矩阵乘积的运算法则的证明

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矩阵乘法的法则

第六节．矩阵乘法的法则教学目标：（1）通过几何变换，使学生理解矩阵乘法不满足交换律（但并不是绝对的）。

（2）通过实例，了解矩阵的乘法满足结合律。

教学重点：理解矩阵乘法不满足交换律。

教学难点：从图形变换的角度理解矩阵的乘法不满足交换律。

教学过程：一、引入：对上节课的练习的讨论：已知三角形ABC 的三个顶点的坐标分别为：A （0，0），B （2，0），C （2，2），先将三角形作以原点为中心的反射变换（变换矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1001），再以x 轴为基准，将所得图形压缩到原来的一半（变换矩阵为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡21001），试求：（1）这连续两次变换所对应的变换矩阵U ；问：U=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1001⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡21001=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--21001 U=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡21001⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1001=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--21001 问题：矩阵的乘法是否满足交换律呢？2、例题例1．已知矩阵A 、B ，计算AB 及BA ，并比较他们是否相同，能否从几何变换的角度给予解释？（1）A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001，B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0110；（2）A=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡21001，B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1003。

解：（1）AB=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0210，BA=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0110⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0120 显然，AB ≠BA 。

从几何变换的角度，AB 表示先作反射变换（变换矩阵为B ），后作伸缩变换（变换矩阵为A ）；而BA 表示先作伸缩变换（变换矩阵为A ），后作反射变换（变换矩阵为B ）。

当连续进行一系列变换时，交换变换次序得到的结果，一般说会不相同。

仍以正方形（顶点分别为A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)）为例，如下图：显然，变换顺序不同，所得的结果也不同。

（2）AB =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡211⎥⎦⎤⎢⎣⎡13=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡213，BA=⎥⎦⎤⎢⎣⎡13⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡211=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡213显然，AB = BA从几何变换的角度，AB表示先作伸缩变换B（变换矩阵为B），再作伸缩变换A（变换矩阵为A）；而BA表示先作伸缩变换A（变换矩阵为A），后作伸缩变换B（变换矩阵为B），将这两个变换交换次序后，得到的结果仍相同。

线性代数与矩阵的运算法则

线性代数与矩阵的运算法则矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学、物理、计算机科学等领域都有广泛的应用。

在矩阵的运算中，我们需要遵循一些规则和法则，以确保计算的准确性和一致性。

本文将介绍线性代数与矩阵的运算法则，并提供相应的例子以便更好地理解。

一、矩阵的加法和减法法则矩阵的加法和减法法则很简单，只需要将相同位置上的元素进行相应的加法或减法即可。

具体表达为：设A和B为两个m×n矩阵，它们的和记作C，差记作D，则有：C = A + B，其中C的元素为C_ij = A_ij + B_ijD = A - B，其中D的元素为D_ij = A_ij - B_ij例如：设A = [2 4 1; 5 7 3]，B = [1 3 2; 6 8 2]则A + B = [2+1 4+3 1+2; 5+6 7+8 3+2] = [3 7 3; 11 15 5]A -B = [2-1 4-3 1-2; 5-6 7-8 3-2] = [1 1 -1; -1 -1 1]二、矩阵的数乘法则矩阵的数乘法则就是将矩阵的每个元素与一个常数相乘。

具体表达为：设A为m×n矩阵，k为实数，则kA表示将A的每个元素都乘以k，即：kA = [kA_ij]例如：设A = [2 4 1; 5 7 3]则2A = [2×2 2×4 2×1; 2×5 2×7 2×3] = [4 8 2; 10 14 6]三、矩阵的乘法法则矩阵的乘法法则相对较为复杂，需要满足一定的条件。

设A为m×n 的矩阵，B为n×p的矩阵，则它们的乘积记作C，C为m×p的矩阵，其中C的元素C_ij由以下公式确定：C_ij = Σ(A_ik × B_kj)，其中k的范围为1到n例如：设A = [2 4 1; 5 7 3]，B = [1 3; 6 8; 2 5]则A × B = [(2×1+4×6+1×2) (2×3+4×8+1×5); (5×1+7×6+3×2)(5×3+7×8+3×5)] = [26 48; 70 90]四、转置矩阵的性质矩阵的转置是指将矩阵的行变为列，列变为行。

标准矩阵乘法

标准矩阵乘法
标准矩阵乘法是指两个矩阵相乘的运算法则，其中第一个矩阵的列数必须与第二个矩阵的行数相等。

假设有两个矩阵A和B，它们的尺寸分别为m×n和n×p。

矩阵A的第i行和矩阵B的第j列的乘积之和即为新矩阵C的第i行第j列的值。

公式如下：
C(i,j) = Σ(A(i,k) × B(k,j)), 其中k从1到n 标准矩阵乘法是一种重要的数学基础运算，被广泛应用于科学计算、图像处理、人工智能等领域。

在计算机科学中，矩阵乘法也是高性能计算的基石之一，许多数值计算库和计算机硬件都对矩阵乘法做了优化。

- 1 -。

矩阵元素相乘

矩阵元素相乘矩阵是数学中一种重要的数据结构，它更为精确地描述了现实中的许多客观事物。

矩阵元素相乘，也就是矩阵乘法，是矩阵数学中最基本也是最重要的操作之一。

在数学上，矩阵乘法是指将两个矩阵相乘，形成一个新的矩阵；它也是数学上一种重要的矩阵运算，广泛应用于线性代数、投影平面等领域。

一般而言，在数学上，矩阵乘法是一种定义起来非常重要的矩阵操作，它在数学上具有许多重要的性质，如结合律、乘法等性。

结合律的定义为假定矩阵A、B∈Rm×m，AB=BA，两个矩阵的乘积AB符合运算律，即，AB=BA；乘法性定义为假定矩阵A、B、C∈Rm×m，AB=C，则AB=C，即AB和C具有相等的乘法性谓词。

此外，矩阵乘法还满足可逆性特性、结果复杂阵特性等等。

矩阵乘法具有很强的抽象性，它可以应用于各种不同领域，是不少程序设计中的常用算法。

在数学上，矩阵乘法可以用来求解一些复杂的线性方程组；在机器学习的应用中，矩阵乘法可以用来构建神经网络；在计算机图形学中，矩阵乘法可以用来描述三维物体的形变变换；在语言处理中，矩阵乘法可以用来构建语义空间等抽象概念空间。

从数学定义上看，矩阵乘法是指将两个矩阵相乘，从而形成一个新的矩阵。

一般而言，两个矩阵的乘积是新矩阵的维数为原矩阵乘积的行数和列数。

比如，如果A是一个m×n矩阵，B是一个n×p矩阵，两个矩阵的乘积AB就是一个m×p的新矩阵，在这里，m为A的行数，n为A的列数，p为B的列数。

同时，此时乘积AB的元素等于A的前m个行向量与B的前p个列向量之积。

因此，矩阵乘法涉及到已知矩阵的乘法法则，它是一个数学抽象的概念：两个矩阵的乘积是新矩阵的维数为原矩阵乘积的行数和列数，其中，新矩阵的元素等于原矩阵前m个行向量与后p个列向量之积，这样可以使矩阵乘法具有很强的抽象性，实用性非常强，可以应用于许多不同的领域。

