大学物理课件0机械振动

当A1=A2时： 合振幅最大值是2A1 ； 合振幅最小值是0。
二、相互垂直同频率简谐振动的合成
特点: ω1=ω2=ω , x1 x2
对如下两个振动
x A1 cos(ωt φ1 )
y A2 cos(ωt φ2 )
合成得到质点的轨迹方程是
x2 A2
1
y2 A2
2
2 xy A1 A2
cos(φ2
E
Ep Ek
x
能量随时间变化
E
E Ek
t
A
Ep
xA x
能量随空间变化
2o 考察一个周期内的动能与势能平均值
Ep
1 T
T
0 Epdt
1
T
T 0
12kA2
cos2 t
dt
1 4
kA2
Ek
1 T
T
0 Ekdt
1 T
T 0
12mA22 sin2t
dt
1 4
kA2
1
Ek Ep 2 E
一是振动的周期性由相位来反映；
二是相位确定了振动物体运动状态。
2o 初相 ，由开始时刻振动物体的运动状
态决定
由运动方程可知：t = 0时刻
x0 Acos φ
υ0 ωAsin φ
A
xo2
υo2 ω2
,
tan φ υo ωxo
5. 相位差(phase fifference)
两个简谐振动的相位之差称为相位差,
φ1 ) sin2 (φ2
φ1 )
(1) φ2 φ1 kπ k 0,1,2,
y (1)k A2 x A1
质点沿1、3(2、4
）象限直线作简谐
振动。 = 0 =
A1 cost 1 A2 cost 2
合成结果为频率
为 的简谐振动
M2
A
x Acos(t ) A2 A1
由旋转矢量法得出 O A、φ是：
2
x2
1x1 x
M
M1
x2 P x
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
tg
A1 sin1 A1 cos1
A2 sin2 A2 cos2
简谐函数形式，称为简谐运动。
弹簧振子 单摆 复摆
二、基本特征
以弹簧振子为例, 振子受力是
F kx
由牛顿第二定律得
F弹 x
a
d2x dt 2
F m
k m
x
2 x
ox
式中: 2 k (ω称为角频率）
m
物体受力和加速度与位移 x 成正比,
且方向相反（动力学特征）
上式可以改写为微分方程形式
其解为
d2x dt 2
参考圆
10.2 简谐运动的能量
以弹簧振子为例:
x
E EP EK
o
EP
1 kx 2
2
Ek
1 2
mυ2
x
由 x Acos(ωt φ) υ ωAsin(ωt φ)
Ep
1 2
kA2
cos2 (t
)
Ek
1 2
mω2 A2
sin2 (ωt
φ)
E 1 kA2
2
1o 动能与势能均为时间的函数，位相差为 π/2，二者可以相互转化，总能量是与时间 t 无关的恒量。
振动：任何一个物理量在某一数值 定 附近作周期性的变化，称为振动； 义
机械振动：物体在一定位置附近作 来回 往复的运动，称为机械振动。
M (t T ) M (t) x(t T ) x(t)
主
要
简谐振动 ；
内
简谐振动合成；
容
阻尼振动、受迫振动、共振。
10.1 简谐运动
一、简谐运动（Simple Harmonic Motion) 物体在一定位置附近的位移变化满足
2x
0
x Acos(t )
式中A、φ是待定常数，此式称为简谐运动 的运动方程。
位移 x 按余弦函数的规律随时间变化（
运动学特征）
三、简谐运动的速度与加速度
速度： dx ωAsin ωt φ
dt
π
= ωAcos(ωt + φ + )
加速度：a
dυ
2
2 Acos(t
)
dt
ω2 Acos(ωt φ π)
位移x、速度υ、加速度a三者与时间t 的
关系如图所示。
四、描述简谐振动的物理量
x Acos(t )
1. 振幅（Amplitude） 离开平衡点的最大量值的绝对值。 给出振动量的变化幅度。
注意：A、ωA、ω2A分别是位移、速度、 加速度振幅。
2. 周期（Priod） 完成一次全振动所需的时间T，单位是
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
(1) 2 1 2k x1 x2 x
k 0, 1,
则： A A1 A2 o
t
合振幅最大
(2) 2 1 2k 1
k 0, 1,
x1 x2 x
则： A A1 A2 o
t
合振幅最小
(3) φ φ2 φ1为其它值时 则A在上述两者之间。
在一个周期内的平均动能与平均势能相
等，各是总能量的一半。
10.3 简谐运动的合成
一、同频率同方向简谐振动合成 特点: ω1=ω2=ω , x1 // x2 表示: 对如下两个振动
x1 A1 cos(t 1)
x2 A2 cos(t 2)
合振动位移 x 就是 x1 与 x2 的代数和
x x1 x2
表示:由定义可知
ν 1 T
或 ν ω 2π
式中ω是角频率, 单位是rad·s-1
频率ν只与振动系统自身性有关,也称为 固有频率(natural frequency) 。
4.相位与初相位(phase and initial phase ）
ωt + 称为相位, 称为初相位，单位
是rad 。
1o 相位的意义是：
用Δ 表示
表示: x1 A1 cos(1t 1 ) x2 A2 cos(2t 2 )
φ (ω2t φ2 ) (ω1t φ1 ) (ω2 ω1 )t (φ2 φ1 )
对同频情况：φ φ2 φ1
1o Δ 反映两振动的步调情况： Δ =0（或2π整数倍)，同步振动 Δ =π（或π奇数倍），振动步调相反 Δ >0, x2振动超前; Δ <0, x1振动超前
2o 两振动到达同一状态的时间差是
(ωt2 φ2 ) (ωt1 φ1 )
t
t2
t1
2 1
五、旋转矢量(rotational vector)
旋转矢量
矢径 A 与 x 轴夹角为:
( t )
在 x 轴上的投影为:
x = Acos( t )
t
A
t=0
· t+ A
O o x xp x x
秒（s）。
表示：由运动方程
Acos(ωt φ) Acos[ω(t T ) φ]
T 2 T 2 2 m
k
简谐运动的周期是决定于系统自身的
常量，又称为固有周期(natural neriod)。
3.频率（Frequenc频率，单位是赫兹（Hz）。