中考中二次函数与圆综合题
二次函数与圆的综合题(中考数学必考压轴题)
二次函数与圆的综合题（中考数学压轴题必考）例1.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在左边），抛物线经过点D以AB为直径画⊙P，试判定点D与⊙P的位置关系，并证明．练习1.如图，二次函数y＝ax2﹣（a+1）x（a为常数，且0＜a＜1）的图象过原点O并与x轴交于点P；过点A（1，﹣1）的直线l垂直y轴于点B，并与二次函数的图象交于点Q，以OA为直径的⊙C交x轴于点D，连接DQ．（1）点B与⊙C的位置关系是；（2）点A是否在二次函数的图象上；（填“是”或“否”）（3）若DQ恰好为⊙C的切线，①猜想：四边形OAQD的形状是，证明你的猜想；②求二次函数的表达式．例2.如图示已知点M的坐标为（4，0），以M为圆心，以2为半径的圆交x轴于A、B，抛物线过A、B两点且与y轴交于点C．过C点作⊙M 的切线CE，求直线OE的解析式．练习2.平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴，设平行于x轴的直线交抛物线y＝﹣x2﹣x+2于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y 轴交于点C（0，2）．以AB为直径作⊙M，直线经过点E（﹣1，﹣5），并且与⊙M相切，求该直线的解析式．练习4.如图，抛物线y＝﹣x2+x+2．经过A、B、C三点，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C，M为抛物线的顶点，试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．练习5.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．以AB为直径作⊙M．（1）求出M的坐标并证明点C在⊙M上；（2）若P为抛物线上一动点，求出当CP与⊙M相切时P的坐标；练习6.在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C，过点C作圆的切线交x轴于点D．（1）求点C的坐标和过A，B，C三点的抛物线的析式；（2）求点D的坐标：（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．练习7.如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝n，OC＝m，⊙M与y轴相切于点C，与x轴交于A，B两点，∠ACD＝90°，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，B，C三点．（1）求证：∠OCA＝∠OBC；（2）若A（x1，0），B（x2，0），且x1，x2满足x1+x2＝5，x1•x2＝4，求点C 的坐标和抛物线的解析式；（3）若△ACD≌△ABD，在四边形ABDC内有一点P，且点P到四边形四个顶点的距离之和P A+PB+PC+PD最小，求此时距离之和的最小值及P点的坐标（用含n的式子表示）．练习8.已知二次函数y＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）（1）求证：它的图象与x轴必有两个交点；（2）这条抛物线与x轴交于两点A、B（A在B左），与y轴交于点C，顶点为D，sin∠ABD＝，⊙M过A、B、C三点，求⊙M的面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使P A是⊙M的切线？若存在，求出P点的坐标，若不存在，说明理由．例3.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．练习9.已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+1的图象关于y轴对称，且抛物线过点（2，2），点P为抛物线上的动点，以点P为圆心的⊙P与x轴相切，当点P运动对，⊙P始终经过y轴上的一个定点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当⊙P的半径为时，⊙P与y轴交于M、N两点，求MN的长；（3）求定点E到直线y＝kx﹣8k的距离的最大值．练习10.已知：直线y＝﹣x﹣4分别交x、y轴于A、C两点，抛物线y＝ax2+bx （a＞0）经过A、O两点，且顶点B的纵坐标为﹣2（1）判断点B是否在直线AC上，并求该抛物线的函数关系式；（2）以点B关于x轴的对称点D为圆心，以OD为半径作⊙D，试判断直线AC与⊙D的位置关系，并说明理由；（3）若E为⊙D的优弧AO上一动点（不与A、O重合），连接AE、OE，问在抛物线上是否存在点P，使∠POA：∠AEO＝2：3？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．练习11.已知A是x轴正半轴上一个动点，以线段OA为直径作⊙B，圆心为点B，直径OA＝m，线段EF是⊙B的一条弦，EF∥x轴，点C为劣弧EF的中点，过点E作DE垂直于EF，交抛物线C1：y＝ax2+bx（a＞0）于点G，抛物线经过点O和点A．（1）求证：DG＝m；（2）拖动点A，如果抛物线C1与⊙B除点O和点A外有且只有一个交点，求b的值；（3）拖动点A，抛物线C1交⊙B于点O、E、F、A，①求证：DE＝m﹣；②直接写出FC2的值（用a，m的代数式表示）练习13.如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A．B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．（1）求∠ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3），求出抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D点，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．例4.如图1，抛物线y＝ax2+3ax（a为常数，a＜0）与x轴交于O，A两点，点B 为抛物线的顶点，点D是线段OA上的一个动点，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C，过点C作⊙P的切线交x轴于点E．（1）①求点A的坐标；②求证：CE＝DE；（2）如图2，连接AB，AC，BE，BO，当，∠CAE＝∠OBE时，①求证：AB2＝AC•BE；②求的值．练习14.如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E 四点，B为OD中点．（1）求过A，B，C三点的抛物线解析式；（2）如图2，连接BC，AC．点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2＝MN•MB时，求M点的坐标；（3）如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由．练习15.如图，二次函数与x轴的一个交点A的坐标为（﹣3，0），以点A为圆心作圆A，与该二次函数的图象相交于点B，C，点B，C的横坐标分别为﹣2，﹣5，连接AB，AC，并且满足AB⊥AC．过点B作BM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N．（1）求该二次函数的关系式；（2）经过点B作直线BD，在A点右侧与x轴交于点D，与二次函数的图象交于点E，使得∠ADB＝∠ABM，连接AE，求证：AE＝AD；（3）若直线y＝kx+1与圆A相切，请求出k的值．例5.已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）经过A（5，0），B（6，1）两点，且与y 轴交于点C．（1）求抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）的函数关系式；（2）如图1，连接AC，E为线段AC上一点且横坐标为1，⊙P是△OAE外接圆，求圆心P点的坐标；（3）如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F；①点E在运动过程中四边形OEAF的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；②求出当△AEF的面积取得最大值时，点E的坐标．练习16.如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（1，0），B（﹣5，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求b，c的值．（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？求出点P的坐标及△PBC的面积最大值．若不存在，请说明理由．（3）如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O 三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．练习17.如图1，抛物线y＝+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为G，P为半圆上一动点，连接DP，点Q为PD的中点．①判断点C、D与⊙G的位置关系，并说明原因；②当点P沿半圆从点B运动到点A时，求线段AQ的最小值．练习18.如图1，二次函数y＝ax2﹣3ax+b（a、b为参数，其中a＜0）的图象与x 轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D．（1）若b＝﹣10a，求tan∠CBA的值（结果用含a的式子表示）；（2）若△ABC是等腰三角形，直线AD与y轴交于点P，且AP：DP＝2：3．求抛物线的解析式；（3）如图2，已知b＝﹣4a，E、F分别是CA和CB上的动点，且EF＝AB，若以EF为直径的圆经过点C，并交x轴于M、N两点，求MN的最大值．课后练习1.抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是介于B、C之间的抛物线上的动点（包括B、C两点），点E是△ABP 的外接圆圆心．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当P为抛物线的顶点时，求圆心E的坐标；（3）如图2，作PH⊥x轴于点H，延长PH交⊙E于点Q，当P从C点出发，沿该抛物线运动到B点，求点Q在这个运动过程中的路径长．2.如图，在正方形OABC中，AB＝4，点E是线段OA（不含端点）边上一动点，作△ABE的外接圆交AC于点D．抛物线y＝ax2﹣x+c过点O，E．（1）求证：∠BDE＝90°；（2）如图1，若抛物线恰好经过点B，求此时点D的坐标；（3）如图2，AC与BE交于点F．①请问点E在运动的过程中，CF•AD是定值吗？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由；②若，求点E坐标及a的值．。
二次函数和圆综合(压轴题+例题+巩固+答案解析)
【例1】.如图，点()40M ，，以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A B ，．已知抛物216y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ．⑴ 求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．⑵ 点()8Q m ，在抛物线216y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ PB + 最小值． ⑶ CE 是过点C 的M ⊙的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．【巩固】已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式2y x =-+并且线段CM 的长为（1）求抛物线的解析式。
（2）设抛物线与x 轴有两个交点A （X 1 ，0）、B （X 2 ，0），且点A 在B 的左侧，求线段AB 的长。
（3）若以AB 为直径作⊙N ，请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由。
【例2】如图，在平面直角坐标系中，以点(04)C ，为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ，AB 是C ⊙的切线．动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、Q 从点A 和点O 同时出发，设运动时间为t (秒)．⑴当1t =时，得到1P 、1Q 两点，求经过A 、1P 、1Q 三点的抛物线解析式及对称轴l ；⑵当t 为何值时，直线PQ 与C ⊙相切？并写出此时点P 和点Q 的坐标；⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N ，使NP NQ +最小，求出点N 的坐标并说明理由．提示：（1）先求出t=1时，AP 和OQ 的长，即可求得P 1，Q 1的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式．进而可求出对称轴l 的解析式．（2）当直线PQ 与圆C 相切时，连接CP ，CQ 则有Rt △CMP ∽Rt △QMC （M 为PG 与圆的切点），因此可设当t=a 秒时，PQ 与圆相切，然后用a 表示出AP ，OQ 的长即PM ，QM 的长（切线长定理）．由此可求出a 的值．（3）本题的关键是确定N 的位置，先找出与P 点关于直线l 对称的点P ′的坐标，连接P ′Q ，那么P ′Q 与直线l 的交点即为所求的N 点，可先求出直线P ′Q 的解析式，进而可求出N 点的坐标．【巩固】已知二次函数图象的顶点在原点O ，对称轴为y 轴．一次函数1y kx =+的图象与 二次函数的图象交于A B ，两点(A 在B 的左侧)，且A 点坐标为()44-，．平行于x 轴的直线l 过()01-，点．⑴ 求一次函数与二次函数的解析式；⑵ 判断以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系，并给出证明；⑶ 把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t 个单位()0t >，二次函数的图象与x轴交于M N，，三点的圆的，两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F M N面积最小？最小面积是多少？【例3】如图1,⊙O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为()，，顶点D在⊙O上运动．50⑴当点D运动到与点A、O在同一条直线上时，试证明直线CD与⊙O相切；⑵当直线CD与⊙O相切时，求OD所在直线对应的函数关系式；⑶设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值．【巩固】如图，已知点A 从()10，出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向正方向运动，以O A ，为顶点作菱形OABC ，使点B C ，在第一象限，且60AOC ∠=︒；以()03P ，为圆心，PC 为半径作圆．设点A 运动了t 秒，求： ⑴ 点C 的坐标（用含t 的代数式表示）；⑵ 当点A 在运动过程中，所有使P 与菱形OABC 的边所在直线相切的t 的值．【例4】已知：如图，抛物线213y x m =+与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，90ACB ∠=︒⑴ 求m 的值及抛物线顶点坐标；⑵ 过A B C ，，的三点的M ⊙交y 轴于另一点D ，连结DM 并延长交M ⊙于点E ，过E 点的M ⊙的切线分别交x 轴、y 轴于点F G ，，求直线FG 的解析式；⑶ 在条件⑵下，设P 为CBD 上的动点(P 不与C D ，重合)，连结PA 交y 轴于点H ，问是否存在一个常数k ，始终满足AH AP k ⋅=，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由．【巩固】如图，已知点A的坐标是()，，以AB为直径作O'，90-，，点B的坐标是()10交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．⑴求抛物线的解析式；⑵点E是AC延长线上一点，BCE∠的平分线CD交O'于点D，连结BD，求直线BD的解析式；⑶在⑵的条件下，抛物线上是否存在点P，使得PDB CBD∠=∠？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．DCEA yxBO O'课后作业：1.如图，直角坐标系中，已知两点()A，，点B在第一象限且OAB2000O，，()∆为正三角形，OAB∆的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．⑴求B C，两点的坐标；⑵求直线CD的函数解析式；⑶设E F，分别是线段AB AD，上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长．试探究：AEF∆的最大面积？参考答案例1【巩固】例2分析：（1）先求出t=1时，AP和OQ的长，即可求得P1，Q1的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式．进而可求出对称轴l的解析式．（2）当直线PQ与圆C相切时，连接CP，CQ则有Rt△CMP∽Rt△QMC（M为PG与圆的切点），因此可设当t=a秒时，PQ与圆相切，然后用a表示出AP，OQ的长即PM，QM的长（切线长定理）．由此可求出a的值．（3）本题的关键是确定N的位置，先找出与P点关于直线l对称的点P′的坐标，连接P′Q，那么P′Q与直线l的交点即为所求的N点，可先求出直线P′Q的解析式，进而可求出N点的坐标．【巩固】例3【巩固】例4【巩固】作业。
最新中考数学复习中考专题：圆与二次函数结合题
2017年中考数学复习中考专题： 圆与函数综合题1、如图，平面直角坐标系中，以点C （22为半径的圆与轴交于A 、B 两点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）若二次函数2y x bx c =++的图象经过点A 、B ，试确定此二次函数的解析式．1、解：（1）过点C 作CM ⊥轴于点M ，则点M 为AB 的中点．∵CA =2，CM =， ∴AM ==1．于是，点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（3，0）（2）将（1，0），（3，0）代入得，解得 所以，此二次函数的解析式为．2、如图，半径为2的⊙C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，点C 的坐标为（1，0）．若抛物线2y x bx c =++过A 、B 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P ，使得∠PBO=∠POB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB 的面积为S ，求S 的最大（小）值．3、如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为轴，且经过（0,0116）两点，点P 在抛物线上运动，以P 为圆心的⊙P 经过定点A （0,2），(1)求a,b,c 的值；(2)求证：点P 在运动过程中，⊙P 始终与轴相交；（3）设⊙P 与轴相交于M ()1x ,0，N ()()212x ,0x x 两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标。
