分子平均碰撞次数和平均自由程
4-4 气体分子碰撞和平均自由程
单原子
i3
刚性双原子 i 5
刚性多原子 i 6
3.能均分定理
在温度为T 的平衡态下, 物质分子的每一个
自由度都具有相同的平均动能, 其大小为 1 kT. 2
4.每个分子的平均总动能
i kT
2 5.1mol 理想气体的热力学能
i
i
E0 N 0(2 kT ) 2 RT
6.质量为M 的理想气体的热力学能
所以
Z 2 d 2vn
上式表明
平均碰撞次数与分子数密度,分子平均速 率成正比,也是与分子的直径的平方成正比.
把 Z 2 d 2vn代入
得
上式表明
vt v Zt Z
1
2 d 2n
平均自由程与分子碰撞截面、分子数密度 成反比,而与分子平均速率无关。
因为 所以
p nkT
kT
2 d 2 p
上式表明
kT
2 d 2 p
当气体的温度给定时,气体的压强越大 (即气体越密集),分子的平均自由程越短; 反之,若气体压强越小(即气体越稀薄),分 子的平均自由程越长.
4.4.3 例题分析
例1 求在标准状态下,空气分子的平均自由程、 平均速率及平均碰撞次数.(已知空气的平均摩 尔质量为 2910-3kg·mol-1, 空气分子的有效直 径为3. 5 10-10m).
上式表明
分子间碰撞越频繁,平均自由程越小。
(1) 假设分子中只有一个分子A以平均速 率 v 运动,其余分子都静止不动。 请看动画演示
这样,凡是中心与
A分子中心的距离小
于或等于有效直径d
A
dd
的分子,都要与A分子
相碰。
平均碰撞频率平均自由程例题
气体分子的平均自由程例题2Z n σ=v 处于平衡态的化学纯理想气体中分子平均碰撞频率为气体分子平均自由程σλn 21=例:空气分子有效直径为3.5×10-10m 。
估计在标准状况下空气分子的平均碰撞频率、平均自由程。
5253231.01310 2.710m 1.3810273p n kT --⨯===⨯⨯⨯2912π 6.510s Z n d -==⨯v 解:数密度标准状况下空气分子平均速率为3888.31273446m /s π 3.142910m RT M -⨯⨯===⨯⨯v 平均碰撞频率标准状态下,1秒钟内,一个空气分子平均要与周围分子碰撞六十亿次。
平均自由程86.910m z λ-==⨯v d200≅λ可见标准状况下m 79.71021.3)103(π2117210=⨯⨯⨯=-317233m 1021.33001038.11033.1---⨯=⨯⨯⨯==kT p n 真空管的线度为 10-2 m ,其中真空度为 1.33× 10-3 Pa 。
设空气分子的有效直径为 3×10-10 m 。
27℃ 时单位体积内的空气分子数、平均自由程、平均碰撞次数 。
解例求n d 21π21=λ由气体的状态方程, 有27.79m 10m->>所以此时空气分子的平均自由程为210m λ-=在这种情况下气体分子相互之间很少发生碰撞,只是不断地来回碰撞真空管的壁。
414.6810s Z λ-==⨯v m/s 7.468π8==M RT v 11160.17s Z λ-==v ★ 气体容器线度小于平均自由程计算值时,实际平均自由程就是容器线度的大小。
(10-1 ~ 10-5 Pa 高真空)λ>>L例:混合理想气体:,A B r r ,A B m m ,A B n n T求:A 分子总的平均碰撞频率? B 分子总的平均碰撞频率? 各自的平均自由程?解:A AA ABZ Z Z =+2822π(2)πAA A A A A A AkT Z n n r m σ==⋅v AB B AB ABZ n σ=v 228()()πAB A B kT μ=+=v v v A B A B m m m m μ=+221π()π()4AB A B A B d d r r σ=+=+228842π()ππA A A A B B A kT kT Z r n r r n m πμ=⋅++228842π()ππB B B A B A B kT kT Z r n r r n m πμ=⋅++A A A Z λ=v B B BZ λ=v谢谢大家!。
