圆轴的扭转

第六章 圆轴的扭转
例6-1 求如图所示传动轴1-1截面和2-2截面的扭矩， 并画扭矩图。
解：用截面法求扭矩
1）取1-1截面左侧
T11 M 1.8kN m
2）取2-2截面右侧
=1.8kNm 1 1
=3kNm 2 2
=1.2kNm
1.2kNm
T2 2 M C 1.2kN m
38.4ΜΡa [ ] 40ΜΡa
轴满足 强度条件
4） 刚度校核
Tmax 180 700 32 180 0 max （ / m） 9 4 12 GIp 8010 45 10
1.23
m
[ ] 1.5
m
因轴同时满足刚度条件，所以传动轴是安全的。
扭转强度条件同样可以用来解决三类问题： 强度校核
设计截面尺寸
确定许用载荷
第六章 圆轴的扭转 例6-2 如图所示为阶梯形圆轴，其中实心AB段直 径d1=40mm；BD段为空心部分，外径D =55mm，内 径 d =45mm。轴上A、D、C处为皮带轮，已知主动 轮C输入的外力偶矩为MC=1.8kN· ｍ，从动轮A、D 传递的外力偶矩分别为MA=0.8kN· m，MD=1kN· m， 材料的许用切应力[ ]=80MPa。试校核该轴的强度。 解：1）画扭矩图： 用截面法（或简捷方法） 可作出该阶梯形圆轴的 扭矩图如图所示。
解： 1） 计算外力偶矩
PA M A 9550 n 1168N m
同理
M B 468N m
M C M D 350N m
第六章 圆轴的扭转
2）绘制扭矩图 用截面法求 1-1截面的扭矩
1 2 3
T1 M B 468N m
2-2截面的扭矩
B
1
2 700Nm A C
d d 2 dA G dA T A dA A G A dx dx
2
第六章 圆轴的扭转
d 2 T G d A dx A
极惯性矩
I P A dA
2
物理关系式 d 则得： T GIP dx 比较
d G dx
T IP
第六章 圆轴的扭转 刚度条件
T 180 [ ] GI P
说明
单位长度许用扭转角[ ]的大致取值如下： 精密机器、仪器的轴：[ ] =（0.25～0.50） /m 一般传动轴：[ ] = /m （0.5～1.0） 精度要求不高的传动轴：[ ] =（2.0～4.0） /m
抗扭刚度：式中的 GIP 称为圆轴的抗扭刚度，它反 映了圆轴抵抗扭转变形的能力。
第六章 圆轴的扭转 单位长度扭转角
T l GI P T [ ] GI P

刚度条件
工程上[ ]的单位通常用度/米（/m），由于1弧度 =180/ ，故上述刚度条件又可写成 刚度条件
T 180 [ ] GI P
切应力最大值： 令 WP
等直圆轴扭转时横截面上 任一点处切应力的计算公式
max
TR IP
max
I P / R 称为抗扭截面系数
T WP
第六章 圆轴的扭转
圆柱的极惯性矩
实心圆截面
2
O
d 2 0 2

