞船的质量 h 高度 v 垂直速度 g 月球重力加速度常数 M 飞船自身质量 F 燃料的质量 K 为常数
初始状态终点条件
h(0) h0 h(T ) 0
v(0) v0 v(T ) 0
m(0) M F
2
现
10
最优控制问题
1.1 两个例子
例1.1 飞船软着陆问题
软着陆过程开始时刻 t 为零
hv v u g
m m Ku
m 飞船的质量 h 高度 v 垂直速度 g 月球重力加速度常数 M 飞船自身质量 F 燃料的质量 K 为常数
初始状态 h(0) h0 v(0) v0 m(0) M F
2
现
9
最优控制问题
1.1 两个例子
例1.1 飞船软着陆问题
软着陆过程开始时刻 t 为零
hv v u g
J
J[x x] 0
0
上述方法与结论对多个未知函数的泛数同样适用
2021年4月13日星期二
现代控制理论
37
最优控制问题
(4) 性能指标
T
J (u( )) (x(T),T) L(x(t),u(t),t)dt t0
2
现

现代控制理论基础第6章线性系统的最优控制

，
7
方法的比较
总的来说，当控制量无约束时，‘采用“变分法” ；当控制量有约束时，采用“极小值原理” 或“动态规划”；如果系统是线性的，采用“线性二次型”方法最好，因为，一方面，二次型指标反映了大量实际的工程性能指标的要求；另方面，理论上的分析及求解较简单、方便、规范，而且还有标准的计算机程序可供使用；得到的控制器易于通过状态反馈实现闭环最优控制，工程实现方便。在实际的工程控制中，目前线性二次型最优控制己得到了广泛的成功应用。
J 值为极值 J （最大值或最小值），这种泛函求极值的方法，实际上就是数学上的“变分”问题，须采用数学中的“变分法” 。
5
采用直接变分法求解最优控制率，难于甚至“无法解决容许控制属于闭集”的最优控制问题，所以受到实际工程应用上的限制，例如，每台电动机都有最大功率的限制；船舶或飞机的操纵舵面也有最大偏转角的限制。况且采用直接变分法设计出的系统，其抗参数变化的能力，即系统的鲁棒性也不强。因此，工程应用上有较小的实用价值。
线性系统二次型的最化控制，因为其性能指标具有明确的物理意义，在大量的工程实际中具有代表性，而且最优控制率的求解较简单，并具有统一的解析表达式，构成的最优控制系统具有简单的线性状态反馈的型式，易于工程实现，所以在国内外实际的工程中目前己得到广泛应用。本章主要介绍其基本概念、基本原理和设计方法。
下面只介绍线性二次型最优控制的基本概念、求解原理及设计中的一些主要结论。
8
第三节线性二次型最优控制
一、控制对象数学模型
线性系统的状态空间表达式
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
y(t) C(t)x(t)
式中，
n x(t) 为维状态向量；
（6-4）

现代控制理论基础图文 (7)

例6-3 系统状态方程为 x u ，以x0和xf为边界，求u*(t)
使下列性能泛函取最小值。
J tf ( x2 u2 ) d t 0
第6章最优控制
解：将方程 x u 代入性能泛函有
J tf ( x2 u2 ) d t tf ( x2 x2 ) d t
0
0
在此 L[x, x] x2 x2 ，故欧拉方程
min J[x] tf L(x, x,t)d t
x(t)
t0
(6-14)
其中， L(x, x,t) 及x(t)在[t0，tf]上连续可微，t0和tf给定，已知x(t0)=x0，x(tf)=xf，则极值轨迹x*(t)满足如下欧拉方程：
及横截条件
L d L 0 x d t x
(6-15)
L
T
x
寻找一个最优控制u*(t)，使状态x(t)由x(t0)经过一定时间转移到目标集S，并且沿此轨迹转移时，使相应的性能指标达
到极值(极大或极小)。
第6章最优控制
6.1.3 性能指标的分类最优控制问题可归结为求性能指标的极值问题。指标函
数(又称价值函数、目标函数、性能泛函)按照实际控制性能的要求大致可以分为：
表面，靠其发动机产生一与月球重力方向相反的推力f，赖以控制飞船实现软着陆(落到月球表面上时速度为零)。要求选择一最好发动机推力程序f(t)，使燃料消耗最少。
解：如图6-1所示，设飞船质量为m，它的高度和垂直速度分别为h和v。月球的重力加速度可视为常数g，飞船的自身质量及所带燃料分别为M和F。
T
J
φ
x(t
f
)
x(t f ) λT (t f ) x(t f )
tf t0