4、如图，二次函数y =x 2+bx －3b +3的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），交y 轴于点C ，且经过点（b －2，2b 2－5b －1）.（1）求这条抛物线的解析式；（2）⊙M 过A 、B 、C 三点，交y 轴于另一点D ，求点M 的坐标；（3）连接AM 、DM ，将∠AMD 绕点M 顺时针旋转，两边MA 、MD 与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，若△DMF 为等腰三角形，求点E 的坐标.5、类比、转化、分类讨论等思想方法和数学基本图形在数学学习和解题中经常用到，如下是一个案例，请补充完整。
初三数学 圆与二次函数综合训练题
圆为背景的二次函数综合训练卷1．如图，已知点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC，BC，过A，B，C三点作抛物线．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连接BD，求直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．第三问改成，在（2）的条件下，点P是直线BC下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△PCD的面积是△BCD面积的三分之一，求此时点P的坐标．2．在平面直角坐标系xOy中，当图形W上的点P的横坐标和纵坐标相等时，则称点P为图形W的“梦之点”.（1）已知⊙O的半径为1.①在点E（1,1），,M(－2，－2)中，⊙O的“梦之点”为；②若点P位于⊙O内部，且为双曲线（k≠0）的“梦之点”，求k的取值范围.（2）已知点C的坐标为（1，t），⊙C的半径为，若在⊙C上存在“梦之点”P，直接写出t的取值范围.（3）若二次函数的图象上存在两个“梦之点”，求二次函数图象的顶点坐标.3．如图，在平面直角坐标系中，圆D与轴相切于点C(0,4)，与轴相交于A、B两点，且AB=6（1）D点的坐标是，圆的半径为；（2）求经过C、A、B三点的抛物线所对应的函数关系式；（3）设抛物线的顶点为F,试证明直线AF与圆D相切；（4）在轴下方的抛物线上，是否存在一点N，使面积最大，最大面积是多少？并求出点坐标.4．（2018年山东省济宁市中考数学模拟）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，﹣3a），对称轴是直线x=1，顶点是M．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线y=﹣x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由；（4）当E是直线y=﹣x+3上任意一点时，（3）中的结论是否成立（请直接写出结论）．5．已知，如图，点M在x轴上，以点M为圆心，2.5长为半径的圆交y轴于A、B两点，交x轴于C（x1，0）、D（x2，0）两点，（x1＜x2），x1、x2是方程x（2x+1）=（x+2）2的两根．（1）求点C、D及点M的坐标；（2）若直线y=kx+b切⊙M于点A，交x轴于P，求PA的长；（3）⊙M上是否存在这样的点Q，使点Q、A、C三点构成的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点的坐标，并求出过A、C、Q三点的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A、C、D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积；（3）以AB为直径作⊙M，直线经过点E（﹣1，﹣5），并且与⊙M相切，求该直线的解析式．7．如图①已知抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴的交点为E．（1）抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为_____，点A的坐标为_____；（2）若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切，试求出抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，如图②Q（m，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′．在图②中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，O是平面直角坐标系的原点．在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于C，A（1，1），B（3，1），动点P 从O点出发，沿x轴正方向以2个单位/秒的速度运动．设P点运动的时间为t秒（0＜t＜2）．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式；（2）过P作PD⊥OA于D，以点P为圆心，PD为半径作⊙P，⊙P在点P的右侧与x轴交于点Q．①则P点的坐标为_____，Q点的坐标为_____；（用含t的代数式表示）②试求t为何值时，⊙P与四边形OABC的两边同时相切；③设△OPD与四边形OABC重叠的面积为S，请直接写出S与t的函数解析式．9．已知x轴上有点A（1，0），点B在y轴上，点C（m，0）为x轴上一动点且m＜﹣1，连接AB，BC，tan∠ABO=，以线段BC为直径作⊙M交直线AB于点D，过点B作直线l∥AC，过A，B，C三点的抛物线为y=ax2+bx+c，直线l与抛物线和⊙M的另一个交点分别是E，F．（1）求B点坐标；（2）用含m的式子表示抛物线的对称轴；（3）线段EF的长是否为定值？如果是，求出EF的长；如果不是，说明理由．（4）是否存在点C（m，0），使得BD=AB？若存在，求出此时m的值；若不存在，说明理由．10．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A、B两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），是否存在实数k使得直线y=kx+1与以O、C为直径的圆相切？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．[来源:]11．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.直线经过抛物线与坐标轴的两个交点B和C。
二次函数与圆综合训练(含解析)
二次函数与圆综合提高（压轴题）1、如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L．（1）求△ABC的面积；（2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；（3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．解解：（1）如图3，作AH⊥BC于H，答：∴∠AHB=90°．∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=3．∵∠AHB=90°，∴BH=BC=在Rt△ABC中，由勾股定理，得AH=．∴S△ABC==；（2）如图1，当0＜x≤1.5时，y=S△ADE．作AG⊥DE于G，∴∠AGD=90°，∠DAG=30°，∴DG=x，AG=x，∴y==x2，∵a=＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∴x=1.5时，y 最大=，如图2，当1.5＜x＜3时，作MG⊥DE于G，∵AD=x，∴BD=DM=3﹣x，∴DG=（3﹣x），MF=MN=2x﹣3，∴MG=（3﹣x），∴y=，=﹣；（3），如图4，∵y=﹣；∴y=﹣（x2﹣4x）﹣，y=﹣（x﹣2）2+，∵a=﹣＜0，开口向下，∴x=2时，y最大=，∵＞，∴y最大时，x=2，∴DE=2，BD=DM=1．作FO⊥DE于O，连接MO，ME．∴DO=OE=1，∴DM=DO．∵∠MDO=60°，∴△MDO是等边三角形，∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1．∴MO=OE，∠MOE=120°，∴∠OME=30°，∴∠DME=90°，∴DE是直径，S⊙O=π×12=π．2、（2013•压轴题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．①求证：∠BDE=∠ADP；②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，代入（4，0）得：4k+4=0，解得：k=﹣1，则直线AB的函数解析式为y=﹣x+4；（2）①由已知得：OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，又∵OD=OD，∴△BOD≌△COD，∴∠BOD=∠CDO，∵∠CDO=∠ADP，∴∠BDE=∠ADP，②连结PE，∵∠ADP是△DPE的一个外角，∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，∵∠BDE是△ABD的一个外角，∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，∴∠DPE=∠OAB，∵OA=OB=4，∠AOB=90°，∴∠OAB=45°，∴∠DPE=45°，∴∠DFE=∠DPE=45°，∵DF是⊙Q的直径，∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DF=DE，即y=x；（3）当BD：BF=2：1时，过点F作FH⊥OB于点H，∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，∴∠DBO=∠BFH，又∵∠DOB=∠BHF=90°，∴△BOD∽△FHB，∴===2，∴FH=2，OD=2BH，∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，∴四边形OEFH是矩形，∴OE=FH=2，∴EF=OH=4﹣OD，∵DE=EF，∴2+OD=4﹣OD，解得：OD=，∴点D的坐标为（0，），∴直线CD的解析式为y=x+，由得：，则点P的坐标为（2，2）；当=时，连结EB，同（2）①可得：∠ADB=∠EDP，而∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA，∵∠DEP=∠DPA，∴∠DBE=∠DAP=45°，∴△DEF是等腰直角三角形，过点F作FG⊥OB于点G，同理可得：△BOD∽△FGB，∴===，∴FG=8，OD=BG，∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，∴四边形OEFG是矩形，∴OE=FG=8，∴EF=OG=4+2OD，∵DE=EF，∴8﹣OD=4+2OD，OD=43，∴点D的坐标为（0，﹣43），直线CD的解析式为：y=﹣13x﹣43，由得：，∴点P的坐标为（8，﹣4），综上所述，点P的坐标为（2，2）或（8，﹣4）．3、抛物线y=x²-bx-3b+3过A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，且经过点（b－2，2b2－5b－1）.（1）求这条抛物线的解析式；（2）⊙M过A、B、C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；（3）连接AM、DM，将∠AMD绕点M顺时针旋转，两边MA、MD与x轴、y轴分别交于点E、F，若△DMF为等腰三角形，求点E的坐标.解析：（1）把点（b－2，2b2－5b－1）代入解析式，得2b2－5b－1=（b－2）2+b（b－2）－3b+3，……………1′解得b=2.∴抛物线的解析式为y=x2+2x－3. ……………2′（2）由x2+2x－3=0，得x=－3或x=1.∴A（－3，0）、B（1，0）、C（0，－3）.抛物线的对称轴是直线x=－1，圆心M在直线x=－1上. ……………3′∴设M （－1，n ），作MG ⊥x 轴于G ，MH ⊥y 轴于H ，连接MC 、MB .∴MH =1，BG =2. ……………4′∵MB =MC ，∴BG 2+MG 2=MH 2+CH 2，即4+n 2=1+（3+n ）2，解得n=－1，∴点M （－1，－1） ……………5′（3）如图，由M （－1，－1），得MG =MH .∵MA =MD ，∴Rt △AMG ≌RtDMH ，∴∠1=∠2.由旋转可知∠3=∠4. ∴△AME ≌△DMF .若△DMF 为等腰三角形，则△AME 为等腰三角形. ……………6′设E （x ，0），△AME 为等腰三角形，分三种情况：①AE =AM =5，则x=5－3，∴E （5－3，0）；②∵M 在AB 的垂直平分线上，∴MA =ME =MB ，∴E （1，0） ……………7′③点E 在AM 的垂直平分线上，则AE =ME .AE =x +3，ME 2=MG 2+EG 2=1+（－1－x ）2，∴（x +3）2=1+（－1－x ）2，解得x =47-，∴E （47-，0）. ∴所求点E 的坐标为（5－3，0），（1，0），（47-，0） ……………8′4、（2013•压轴题）如图，已知抛物线y=ax 2+bx ﹣2（a ≠0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点D ，并且D （2，3），tan ∠DBA=．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C 、A ，求四边形BMCA 面积的最大值；（3）在（2）中四边形BMCA 面积最大的条件下，过点M作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．： 解：（1）如答图1所示，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，则DE=3，OE=2．∵tan ∠DBA==，∴BE=6，∴OB=BE ﹣OE=4，∴B （﹣4，0）．∵点B（﹣4，0）、D（2，3）在抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）上，∴，解得，∴抛物线的解析式为：y=x2+x﹣2．（2）抛物线的解析式为：y=x2+x﹣2，令x=0，得y=﹣2，∴C（0，﹣2），令y=0，得x=﹣4或1，∴A（1，0）．设点M坐标为（m，n）（m＜0，n＜0），如答图1所示，过点M作MF⊥x轴于点F，则MF=﹣n，OF=﹣m，BF=4+m．S四边形BMCA=S△BMF+S梯形MFOC+S△AOC=BF•MF+（MF+OC）•OF+OA•OC=（4+m）×（﹣n）+（﹣n+2）×（﹣m）+×1×2=﹣2n﹣m+1∵点M（m，n）在抛物线y=x2+x﹣2上，∴n=m2+m﹣2，代入上式得：S四边形BMCA=﹣m2﹣4m+5=﹣（m+2）2+9，∴当m=﹣2时，四边形BMCA面积有最大值，最大值为9．（3）假设存在这样的⊙Q．如答图2所示，设直线x=﹣2与x轴交于点G，与直线AC交于点F．设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（1，0）、C（0，﹣2）代入得：，解得：k=2，b=﹣2，∴直线AC解析式为：y=2x﹣2，令x=﹣2，得y=﹣6，∴F（﹣2，﹣6），GF=6．在Rt△AGF中，由勾股定理得：AF===3．设Q（﹣2，n），则在Rt△AGF中，由勾股定理得：OQ==．设⊙Q与直线AC相切于点E，则QE=OQ=．在Rt△AGF与Rt△QEF中，∵∠AGF=∠QEF=90°，∠AFG=∠QFE，∴Rt△AGF∽Rt△QEF，∴，即，化简得：n2﹣3n﹣4=0，解得n=4或n=﹣1．∴存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，点Q的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）．5、（2013•压轴题）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C．（1）求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；（3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．解：（1）∵A（4，0），B（﹣1，0），∴AB=5，半径是PC=PB=PA=，∴OP=﹣1=，在△CPO中，由勾股定理得：OC==2，∴C（0，2），设经过A、B、C三点抛物线解析式是y=a（x﹣4）（x+1），把C（0，2）代入得：2=a（0﹣4）（0+1），∴a=﹣，∴y=﹣（x﹣4）（x+1）=﹣x2+x+2，答：经过A、B、C三点抛物线解析式是y=﹣x2+x+2．（2）y=﹣x2+x+2=﹣+，M（，），设直线MC对应函数表达式是y=kx+b，把C（0，2），M（，）代入得：，解得：k=，b=2，∴y=x+2，y=x+2．答：直线MC对应函数表达式是y=x+2．（3）MC与⊙P的位置关系是相切．证明：设直线MC交x轴于D，当y=0时，0=x+2，∴x=﹣，OD=，∴D（﹣，0），在△COD中，由勾股定理得：CD2=22+==，PC2===，PD2==，∴CD2+PC2=PD2，∴∠PCD=90°，∴PC⊥DC，∵PC为半径，∴MC与⊙P的位置关系是相切．6、（2013•压轴题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（﹣23，0），以0C为直径作半圆，圆心为D．（1）求二次函数的解析式；（2）求证：直线BE是⊙D的切线；（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）由题意，得A（0，2），B（2，2），E的坐标为（﹣23，0），则，解得，，∴该二次函数的解析式为：y=﹣98x2+94x+2；（2）如图，过点D作DG⊥BE于点G．由题意，得ED=+1=，EC=2+=，BC=2，∴BE==．∵∠BEC=∠DEG，∠EGD=∠ECB=90°，∴△EGD∽△ECB，∴=，∴DG=1．∵⊙D的半径是1，且DG⊥BE，∴BE 是⊙D 的切线；（3）由题意，得E （﹣23，0），B （2，2）． 设直线BE 为y=kx+h （k ≠0）．则，解得，，∴直线BE 为：y=34x+12． ∵直线BE 与抛物线的对称轴交点为P ，对称轴直线为x=1，∴点P 的纵坐标y=54，即P （1，54）． ∵MN ∥BE ，∴∠MNC=∠BEC ．∵∠C=∠C=90°，∴△MNC ∽△BEC ，∴=， ∴=2t ，则CN=43t ， ∴DN=t ﹣1，∴S △PND =12DN •PD=5568t -． S △MNC =12CN •CM=23t 2． S 梯形PDCM =（12PD+CM ）•CD=5182t +． ∵S=S △PND +S 梯形PDCM ﹣S △MNC =﹣+t （0＜t ＜2）．∵抛物线S=﹣+t（0＜t＜2）的开口方向向下，∴S存在最大值．当t=1时，S最大=2．37、（2013•）已知：一元二次方程x2+kx+k﹣=0．（1）求证：不论k为何实数时，此方程总有两个实数根；（2）设k＜0，当二次函数y=x2+kx+k﹣的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4时，求此二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C，过y轴上一点M（0，m）作y轴的垂线l，当m为何值时，直线l与△ABC的外接圆有公共点？（1）证明：∵△=k2﹣4××（k﹣）=k2﹣2k+1=（k﹣1）2≥0，∴关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣=0，不论k为何实数时，此方程总有两个实数根；（2）令y=0，则x2+kx+k﹣=0．∵x A+x B=﹣2k，x A•x B=2k﹣1，∴|x A﹣x B|===2|k﹣1|=4，即|k﹣1|=2，解得k=3（不合题意，舍去），或k=﹣1．∴此二次函数的解析式是y=x2﹣x﹣；（3）由（2）知，抛物线的解析式是y=x2﹣x﹣．易求A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣2），∴AB=4，AC=2，BC=2．显然AC2+BC2=AB2，得△ABC是等腰直角三角形．AB为斜边，∴外接圆的直径为AB=4，∴﹣2≤m≤2．8、（2013•压轴题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．（1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP 的最小值，若不存在，请说明理由；（3）在以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．解：（1）由题意，设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2﹣（a≠0）∵抛物线经过（0，2）∴a（0﹣4）2﹣=2解得：a=∴y=（x﹣4）2﹣即：y=x2﹣x+2当y=0时，x2﹣x+2=0解得：x=2或x=6∴A（2，0），B（6，0）；（2）存在，如图2，由（1）知：抛物线的对称轴l为x=4，因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小∵B（6，0），C（0，2）∴OB=6，OC=2∴BC=2，∴AP+CP=BC=2∴AP+CP的最小值为2；（3）如图3，连接ME∵CE是⊙M的切线∴ME⊥CE，∠CEM=90°由题意，得OC=ME=2，∠ODC=∠MDE∵在△COD 与△MED 中∴△COD ≌△MED （AAS ），∴OD=DE ，DC=DM设OD=x则CD=DM=OM ﹣OD=4﹣x则RT △COD 中，OD 2+OC 2=CD 2，∴x 2+22=（4﹣x ）2 ∴x=∴D （，0）设直线CE 的解析式为y=kx+b∵直线CE 过C （0，2），D （，0）两点，则解得：∴直线CE 的解析式为y=﹣+2； 9、(2013年市)如图6-1，过点A （0，4）的圆的圆心坐标为C （2，0），B 是第一象限圆弧上的一点，且BC ⊥AC ，抛物线c bx x y ++-=221经过C 、B 两点，与x 轴的另一交点为D 。