矩阵乘法也有许多数学性质，像结合律、乘法等，这些性质可以用于证明一些数学定理，比如求解线性方程组；同样，它也可以用来构建神经网络、描述三维物体的形变变换、构建语义空间等。

三阶矩阵乘法

三阶矩阵乘法三阶矩阵乘法是数学中经典的一门数学运算，它涉及到两个或多个三阶矩阵之间的进行乘法运算。

以下是本文对三阶矩阵乘法进行详细介绍。

首先，要想进行三阶矩阵乘法，需要两个三阶矩阵，也就是说，一个三阶矩阵有3行3列，称为矩阵A，另一个三阶矩阵也有3行3列，称为矩阵B。

两个矩阵的乘积C就是矩阵A和矩阵B的乘积，即矩阵C = A B。

在计算乘积C之前，首先需要满足乘法规则，也就是矩阵A的列数要等于矩阵B的行数，才可以计算乘积C。

接着，要计算三阶矩阵乘积C，需要根据以下公式进行计算：C = A * B + A * B + A * BC = A * B + A * B + A * BC = A * B + A * B + A * BC = A * B + A * B + A * BC = A * B + A * B + A * BC = A * B + A * B + A * BC = A * B + A * B + A * BC = A * B + A * B + A * BC = A * B + A * B + A * B这就是计算三阶矩阵乘积C所需要的公式，其中A、B、C分别指的是你需要计算的两个三阶矩阵A和B以及它们的乘积C，而1、2、3则分别表示矩阵的行和列，有着同样的意义。

再次强调一下，在计算三阶矩阵乘积C时，需要满足矩阵A的列数等于矩阵B的行数，这是乘法法则中的关键点。

只有当二者满足此要求时，才能进行计算。

上述就是三阶矩阵乘法的基本原理，我们可以用它来解决许多数学问题，比如计算矩阵的行列式、求解线性方程组、求多项式的雅可比矩阵等，不仅如此，三阶矩阵乘法还可以用来解决许多实际应用中的问题。

例如，机器学习中的神经网络就可以利用三阶矩阵乘法来训练模型，结合其他技术，可以实现各种复杂功能。

此外，三阶矩阵乘法还可以应用于影像处理等领域，这些都是三阶矩阵乘法的广泛应用。

总的来看，三阶矩阵乘法是一个十分重要的数学算法，它可以用于解决许多数学问题，也可以应用于实际应用中，这使得三阶矩阵乘法受到了广泛关注和使用。

矩阵的基本运算法则

矩阵的基本运算法则1、矩阵的加法矩阵加法满足下列运算规律（设A 、B 、C 都是m n ⨯矩阵，其中m 和n 均为已知的正整数）：（1）交换律：+=+A B B A（2）结合律：()()++++A B C =A B C注意：只有当两个矩阵为同型矩阵（两个矩阵的行数和列数分别相等）时，这两个矩阵才能进行加法运算。

2、数与矩阵相乘数乘矩阵满足下列运算规律（设A 、B 是m n ⨯矩阵，λ和μ为数）：（1）结合律：()λμλμ=A A（2）分配律：()λμλμ+=+A A A（3）分配律：()λλλ+=+A B A B注意：矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算。

3、矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵的乘法不满足交换律、但是满足结合律和分配率（假设运算都是可行的）：（1）交换律：≠AB BA （不满足）（2）结合律：()()=AB C A BC（3）结合律：()()()λλλλ==其中为数AB A B A B（4）分配律：()(),+=++=+A B C AB AC B C A BA CA4、矩阵的转置矩阵的转置满足下述运算规律（假设运算都是可行的，符号()T g 表示转置）：（1）()T T =A A（2）()T T T +=+A B A B（3）()TT λλ=A A（4）()T T T =AB B A 5、方阵的行列式由A 确定A 这个运算满足下述运算法则（设A 、B 是n 阶方阵，λ为数）：（1）T =A A（2）n λλ=A A（3）=AB A B6、共轭矩阵共轭矩阵满足下述运算法则（设A 、B 是复矩阵，λ为复数，且运算都是可行的）：（1）+=+A B A B（2）λλ=A A（3）=AB AB7、逆矩阵方阵的逆矩阵满足下述运算规律：（1）若A 可逆，则1-A 亦可逆，且()11--=A A（2）若A 可逆，数0λ≠，则λA 可逆，且()111λλ--=A A（3）若A 、B 为同阶矩阵且均可逆，则AB 亦可逆，且()111---=AB B A参考文献：【1】线性代数（第五版），同济大学。

矩阵乘法的定义及其性质

矩阵乘法的定义及其性质矩阵乘法是矩阵运算中的一种重要形式，矩阵乘法能够将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵，是矩阵运算中应用广泛的一种运算方式。

在矩阵乘法的运算中，向量、矩阵和多项式相乘都可以使用矩阵乘法来实现。

矩阵乘法的定义在矩阵乘法中，两个矩阵相乘的前提条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，即A(m,n)与B(n,p)可以相乘。

将A和B 相乘，得到的矩阵C是一个m行p列的矩阵，其第i行第j列的元素可以表示为：C(i,j)=sum(A(i,k)*B(k,j))其中k的取值范围为1到n，sum表示对k的求和。

矩阵乘法的运算法则是“行乘列加”，即矩阵的每一行与另一个矩阵的每一列进行乘法运算，将结果相加得到新矩阵中的对应元素。

矩阵乘法的性质1. 不满足交换律矩阵乘法不满足交换律，即A*B与B*A是不相等的。

这一性质可以通过矩阵乘法的定义进行理解，因为AB的定义中，A的列数必须等于B的行数，而BA的定义中，B的列数也必须等于A 的行数，这两种情况下的矩阵乘法所得到的结果是不同的。

