母子型相似三角形模型典型

母子型相似三角形

【知识要点】

-、直角三角形相似

1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对

应成比例，那么这两个直角三角形相似。

基本图形（母子三角形）举例：

1、条件：如图，已知△ABC是直角三角形，CD为斜边AB上的高. 结论：（1）A ACD

CBD , ABDC BCA , A CDA BCA

（2）MCD CBD 中，CD 2 =AD|_|BD

ABDCBCA 中，BC?二BDUAB

△CDA BCA 中，AC H ADJAB

2、条件：如图，已知/ ACD= / ABC

结论：A ACD ABC 中，AC? uADjAB

【例题解析】

类型一：三角形中的母子型

【例1】1•如图，△ ABC中，/ A= / DBC,BC= ^,S △ BCD： S A ABC=2 : 3,则CD=

_________________________________________________________________________________

【练】如图，D是△ ABC的边AB上一点连结CD.若AD= 2, BD = 4, / ACD = / B 求AC的长. 【例2】如图，在A ABC中，AD为/ A的平分线，AD的垂直平分线交AD于E,交BC的

2

延长线于F,求证：FD =FB FC

【练】已知CD是AB C的高，DE —CA,DF —CB，如图3-1,求证：^CEF sJQ BA

Rt △

ABC

斜边上的高

•若AD= 2 , BD = 4,

求CD 的长.

BH 丄AC 于H ，交CD 于G , 2

求证：BC CG *CD 。

2•如图，菱形 ABCD 中, AF 丄BC 于F , AF 交BD 于E ,求证: AD 2 J DE 2 • DB 。

类型二：直角三角形中的母子型

【例1】•如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别为BC 、AC 边上的高，过 D 作AB 的垂线交AB

2

于F ,交BE 于G ,交AC 的延长于H ，求证：DF FG *FH

【练】如图 5,Rt △ ABC 中，/ACB=90 ,CD 丄 AB,AC=8,BC=6,贝U AD= ______ ,CD=

【例 2】如图 1,Z ADC= / ACB=90，/ 1 = / B,AC=5,AB=6,贝U AD= ________ .

类型四：圆中的母子型 1•如图，△ ABC 内接于O O ,/ BAC 的平分线交 BC 于D ，交O O 于E ,

2

类型三: 四边形中的母子型 中, 1如图，矩形 ABCD 【例1】

求证：EB DE *AE。

P

2•如图，PA切O O于A , AB为O O的直径，M为PA的中点，连BM交O O于C,

2

求证

.(

1) AM MC * MB (2)Z MPC= / MBP。

K字型”相似专题复习

【活动一】

K字型相似基本图形1:

条件：B, C, E 三点共线，/B=Z ACD= / E=90° 结论：△ ABC CED

【应用】

1.如图，已知点A (0 , 4 )、B (4 , 1 ), BC丄x轴于点C,点P为线段OC上一点，且PA丄PB .则点P的坐标为___________________________________

2 .如图，在梯形ABCD 中，已知AD // BC，/ B=90°, AB=7 ,AD=9 , BC=12 , 在线段BC上任取一点E，连接DE，作EF丄DE，交直线AB于点F .

(1)若点F与B重合，求CE的长；

(2)若点F在线段AB上，且AF=CE，求CE的长.

3. ( 1)如图②，已知点A (-2 , 1),点B在直线y=-2x+3上运动，若/ AOB=90 ，求

此时点B的坐标；

(2)如图③，过点A (-2 , 1)作x轴与y轴的平行线，交直线y=-2x+3

于点C、D，求点A关于直线CD的对称点E的坐标.

【活动二】

K字型相似基本图形2: 条件：

B, D, C三点共线结论：△ BDE

CFD 证明：B

B

【应用】

1.如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB // OA, 0A=7 , BC=1 , AB=5 , 点P为x轴上的一个动点，点P不与点0、点A重合.连接CP，过点P作PD交AB于点

D.

(1)直接写出点B的坐标

(2)当点P在线段0A上运动时，使得/ CPD= / OAB ,且BD: AD=3:2 ，求点P的坐标.