2023年九年级数学中考专题：二次函数与圆综合压轴题(含简单答案)
2023年九年级数学中考专题：二次函数与圆综合压轴题1．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线解析式；(2)如图2，M是抛物线顶点，的外接圆与x轴的另一交点为D，与y轴的另一交点为E．①求；②若点N是第一象限内抛物线上的一个动点，在射线上是否存在点P，使得与相似？如果存在，请求出点P的坐标；(3)点Q是拋物线对称轴上一动点，若为锐角，且，请直接写出点Q 纵坐标的取值范围．2．【概念学习】在平面直角坐标系中，对于已知的点和图形，给出如下定义：如果图形上存在一点，使得当时，，则称点为图形的一个“垂近点”．(1)【初步理解】若图形为线段，，，在点、、、中，是线段的“垂近点”的为________；(2)【知识应用】若图形为以坐标原点为圆心，2为半径的圆，直线与轴交于点、与轴交于点，如果线段上的点都是的“垂近点”，求的取值范围；(3)若图形为抛物线，以点为中心，半径为的四边形，轴，轴，如果正四边形上存在“垂近点”，直接写出的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，D为抛物线顶点．(1)连接AD，交y轴于点E，P是抛物线上的一个动点．①如图一，点P是第一象限的抛物线上的一点，连接PD交x轴于F，连接，若，求点P的坐标．②如图二，点P在第四象限的抛物线上，连接AP、BE交于点G，若，则w 有最大值还是最小值？w的最值是多少？(2)如图三，点P是第四象限抛物线上的一点，过A、B、P三点作圆N，过点作轴，垂足为I，交圆N于点M，点在运动过程中，线段是否变化？若有变化，求出MI的取值范围；若不变，求出其定值．(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，连接OQ、AQ，设AOQ外接圆圆心为H，当的值最大时，请直接写出点H的坐标．4．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－4(a≠0)经过点A(－2，0)和点B(4，0)．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）点P为抛物线上第一象限内一点，若S△ABC＝2S△PBC，求点P的坐标；（3）如图2，点D是第二象限内抛物线上一点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD 的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．5．如图，抛物线经过点，，直线AC的解析式为，且与y轴相交于点C，若点E是直线AB上的一个动点，过点E作轴交AC于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）点H是y轴上一动点，连结EH，HF，当点E运动到什么位置时，四边形EAFH 是矩形?求出此时点E，H的坐标；（3）在（2）的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为上以动点，求的最小值．6．已知二次函数的图象经过点A（2，0），B（，0），C（0，4），点为二次函数第二象限内抛物线上一动点，轴于点，交直线于点，以为直径的圆⊙M与交于点．（1）求这个二次函数的关系式；（2）当三角形周长最大时．求此时点点坐标及三角形的周长；（3）在（2）的条件下，点N为⊙M上一动点，连接BN，点Q为BN的中点，连接HQ，求HQ的取值范围．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，y与轴交于A、B两点，与轴交于点C．（1）求点A、B、C的坐标；（2）如图1，连接BC，点D是抛物线上一点，若∠DCB=∠ABC，求点D的坐标；（3）如图2，若点P在以点O为圆心，OA长为半径作的圆上，连接BP、CP，请你直接写出CP+BP的最小值．8．如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于、、、四点，点坐标为．抛物线与轴交于点，与直线交于点、，且、分别与圆相切于点和点．（1）求抛物线的解析式．（2）过点作圆的切线交的延长线于点，判断点是否在抛物线上，说明理由．（3）抛物线对称轴交轴于点，连接并延长交于点，求点的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点，交x轴于两点．(1)求此抛物线的解析式；(2)已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A、C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时P点的坐标和的最大面积；(3)过点B作线段的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴l与有怎样的位置关系，并给出证明．10．如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，且与x轴交于另一点A．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是线段BC下方的抛物线上的动点（不与点B、C重合），过P作PD∥y轴交BC 于点D，以PD为直径的圆交BC于另一点E，求DE的最大值及此时点P的坐标；（3）当（2）中的DE取最大值时，将△PDE绕点D旋转，当点P落在坐标轴上时，求点E的坐标．11．直角坐标系xOy中，有反比例函数上的一动点P，以点P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切时，求OP2的值．（2）设圆P运动时与x轴相交，交点为B、C，如图2，当四边形ABCP是菱形时，①求出A、B、C三点的坐标．②设一抛物线过A、B、C三点，在该抛物线上是否存在点Q，使△QBP的面积是菱形ABCP 面积的？若存在，求出所有满足条件的Q点的坐标；若不存在，说明理由．12．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，以点P（2，）为圆心的圆与y轴相切于点A，与x轴相交于B、C两点（点B在点C的左边）．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）在（1）中的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的．如果存在，请直接写出所有满足条件的M点的坐标；如果若不存在，请说明理由；（3）如果一个动点D自点P出发，先到达y轴上的某点，再到达x轴上某点，最后运动到（1）中抛物线的顶点Q处，求使点D运动的总路径最短的路径的长．13．已知，如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A(﹣1，0)，B(3，0)，点E为二次函数第一象限内抛物线上一动点，EH⊥x轴于点H，交直线BC于点F，以EF为直径的圆⊙M与BC交于点R.(1)求这个二次函数关系式.(2)当△EFR周长最大时.①求此时点E点坐标及△EFR周长.②点P为⊙M上一动点，连接BP，点Q为BP的中点，连接HQ，求HQ的最大值.14．如图所示，对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在抛物线对称轴上并且位于轴的下方，以点为圆心作过、两点的圆，恰好使得弧的长为周长的．(1)求该抛物线的解析式；(2)求的半径和圆心的坐标，并判断抛物线的顶点与的位置关系；(3)在抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．15．已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）经过A（5，0），B（6，1）两点，且与y轴交于点C．(1)求抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）的函数关系式；(2)如图1，连接AC，E为线段AC上一点且横坐标为1，⊙P是△OAE外接圆，求圆心P 点的坐标；(3)如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F；①点E在运动过程中四边形OEAF的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；②求出当△AEF的面积取得最大值时，点E的坐标．16．如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E四点，B 为OD中点．(1)求过A，B，C三点的抛物线解析式；(2)如图2，连接BC，AC．点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2＝MN•MB时，求M点的坐标；(3)如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由．17．已知一次函数：与轴交于点，与轴交于点．抛物线（、为常数）过定点，连接，点为线段上一动点．（1）求出点的坐标；（2）过作于点，于点，设点横坐标为，长度为，试求关于的函数解析式；（3）①当，时，该抛物线上存在唯一的点使，求此时抛物线的解析式；②过点作交线段于点，连接并延长交的外接圆于点，当点在上移动时，求的最大值．18．已知抛物线经过，，三个点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，作的外接圆，为上方半圆上一点，当时，求的长；（3）如图2，直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，作轴的平行线，分别与线段、抛物线交于，两点（点与点，不重合），点为射线上一点，当与相似时，求的最大面积．参考答案：1．(1)(2)①；②存在，或或或(3)或2．(1)，；(2)；(3)或时，正方形上存在抛物线的“垂近点”．3．(1)①，②w有最小值，w的最值是(2)不变，(3)或4．（1）；（2）；（3）为定值．5．（1）；（2），；（3）6．（1）；（2）F（，4），△EFD的周长为；（3）．7．（1），，；（2），；（3）8．（1）；（2）点在抛物线上；（3）9．（1）；（2），；（3）相交，10．（1）y=x2﹣x﹣2；（2）m=2时，DE有最大值，此时P；（3），或E或11．（1）16；（2）①A（0，），B（2，0），C（6，0）；②存在，满足条件的Q点有（0，），（14，），（8，）和（6，0）．12．（1）．（2）存在，点M的坐标为（0，），（3，0），（4，），（7，）．（3）．13．(1)y＝﹣x2+2x+3；(2)①E(，)，周长为+；②HQ的最大值大为：+.14．(1)(2)2，，点在上(3)存在，，，15．(1)抛物线解析式为y＝x2﹣x+5(2)圆心P点的坐标为（，）(3)①四边形OEAF的面积是定值，这个定值为；②当△OEF的面积取得最小值时，E点坐标为（，）16．(1)y＝﹣x2+x+2；(2)M（，）；(3)四边形CFEH是矩形．17．（1）；（2）（）；（3）①；②18．（1）；（2）；（3）．。
专题62 二次函数与圆综合性问题(解析版)
例题精讲【例1】．如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）．以坐标原点O为圆心的圆的半径r＝，OC⊥AB于点C．（1）求抛物线的函数解析式．（2）求证：直线AB与⊙O相切．（3）已知P为抛物线上一动点，线段PO交⊙O于点M．当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求PM的长．解：（1）∵抛物线的顶点为A（0，2），∴可设抛物线的解析式为：y＝ax2+2，∵抛物线经过点B（2，0），∴4a+2＝0，解得：a＝﹣，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2；（2）证明：∵A（0，2），B（2，0），∴OA＝OB＝2，∴AB＝2，∵OC⊥AB，∴•OA•OB＝•AB•OC，∴×2×2＝×2•OC，解得：OC＝，∵⊙O的半径r＝，∴OC是⊙O的半径，∴直线AB与⊙O相切；（3）∵点P在抛物线y＝﹣x2+2上，∴可设P（x，﹣x2+2），以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，可得：AC＝OM＝，CM＝OA＝2，∵点C是AB的中点，∴C（1，1），M（1，﹣1），设直线OM的解析式为y＝kx，将点M（1，﹣1）代入，得：k＝﹣1，∴直线OM的解析式为y＝﹣x，∵点P在OM上，∴﹣x2+2＝﹣x，解得：x1＝1+，x2＝1﹣，∴y1＝﹣1﹣，y2＝﹣1+，∴P1（1+，﹣1﹣），P2（1﹣，﹣1+），如图，当点P位于P1位置时，OP1＝＝＝（1+）＝+，∴P1M＝OP1﹣OM＝+﹣＝，当点P位于P2位置时，同理可得：OP2＝﹣，∴P2M＝OP2﹣OM＝﹣﹣＝﹣2；综上所述，PM的长是或﹣2．变式训练【变1-1】．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），与x轴交于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以C为圆心，1为半径作⊙O，D为⊙O上一动点，求DA+DB的最小值解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，2）代入y＝ax2+bx+2，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x+2．（2）存在．如图1，作AE⊥AB交y轴于点E，连结CE；作BF⊥x轴于点F，则F（3，0）．当y＝0时，由x2+x+2＝0，得x1＝1，x2＝4，∴C（4，0），∴CF＝AO＝1，AF＝3﹣（﹣1）＝4；又∵BF＝2，∴，∵∠BFC＝∠AFB＝90°，∴△BFC∽△AFB，∴∠CBF＝∠BAF，∴∠ABC＝∠CBF+∠ABF＝∠BAF+∠ABF＝90°，∴BC∥AE，∵∠BCF＝90°﹣∠BAC＝∠EAO，∠BFC＝∠EOA＝90°，∴△BCF≌△EAO（ASA），∴BC＝EA，∴四边形ABCE是矩形；∵OE＝FB＝2，∴E（0，﹣2）．（3）如图2，作FL⊥BC于点L，连结AL、CD.由（2）得∠BFC＝90°，BF＝2，CF＝1，∴CF＝CD，CB＝＝．∵∠FLC＝∠BFC＝90°，∠FCL＝∠BCF（公共角），∴△FCL∽△BCF，∴＝，∴＝，∵∠DCL＝∠BCD（公共角），∴△DCL∽△BCD，∴＝，∴LD＝DB；∵DA+LD≥AL，∴当DA+LD＝AL，即点D落在线段AL上时，DA+DB＝DA+LD＝AL最小．∵CL＝CF＝，∴BL＝＝，∴BL2＝（）2＝，又∵AB2＝22+42＝20，∴AL＝＝＝，DA+DB的最小值为．【例2】．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP 的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8），∴设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+8，∵与y轴交于点C（0，6），∴把点C（0，6）代入得：a＝﹣，∴该抛物线的表达式为y＝x2+2x+6；（2）△BCE是直角三角形．理由如下：∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，∴令y＝0，则﹣（x﹣2）2+8＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），∴BC2＝62+62＝72，CE2＝（8﹣6）2+22＝8，BE2＝（6﹣2）2+82＝80，∴BE2＝BC2+CE2，∴∠BCE＝90°，∴△BCE是直角三角形；（3）⊙C上存在点P，使得BP+EP的值最小且这个最小值为．理由如下：如图，在CE上截取CF＝（即CF等于半径的一半），连结BF交⊙C于点P，连结EP，则BF的长即为所求．理由如下：连结CP，∵CP为半径，∴＝＝，又∵∠FCP＝∠PCE，∴△FCP∽△PCE，∴＝＝，即FP＝EP，∴BF＝BP+EP，由“两点之间，线段最短”可得：BF的长即BP+EP为最小值．∵CF＝CE，E（2，8），∴由比例性质，易得F（，），∴BF＝＝．变式训练【变2-1】．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图甲，当△ACP是以AC为直角边的直角三角形时，求点P的坐标；（3）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D．交OM于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣4；（2）如图：由y＝x2﹣x﹣4可得C（0，﹣4），设P（x，x2﹣x﹣4），∴AC2＝（﹣2﹣0）2+（0+4）2＝20，CP2＝x2+（x2﹣x）2，AP2＝（x+2）2+（x2﹣x ﹣4）2，∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，∴AC2+CP2＝AP2，即20+x2+（x2﹣x）2＝（x+2）2+（x2﹣x﹣4）2，∴20+x2+（x2﹣x）2＝x2+4x+4+（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+16，解得x＝0（与C重合，舍去）或x＝3，∴P（3，﹣）；（3）点P在运动过程中线段DE的长不变，理由如下：连接AP、BE，如图：∵＝，＝，∴∠APD＝∠DBE，∠DAP＝∠DEB，∴△ADP∽△EDB，∴＝，∴DE＝，设P（m，m2﹣m﹣4），则D（m，0），∵A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣4），∴AD＝m+2，BD＝4﹣m，PD＝﹣（m2﹣m﹣4）＝﹣m2+m+4，∴DE＝＝＝2，∴DE是定值2，∴点P在运动过程中线段DE的长不变，是定值2．