2019届二轮复习附加题强化训练作业(江苏卷用) (1)

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江苏专用届高考语文二轮复习文科加考内容附加题强化训练一

附加题强化训练(一)一、阅读材料，完成1～3题。

(10分)1．用“/”给下面画线的文言文断句。

(限 6 处)(6分)轮辐盖轸，皆有职乎车，而轼独若无所为者。

虽然，去轼，则吾未见其为完车也。

轼乎，吾惧汝之不外饰也。

天__下__之__车__莫__不__由__辙__而__言__车__之__功__者__辙__不__与__焉__虽__然__车__仆__马__毙__而__患__亦__不__及__辙__是__辙__者__善__处__乎__祸__福__之__间__也。

辙乎，吾知免矣。

(选自苏洵《名二子说》)答案天下之车莫不由辙/而言车之功者/辙不与焉/虽然/车仆马毙而患亦不及辙/是辙者/善处乎祸福之间也。

2．苏洵，号____________，代表作有____________。

(举一例)(2分)答案老泉《六国论》3．从文段中能看出作者的两个儿子有怎样的性格特点？请选择其中一个加以概括。

(2分) 答：_______________________________________________________________答案苏轼性格豪放，锋芒毕露，从不掩饰自己的观点。

苏辙冲和淡泊，深沉不露。

【参考译文】车轮、辐条、车篷和车厢底部的横木，它们在车上都有重要的作用，可唯独拦在坐车人胸前用作扶手的那一条横木——轼，好像没有什么用处。

虽然如此，要是去掉轼，那么我没有见过这个样子算是完整的车子。

轼啊！我担心你不注意表面的修饰啊！天下的车子，没有不经由车辙，可是人们谈论到车子的功劳，车辙是不相干的。

虽然如此，车翻马倒了，灾祸也不会波及车辙。

这车辙呀，正好处在灾祸和幸福之间。

辙啊，我料知你能免除灾殃了！二、名著阅读题。

(15分)4．下列有关名著的说明，不正确的两项是( )(5分)A. 哈姆莱特是体现作者人文主义理想的典型形象。

他在复仇过程中的犹豫、苦闷，反映出人文主义者在冲破封建势力束缚过程中的内心矛盾。

B．《凤凰涅槃》是《女神》中的代表作，该诗抛弃了传统诗词对于纯意境的追求，传达了1像凤凰涅槃般在旧的毁灭中寻找再生的“五四”精神。

高三语文二轮复习附加题强化训练作业(江苏卷用)

2019届二轮复习附加题强化训练作业（江苏卷用）一、阅读材料，完成1～3题。

(10分)世言白少傅诗格卑，虽诚有之，然亦不可不察也。

元白张籍诗，皆自陶阮中出，专以道得人心中事为工，本不应格卑，但其词伤于太烦，其意伤于太尽，遂成冗长卑陋尔。

比__之__吴__融__韩__偓__俳__优__之__词__号__为__格__卑__则__有__间__矣__若__收__敛__其__词__而__少__加__含__蓄__其__意__味__岂__复__可__及__也。

苏端明子瞻喜之，良有由然。

(节选自张戒《岁寒堂诗话》) 1.用斜线“/”给上面文言文中的画线部分断句。

(限5处)(5分)答案比之吴融韩偓俳优之词/号为格卑/则有间矣/若收敛其词/而少加含蓄/其意味岂复可及也2.“白少傅”是指__________，“陶阮”指陶渊明和________。

(2分)答案白居易阮籍3.作者对白少傅的诗格有哪些评价？请概括回答。

(3分)答：答案白少傅的诗格卑陋，原因在于词烦意尽，但诗格高于俳优之后。

二、名著阅读题(15分)4.下列对有关名著的说明，不正确的两项是( )(5分)A.魏军进攻绵竹，后主刘禅慌忙召诸葛亮之子诸葛瞻抗拒魏兵，诸葛瞻父子拼死力战，双双战死，刘禅投降钟会，西蜀灭亡。

B.欧也妮生日当天夜里，各有各的心事：查理在想父亲打发他来的目的，欧也妮第一次梦见了爱情，拿侬在想金色的睡衣，葛朗台太太感受到丈夫内心的翻腾。

C.《老人与海》中援引了基督受难的不少细节，作者有意识地把老人视作基督的化身，其目的在于隐喻人生是受难的过程。

D.常四爷初次出场时，雄赳赳地提着鸟笼；第二次出场时，拎着两只鸡，祝贺茶馆重新开张；第三次，提着小筐，特地买来纸钱祭奠自己。

E.《呐喊》中的《兔和猫》《鸭的喜剧》两篇作品，散文化色彩较浓，且有别于鲁迅冷峻凝重的一贯风格，充满温情。

解析A项“魏兵”应为“邓艾”；D项纸钱是捡来的。

答案AD5.简答题。

(10分)(1)凤姐和探春都有理家之才，但两人行事迥异，请比较概括。

免费阅卷使用--2019年4月2019届高三第二次全国大联考(江苏卷)-数学附加卷网阅

试卷编号：27515541287093072113 学科网学校高中第1页 (共1页) 2019年4月2019届高三第二次全国大联考（江苏卷）-数学附加卷
缺考标记：
.
. 考号一、解答题（共40分） 21.（20分）选做题本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分． 21．A
．（10
分）必做题
请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．注意事项 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。

2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。

3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。

5．正确填涂。

2019年江苏省高考语文附加题专项练习(含答案)

