圆轴的扭转

第六章 圆轴的扭转
例6-1 求如图所示传动轴1-1截面和2-2截面的扭矩， 并画扭矩图。
解：用截面法求扭矩
1）取1-1截面左侧
T11 M 1.8kN m
2）取2-2截面右侧
=1.8kNm 1 1
=3kNm 2 2
=1.2kNm
1.2kNm
T2 2 M C 1.2kN m
K
A A'
L
B B'
d/dx=/R，所以在同一横截面上d/dx是一个常数， 因此各点的切应变与该点到圆心的距离 成正比。
第六章 圆轴的扭转 二、应力应变关系 剪切胡克定律 各点的切应力
G

dA
R
d G G dx

dA
三、静力学关系 取dA为距截面中心 处的微面积，则dA为作 用在微面积上的力dA对截面中心之距，整个横截面 上这些力矩的合成结果应等于扭矩T： 横截面积
（a）
（b）
第六章 圆轴的扭转 三、扭矩图 扭矩图：为了直观地表示沿轴线各横截面上扭矩的 变化规律，取平行于轴线的横坐标表示横截面的位 置，用纵坐标表示扭矩的代数值，画出各截面扭矩 的变化图。 当轴上同时有几个外力偶矩作用时，一般而言，各 段截面上的扭矩是不同的，必须用截面法分段求出。 截面法求扭矩 的一般步骤 假截留半； 内力代换； 内外平衡。
第六章 圆轴的扭转
第一节 外力偶矩的计算
一、扭转的概念和实例
扭转：是杆的又一种基本变形 形式。其受力特点是：构件两 端受到两个作用面与杆的轴线 垂直的、大小相等的、转向相 反的力偶矩作用，使杆件的横 截面绕轴线发生相对转动。 扭转角：任意两横截面间的相 对角位移。
A
BO
A


BO
M
M
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如钻探机的 钻杆，电动机的主轴及机器的传动轴等。
d d 2 dA G dA T A dA A G A dx dx
2
第六章 圆轴的扭转
d 2 T G d A dx A
极惯性矩
I P A dA
2
物理关系式 d 则得： T GIP dx 比较
d G dx
T IP
第六章 圆轴的扭转
第六章 圆轴的扭转 二、外力偶矩的计算
P M 9550 n
M — 作用在轴上的外力偶矩，单位为牛顿· 米（N· ｍ）
P — 为轴所传递的功率，单位为千瓦（kW）
n — 轴的转速，单位为转/分（r/min）
当传递的功率P 的单位为PS（马力，1PS=735.5W） 时，上式变为：
第六章 圆轴的扭转 平面截面假设：圆轴扭转变形后，横截面仍保持为 平面，且其形状大小不变，横截面上的半径仍保持 为直线，即横截面刚性地绕轴线作相对转动。
圆轴扭转时横截面上 的应力关系
AA Rd tan KA dx BB d tan LB dx
70016 D3 m 0.049m 49mm 4 6 (1 0.7 ) 38.4 10
d D 0.7 49 34 mm
第六章 圆轴的扭转 二者所费材料比就是横截面积之比
A空 4 A实 452 4
(D2 d 2 )
1245 0.61 2025
可见空心圆轴所用材料只占实心轴所用材料 的61%，节约了材料。
38.4ΜΡa [ ] 40ΜΡa
轴满足 强度条件
4） 刚度校核
Tmax 180 700 32 180 0 max （ / m） 9 4 12 GIp 8010 45 10
1.23
m
[ ] 1.5
m
因轴同时满足刚度条件，所以传动轴是安全的。
3
故：此阶梯形圆轴满足强度条件。
第六章 圆轴的扭转
第五节 圆轴扭转时的变形和刚度计算
一、扭转变形 扭转角：圆轴扭转时，两横截 面相对转过的角度称为这两截 面的相对扭转角。
A M BO