2. 满足结合律矩阵乘法满足结合律，即(A*B)*C=A*(B*C)。

这一性质可以通过对矩阵乘法的运算法则进行分析得到，因为矩阵乘法是按照行乘列加的方式运算的，所以多个矩阵连乘时，括号的位置不影响结果。

3. 矩阵乘法满足分配律矩阵乘法满足分配律，即A*(B+C)=A*B+A*C。

这一性质也可以通过矩阵乘法的定义得到，即将A的每一行与B+C的对应列相乘，然后将结果相加得到新矩阵中的对应元素，即A*B+A*C。

4. 矩阵乘法中的单位矩阵在矩阵乘法中，单位矩阵是指一个元素在对角线上为1，其余所有元素都为0的矩阵。

如果一个矩阵乘以一个单位矩阵，其结果矩阵仍然是该矩阵本身。

例如，矩阵A和其对应的单位矩阵I 相乘得到的结果矩阵是A本身，即A*I=A。

5. 矩阵乘法中的逆矩阵在矩阵乘法中，如果一个矩阵A乘以另一个矩阵B得到的结果矩阵是单位矩阵I，那么矩阵B就被称为矩阵A的逆矩阵，记作A^-1。

矩阵乘积的行列式与秩

矩阵乘积的行列式与秩
矩阵乘积的定义与性质行列式的定义与性质矩阵秩的定义与性质矩阵乘积的行列式与秩的关系矩阵乘积的行列式与秩的应用
矩阵乘积的定义与性质
01
矩阵乘积是由两个矩阵A和B相乘得到的结果，记作AB。
矩阵乘积的结果是一个新的矩阵C，其行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B的列数。
矩阵乘积的定义
矩阵乘积的秩的性质
总结词
矩阵乘积的秩不大于参与乘法的所有矩阵秩的最小值。
详细描述
设矩阵A和B的秩分别为r(A)和r(B)，则它们的乘积AB的秩r(AB)满足r(AB)≤min{r(A), r(B)}。这是因为矩阵乘法不改变列空间的维数，所以AB的秩不可能超过A或B的秩。
矩阵乘积的行列式与秩的应用
特殊矩阵乘积
行列式的定义与性质
02
行列式是一个由矩阵的行和列构成的标量，表示为|A|。
行列式等于矩阵所有行向量行列式的乘积，即|A|=a11*a22*...*ann。
行列式是唯一确定的，与矩阵的表示方式无关。
行列式的定义
行列式与转置矩阵的行列式互为倒数，即|AT|=1/|A|。
行列式与矩阵的加法、数乘运算具有结合律和分配律，即|kA|=k|A|，|A+B|=|A|+|B||。
矩阵近似
在微分几何中，行列式可以用于研究微分流形的性质，例如计算体积、表面积等。
微分流形
行列式可以用于研究曲线和曲面的性质，例如计算曲线的长度、曲率等。同时，矩阵乘积可以用于表示曲线和曲面的变换和运动。
曲线和曲面
在黎曼几何中，行列式和秩可以用于研究黎曼度量和张量的性质，例如计算曲率张量、研究联络等。
行列式与秩的关系
对于一个方阵A，其行列式值$|A|$不为0当且仅当其秩为n（n为矩阵的阶数）。

矩阵的运算

( AB)k Ak Bk AB BA.
k
k Z
0 a1k 0 a1 , k Z . (4) k 0 0 a a n n
高等代数
2 方阵的行列式
定义：由n阶方阵A的元素构成的行列式（各元素的位置不
变），称为方阵A的行列式.记做 | A | 或 det
高等代数
（3）单位矩阵
主对角线上的元素全是 1，其余元素全是 0 的 n n 矩阵
1 0 0
0 0 1 0 0 1
称为 n 阶单位矩阵，记为 En，或者在不致引含混
的时候简单写为 E 或者I.
高等代数
n 阶单位矩阵 E 在矩阵代数中占有很重要的地位, 它的作用与 “1” 在初等代数中的作用相似. 如 EA = AE = A .
3 1 2 4 5 1 A.
高等代数
2．矩阵乘法的运算规律
(1) (2) ( AB )C A( BC ) A( B C ) AB AC ( B C ) A BA CA
(结合律) （分配律)
(3)
k ( AB ) ( kA) B A( kB )
2．性质
(1) ( ) A ( A) ; (2) (3) ( ) A A A ;
( A B) A B ;
(4) 1 A A ;
注: 矩阵的加法与数量乘法合起来,统称为矩阵的线性运算.
高等代数
例1
例题2.2.1
4 3 1 1 1 0 设 A ,B ,求3 A 2 B . 3 0 1 5 1 3
a1n b1n a2 n b2 n amn bmn

矩阵的基本运算法则

矩阵的基本运算法则矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于多个学科领域。

矩阵的基本运算法则包括矩阵加法、矩阵乘法、矩阵转置和矩阵求逆等。

下面将详细介绍这些基本运算法则。

一、矩阵加法矩阵加法是指将两个具有相同维度的矩阵相加的运算。

设有两个m行n列的矩阵A和B，它们的和记作C，那么矩阵C的第i行第j列元素等于矩阵A和B对应位置的元素之和，即：C(i,j)=A(i,j)+B(i,j)其中，1≤i≤m，1≤j≤n。

矩阵加法满足以下性质：1.交换律：A+B=B+A，对任意矩阵A和B都成立。

2.结合律：(A+B)+C=A+(B+C)，对任意矩阵A、B和C都成立。

3.零元素：存在一个全0矩阵，记作O，满足A+O=A，对任意矩阵A 都成立。

4.负元素：对于任意矩阵A，存在一个矩阵-B，使得A+B=O，其中O 为全0矩阵。

二、矩阵乘法矩阵乘法是指将两个矩阵相乘的运算。

设有两个m行n列的矩阵A和n行k列的矩阵B，它们的乘积记作C，那么矩阵C的第i行第j列元素等于矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素相乘再求和，即：C(i,j)=Σ(A(i,k)*B(k,j))其中，1≤i≤m，1≤j≤k，1≤k≤n。

矩阵乘法满足以下性质：1.结合律：(A*B)*C=A*(B*C)，对任意矩阵A、B和C都成立。

2.分配律：A*(B+C)=A*B+A*C，并且(A+B)*C=A*C+B*C，对任意矩阵A、B和C都成立。

3.乘法单位元素：对于任意矩阵A，存在一个m行m列的单位矩阵I，使得A*I=I*A=A，其中单位矩阵I的主对角线上的元素全为1，其他元素全为0。

4.矩阵的乘法不满足交换律，即A*B≠B*A，对一些情况下，AB和BA的结果甚至可能维度不匹配。

三、矩阵转置矩阵转置是指将矩阵的行和列互换的运算。

设有一个m行n列的矩阵A，它的转置记作A^T，那么矩阵A^T的第i行第j列元素等于矩阵A的第j行第i列元素，即：A^T(i,j)=A(j,i)其中，1≤i≤n，1≤j≤m。

二阶矩阵的乘法运算法则

二阶矩阵的乘法运算法则矩阵是现代数学中非常重要的概念之一，它在各个领域都有着广泛的应用。

而矩阵的乘法运算法则是矩阵运算中最基础、最重要的一条规则。

本文将详细介绍二阶矩阵的乘法运算法则，并通过具体的例子进行解析，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

二阶矩阵是指具有2行2列的矩阵，可以表示为如下形式：A = [a11 a12][a21 a22]B = [b11 b12][b21 b22]其中，a11、a12、a21、a22分别代表矩阵A中的元素，b11、b12、b21、b22分别代表矩阵B中的元素。