2019年江苏省高考语文附加题专项练习2018年江苏省高考语文附加题一、阅读材料，完成21～23题。

（10分）书《汤海秋诗集》后龚自珍人以诗名，诗尤以人名。

唐大家若李、杜、韩及昌谷、玉溪；及宋、元，眉山、涪陵、遺山，当代吴娄东，皆诗与人为一。

人外无诗，诗外无人，其面目也完。

益阳汤鹏，海秋其宇，有诗三千余篇，芟而存之二千余篇，评者无虑数十家，最后属龚现祚作一言，巩祚亦一言而已，曰：完。

何以谓之完也？海秋心迹尽在是所欲言者在是所不欲言而卒不能不言在是所不欲言而竟不言于所不言求其言亦在是。

要不肯挦撦①他人之言以为已言，任举一篇，无论识与不识，曰：此汤益阳之诗。

［注］①挦撦：摘取。

21．用斜线“/”给上面文言文中的画线部分断句。

（限．4．处．）（4分）22．文中昌谷、玉溪的本名分别是、。

（2分）23．根据材料，用自己的话概括汤鹏诗作的特点。

（4分）二、名著阅读题。

（15分）24．下列对有关名著的说明，不正确的两项．．．．．．是（5分）（选择两项且全答对得5分，选择两项只答对一项得2分，其余情况得0分）（）（）A．《三国演义》中，曹操攻陷徐州后，派遣张辽劝降陷入困境中的关羽，关羽提出了“卸甲”的三个条件，这一情节突出了关羽的忠义形象B．《茶馆》中，秦仲义说：“只有那么办，国家才能富强！”他说的“那么办”是指通过收回房子、卖掉土地等途径，筹集资金来开办工厂。

C．《风波》中，七斤曾经在喝醉后骂有些遗老臭味的赵七爷是“贱胎”，并在革命后很快剪掉了辫子，这体现了他是一个具有新思想的农民。

D．《老人与海》中，老渔夫圣地亚哥奋力捕到的大马林鱼被鲨鱼给毁了，回到港口后，男孩遗憾地对他说，以后他们俩不能一起捕鱼了。

E．《欧也妮·葛朗台》中，葛朗台太太的性情极好，从不向丈夫要钱，她有着天使般的温柔，她的善良和忍让反衬了葛朗台的冷漠和贪婪。

25．简答题（10分）（1）《红楼梦》“散余资贾母明大义，复世职政老沐天恩”一回中，贾母得知府中库藏已空、入不敷出的实情后，将自己多年的积蓄拿出来，以渡难关。

江苏省高考语文大二轮复习课件：附加题

第9章扩声系统调音
附加题
题型突破1 文言文断句、填空与简答题型突破2 名著阅读
语
题型突破3 材料概括分析题
文
第9章扩声系统调音
01
题型突破 1
02
题型突破 2
03
题型突破 3
第9章扩声系统调音
文言文断句、填空与简答 [典例演示]
(2019·高考江苏卷)阅读材料，完成 1～3 题。题自书杜拾遗诗后徐渭
第9章扩声系统调音
3．文章理解概括这道题无论要求如何变化，答案均来自文段中，关键是分层和找准关键词语。分层要细致，关键词语要找准。然后明确题干要求，是用自己的语言还是文段中的语言。如果题干不明示，最好用自己的话加文中的词回答。用文中的词语回答，如果那个词语很 “文言”，最好换成今天同义的词语，或者干脆转译过来。
做断句题时更要注意两个细节：一是看清要断的句数，不要多断或少断，更不要在答卷上涂改，涂改多了，阅卷老师不能准确辨认，最好先在试卷上预断，再誊抄到答卷上去；二是断句后再通读一遍，可以借助语感或语法来检验断句是否正确。
第9章扩声系统调音
2．文学文化常识 (1)文学文化常识范围大多出自苏教必修 1～5 册，以及《〈史记〉选读》《唐宋八大家散文选读》等选修教材，平时要多加留心。 (2)该题与积累有关。如果平时没有积累，考试时是很难想起来的。因此，如果不会，不要硬想，以免浪费宝贵的时间。 (3)答案书写要正确，尤其是人名、地名、篇名，不可随意写成其他的同音字。
第9章扩声系统调音
8．写出“程朱理学”开创者“二程”的名字。答：________ ________ 解析：程朱理学是宋明理学的一派，有时会被简称为理学，是指中国宋朝以后由程颢、程颐、朱熹等人发展出来的儒家流派。答案：程颢程颐