I P A dA 2 d 3 d 4 D WP 32 16
（a）
（b）
第六章 圆轴的扭转 三、扭矩图 扭矩图：为了直观地表示沿轴线各横截面上扭矩的 变化规律，取平行于轴线的横坐标表示横截面的位 置，用纵坐标表示扭矩的代数值，画出各截面扭矩 的变化图。 当轴上同时有几个外力偶矩作用时，一般而言，各 段截面上的扭矩是不同的，必须用截面法分段求出。 截面法求扭矩 的一般步骤 假截留半； 内力代换； 内外平衡。
M 7030 P n
第六章 圆轴的扭转
第二节
扭矩和扭矩图
一、扭矩 扭矩：如图所示为一根 圆轴在一对大小相等、 转向相反的外力偶矩作 用下产生扭转变形，其 力偶矩称为扭矩。 取左分析：
左
M ix 0
i 1
n
T M 0
T M
右
得
T M
同理取右段分析可得：
第六章 圆轴的扭转 二、符号规定 右手螺旋法则：用右手四指表示扭矩的转向，若拇 指的指向离开截面时，规定扭矩为正，如图a所示； 若拇指指向截面时，则扭矩为负，如图b所示。
第六章 圆轴的扭转
第六章 圆轴的扭转 二、外力偶矩的计算
P M 9550 n
M — 作用在轴上的外力偶矩，单位为牛顿· 米（N· ｍ）
P — 为轴所传递的功率，单位为千瓦（kW）
n — 轴的转速，单位为转/分（r/min）
当传递的功率P 的单位为PS（马力，1PS=735.5W） 时，上式变为：
d d 2 dA G dA T A dA A G A dx dx
2
第六章 圆轴的扭转
d 2 T G d A dx A
极惯性矩
I P A dA
2
物理关系式 d 则得： T GIP dx 比较
d G dx
T IP
70016 D3 m 0.049m 49mm 4 6 (1 0.7 ) 38.4 10
d D 0.7 49 34 mm
第六章 圆轴的扭转 二者所费材料比就是横截面积之比
A空 4 A实 452 4
(D2 d 2 )
1245 0.61 2025
3）作出扭矩图如图。
1.8kNm
第六章 圆轴的扭转
扭矩图的简捷画法
在外力偶矩作用处的截面上，扭矩发生突变，突变 量等于外力偶矩的数值。利用这一突变特性，可较 快地画出扭矩图。 当轴上有多个外力偶矩作用时，愈显示出这种方法 的快捷简便。
第六章 圆轴的扭转
第三节 圆轴扭转时的应力
一、变形的几何关系 试验观测：取一易变形的 圆形截面直杆，在此圆轴 的表面各画几条相平行的 圆周线和纵向线；在轴的 两端施加一对力偶矩 M 使 其产生扭转变形。 观测结果： 1）圆周线的形状和大小不变，两相邻圆周线的间距 保持不变，仅绕轴线作相对转动。 2）纵向线均倾斜了一个角度。
第六章 圆轴的扭转
例6-3 传动轴如图所示，已知轴的直径d=45mm， 转速n =300r/min。主动轮A输入的功率PA=36.7KW； 从动轮B、C、D输出的功率分别为PB=14.7KW，PC= PD=11KW。轴材料的剪切弹性模量G=80GPa，许用切 应力[ ]=40MPa，单位长度的许用扭转角[ ]=1.5/m， 试校核轴的强度和刚度。
第六章 圆轴的扭转 例6-4 若将前题中的圆轴改为同样强度的空心 圆轴，其内外径之比 =d/D=0.7，试设计其内外径 尺寸，并与前题所消耗材料作一比较。 解：要求与前题之轴具有同样强度，即要求该空心 圆轴工作时的最大切应力与实心圆轴的最大切应力 相同：max＝38.4MPa，即有
max
T 70016 38.4MPa 3 4 WP D (1 )
3 350Nm D
T2 M B M A
468Nm
468 1168 700 N m T3 M C 350N m 3-3截面的扭矩
绘出的扭矩图如图所示。显然AC段扭矩最大， 由于是等截面圆轴，故危险截面在AC段内。
第六章 圆轴的扭转
3） 强度校核
max
T 700 16 P 3 9 a WP 45 10
0.8kNm
1.0kNm
第六章 圆轴的扭转 2）强度校核：由于两段轴的截面面积和扭矩值不 同，故要分别进行强度校核。
T 0.8 10 AB段： max 63.7a [ ] WP 3 (4010 ) 16 d 45 0.818 CD段：轴的内外径之比 D 55 3 T 110 max Pa WP 3 3 4 (5510 ) (1 0.818 ) 16 55.5MPa [ ]Βιβλιοθήκη KA A'
L
B B'
d/dx=/R，所以在同一横截面上d/dx是一个常数， 因此各点的切应变与该点到圆心的距离 成正比。
第六章 圆轴的扭转 二、应力应变关系 剪切胡克定律 各点的切应力
G