二阶矩阵的乘法运算法则可以总结为以下几点：1. 乘法顺序：先计算第一个矩阵的行与第二个矩阵的列的对应元素的乘积，然后将乘积相加得到结果矩阵的元素。

2. 结果矩阵的大小：乘法运算的结果矩阵是一个2行2列的矩阵。

3. 计算过程：对于结果矩阵中的每个元素，利用乘法顺序依次计算得到。

下面通过一个具体的例子来说明二阶矩阵的乘法运算法则。

例子：计算矩阵A和矩阵B的乘积。

已知矩阵A为：A = [2 1][3 4]矩阵B为：B = [5 6][7 8]根据乘法运算法则，我们可以得到结果矩阵C：C = A * B计算结果矩阵C的第一个元素c11：c11 = a11 * b11 + a12 * b21= 2 * 5 + 1 * 7= 10 + 7= 17然后，计算结果矩阵C的第二个元素c12：c12 = a11 * b12 + a12 * b22= 2 * 6 + 1 * 8= 12 + 8= 20接着，计算结果矩阵C的第三个元素c21：c21 = a21 * b11 + a22 * b21= 3 * 5 + 4 * 7= 15 + 28= 43计算结果矩阵C的第四个元素c22：c22 = a21 * b12 + a22 * b22= 3 * 6 + 4 * 8= 18 + 32= 50结果矩阵C为：C = [17 20][43 50]通过以上例子的计算过程，我们可以清晰地看到二阶矩阵的乘法运算法则的具体应用。

矩阵的基本运算与性质

矩阵的基本运算与性质一、矩阵的定义与表示矩阵是由若干数字按照行和列排列成的矩形阵列，通常用方括号表示。

例如，一个m行n列的矩阵可以表示为[A]m×n，其中每个元素a_ij表示矩阵A中第i行第j列的数字。

二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法：若A和B是同阶矩阵，即行数和列数相等，那么A 和B的和C=A+B是一个同阶矩阵，其中C的任意元素c_ij等于A和B对应元素的和。

示例：[A]m×n + [B]m×n = [C]m×n，其中c_ij = a_ij + b_ij。

2. 矩阵的数乘：若A是一个矩阵，k是一个常数，那么kA就是将A的每个元素乘以k得到的矩阵。

示例：k[A]m×n = [B]m×n，其中b_ij = k * a_ij。

3. 矩阵的乘法：若A是一个m行n列的矩阵，B是一个n行p列的矩阵，那么它们的乘积C=AB是一个m行p列的矩阵，其中C的任意元素c_ij等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。

示例：[A]m×n × [B]n×p = [C]m×p，其中c_ij = Σk=1^n (a_ik *b_kj)。

三、矩阵的运算法则1. 加法的交换律：矩阵的加法满足交换律，即A+B=B+A。

2. 加法的结合律：矩阵的加法满足结合律，即(A+B)+C=A+(B+C)。

3. 数乘的结合律：数乘与矩阵的乘法满足结合律，即k(A+B)=kA+kB。

4. 数乘的分配律：数乘与矩阵的乘法满足分配律，即(k+m)A=kA+mA，k(A+B)=kA+kB。

5. 乘法的结合律：矩阵的乘法满足结合律，即(A*B)*C=A*(B*C)。

6. 乘法的分配律：矩阵的乘法满足分配律，即(A+B)*C=AC+BC。

四、矩阵的性质1. 矩阵的转置：若A是一个m行n列的矩阵，在A的上方写A的名字的转置符号T，表示A的转置矩阵。

A的转置矩阵是一个n行m 列的矩阵，其中A的第i行被用作A的转置矩阵的第i列。

矩阵运算与特征值问题解答

矩阵运算与特征值问题解答矩阵运算与特征值是线性代数中的重要概念，被广泛应用于数学、物理、工程等领域。

本文将介绍矩阵的基本运算法则，并详细解答特征值问题。

1. 矩阵的基本运算法则矩阵是由元素按照行和列排列而成的矩形阵列。

矩阵的基本运算包括矩阵的加法、减法、数乘和矩阵乘法。

1.1 矩阵的加法和减法设有两个相同大小的矩阵A和B，它们的和记作A + B，差记作A - B。

矩阵的加法和减法满足以下运算法则：•加法法则：若A、B、C是同阶矩阵，则(A + B) + C = A + (B + C)。

•减法法则：若A、B、C是同阶矩阵，则(A - B) - C = A - (B + C)。

•交换律：若A和B是同阶矩阵，则A + B = B + A，A - B ≠ B - A。

1.2 矩阵的数乘设有一个矩阵A，它的数乘记作kA，其中k是一个实数或复数。

矩阵的数乘满足以下运算法则：•结合律：若k和l是任意实数或复数，A是任意矩阵，则(kl)A = k(lA)。

•分配律：若k和l是任意实数或复数，A和B是任意矩阵，则(k + l)A = kA + lA。

•分配律：若k是任意实数或复数，A和B是任意矩阵，则k(A + B) = kA + kB。

1.3 矩阵的乘法设有两个矩阵A和B，它们的乘积记作AB。

两个矩阵的乘法满足以下运算法则：•结合律：若A、B、C是满足乘法要求的矩阵，则(AB)C = A(BC)。

•乘法分配律：若A、B和C是满足乘法要求的矩阵，则A(B + C) = AB + AC。

•乘法分配律：若A、B和C是满足乘法要求的矩阵，则(A + B)C = AC + BC。

•乘法不满足交换律：通常情况下，AB ≠ BA。

2. 特征值与特征向量对于一个n x n的矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得满足以下关系式：Ax = λx其中，λ是一个常数，则称λ为矩阵A的特征值，x为对应于特征值λ的特征向量。

特征值和特征向量对于矩阵的性质分析和计算具有重要意义。

第9节矩阵的运算(2)

x1 = 3, x2 = 2.
所以 X = . 2

3
例3 解方程 X
2 1 1 2 为二阶矩阵. = X为二阶矩阵. 1 2 −1 4
x12 x22 x12 2 1 x22 1 2 x11 + 2 x12 1 2 = x21 + 2 x22 −1 4
1× 1 + 0 × 0 1 1 = 0×1 + 4× 0 0 0 1× 1 + 2 × 0 1 1 = 0×1 + 3× 0 0 0
证毕.
综上所述，综上所述，
1 1 AC = BC = 0 0
2 4 −2 4 例5 设 A = , B = , 求 AB . 3 6 − − 1 −2
k (ab) = ( ka )b = a ( kb )
AB ≠ BA
AC = BC ⇒ A = B
AB = O ⇒ A = O 或 B = O
ab = ba ac = bc ⇒ a = b ab = 0 ⇒ a = 0 或 b = 0
(三) 矩阵方程以矩阵作为未知量的方程. 以矩阵作为未知量的方程. 例如
利用矩阵的乘法，利用矩阵的乘法，则上述线性方程组可表示为矩阵形式为矩阵形式，形式，即：
Ax =b
其中 A称为方程组的系数矩阵称为方程组的系数矩阵，系数矩阵，方程组称为方程组称为矩阵方程.
2
a11 a 若设 B = 12 ⋯ a1n
a21 a22 ⋯ a2 n
⋯ am 1 ⋯ am 2 , ⋯ ⋯ ⋯ amn
1 2 −1 0 2 − 1 1 4 − 2 AT + BT = 2 3 0 1 − 1 −1 = 3 2 − 1 + −1 2 2 −2 0 3 −3 2 5