2019高考数学(江苏专用)二轮复习(优编增分)：专题八附加题第3讲Word版含答案

第3讲矩阵与变换、坐标系与参数方程[考情考向分析] 1.考查常见的平面变换与矩阵的乘法运算，二阶矩阵的逆矩阵及其求法，矩阵的特征值与特征向量的求法，属B 级要求.2.考查直线、曲线的极坐标方程、参数方程，参数方程与普通方程的互化，极坐标与直角坐标的互化，属B 级要求．热点一二阶矩阵与平面变换例1 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1：x 24＋y 22＝1，求曲线C 的方程．解设曲线C 上任一点为(x ，y )，经过变换T 变成(x 0，y 0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，即x 0＝x ，y 0＝2y .由x 204＋y 202＝1，得曲线C 的方程为x 2＋4y 2＝4. 思维升华解决这类问题一般是设变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，求出原曲线在T 的变换下得到的曲线，再根据条件求相应的系数值．跟踪演练1 已知曲线C 1：x 2＋y 2＝1，对它先作矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002对应的变换，再作矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 b 1 0对应的变换，得到曲线C 2：x 24＋y 2＝1，求实数b 的值．解从曲线C 1变到曲线C 2的变换对应的矩阵为BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 b 1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0.在曲线C 1上任意选一点P (x 0，y 0)，设它在矩阵BA 对应的变换作用下变为 P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2by 0x 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′.故⎩⎪⎨⎪⎧2by 0＝x ′x 0＝y ′，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝12b x ′，x 0＝y ′.代入曲线C 1方程得，y ′2＋⎝⎛⎭⎫12b x ′2＝1. 即曲线C 2方程为⎝⎛⎭⎫12b 2x 2＋y 2＝1.与已知的曲线C 2的方程x 24＋y 2＝1比较得(2b )2＝4.所以b ＝±1.热点二二阶矩阵的逆矩阵及其求法例2 已知点P (3,1)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b －1变换下得到点P ′(5，－1)．试求矩阵A 和它的逆矩阵A －1.解依题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3a ＋23b －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋2＝5，3b －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －1.因为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 20 －1＝1×(－1)－0×2＝－1，所以A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －1. 思维升华由二阶矩阵与向量的乘法及向量相等建立方程组，常用于求二阶矩阵，要注意变换的前后顺序．跟踪演练2 二阶矩阵M 对应的变换T M 将曲线x 2＋x －y ＋1＝0变为曲线2y 2－x ＋2＝0，求M －1.解设曲线2y 2－x ＋2＝0上一点P (x ，y )在M －1对应变化下变成P (x ′，y ′)，设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ＋by ，y ′＝cx ＋dy ，代入x 2＋x －y ＋1＝0得，方程(ax ＋by )2＋(ax ＋by )－(cx ＋dy )＋1＝0，即b 2y 2＋(a －c )x ＋(b －d )y ＋2abxy ＋a 2x 2＋1＝0，与方程y 2－x2＋1＝0比较得，a ＝0，b ＝1，c＝12，d ＝1或a ＝0， b ＝－1，c ＝12，d ＝－1.所以M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 －1或M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 112 1. 热点三特征值与特征向量例3 已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值．解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a ＋b c ＋d ， M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－a ＋2b －c ＋2d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8，－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4.(2)令特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2 －4 λ－4 ＝(λ－6)(λ－4)－8＝0，解得λ1＝8，λ2＝2.故矩阵M 的另一个特征值为2.思维升华求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 就是要求待定的字母，利用条件建立方程组，确立待定的字母的值，从而求出矩阵，待定系数法是求这类问题的通用方法．跟踪演练3 已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 112.(1)求矩阵A ； (2)求矩阵A－1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．解 (1)因为矩阵A 是矩阵A －1的逆矩阵，且|A －1|＝2×2－1×1＝3≠0，所以A ＝13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －1－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 23 －13－1323. (2)矩阵A－1的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1 －1 λ－2 ＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，令f (λ)＝0，得矩阵A －1的特征值为λ1＝1，λ2＝3，所以ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A －1的属于特征值λ1＝1的一个特征向量，ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是矩阵A －1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．热点四曲线的极坐标方程例4 (2018·江苏冲刺预测)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t －1(t 为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝62＋sin 2θ.(1)求曲线C 1的极坐标方程和C 2的直角坐标方程；(2)射线OP ：θ＝α⎝⎛⎭⎫其中0<α<π2与C 2交于P 点，射线OQ ：θ＝α＋π2与C 2交于Q 点，求1OP 2＋1OQ 2的值．解 (1)因为曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t －1(t 为参数)，所以曲线C 1的直角坐标方程为x －2y －2＝0，所以曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ－2＝0，因为ρ＝62＋sin 2θ，所以ρ2(2＋sin 2θ)＝6，所以曲线C 2的直角坐标方程为2x 2＋3y 2＝6.(2)依题意得，点P 的极坐标满足⎩⎨⎧ρ＝62＋sin 2θ，θ＝α，所以OP ＝62＋sin 2α，1OP 2＝2＋sin 2α6，点Q 的极坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝62＋sin 2θ，θ＝α＋π2，所以OQ ＝62＋cos 2α，1OQ 2＝2＋cos 2α6，所以1OP 2＋1OQ 2＝2＋sin 2α6＋2＋cos 2α6＝56.思维升华解决这类问题一般有两种思路：一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件．跟踪演练4 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2(a ＞0)，C 1是以(0,1)为圆心，a 为半。