《物理学教学课件》7-5碰撞频率和平均自由程
在气体分子运动论中,平均自由程表示气体分子在连续两次碰撞之间所经过的平均距离。 通过研究平均自由程,可以深入理解气体分子的扩散和输运过程。
热力学第二定律
热传导
在热力学第二定律中,热传导是热量自发地从高温物体传递到低温物体的过程。 通过研究气体分子碰撞频率和平均自由程,可以深入理解热传导的微观机制和 热能传递的规律。
应用
在计算气体分子的平均速度、扩散系 数等物理量时,需要用到平均自由程 。
平均自由程的影响因素
分子间的相互作用力
分子间的相互作用力决定了碰撞 频率,进而影响平均自由程的大 小。
分子质量
较轻的分子具有较长的平均自由 程,因为它们受到的空气阻力较 小。
气体温度
气体温度越高,分子热运动越剧 烈,碰撞频率越高,平均自由程 越短。
、压力等实验条件的关系。
实验结果与数据分析
实验结果
通过实验,获得气体分子的碰撞 频率和平均自由程数据。
数据分析
分析碰撞频率和平均自由程与温度、 压力等实验条件的关系,得出气体 分子运动和相互作用的规律。
结果讨论
根据实验结果,讨论碰撞频率和平 均自由程在气体分子扩散、传递过 程中的作用,以及在实际应用中的 意义。
粘性流动
粘性流动是气体在流动过程中由于分子间的内摩擦力而产生的阻力。通过研究气 体分子碰撞频率和平均自由程,可以进一步了解粘性流动的微观机制和气体流动 的规律。
Part
05
实验研究
实验目的与原理
实验目的
通过实验研究,掌握碰撞频率和平均自由程的概念,理解气体分子碰撞和扩散的基本原理。
实验原理
气体分子在容器内不断进行碰撞,其碰撞频率与气体分子的密度、温度和分子间的相互作用力有关。分子在两次 碰撞之间的平均距离称为平均自由程。通过测量容器内气体分子的碰撞频率和平均自由程,可以深入了解气体分 子运动和相互作用的规律。
§1.7 分子的碰撞频率与平均自由程
8kT 已知 va m
则
分子与器壁的碰撞频率为
n vx dA kT n '' 2 vx n z 2 m 2 dA
8
n vx dA kT n '' 2 vx n z 2 m 2 dA
已知
''
pV NkT
或
p n kT
p z 2 mkT
p z L 2 MRT
9
z ''
分子的隙流 气体分子通过小孔向外流出称为隙流 隙流速度为
kT RT p v n n 2 m 2 M 2 mkT
'
v MB MA v
10
' A ' B
ห้องสมุดไป่ตู้
0
m m 2 vx dvx vx exp 2 kT 2kT m m 2 vx dvx exp 2 kT 2kT
1 2
1 2
0
7
vx
v dn dn
0 x 0
vx
vx
2kT m
z d
2 AB
8RT
nA nB
6
分子与器壁的碰撞频率
速率在 vx vx dvx 的分子数
已知
vx
dn(vx ) nf (vx )dvx m m 2 f (vx ) exp vx 2 kT 2 kT vx dnvx
0
0
dnvx
分子的运动方向相反,其相对速度为 分子以90°角碰撞
平均碰撞频率和自由程
(1)
dS V
V2 d V pdV V2 R R ln 0 V 1 T V V1
20
实际气体的性质
一. 实际气体的等温线
实际气体的等温线 可以分成四个区域
汽态区(能液化) 汽液共存区 液态区 气态区(不能液化)
CO 2 等Байду номын сангаас线
从图中的曲线可知
只有在较高温度或低的 压强时,CO2气体的性 质才和理想气体相近。
u 运动,其它分子都看作静止不动。
3
单位时间内与分子 A · 发生碰撞的分子数为 平均碰撞频率为 ·
n π d 2u
Z n π d 2u
考虑到所有分子实际上都在运动,则有 u ·
2v
Z 2 nπ d 2v
用宏观量 p 、T 表示的平均碰撞频率为
p p 2 8 RT Z 2 nπ d v 2 πd kT πM T
a ( p 2 )(v b ) RT v
任意质量气体的范德瓦尔斯方程为
m2 a m m ( p 2 2 )(V b ) RT M V M M
24
三 范德瓦尔斯等温线
从图中看出范德瓦尔斯 ·