矩阵及其运算

矩阵及其运算加法：()ij m n A a ´=,()ij m n B b ´=是两个m n ´矩阵,称矩阵()ij ij m n C a b ´=+为A 与B 的和,记为C A B =+.注意：两个矩阵必须是同型矩阵（行数和列数分别对应相同）才能相加. 数乘：设()ij m n A a ´=是一个m n ´矩阵，k 是一个数，称()ij m n C ka ´=为数k 与矩阵()ij m n A a ´=的数量乘积，记为C kA =.矩阵的乘法运算；设()ik m n A a ´=, ()kj n s B b ´=，称m s ´矩阵()ij m s C c ´=为矩阵A 与B 的乘积.其中C 的(,)i j 位置的元素为：11221nij i j i j in nj ik kjk c a b a b a b ab ==+++=∑记为（1,2,,;1,2,,i m j s ==L L ）.将矩阵A 与矩阵B 的乘积C 记为AB ，即C AB =. 乘法运算的性质：（1）乘法结合律()()A BC AB C =；（其中,,A B C 分别是,,m n n s s t 创矩阵）（2）乘法对加法的分配律左分配律()A B C AB AC +=+；（其中,,A B C 分别是,,m n n s n s 创矩阵）右分配律()B C A BA CA +=+；（其中,,A B C 分别是,,n s m n m n 创矩阵）（3）()()()k AB kA B A kB ==；（其中,A B 分别是,m n n s 创矩阵，k 是一个数）（4）m n E A AE A ==.（其中A 是m n ´矩阵，,m n E E 分别是m 阶和n 阶单位矩阵）注意（ⅰ）第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等时两矩阵乘积才有意义.（ⅱ）由于乘法没有交换律，在进行两个矩阵乘积时，矩阵因子的顺序不能变.（ⅲ）矩阵的乘法不满足消去律.（ⅳ）多个矩阵乘积时经常使用乘法结合律()()A BC AB C =.方阵的方幂：设A 是n 阶方阵，我们称k kA AA A =6447448L 个为A 的k 次幂，特别规定0A E =.1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++L 是多项式，称1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++L 为方阵A 的多项式.例设12n A l l l 骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷ç桫O 12n B m m m 骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷ç桫O ,(1）求AB 及BA ;(2) 求k A 及()f A ,其中10()m m f x a x a x a =+++L . 例：证明cos sin cos sin sin cos sin cos nn n n n q q q qq q q q 骣骣--鼢珑? 珑鼢鼢珑桫桫. 矩阵的转置与共轭运算称以矩阵A 的行为列，列为行构成的矩阵为A 的转置矩阵，记为T A . 注意：,A B 分别是,m n n s 创矩阵，则()T T T AB B A =.例设122a 骣÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷÷ç桫,121b 骣÷ç÷ç÷ç÷=-ç÷ç÷ç÷÷ç桫,求T a b ，T ba ,()100T ba 例.111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b A a b a b a b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭L L L L L L L，求n A 例. 11A λλλ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭，求n A 例..设实矩阵111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,且T A A O =,证明A O =；定义 A 是n 阶方阵，如果T A A =，称A 为对称矩阵；如果T A A =-，称A 为反对称矩阵.由定义易知：n 阶方阵A 为对称矩阵当且仅当(,1,2,,)ij ji a a i j n ==L ；n 阶方阵A 为反对称矩阵当且仅当(,1,2,,)ij ji a a i j n =-=L .定义 ()ij m n A a ´=，如果ij a 取自复数集，称A 是复矩阵，称由ij a 的共轭复数为元素构成的矩阵()ij m n A a ´=为A 的共轭矩阵. 分块矩阵及其运算的注意事项1.利用分块矩阵表示矩阵或进行矩阵运算只是为了表达简便.分块矩阵的运算与普通数字元素的运算法则和运算律是类似的；2.第一个矩阵列的分块方式与第二个矩阵行的分块方式必须相同，即ik A 列数必须等于kj B 的行数，这时两分块矩阵的乘积才有意义；3.由于矩阵乘法没有交换律，作分块矩阵乘法时，一定要注意子块的前后顺序不能换.即上面的ik kj A B 绝对不能写成kj ik B A .4.分块矩阵的转置不仅要将子块为元素构成的矩阵看成普通矩阵进行转置，还要将每块转置.利用矩阵运算表示线性方程组设线性方程组为11112211211222221122,,.........................................n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1）利用矩阵的线性运算和矩阵相等定义，（ 1）可以改写为：1112112122221212n n n m m mn m a a a b a a a b x x x a a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭称为线性方程组（1）的向量线性组合表示法，简记为1122n n x x x αααβ++=，利用矩阵乘积和矩阵相等定义还可以改写为：1112111212222212.....................n n m m mn n m a a a x b a a a x b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭称为线性方程组（1）的矩阵乘积表示法，简记为AX β=.方阵的行列式的定义及性质定义设()ij n A a =是n 阶方阵，以A 的元素构成的行列式ij n a 称为方阵A 的行列式.记为A 或det A .注意：（1）矩阵是数表，行列式是数值，这是它们之间的本质区别. （2）只有方阵才定义行列式. 方阵的行列式具有以下性质：性质1 A 是n 阶方阵，则n kA k A = 性质2 A 是n 阶方阵，则T A A = 性质3 A 是n 阶方阵，B 是m 阶方阵，则A CA B O B=. 推论1 A 是n 阶方阵，B 是m 阶方阵，则A OA B C B= 推论2 设12,,,S A A A L 均为方阵，则1212S SA A A A A A =L O性质4 ,A B 均为n 阶方阵，则AB A B =.注意，,A B 均为n 阶方阵，A B A B +=+不一定成立. 例已知A 是3阶方阵,且2A =-,计算(1)2A ；(2) A A ；(3)2A OE A-.例已知A ，B 都是3阶方阵,且9A =-，3AB E O +=,求B .例设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，求B .可逆矩阵设A 是n 阶方阵,如果存在n 阶方阵B ，使得AB BA E ==，称A 为可逆矩阵，称B 为A 的一个逆矩阵.唯一性：可逆矩阵的逆矩阵唯一.n 阶方阵A 是可逆的充分必要条件为0A ≠.而且1*1A A A-=. 定理：设,A B 都是n 阶方阵，如果AB E =,那么BA E =.伴随矩阵：设()ij n n A a ⨯=,称由ij a 在A 中的代数余子式ij A 为元素构成的矩阵*A 112111222212n n nnnn A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭为A 的伴随矩阵. 可逆矩阵的性质：性质1 设A 是n 阶可逆矩阵，A 的逆矩阵1A -也可逆，且()11A A --=；性质2设A 是n 阶可逆矩阵，k 是非零数，则kA 可逆，且()111kA k A ---=；性质3设,A B 都是n 阶可逆矩阵,那么AB 也可逆,且111()AB B A ---=；推广： 12,,,s A A A 都是n 阶可逆矩阵，则12s A A A 也可逆，且()11111221s s A A A A A A ----=.性质4设A 是n 阶可逆矩阵,T A 也可逆，且()()11TT A A --=；注意 ,A B 都是n 阶可逆矩阵，但A B +不一定可逆.性质5设(1,2,,)i A i s =L 为i n 阶可逆方阵，准对角形矩阵1s A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭可逆，且11111s s A A A A ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；且11111s s a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(0,1,2,,)i a i s ≠=.例已知A ，B 都是3阶方阵,且9A =-，3AB E O +=,求B 及12A O O B -⎛⎫⎪⎝⎭.性质6 设A 是m 阶可逆矩阵，,B C 都是m n ⨯矩阵，且AB AC =,则B C =，设A 是n 阶可逆矩阵，,B C 都是m n ⨯矩阵，且BA CA =,则B C =. 