2019届江苏高考数学二轮复习附加题满分练1理

附加题满分练1切点为C,过点P 的直线与圆 0交于点A , B (PA <PE )，且••• ODLAB,又 PC 为圆 0的切线，••• OCL PC由条件可知 0D= 2 ,• AB= 2・.0A — 0D= 2 2, 由切割线定理可得 PC = PA- PB, 即 16= PA-( PA^ 2 2), 解得PA= 2 2.所以 X 2= ab = 1.0 — 1故矩阵g-1np sin 0 —石=2相切的圆的极坐标方程.3解以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy.则点P 的直角坐标为 (1,,3).nn n将直线l: p sin 0 - — = 2的方程变形为：p sin 0 cos — — p cos 0 sin — = 2,化为普通方333AB 的中点为D.若圆0的半径为2解连结OC 0D 因为0为圆心,,：2,求线段PA 的长.1.如图，过点P 作圆0的切线PC2.(2018 •江苏省盐城中学调研)已知矩阵b满足：Ma = X i a i ,其中入i (i = 1,2)是互不相等的实常数，a(i = 1,2) 是非零的平面列向量,1X 1 =1 a2= 1，求矩阵 M解由题意,X 2是方程 f (=X 2- ab = 0的两根.因为X 1= 1, 所以 ab = 1. 又因为Ma = X 2a 2, 0所以b，从而a = X 2,b = X 2,因为X 1 X 2，所以X 2=- 1 ,从而 a = b =- 1,3.(2018 •苏州、南通等六市模拟)在极坐标系中，求以点nP 2, §为圆心且与直线I程得 '」3x — y + 4 = 0. • p (1, 3)到直线1:J 3x — y + 4 = 0 的距离为 ------------------ =2.(3) 2+ ( -1)2•所求圆的普通方程为n(x 1) + ( y — 3) = 4,化为极坐标方程得p = 4sin 0 + § •5.已知点A (1,2)在抛物线F ： y 2= 2px 上.(1)若厶ABC 勺三个顶点都在抛物线 F 上，记三边 AB BC CA 所在直线的斜率分别为 k i , k 2, 1 1 1 k3,求kT h k 3的值;⑵ 若四边形ABC 啲四个顶点都在抛物线 F 上，记四边AB BC CD DA 所在直线的斜率分别 1111为 k1, k 2, k3, k 4,求话-+订—k 4的值. 解 (1)由点A (1,2)在抛物线 F ： y 2 = 4x ,2Cy4，y2，21 -晋4 y + 2 y 2+ y 1 2+ y4 — 4 + 4 = 1.2y 3 “1 1 1 1 y 1+ 2y 2+ y 1 y 3+ y 2 + y 3(2)另设 D ：, y 3，则「一「+「一「=亍-3^+^JL-. = o.4 k 1 k 2 k 3 k 4 46.已知 f n (x ) = C °x n — C n (x — 1)n +…+ ( — 1)k C n (x — k ) “+…十(—1)9© — n )n ，其中 x € R , n € N , k € N, k < n .(1)试求 f 1(x ) , f 2(x ) , f 3(x )的值；(2)试猜测f n (x )关于n 的表达式，并证明你的结论. 解(1) f 1(x ) = C °x — C(x — 1) = 1,f 2( x ) = C 2x — C 2( x — 1)2+ C 2( x — 2) 2= x — 2( x — 1)2 + (x — 2) 2= 2,f 3( x ) = C 3x — C 3( x — 1) + C 3( x — 2) — C 3( x — 3) = x — 3( x — 1) + 3( x — 2) — (x — 3) =4.已知实数x >0, y >0, z >0，证明: 1 2 3 一+一+一 x y z x y z2+ 4+ 6辽92.F 上，得p = 2,•••抛物线 2 2 2刃_ 1 y^_也4 4 4----- --- ------- +1 1 + —= — ---------- + - k k k y —2 y — y 2 — y证明因为x >0,y >0, z >0,所以当且仅当x : y : z = 1 : 2 ：3时，等号成立. 所以x y z6.⑵猜测f n(x) = n!, n€ N*. 以下用数学归纳法证明.①当n= 1时，f i( x) = 1,等式成立.②假设当n= n(n> 1, mE N*)时，等式成立，即f m(x) = k=m(0－1 ) k C k m( x－k) m= m！.当n = 1 时，贝H f n^i(x) = ：(：—1) k C^i .(x-k)m+1.因为Cm+1 = Cn+ C n , k C m+1 = ( n>F 1) •C m，其中k = 1,2，…，m 且C0m＋ 1 = C0m，C m m＋＋11=C m m，所以f m+1(x)=m+(1—1)k C k m+1(x—k)m+1= x m+(1—1 ) k C k m+1( x—k) m—m+(1—1 ) k k C k m+1( x—k) m=x m( —1 ) k C k m( x—k) m+ x m+(1—1 ) k C k m—1( x —k) m—( m+ 1 ) m+(1—1 ) k C k m—1( x —k) m= x • m!+ ( —x+ m+ 1)& —1)k C m・[(x —1) —k]m= x • m!+ ( —x+ m+ 1) • m!= ( m+ 1) • m！= (m+ 1) ！.即当n= m+ 1 时，等式也成立. 由①②可知，对n E N*，均有f n(x) = n!。

江苏省2019高考数学二轮复习自主加餐的3大题型 3个附加题综合仿真练(二)(理)(含解析)

3个附加题综合仿真练（二）(理科）1．本题包括A、B、C三个小题，请任选二个作答A．[选修4－2：矩阵与变换]已知变换T将平面上的点错误!，(0，1)分别变换为点错误!，错误!.设变换T对应的矩阵为M.（1）求矩阵M；(2)求矩阵M的特征值．解:（1）设M＝［⎦⎥⎤a b c d，则错误!错误!＝错误!，错误!错误!＝错误!，即错误!解得错误!则M＝错误!.(2）设矩阵M的特征多项式为f（λ),可得f（λ)＝错误!＝（λ－3）（λ－4)－6＝λ2－7λ＋6，令f(λ)＝0，可得λ＝1或λ＝6。

B．[选修4－4：坐标系与参数方程］在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l:2ρsin 错误!＝m（m∈R)，圆C的参数方程为错误!(t为参数)．当圆心C到直线l的距离为错误!时，求m的值．解：由错误!ρsin错误!＝m，得2ρsin θcos错误!－错误!ρcos θsin错误!＝m，即x－y＋m＝0，即直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0，圆C的普通方程为（x－1)2＋(y＋2）2＝9,圆心C到直线l的距离d＝错误!＝错误!，解得m＝－1或m＝－5。

C．[选修4－5：不等式选讲］已知x，y,z都是正数且xyz＝8,求证：（2＋x)(2＋y)·（2＋z）≥64.证明：因为x为正数，所以2＋x≥2错误!。

同理2＋y≥22y，2＋z≥2错误!。

所以(2＋x)( 2＋y)( 2＋z)≥22x·22y·2错误!＝8错误!.因为xyz＝8，所以（2＋x）（2＋y）(2＋z)≥64.2．如图,在棱长为3的正方体ABCD。

A1B1C1D1中，A1E＝CF＝1.（1）求两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值；(2）求直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值．解：（1）以D为坐标原点，DA，DC,DD1所在直线分别为x轴，y轴，z 轴，建立空间直角坐标系D。