dA
R
d G G dx

dA
三、静力学关系 取dA为距截面中心 处的微面积，则dA为作 用在微面积上的力dA对截面中心之距，整个横截面 上这些力矩的合成结果应等于扭矩T： 横截面积
空心圆截面 令内外径比为 =d/D，则有：
D
d
I p d / 2 2 d 4 D 4 (1 ) 32
D/2 2
D3 WP (1 4 )
16
第六章 圆轴的扭转
第三节 圆轴扭转时的应力
一、变形的几何关系 试验观测：取一易变形的 圆形截面直杆，在此圆轴 的表面各画几条相平行的 圆周线和纵向线；在轴的 两端施加一对力偶矩 M 使 其产生扭转变形。 观测结果： 1）圆周线的形状和大小不变，两相邻圆周线的间距 保持不变，仅绕轴线作相对转动。 2）纵向线均倾斜了一个角度。
K
A A'
L
B B'
d/dx=/R，所以在同一横截面上d/dx是一个常数， 因此各点的切应变与该点到圆心的距离 成正比。
第六章 圆轴的扭转 二、应力应变关系 剪切胡克定律 各点的切应力
G

dA
R
d G G dx

dA
三、静力学关系 取dA为距截面中心 处的微面积，则dA为作 用在微面积上的力dA对截面中心之距，整个横截面 上这些力矩的合成结果应等于扭矩T： 横截面积
3
故：此阶梯形圆轴满足强度条件。
第六章 圆轴的扭转
第五节 圆轴扭转时的变形和刚度计算
一、扭转变形 扭转角：圆轴扭转时，两横截 面相对转过的角度称为这两截 面的相对扭转角。
A M BO


M
d T dx
l l
GI P
若在圆轴的l长度内，T、G、IP 均为常数， Tl GI P 则圆轴两端截面的相对扭转角为：
切应力最大值： 令 WP
等直圆轴扭转时横截面上 任一点处切应力的计算公式
max
TR IP
max
I P / R 称为抗扭截面系数
T WP
第六章 圆轴的扭转
圆柱的极惯性矩
实心圆截面
2
O
d 2 0 2

I P A dA 2 d 3 d 4 D WP 32 16
第六章 圆轴的扭转
第一节 外力偶矩的计算
一、扭转的概念和实例
扭转：是杆的又一种基本变形 形式。其受力特点是：构件两 端受到两个作用面与杆的轴线 垂直的、大小相等的、转向相 反的力偶矩作用，使杆件的横 截面绕轴线发生相对转动。 扭转角：任意两横截面间的相 对角位移。
A
BO
A


BO
M
M
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如钻探机的 钻杆，电动机的主轴及机器的传动轴等。
可见空心圆轴所用材料只占实心轴所用材料 的61%，节约了材料。
第六章 圆轴的扭转 平面截面假设：圆轴扭转变形后，横截面仍保持为 平面，且其形状大小不变，横截面上的半径仍保持 为直线，即横截面刚性地绕轴线作相对转动。
圆轴扭转时横截面上 的应力关系
AA Rd tan KA dx BB d tan LB dx
第六章 圆轴的扭转 平面截面假设：圆轴扭转变形后，横截面仍保持为 平面，且其形状大小不变，横截面上的半径仍保持 为直线，即横截面刚性地绕轴线作相对转动。
圆轴扭转时横截面上 的应力关系
AA Rd tan KA dx BB d tan LB dx
空心圆截面 令内外径比为 =d/D，则有：
D
d
I p d / 2 2 d 4 D 4 (1 ) 32
D/2 2
D3 WP (1 4 )
16
第六章 圆轴的扭转 第四节 圆轴扭转时的强度计算
一、强度条件 圆轴扭转时 的强度条件
max
T [ ] WP