特别：设A 是m 阶可逆矩阵，B 是m n ⨯矩阵，且AB O =,则B O =，设A 是n 阶可逆矩阵，B 是m n ⨯矩阵，且BA O =,则B O =. 证明方阵A 可逆的常用方法：（1）找到一个方阵B ，使得AB BA E ==；（2）证明0A ≠例A 是n 阶方阵,且满足223A A E O -+=,证明3A E -可逆，并求()13A E -- 求可逆方阵A 的逆矩阵的方法（1）公式法：利用伴随矩阵；（2）用初等行变换求矩阵方程AX B =(A 可逆)的求法：()()1AB E A B -−−−−→初等行变换，则1X A B -=即可求得.例.A 是行等和矩阵（各行元素之和都相等），且A 可逆，证明：1A -也是行等和矩阵.例. ,A B 都为n 阶方阵，且A B AB +=1) 证明：A E -可逆；2）证明：AB BA =；3）如果130210002B 骣-÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷÷ç桫，求A 证明：1）由A B AB +=有()A A E B O --=，所以()A E A E B E ---=-, 即()()A E B E E --=,所以A E -可逆，且1()A E B E --=- 2）由()()A E B E E --=，有()()B E A E E --=，所以()()()()A E B E B E A E --=--，即有AB BA =3）由1()A E B E --=-有()11100030010200001001A E B E --骣骣-鼢珑鼢珑鼢珑鼢=+-=+珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑桫桫1100102210011010001033001001002骣骣鼢珑鼢珑鼢珑鼢珑骣鼢珑÷鼢ç珑÷鼢ç÷珑鼢ç÷鼢=+-=-珑ç÷鼢珑ç÷鼢珑ç÷鼢珑÷ç鼢桫珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑鼢珑桫桫例.已知121210121,()(),00210003A B A E A E -骣--÷ç÷ç÷ç÷-ç÷ç÷==-+ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷ç桫求1()B E -- 解：由1()(),B A E A E -=-+有()(),A E B A E -=+,AB B A E --=()()2A B E B E E ---=,所以()()11()2,()2A EB E E B E A E ---=-=- 例. 方阵A 满足223A A E O +-=求证：4A E +可逆，并求其逆；证明：由于223A A E O +-=，有()()425A E A E E +-=-，所以4A E +可逆，其逆为()()11425A E A E -+=--. 例.,,AB A B +均为n 阶可逆矩阵，求证11A B --+也可逆，并求其逆证明：()11,A A B B B A --+=+所以()()1111A B A B A B ----+=+，所以11A B --+可逆，且()()1111A B B B A A ----+=+.例.设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵，30A =，则（） A ．E A -不可逆，E A +不可逆；B. E A -不可逆，E A +可逆； C. E A -可逆，E A +可逆; D. E A -可逆，E A +不可逆例. 0k A =，求()1E A --例.设16,A XA A XA -=+ 其中100310041007A ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求X .例.设100020001A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，且满足*28,A XA XA E =-求X伴随矩阵的性质设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，则**AA A A A E ==.()ij nA a =矩阵的伴随阵*()ji A A =具有如下性质：1）**AA A A A E ==,特别地A 可逆时11*A A A-=（或1*A A A -=） 2）*A =1-n A ；3）(*)r A =()()()1101n r A n r A n r A n ìïïïï-íïï<-ïïî==4）()A **=A An 2- （其中A 是n 阶方阵，2n >）注意 *A 的第(1,2,,)i i n =列元素是A 的第(1,2,,)i i n =行元素在A 的代数余子式.例设A 是3阶方阵，且2A =-,求(1) 1A -；（2）*A ；（3）1*2A A -+.例 A 是3阶方阵,B 是2阶方阵,且2A =-,1B =，则23A OO B=- ；*2A = .例 33A R ´Î，且()**16,det 0,A A =>求2A -例设A 是n 阶方阵，3A =,*A 是A 的伴随矩阵，则1*2A A --= 例设,A B 均为2阶方阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若3,2A B ==则O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为（） A ．**32O A B O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；B.**23O A B O ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；C. **23O B A O ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；D. **32O B A O ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭矩阵的初等行（列）变换1.交换矩阵中某两行（列）对应位置的元素；2.矩阵的某行（列）的元素都乘一个非零数；3.矩阵的某行（列）元素乘一个数加到另一行（列）对应位置的元素上. 定理任何m n ⨯矩阵A 都可以通过若干次初等行变换化为行阶梯形矩阵，进而化为行最简形矩阵. 矩阵的秩设A 是一个m n ⨯矩阵，如果A 中存在r 阶子式不为零，而所有1r +阶子式（如果有的话）全为零，我们称r 为矩阵A 的秩，记为()R A 或秩()A . 注意：（1）()0R A =当且仅当A O =；（ⅱ）()()T R A R A =；（ⅲ）n 阶方阵A 的秩()R A n =的充分必要条件0A ≠；即n 阶方阵A 可逆的充分必要条件为()R A n =. （IV ）矩阵子块的秩不超过矩阵的秩. 定理：初等变换不改变矩阵的秩. 求秩的常用方法1.求矩阵A 的秩：利用矩阵的初等变换将矩阵A 化为阶梯形矩阵，阶梯数即为矩阵A 的秩.2.如果A 是n 阶方阵，0A ≠充分必要条件是()R A n =.求元素含有参数的方阵A 的秩时，先求出0A ≠时的参数取值，此时()R A n =；对于使0A =的参数再特别讨论.例 1111121a A b b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，讨论A 的秩.初等矩阵由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 定理：设A 是m n ⨯矩阵，A 左（右）乘一个m 阶初等矩阵相当于对A 作一次相应的初等行（列）变换.例.已知()33ij A a ´=可逆，将A 的第2列加上第3列的5倍，然后第1列减去第2列的2倍得到B , 求1B A -解：11121511B A 骣骣鼢珑鼢珑鼢珑鼢=-珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑桫桫， 111111211151B A ----骣骣鼢珑鼢珑鼢珑鼢=-珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑桫桫，11111211151B A ---骣骣鼢珑鼢珑鼢珑鼢=-珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑桫桫1112112115151骣骣骣鼢珑鼢珑鼢珑鼢 ==珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑 --桫桫桫. 例．设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）1.C P AP -=（B ）1.C PAP -=（C ）.T C P AP = （D ）.T C PAP = 关于初等矩阵和矩阵秩的一些性质1.()()()R A B R A R B +≤+；2. ()(){}min ,()R AB R A R B ≤3.()()R kA R A =，其中k 为非零数；4.矩阵P ，Q 可逆，则()()R PAQ R A =.5.A 与B 等价当且仅当存在可逆矩阵P 与可逆矩阵Q ，使得PBQ A =.6.n 阶方阵A 可逆当且仅当A 可以写成一些初等矩阵的乘积.7. 设A 是秩为r 的m n ⨯矩阵，则存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆矩阵Q ,使得rEO PAQ O O ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 8. ()()A O R R A R B O B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9. ()ik m n A a ´=, ()kj n s B b ´=，且AB O =,则()()R A R B n +≤ 10. ()()()T T R A R A A R AA ==。