【23份】江苏省2019年高考理科数学二轮复习精准提分

【23份】江苏省2019年高考理科数学二轮复习精准提分目录附加题满分练 (2)附加题满分练1 (2)附加题满分练2 (5)附加题满分练3 (8)解答题满分练 (13)解答题满分练1 (13)解答题满分练2 (20)解答题满分练3 (26)解答题专项练 (33)1.立体几何 (33)2.三角函数与解三角形 (40)3.应用题 (45)4.解+析几何 (53)5.函数与导数 (60)6.数列 (67)填空题满分练 (76)填空题满分练(1) (76)填空题满分练(2) (81)填空题满分练(3) (86)填空题满分练(4) (92)填空题满分练(5) (98)填空题满分练(6) (105)填空题满分练(7) (111)填空题满分练(8) (118)压轴小题组合练 (124)压轴小题组合练(A) (124)压轴小题组合练(B) (130)压轴小题组合练(C) (138)附加题满分练附加题满分练11.如图，过点P 作圆O 的切线PC ，切点为C ，过点P 的直线与圆O 交于点A ，B (P A <PB )，且AB 的中点为D .若圆O 的半径为2，PC ＝4，圆心O 到直线PB 的距离为2，求线段P A 的长.解连结OC ，OD ，因为O 为圆心，AB 中点为D ， ∴OD ⊥AB ，又PC 为圆O 的切线，∴OC ⊥PC ，由条件可知OD ＝2，∴AB ＝2OA 2－OD 2＝22，由切割线定理可得PC 2＝P A ·PB ，即16＝P A ·(P A ＋22)，解得P A ＝2 2.2.(2018·江苏省盐城中学调研)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 a b0满足：Ma i ＝λi a i ，其中λi (i ＝1,2)是互不相等的实常数，a i (i ＝1,2)是非零的平面列向量，λ1＝1，a 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵M . 解由题意，λ1，λ2是方程f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ －a －b λ＝λ2－ab ＝0的两根. 因为λ1＝1，所以ab ＝1.又因为Ma 2＝λ2a 2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 a b 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝λ2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＝λ2，b ＝λ2，所以λ22＝ab ＝1.因为λ1≠λ2，所以λ2＝－1，从而a ＝b ＝－1，故矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0 －1－1 0.3.(2018·苏州、南通等六市模拟)在极坐标系中，求以点P ⎝⎛⎭⎫2，π3为圆心且与直线l: ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝2相切的圆的极坐标方程.解以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy . 则点P 的直角坐标为()1，3.将直线l: ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝2的方程变形为： ρsin θcos π3－ρcos θsin π3＝2，化为普通方程得3x －y ＋4＝0.∴P ()1，3到直线l: 3x －y ＋4＝0的距离为4()32＋()－12＝2.∴所求圆的普通方程为()x －12＋()y －32＝4，化为极坐标方程得ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6. 4.已知实数x >0，y >0，z >0，证明：⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＋3z ⎝⎛⎭⎫x 2＋y 4＋z 6≥92. 证明因为x >0，y >0，z >0，所以1x ＋2y ＋3z 3≥36xyz ，x 2＋y 4＋z 63≥ 3xyz48，所以⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＋3z ⎝⎛⎭⎫x 2＋y 4＋z 6≥92.当且仅当x ∶y ∶z ＝1∶2∶3时，等号成立. 5.已知点A (1,2)在抛物线F ：y 2＝2px 上.(1)若△ABC 的三个顶点都在抛物线F 上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3, 求1k 1－1k 2＋1k 3的值；(2)若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线F 上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，求1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4的值.解 (1)由点A (1,2)在抛物线F 上，得p ＝2， ∴抛物线F ：y 2＝4x ，设B ⎝⎛⎭⎫y 214，y 1，C ⎝⎛⎭⎫y 224，y 2， ∴1k 1－1k 2＋1k 3＝y 214－1y 1－2－y 224－y 214y 2－y 1＋1－y 2242－y 2＝y 1＋24－y 2＋y 14＋2＋y 24＝1.(2)另设D ⎝⎛⎭⎫y 234，y 3，则1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 3＋y 24－2＋y 34＝0.6.已知f n (x )＝C 0n x n －C 1n (x －1)n ＋…＋(－1)k C k n (x －k )n ＋…＋(－1)n C n n (x －n )n，其中x ∈R ，n ∈N *，k ∈N ，k ≤n .(1)试求f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )的值；(2)试猜测f n (x )关于n 的表达式，并证明你的结论.解 (1)f 1(x )＝C 01x －C 11(x －1)＝1，f 2(x )＝C 02x 2－C 12(x －1)2＋C 22(x －2)2＝x 2－2(x －1)2＋(x －2)2＝2，f 3(x )＝C 03x 3－C 13(x －1)3＋C 23(x －2)3－C 33(x －3)3＝x 3－3(x －1)3＋3(x －2)3－(x －3)3＝6.(2)猜测f n (x )＝n ！，n ∈N *. 以下用数学归纳法证明.①当n ＝1时，f 1(x )＝1，等式成立.②假设当n ＝m (m ≥1，m ∈N *)时，等式成立，即f m (x )＝∑k ＝0m(－1)k C k m (x －k )m ＝m ！.当n ＝m ＋1时，则f m ＋1(x )＝∑k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1·(x －k )m ＋1. 因为C k m ＋1＝C k m ＋C k －1m ，k C k m ＋1＝(m ＋1)·C k －1m ，其中k ＝1,2，…，m ，且C 0m ＋1＝C 0m ，C m ＋1m ＋1＝C m m ，所以f m ＋1(x )＝∑k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1(x －k )m ＋1 ＝x ∑k ＝0m ＋1(－1)kC k m ＋1(x －k )m－∑k ＝0m ＋1 (－1)k k C k m ＋1(x －k )m＝x ∑k ＝0m(－1)kC k m (x －k )m ＋x ∑k ＝1m ＋1 (－1)k C k －1m (x －k )m －(m ＋1)∑k ＝1m ＋1(－1)k C k －1m (x －k )m＝x ·m ！