等温线与实际气体等温 线颇为相似。
在临界等温线以上,二 · 者很接近,并且温度愈 高二者愈趋于一致。但 在临界等温线以下,二 者却有明显的区别。 尽管范德瓦尔斯方程能 · 较好地反映实际气体的
2
4
二. 分子的平均自由程
分子在连续两次碰撞之间自由运动的平均路程,称为分子 的平均自由程。
v 1 λ 2 Z 2πd n
用宏观量 p、T 表示的分子平均自由程为
k T T λ 2 2π d p p
分子的平均碰撞频率和平均自由程
第21讲 分子的平均碰撞频率和平均自由程 习题课教学要求理解气体分子的平均碰撞次数及平均自由程。
重点与难点重点:分子的平均碰撞次数及平均自由程。
难点:分子的平均碰撞次数及平均自由程。
7.7 分子的平均碰撞频率和平均自由程气体分子无规则热运动,频繁碰撞。
每个分子在两次碰撞之间自由行进多长的路径和用多长时间完全是偶然的、不确定的(如图7-10)。
但对大量分子,从统计的角度看,每个分子在单位时间内与其它分子平均碰撞多少次和平均自由行进多少路径却是有规律的。
7.7.1 平均碰撞频率z平均碰撞频率z 就是对于处于平衡状态下的大量气体分子组成的系统,一个分子单位时间内与其它分子的平均碰撞次数。
根据简化的气体分子模型,同种气体分子中每个分子都是直径为d 的刚性球,设想跟踪一个气体分子A ,为简化计算起见,首先假定其它分子不动,A 分子以平均相对速率u 接近其它分子,那么1秒内有哪些分子能与A 分子相碰呢?在A 分子运动过程中,它的质心轨迹是一条折线abce , 凡是其它分子的质心离开此折线的距离小于或等于分子有效直径d 的,都将与A 分子相碰(图7-11)。
如果以1秒内A 分子质心运动轨迹为轴,以分子有效直径d 为半径作一圆柱体(该圆柱体体积为2πd u )。
质心在该圆柱体内的分子都将与A 分子相碰。
设n 为分子数密度,则该圆柱体内的分子数为2πn d u ,亦即1秒内A 分子与其它分图7-10气体分子的碰撞e子发生碰撞的平均次数。
所以平均碰撞频率2πZ n d u =式中,,2πd σ=称为分子的碰撞截面。
考虑所有分子同时以平均速率υ运动,分子间平均相对运动速率为υ2=u , 故2Z d n υ=(7-23)上式表明,分子热运动平均碰撞频率与分子数密度n 、分子平均速率υ成正比,也与分子碰撞截面σ或分子有效直径d 的平方成正比。
7.7.2 平均自由程 λ平均自由程 λ 就是在平衡状态下,一个分子在连续两次碰撞之间所经过的路程的平均值。
11.4-11.6 麦克斯韦速率分布规律 麦克斯韦-波尔兹曼分布律、分子平均碰撞次数和平均自由程
1)
v
vp
Nf
(v)dv
2)
vp
1 2
mv 2
Nf
(v)dv
例 如图示两条 f (v) ~ v 曲线分别表示氢气和
氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线, 从图
上数据求出氢气和氧气的最可几速率 .
f (v) O2
H2
vp
2RT M mol
M mol (H2 ) M mol (O2 )
469.1m / s
由公式
v2 3RT M mol
v2
38.31 300 29 103
507.1m
/
s
例 已知分子数 N ,分子质量 m ,分布函数
f (v) 求 1) 速率在vp ~ v 间的分子数; 2)速率
在 vp ~ 间所有分子动能之和 .
解:速率在v v dv 间的分子数 dN Nf (v)dv
N
dN
0
dN
f ()d
N
0N 0
8kT 8RT 1.60 RT
m
M mol
M mol
3
2dN
0
2
f
(
)d
N
0
或由w 1 m2 3 kT
2
2
可得 2 3kT
v1~v2
v2 f ()d
v1
v2 f ()d
v1
v v1~v2
v2 vf (v)dv
v1
对于v的某个函数g(v),一般地,其平均值可以表示为
理想气体的平均自由程和碰撞频率
思考题
1、容器内储有一定量的气体,保持容积不变, 使气体温度升高,则分子的平均碰撞频率和平均自 由程各怎样变化?
2、理想气体定压膨胀时,分子的平均自由程和 平均碰撞频率与温度的关系如何?
