工程光学习题一答案

第一章 习题答案
4. 一厚度为200mm 的平行平板玻璃（设n=1.5），下面放一直径为1mm 的金属薄片。

若在玻璃板上盖一圆形的纸片，使得在玻璃板上方任何方向上都看不到该金属薄片，问纸片的最小直径应为多少？
解：如图所示，设纸片的最小直径为L ，考虑边缘光线满足全反射条件时
6667.090sin sin 02
12==n n I
74536.06667.01cos 22=-=I
L=(2x+1)mm=358.77mm
16. 一束平行细光束入射到一半径mm r 30=、折射率n=1.5的玻璃球上，求经玻璃球折射后会聚点的位置。

如果在凸面（第一面）镀反射膜，其会聚点应爱何处？如果在凹面（第二面）镀反射膜，则反射光束在玻璃中的会聚点又在何处？反射光束经前表面折射后，会聚点又在何处？说明各个会聚点的虚实。

解：（1）此时的成像过程如图（4）所示，平行细光束入射到玻璃球上，经左侧球面折射后形成中间像'1A ，它又是右侧球面的物2A ，经右侧球面再次成像于'2A 。

将-∞=1l ，11=n ，5.1'
1=n ，mm r 301=代入单个折射球面
成像公式
r n n l n l
n -=-''
'得 mm mm n n r n l 905.0305.11
'1'
1'1=⨯=-=
由于1l 和'1l 异号，01
'1'
111<=l n l n β，故无限远物与像'1A 虚实相同，即'1A 为实像。

但由于右侧球面的存在，实际光线不可能到达此处，故对于右侧球面2A 为虚物。

将
mm r n n mm mm r l l 30,1,5.1,30)6090(22'
22'12-====-=-=
再次代入单个折射球面成像公式得
151305.1305.01'
2
=+--=l 所以mm l 15'2=，此时02
'21'
222>=l n l n β，物2A 与像'2A 虚实相反，即'2A 为实像。

（2）当凸面镀反射膜时，平行细光束入射到玻璃球上，经左侧球面反射后成像，如图（5）所示。

将-∞=l 代入公式r
l l 2
11'=+得
mm r
l 152
'
==，为虚像。

（3）当凹面镀反射膜时，成像过程如图（6）所示：平行细光束入射到玻璃球上，经左侧球面折射后形成中间像'1A ，它又是右侧反射球面的物2A ，经右侧反射球面再次成像于'2A ，再经过前表面折射，最后成像于'3A 。

由（1）知mm l 302=，代入公式r
l l 2
11'=+得
30230
11'
2-=+l 所以mm l 10'
2-=，为实像。

（4）再继续经前表面折射时，光线由右向左传播成像，需根据光路的可逆性原理，将物看成像，将像看成物，即将
mm l 50'3=代入单个折射球面成像公式得
mm l 75)30
15.1505.1(1
3=--=-，为虚像。

mm r 302-=
图（4）
图（6）
18.一直径为400mm，折射率为1.5的玻璃球中有两个小气泡，一个位于球心，另一个位于1/2半径处，如图1（a）和（b）所示。

沿两气泡连线方向在球的两边观察，问看到的气泡在何处？如果在水中观察，看到的气泡又在何处？
解：依题意A点有两种情况如图1(a)和(b)：
图1（a）
条件图1(a):
从右测观察时，将mm r 200-=，n=1.5，1'
=n 和物距
mm l A 300-=，mm l B 200-=，分别代入公式
r n n l n l
n -=-''
' 得 mm l A 400'-=，mm l B 200'
-=，物像位置如图（2）所示。

mm
图1（b ）
从左侧观察时：
认为A 、B 均为像点，求其物。

此时，将mm r 200=，n=1，5.1'
=n 和mm l A 100'
=，
mm l B 200'
=，分别代入公式r n n l n l
n -=
-'
''解得 mm l A 80=，mm l B 200=，物像位置如图（3）。

mm
A 图（2）
在水中观察：
从右测观察时，将mm r 200-=，n=1.5，33.1'=n 和物距
mm l A 300-=，mm l B 200-=，分别代入公式
r n
n l n l
n -=-''
' 得 mm l A 320'-=，mm l B 200'-=
从左侧观察时：
认为A 、B 均为像点，求其物。

此时，将mm r 200=，n=1.33，5.1'
=n 和mm l A 100'=，
mm l B 200'
=，分别代入公式r n n l n l
n -=
-'
''解得 mm l A 99.93=，mm l B 200=。

mm
B B 图（3）
条件图1（b ）:
从右测观察时，将mm r 200-=，n=1.5，1'
=n 和物距
mm l A 100-=，mm l B 200-=，分别代入公式
r n n l n l
n -=-''
' 得 mm l A 80'-=，mm l B 200'-=
从左侧观察时：
认为A 、B 均为像点，求其物。

此时，将mm r 200=，n=1，5.1'
=n 和mm l A 300'
=，
mm l B 200'
=，分别代入公式r n n l n l
n -=
-'
''解得 mm l A 400=，mm l B 200=，
在水中观察：
从右测观察时，将mm r 200-=，n=1.5，33.1'
=n 和物距
mm l A 100-=，mm l B 200-=，分别代入公式
r n n l n l
n -=-''
' 得 mm l A 99.93'-=，mm l B 200'-=
从左侧观察时：
认为A 、B 均为像点，求其物。

此时，将mm r 200=，n=1.33，5.1'
=n 和mm l A 300'=，
mm l B 200'
=，分别代入公式r n n l n l
n -=
-'''解得 mm l A 320=，mm l B 200=。

19 有平凸透镜5.1,300,,10021==∞==n mm d r mm r ，当物体在
∞-时，求高斯像的位置。

在第二面上刻一个十字丝，问其通
过球面的共轭像在何处？当入射高度mm h 10=时，实际光线的像方截距为多少？与高斯像面的距离为多少？
解：（1）根据近轴光的光线光路计算公式可求高斯像位置。

将mm r n n l 100,1,5.1,11'11===-∞=代入单个折射球面成像公式
r n n l n l
n -=-'''，得mm l 300'1= d l l -='
1
2=（300-300）mm=0mm ，所以mm l 0'
2=
即：物体位于∞-时，其高斯像点在第二面的中心处。

（2）由光路的可逆性可知：第二面上的十字丝，其共轭像在物方∞-处。

（3）当mm h 101=时，如图（7）所示。

利用课本公式（1-9）～（1-12）求解得
光线经第1面折射，1.010010
sin 1
11===r h I ，
0667.01.05.11sin sin 1'1
1'1=⨯==I n n I 所以0'1822.30667.0arcsin ==I
00'111'19172.1)822.3739.50(=-+=-+=I I U U
mm mm U I r L 374.299)0334.00667.01(100)sin sin 1('1'11'1
=+⨯=+⨯=。

光线再经第2面折射，0'12'129172.1,626.0==--=-=U I mm d L L ， 则0'202'2
2'28765.2,05018.09172.1sin 5.1sin sin -=-=-==I I n n I 0000'222'28765.28765.29172.19172.1=+-=-+=I I U U 由三角关系可得
mm U L x 0210.09172.1tan 626.0tan 0'12-=-==，
mm L 4169.08765.2tan 0210.00'
2
-=-=。

即它与高斯像面的距离为-0.4169mm 。

图（7）。