高中数学必修4 三角函数的图像与性质

三角函数的图像和性质

1．“五点法”描图

(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为

(0,0)，)1,2

(π

，(π，0)，)

1,23(

-π，(2π，0)．

(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为

(0,1)，)0,2(π，(π，－1)，)0,23(π

，(2π，1)．

2．三角函数的图象和性质

(1)周期性

函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π

|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周

期为π

|ω|.

(2)奇偶性

三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx＋b的形式．

三种方法

求三角函数值域(最值)的方法：

(1)利用sin x、cos x的有界性；

(2)形式复杂的函数应化为y＝A sin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；

(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．

双基自测

1．函数)3cos(π

+=x y ，x ∈R ( )．

A ．是奇函数

B ．是偶函数

C ．既不是奇函数也不是偶函数

D ．既是奇函数又是偶函数 2．函数)

4

tan(

x y -=π

的定义域为( )． A ．

}

,4

|{Z k k x x ∈-

≠π

π

B ．},4

2|{Z k k x x ∈-≠π

π

C ．},4

|{Z k k x x ∈+

≠π

π

D ．},4

2|{Z k k x x ∈+

≠π

π

3．)4sin(π

-=x y 的图象的一个对称中心是( )．

A ．(－π，0)

B ．)0,4

3(π-

C ．)0,2

3(

π

D ．)0,2

(π

4．函数f (x )＝cos )6

2(π

+

x 的最小正周期为________．

考向一 三角函数的周期

【例1】►求下列函数的周期： (1))

2

3

sin(

x y π

π

-

=；(2))6

3tan(π

-=x y

考向二 三角函数的定义域与值域

(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．

(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：

①形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；

②形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．

【例2】►(1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域． (2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x )4

|(|π

≤x 的最大值与最小值．

【训练2】 (1)求函数y ＝sin x －cos x 的定义域；

(2)

)

1cos 2lg(sin )4

tan(--

=

x x

x y π

的定义域

(3)已知)(x f 的定义域为]1,0[，求)(cos x f 的定义域.

考向三 三角函数的单调性

求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，若ω为负则要先把ω化为正数． 【例3】►求下列函数的单调递增区间．

(1))23cos(x y -=π

，(2))324sin(21x y -=π，(3))3

3tan(π

-=x y .

【训练3】 函数f (x )＝sin )3

2(π

+-x 的单调减区间为______．

考向四 三角函数的对称性

正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用． 【例4】►(1)函数y ＝cos )3

2(π

+

x 图象的对称轴方程可能是( )．

A ．x ＝－π6

B ．x ＝－π12

C ．x ＝π6

D ．x ＝π

12

(2)若0＜α＜π2，)42sin()(απ

++=x x g 是偶函数，则α的值为________．

【训练4】 (1)函数y ＝2sin(3x ＋φ))2

|(|π

ϕ<

的一条对称轴为x ＝

π

12，则φ＝________.

(2)函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.

难点突破——利用三角函数的性质求解参数问题

含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用