矩阵的点乘和叉乘运算法则

矩阵的点乘和叉乘运算法则
矩阵运算是计算机科学中的一个重要组成部分，它是一个在工程、数学和科学中用于表示空间点、描述空间物体移动和平移等运算的方法。

其中，矩阵的点积和叉乘运算法则也受到许多学者和研究者的关注。

本文将重点详细介绍它们的细节和原理，以及在互联网领域的应用。

矩阵的点乘运算法则是使用规范的矩阵加法运算的特殊形式。

它的具体操作步骤是：首先将两个矩阵的所有元素分别相乘，并将每个相乘的结果相加产生一个新的数字，然后用这个新数字作为输出矩阵的元素，直至最后输出矩阵的全部元素均符合点乘的要求。

矩阵的点乘具有强大的数学性质，可以用来计算矩阵的特征值，并为多维函数的导数求和提供便利，并且在互联网领域有广泛的应用。

矩阵的叉乘运算法则主要用于计算矩阵的向量乘积，也称为外积。

它的具体操作步骤是：将被乘矩阵的每行元素乘以另一个乘矩阵的每列元素，最后把乘积加到输出矩阵中，由此得到最终的叉乘矩阵。

叉乘运算在线性代数中有着广泛的用处，并且在互联网领域也有应用，例如：可用来分析网络用户行为时，可以使用叉乘矩阵算法来挖掘网络用户的真实需求。

通过本文，我们一方面大致了解了矩阵的点乘和叉乘运算法则的操作过程，另一方面也认识到了它们在互联网领域的应用性。

矩阵的乘积运算可以帮助企业更好的处理复杂的数据和算法，从而使得企业在不断变化的互联网环境中更具优势，实现发展和成功。

矩阵的运算及其运算规则

矩阵的运算及其运算规则矩阵是现代数学中的一种重要工具，它在线性代数、图论、物理学等领域中都有广泛的应用。

矩阵的运算是研究矩阵性质和解决实际问题的基础。

本文将介绍矩阵的运算及其运算规则。

（一）矩阵的加法矩阵的加法是指将两个相同大小的矩阵对应位置的元素相加。

假设有两个矩阵A和B，它们的大小都是m行n列，记作A = [aij]m×n，B = [bij]m×n，则矩阵A和B的加法C = A + B定义为C = [cij]m×n，其中cij = aij + bij。

例如，对于矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]和矩阵B = [7 8 9; 10 11 12]，它们的加法结果为C = [8 10 12; 14 16 18]。

矩阵的加法满足以下运算规则：1. 加法满足交换律，即A + B = B + A。

2. 加法满足结合律，即(A + B) + C = A + (B + C)。

3. 存在一个零矩阵0，使得A + 0 = A。

4. 对于任意矩阵A，存在一个相反矩阵-B，使得A + (-B) = 0。

（二）矩阵的数乘矩阵的数乘是指将一个矩阵的每个元素都乘以一个数。

假设有一个矩阵A和一个实数k，记作kA，则矩阵kA定义为kA = [kaij]m×n。

例如，对于矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]和实数k = 2，它们的数乘结果为kA = [2 4 6; 8 10 12]。

矩阵的数乘满足以下运算规则：1. 数乘满足结合律，即k(lA) = (kl)A，其中k和l分别为实数。

2. 数乘满足分配律，即(k + l)A = kA + lA，其中k和l分别为实数。

3. 数乘满足分配律，即k(A + B) = kA + kB，其中k为实数，A和B 为矩阵。

（三）矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B 相乘得到一个m行p列的矩阵C。

假设有两个矩阵A和B，它们的大小分别为m行n列和n行p列，记作A = [aij]m×n，B = [bij]n×p，则矩阵A和B的乘法C = AB定义为C = [cij]m×p，其中cij= ∑(ai1 * b1j)。

线性代数矩阵的基本运算

ai1
⋮
am1
a12 ⋮
ai2 ⋮
am2
⋯ ⋯ ⋯
a1n ⋮
ain ⋮
amn
bb1211 ⋮ bn1
⋯ b1j ⋯ b2 j
⋮ ⋯ bnj
⋯ ⋯
b1s b2s ⋮
=
c11 ⋮ ci1
⋯ bns
⋮ cm1
⋯ c1j ⋮
⋯ cij ⋮
⋯ cmj
⋯
c1s ⋮
⋯
cis
⋮
3 2
=
(1
×
3
+
2
×
2
+
3
×
1)
= (10).
1
例 C = − 2
1
4 2 − 22×2 − 3
4 = − 16 − 32 − 62×2 8 16 2 × 2
2
C2
=
2 3
(1
2) =
2 ×1 2×1 3 ×1
2 × 2 2
2×2 3×2
=
2 3
4 4. 6
例设
A
=
例2（向量的线性变换）
y a′ 在同的坐标平中，向量 a 绕时绕绕绕θ .
确定 a′ 和 a 的坐标的的的关平 .
θα a
O
x
a
=
x y
,
a′
=
x′ y′
.
r = x2 + y2 = x′2 + y′2 . x = r cosα , y = r sinα . x′ = r cos(α +θ ) = r cosα cosθ − r sin α sinθ
= x cosθ − y sinθ .

