同济第六版高数第一章习题课

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Q lim f ( x ) = lim+ f ( x ) = f (1),
故 f ( x )在x = 1连续.
∴ f ( x )在 ( ∞ ,1) U ( 1,+∞ ) 连续.
2 证 构造辅助函数 (x) ! 若ξ , 使得 f (ξ + 1) = f (ξ ) F 2 1 ξ 为方程 f ( x + ) f ( x) = 0根 即: , 2 1 1 . ξ 就是函数 f ( x + ) f ( x) 的零点 令 F ( x ) = f ( x + ) f ( x ),
a1 + a2 + ... + an an + an + ... + an ( 证 1)Qan ↓bn = ≥ = an n n 有: n(bn bn+1 ) = nbn (n + 1)bn+1 + bn+1
a + a2 + ... + an 例9 设数列{an } ↓,且lim an = 0,令bn = 1 , n→∞ n 1 求证: (1)bn ↓;(2)b2n ≤ (an + bn );(3) lim bn = 0. 提高分析 n→∞ 能力题 2
n→∞
13.利用函数极限与数列极限的关系 即若 lim f ( x) = A, lim xn = x0( xn ≠ x0 ) 利用函数极限与数列极限的关系,即若 利用函数极限与数列极限的关系
(三)连续
连
x→0
续
定
义
lim y = 0
x→x0
lim f ( x) = f ( x0 )
间断点定义
左右连续
连续的 充要条件
连续 的
连续
第一类 第二类 可 跳 无 振 去 跃 穷 荡 间 间 间 间 断 断 断 断 点 点 点 点
的连续
连续
的
二、典型例题
例1 求函数 = log( x1) (16 x2 )的定义域 y . 解
16 x > 0,
2
x 1 > 0,
x 1 ≠ 1,
x <4 x > 1 x ≠ 2
p( x) x3 lim , ? 问: 若改动条件为 = 2,是否可行结论如何 2 x→0 x 3 2 2
x 1, x > 1 f 的连续性 . 例6 讨论 ( x) = πx cos 2 , x ≤ 1
解
将 f ( x )改写成
x < 1 1 x , πx f ( x ) = cos ,1≤ x ≤ 1 2 x>1 x 1,
lim f ( x) = A
两者的 关系
极限存在的 充要条件 判定极限 存在的准则 极限 的性质
左右极限 两个重要 极限
无穷小的比较 等价无穷小 及其性质
无穷小
lim f ( x) = 0
无穷小 的性质 极限的运算
求极限的常用方法
求极限的一般方法
1．利用极限的定义求证极限. ．利用极限的定义求证极限 2．利用极限的四则运算法则及复合运算法则 ．利用极限的四则运算法则及复合运算法则. 3．利用无穷小的运算法则． ．利用无穷小的运算法则． 4．利用无穷小与无穷大的关系． ．利用无穷小与无穷大的关系．
= bn+1 an+1 ≥ 0 bn bn+1 ≥ 0
= (a1 + a2 + ... + an ) (a1 + a2 + ... + an+1 ) + bn+1
∴bn ↓;
联 立 方 程 组
x 1 L (1) L f ( x) + f ( x ) = 2x 1 2 f ( x) + f ( )= L (2) L 1 x 1 x f ( 1 ) + f ( x 1) = 2( x 1) L (3) L 1 x x x
(1) + (2) (3),得:

1 1 f ( x) = x + + 1. x 1 x
1 < x < 2及 2 < x < 4,
即定义域为 : (1, 2) U ( 2, 4).