1．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2﹣1上运动，当⊙P与坐标轴相切时，圆心P的坐标可以是（，2）或（﹣，2）或（2，1）或（﹣2，1）．解：分两种情况：（1）当⊙P与x轴相切时，依题意，可设P（x，2）或P（x，﹣2）．①当P的坐标是（x，2）时，将其代入y＝x2﹣1，得2＝x2﹣1，解得x＝±，此时P（，2）或（﹣，2）；②当P的坐标是（x，﹣2）时，将其代入y＝x2﹣1，得﹣2＝x2﹣1，无解．（2）当⊙P与y轴相切时，∵⊙P的半径为2，∴当⊙P与y轴相切时，点P到y轴的距离为2，∴P点的横坐标为2或﹣2，当x＝2时，代入y＝x2﹣1可得y＝1，当x＝﹣2时，代入y＝x2﹣1可得y＝1，∴点P的坐标为（2，1）或（﹣2，1），综上所述，符合条件的点P的坐标是（，2）或（﹣，2）或（2，1）或（﹣2，1）；故答案为：（，2）或（﹣，2）或（2，1）或（﹣2，1）．2．如图1，抛物线与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB．（1）求∠AOB的度数；（2）如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM，①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标；②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围．解：（1）令y＝0，则﹣2x＝0，解得：x＝0或8．∴A（8，0）．∴OA＝8．∵y＝﹣2x＝﹣4，∴B（4，﹣4）．过点B作BD⊥OA于点D，如图，则OD＝4，BD＝4，∴OD＝BD，∴∠AOB＝∠OBD＝45°；（2）①设⊙A与x轴交于点C，则C（4，0）．连接BC，如图，∵B（4，﹣4），∴BC⊥OA．∵CO＝CB＝4，∴△CBO是以OB为底的等腰三角形．∴点M与点C重合时，△MBO是以OB为底的等腰三角形．此时点M（4，0）；过点A作AM⊥x轴，交⊙A于点M，延长MA交⊙A于点E，连接BE，过点M作MF⊥y轴于点F，如图，则M（8，4），E（8，﹣4），F（，4）．∴MF＝ME＝8．∵B（4，﹣4），∴BE∥x轴．∴BE⊥ME，BE＝4．∴∠BEM＝∠MFO＝90°，BE＝OF＝4．在△MOF和△MBE中，，∴△MOF≌△MBE（SAS）．∴MO＝MB．∴△MBO是以OB为底的等腰三角形．此时点M（8，4）；综上，当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，点M的坐标为（4，0）或（8，4）；②设⊙A与x轴交于点C，则C（4，0）．连接BC，CN，AM，如图，∵A（8，0），∴点C是OA的中点．∵N为OM的中点，∴CN是△OMA的中位线．∴CN＝AM＝2．当点M在⊙A上运动时，由三角形的三边的关系定理可知：BC﹣CN≤BN≤BC+CN．∵BC＝4，∴4﹣2≤BN≤4+2．∴线段BN长度的取值范围为：2≤BN≤6．3．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；（3）如图2，若第四象限有一动点E，满足BE＝OB，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为（t，0），0＜t＜3，△BEF的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．解：（1）在y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，令y＝0，得：ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴OB＝3，∵OB＝OC，∴OC＝3，∴C（0，﹣3），∴﹣3a＝﹣3，∴a＝1，∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．（2）设直线BC解析式为y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直线BC解析式为：y＝x﹣3，设M点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），∵PM⊥x轴，∴P（m，m﹣3），∴PM＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，∵OB＝OC，∠BOC＝90°，∴CB＝OB，∴CP＝m，∵△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，∴∠PCM＝∠NCM，∵PM∥y轴，∴∠NCM＝∠PMC，∴∠PCM＝∠PMC，∴PC＝PM，∴m＝﹣m2+3m，整理得：m2+（﹣3）m＝0，解得：m1＝0（舍去），m2＝3﹣，∴当m＝3﹣时，m﹣3＝﹣，∴P（3﹣，﹣）．（3）如图2，连接BI，OI，EI，作△OBI的外接圆⊙M，连接OM，BM，MI，CM，过M作MH⊥y轴于H，∵EF⊥x轴，∴∠BFE＝90°，∴∠FBE+∠FEB＝90°，∵△BEF的内心为I，∴BI，EI分别平分∠FBE，∠FEB，∴∠IBE＝∠FBE，∠IEB＝∠FEB，∴∠IBE+∠IEB＝（∠FBE+∠FEB）＝45°，∴∠BIE＝135°，在△BIO和△BIE中，，∴△BIO≌△BIE（SAS），∴∠BIO＝∠BIE＝135°，∵⊙M是△OBI的外接圆，∴∠OMB＝2×（180°﹣∠BIO）＝90°，∴OM＝BM＝OB＝，∴MI＝OM＝，∴∠MOB＝∠MOH＝45°，∵MH⊥y轴，∴∠HOM＝∠HMO＝45°，∴OH＝HM＝OM＝，∴CH＝OH+OC＝+3＝，∴CM＝＝，∵CI≥CM﹣MI，当且仅当C、M、I三点共线时，CI取得最小值，∴CI的最小值为﹣．4．已知抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+4m﹣6．（1）试说明对于每一个实数m，抛物线都经过x轴上的一个定点；（2）设抛物线与x轴的两个交点A（x1，0）和B（x2，0）（x1＜x2）分别在原点的两侧，且A、B两点间的距离小于6，求m的取值范围；（3）抛物线的对称轴与x轴交于点C，在（2）的条件下，试判断是否存在m的值，使经过点C及抛物线与x轴的一个交点的⊙M与y轴的正半轴相切于点D，且被x轴截得的劣弧与是等弧？若存在，求出所有满足条件的m的值；若不存在，说明理由．解：（1）由题意可知：y＝（x﹣2）（x﹣2m+3），因此抛物线与x轴的两个交点坐标为：（2，0）（2m﹣3，0），因此无论m取何值，抛物线总与x轴交于（2，0）点；（2）令y＝0，有：x2﹣（2m﹣1）x+4m﹣6＝0，则：x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝4m﹣6；∵AB＜6∴x2﹣x1＜6，即（x2﹣x1）2＜36，（x1+x2）2﹣4x1x2＜36，即（2m﹣1）2﹣4（4m﹣6）＜36，解得﹣＜x＜．①根据A、B分别在原点两侧可知：x1x2＜0，即4m﹣6＜0，m＜．②综合①②可得﹣＜m＜；（3）假设存在这样的m，设圆M与y轴的切点为D，过M作x轴的垂线设垂足为E．①当C点在x轴正半轴时，x＝＞0，因此＜m＜，∵弧BC＝弧CD，因此BC＝CD．OC＝，CD＝BC＝OB﹣OC＝2﹣＝，EC＝BC＝，OE＝MD＝OC+CE＝+＝．易知：OD＝ME，即OD2＝ME2∴CD2﹣OC2＝CM2﹣CE2，（）2﹣（）2＝（）2﹣（）2；解得m＝，符合m的取值范围．②当C点在x轴负半轴时，x＝＜0，因此﹣＜m＜，同①可求得OC＝，CD＝AC＝，CE＝，MD＝OE＝．同理有：CD2﹣OC2＝MC2﹣CE2（）2﹣（）2＝（）2﹣（）2化简得：m2＝，∴m＝±，均不符合m的取值范围，因此这种情况不成立．综上所述，存在符合条件的m，且m＝．5．已知抛物线y＝x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；②若点C关于直线x＝﹣的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求的值．解：（1）令y＝0，∴x2+mx﹣2m﹣4＝0，∴△＝m2﹣4[﹣2m﹣4]＝m2+8m+16，∵m＞0，∴Δ＞0，∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）令y＝0，∴x2+mx﹣2m﹣4＝0，∴（x﹣2）[x+（m+2）]＝0，∴x＝2或x＝﹣（m+2），∴A（2，0），B（﹣（m+2），0），∴OA＝2，OB＝m+2，令x＝0，∴y＝﹣2（m+2），∴C（0，﹣2（m+2）），∴OC＝2（m+2），①通过定点（0，1）理由：如图，∵点A，B，C在⊙P上，∴∠OCB＝∠OAF，在Rt△BOC中，tan∠OCB＝＝＝，在Rt△AOF中，tan∠OAF＝＝＝，∴OF＝1，∴点F的坐标为（0，1）；②如图1，由①知，点F（0，1），∵D（0，1），∴点D在⊙P上，∵点E是点C关于抛物线的对称轴的对称点，∴∠DCE＝90°，∵⊙P是△ABC的外接圆，∴点P在抛物线的对称轴上，∴点E在⊙P上，∴DE是⊙P的直径，∴∠DBE＝90°，∵∠BED＝∠OCB，∴tan∠BED＝，设BD＝n，在Rt△BDE中，tan∠BED＝＝＝，∴BE＝2n，根据勾股定理得，DE＝＝n，∴l＝BD+BE+DE＝（3+）n，r＝DE＝n，∴＝＝．6．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y轴分别相交于M （4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；＝8S△QAB，（3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形OPMN 且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）如图，连接OC，∵M（4，0），N（0，3），∴OM＝4，ON＝3，∴MN＝5，∴OC＝MN＝，∵CD为抛物线对称轴，∴OD＝MD＝2，在Rt△OCD中，由勾股定理可得CD＝＝＝，∴PD＝PC﹣CD＝﹣＝1，∴P（2，﹣1）；（2）∵抛物线的顶点为P（2，﹣1），∴设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣2）2﹣1，∵抛物线过N（0，3），∴3＝a（0﹣2）2﹣1，解得a＝1，∴抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣1，即y＝x2﹣4x+3；（3）在y＝x2﹣4x+3中，令y＝0可得0＝x2﹣4x+3，解得x＝1或x＝3，∴A（1，0），B（3，0），∴AB＝3﹣1＝2，∵ON＝3，OM＝4，PD＝1，＝S△OMP+S△OMN＝OM•PD+OM•ON＝×4×1+×4×3＝8＝8S△QAB，∴S四边形OPMN＝1，∴S△QAB设Q点纵坐标为y，则×2×|y|＝1，解得y＝1或y＝﹣1，当y＝1时，则△QAB为钝角三角形，而△OBN为直角三角形，不合题意，舍去，当y＝﹣1时，可知P点即为所求的Q点，∵D为AB的中点，∴AD＝BD＝QD，∴△QAB为等腰直角三角形，∵ON＝OB＝3，∴△OBN为等腰直角三角形，∴△QAB∽△OBN，综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（2，﹣1）．7．如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．（1）求二次函数的表达式；（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．解：（1）∵二次函数的图象顶点在原点，故设二次函数表达式为：y＝ax2，将（2，1）代入上式并解得：a＝，故二次函数表达式为：y＝x2；（2）将y＝1代入y＝x2并解得：x＝±2，故点M、N的坐标分别为（﹣2，1）、（2，1），则MN＝4，∵△PMN是等边三角形，∴点P在y轴上且PM＝4，∴PF＝2；∵点F（0，1），∴点P的坐标为（0，1+2）或（0，1﹣2）；（3）假设二次函数的图象上存在一点E满足条件，设点Q是FN的中点，则点Q（1，1），故点E在FN的中垂线上．∴点E是FN的中垂线与y＝x2图象的交点，∴y＝×12＝，则点E（1，），EN＝＝，同理EF＝＝，点E到直线y＝﹣1的距离为|﹣（﹣1）|＝，故存在点E，使得以点E为圆心半径为的圆过点F，N且与直线y＝﹣1相切．8．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c+1，①当b＝1时，求这个二次函数的对称轴的方程；②若c＝﹣b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，b＞0，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足＝，求二次函数的表达式．解：①二次函数y＝﹣x2+bx+c+1的对称轴为x＝，当b＝1时，＝，∴当b＝1时，求这个二次函数的对称轴的方程为x＝．②二次函数y＝﹣x2+bx+c+1的顶点坐标为（，），∵二次函数的图象与x轴相切且c＝﹣b2﹣2b，∴，解得：b＝，∴b为，二次函数的图象与x轴相切．③∵AB是半圆的直径，∴∠AMB＝90°，∴∠OAM+∠OBM＝90°，∵∠AOM＝∠MOB＝90°，∴∠OAM+∠OMA＝90°，∴∠OMA＝∠OBM，∴△OAM∽△OMB，∴，∴OM2＝OA•OB，∵二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），∴OA＝﹣x1，OB＝x2，x1+x2，＝b，x1•x2＝﹣（c+1），∵OM＝c+1，∴（c+1）2＝c+1，解得：c＝0或c＝﹣1（舍去），∴c＝0，OM＝1，∵二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足＝，∴AD＝BD，DF＝4DE，DF∥OM，∴△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，∴，，∴DE＝，DF＝，∴×4，∴OB＝4OA，即x2＝﹣4x1，∵x1•x2＝﹣（c+1）＝﹣1，∴，解得：，∴b＝﹣+2＝，∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+x+1．9．已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）．若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足；当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且△ABC 有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．解：①当x1＜x2＜0时，x1﹣x2＜0，∵（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，∴y1﹣y2＜0，∴当x＜0时，y随x的增大而增大，当0＜x1＜x2时，x1﹣x2＜0，∵（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，∴y1﹣y2＞0，∴当x＞0时，y随x的增大而减小．∴抛物线关于y轴对称，∴b＝0，∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2），∴c＝2，如图，连接OB、OC，设BC y轴于点D．由对称性可知，△ABC为等腰三角形，又∵△ABC有一个内角为60°，∴△ABC是等边三角形，∴OD＝OA＝1，CD＝OD＝，∴B（﹣，﹣1），C（，﹣1），将C点坐标代入y＝ax2+2可求得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2．②设直线OM的解析式为y＝k1x，∵O、M、N三点共线，∴x1≠0，x2≠0，且＝，化为x1﹣x2＝，∵x1≠x2，∴x1x2＝﹣2，∴，∴，设点N关于y轴的对称点为N'，则N'的坐标为，∵点P是点O关于点A的对称点，∴OP﹣2OA＝4，即点P的坐标为（0，4），设直线PM的解析式为y＝k2x+4，∵点M的坐标为，∴，∴，∴直线PM的解析式为x+4．∵，即N'在直线PM上，∴PA平分∠MPN．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO 的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．（1）求圆心M的坐标；（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；（3）在（2）的条件下，在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF ＝4时，求点P的坐标．解：（1）点B（0，4），则点C（0，2），∵点A（4，0），则点M（2，1）；（2）应该是圆M与直线AD相切，则∠CAD＝90°，设：∠CAO＝α，则∠CAO＝∠ODA＝∠PEH＝α，tan∠CAO＝＝＝tanα，则sinα＝，cosα＝，AC＝，则CD＝＝10，则点D（0，﹣8），将点A、D的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线AD的表达式为：y＝2x﹣8；（3）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2+1，将点B坐标代入上式并解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x+4，过点P作PH⊥EF，则EH＝EF＝2，cos∠PEH＝，解得：PE＝5，设点P（x，x2﹣3x+4），则点E（x，2x﹣8），则PE＝x2﹣3x+4﹣2x+8＝5，解得x＝或2，则点P（，）或（2，1）．11．如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．（1）求点A的坐标；（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE；②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝，∠CAE＝∠OBE时，求﹣的值．解：（1）令ax2+6ax＝0，ax（x+6）＝0，∴A（﹣6，0）；（2）①证明：如图，连接PC，连接PB，延长交x轴于点M，∵⊙P过O、A、B三点，B为顶点，∴PM⊥OA，∠PBC+∠BDM＝90°，又∵PC＝PB，∴∠PCB＝∠PBC，∵CE为切线，∴∠PCB+∠ECD＝90°，又∵∠BDM＝∠CDE，∴∠ECD＝∠CDE，∴CE＝DE．②解：设OE＝m，点D的坐标为（t，0），∵∠CAE＝∠CBO，∠CAE＝∠OBE，∴∠CBO＝∠EBO，由角平分线成比例定理可得：，即：，∴，∴，∴，＝，＝．12．抛物线y＝﹣x2+x﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：y＝t（t＜）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．（1）点B，D的坐标分别为（3，0），（，）；（2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处，当点E在△ABC内（含边界）时，求t的取值范围；（3）如图②，当t＝0时，点Q是“M”形新图象上一动点．