矩阵乘法和可逆矩阵

矩阵乘法和可逆矩阵1. 矩阵乘法的定义和性质定义2.1 当矩阵A的列数和B的行数相等时,和A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.设 a11 a12⋯ a1nb11b12⋯ b1sc11c12⋯ c1sA= a21 a22⋯ a2n B= b21 b22⋯ b2s C=AB=c21 c22⋯ c2s ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯a m1 am2⋯ amn, bn1bn2⋯ bns, cm1cm2⋯ cms,则cij =ai1b1j+ai2b2j+ ⋯+ainbnj.矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:①矩阵乘法有条件.②矩阵乘法无交换律.③矩阵乘法无消去律,即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A≠0推不出B=C.(无左消去律)由BA=CA和A≠0推不出B=C. (无右消去律)请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.矩阵乘法适合以下法则:①加乘分配律 A(B+C)= AB+AC,(A+B)C=AC+BC.②数乘性质 (c A)B=c(AB).③结合律 (AB)C= A(BC).④ (AB)T=B T A T.2. 乘积矩阵的列向量组和行向量组设A是m⨯n矩阵B是n⨯s矩阵. A的列向量组为α1, α2,⋯ ,αn,B的列向量组为β1, β2,⋯ ,βs, AB的列向量组为γ1, γ2,⋯ ,γs,则根据矩阵乘法的定义容易看出:①AB的每个列向量为:γi=Aβi,i=1,2,⋯,s.即A(β1, β2,⋯ ,βs)=(Aβ1,Aβ2,⋯ ,Aβs).②β=(b1,b2, ⋯,b n)T,则Aβ= b1α1+b2α2+ ⋯+b nαn.应用这两个性质可以得到:如果βi=(b1i,b2i, ⋯,b ni)T,则γi=AβI= b1iα1+b2iα2+ ⋯+b niαn.即:乘积矩阵AB的第i个列向量γi是A的列向量组α1, α2,⋯ ,αn的线性组合,组合系数就是B的第i个列向量βi的各分量.类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数就是A的第i个行向量的各分量.请注意,以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的.(1) 当两个矩阵中,有一个的数字很简单时,直接利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量,从而提高了计算的速度.(2) 利用以上规律容易得到下面几个简单推论:用对角矩阵Λ从左侧乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量; 用对角矩阵Λ从右侧乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.数量矩阵k E乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.(3) 矩阵分解:当一个矩阵C的每个列向量都是另一个A的列向量组的线性组合时,可以构造一个矩阵B,使得C=AB.例如设A=(α,β,γ), C=(α+2β-γ,3α-β+γ,α+2γ),令1 3 -1B= 2 -1 1 ,则C=AB.-1 1 23. n阶矩阵的方幂和多项式任何两个n阶矩阵A和B都可以相乘,乘积AB仍是n阶矩阵.(1)行列式性质 |AB|=|A||B|.(2)如果AB=BA,则说A和B可交换.(3)方幂设k是正整数, n阶矩阵A的k次方幂A k即k个A的连乘积.规定A 0=E.显然A的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则:①A k A h= A k+h. ② (A k)h= A kh.但是一般地(AB)k和A k B k不一定相等!求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂.(3) n阶矩阵的多项式乘法公式设f(x)=am x m+am-1x m-1+⋯+a1x+a,对n阶矩阵A规定f(A)=a m A m+a m-1A m-1+⋯+ a1A+a0E.称为A的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E.一般地,由于交换性的障碍,数的多项式的因式分解和乘法公式对于n 阶矩阵的多项式不再成立.但是如果公式中所出现的n 阶矩阵互相都是交换的,则乘法公式成立.例如当A 和B 可交换时,有: (A ±B )2=A 2±2AB +B 2;A 2-B 2=(A +B )(A -B )=(A +B )(A -B ).二项公式成立: B AC B A -=∑=+1)(等等.前面两式成立还是A 和B 可交换的充分必要条件.同一个n 阶矩阵的两个多项式总是可交换的. 一个n 阶矩阵的多项式可以因式分解. 4. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵) (1) 矩阵方程矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程:(I) AX =B . (II) XA =B .这里假定A 是行列式不为0的n 阶矩阵,在此条件下,这两个方程的解都是存在并且唯一的.(否则解的情况比较复杂.)当B 只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B 有s 列,设 B =(β1, β2,⋯ ,βs ),则 X 也应该有s 列,记X =(χ1, χ2,⋯,χs ),则有A χi =βi ,i=1,2, ⋯,s,这是s 个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而AX =B 有唯一解.这些方程组系数矩阵都是A ,可同时求解,即得 (I)的解法:将A 和B 并列作矩阵(A |B ),对它作初等行变换,使得A 变为单位矩阵,此时B 变为解X . (A |B )→(E |X )(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:A T X T =B T .再用解(I)的方法求出X T ,转置得X .. (A T |B T )→(E |X T )矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解.(2) 可逆矩阵的定义与意义定义设A 是n 阶矩阵,如果存在n 阶矩阵B ,使得AB =E , BA =E ,则称A 为可逆矩阵. 此时B 是唯一的,称为A 的逆矩阵,通常记作A -1.如果A 可逆,则A 在乘法中有消去律:AB=0⇒B=0；AB=AC⇒B=C.(左消去律)；BA=0⇒B=0；BA=CA⇒B=C. (右消去律)如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):AB=C⇔B=A-1C. BA=C⇔B=CA-1.由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:(I) AX=B的解X=A-1B .(II) XA=B的解X= BA-1.这种解法想法自然，好记忆,但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3) 矩阵可逆性的判别与性质定理 n阶矩阵A可逆⇔|A|≠0.证明“⇒”对AA-1=E两边取行列式,得|A||A-1|=0,从而|A|≠0. (并且|A-1|=|A|-1.) “⇐”因为|A|≠0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯一解.设B,C方便是它们的解,即AB=E, CA=E. 事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得到A可逆.推论如果A和B都是n阶矩阵,则AB=E⇔BA=E.于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.可逆矩阵有以下性质:①如果A可逆,则A-1也可逆,并且(A-1)-1=A.A T也可逆,并且(A T)-1=(A-1)T.当c≠0时, c A也可逆,并且(c A)-1=c-1A-1.对任何正整数k, A k也可逆,并且(A k)-1=(A-1)k.(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(A k)-1=(A-1)k.)②如果A和B都可逆,则AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.)(4) 逆矩阵的计算和伴随矩阵①初等变换法当A可逆时, A-1是矩阵方程AX=E的解,于是可用初等行变换求A-1:(A|E)→(E|A-1)这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多.②伴随矩阵法若A是n阶矩阵,记A ij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的伴随矩阵为A11 A21⋯ An1A*= A12 A22⋯ A n2 =(A ij)T.⋯⋯⋯A 1n A2n⋯ Amn请注意,规定n阶矩阵A的伴随矩阵并没有要求A可逆,但是在A可逆时, A*和A-1有密切关系.基本公式: AA*=A*A=|A|E.于是对于可逆矩阵A,有A-1=A*/|A|, 即A*=|A|A-1.因此可通过求A*来计算A-1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵a b * d -bc d = -c a ,因此当ad-bc≠0时,a b -1 d -bc d = -c a (ad-bc) .伴随矩阵的其它性质:①如果A是可逆矩阵，则A*也可逆，并且(A*)-1= A/|A|=(A-1)*.② |A*|=|A|n-1. ③ (A T)*=(A*)T. ④ (c A)*=c n-1A*.⑤ (AB)*=B*A*；(A k)*=(A*)k.⑥当n>2时,(A*)*=|A|n-2A；n=2时,(A*)*=A.。

矩阵乘积的运算法则的证明

矩阵乘法的法则

线性代数与矩阵的运算法则

标准矩阵乘法

矩阵元素相乘

三阶矩阵乘法

矩阵的基本运算法则

矩阵乘法的定义及其性质

矩阵乘积的行列式与秩

矩阵的运算

矩阵的基本运算法则

二阶矩阵的乘法运算法则

矩阵的基本运算与性质

矩阵运算与特征值问题解答

第9节矩阵的运算(2)

矩阵及其运算

矩阵的点乘和叉乘运算法则

矩阵的运算及其运算规则

线性代数 矩阵的基本运算

矩阵乘法和可逆矩阵

线性代数矩阵的基本运算