第六章最优控制(2) 现代控制理论

x1(t)
x10
x20t
1t2 2
消去时间变量 t , 可得相应的最优轨线方程为
x1(t)
1 2
x22
(t)
C
(6-256)
在图6-16中用实线表示。
14
由于x2(t)=x20+t随t增大, 故最优轨线行进的方向自下而上, 如曲线上箭头所示。
15
当 u= -1 时, 状态方程的解为
x2 (t) x20 t
在R-上在+上
在R+上到达原点
u 1,1 u 1 u 1, 1 u 0
19
进一步, 可综合为
u 1 当(x1, x2 ) R u 1 当(x1, x2 ) R
u 0 当(x1, x2 ) 0
若将开关曲线方程写成
h (x1, x2 )
x1
1 2
x2
x2
0
则最优控制律可表示成
x2 (t) u(t)
或写成矩阵形式
x(t)
0 0
1 0
x(t)
10u(t
)
初始条件 x(t0) x0
(6-248)
终端条件 x(t f ) 0
控制约束 1 u(t) 1, (t0 t t f )
性能指标
J
t f
t0
1 dt
求最优控制 u*(t) ，把系统从初态转移到终态，使
x1(t)
x10
x20t
1 2t2Fra bibliotek相应的最优轨线方程为
x1(t)
1 2
x22
(t)
C
在图6-16中用虚线表示。由于x2(t)随t减小, 故曲线箭头方向自上而下。

最优控制介绍课件

01
状态方程可以表示为微分方程或差分方程的形式
03
02
04
状态方程通常包括系统的状态变量、输入变量和输出变量
状态方程在最优控制问题中用于描述系统的动态特性，为控制器的设计提供依据
控制方程
状态方程：描述系统状态的变化规律
控制方程：描述控制输入与系统状态的关系
性能指标方程：描述系统的性能指标
02
状态转移方程：描述状态之间的
递推关系
03
边界条件：定义初始状态和终止
状态
04
求解过程：从初始状态开始，逐步求解子问题，直至得到最优解
最优控制理论
01
最优控制理论是研究如何找到最优控制策
略，使得系统在特定条件下达到最优性能。
02
最优控制理论包括动态规划、极大值原
理、变分法等方法。
03
最优控制理论广泛应用于工程、经济、
04
间接法：通过求解最优控制问题的辅助问题来获得最优控制策略
06
数值解法优缺点：优点是计算简单、易于实现；缺点是计算精度较低、收敛速度较慢
机器人控制
1
机器人运动控制：通过最优控制算法，实现机器人的精确运动控制
2
机器人路径规划：通过最优控制算法，规划机器人的最优路径
3
机器人抓取控制：通过最优控制算法，实现机器人的精确抓取控制
交通控制
STEP1
STEP2
STEP3
STEP4
交通信号灯控制：根据实时交通状况，自动调整信号灯时间，提高道路通行效率
公共交通调度：根据客流量、车辆位置等信息，优化公交线路和发车频率，降低乘客等待时间

现代控制工程最优控制课件

03
优化目标
最小化损失函数，即达到最优控制效果。
线性调节器问题的解法
01
极点配置法
通过选择控制器的极点位置，使得系统的传递函数在频率域
上具有理想的性能指标。
02
最优反馈增益
通过求解 Riccati 方程，得到最优反馈增益，使得系统的性
能达到最优。
03
LQR 设计步骤
确定系统的状态空间模型、选择适当的参考信号、设计控制
定义
非线性最优控制问题可以定义为在给定初始状态和初始时刻，寻找一个控制输入，使得系统在结束时刻的状态
和性能指标达到最优。
特点
非线性最优控制问题具有复杂性，其解决方案通常需要
借助数学工具和算法。
应用
非线性最优控制问题在许多领域都有广泛的应用，如航空航天、机器人、车辆控制等。
利用梯度下降法求解非线性最优控制问题
移方程。
利用动态规划法求解非线性最优控制问题
3. 定义性能指标函数
根据问题的要求，定义性能指标函数。
4. 求解最优子问题
利用动态规划法，依次求解每个子问题，得到每个时刻的最优控制输入。
5. 得到最优解
通过逆向递推，得到初始时刻的最优控制输入和最优状态。
04
动态规划基础上的最优控制
多阶段决策过程的动态规划
利用动态规划法求解非线性最优控制问题
• 基本思想：动态规划法是一种通过将原问题分解为一系列子问题，并逐个求解子问题，最终得到原问题最优解的方法。
利用动态规划法求解非线性最优控制问题
01
步骤
02
1. 初始化：选择一个初始状态和初始时刻。
03
2. 定义状态转移方程：根据系统动态方程，定义状态转