M
d T dx
l l
GI P
若在圆轴的l长度内，T、G、IP 均为常数， Tl GI P 则圆轴两端截面的相对扭转角为：
0.8kNm
1.0kNm
第六章 圆轴的扭转 2）强度校核：由于两段轴的截面面积和扭矩值不 同，故要分别进行强度校核。
T 0.8 10 AB段： max 63.7a [ ] WP 3 (4010 ) 16 d 45 0.818 CD段：轴的内外径之比 D 55 3 T 110 max Pa WP 3 3 4 (5510 ) (1 0.818 ) 16 55.5MPa [ ]
抗扭刚度：式中的 GIP 称为圆轴的抗扭刚度，它反 映了圆轴抵抗扭转变形的能力。
第六章 圆轴的扭转 单位长度扭转角
T l GI P T [ ] GI P

刚度条件
工程上[ ]的单位通常用度/米（/m），由于1弧度 =180/ ，故上述刚度条件又可写成 刚度条件
T 180 [ ] GI P
解： 1） 计算外力偶矩
PA M A 9550 n 1168N m
同理
M B 468N m
M C M D 350N m
第六章 圆轴的扭转
2）绘制扭矩图 用截面法求 1-1截面的扭矩
1 2 3
T1 M B 468N m
2-2截面的扭矩
B
1
2 700Nm A C
第六章 圆轴的扭转 平面截面假设：圆轴扭转变形后，横截面仍保持为 平面，且其形状大小不变，横截面上的半径仍保持 为直线，即横截面刚性地绕轴线作相对转动。
圆轴扭转时横截面上 的应力关系
wk.baidu.com
AA Rd tan KA dx BB d tan LB dx
空心圆截面 令内外径比为 =d/D，则有：
D
d
I p d / 2 2 d 4 D 4 (1 ) 32
D/2 2
D3 WP (1 4 )
16
第六章 圆轴的扭转 第四节 圆轴扭转时的强度计算
一、强度条件 圆轴扭转时 的强度条件
max
T [ ] WP
M 7030 P n
第六章 圆轴的扭转
第二节
扭矩和扭矩图
一、扭矩 扭矩：如图所示为一根 圆轴在一对大小相等、 转向相反的外力偶矩作 用下产生扭转变形，其 力偶矩称为扭矩。 取左分析：
左
M ix 0
i 1
n
T M 0
T M
右
得
T M
同理取右段分析可得：
第六章 圆轴的扭转 二、符号规定 右手螺旋法则：用右手四指表示扭矩的转向，若拇 指的指向离开截面时，规定扭矩为正，如图a所示； 若拇指指向截面时，则扭矩为负，如图b所示。
切应力最大值： 令 WP
等直圆轴扭转时横截面上 任一点处切应力的计算公式
max
TR IP
max
I P / R 称为抗扭截面系数
T WP
第六章 圆轴的扭转
圆柱的极惯性矩
实心圆截面
2
O
d 2 0 2

I P A dA 2 d 3 d 4 D WP 32 16
3 350Nm D
T2 M B M A
468Nm
468 1168 700 N m T3 M C 350N m 3-3截面的扭矩
绘出的扭矩图如图所示。显然AC段扭矩最大， 由于是等截面圆轴，故危险截面在AC段内。
第六章 圆轴的扭转
3） 强度校核
max
T 700 16 P 3 9 a WP 45 10
空心圆截面 令内外径比为 =d/D，则有：
D
d
I p d / 2 2 d 4 D 4 (1 ) 32
D/2 2
D3 WP (1 4 )
16
第六章 圆轴的扭转
第三节 圆轴扭转时的应力
一、变形的几何关系 试验观测：取一易变形的 圆形截面直杆，在此圆轴 的表面各画几条相平行的 圆周线和纵向线；在轴的 两端施加一对力偶矩 M 使 其产生扭转变形。 观测结果： 1）圆周线的形状和大小不变，两相邻圆周线的间距 保持不变，仅绕轴线作相对转动。 2）纵向线均倾斜了一个角度。
切应力最大值： 令 WP
等直圆轴扭转时横截面上 任一点处切应力的计算公式
max
TR IP
max
I P / R 称为抗扭截面系数
T WP
第六章 圆轴的扭转
圆柱的极惯性矩
实心圆截面
2
O
d 2 0 2