分子的碰撞截面 =3.85 ×10-15 cm2 ,求在标准状态下,
空气分子的平均自由程和平均碰撞频率。
解: 标准状态下 T 273K p 1.013105 Pa kT kT 6.83108 m 2 d 2 p 2 p
v 8RT 446m s1
M
Zv
446 6.83108
6.53109 s1
t
考虑其它分子的运动,由统计理论可知: u 2 v
Z 2 d 2nv
vZ
一秒钟内分子走过的平均路程为 v
一秒钟内与其它分子发生碰撞的平均次数为 Z
平均自由程 v
Z
1 2 d 2n
p nkT
kT
2 d 2 p
——平均自由程与压强的关系
例题:已知空气的摩尔质量为 M= 29 ×10-3 kg·mol-1
2、只有一个分子A 在运动,其它分子都认为是静
止不动的,且A 运动的相对速率为 u 。
t 时间内A分子走过的路程为: s ut
V d2 u t
在体积V 内的所有 其它分子在t 时间 内都与A 碰撞 设分子数密度为n
A 分子在t 时间内与其它分子碰撞的次数: n d 2u t
分子平均碰撞频率
Z n d 2ut n d 2u
❖平均自由程 mean free path :
分子在连续两次碰撞之间所经过的自由程的平均值。
❖平均碰撞频率 mean collision frequency Z : 单位时间内一个分子和其它分子碰撞的平均次数。
第9章热学(93)平均自由程与碰撞频率_能均分定理
1mol 理想气体内能:
ii Emol NA 2 kT 2 RT
质量为m,摩尔质量为M的理想气体内能:
结论:
E
m M
Emol
m M
i RT 2
理想气体的内能只是温度的单值函数。
内能的改变量: E m i RT M2
例4 容器内有某种理想气体,气体温度为273K,压 强为1.013×103 Pa ,密度为1.24×10-2 kg·m-3。试求: (1) 气体分子的方均根速率; (2) 气体的摩尔质量,并确定它是什么气体; (3) 气体分子的平均平动动能和平均转动动能各是
RT p
12.824110032kg18..m0311o3l)或一氧化碳(CO)气体
(3)分子的平均平动动能:
3 kT 3 1.381023 273J 5.61021J 22
分子的平均转动动能:
2 kT 1.381023 273J 3.7 1021J
k
i 2
kT
“i”为分子自由度数
i3
k
3 2
kT
刚性双原子分子: i 5
k
5 2
kT
刚性多原子分子: i 6
k
6 2
kT
说明:能量均分定理是一个统计规律,是在平衡态下
对大量分子统计平均的结果。
3-4 理想气体的内能
内能: 气体中所有分子的动能和分子间相互作用势能
的总和。
理想气体内能:气体中所有分子的动能。
多少?
(4) 单位体积内分子的平动动能是多少? (5) 若气体的物质的量为0.3 mol,其内能是多少?
解:(1)气体分子的方均根速率为
v2 3RT
由物态方程 pV m RT
3.5气体分子平均自由程
4. 1/ 4. 1/ 4 . 4.
f(v) a b
p O 2
p O 2
O
1
4
v
p O 2
p H 2
2. 一瓶氦气和一瓶氮气密度相同,分子平均平动动能相同,而且它们 平均动能 都处于平衡状态,则它们 (A) 温度相同、压强相同. (B) 温度、压强都不相同.
(C) 温度相同,但氦气的压强大于氮气的压强. (D) 温度相同,但氦气的压强小于氮气的压强.
例:标况下பைடு நூலகம்气分子的平均自由程:
v 446 m 6.9 108 m 9 Z 6.5 10
与分子直径3.5×10-10m相比,标况下是其d的200倍。
第二章复习小结
一、概率的基本性质及求平均值的方法 1等概率性
2运算法则
3平均值公式 4概率分布函数
二、麦克斯韦速率、速度分布
1两种分布曲线 2三种统计速率 3速度空间、代表点 三、重力场中自由粒子分布、等温大气压强公式
3. 在一容积不变的封闭容器内理想气体分子的平均速率若提高为原来 的2倍,则 (A) 温度和压强都提高为原来的2倍.
(B) 温度为原来的2倍,压强为原来的4倍.
(C) 温度为原来的4倍,压强为原来的2倍. (D)温度和压强都为原来的4倍. 4.
5. 压强为p、体积为V的氢气(视为刚性分子理想气体)的内能为(
v v12 2 作如下近似: v12 v1 2 2 v2 v 2
2 12 2
v12 2 v
3、分子平均自由程
平均自由程▬▬分子两次碰撞之间所走过的平均路程。
Z 2nv
vt 1 kT 2n 2 p Zt
上式表明:自由程与平均速率无关,但与n成反比,若T不变, 则与p成反比。 说明:分子平均自由程主要应用于解释输运现象及经典物理量 的近似估算。
6-7气体分子的平均自由程
打开一瓶香水,要经历一定的时间几米以外的地方才 能闻到香水味?