最优控制全部PPT课件

给定一个线性系统，其平衡状态X(0)=0，设计的目的是保持系统处于平衡状态，即这个系统应能从任何初始状态返回平衡状态。这种系统称为线性调节器。
线性调节器的性能指标为：
J
tf t0
n
xi 2 (t)dt
i 1
加权后的性能指标为：
J
tf t0
n
qi xi 2 (t)dt
i1
对u(t)有约束的性能指标为： J t f 1 [ X T (t)QX (t) uT (t)Ru(t)]dt
上述由控制约束所规定的点集称为控制域U，凡在t0-tf上有定义，且在控制域U 内取值的每一个控制函数u(t)均称为容许控制。
4：性能指标
通常情况下，最优控制问题的性能指标形如：
J
（x(t f ),t f）
tf t0
F（x(t),u(t),t)dt
其中第一项是接近目标集程度，即末态控制精度的度量，称为末值型性能指标。
第6页/共184页
从工程实际考虑，约束条件为 0 F(t) maxF(t)
如果我们既要求拦截过程的时间尽量短，又要求燃料消耗尽量少，则可取性能指标：
J
tf t0
[c1
F (t )]d t
为最小
综上所述，所谓最优防天拦截问题，即选择满足约束条件的控制F(t),驱使系统从初始状态出发的解，在某个时刻满足终端条件，且使性能指标为极值（极小值）。
第14页/共184页
5：线性跟踪器
若要求状态X(t)跟踪或尽可能接近目标轨迹Xd(t),则这种系统称为状态跟踪器，其相应的性能指标为：
J
tf t0
1 [ X (t) 2
Xd
(t )] T
Q[ X (t)

第6章最优控制

由此可见，由此可见，Rank(Mk)=2=n，Rank(Nk)=1<n，因此，引入状态反馈，，因此，系统的能控性没有改变，而能观性却发生了改变。后，系统的能控性没有改变，而能观性却发生了改变。
& X = AX + BU Y = CX
(6 − 7 )
对于式(6-7)系统，如果输出反馈矩阵为一常值矩阵，那么，系统，为一常值矩阵，定理对于式系统如果输出反馈矩阵H为一常值矩阵那么，加入输出反馈后系统的能控性和能观性不发生改变。加入输出反馈后系统的能控性和能观性不发生改变。证：略
6.2 系统最优控制的概念
6.2 Concept of the system optimal control 最优控制理论(The Optimal Control Theory)是现代控制理论中最优控制理论是现代控制理论中的重要内容，的重要内容，近几十年的研究与应用使最优控制理论成为现代控制论中的一大分支。制论中的一大分支。由于计算机的发展已使过去认为不能实现的计算成为很容易的事，计算成为很容易的事，所以最优控制的思想和方法已在工程技术实践中得到越来越广泛的应用。实践中得到越来越广泛的应用。应用最优控制理论和方法可以在严密的数学基础上找出满足一定性能优化要求的系统最优控制律，严密的数学基础上找出满足一定性能优化要求的系统最优控制律，这种控制律可以是时间t的显式函数的显式函数，这种控制律可以是时间的显式函数，也可以是系统状态反馈或系统输出反馈的反馈律。常用的最优化求解方法有变分法、统输出反馈的反馈律。常用的最优化求解方法有变分法、最大值原理以及动态规划法等。原理以及动态规划法等。控制系统的最优控制问题一般提法为：控制系统的最优控制问题一般提法为：对于某个由动态方程描述的系统，在某初始和终端状态条件下，描述的系统，在某初始和终端状态条件下，从系统所允许的某控制系统集合中寻找一个控制，制系统集合中寻找一个控制，使得给定的系统的性能目标函数达到最优。到最优。