①直接写出“M”形图象AB段的函数关系式；②是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）令y＝0，则﹣x2+x﹣1＝0，解得x＝3或x＝，∴B（3，0），A（，0），令x＝0，则y＝﹣1，∴C（0，﹣1），∵y＝﹣x2+x﹣1＝﹣（x﹣）2+，∴顶点D（，），故答案为：（3，0），（，）；（2）∵E与D关于直线y＝t对称，∴E（，2t﹣），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（3，0），C（0，﹣1）代入，得，∴，∴y＝x﹣1，当x＝时，y＝﹣，∵E点在△ABC内（含边界），∴2t﹣≥﹣，∴t≥，∵2t﹣≤0，∴t≤，∵t＜，∴t的取值范围是≤t≤；（3）①当t＝0时，y＝﹣x2+x﹣1关于x轴对称的函数为y＝x2﹣x+1，∴“M”形图象AB段的函数关系式为y＝x2﹣x+1（≤x≤3）；②存在点P，理由如下：设Q点的横坐标为m，∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，∴P点的横坐标为m，当m＞3或m＜时，Q（m，﹣m2+m﹣1），∵△CPQ为直角三角形，∴CQ2＝CP2+PQ2，即m2+（﹣m2+m）2＝m2+1+m2+（﹣m2+m﹣1）2，解得m＝或m＝，∴P（，0）或P（，0）；当≤m≤3时，Q（m，m2﹣m+1），∵△CPQ为直角三角形，∴CQ2＝CP2+PQ2，即m2+（m2﹣m+2）2＝m2+1+m2+（m2﹣m+1）2，解得m＝2或m＝，∴P（，0）或P（1，0）；综上所述：存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，P点坐标为（，0）或（，0）或（，0）或P（1，0）．13．已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）．（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2），∴c＝2．又∵点（﹣，0）也在该抛物线上，∴a（﹣）2+b（﹣）+c＝0，∴2a﹣b+2＝0（a≠0）．（2）①∵当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＜0，∴当x＜0时，y随x的增大而增大；同理：当x＞0时，y随x的增大而减小，∴抛物线的对称轴为y轴，开口向下，∴b＝0．∵OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B、C，∴△ABC为等腰三角形，又∵△ABC有一个内角为60°，∴△ABC为等边三角形．设线段BC与y轴交于点D，则BD＝CD，且∠OCD＝30°，又∵OB＝OC＝OA＝2，∴CD＝OC•cos30°＝，OD＝OC•sin30°＝1．不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为（，﹣1）．∵点C在抛物线上，且c＝2，b＝0，∴3a+2＝﹣1，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2．②证明：由①可知，点M的坐标为（x1，﹣+2），点N的坐标为（x2，﹣+2）．直线OM的解析式为y＝k1x（k1≠0）．∵O、M、N三点共线，∴x1≠0，x2≠0，且＝，∴﹣x1+＝﹣x2+，∴x1﹣x2＝﹣，∴x1x2＝﹣2，即x2＝﹣，∴点N的坐标为（﹣，﹣+2）．设点N关于y轴的对称点为点N′，则点N′的坐标为（，﹣+2）．∵点P是点O关于点A的对称点，∴OP＝2OA＝4，∴点P的坐标为（0，4）．设直线PM的解析式为y＝k2x+4，∵点M的坐标为（x1，﹣+2），∴﹣+2＝k2x1+4，∴k2＝﹣，∴直线PM的解析式为y＝﹣x+4．∵﹣•+4＝＝﹣+2，∴点N′在直线PM上，∴PA平分∠MPN．14．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（4，1），且与y 轴交于点C，连接AB、AC、BC．（1）求此二次函数的关系式；（2）判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M的坐标；（3）若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点A1、B1、C1，△A1B1C1的外接圆记为⊙M1，是否存在某个位置，使⊙M1经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．解：（1）把点A（3，0），B（4，1）代入y＝ax2+bx+3中，，解得：，所以所求函数关系式为：y＝x2﹣x+3；（2）△ABC是直角三角形，过点B作BD⊥x轴于点D，易知点C坐标为：（0，3），所以OA＝OC，所以∠OAC＝45°，又∵点B坐标为：（4，1），∴AD＝BD，∴∠DAB＝45°，∴∠BAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△ABC是直角三角形，圆心M的坐标为：（2，2）；（3）存在取BC的中点M，过点M作ME⊥y轴于点E，∵M的坐标为：（2，2），∴MC＝＝，OM＝2，∴∠MOA＝45°，又∵∠BAD＝45°，∴OM∥AB，∴要使抛物线沿射线BA方向平移，且使⊙M1经过原点，则平移的长度为：2﹣或2+；∵∠BAD＝45°，∴抛物线的顶点向左、向下均分别平移＝个单位长度或＝个单位长度，∵y＝x2﹣x+3＝（x﹣）2﹣，∴平移后抛物线的关系式为：y＝（x﹣+）2﹣﹣，即y＝（x﹣）2﹣，或y＝（x﹣+）2﹣﹣，即y＝（x﹣）2﹣．综上所述，存在一个位置，使⊙M1经过原点，此时抛物线的关系式为：y＝（x﹣）2﹣或y＝（x﹣）2﹣．15．已知抛物线C1：y＝ax2过点（2，2）（1）直接写出抛物线的解析式y＝x2；（2）如图，△ABC的三个顶点都在抛物线C1上，且边AC所在的直线解析式为y＝x+b，若AC边上的中线BD平行于y轴，求的值；（3）如图，点P的坐标为（0，2），点Q为抛物线上C1上一动点，以PQ为直径作⊙M，直线y＝t与⊙M相交于H、K两点是否存在实数t，使得HK的长度为定值？若存在，求出HK的长度；若不存在，请说明理由．解：（1）把点（2，2）坐标代入y＝ax2，解得：a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2；（2）把y＝x+b和y＝x2得：x2﹣2x﹣2b＝0，设A、C两点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则：x1+x2＝2，x1•x2＝﹣2b，点D坐标为（，），即；D（1，1+b），B坐标为（1，），AC2＝[（x2﹣x1）]2＝16b+8BD＝+b，∴＝16；（3）设点Q坐标为（a，a2），点P的坐标为（0，2），由P、Q坐标得点M的坐标为（，a2+1），设圆的半径为r，由P（0，2）、M两点坐标可以求出r2＝+（a2﹣1）2＝a4﹣a2+1，设点M到直线y＝t的距离为d，则d2＝（a2+1﹣t）2＝a4+a2+1+t2﹣2t﹣a2t，则HK＝2＝2，当t﹣＝0时，HK为常数，t＝，HK＝．16．定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．（1）已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由；（2）如图1，已知二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，求△POA 周长的最小值；（3）如图2，已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连结PC，PD．若∠CPD＝120°，求a的值．解：（1）对于二次函数y＝x2﹣4x+3，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，解得x＝1或x＝3，∴二次函数图象与x轴交点为A（1，0），B（3，0），与y轴交点为C（0，3），∵点P（2，2），∴PA＝PB＝PC＝，∴⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆．（2）如图1，连接PH，∵二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，∴A（2，0），与y轴的交点H（0，4），∴△POA周长＝PO+PA+OA＝PO+PH+2≥OH+2＝6，∴△POA周长的最小值为6．（3）如图2，连接CD，PA，设二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，∵AB＝，∴AF＝BF＝，∵∠CPD＝120°，PC＝PD，C（0，4），∴∠PCD＝∠PDC＝30°，设PE＝m，则PA＝PC＝2m，CE＝m，PF＝4﹣m，∵二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l为，∴，即，在Rt△PAF中，PA2＝PF2+AF2，∴，即，化简，得，解得，∴．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx﹣c交x轴于点A，B，点B的坐标为（4，0），与y轴于交于点C（0，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M（如图1），过点B作⊙M的切线交于点P（如图2），设Q为⊙M上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．解：（1）将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；（2）当x＝5时，y＝x2﹣x﹣2＝3，故D的坐标为（5，3），令y＝0，则x＝4（舍去）或﹣1，故点A（﹣1，0），如图，连接BD，作BN⊥AD于N，∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），∴AD＝3，BD＝，AB＝5，＝＝，∵S△ABD∴BN＝，∴sin∠BDN＝＝＝，∴∠BDN＝45°，∴∠ADB＝∠BDN＝45°；（3）不变．如图，连接MQ，MB，∵过点B作⊙M的切线交1于点P，∴∠MBP＝90°，∵∠MBO＝45°，∴∠PBH＝45°，∴PH＝HB＝2.5，∵＝＝，＝＝，∵∠HMQ＝∠QMP，∴△HMQ∽△QMP，∴＝＝，∴在点Q运动过程中的值不变，其值为．18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），与x轴交于A（4，0）、O两点，点D（2，﹣2）为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作⊙E，交x轴于B、C两点，点M为⊙E上一点．①射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当tan∠MBC＝2时，求m的值；②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．解：（1）由抛物线顶点式表达式得：y＝a（x﹣2）2﹣2，将点A的坐标代入上式并解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣2＝x2﹣2x①；（2）①点E是OA的中点，则点E（2，0），圆的半径为1，则点B（1，0），当点P在x轴下方时，如图1，∵tan∠MBC＝2，故设直线BP的表达式为：y＝﹣2x+s，将点B（1，0）的坐标代入上式并解得：s＝2，故直线BP的表达式为：y＝﹣2x+2②，联立①②并解得：x＝±2（舍去﹣2），故m＝2；当点P在x轴上方时，同理可得：m＝4±2（舍去4﹣2）；故m＝2或4+2；②存在，理由：连接BN、BD、EM，则BN是△OEM的中位线，故BN＝EM＝，而BD＝＝，在△BND中，BD﹣BN≤ND≤BD+BN，即﹣0.5≤ND≤+0.5，故线段DN的长度最小值和最大值分别为﹣0.5和+0.5．19．如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．1°求线段MN的最大值；2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．解：（1）把A、B、C三点的坐标代入抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，得，解得，，∴抛物线的解析式为：y ＝x 2﹣4x +3；（2）1°设直线BC 的解析式为y ＝mx +n （m ≠0），则，解得，，∴直线BC 的解析式为：y ＝﹣x +3，设M （t ，﹣t +3）（0＜t ＜3），则N （t ，t 2﹣4t +3），∴MN ＝﹣t 2+3t ＝﹣，∴当t ＝时，MN 的值最大，其最大值为；2°∵△PMN 的外接圆圆心Q 在△PMN 的边上，∴△PMN 为直角三角形，由1°知，当MN 取最大值时，M （），N （），①当∠PMN ＝90°时，PM ∥x 轴，则P 点与M 点的纵坐标相等，∴P 点的纵坐标为，当y ＝时，y ＝x 2﹣4x +3＝，解得，x ＝，或x ＝（舍去），∴P （）；②当∠PNM ＝90°时，PN ∥x 轴，则P 点与N 点的纵坐标相等，∴P 点的纵坐标为﹣，当y ＝﹣时，y ＝x 2﹣4x +3＝﹣，解得，x ＝，或x ＝（舍去），∴P （，）；③当∠MPN ＝90°时，则MN 为△PMN 的外接圆的直径，∴△PMN的外接圆的圆心Q为MN的中点，∴Q（），半径为，过Q作QK∥x轴，与在MN右边的抛物线图象交于点K，如图②，令y＝，得y＝x2﹣4x+3＝，解得，x＝＜（舍），或x＝，∴K（，），∴QK＝＞，即K点在以MN为直径的⊙Q外，设抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点为点L，则l（2，﹣1），连接LK，如图②，则L到QK的距离为，LK＝，设Q点到LK的距离为h，则，∴＝，∴直线LK下方的抛物线与⊙Q没有公共点，∵抛物线中NL部分（除N点外）在过N点与x轴平行的直线下方，∴抛物线中NL部分（除N点外）与⊙Q没有公共点，∵抛物线K点右边部分，在过K点与y轴平行的直线的右边，∴抛物线K点右边部分与⊙Q没有公共点，综上，⊙Q与MN右边的抛物线没有交点，∴在线段MN右侧的抛物线上不存在点P，使△PMN的外接圆圆心Q在MN边上；综上，点P的坐标为（）或（）．20．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：x…﹣10123…y…03430…（1）求出这条抛物线的解析式；（2）如图1，直线y＝kx+1（k＜0）与抛物线交于P，Q两点，交抛物线的对称轴于点T，若△QMT的面积是△PMT面积的两倍，求k的值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．解：（1）根据表格可得出A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入，得：3＝a（0+1）（0﹣3），解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，∴该抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），令y＝kx+1＝﹣x2+2x+3，整理得：x2+（k﹣2）x﹣2＝0，∴x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣2①，∵△QMT的面积是△PMT面积的两倍，∴MT•（x2﹣1）＝2×MT•（1﹣x1），∴2x1+x2＝3，即x2＝3﹣2x1②，将②代入①得：2x12﹣3x1﹣2＝0，解得：x1＝2或，∴或，∴k＝1或，∵k＜0，∴k＝﹣；（3）线段EF的长为定值1，如图，连接BE，设D（t，﹣t2+2t+3），且t＞3，∵EF⊥x轴，∴DF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，∵F（t，0），∴BF＝OF﹣OB＝t﹣3，AF＝t﹣（﹣1）＝t+1，∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠DAF+∠BED＝180°，∵∠BEF+∠BED＝180°，∴∠DAF＝∠BEF，∵∠AFD＝∠EFB＝90°，∴△AFD∽△EFB，∴，∴，∴EF＝＝＝1，∴线段EF的长为定值1．21．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴．（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）现有一个以原点O为圆心，长为半径的圆沿y轴正半轴方向向上以每秒1个单位的速度运动，问几秒后⊙O与直线AC相切？解：（1）设0＝﹣x2+2x+3，解得：x＝﹣1或3，∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x相交于AB（点A点B左侧），∴A（﹣1，0），B（3，0），∵抛物线与y轴相交于点C，∴C（0，3），∴抛物线的对称轴是：直线x＝1．（2）①设直线BC的函数关系式为y＝kx+b，把B（3，0），C（0，3）分别代入，得，解得：k＝﹣1，b＝3∴直线BC的函数关系式为y＝﹣x+3．当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∴E（1.2）．当x＝m时，y＝﹣m+3，∴P（m，﹣m+3）在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝1时，y＝4，∴D（1，4）．当x＝m时，y＝﹣m2+2m+3，∴F（m，﹣m2+2m+3），∴线段DE＝4﹣2＝2，线段PF＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∵PF∥DE∴当PF＝DE时，四边形PEDF为平行四边形．由﹣m2+3m＝2，解得m＝2或m＝1（不合题意，舍去）．因此，当m＝2时，四边形PEDF为平行四边形．②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得OB＝OM+MB＝3．+S△CPF，∵S＝S△EPF即S＝PF•BM+PF•OM＝PF（BM+OM）＝PF•OB，∴S＝×3（﹣m2+3m）＝﹣m2+m（0≤m≤3）∴当m＝﹣＝时S最大值＝；。
二次函数与圆综合题