v 1.60
RT
8.31 300 1.60 470 m / s 3 29 10
1
1 引言
克劳修斯指出:分子速率虽高,但分子在运动过程中还要和 大量的分子碰撞,所走的轨迹非常曲折。气体分子要从一个 地方运动到另外一个地方需要较长的时间才能到达。
3
4 平均碰撞频率的推导
作一半径为 d ,中心折线长 度为 u 1 的弯曲圆柱体 显然,有离折线距离小 于分子直径的分子将和 该分子碰撞。 即弯曲圆柱体内所有的分 子都将与该分子碰撞。 弯曲圆柱体的体积 问题转化为求弯曲圆柱体 内的分子数 分子的平均碰撞频率
V d u
2
弯曲圆柱体的体积内的分子数
分子间的碰撞也是“无规则” 的,相隔多长时间碰撞一次,每 次飞翔多远才碰撞,也都是随 机的、偶然的,因此也只能用 一些平均值来描述。
2
2 碰撞模型
1 分子为刚性小球 ; 2 分子有效直径为d -- 分子直径的平均值; 3 其它分子皆静止,某一分子以平均速率 u 相对其他分子运动。
3 平均自由程
自由程:分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程。 分子平均自由程:每两次连续碰撞之间,一个分子自由运 动的平均路程。 分子平均碰撞次数:单位时间内一个分子和其它分子碰撞 的平均次数。
为什么压强下降,平均自由程增大呢?
7
Z nd u
2
4
N nd 2 u
4 平均速率和相对平均速率的关系
平均而言
u 2v
u0
2
u 2v
分子的平均碰撞频率
Z nd u
气体分子的平均碰撞频率和平均自由程
气体动理论
第9讲 气体分子的平均碰撞频率 和平均自由程
一、分子的平均碰撞频率
平均碰撞频率和平均自由程
平衡态宏观性质的维持 非平衡态向平衡态过渡
依靠分子间的频繁碰撞实现
刚性球 模型
不可以像讨论压强那样 将分子看成质点
不需像讨论内能那样考 虑分子内部结构
分子的有效直径 d 约为10-10 m
无引力刚 性球模型
=
1.013×105 1.38×10−23 × 273
=
2.69 ×1025 m−3
λ = 1 = 2.14 ×10−7 m 2π d 2n
z = v = 7.95×109 s−1
λ
(约80亿次)
平均碰撞频率和平均自由程
d d
假定: 分子是直径为d 的弹性小球
分子A以平均相对速率 u 运动, 其他分子静止 由麦克斯韦速率分布可证 u = 2 v
球心轨迹为轴, d 为半径作折圆柱体
平均碰撞频率和平均自由程
d d
球心在圆柱体内的分子将与A碰撞
单位时间内有 πd 2u n 个分子与A发生碰撞
平均碰撞频率: z = 2π d 2nv
• 当温度一定时,平均自由程与压强成反比,压强越小,平 均自由程越长.
平均碰撞频率和平均自由程
例. 求氢在标准状态下一秒内分子的平均碰撞次数. (已知 分子直径d = 2×10-10m )
解:
v=
8RT =
Mπ
8×8.31× 273
2 ×10−3π
= 1.70 ×103 m ⋅ s−1
n
=
P kT
二、平均自由程平均碰撞频率平均自由程平均自由程( λ ): 分子在连续两次和其它分子发生碰撞
第三讲 平均碰撞频率与平均自由程
5.试以气体为例,用分子热运动观点对内摩擦、 热传导、扩散现象做出微观定性解释。
答案
—— 热学 ——
真实气体 范德瓦斯方程
作业
P149:1.26
预习 第二章 1、2、3、4节
—— 热学 ——
气体分子的平均自由程
1、粘滞现象
河流中水流的流速分布:
河岸
河流 u
河岸
f
u2
下层对上层的阻力
u1
f
上层对下层的作用力
—— 热学 ——
真实气体 范德瓦斯方程
各层气流的流速不同 相邻两层气流之间产生阻碍气体流动的阻力 ——称为粘性力。(这种现象称为内摩擦现象)
du -----速度梯度 dy
平均碰撞频率
z
平均自由程
平均速率
—— 热学 ——
λυ z
气体分子的平均自由程
(实际上其它分子也在运动)
平均相对速率 u 2υ 分子有效直径:d
—— 热学 ——
气体分子的平均自由程
d
u u
d
A
d
引入: 碰撞截面
d 2
结论: z 2σnυ
1
kT
λ
2σn 2πd 2 p
注:实际平均自由程可能与容器线度有关。
迁移现象产生的原因: 流速、温度、密度不均匀
无外界干预时,系统要从非平衡态自发地向平衡态 过渡。亦称输运过程。 讨论气体在非平衡态下的三种特殊过程。 即:三种迁移现象:
粘 滞 现 象 ——分子动量迁移; 热 传 导 现 象——分子能量迁移; 扩 散 现 象 ——分子密度迁移;
—— 热学 ——
07-8自由程(新)
λ= 1 2πd n
2
Байду номын сангаас
由气体的物态方程 (压强公式):
p=n k T kT 2πd p
2
λ=
当气体的温度给定时,气体的压强越大(即气体分 子越密集)分子的自由程就越短。相反气体的压强 越小(即气体分子越稀疏)分子的自由程就越长。
在标准状态下,气体的平均碰撞次数为109(S-1)
即一个分子在一秒内与其它分子发生几十亿次碰撞
1 2
值以下时,才能起到保温作用?(设空气分子的有效直径d为: 3.0×10-10m,两壁之间的温度=周围空气温度的平均值)。
分析:只有当气体分子的平均自由程>杜瓦瓶
两壁之间间距时,才能起到保温作用。
即: λ =
kT 2πd p
2
≥ (R-R )
2 1
p≤
kT 2 = ×30 . × 2π d(R-R ) 2 ×314 10 × 0.01 .