中国科学技术大学《现代控制理论》最优控制部分补充王勇老师心血制作PPT课件

例2：飞船软着陆。在月球表面着陆时速度、高
度必须为零，由发动机的推力变化来完成。发动机
mt
M
登月舱质量月球表面
登月舱的自重重力加速度（不含燃料）高度
推力
ut
mg 速度
问题：如何选择推力，使燃 ht
vt
料消耗最少。边 1)初始条件：
月球
界条件
t t0 mt0 m0 ht0 h0 vt0 v0
1958）、二次型调节器、动态规划（贝尔曼1957)
例1：最优分配问题。有甲乙两个仓库，分别有水泥 1500和1800包，向A、B、C三个工地运送。
甲库
1元包
x1
1500包 2元
包
4元
x2
包
x3
A工地需900包
B工地 600包
C工地 1200包
x44 元包 x5 5元包
乙库 1800包
9元
x6
J x( t f )
或Jx( N )
终端指标
3）综合型性能指标（鲍尔扎问题）
tf
J x( t f ) Lxt ,ut ,t dt
N
t
1
0
或J x( N ) L[ x( k ),u( k ),k ]
最优控制问题 kk0
（控制域） u t x t
J
6.2.2 常见的最优控制
tf
1.最少时间控制 J dt t f t0
则1) f ( u ) |uu 0 f ( u ) |uu 0 u为极小值的充要条件
2) f ( u ) |uu 0 f ( u ) |uu 0 u为极大值的充要条件
最小(大)值：a, b 上极小(大)值中的最小(大)值

王孝武主编《现代控制理论基础》(第3版)第6章课件

2
由伴随方程 H 0
x
const
(t
f
)
x(t
f
)
1 2
cx2 (t
f
)
cx(t
f
)
因为 const
(t) (t f ) cx(t f )
由控制方程
H u 0
u
即
u* (t) cx(t f )
将 u* 代入状态方程 x u cx(t f )
解为 x(t) cx(t f )(t t0 ) c1
（7）
其中，x 为n 维状态向量； u 为r 维控制向量； f 为n 维向量函数。
要求在控制空间中寻求一个最优控制向量 u(t)，使以下性能指标
J [x(t f )] t f L(x, u,t) d t t0
沿最优轨线 x(t)取极小值。
（8）
（性能指标如（8）式所示的最优控制问题，是变分法中的波尔扎问题）
当 t t0 时，代入上式，求得 c1 x(t0 ) ，所以
x(t) cx(t f )(t t0 ) x(t0 )
当 t t f 时，
x(t
f
)
1
x(t0 ) (t f
t0
)
最优性能指标为
J
*
1 2
cx2
(t
f
)
1 2
tf t0
u2 d t 1 cx2 (t0 ) 2 1 c(t f t0 )
（10）
则 J [x(t f )] t f [H (x, u, λ,t) λT (t)x]d t
t0
[x(t f )] t f H (x, u, λ,t) d t t f λT (t)x d t
t0

最优控制理论PPT课件

生产计划与调度
在企业生产管理中，利用最优控制理论对生产计划和调度进行优化，提高生产效率和降低成本。
08
总结与展望
最优控制理论的重要性和应用前景
总结
最优控制理论是现代控制理论的重要组成部分，它在解决复杂系统的优化和控制问题方面具有显著的优势。该理论通过数学模型和算法，寻求在给定条件下实现系统性能最优化的控制策略。
非线性最优控制理论
20世纪70年代，基于微分几何、非线性分析和最优控制问题的研究。
智能优化算法与最优控制
20世纪80年代，考虑系统不确定性，引入概率论和随机过程理论。
03
最优控制问题的数学模型
状态方程与性能指标
状态方程
描述系统动态行为的数学方程，通常表示为状态变量对时间的导数等于其函数。
性能指标
态。这种控制策略的关键在于如何根据当前状态信息快速、准确地计算出最优控制输入。
离散系统的最优输出反馈控制
总结词
离散系统的最优输出反馈控制是一种基于系统输出的反馈控制策略，通过最优控制算法计算出在当前输出下的最优控制输入，使得系统状态在有限时间内达到预期目标。
VS
详细描述
离散系统的最优输出反馈控制是一种有效的最优控制策略，它根据系统的输出信息，通过最优控制算法计算出在当前输出下的最优控制输入，使得系统状态在有限的时间步内以最优的方式达到目标状态。这种控制策略的关键在于如何根据输出信息快速、准确地计算出最优控制输入。
控制问题分类
确定性和不确定性控制、线性与非线性控制、连续和离散控制等。
重要性及应用领域
重要性
在实际工程和科学问题中，许多问题都需要通过最优控制理论来解决，如航天器轨道控制、机器人运动控制、电力系统优化等。