＋(－x ＋m ＋1)∑k ＝0m(－1)k C k m ·[(x －1)－k ]m＝x ·m ！＋(－x ＋m ＋1)·m! ＝(m ＋1)·m ！＝(m ＋1)！. 即当n ＝m ＋1时，等式也成立.由①②可知，对n ∈N *，均有f n (x )＝n ！.附加题满分练21.(2018·江苏省盐城中学质检)已知AB 是圆O 的直径，P 是上半圆上的任意一点，PC 是∠APB 的平分线，E 是下半圆的中点.求证：直线PC 经过点E .证明连结AE ，EB ，OE ，则∠AOE ＝∠BOE ＝90°. 因为∠APE 是圆周角，∠AOE 同弧上的圆心角，所以∠APE ＝12∠AOE ＝45°.同理可得∠BPE ＝45°，所以PE 是∠APB 的平分线.又PC 也是∠APB 的平分线，∠APB 的平分线有且只有一条，所以PC 与PE 重合. 所以直线PC 经过点E .2.(2018·苏州、南通等六市模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知A ()0，0，B ()3，0，C ()2，2.设变换T 1, T 2对应的矩阵分别为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2， N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1，求对△ABC 依次实施变换T 1, T 2后所得图形的面积.解依题意，依次实施变换T 1, T 2所对应的矩阵NM ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2. 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤30＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤60， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤44.∴A ()0，0，B ()3，0，C ()2，2分别变为点A ′()0，0，B ′()6，0，C ′()4，4.∴所得图形的面积为12×6×4＝12.3.已知两个动点P ，Q 分别在两条直线l 1：y ＝x 和l 2：y ＝－x 上运动，且它们的横坐标分别为角θ的正弦，余弦，θ∈[0，π]，记OM →＝OP →＋OQ →，求动点M 的轨迹的普通方程.解设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θ－cos θ，两式平方相加得x 2＋y 2＝2.又x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4， θ∈[0，π]，所以x ∈[－1，2]，y ∈[－1，2].所以动点M 轨迹的普通方程为x 2＋y 2＝2(x ，y ∈[－1，2]).4.(2018·江苏省盐城中学质检)已知a >0，b >0，证明：(a 2＋b 2＋ab )(ab 2＋a 2b ＋1)≥9a 2b 2. 证明因为a >0，b >0，所以a 2＋b 2＋ab ≥33a 2·b 2·ab ＝3ab >0， ab 2＋a 2b ＋1≥33ab 2·a 2b ·1＝3ab >0，所以(a 2＋b 2＋ab )(ab 2＋a 2b ＋1)≥9a 2b 2.5.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜，投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束.设甲每次投篮命中的概率为25，乙每次投篮命中的概率为23，且各次投篮互不影响.现由甲先投. (1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投篮次数X 的概率分布与数学期望.解 (1)设甲第i 次投中获胜的事件为A 1(i ＝1,2,3)，则A 1，A 2，A 3彼此互斥. 甲获胜的事件为A 1＋A 2＋A 3. P (A 1)＝25，P (A 2)＝35×13×25＝225，P (A 3)＝⎝⎛⎭⎫352×⎝⎛⎭⎫132×25＝2125.所以P (A 1＋A 2＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝25＋225＋2125＝62125.(2)X 的所有可能取值为1,2,3. 则P (X ＝1)＝25＋35×23＝45，P (X ＝2)＝225＋35×13×35×23＝425，P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫352×⎝⎛⎭⎫132×1＝125. 即X 的概率分布为所以数学期望E (X )＝1×45＋2×425＋3×125＝3125.6.设n 个正数a 1，a 2，…，a n 满足a 1≤a 2≤…≤a n (n ∈N *且n ≥3). (1)当n ＝3时，证明：a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3；(2)当n ＝4时，不等式a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋a 3a 4a 1＋a 4a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3＋a 4也成立，请你将其推广到n (n ∈N *且n ≥3)个正数a 1，a 2，…，a n 的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明. 证明 (1)因为a n (n ∈N *且n ≥3)均为正实数，左—右＝12⎝⎛⎭⎫a 1a 3a 2＋a 1a 2a 3－2a 1＋12⎝⎛⎭⎫a 2a 3a 1＋a 1a 2a 3－2a 2＋12⎝⎛⎭⎫a 2a 3a 1＋a 1a 3a 2－2a 3≥12⎝⎛⎭⎫2a 1a 3a 2×a 1a 2a 3－2a 1＋12⎝⎛⎭⎫2a 2a 3a 1×a 1a 2a 3－2a 2＋12⎝⎛⎭⎫2a 2a 3a 1×a 1a 3a 2－2a 3＝0，所以原不等式a 2a 3a 1＋a 1a 3a 2＋a 1a 2a 3≥a 1＋a 2＋a 3成立.(2)归纳的不等式为：a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n －2a n －1a n ＋a n －1a n a 1＋a n a 1a 2≥a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *且n ≥3). 记F n ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n －2a n －1a n ＋a n －1a n a 1＋a n a 1a 2－(a 1＋a 2＋…＋a n )，当n ＝3(n ∈N *)时，由(1)知，不等式成立；假设当n ＝k (k ∈N *且k ≥3)时，不等式成立，即F k ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a k －2a k －1a k ＋a k －1a k a 1＋a k a 1a 2－(a 1＋a 2＋…＋a k )≥0.