·
气体分子由一处移动到另一处的过程中,会不断地和其它 分子碰撞,分子是迂回曲折前进的。因此气体的扩散、热传 导过程进行的快慢取决于分子之间相互碰撞的频繁程度。
气体分子平均碰撞次数(平均碰撞频率)Z
一个气体分子在单位时间内 和其它分子碰撞的平均次数
气体分子平均自由程 λ
一个气体分子和其它分子每两次 连续碰撞间自由运动的平均路程 一.气体分子平均碰撞次数(平均碰撞频率)Z
m
2 2
mol
4
8
5
= 0.71 (s-1)
( 本题结束 )
例题:一定量的理想气体储于体积不变的容器中,已知
该气体的初态温度为T 、平均速率为v 、平均碰撞频率 为z 、平均自由程为λ ,当温度升高为4T 时,这些物理 量分别为T 、 v 、z 、λ。 求: (1) v (2) λ (3) z z v λ
气体分子的平均自由程
径及分子数密度有关。
在标准状态下,多数气体平均自由程 ~10-8m,
只有氢气约为10-7m。一般d~10-10m,故 d
。可求得Z ~109/秒。
每秒钟一个分子竟发生几十亿次碰撞!
设想在z=z0处有一界面dS,实验指出dt时间内通 过dS沿z轴方向传递的热量为
叫做导热系数
dQ dT dSdt
dz z0
微观机制(只讨论气体)
气体内的热传导在微观上是分子在热运动中输
运热运动能量的过程。
根据分子运动论可导出
1 3
nmvcV
假设:其他分子静止不动,只有分子A在它
们之间以平均相对速率 u 运动。
分子A的运动轨迹为一折线 u 2 v
以A的中心运动轨迹(图中虚线)为轴线,以 分子有效直径d为半径,作一曲折圆柱体。凡 中心在此圆柱体内的分子都会与A相碰。
平均自由程为
1 1 2n 2d 2n
P nkT kT 2d 2 P
平均自由程 和平均碰撞频率 的Z定义
平均自由程 在一定的宏观条件下一个气体分子在连续两
次碰撞之间所可能经过的各段自由路程的平均值。 平均碰撞频率 z
一个分子在单位时间内所受到的平均碰撞次数。
二者关系 Z
v Z
平均自由程 和平均碰撞频率 Z的计算
设想:跟踪分子A,看其在一段时间t内与 多少分子相碰。
分子动理论 分子平均碰撞次数和自由程
n vt
平均碰撞次数 n vt
Z t
斯韦分布率,对上式加以修正后, 得
n v
Z 2vn 2d vn
2
3 – 6
分子平均碰撞次数和平均自由程
第三章气体动理论
分子平均碰撞次数
Z 2 π d vn
p nkT
平均自由程
平均自由程与平均 2 速率无关,与分子有效直 径及分子数密度有关。
3 – 6
分子平均碰撞次数和平均自由程
2
第三章气体动理论
圆柱体的截面积为 = d
,叫做分子的碰撞截面。
在t内,A所走过的路程 为 vt ,相应圆柱体的 体积为 vt ,设气体 d A 分子数密度为n。则 中心在此圆柱体内的分子 总数,亦即在t时间 修正:对于实际气体,各个分子 内与A相碰的分子数为 都在运动,且运动速率服从麦克
3 . 其它分子皆静止, 某一分子以平均速率相对其他 分子运动 .