圆与二次函数综合题1. 抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B(3，0)，C(0，-3).(1)求二次函数的关系式；(2)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径.3. 如图,已知抛物线的顶点坐标为M（1,4）,且经过点N（2,3）,与x轴交于A、B 两点（A点在B点左侧）,与y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式及A、B、C三点的坐标（2）若直线y=kx+b经过C、M两点,且与x轴交于点D,证明四边形CDAN是平行四边形.（3）点P在抛物线的对称轴x=1上运动,请探索,在x轴上方是否存在这样的点P,使以P为圆心的圆经过A、B两点,且与直线CD相切,若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.4.已知:如图,抛物线的图象与x轴分别交于A（-3,0）,B（1,0）两点,与y轴交于点（1）求抛物线的顶点E的坐标;（2）求⊙M的面积;（3）连CD交AO于点F,延长CD至G,使FG=2,试探究,当点D运动到何处时,直线GA与⊙M相切,并请说明理由.5.在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、E（3，）三点（1）求此抛物线的解析式（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l ，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）6. 已知二次函数的图象如图．（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．参考答案1、(1)将C(0，-3)代入，得c=-3.将c=-3、B(3，0)代入，得9a+3b-3=0.①因为x=1是抛物线的对称轴，所以.②将②变形后代入①得a=1，b=-2.所以二次函数的关系式是.(2)AC与对称轴的交点P即为到B、C的距离之差最大的点. 因为PA=PB，所以点P到B、C两点距离之差就等于|PA-PC|.由于三角形的两边之差小于第三边，所以只有当点P、C、A在一直线上时，|PA-PC|=AC最大. 因为C点的坐标为(0，-3)，A点的坐标为(-1，0)，所以直线AC的关系式是y=-3x-3.又对称轴为x=1，所以点P的坐标(1，-6).(3)设M(，y)、N(，y)，所求圆的半径为r，则，③因为对称轴为x=1，所以.④由③、④得：.⑤将N(r+1，y)代入关系式，得，整理，得.由于r=±y，当y=r>0时，，解得，(舍去)；当y=r<0时，，解得，(舍去).所以此圆的半径是或.2. 解:(1)作AH⊥OB于H,设AD与OC的交点为G∵BC是⊙A的直径∴点A为BC的中点∴AG、AH分别是△BOC的中位线∴AH=12×OC=3√AG=12×OB=1 (三角形的中位线等于第三边的一半)故A点的坐标为(1,3√)(2)∵抛物线过O、B两点∴根据抛物线的对称性,可知抛物线的顶点横坐标为1∵抛物线的顶点在直线y=−(3√3)×x上∴x=1时y=−3√3∴抛物线的顶点坐标为(1,−3√3)设所求抛物线为y=a×x2+bx+c(a≠0)将三点坐标代入抛物线解析式y=a×x2+bx+c中得a=3√3,b=−2×3√3,c=0故抛物线解析式为y=(3√3)×x2−(2×3√3)×x(3)BC=22+(2×3√)2−−−−−−−−−−−√=4∵DE∥x轴A(1,3√) DE=BC=4∴D(-1,3√) E(3,3√)将x=-1代入抛物线解析式中得y=(3√3)+(2×3√3)=3√,故点D在抛物线y=(3√3)×x2−(2×3√3)×x上将x=3代入抛物线解析式得y=3×3√−2×3√=3√,点E在抛物线y=(3√3)×x2−(2×3√3)×x上(4)当点P在抛物线的OD或BE上时,∠BPC为钝角∴X0的取值范围是−1＜X0＜0或2＜X0＜33.(1) 已知顶点M(1,4),抛物线的开口向下则,y-4=k(x-1)2经过N点,则有,3-4=k(2-1)2=k=-1所以,y=-(x-1)2+4.此即抛物线的解析式令y=0,易得：x1-1=2,即x1=3x2-1=-2,即,x2=-1据题意,A(-1,0),B(3,0)令x=0,则,y=-1+4=3,故,C(0,3)(2) 由(1)的解可知,Yc=Yn,则,CN//AB,|CN|=2将C、M的坐标代入直线方程：y=kx+bb=3,4=k×1+3,k=1y=x+3与x轴的交点D（-3,0）,则,|AD|=2线段CN=线段AD,CN//AD.亦即四边形ADCN是平行四边形(3) 设⊙P与CD的切点为G,有PG=PA=PB设P(1,m).由以上计算知道：BD=6,∠CDB=45°PG所在直线方程的斜率k=-1,P在直线PG上,则有y=-x+m+1与y=x+3的交点即Gx=(m-2)/2,y=(m+4)/2.即G[(m-2)/2,(m+4)/2]据PG=PA,有PG2=m2+4=(4-m)2/4+(m-4)2/42m2+8=m2-8m+16m=2√6-4,m=-4-2√6(1,2√6-4),和（1,-4-2√6）即为所求⊙P的圆心坐标4. 1)抛物线y=−3√3x2−23√3x+3√=−3√3(x2+2x+1)+3√+3√3=−3√3(x+1)2+43√3∴E的坐标为(−1,43√3)；(2)连AC；∵M过A,O,C,∠AOC=90∘，∴AC为O的直径。
圆与二次函数结合型压轴题专题(解析版)--2024年中考数学重难点
圆与二次函数结合型压轴题专题通用的解题思路：一、点在圆上的使用技巧：①没告诉半径，利用圆上的点到圆心的距离等于半径可以表示出半径的长度；②告诉半径，圆上的点到圆心的距离等于半径这个等量关系可以求出一个参数。
二、判断直线与圆的位置关系的标准流程：第一步，利用圆上的点到圆心的距离等于半径表示出半径r ，第二步，表示出圆心到直线的距离d ，第三步，比较半径r 和距离d 的大小：若半径r >距离d ，则直线与圆相交，若半径r =距离d ，则直线与圆相切，若半径r <距离d ，则直线与圆相离。
三、记直线l 被圆C 截得的弦长为|AB |的常用方法弦长公式：AB =2r 2-d 21(长沙中考)如图，抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的对称轴为y 轴，且经过(0，0)和(a ，116)两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A (0，2)．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求证：在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交；(3)设⊙P 与x 轴相交于M (x 1，0)，N (x 2，0)(x 1<x 2)两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标．【解答】解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的对称轴为y 轴，且经过(0，0)和(a ，116)两点，∴抛物线的一般式为：y =ax 2，∴116=a (a )2，解得：a =±14，∵图象开口向上，∴a =14，∴抛物线解析式为：y =14x 2，故a =14，b =c =0；(2)设P (x ，y )，⊙P 的半径r =x 2+y -2 2，又∵y =14x 2，则r =x 2+14x 2-2 2，化简得：r =116x 4+4>14x 2，∴点P 在运动过程中，⊙P 始终与x 轴相交；(3)设P (t ，14t 2)，∵r 2-y 2=4，∴MH =NH =2，∴M (t -2，0)，N (t +2，0)，A (0，2)，∵△AMN 为等腰三角形，∴AM =AN ，AM =MN ，AN =MN ，(t -2)2+(2-0)2=(t +2)2+(2-0)2，∴t =0，(t -2)2+(2-0)2=42，∴t =2±23，(t +2)2+(2-0)2=42，∴t =-2±23，①当t =0时，P 的纵坐标为0，②当t =2±23时，P Y =14(2±23)2=4±23，∴P 的纵坐标为4±23，③当t =-2±23时，P Y =14(2±23)2=4±23，∴P 的纵坐标为4±23，综上所述，P 的纵坐标为：0或4+23或4-23．2(岳麓区校级月考)如图，已知直线l ：y =-1和抛物线L ：y =ax 2+bx +c (a ≠0)，抛物线L 的顶点为原点，且经过点A 2a ,14，直线y =kx +1与y 轴交于点F ，与抛物线L 交于点B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，且x 1<x 2．(1)求抛物线L 的解析式；(2)点P 是抛物线L 上一动点．①以点P 为圆心，PF 为半径作⊙P ，试判断⊙P 与直线l 的位置关系，并说明理由；②若点Q (2，3)，当|PQ -PF |的值最大时，求点P 的坐标；(3)求证：无论k 为何值，直线l 总是与以BC 为直径的圆相切．【解答】解：(1)抛物线的表达式为：y =ax 2，将点A 坐标代入上式得：14=a (2a )2，解得：a =14，故抛物线的表达式为：y =14x 2⋯①；(2)①点F (0，1)，设：点P (m ，14m 2)，则PF =m 2+14m 2-1 2=14m 2+1，而点P 到直线l 的距离为：14m 2+1，则⊙P 与直线l 的位置关系为相切；②当点P 、Q 、F 三点共线时，|PQ -PF |最大，将点FQ 的坐标代入一次函数表达式：y =kx +b 并解得：直线FQ 的函数表达式为：y =x +1⋯②，联立①②并解得：x =2±22，故点P 的坐标为：(2+22，3+22)或(2-22，3-22)；(3)将抛物线的表达式与直线y =kx +1联立并整理得：x 2-4kx -4=0，则x 1+x 2=4k ，x 1x 2=-4，则y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2=4k 2+2，则x 2-x 1=x 1+x 2 2-4x 1x 2=4，设直线BC 的倾斜角为α，则tan α=k ，则cosα=1k 2+1，则BC =x 2-x 1k 2+1=4(k 2+1)，则12BC =2k 2+2，设BC 的中点为M (2k ，2k 2+1)，则点M 到直线l 的距离为：2k 2+2，故直线l 总是与以BC 为直径的圆相切．3在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y =14x 2+mx +n 的图象经过点A (2，0)和点B (1，-34)，直线l 经过抛物线的顶点且与y 轴垂直，垂足为Q ．(1)求该二次函数的表达式；(2)设抛物线上有一动点P 从点B 处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y 1随时间t (t ≥0)的变化规律为y 1=-34+2t ．现以线段OP 为直径作⊙C ．①当点P 在起始位置点B 处时，试判断直线l 与⊙C 的位置关系，并说明理由；在点P 运动的过程中，直线l 与⊙C 是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由．②若在点P 开始运动的同时，直线l 也向上平行移动，且垂足Q 的纵坐标y 2随时间t 的变化规律为y 2=-1+3t ，则当t 在什么范围内变化时，直线l 与⊙C 相交？此时，若直线l 被⊙C 所截得的弦长为a ，试求a 2的最大值．【解答】解：(1)将点A (2，0)和点B (1，-34)分别代入y =14x 2+mx +n 中，得：14×4+2m +n =014+m +n =-34 ，解得：m =0n =-1 ，∴抛物线的解析式：y =14x 2-1；(2)①将P 点纵坐标代入(1)的解析式，得：14x 2-1=-34+2t ，x =8t +1，∴P (8t +1，-34+2t )，∴圆心C (8t +12，-38+t )，∴点C 到直线l 的距离：-38+t -(-1)=t +58；而OP 2=8t +1+(-34+2t )2，得OP =2t +54，半径OC =t +58；∴直线l 与⊙C 始终保持相切．②Ⅰ、由①可知，若直线l 与⊙C 相切，则：2t -58=t +58，t =54；∴当0<t <54时，直线l 与⊙C 相交；Ⅱ、∵0<t <54时，圆心C 到直线l 的距离为d =|2t -58|，又半径为r =t +58，∴a 2=4(r 2-d 2)=4[(t +58)2-|2t -58|2]=-12t 2+15t ，∴t =58时，a 的平方取得最大值为7516．4(长沙中考)如图半径分别为m ，n (0<m <n )的两圆⊙O 1和⊙O 2相交于P ，Q 两点，且点P (4，1)，两圆同时与两坐标轴相切，⊙O 1与x 轴，y 轴分别切于点M ，点N ，⊙O 2与x 轴，y 轴分别切于点R ，点H ．(1)求两圆的圆心O 1，O 2所在直线的解析式；(2)求两圆的圆心O 1，O 2之间的距离d ；(3)令四边形PO 1QO 2的面积为S 1，四边形RMO 1O 2的面积为S 2．试探究：是否存在一条经过P ，Q 两点、开口向下，且在x 轴上截得的线段长为s 1-s 2 2d 的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【解答】解：(1)由题意可知O 1(m ，m )，O 2(n ，n )，设过点O 1，O 2的直线解析式为y =kx +b ，则有：mk +b =m nk +b =n (0<m <n )，解得k =1b =0 ，∴所求直线的解析式为：y =x ．(2)由相交两圆的性质，可知P 、Q 点关于O 1O 2对称．∵P (4，1)，直线O 1O 2解析式为y =x ，∴Q (1，4)．如解答图1，连接O 1Q ．∵Q (1，4)，O 1(m ，m )，根据两点间距离公式得到：O 1Q =m -1 2+m -4 2=2m 2-10m +17，又O 1Q 为小圆半径，即QO 1=m ，∴2m 2-10m +17=m ，化简得：m 2-10m +17=0①如解答图1，连接O 2Q ，同理可得：n 2-10n +17=0②由①，②式可知，m 、n 是一元二次方程x 2-10x +17=0③的两个根，解③得：x =5±22，∵0<m <n ，∴m =5-22，n =5+22．∵O 1(m ，m )，O 2(n ，n )，∴d =O 1O 2=m -n 2+m -n 2=8．(3)假设存在这样的抛物线，其解析式为y =ax 2+bx +c ，因为开口向下，所以a <0．如解答图2，连接PQ ．由相交两圆性质可知，PQ ⊥O 1O 2．∵P (4，1)，Q (1，4)，∴PQ =4-1 2+1-4 2=32，又O 1O 2=8，∴S 1=12PQ •O 1O 2=12×32×8=122；又S 2=12(O 2R +O 1M )•MR =12(n +m )(n -m )=202；∴s 1-s 2 2d =122-202 2×8=1，即抛物线在x 轴上截得的线段长为1．∵抛物线过点P (4，1)，Q (1，4)，∴16a +4b +c =1a +b +c =4 ，解得b =-5a +1 c =5+4a，∴抛物线解析式为：y =ax 2-(5a +1)x +5+4a ，令y =0，则有：ax 2-(5a +1)x +5+4a =0，设两根为x 1，x 2，则有：x 1+x 2=5a +1a ，x 1x 2=5+4a a，∵在x 轴上截得的线段长为1，即|x 1-x 2|=1，∴(x 1-x 2)2=1，∴(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1，即(5a +1a )2-4(5+4a a )=1，化简得：8a 2-10a +1=0，解得a =5±178，可见a 的两个根均大于0，这与抛物线开口向下(即a <0)矛盾，∴不存在这样的抛物线．5(广益)如图1，已知一次函数y =-x +4与反比例函数y =3x相交于P ，Q 两点(P 在Q 的右侧)．(1)求P ，Q 的坐标并写出△OPQ 的面积；(2)如图2，已知M (m ，m )，N (n ，n )，其中(0<m <n )，若分别以M ，N 为圆心的圆均与x 轴相切，切点分别为A ，B ，并且点P 既在⊙M 上又在⊙N 上．①求直线MN 的解析式；②求出线段MN 的长度d ；(3)在(2)的前提上，记四边形PMQN 的面积为S 1，四边形AMNB 的面积为S 2，已知抛物线y =ax 2+bx +c 满足两个条件：①经过点P 和点Q ，②该抛物线截x 轴得到的线段长度为s 1-s 2 d，请求出抛物线二次项系数a 的值．【解答】解：(1)由题意得：y =-x +4y =3x．解这个方程组得：x 1=1y 1=3 ，x 2=3y 2=1 ．∵P 在Q的右侧，∴P (3，1)，Q (1，3)．设直线PQ 交x 轴于点C ，如图，则C (4，0)．∴OC =4．过点Q 作QE ⊥OC 于E ，过点P 作PF ⊥OC 于F ，则QE =3，PF =1．∴S △OPQ =S △OQC -S △OPC =12×OC ×QE -12OC ×PF =6-2=4．(2)①∵M (m ，m )，N (n ，n )，∴直线MN 的解析式为：y =x ．②∵以M ，N 为圆心的圆均与x 轴相切，切点分别为A ，B ，∴MA ⊥AB ，NB ⊥AB ．过点P 作PE ⊥MA 于E ，PF ⊥NB 与，过点M 作MG ⊥NB 于G ，如图，则∠NMG =45°．∴MN =2MG ．∵M (m ，m )，N (n ，n )，P (3，1)，∴MA =m ，NB =n ，PE =3-m ，PM =3-m 2+m -1 2，ME =m -1，PF =n -3，NF =n -1．∵点P 既在⊙M 上又在⊙N 上，∴PM =MA ，PN =NB ．∴PM 2=MA 2，PN 2=NB 2．∴(3-m )2+(m -1)2=m 2，(n -3)2+(n -1)2=n 2．整理得：m 2-8m +10=0，n 2-8n +10=0．∴m ，n (0<m <n )是方程x 2-8x +10=0的两个根．∴m +n =8，mn =10．∴(n -m )2=(m +n )2-4mn =24．∴n -m =26．∵MG =AB =n -m ，∴MG =26．∴MN =2MG =43，∴d =43．(3)抛物线y =ax 2+bx +c 满足经过点P 和点Q ，∴a +b +c =39a +3b +c =1．∴b =-1-4a c =3a +4 ．∵S 1=12PQ ×MN =12×22×43=46，S 2=12MA +MB ⋅AB =12m +n ×n -m =12×8×26=86，∴s 1-s 2 d =4643=2．设抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的交点为(x 1，0)，(x 2，0)，∴|x 1-x 2|=2．∴x 1-x 2 2=2．∴x 1+x 2 2-4x 1⋅x 2=2．∵x 1，x 2是方程ax 2+bx +c =0的两个根，∴x 1+x 2=-b a ，x 1⋅x 2=c a ．∴-b a 2-4×c a =2．∴-1-4a a 2-4×3a +4a=2．整理得：2a 2-8a +1=0．解得：a =4±14．∴抛物线二次项系数a 的值为：4+14或4-14．6已知：如图，抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠O )经过X 轴上的两点A (x 1，0)、B (x 2，0)和y 轴上的点C (0，-32)，⊙P 的圆心P 在y 轴上，且经过B 、C 两点，若b =3a ，AB =23，(1)求抛物线的解析式；(2)设D 在抛物线上，且C ，D 两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD 是否经过圆心P ，并说明理由；(3)设直线BD 交⊙P 于另一点E ，求经过E 点的⊙P 的切线的解析式．【解答】解：(1)∵轴上的点C (0，-32)，∴c =-32，又∵b =3a ，AB =23，令ax 2+3ax -32=0，|x 1-x 2|=23，解得：a =23，b =233；∴抛物线的解析式是：y =23x 2+233x -32．(4分)(2)D (-3，-32)，直线B D 为：y =33x -12，连接BP ，设⊙P 的半径为R ，R 2=32 2+32-R 2，R =1，P (0，-12)，点P 的坐标满足直线BD 的解析式y =33x -12．∴直线B D 经过圆心P ．(3)过点E 作EF ⊥y 轴于F ，得△OPB ≌△FPE ，E (-32,-1)，设经过E 点⊙P 的切线L 交y 轴于点Q ．则∠P EQ =90°，EF ⊥PQ ，∴P E 2=P F •PQ ，∴PQ =2，Q (0，-2.5)，∴切线L 为：y =-3x -2.5．7(青竹湖)定义：如果一条直线与一条曲线有且只有一个交点，且曲线位于直线的同旁，称之为直线与曲线相切，这条直线叫做曲线的切线，直线与曲线的唯一交点叫做切点．(1)如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，以点A (0，-3)为圆心，5为半径作圆A ，交x 轴的负半轴于点B ，求过点B 的圆A 的切线的解析式；(2)若抛物线y =ax 2(a ≠0)与直线y =kx +b (k ≠0)相切于点(2，2)，求直线的解析式；(3)若函数y =14x 2+(n -k -1)x +m +k -2的图象与直线y =-x 相切，且当-1≤n ≤2时，m 的最小值为k ，求k 的值．