初中物理中“蜻蜓点水”问题分析

初中物理中“蜻蜓点水”问题分析作者：***
来源：《青年与社会》2020年第37期
摘要：“蜻蜓点水”是常见的自然现象，蜻蜓点水后在平静的水面上会出现波纹。

在初中物理中经常会结合运动学和声学相关知识进行出题，结合运动学的时候往往要根据蜻蜓点水产生的水波判断蜻蜓的运动方向以及蜻蜓运动的速度大小与水波扩散的速度大小的关系。

这类题目
既考察了物理知识又结合了日常生活现象，充分体现了物理来源于生活的特点，但是许多学生看到此类题目都无从下手，不知道如何分析。

本文通过几个例题简单介绍一下初中物理中“蜻蜓点水”的几种情况。

关键词：初中物理;蜻蜓点水;速度与物体运动
一、“蜻蜓点水”水波俯视图汇总
“蜻蜓点水”产生的水波的俯视图片一般会出现的几种情况如图1所示，下面我们来一一进行分析。

二、蜻蜓飞行方向的判断
根据点水的位置判断蜻蜓飞行的方向，俯视图中圆越大说明蜻蜓越先在该圆圆心处点水，圆越小说明蜻蜓越后在该圆圆心处点水（即：蜻蜓刚点水激起的波纹圆周半径小），所以只要找出俯视图中各个圆的圆心，蜻蜓的运动方向就是从大圆圆心指向小圆圆心。

三、蜻蜓飞行速度与水波扩散速度之比
流体的流动速度（v）和声音在该流体内传播的速度（c）之比，称为马赫数（M），。

M 数是衡量空气压缩性的最重要的参数。

定义为物体速度与音速的比值，即音速的倍数。

其中又有细分多种马赫数，如飞行器在空中飞行使用的飞行马赫数、气流速度的气流马赫数、复杂流场中某点流速的局部马赫数等等。

可以简单理解为：马赫数指的是飞机的飞行速度与当地大气（一定的高度、温度和大气密度）中的音速之比，我们可以广义地认为是物体在介质中运动的速度与该介质中的波速之比。

图2中展示的是对应马赫数（M）小于1、等于1以及大于1的情况。

马赫数大于1时会形成马赫锥，马赫锥是同一时刻波前的包络，三维情形为一圆锥，二维情形即为图（c）所示。

此外在数学中圆与圆之间有相离（外离、内含）、相切（外切、内切）、相交这几种位置关系。

根据这个数学知识结合图2可以得出俯视图中圆的位置关系为内含时M<1;俯视图中圆的位置关系为内切时M=1;俯视图中圆的位置关系为外离、外切、相交時M>1。

又根据有：M<1时v<c（即：蜻蜓飞行的速度小于水波扩散的速度）;M=1时v=c（即：蜻蜓飞行的速度等于水波扩散的速度）;M>1时v>c（即：蜻蜓飞行的速度大于水波扩散的速度）。

由此根据俯视图中圆的位置关系就可以判断蜻蜓飞行的速度与水波扩散的速度的大小关系。

比如图1（a）中同心圆，圆的位置关系为内含，所以蜻蜓飞行的速度小于水波扩散的速度;图1（b）中几个圆的位置关系为内切，所以蜻蜓飞行的速度等于水波扩散的速度;图1（c）（d）（e）中几个圆的位置关系分别为外切相交，所以蜻蜓飞行的速度大于水波扩散的速度。

四、“蜻蜓点水”问题典例分析
典例1（2010年第二十四届上海市初中物理初赛试卷第25题）：“蜻蜓点水”是常见的自然现象，蜻蜓点水后在平静的水面上会出现波纹。

某同学在研究蜻蜓运动的过程中获得了一张蜻蜓点水的俯视照片，照片反映了蜻蜓连续三次点水后某瞬间的水面波纹。

如果蜻蜒飞行的速度恰好与水波的传播速度相等，不考虑蜻蜓每次点水所用的时间，在图3中的四幅图中，与照片相吻合的是（）
解析：首先根据数学知识有A中几个圆的位置关系为内切，B中几个圆的位置关系为相交，C中几个圆的位置关系为内含，D中几个圆的位置关系为外切。