x 1 例2 设 f ( x) + f ( ) = 2x, 其中 ≠ 0, x ≠ 1. 求 f ( x). x x 解 利用函数表示法的无关特性
1 x 1 , 代入原方程得 , 即x= 令t = 1 t x 1 2 1 2 f( ) + f (t ) = , )= , 即 f ( x) + f ( 1 t 1 t 1 x 1 x 1 1 u 1 , 代入上式得 , 即x= 令 = 1 u 1 x u 1 x 1 2( x 1) 1 u 1 2( u 1) )+ f ( )= , f( )+ f ( )= , 即 f( 1 u u u 1 x x x
p( x) x = 2x + o( x ). 3 2 ∴ p( x) = x + 2x , 且无需其他条件 . p( x) x ~ 2x
3 2
p( x) x3 例5 设 ( x)是多项式且lim p , = 2, 2 x→∞ x p( x) lim p = 1, 求 ( x). x → ∞ x2 → ∞,以及 x→0 x 3 p( x) x p( x) x3与 x2等价无穷大 2 解 Qlim = 2, 2 x→∞ x p( x) x3 = 2x2 + o( x2 ) = 2x2 + ax + b
显然 f ( x ) 在 ( ∞ , 1 ), ( 1 ,1 ), ( 1 , +∞ )内连续 .
. 关键考察 f ( x)在 x = 1, x = 1 两点是否连续
, 当x = 1时 时
x → 1
lim f ( x ) =
x → 1
1 x, x < 1 πx f ( x) = cos , 1 ≤ x ≤ 1 2 x 1, x > 1 πx lim+ f ( x ) = lim+ cos = 0. lim (1 x ) = 2. x → 1 x → 1 x → 1 2
x1 + x2 +L+ xn 11.利用 lim xn = A lim = A. n→∞ n→∞ n
12.利用lim f ( x) = A lim f ( x) = A.
x→x0 x→x0
x→x0 n→∞
或lim lim lim lim f ( xn ) = A; x→∞ f ( x) = A, n→∞ xn = ∞ n→∞ f ( xn ) = A.
第一章 习题课 一、主要内容
函数概念及性质； 函数概念及性质； 极限概念与性质,求极限的方法； 极限概念与性质,求极限的方法； 连续函数的概念、性质及应用． 连续函数的概念、性质及应用．
(一)函数
基本初等函数
复合函数 初等函数 双曲函数与 反双曲函数
函 数 的定义
反函数 反函数与直接 函数之间关系
例3 当x < 1时,求lim(1 + x)(1 + x )(1 + x )L(1 + x ).
2 4 n→∞
2n
解 将分子、分母同乘以因子 将分子、分母同乘以因子(1-x), 则
(1 x)(1 + x)(1 + x )(1 + x )L(1 + x ) 原式= lim n→∞ 1 x 2 2 4 2n (1 x )(1+ x )(1+ x )L(1+ x ) = lim n→∞ 1 x n n 2n+1 (1 x2 )(1+ x2 ) = lim 1 x = lim n→∞ 1 x n→∞ 1 x
5.利用lim f ( x) = A f ( x) = A + α (limα = 0).
6．利用夹挤定理; 利用单调有界准则及解方程． ．利用夹挤定理 利用单调有界准则及解方程． 7．利用两个重要极限公式． 利用两个重要极限公式． 8．利用等价无穷小代换． ．利用等价无穷小代换． 9．利用函数的连续性． 利用函数的连续性． 利用递推公式;合并或分项,因式分解,约分,变量代换,取对数等技巧． 10.利用递推公式;合并或分项,因式分解,约分,变量代换,取对数等技巧．
1 1 1 1 1 若F( ) = 0, 则 取ξ = , 有 f ( + ) = f ( ). 2 2 2 2 2
综上: 综上
1 1 必有一点 ∈[0, ], 使 f (ξ + ) = f (ξ ) 成立 ξ . 2 2
||
例8
f (x) 在 [ a , b ] 上连续， a < c < d < b ,试证明：对 上连续， 试证明：
函 数 的性质 单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 周期性
j 4
函数的分类
代 数 初 等 函 数 函 数
有 理 函 数
函数 分函数 分
函数 函数
函数 函数
函 数
函数
的分
函数
函数
(二)极限
数列极限
lim xn = a
n→∞ x→∞
函 数 极 限
lim f ( x) = A
x→x0
无穷大
lim f ( x) = ∞
任意正数 p和q, 至少有一点 ξ ∈[ c , d ] ,使 和
pf (c) + qf (d) = ( p + q) f (ξ ).
证： 若 f ( c ) = f ( d ), 取 ξ = c 或 ξ = d .
否则， 否则，不妨设 f ( c ) > f ( d ),
Q f ( x )在[a , b]上连续，则在 [c , d ]上连续. 上连续，