【解答】解：(1)如图1，连接AB ，记过点B 的⊙A 切线交y 轴于点E ，∴AB =5，∠ABE =90°，∵A (0，-3)，∠AOB =90°，∴OA =3，∴OB =AB 2-OA 2=52-32=4，∴B (-4，0)，∵∠OAB =∠BAE ，∠AOB =∠ABE =90°，∴△OAB ∽△BAE ，∴AB AE =OA BA ，∴AE =AB ⋅BA OA =253，∴OE =AE -OA =253-3=163，∴E (0，163)，设直线BE 解析式为：y =kx +163，∴-4k +163=0，解得：k =43，∴过点B 的⊙A 的切线的解析式为y =43x +163，方法二：设直线BE 的解析式为y =k (x +4)，∴E (0，4k )，∴AB =5，AE =4k +3，BE =42+4k 2，由勾股定理可得，AB 2+BE 2=AE 2，∴25+16+16k 2=16k 2+9+24k ，∴k =43，∴过点B 的⊙A 的切线的解析式为y =43x +163；(2)∵抛物线y =ax 2经过点(2，2)，∴4a =2，解得：a =12，∴抛物线解析式：y =12x 2，∵直线y =kx +b 经过点(2，2)，∴2k +b =2，可得：b =2-2k ，∴直线解析式为：y =kx +2-2k ，∵直线与抛物线相切，∴关于x 的方程12x 2=kx +2-2k 有两个相等的实数根，方程整理得：x 2-2kx +4k -4=0，∴△=(-2k )2-4(4k -4)=0，解得：k 1=k 2=2，∴直线解析式为y =2x -2，(3)∵函数y =14x 2+(n -k -1)x +m +k -2的图象与直线y =-x 相切，∴关于x 的方程14x 2+(n -k -1)x +m +k -2=-x 有两个相等的实数根，方程整理得：14x 2+(n -k )x +m +k -2=0，∴△=(n -k )2-4×14(m +k -2)=0，整理得：m =(n -k )2-k +2，可看作m 关于n 的二次函数，对应抛物线开口向上，对称轴为直线x =k ，∵当-1≤n ≤2时，m 的最小值为k ，①如图2，当k <-1时，在-1≤n ≤2时m 随n 的增大而增大，∴n =-1时，m 取得最小值k ，∴(-1-k )2-k +2=k ，方程无解，②如图3，当-1≤k ≤2时，n =k 时，m 取得最小值k ，∴-k +2=k ，解得：k =1，③如图4，当k >2时，在-1≤n ≤2时m 随n 的增大而减小，∴n =2时，m 取得最小值k ，∴(2-k )2-k +2=k ，解得：k 1=3+3，k 2=3-3(舍去)，综上所述，k 的值为1或3+3．8(麓山国际)如图，经过定点A 的直线y =k (x -2)+1(k <0)交抛物线y =-x 2+4x 于B ，C 两点(点C 在点B 的右侧)，D 为抛物线的顶点．(1)直接写出点A 的坐标；(2)如图(1)，若△ACD 的面积是△ABD 面积的两倍，求k 的值；(3)如图(2)，以AC 为直径作⊙E ，若⊙E 与直线y =t 所截的弦长恒为定值，求t 的值．【解答】解：(1)∵A 为直线y =k (x -2)+1上的定点，∴A 的坐标与k 无关，∴x -2=0，∴x =2，此时y =1，∴点A 的坐标为(2，1)；(2)∵y =-x 2+4x =-(x -2)2+4，∴顶点D 的坐标为(2，4)，∵点A 的坐标为(2，1)，∴AD ⊥x 轴．如图(1)，分别过点B ，C 作直线AD 的垂线，垂足分别为M ，N ，设B ，C 的横坐标分别为x 1，x 2，∵△ACD 的面积是△ABD 面积的两倍，∴CN =2BM ，∴x 2-2=2(2-x 1)，∴2x 1+x 2=6．联立y =x 2+4x y =kx -2k +1 ，得x 2+(k -4)x -2k +1=0，①解得x 1=4-k -k 2+122，x 2=4-k +k 2+122，∴2×4-k -k 2+122+4-k +k 2+122=6，化简得：k 2+12=-3k ，解得k =-62．另解：接上解，由①得x 1+x 2=4-k ，又由2x 1+x 2=6，得x 1=2+k ．∴(2+k )2+(k -4)(2+k )-2k +1=0，解得k =±62．∵k <0，∴k =-62；(3)如图(2)，设⊙E 与直线y =t 交于点G ，H ，点C 的坐标为(a ，-a 2+4a )．∵E 是AC 的中点，∴将线段AE 沿AC 方向平移与EC 重合，∴x E -x A =x C -x E ，y E -y A =y C -y E ，∴x E =12(x A +x C )，y E =12(y A +y C )．∴E (1+a 2，-a 2+4a +12)．分别过点E ，A 作x 轴，y 轴的平行线交于点F ，在Rt △AEF 中，由勾股定理得：EA 2=1+a 2-2 2+-a 2+4a +12-1 2=a 2-1 2+-a 2+4a +12-1 2，过点E作PE⊥GH，垂足为P，连接EH，∴GH=2PH，EP2=-a2+4a+12-t 2，又∵AE=EH，∴GH2=4PH2=4(EH2-EP2)=4(EA2-EP2)=4[a2-12+-a2+4a+12-12--a2+4a+12-t2]=4[a24-a+1+-a2+4a+12-12-(-a2+4a+1)+1--a2+4a+122+t(-a2+4a+1)-t2]=4[(54-t)a2+(4t-5)a+1+t-t2]．∵GH的长为定值，∴5 4-t=0，且4t-5=0，∴t=54．9(长郡)如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是(5，4)，⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A、B两点．(1)分别求A、B、C三点的坐标；(2)如图1，设经过A、B两点的抛物线解析式为y=14x-52+k，它的顶点为E，求证：直线EA与⊙M相切；(3)如图2，过点M作直线FG∥y轴，与圆分别交于F、G两点，点P为弧FB上任意一点(不与B、F重合)，连接FP、AP，FN⊥BP的延长线于点N．请问AP-BPPN是否为定值，若为定值，请求出这个值，若不为定值，请说明理由．【解答】解：(1)如图1，连接CM、AM，连接ME交x轴于点D，则ME⊥x轴，∵⊙M与y轴相切于点C，点M的坐标是(5，4)，∴CM⊥y轴，即C(0，4)，⊙M的半径为5，∴AM=5，DM=4，∴AD=DB=AM2-DM2=52-42=3，∴OA=5-3=2，∴A(2，0)，B(8，0)；(2)证明：将A(2，0)代入y=14x-52+k中，可得k=-94，∴E(5，-94)，∴DE=94，∴ME=DE+MD=94+4=254，则AE2=32+942=22516，MA2+AE2=52+22516=62516，ME2=254 2=62516，∴MA2+AE2=ME2，∴MA⊥AE，又∵MA为半径，∴直线EA与⊙M相切；(3)AP-BPPN为定值，理由如下：连接AF、BF，作FQ⊥AP于点Q，∵∠FPN为圆内接四边形ABPF的外角，∴∠FPN=∠FAB，又∵MF⊥AB，∴AF=BF，∴∠FAB=∠FBA=∠FPA，∴∠FPN=∠FPA，∵FQ⊥AP，FN⊥PN，∴FQ=FN，又∵FP=FP，∴Rt△FPQ≌Rt△FPN(HL)，∴PQ=PN，又∵AF=BF，FQ=FN，∴Rt△AFQ≌Rt△BFN(HL)，∴AQ=BN，∴AP-BPPN =AQ+PQ-BPPN=BP+PN+PQ-BPPN=2PNPN=2．10(长郡)如图1，抛物线y=14x2-2x与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB．(1)求∠AOB的度数；(2)如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM，①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标；②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围．【解答】解：(1)令y=0，则14x2-2x=0，解得：x=0或8．∴A(8，0)．∴OA=8．∵y=14x2-2x=14x-42-4，∴B(4，-4)．过点B作BD⊥OA于点D，如图，则OD =4，BD =4，∴OD =BD ，∴∠AOB =∠OBD =45°；(2)①设⊙A 与x 轴交于点C ，则C (4，0)．连接BC ，如图，∵B (4，-4)，∴BC ⊥OA ．∵CO =CB =4，∴△CBO 是以OB 为底的等腰三角形．∴点M 与点C 重合时，△MBO 是以OB 为底的等腰三角形．此时点M (4，0)；过点A 作AM ⊥x 轴，交⊙A 于点M ，延长MA 交⊙A 于点E ，连接BE ，过点M 作MF ⊥y 轴于点F ，如图，则M (8，4)，E (8，-4)，F (0，4)．∴MF =ME =8．∵B (4，-4)，∴BE ∥x 轴．∴BE ⊥ME ，BE =4．∴∠BEM =∠MFO =90°，BE =OF =4．在△MOF 和△MBE 中，MF =ME∠MFO =∠BEM =90°OF =BE，∴△MOF ≌△MBE (SAS )．∴MO =MB ．∴△MBO 是以OB 为底的等腰三角形．此时点M (8，4)；综上，当△OBM 是以OB 为底的等腰三角形时，点M 的坐标为(4，0)或(8，4)；②设⊙A 与x 轴交于点C ，则C (4，0)．连接BC ，CN ，AM ，如图，AM=2．∵A(8，0)，∴点C是OA的中点．∵N为OM的中点，∴CN是△OMA的中位线．∴CN=12当点M在⊙A上运动时，由三角形的三边的关系定理可知：BC-CN≤BN≤BC+CN．∵BC=4，∴4-2≤BN≤4+2．∴线段BN长度的取值范围为：2≤BN≤6．。
初中数学二次函数与圆相结合的压轴题专题,中考数学二次函数与圆相结合的经典题型讲解及答案解析
【仲烦1】（我市）已知圆P的圆心在反比例函数y=-（A：>1）上，并与工轴相交于X、3两点.且x始终与］轴相切于定点C（0,1）.⑴求经过三点的二次匣1数图象的解析式；（2）若二次函教图象的顶点为D,问当上为何值时'四边形也站尹为菱形.【耕音】解：（1）连接PC、PAx PB，谊P点ffPHXx轴.垂足为H・（1分）与y轴相切于点C（0, 1），.-.PC±y^.•.•P点在反比例函数》二占的囹象上，X•.•P点坐标为（k,1）.（2分）•.•PAU.在RtAAPH中，AH=厨2_尸於后一1，•'•A(k-90 ).(3分)•.•由。
P交x轴于A、B两点，且PHJLAB，由垂径击理可知，PH垂直平分AB.AOB=OA+2AH=k•••B3小2_1，0）.《4分〉故过A、B两点的抛物线的对称轴为PH所在的直钱斛析式为x=k.可设该抛物线解析式为y=a<x-k）2+h.（5分）又二.抛物线过C（。
，1），B（k-^2_r0），[ak^-^h=1•3|—?昭得a=l，h=1-k^.（7分）•.•抛物线解析式为y=心）2+1上2.（B分）（2）由<1）知抛物线顶点D坐标为（k,l-k2>•・•DH-k2-l.若四边形ADBP为装形.则必有PH=DH.（10分）VPH=1，.•-k2-l=l.又">1,（11分）•・•当k取以时，PD与AB互相垂直平分，则四边形ADBP为菱形•（12分）3【百麒2]翎南省韶关市）25.如图6,在平面直角坐标系中旭边形OABC是矩形,。
虹4应=2,直线），=-"：与坐标轴交于D、E。
设M是加的中点，P是线段DE上的动点.（1）求M、D两点的坐标；<2）当P在什么位置时，PA=PB?求出此时P点的坐标j<3）过P作PH1BC,垂足为H,当以PM为直径的OF与BC相切于点N时，求梯形PHBH的面积.图6【分析】(1)因为四边形OABC是逅形，0A=4,AB=2»直线>=r-?与坐标轴交于D、E，M是AB的中点2.所以令y=0,即司术出D的坐标，而AM-1.印以M(4,1)；(2)因为PA=PB.断以P是AB的香直平分线和直线ED的交点，而AE的中垂线是y=l，断以P的纵坐标为1，令直线ED的解析式中的y=l，求出的x的值即为相应的P的横坐标；(3〉可设P(x，y>，连将PN、MN、NF，因为点P在y・x-：上，所以P《x，粮据蹦意可2得PNlMNi FN±BCi F是圈心，又因N是钱段HB的中点，HN-NB-—»PH-2-(-x*-)t2 2 2BM=1,利用直径对的圆周角是直甬可得到ZHPX-ZHNP=ZHNP-ZBNM=90°•所以ZHPN=ZB取ph ir£x+| NM,又因ZPHN-ZB-900-所以可得到R tAPNH<^RtANMB•所以—•A2=—^，这BM BN—4-x1—样牧可得到关于X的方程，解之即可求出X的值，而饬求面招的四边形是一个直角梯形，南以Spg=也皿滋或"医号)("6+应)=.21_色叵.2 2 24满答】俄；《1)M", 1),D《9,0)；(2分)2(2)V PA=PB>•七点P在线段AB的中毒线上，•.•点P的纵坐标是I，3又•:点P在尸-X-—上，2・.•点P的坐标为(【，1)?(4分)（3）设P（x，y），连接PN、MN、NF，3点P lSy=・x+-上，匕3・'・P（x ,-w+—），2依题意知：PN«LMN>FN^BC,F是圆心，・'・N是线段HB的中点，HN=NB=±M，PH=2.2口，BM=1，<6分）22HPN-ZHNP=NHNP-ZBNM=90°，NHPN=ZBNN1，又ZPHN=ZB=90°5RtAPNH^RtANMBs:HN_PH•'两南，4-x x*.."F=二，-等」22，（8分）x?-12x+14=0»朋得；x-6-j22（^-*>^舍去），k=6-皿=些罕=空也艾竺=一*孕屈，（9分）2【例题31（||-4省白银等7市新课程）28.在直角坐标系中>0A的丰径为4,圆心A曜标为（2, 0），S与X轴交于E、尸两点，与），轴交于（7、D两点，过点（7作0X的切线时，交x轴于点3.（1）求直线C5的解析式：（2）若抛物线.件履7）日€的顶点在直线3C上,与x轴的交点恰为点E、已求该抛物线的解析式J（3）试判断点C是否在抛物线上？（4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与A4OC相似？直接与出两组这样的点•4［分析】(1>SHAC.根撮区］的李径求出AC. W1B点人的坐麻求出0A，燃后利用勾腹定理列式求出0C・从而得到点C的坐标，再求出ZCAO=60=.然后粮掘直有三甬形两锐角互余米出NB=30。
中考数学压轴题二次函数与圆
中考数学压轴题二次函数与圆中考数学压轴题二次函数与圆第四讲：二次函数与圆综合一、二次函数与圆综合0) B (x 2，0) 两点，【例1】已知：抛物线M :y =x 2+(m -1) x +(m -2) 与x 轴相交于A (x 1，，（Ⅰ）若x 1x 2（Ⅱ）若x 11，求m 的取值范围；，2) ，若存在，求出（Ⅲ）试判断是否存在m ，使经过点A 和点B 的圆与y 轴相切于点C (0M :y =x 2+(m -1) x +(m -2) 的值；若不存在，试说明理由；7) ，与（Ⅰ（Ⅳ）若直线l :y =kx +b 过点F (0，）中的抛物线M 相交于P ，Q 两点，且使=，求直线l 的解FQ 2【解析】（Ⅰ）解法一：由题意得，x 1x 2=m -2m 为正整数，∴m =1．∴y =x 2-1．解法二：由题意知，当x =0时，y =02+(m -1) ⨯0+(m -2)解法三：∆=(m -1) 2-4(m -2) =(m -3) 2，-(m -1) ±(m -3) ∴x =，∴x 1=-1，x 2=2-m ．∴x 2=2-m >0．∴m(x +1)(x +m -2) =0，∴．（以下同解法三．） x 1=-1，x 2=2-m （Ⅱ）解法一：x 11，∴x 1-10．，即x 1x 2-(x 1+x 2) +1x 1+x 2=-(m -1) ，x 1x 2=m -2，∴(m -2) +(m -1) +1解法二：由题意知，当x =1时， y =1+(m -1) +(m -2)∴m 的取值范围是m∴2-m >1 x 11，2) ，所以A ，B 两点在y 轴的同侧，解法一：因为过A ，B 两点的圆与y 轴相切于点C (0，∴x 1x 2>0．由切割线定理知，OC 2=OA OB ，即22=x 1x 2．∴x 1x 2=4，∴x 1x 2=4. ∴m -2=4. ∴m =6．解法二：连接O 'B ，O 'C ．圆心所在直线x =-设直线x =b m -11-m与x 轴交于点D ，圆心为O '， 2则O 'D =OC =2，O 'C =OD =．AB ， AB =x 2-x 1==m -3，BD =2在Rt △O 'DB 中， O 'D 2+DB 2=O 'B 2．⎛m -3⎛⎛1-m ⎛即2+ ⎛= ⎛．解得 m =6．（Ⅳ）设P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2) ，则y 1=x 12-1，y 2=x 2-1．0) Q (x 2，0) ．则PP 过P ，Q 分别向x 轴引垂线，垂足分别为P 1(x 1，，1∥FO ∥QQ 1．所以由平行线分线段成比例定理知，1=．=，即x 2=-2x 1．因此，过P ，Q 分别向y 轴引垂线，垂足分别为P 2(0，y 1) ，Q 2(0，y 2) ，则PP 2∥QQ 2．所以△FP 2P ∽△FQ 2Q ．∴2=．∴21-2(x 12-1) =x 2-1. 7-y 11∴=．∴21-2y 1=y 2． 22y 2-72∴23-2x 1=4x 1-1.∴x 12=4，∴x 1=2，或x 1=-2．3) ．直线l 过P (2，，3) F (0，7) ，当x 1=2时，点P (2，⎛7=k ⨯0+b ，⎛b =7，3=k ⨯2+b . k =-2. ⎛⎛3) ．直线l 过P (-2，，3) F (0，7) ，当x 1=-2时，点P (-2，⎛7=k ⨯0+b ，⎛b =7，k =2. 3=k ⨯(-2) +b . ⎛⎛故所求直线l 的解析式为：y =2x +7，或y =-2x +7．【例2】已知抛物线y =ax 2+bx +c 与y 轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式y =-x +2并且线段CM的长为（1）求抛物线的解析式。
2024年中考数学综合与实践：圆、二次函数有关重难点题型
综合与实践、圆、二次函数有关重难点题型题型一综合与实践1.综合与实践问题情境：综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形”为主题开展数学活动，并提出如下问题：如题2-1图，将等腰Rt△ABC的直角边AC与等腰Rt△ADC的斜边AC 重合，∠BAC=∠ADC=90°,试判断线段BC 与CD之间的数量关系，并加以证明.(1)数学思考：请你解答老师提出的问题；(2)猜想证明：如题2-2图，点 E 是线段AD上的一个动点(不与A，D重合)，连接CE，过点 E作EF⊥CE,分别交AB,AC于F,G两点,连接FC,试判断△CEF的形状，并说明理由.2.综合与实践【阅读理解】如题1-1图，在△ABC中，AM是BC边上的高线，由勾股定理得AM²=AB²−BM²,AM²= AC²−CM²,故AB²−BM²=AC²−CM².【知识迁移】如题1-2 图,在矩形ABCD中,当点P在矩形ABCD内任意位置时,连接AP,BP,CP,DP.求证: AP²+ CP²=BP²+DP².【探索发现】如题1-3 图，若点 P在矩形ABCD 的外部时，上述结论是否仍然成立?请加以判断，并说明理由.【尝试应用】如题1-4图，在△ABC中, AB=3,AC=4,Q为平面内一点，且AQ=1,∠BQC=90°,求 BC 的最大值.3.如题1-1图,正方形ABCD的边AB上有一点E,连接DE.(1)若AD=3AE,则sin∠ADE= ;(2)如题1-2图，将边 CB绕点 C顺时针旋转，旋转角为α，使得点 B 的对应点 F 落在DE上(点F不与点D 重合),连接BF,求∠BFE的度数;(3)如题1-3图,在(2)的条件下,若E为AB的中点,DF=n,正方形ABCD的面积为S,求S关于n的函数关系式.4.小颖在学习了摩擦力的相关知识后，准备在水平面上探究滑动摩擦力与压力之间的关系，探究步骤如下：第一步：如题3-1图，在一水平放置的木板上放置一个质量为1kg的木块(压力大小=重力大小)，用弹簧测力计沿水平方向拉动木块，使木块做匀速直线运动(滑动摩擦力的大小可以由弹簧测力计读出)；第二步：在木块上增加质量不同的砝码，使木块做匀速直线运动；当在木块上增加质量不同的砝码后，设弹簧测力计所拉物体的质量为m(kg)，弹簧测力计的示数为F(N)，通过多次测量，得到如下数据：(1)把表中的图的坐标系中，描点，连线，画出弹簧测力计拉力F关于物体质量m的图象；(2)观察所画的图象，猜测F和m之间的函数关系，求出函数表达式；(3)小颖将水平拉动木块实验变成在斜面拉动木块实验，如题3-3图，用弹簧测力计拉着木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动.经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力 F(N)是高度h(m)的一次函数.当斜面水平放置在地面上时，弹簧测力计的读数为2N，高度h每增加0.1m，弹簧测力计的读数增加0.8N，若弹簧测力计的最大量程是8N，求装置高度h的取值范围.5.综合与实践某数学实验小组在学习了电阻的知识后，计划通过实验探究铂电阻在0∼100°C范围内的温度特性，具体过程如下：【知识背景】电阻温度计是根据导体电阻随温度而变化的规律来测量温度的温度计，铂电阻温度计是最精确的温度计.【实验过程】如题2-1图，将电阻温度计接入电路，开始使导体温度升温，控制温度在( 0°C−100°C范围内，每升温20°C记录一次指示仪表输出的电阻值(单位：Ω)，实验完毕后，关闭所有电源.