I P A dA 2 d 3 d 4 D WP 32 16
d d 2 dA G dA T A dA A G A dx dx
2
第六章 圆轴的扭转
d 2 T G d A dx A
极惯性矩
I P A dA
2
物理关系式 d 则得： T GIP dx 比较
d G dx
T IP
K
A A'
L
B B'
d/dx=/R，所以在同一横截面上d/dx是一个常数， 因此各点的切应变与该点到圆心的距离 成正比。
第六章 圆轴的扭转 二、应力应变关系 剪切胡克定律 各点的切应力
G

dA
R
d G G dx

dA
三、静力学关系 取dA为距截面中心 处的微面积，则dA为作 用在微面积上的力dA对截面中心之距，整个横截面 上这些力矩的合成结果应等于扭矩T： 横截面积
3）作出扭矩图如图。
1.8kNm
第六章 圆轴的扭转
扭矩图的简捷画法
在外力偶矩作用处的截面上，扭矩发生突变，突变 量等于外力偶矩的数值。利用这一突变特性，可较 快地画出扭矩图。 当轴上有多个外力偶矩作用时，愈显示出这种方法 的快捷简便。
第六章 圆轴的扭转
第三节 圆轴扭转时的应力
一、变形的几何关系 试验观测：取一易变形的 圆形截面直杆，在此圆轴 的表面各画几条相平行的 圆周线和纵向线；在轴的 两端施加一对力偶矩 M 使 其产生扭转变形。 观测结果： 1）圆周线的形状和大小不变，两相邻圆周线的间距 保持不变，仅绕轴线作相对转动。 2）纵向线均倾斜了一个角度。
第六章 圆轴的扭转 例6-4 若将前题中的圆轴改为同样强度的空心 圆轴，其内外径之比 =d/D=0.7，试设计其内外径 尺寸，并与前题所消耗材料作一比较。 解：要求与前题之轴具有同样强度，即要求该空心 圆轴工作时的最大切应力与实心圆轴的最大切应力 相同：max＝38.4MPa，即有
max
T 70016 38.4MPa 3 4 WP D (1 )
第六章 圆轴的扭转
例6-3 传动轴如图所示，已知轴的直径d=45mm， 转速n =300r/min。主动轮A输入的功率PA=36.7KW； 从动轮B、C、D输出的功率分别为PB=14.7KW，PC= PD=11KW。轴材料的剪切弹性模量G=80GPa，许用切 应力[ ]=40MPa，单位长度的许用扭转角[ ]=1.5/m， 试校核轴的强度和刚度。
扭转强度条件同样可以用来解决三类问题： 强度校核
设计截面尺寸
确定许用载荷
第六章 圆轴的扭转 例6-2 如图所示为阶梯形圆轴，其中实心AB段直 径d1=40mm；BD段为空心部分，外径D =55mm，内 径 d =45mm。轴上A、D、C处为皮带轮，已知主动 轮C输入的外力偶矩为MC=1.8kN· ｍ，从动轮A、D 传递的外力偶矩分别为MA=0.8kN· m，MD=1kN· m， 材料的许用切应力[ ]=80MPa。试校核该轴的强度。 解：1）画扭矩图： 用截面法（或简捷方法） 可作出该阶梯形圆轴的 扭矩图如图所示。
第六章 圆轴的扭转 刚度条件
T 180 [ ] GI P
说明
单位长度许用扭转角[ ]的大致取值如下： 精密机器、仪器的轴：[ ] =（0.25～0.50） /m 一般传动轴：[ ] = /m （0.5～1.0） 精度要求不高的传动轴：[ ] =（2.0～4.0） /m