《现代控制理论基础》课件第6章

设动态系统的状态方程：x t f x t，ut，t (6-1)
初始状态： x(t0)=x0
目标集： x(tf)∈S
控制域： utU Rm
性能指标：J x
tf
，t f
tf t0
F x t，ut，t dtt
(6-2)
最优控制的问题就是：从所有可供选择的允许控制中
寻找一个最优控制u*(t)，使状态x(t)由x(t0)经过一定时间转移到目标集S，并且沿此轨迹转移时，使相应的性能指标达
t0
t0
tf λT(t)x d t
t0
当泛函J取极值时，其一次变分等于零，即δJ=0。
(6-20) (6-21) (6-22)
(6-23)
求出J的一次变分并令其为零。
T
J
φ
x(t
f
)
x(t f ) λT (t f ) x(t f )
tf t0
H x
T
x
H u
T
u
λT
xd t
故极值曲线为
x*(t)
x f x0 et f et f et f
et
x0 et f x f et f et f
et
xf
sinh t x0 sinh(t f sinh t f
t)
极值控制曲线为
u*(t) x*(t) x f cosh t x0 cosh(t f t) sinh t f
第6章最优控制
6.1 最优控制问题概述 6.2 用变分法求解最优控制问题 6.3 极小值原理 6.4 用动态规划法求解最优控制问题 6.5 线性二次型最优控制调节器 6.6 MATLAB在系统最优控制中的应用
6.1 最优控制问题概述

现代控制理论最优控制.41页PPT

现代控制理论最优控制.
16、人民应该为法律而战斗，就像为了城墙而战斗一样。 ——赫拉克利特 17、人类对于不公正的行为加以指责，并非因为他们愿意做出这种行为，而是惟恐自己会成为这种行为的牺牲。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强者做什么事都横行霸道。— —奥维德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含义是财富。— —爱献生
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特