【收集数据】记录的数据如下表：(1)如题2-2图，建立平面直角坐标系，横轴表示温度( (°C),纵轴表示电阻值(Ω)，描出以上表中的数据为坐标的各点，并进行连线；(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，若在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出解析式，若不在同一条直线上，请说明理由；(3)当温度为50°C时，求铂电阻的电阻值.题型二圆的综合题1. 如题1图, △ABC内接于⊙O,AB是⊙O 的直径,分别过点 C 作⊙O 的切线，过点 O作AB的垂线，两线相交于点 D.(1)求证: ∠D=2∠A;(2)请用无刻度的直尺和圆规过点O 作AC 的垂线交AC 于点 E(保留作图痕迹，不写作法)；(3)在(2)的条件下,若AB=8,CD=3,求OE的长.2. 如题2图, △ABC内接于⊙O,延长BA至点D,连接DC,使DB=DC,过点A作AE⊥AB交DC于点E,连接B E,BE 与AC相交于点F，且满足∠ADE=2∠EAC.(1)求证:CA=CB;(2)若AD:AB=1:4,求tan∠ABC的值；的值.(3)在(2)的条件下,求AFFC3.如题1-1图, △ABC内接于⊙O,BC是⊙O的直径,CD是∠ACB的平分线,交⊙O 于点D,连接OD,交AB于点E.(1)求证:OD∥AC;,求直线AF与⊙O的位关系.(2)如题1-2图,延长OD至点 F,连接AF,使得AF=BC,且tanB=12在△ABC中,AB=AC,点O是AB边上一动点,以点O为圆心,OB长为半径作圆,交BC于点 D.过点 D作DE⊥AC,垂足为E.(1)如题2-1图,若点O为AB的中点,求证:BD=CD;(2)如题2-2图,当点O为AB 上任意一点时,求证:DE 与⊙O 相切;(3)如题2-3图,若⊙O与AC相切于点F,且⊙O的半径为3,CE=1,求AF的长.如题4图,四边形ABCE内接于⊙O, AB=AC,CE⊥BC,，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点 D.(1)求证:AD是⊙O的切线;(2)若DE=2,AE平分∠CAD,求⊙O的半径；(3)新考法探究线段数量关系若( CE=m,DE=n,⊙O的直径为d，探究m，n与d的数量关系，并说明理由.题型三二次函数综合题1. 已知抛物线y₁=ax²−4ax+c经过点(3,−2),与x轴交于点A(x₁,0),B两点.(1)若抛物线过点(−1,2),求抛物线的解析式；(2)若−1<x₁<0,点P(5,n)(n⟩0))在该抛物线上，求a的取值范围；(3)若抛物线y₁向上平移两个单位长度后得到抛物线y₂，抛物y₁与直线y₁=kx+b(k≠0)交于点(x₁,0)(x₁<2),且函数y=y₁+y₁的图象与x轴仅有一个交点.求证：k=2a.2.如题2图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x²+bx+c交x轴于A,B(1,0)两点,交y轴于点C(0,3),连接AC,BC.(1)求抛物线的解析式；(2)N是线段AC上一点，过点N作NN′⊥x轴于点N′,若△ABC的面积被 NN'分为1∶2的两部分，求点N 的坐标；(3)将抛物线向左平移m(m⟩0))个单位长度，与原抛物线的交点为点 D,连接 AD,BD,AC 与 BD 相交于点 E,若△ADE与△BCE的面积差为1，求m的值.3.已知抛物线y=25x2+bx+c的顶点坐标为(−2,185),与x轴交于点A,B(点A在点 B左侧),与y轴交于点C.(1)求b,c的值;(2)点M(-4，2)，N是抛物线上两点，若点N到对称轴的距离等于点M到对称轴距离的2倍，求点 N的坐标；(3)若点 P是第二象限内抛物线上一点，连接PB交AC于点D,求PDBD的最大值.x−3与x轴，y轴交于A，B两点，抛物线y=x²+bx+c经过A，B两点，M是射线4.如题2图,直线y=34BA上一动点，过点 M作MN∥y轴交抛物线于点 N.(1)求抛物线的解析式；(2)当M在线段BA上时,连接AN,BN,若S∆ABN=S∆ABO,求此时点M的坐标；(3)新考法与点的运动结合点M从点 B 出发，沿射线BA方向以每秒5个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，MB=MN?请直接写出所有符合条件的t值.5.如题3图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx−2(a≠0)与x轴交于点A(−1,0),B(0)，与y 轴交于点 C，点P为直线BC下方抛物线上一动点.(1)求抛物线的解析式；(2)过点P作PE⊥x轴于点 E，连接OP，是否存在点 P 使得. ∠OPE=∠ABC?若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由；(3) 将抛物线沿着x轴翻折，点P 的对应点为P′,连接P'B,求△P′CB面积的最大值及此时点 P的坐标.。
最新中考专题：圆与二次函数结合题
中考专题： 圆与函数综合题1、如图，平面直角坐标系中，以点C （22为半径的圆与轴交于A 、B 两点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）若二次函数2y x bx c =++的图象经过点A 、B ，试确定此二次函数的解析式．2、如图，半径为2的⊙C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，点C 的坐标为（1，0）．若抛物线2y x bx c =++过A 、B 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P ，使得∠PBO=∠POB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB 的面积为S ，求S 的最大（小）值．3、如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为轴，且经过（0,0116）两点，点P 在抛物线上运动，以P 为圆心的⊙P 经过定点A （0,2），(1)求a,b,c 的值；(2)求证：点P 在运动过程中，⊙P 始终与轴相交；（3）设⊙P 与轴相交于M ()1x ,0，N ()()212x ,0x x 两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标。
4、如图，二次函数y =x 2+bx －3b +3的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），交y 轴于点C ，且经过点（b －2，2b 2－5b －1）.（1）求这条抛物线的解析式；（2）⊙M 过A 、B 、C 三点，交y 轴于另一点D ，求点M 的坐标；（3）连接AM 、DM ，将∠AMD 绕点M 顺时针旋转，两边MA 、MD 与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，若△DMF 为等腰三角形，求点E 的坐标.5、类比、转化、分类讨论等思想方法和数学基本图形在数学学习和解题中经常用到，如下是一个案例，请补充完整。
原题：如图1，在⊙O 中，MN 是直径，AB ⊥MN 于点B ，CD ⊥MN 于点D ，∠AOC =90°，AB =3，CD =4，则BD = 。
二次函数压轴题(与圆综合问题)
二次函数压轴题（与圆综合问题）【典例分析】例1 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C 三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（-2，0），（8，0），（0，-4）；①求此抛物线的函数解析式；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，c=-4，求证：无论b取何值，点D的坐标均不改变．思路点拨（2）连接AD、BC，如图2．若a=1，c=-4，则抛物线的解析式为y=x2+bx-4，可得C（0，-4），OC=4．设点A（x1，0），B（x2，0），则OA=-x1，OB=x2，且x1、x2是方程x2+bx-4=0的两根，根据根与系数的关系可得OA•OB=4．由A、D、B、C四点共圆可得∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠DCB，从而可得△ADO∽∽△CBO，根据相似三角形的性质可得OC•OD=OA•OB=4，从而可得OD=1，即可得到D（0，1），因而无论b 取何值，点D的坐标均不改变．满分解答（1）①∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-2，0），B（8，0），C（0，-4），∴42064804a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得14324abc⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩．学#科网∴抛物线的解析式为y=14x2-32x-4；②过点M作ME∥y轴，交BD于点E，连接BC，如图1．∴D（0，4）．设直线BD的解析式为y=mx+n．∵B（8，0），D（0，4），∴804m nn+=⎧⎨=⎩，学&科网解得124mn⎧=-⎪⎨⎪=⎩，（2）连接AD、BC，如图2．若a=1，c=-4，则抛物线的解析式为y=x2+bx-4，则C（0，-4），OC=4．设点A（x1，0），B（x2，0），则OA=-x1，OB=x2，且x1、x2是方程x2+bx-4=0的两根，∴OA•OB=-x1•x2=-（-4）=4．考点：圆的综合题例2已知抛物线经过A(3，0), B(4，1)两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数关系式及点C的坐标；（2）如图（1）,连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2）,连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB 于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．思路点拨(1)用待定系数法求解;(2) 假设存在，分两种情况讨论(3)根据面积公式,列出二次函数,求函数的最值.满分解答（1）将A(3,0),B(4,1)代人得∴∴∴C(0,3) 学科@网②当∠ABP=90O时,过B作BP∥AC,BP交抛物线于点P. ∵A(3,0),C(0,3)∴直线AC的函数关系式为将直线AC向上平移2个单位与直线BP重合.则直线BP的函数关系式为由,得又B(4,1),∴P2(-1,6).综上所述,存在两点P1(0,3), P2(-1,6).(3)∵∠OAE=∠OAF=45O,而∠OEF=∠OAF=45O, ∠OFE=∠OAE=45O,∴∠OEF=∠OFE=45O,∴OE=OF,∠EOF=90O∵点E在线段AC上,∴设E∴=∴===∴当时,取最小值,此时,∴例3如图，在平面直角坐标系中，圆D与y轴相切于点C(0，4)，与x轴相交于A、B两点，且AB＝6.(1)求D点的坐标和圆D的半径；(2)求sin∠ACB的值和经过C、A、B三点的抛物线对应的函数表达式；(3)设抛物线的顶点为F，证明直线AF与圆D相切．思路点拨（1）连接CD，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接AD．依据垂径定理可知AE=3，然后依据切线的性质可知CD⊥y轴，然后可证明四边形OCDE为矩形，则DE=4，然后依据勾股定理可求得AD的长，故此可求得⊙D的半径和点D的坐标；学科.网（2）先求得A（2，0）、B（8，0）．设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x﹣8），将点C的坐标代入可求得a 的值．根据三角形面积公式得：S△ABC=BC×AC sin∠ACB=AB×CO，代入计算即可；（3）求得抛物线的顶点F的坐标，然后求得DF和AF的长，依据勾股定理的逆定理可证明△DAF为直角三角形，则∠DAF=90°，故此AF是⊙D的切线．满分解答（2）如图1所示：∵D（5，4），∴E（5，0），∴A（2，0）、B（8，0）．设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x﹣8），将点C的坐标代入得：16a=4，解得：a，∴抛物线的解析式为y x 2x +4．∵S △ABC =BC ×AC sin ∠ACB =AB ×CO ，∴sin ∠ACB ==．例4如图，已知二次函数()22y x m 4m =--（m ＞0）的图象与x 轴交于A 、B 两点．（1）写出A 、B 两点的坐标（坐标用m 表示）；（2）若二次函数图象的顶点P 在以AB 为直径的圆上，求二次函数的解析式； （3）设以AB 为直径的⊙M 与y 轴交于C 、D 两点，求CD 的长． 思路点拨（1）解关于x 的一元二次方程()22x m 4m 0--=，求出x 的值，即可得到A 、B 两点的坐标。
中考数学复习：二次函数和圆的综合题（含答案）
1 二次函数和圆中考综合题【例题1】已知圆P 的圆心在反比例函数ky x =(1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点．且始终与y 轴相切于定点C (0，1)．(1)求经过A 、B 、C 三点的二次函数图象的解析式; (2)若二次函数图象的顶点为D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形．【例题2】在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，是矩形，OA=4OA=4OA=4，，AB=2AB=2，直线，直线32y x =-+与坐标轴交于D 、E 。
设M 是AB 的中点，的中点，P P 是线段DE 上的动点上的动点. .（1）求M 、D 两点的坐标；（2）当P 在什么位置时，在什么位置时，PA=PB PA=PB PA=PB？求出此时？求出此时P 点的坐标；（3）过P 作PH PH⊥⊥BC BC，垂足为，垂足为H ，当以PM 为直径的⊙为直径的⊙F F 与BC 相切于点N 时，求梯形PMBH 的面积的面积. .【例题3】在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y 轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B．的解析式；（1）求直线CB的解析式；（2）若抛物线y=ax2+b x+c的顶点在直线BC上，与x轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式；，求该抛物线的解析式；（3）试判断点C是否在抛物线上？是否在抛物线上？相似？直接写出两组这样的点． （4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与△AOC相似？直接写出两组这样的点．【例题4】如图，已知抛物线y= ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．的值及抛物线的解析式；（1）求m的值及抛物线的解析式；（a－b）的值；）的值；sin（（2）设∠DBC = a，∠CBE = b，求sin（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指的坐标；若不存在，请说明理由．出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例题5】如图，点M （4，0），以点M 为圆心、为圆心、22为半径的圆与x 轴交于点A 、B ．已知抛物线216y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ．（1）求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．的坐标，并画出抛物线的大致图象．（2）点Q （8，m ）在抛物线216y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ ＋PB 的最小值．最小值．（3）CE 是过点C 的⊙M 的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．所在直线的解析式．【例题6】如图所示，如图所示，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，M 经过原点O ，且与x 轴、y 轴分别相交于A （-8,0），B （0，-6）两点．）两点．（1）请求出直线AB 的函数表达式；的函数表达式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y 轴且经过点M ，顶点C 在M 上，开口向下，且经过点B ，求此抛物线的函数表达式；函数表达式；（3）设（2）中的抛物线交x 轴于D E ，两点，在抛物线上是否存在点P ，使得115PDE ABC S S =△△？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．的坐标；若不存在，请说明理由．（4）点H 是抛物线对称轴上的一个动点，且在点M 的下方，请问抛物线上是否存在另一点Q ，使得△ABH 与△ABQ 全等。
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Ｄ Ａ Ｃ ＰＣＢＯＣx
y
如图，点P 在y 轴上，⊙P 轴于A B ，两点，连结BP 并延长交⊙P 于C ，过点C 的直线2y x b =+交x 轴于D ，且⊙P 54AB =．
（1）求点B P C ，，的坐标；
（2）求证：CD 是⊙P 的切线；
（3）若二次函数2(1)6y x a x =-+++的图象经过点B ，求这个二次函数的解析式，
并写出使二次函数值小于一次函数2y x b =+值的x 的取值范围．
如图，已知抛物线y = ax 2 + bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，经过A 、B 、C
三点的圆的圆心M （1，m ）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M 的半径为5．设⊙M 与y 轴交于D ，抛物线的顶点为E ．
（1）求m 的值及抛物线的解析式；
（2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin （α－β）的值；
（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，
请指出点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，点M （4，0），以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A 、B ．已知抛物线
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y x bx c =++ 过点A 和B ，与y 轴交于点C ． （1）求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象． （2）点Q （8，m ）在抛物线216y x bx c =
++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ ＋PB 的最小值．
（3）CE 是过点C 的⊙M 的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．
如图，已知)212
5,31(),0,1(B A 为直角坐标系内两点，点C 在x 轴上，且OA OC 2=，以A 点为圆心，OA 为半径作⊙A 。
直线CD 切⊙O 于D 点，连结OD 。
（1）求点D 的坐标；
（2）求经过O 、B 、D 三点的抛物线的解析式；
（3）判断在（2）中所得的抛物线上是否存在一点P ，使DCP ∆∽OCD ∆？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。