则当n ＝k ＋1时，F k ＋1＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a k －2a k －1a k ＋a k －1a k a k ＋1＋a k a k ＋1a 1＋a k ＋1a 1a 2－(a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1)＝F k ＋a k －1a k a k ＋1＋a k a k ＋1a 1＋a k ＋1a 1a 2－a k －1a k a 1－a k a 1a 2－a k ＋1＝F k ＋a k －1a k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a k ＋1－1a 1＋a k ＋1⎝⎛⎭⎫a k a 1－1＋a 1a 2(a k ＋1－a k )≥0＋a 2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a k ＋1－1a 1＋a k ＋1⎝⎛⎭⎫a k a 1－1＋a 1a k (a k ＋1－a k )＝(a k ＋1－a k )⎝ ⎛⎭⎪⎫a k a 1＋a 1a k －a k ＋1＋a k a k ＋1，因为a k ＋1≥a k ，a k a 1＋a 1a k ≥2，a k ＋1＋a k a k ＋1≤a k ＋1＋a k ＋1a k ＋1＝2，所以F k ＋1≥0，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立.综上所述，不等式a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n －2a n －1a n ＋a n －1a n a 1＋a n a 1a 2≥a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *且n ≥3)成立.附加题满分练31.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，BF 是⊙O 的切线，连结CF 交⊙O 于D ，交AB 于E .若BC ＝BF ＝4，CE ∶ED ＝6∶5，求⊙O 的半径.解如图，连结BD ，因为BF 是⊙O 的切线，所以∠DBF ＝∠BCF ，因为BC ＝BF ，所以∠BCF ＝∠BFC ，所以∠DBF ＝∠BFC ，所以BD ＝DF ，又∠BEF ＋∠BFC ＝90°，∠EBD ＋∠DBF ＝90°，所以∠BEF ＝∠EBD ，所以BD ＝ED ，所以ED ＝DF . 设CE ＝6x ，ED ＝5x (x >0)，则DF ＝5x ，因为BF ＝4，根据切割线定理知BF 2＝DF ·CF ，所以16＝5x ×16x ，解得x ＝55，所以EF ＝ED ＋DF ＝25，因为BF 为⊙O 的切线，所以AB ⊥BF ，所以BE 2＋BF 2＝EF 2，所以BE ＝2，根据相交弦定理知AE ·BE ＝CE ·ED ，得AE ＝3，所以AB ＝5，因为AB 为⊙O 的直径，所以⊙O 的半径为52.2.若二阶矩阵M 满足⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－212 2－1M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 0 4 －1，求曲线4x 2＋4xy ＋y 2－12x ＋12y ＝0在矩阵M 所对应的变换作用下得到的曲线的方程.解记矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 12 2 －1，det(A )＝(－2)×(－1)－2×12＝1≠0，故A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －12－2 －2，所以M ＝A －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3 0 4 －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －12－2 －2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3 0 4 －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 112－2 2，即矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12－2 2. 设曲线4x 2＋4xy ＋y 2－12x ＋12y ＝0上任意一点P (x ，y )在矩阵M 对应的变换作用下得到点P ′(x ′，y ′).所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎤ 1 12－2 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x ＋12y －2x ＋2y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋12y ，y ′＝－2x ＋2y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4x ′－y ′6，y ＝2x ′＋y ′3，又点P (x ，y )在曲线4x 2＋4xy ＋y 2－12x ＋12y ＝0上，代入整理得2x ′2＋3y ′＝0，由点P (x ，y )的任意性可知，所求曲线的方程为2x 2＋3y ＝0.3.已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，圆M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝－2＋2sin θ(其中θ为参数).(1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求圆M 上的点到直线的距离的最小值. 解 (1)极点为直角坐标原点O ， ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ＋22cos θ＝22， ∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，其直角坐标方程为x ＋y －1＝0.(2)将圆的参数方程化为普通方程为x 2＋(y ＋2)2＝4，圆心为M (0，－2)， ∴点M 到直线的距离为d ＝|0－2－1|2＝32＝322，∴圆上的点到直线距离的最小值为32－42.4.已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|x －2|(m >0)的最小值为4，正实数a ，b 满足1a ＋1b ＝ 3.求证：1a 2＋2b2≥m .证明易知|x ＋m |＋|x －2|≥|(x ＋m )－(x －2)|＝|m ＋2|，故由f (x )的最小值为4得|m ＋2|＝4，又m >0，所以m ＝2.又⎝⎛⎭⎫1a 2＋2b 2⎣⎡⎦⎤12＋⎝⎛⎭⎫122≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ×1＋2b ×122＝3，当且仅当a ＝32，b ＝3时等号成立，故1a 2＋2b2≥2＝m ，即结论成立.5.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ＝2，AB ⊥AC ，M 是棱BC 的中点，点P 在线段A 1B 上.(1)若P 是线段A 1B 的中点，求直线MP 与直线AC 所成角的大小； (2)若N 是CC 1的中点，直线A 1B 与平面PMN 所成角的正弦值为77，求线段BP 的长度. 解分别以AB ，AC ，AA 1所在直线为x 轴，y轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0,2)，M (1,1,0). (1)若P 是线段A 1B 的中点，则P (1,0,1)，MP →＝(0，－1,1)，AC →＝(0,2,0). 