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H0, H0, H0 x u λ
Hf(x,u )λTg(x,u ) 则目标函数存在最优解的条件是：
Hf gTλ0 x x x Hf gTλ0 u u u g(x,u)0 H f(x ,u )λT 0f(x ,u )
例6-2 求使 Jf(x,u)1 2xT Q 1x1 2uT Q 2u 取极值的x*和u*，并满足约束条件 g (x ,u ) x F d u 0
第六章最优控制
2020年12月7日
本章内容
➢ 6.1 概述 ➢ 6.2 研究最优控制的前提条件 ➢ 6.3 静态最优化问题的解 ➢ 6.4 泛函及其极值――变分法 ➢ 6.5 用变分法求解连续系统的最优控制问题 ➢ 6.6 极小值原理 ➢ 6.7 线性二次型最优控制问题
6.1 概述
1元工地A 900包
2x3
0
f x2
10x22x360
f x3
2x32x22x10
解得： x11,x21,x32 x*1,1,2T
海赛矩阵：
2 f (x) x2
4 0
0 10
2 2
2 2 2
正定，x*为极小值点
6.3.3 具有等式约束条件的极值
目标函数 mJ i(n x)f(x)
等式约束条件 g i(x )0 i 1 ,2 , ,m
解法（1）嵌入法（2）拉个朗日乘子法
拉个朗日乘子法
目标函数 mJin f(x,u)
等式约束条件 g i(x ,u ) 0 i 1 ,2 , ,m
核心思想：
构造与原目标函数具有相同最优解的拉个朗日函数，作为新得目标函数，同时消去等式约束。
拉格朗日函数构造： Hf(x,u )λTg(x,u )
将拉格朗日函数最为优化目标函数：minH 则目标函数存在最优解的条件是：
2 f
unu2
2 f
u1un
2 f
u2un
2 f
un2
例6-1 求函数 f(x) 的极值点及极小值。
f( x ) 2 x 1 2 5 x 2 2 x 3 2 2 x 2 x 3 2 x 3 x 1 6 x 2 3
解：根据极值必要条件 fx 0 ，得：
f x1
4x1
设J=f(x)为定义在闭区间[a,b]上的实数连续可微函数，则存在极值u*点的必要条件是：
f(u)|uu*0 u*极小值点的充要条件是
f(u )|u u * 0 ,f(u )|u u * 0 u*极大值点的充要条件是
f(u )|u u * 0 ,f(u )|u u * 0
6.3.2 多元函数的极值
设n元函数 f = f(u), u=[u1, u2,…, un] ，存在极值点的必要条件是：
f (u) 0 u
或者函数的梯度为零矢量
T
fuuf1
f u2
ufn
0
2 f
取极小值点的充要条件是
u12
2 f (u) u2
0
海赛矩阵
2 f (u) u2
2 f
u2u1
2 f
unu1
2 f
u1u2 2 f u22
最优化问题的数学描述
动态最优化问题
目标函数
mJ i(n x)tf L[x(t)u ,(t)t,]dt t0
约束条件－－受控对象的状态方程 x (t)f[x(t)u ,(t)t] ,
6.2 最优控制的前提条件
1.状态方程 x (t)f[x(t)u ,(t)t] ,
2.控制作用域
控制集 U u (t)| j(x ,u ) 0
其中，Q1，Q2均为正定矩阵，F为任意矩阵。
解：构造拉格朗日函数：
Hf(x,u )λTg(x,u )
1 2x T Q 1x1 2u T Q 2 u λT xF u d
则目标函数存在最优解的条件是：
H x Q1xλ0 H uQ2xFTλ0 HxFud0 λ
解得极值点为： u * (Q 2 F T Q 1 F ) 1 F T Q 1 d x * [ I F ( Q 2 F T Q 1 F ) 1 F T Q 1 ] d λ * [ Q 1 Q 1 F ( Q 2 F T Q 1 F ) 1 F T Q 1 ] d
容许控制 u(t)U 3.初始条件
初始集 0 x ( t0 )| j[x ( t0 ) ] 0
可变始端 x(t0)0 4.终端条件
目标集 f x ( tf)| j[ x ( tf) ] 0
可变终端 x(tf )f
5.目标泛函－－性能指标
J(x) [x (tf) ]tt0fL [x (t)u ,(t)t] ,d t 综合型、鲍尔扎型
J ( x ) 1 2 x T ( tf) Q 0 x ( tf) 1 2 t t 0 f[ x T ( t) Q 1 x ( t) u T ( t) Q 2 u ( t) ]td
6.3 静态最优化问题的解
静态最优化问题动态最优化问题
目标函数多元普通函数泛函数
解法
古典微分法
古典变分法
6.3.1 一元函数的极值
J(x)tf L[x(t)u ,(t)t,]dt t0
积分型、拉格朗日型
J(x)[x(tf )]
终端型、梅耶型
满足 minJ(x)的控制，称为最优控制；在最优控制 u* (t )下，状态方程的解，称为最优轨线 x * (t ) 使性能指标能够达到的最优值，称为最优指标 J *
线性二次型性能指标
由于Q1，Q2均为正定矩阵，满足极小值的充分条件。
6.4 泛函及其极值――变分法 1.什么是泛函?
➢ 泛函就是函数的函数
➢ 函数：对于x定义域中的每一个x值，y又，记做y(x)。
x的约束条件
x1x2x31500
x4x5x61800
x1x4 900 x2 x5 600 x3 x6 1200
约束条件最优化问题
最优化问题的数学描述
静态最优化问题
目标函数 mJ i(n x)f(x)
等式约束条件 g i(x )0 i 1 ,2 , ,m
不等式约束条件 hj(x)0 j1 ,2, ,l
4元
甲仓
1500包
4元
2元
工地B 600包
工地C 1200包
5元
乙仓
9元
1800包
如何发送水泥最省运费?
假设从甲仓运往A,B,C三个工地的水泥包数分别为x1,x2,x3; 从乙仓运往A,B,C三个工地的水泥包数分别为x4,x5,x6 总运费为:
f( x ) x 1 2 x 2 4 x 3 4 x 4 5 x 5 9 x 6 目标函数