3 – 6Biblioteka 分子平均碰撞次数和平均自由程
第三章气体动理论
假设只有一个分子以平均速度运动,其余分子看 成不动。分子A的运动轨迹为一折线,以A的中心运动 轨迹为轴线,以分子有效直径d 为半径,作一曲折圆 柱体。凡中心在此圆柱体内的分子都会与A相碰。
,
Z 2d
,
,
2
8RT p 16R d 2 p M mol kT k T
kT 2d 2 p
,
(1)Z1
Z0 2
1 20 (2)Z1
2Z0
1 2 0 2
3 – 6
分子平均碰撞次数和平均自由程
第三章气体动理论
例 试估计下列两种情况下空气分子的平均自 由程 :(1)273 K、1.013 105 Pa 时 ; ( 2 ) 273 K 、 103 P a 时. 1.333 (空气分子有效直径 : 3.101010 m ) d 解
物理-玻尔兹曼分布律 气体分子平均碰撞频率与平均自由程 准静态过程
能量守恒定律:自然界一切物质都具有 能量,能量有各种不同的形式,能够从 一种形式转化为另一种形式,从一个物 体传递给另一个物体,在转化和传递中 能量的数值不变。
§2.1 准静态过程
§2.1.1 准静态过程
(热力学)过程:系统从一个平衡 态向另一个平 衡态的过渡
§1.5.2 分子在势场中的分布
§1.5.3 重力场中分子按高度分布
令 轴竖直向上, 处
,
则高度 处单位体积内的分子数为
§1.5.3 重力场中分子按高度分布
➢ 分子数随 z 增加而减小,减小的快慢与
温度和质量有关 ➢恒温气压公式——高度计 设温度不随高度变化
§1.7
气体分子平均碰撞频率 和平均自由度
§1.5 Boltzmann分布率
§1.5.1 Boltzmann分布率
与分子平动能有关 气体分子处于外力场中还具有与坐标有关的势能
总能量
§1.5.1 Boltzmann分布率 速度在区间 位置在区间
分子数目为处单位 体积内的分子数Boltzmann因子
§1.5.2 分子在势场中的分布
对所有速度区间积分,可得粒子在势场中按坐标 的分布
§2.1.1 准静态过程
Tl
Tl dT
Th
Tl 2dT
§2.1.1 准静态过程
§2.1.1 准静态过程
§2.1.1 准静态过程
平衡态可由一组状态参量的一组取值唯一确定, 一个平衡态在状态参数空间中可以用一个点表示。
准静态过程可以用状态参量的连续变化描述,在 参数空间中由一条连续曲线表示。
§1.7.3 气体分子平均相对速率
§1.7.3 气体分子平均相对速率
分子平均碰撞次数和平均自由程
1
• 分子平均自由程:每两次连续碰撞之 间,一个分子自由运动的平均路程. • 分子平均碰撞次数:单位时间内一个 分子和其它分子碰撞的平均次数.
2
简化模型 (1) 分子为刚性小球 .
(2) 分子有效直径为 d(分子间距平均值).
(3) 其它分子皆静止,某分子以平均速率u
(空气分子有效直径 d3.101010m)
解
kT
2 πd2p
7
相对其它分子运动 .
3
单位时间内平均碰撞次数:Z πd2un
4
考虑其它分子 的运动 :
u 2v
• 分子平均碰撞次数 Z d2 vn
5
• 平均自由程 p nkT
v
z
1 2π d2n
kT 2π d 2 p
T 一定时 1
p
p 一定时 T
6
例 试估计下列两种情况下空气分子的 平均自由程:(1)273 K、1.013 105 Pa 时; (2) 273 K 、1.333 103Pa 时.
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12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
热运动分子之间 频繁碰撞 分子的运动路径 曲折复杂 自由程 : 分 子两次相邻碰 撞之间自由通 过的路程 .
第十二章 气体动理论
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
简化模型
(1) 分子为刚性小球 .d (2) 分子有效直径为 (分子间距平均值). (3) 其它分子皆静止,某分子以平均速率 u 相对其它分子运动 .
