2016年广东专插本考试《高等数学》真题

2016年广东省普通高校本科插班生招生考试

《高等数学》试题

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。）

1．若函数⎩⎨⎧<+≥+= 1 11 3)(x x x a x x f ，

，在点1=x 出连续，则常数=a

A ．-1

B ．0

C ．1

D ．2

2．已知函数)(x f 满足6)

()3(lim

000

=∆-∆+→∆x

x f x x f x ，则=')(0x f

A ．1

B ．2

C ．3

D ．6

3．若点)2 1(，为曲线23bx ax y +=的拐点，则常数a 与b 的值应分别为 A ．-1和3 B ．3和-1 C ．-2和6 D ．6和-2

4．设函数)(x f 在区间[]1 1，

-上可导，c 为任意实数，则⎰

='dx x f x )(cos sin A ． c x xf +)(cos cos B ．c x xf +-)(cos cos C ．c x f +)(cos D ．c x f +-)(cos

5．已知常数项级数∑∞

=1

n n

u

的部分和)(1

*N n n n

s n ∈+=

，则下列常数项级数中，发散的是

A ．

∑∞

=12n n

u

B ．

∑∞

=++1

1)(n n n

u u

C ．∑∞

=+1)1(n n n u D ．∑∞

=-1

])53([n n

n u

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分。） 6．极限=∞

→x

x x 3

sin

lim 。 7．设

2

1x x y +=

，则==0

x dy 。

8．设二元函数y x z ln =，则

=∂∂∂x

y z

2 。

9．设平面区域{}

1) , (22

≤+=

y x

y x D ，则=+⎰⎰D

d y x σ)(22 。

10．椭圆曲线14

22

=+y x 围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积=v 。

三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，满分48分。） 11．求极限)sin 1(

lim 320

x

x

x x -→． 12．求曲线232

=++xy e y x

在点)1 0(，处的切线方程．

13．求不定积分⎰-dx x x )

1(1

．

14．计算定积分

dx x x 21

⎰

．

15．15．设v

u z =，而y x u +=2，x v =，求

1==∂∂y x x

z 和

1==∂∂y x y

z ．

16．设平面区域D 由曲线1=xy 和直线x y =及2=x 围成，计算二重积分

⎰⎰

D

d y x

σ2

17．已知函数x

e y 2=是微分方程02=+'-''ay y y 的一个特解，求常数a 的值，并求该微分函数的通解

18．已知函数∑∞

=1

n n u 满足)()11(31*

1N n u n u n n n ∈+=+，且11=u 判定级数∑∞

=1n n u 的收

敛性．

四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，满分22分。）

19．设函数2

2

1)1ln()(x x x x f +-+=，证明： （1）当0→x 时，)(x f 是比x 高阶的无穷小； （2）当0>x 时，0)(>x f ．

20．已知定义在区间) 0[∞+，

上的非负可导函数)(x f 满足

0)( 1)(1)(0222

≥++=⎰x dt t

t f x f x

（1）判断函数)(x f 是否存在极值，并说明理由； （2）求)(x f ．