高中数学数列知识点精华总结

数 列 专 题

◆ 考点一：求数列的通项公式

1. 由a n 与S n 的关系求通项公式

由S n 与a n 的递推关系求a n 的常用思路有：

①利用S n －S n －1＝a n (n≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；

数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

S 1，n ＝1，

S n －S n －1，n≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n

－S n －1，则n ＝1的情况可

并入n≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示． ②转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 的关系，再求a n .

2.由递推关系式求数列的通项公式

由递推公式求通项公式的常用方法:已知数列的递推关系，求数列的通项公式时，通常用累加、累乘、构造法求解．

◆ 累加法：递推关系形如a n ＋1－a n ＝f(n)，常用累加法求通项； ◆ 累乘法：递推关系形如a n ＋1

a n

＝f(n)，常用累乘法求通项；

◆ 构造法：1）递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q(p 、q 是常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通

项，此类通项问题，常用待定系数法．可设a n ＋1＋λ＝p(a n ＋λ)，经过比较，求得λ，则数列{a n ＋λ}是一个等比数列；

2）递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q n

(q ，p 为常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以q n

转化为类型(4)，或同除以p n ＋1

转为用迭加法求解．

3） ◆ 倒数变形

3.数列函数性质的应用

数列与函数的关系

数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．

函数思想在数列中的应用

(1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决． (2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用：①作差；②作商；③结合函数图象等方法．

（3)数列{a n }的最大(小)项的求法

可以利用不等式组⎩

⎪⎨

⎪⎧

a n －1≤a n ，

a n ≥a n ＋1，找到数列的最大项；利用不等式组⎩

⎪⎨

⎪⎧

a n －1≥a n ，

a n ≤a n ＋1，找到

数列的最小项.

[例3] 已知数列{a n }．(1)若a n ＝n 2

－5n ＋4，①数列中有多少项是负数？②n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．

(2)若a n ＝n 2

＋kn ＋4且对于n ∈N *

，都有a n ＋1>a n 成立．求实数k 的取值范围．

考点二：等差数列和等比数列

等差数列 等比数列 定义 a n －a n －1＝常数(n≥2) a n

a n －1＝常数(n≥2) 通项公式

a n ＝a 1＋(n －1)d

a n ＝a 1q

n －1

(q≠0)

判定方法

(1)定义法

(2)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n≥1)

⇔{a n }为等差数列

(3)通项公式法：a n ＝pn ＋q(p 、q 为常数)

⇔{a n }为等差数列

(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2

＋Bn(A 、B 为常数)

⇔{a n }为等差数列

(5){a n }为等比数列，a n >0⇔{log a a n }为等差数列 (1)定义法

(2)中项公式法：a 2

n ＋1＝a n ·a n ＋2(n≥1)(a n ≠0)

⇔{a n }为等比数列

(3)通项公式法：a n ＝c·q n

(c 、q 均是不为0的常数，n∈N *

)⇔{a n }为等比数列

(4){a n }为等差数列⇔{a an

}为等比数列(a>0且a≠1)

性质

(1)若m 、n 、p 、q∈N *

，且m ＋n ＝p ＋q ，

则a m ＋a n ＝a p ＋a q

特别：若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p .

(2)a n ＝a m ＋(n －m)d

(3) 数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列， 即2(S 2m －S m )＝S m +(S 3m －S 2m )

(1)若m 、n 、p 、q∈N *

，且m ＋n ＝p ＋q ，

则a m ·a n ＝a p ·a q

特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2

p . (2)a n ＝a m q

n －m

(3) 若等比数列前n 项和为S n 则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列，即(S 2m －S m )2

＝S m (S 3m －S 2m )(m ∈N *

，公比q≠－1)． 前n 项和

S n ＝

n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －1

2

d (1)q≠1，S n ＝

a 11－q

n

1－q ＝a 1－a n q

1－q

(2)q ＝1，S n ＝na 1

1n n 个．解这类问题时，一般是转化为首项a 1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算． 2.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快

捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．