第十二章 气体动理论
12-8 分子平均碰撞次数和平均自由程
碰撞时两分子质心距离的平均值称为
分子的有效直径
平均碰撞频率:分子在单位时间内与其它分子碰撞的平均次数称 碰撞频率的倒数为 相邻两次碰撞时间
分子在与其它分子的相邻两次碰撞之间所经历路程的平均值为
平均自由程
为分子的平均速率
可联系
进行估算
第十二章 气体动理论
3、理想气体的内能
1 mol 理想气体的内能 1 i E N A N Ai kT RT 2 2
( R N Ak )
理想气体的内能
m' i i E RT RT M 2 2
m' ( 为气体的摩尔数 ) M
试指出下列各式所表示的物理意义
1 3 i i m i (1) kT , (2) kT , (3) kT , (4) RT , (5) RT 2 2 2 2 M2
12-8 分子平均碰撞次数和平均自由程
平均自由程
若能找出
与
的关系,则
可求
设分子 的碰撞路径ABCD长度
设气体分子数密度
则柱内分子数为
平均碰撞频率
质心在半径为 、长度为 的圆柱 体内的分子都会与 相碰。
其中
称为碰撞截面 但其它分子也在运动
先假设其它分子静止 第十二章 气体动理论
要作相对速率修正
12-8 分子平均碰撞次数和平均自由程
2kT 2 RT vp m M
vp v v
2
试说明下列各式所表示的物理意义
(1) f ( )d , (2) Nf ( )d , (3) (5)
2
1
f ( )d , (4)
2
1
Nf ( )d
2
1
1 m 2 Nf ( )d , 2
五、分子平均碰撞次数与平均自由程
2 x
定义
为大量 气体分子的平均平动动能
气体的宏观量压强,是大量气体分子作用于器壁的平均冲 力,由微观量的统计平均值 和 决定。 2、温度T 2 2
宏观可测量量
微观量的统计平均
三、能量均分定理 理想气体内能
1、自由度
分子能量中独立的速度和坐标的二次方项的数目。用符号i 表示. 自由度数目
10 d 3 . 10 10 m) (空气分子有效直径
解
1
kT 2 2 πd p
1.38 1023 273 m 8.71108 m
2π (3.10 1010 ) 2 1.013 105
1.381023 273 2 m 10 2 3 2π (3.1010 ) 1.33310 6.62 m
i t r v
单原子分子: i=3 ; 刚性双原子分子: i=5 ; 非刚性双原子分子: i=7 .
2、能量均分定理
理想气体处于平衡态时, 分子任何一个自由度的平均能量都 相等, 均为kT/2. 即, 对于理想气体分子, 能量按自由度平均分配.
1 (t r ) kT 2
请大家理解并记住单原子和刚性双原子及非刚性双原子分子的各个自 由度和总自由度. 并能上式计算分子的平均能量.
2、麦克斯韦速度分布函数
f ( v)
dS
m f ( v) 4 π ( 2πkT
mv 2 32 ) e 2 kT
v2
S
o
v v dv
v
1
v2
v
3、三种统计速度(的物理意义)
(1)方均根速率 (2)平均速率 (3)最概然速率
vrms v
2
3kT m
3RT M
kT RT v 1.60 1.60 m M
平均自由程
平均碰撞频率
相对速率修正
证明略
1 T 一定时 p p 一定时 T
若 恒定 则
第十二章 气体动理论
12-8 分子平均碰撞次数和平均自由程
例 试估计下列两种情况下空气分子的平 均自由程:(1)273 K、1.013 105 Pa 时; 3 (2) 273 K 、1.333 10 Pa 时.
pV NkT
pV N AkT RT
N p kT nkT V
N mN m' N A mN A M
二、热力学量 压强和温度的统计意义
1、理想气体压强公式
2 1 2 1 2 2 p nm nm n( m ) n( k ) 3 3 3 2
分子平均自由程:每两次连续碰撞之间,一个分子 自由运动的平均路程.
kT 2 2π d p
分子平均碰撞次数:单位时间内一个分子和其它分 子碰撞的平均次数.
Z 2 π d vn
2
(1)考试重点:求气体的内能、有关自由度、三种
统计速度。
(2)课后习题P-208: 1-4选择题; (3)课后习题P-208: 9、11、12、13、29等题
四、平衡态下气体分子的统计分布
1、速度分布函数
N 1 N 1 dN f (v) lim lim v0 Nv N v0 v N dv
物理意义 表示在温度为T 的平 衡状态下,速率在v 附近 单位速率区间 的概率.
dN f ( v)dv dS N
表示速率在 v v dv 区间 的分子数占总分子数的百分比 .
第十二章 气体动理论
12-8 分子平均碰撞次数和平均自由程
作 业
12 - 24
12 - 26
12 - 27
第十二章 气体动理论
第 十二 章
气体动理论
一、平衡态 理想气体物态方程
1、平衡态 一定量的气体,在不受外界的影响下,经过一定的时 间,系统达到一个稳定的 宏观性质不随时间变化的状态 处于平衡态的气体状态可以用一组物态参量p、V、T表示. 2、物态方程