所以它们对应的马赫数（M）分别为等于1、大于1、小于1、大于1。

关于蜻蜓点水考察的是波源移动时波的传播行为，拓展到水波范畴。

我们看题中说“如果蜻蜒飞行的速度恰好与水波的传播速度相等，不考虑蜻蜓每次点水所用的时间”所以对应的马赫数M=1，即选项A即属此类。

典例2（2012全国初中物理竞赛预赛）：“蜻蜓点水”是常见的自然现象，某同学在研究蜻蜓运动的过程中，获得一张图4所示的蜻蜓点水的俯视图片。

该图片记录了在相等时间内蜻蜓连续三次点水过程中激起的波纹，已知水的传播和蜻蜓的飞行都是匀速运动。

根据图中弦的形状和分布可知蜻蜓当时是向___________（填“左”或“右”）飞行的，且飞行速度比水波传播的速度__________（填“快”或“慢”）。

解析：首先找出几个圆的圆心，由蜻蜓刚点水激起的波纹圆周半径小，所以蜻蜓飞行的方向是由大圆圆心指向小圆圆心（如图5所示），即当时蜻蜓是向左飞行。

有根据水波俯视图的圆位置关系为外切，所以M >1，即：蜻蜓飞行速度比水波传播的速度快。

典例3：“蜻蜓点水”是常见的自然现象，蜻蜓点水后在水面上会激起波纹。

某同学在研究蜻蜓运动的过程中获得一张蜻蜓点水的俯视照片，该照片记录了蜻蜓连续三次点水过程中激起的波纹，其形状如图6所示.由图可分析出蜻蜓当时是向______（填“右”或“左”）飞行的，且飞行速度比水波传播的速度______（填“快”或“慢”）。

由于圆形波形图的圆心就是蜻蜓击水的位置，因此可在图中测出蜻蜓当时的飞行速度与波速的比值约为______。

解析：根据如图所示，蜻蜓连续三次点水过程中激起的波纹，则圆圈越小，则时间越短，所以飞行方向则为从大圆到小圆;若蜻蜓飞行的速度和水波的速度相同，那么蜻蜓的每一次点水的时候都会是在上一个水波的边线上，而第二个水波和第一个水波都在以相同的速度运动，所以每个圆都应该是内切的.然而图中则说明蜻蜓飞行的速度比水波的速度大，水波传递的速度相同，由图里第一三个圆外切可以知道第三个圆扩散了1的距离之后和第一个圆相切，此时
第一和圆已经扩散了4的距离，也就是说第三个圆再最初始的时候第一个圆应该是在3的位置，由因为蜻蜓飞行的时间与水波扩散的时间相等，所以即可得出蜻蜓的飞行速度与水波的速度比为。

所以本题答案为：右、快、1.67。

典例4：某同学观察蜻蜓在贴近平静的水面直线飞行时，获得了一张蜻蜓点水的俯视图片如图所示，图片反映了蜻蜓连续三次点水后某瞬间水面波纹的分布情况（每次点水只形成一个波纹），三个波纹刚好在O点内切，蜻蜓每次点水所用的时间忽略不计，分析图片下列说法
中正确的是（）
A.蜻蜓的运动方向是沿x轴向右
B.蜻蜓的运动方向是沿x轴向左
C.蜻蜓飞行的速度大于水波的传播速度
D.蜻蜓飞行的速度小于水波的传播速度
解析：根据圆的大小可判断出蜻蜓飞行方向为从大圆到小圆（即：蜻蜓沿x轴向左飞行）;再根据数学知识可知图中几个圆的位置关系为内切，所以它对应的马赫数（M）等于1，所以蜻蜓飞行的速度等于水波的传播速度;所以本题应该选B答案。

五、总结
“蜻蜓点水”问题的分析思路：
（1）找所给俯视图中各个圆的圆心;（2）根据圆的大小判断蜻蜓飞行的方向;（3）判断圆心间距离和圆的半径之和的关系（即圆的位置关系）;（4）根据圆的位置关系判断出马赫数（M）是大于、小于还是等于1;（5）根据马赫数（M）判断出蜻蜓飞行速度与水波扩散速度的大小。

参考文献
[1]林群.义务教育教科书数学九年级上册，人民教育出版社，2014.6
[2]义务教育物理课程标准实验教科书编写组编著，义务教育教科书物理八年级全一册.上海科学技术出版社.2017.7。