所以cos 〈MP →，AC →〉＝MP →·AC →||MP →·||AC→＝－22.又〈MP →，AC →〉∈[0，π]，所以〈MP →，AC →〉＝3π4.所以直线MP 与直线AC 所成的角的大小为π4.(2)由N (0,2,1)，得MN →＝(－1,1,1). 设P (x ，y ，z )，BP →＝λBA 1,0≤λ≤1，则(x －2，y ，z )＝λ(－2,0,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－2λ，y ＝0，z ＝2λ，所以P (2－2λ，0,2λ)，所以MP →＝(1－2λ，－1,2λ).设平面PMN 的法向量n ＝(x 1，y 1，z 1)，则n ⊥MN →，n ⊥MP →，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋y 1＋z 1＝0，(1－2λ)x 1－y 1＋2λz 1＝0，取n ＝⎝⎛⎭⎫1＋12λ，12λ，1. 因为BA 1＝(－2,0,2)，设直线A 1B 与平面PMN 所成的角为θ.由sin θ＝||cos 〈n ，BA 1〉＝|n ·BA 1|||n ·||BA 1＝⎪⎪⎪⎪(－2)×⎝⎛⎭⎫1＋12λ＋2⎝⎛⎭⎫1＋12λ2＋⎝⎛⎭⎫12λ2＋1·22＝77，得λ＝14(舍负). 所以BP →＝14BA 1，所以BP ＝14BA 1＝22.6.已知⎝⎛⎭⎫1＋12x n 展开式的各项依次记为a 1(x )，a 2(x )，a 3(x )，…，a n (x )，a n ＋1(x ).设F (x )＝a 1(x )＋2a 2(x )＋3a 3(x )＋…＋na n (x )＋(n ＋1)·a n ＋1(x ).(1)若a 1(x )，a 2(x )，a 3(x )的系数依次成等差数列，求n 的值； (2)求证：对任意x 1，x 2∈[0,2]，恒有|F (x 1)－F (x 2)|≤2n －1(n ＋2)－1.(1)解依题意a k (x )＝C k －1n⎝⎛⎭⎫12x k －1，k ＝1,2,3，…，n ＋1， a 1(x )，a 2(x )，a 3(x )的系数依次为C 0n ·⎝⎛⎭⎫120＝1，C 1n ·12＝n 2，C 2n ·⎝⎛⎭⎫122＝n (n －1)8，所以2×n2＝1＋n (n －1)8，解得n ＝8或n ＝1(舍去).(2)证明 F (x )＝a 1(x )＋2a 2(x )＋3a 3(x )＋…＋na n (x )＋(n ＋1)a n ＋1(x )＝C 0n ＋2C 1n ⎝⎛⎭⎫12x ＋3C 2n ⎝⎛⎭⎫12x 2＋…＋n C n －1n ⎝⎛⎭⎫12x n －1＋(n ＋1)C n n ⎝⎛⎭⎫12x n ， F (2)＝C 0n ＋2C 1n ＋3C 2n ＋…＋n C n －1n ＋(n ＋1)C n n ，设S n ＝C 0n ＋2C 1n ＋3C 2n ＋…＋n C n －1n ＋(n ＋1)C n n ，则S n ＝(n ＋1)C n n ＋n C n －1n ＋…＋3C 2n ＋2C 1n ＋C 0n ，考虑到C k n ＝C n －k n ，将以上两式相加得 2S n ＝(n ＋2)(C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n )，所以S n ＝2n －1(n ＋2)，又当x ∈[0,2]时，F ′(x )>0恒成立，从而F (x )是[0,2]上的单调递增函数，所以对任意x 1，x 2∈[0,2]，|F (x 1)－F (x 2)|≤F (2)－F (0)＝2n －1(n ＋2)－1.解答题满分练解答题满分练11.如图，已知直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2CD ＝2BC ，EA ⊥EB .(1)求证：AB ⊥DE ；(2)在线段EA 上是否存在点F ，使得EC ∥平面FBD ？若存在，求出EFEA 的值；若不存在，请说明理由.(1)证明取AB 的中点O ，连结OE ，OD .因为EB ＝EA ，所以OE ⊥AB .因为四边形ABCD 为直角梯形，AB ＝2CD ＝2BC ，AB ⊥BC ，所以四边形OBCD 为正方形，所以AB ⊥OD .又OD ∩OE ＝O ，OE ，OD ⊂平面EOD ，所以AB ⊥平面EOD ，又DE ⊂平面EOD ，所以AB ⊥DE .(2)解连结CA 交BD 于点M ，由AB ∥CD 可得CM AM ＝CD AB ＝12.假设线段EA 上存在点F ，使得EC ∥平面FBD ，又平面ACE ∩平面FBD ＝FM ，故EC ∥FM ，从而EF F A ＝CM AM ＝12，故EF EA ＝13，所以当EF EA ＝13时，EC ∥平面FBD .2.(2018·江苏省常州市三校联考)已知a ＝()1＋cos ωx ，－1， b ＝()3，sin ωx ( ω>0)，函数f (x )＝a ·b ，函数f (x )的最小正周期为2π. (1)求函数f (x )的表达式；(2)设θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且f ()θ＝3＋65，求cos θ的值. 解 (1)f (x )＝a ·b ＝3()1＋cos ωx －sin ωx ＝ 3－2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3， ∵为函数f (x )的最小正周期为2π， ∴2πω＝2π，解得ω＝1. ∴f (x )＝3－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 . (2) 由f (θ)＝3＋65，得sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－35. ∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 ∴θ－π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，π6， ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝45， ∴cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3cos π3－sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3sin π3 ＝45×12－⎝⎛⎭⎫－35×32＝4＋3310.3.某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度).(1)求θ关于x 的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时， y 取得最大值？解 (1)扇环的圆心角为θ，则30＝θ(10＋x )＋2(10－x )， ∴θ＝10＋2x 10＋x(0<x <10).(2)由(1)可得花坛的面积为12θ(102－x 2)＝(5＋x )(10－x )＝－x 2＋5x ＋50(0<x <10)，装饰总费用为9θ(10＋x )＋8(10－x )＝170＋10x ，∴花坛的面积与装饰总费用的比y ＝－x 2＋5x ＋50170＋10x ＝－x 2－5x －5010(17＋x )，令t ＝17＋x ，则y ＝3910－110⎝⎛⎭⎫t ＋324t ≤3910－110·2·t ·324t ＝310，当且仅当t ＝324t ，即t ＝18时取等号，此时x ＝1，θ＝1211.答当x ＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.4.(2018·江苏六市模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点.当直线PB 1的方程为y ＝x ＋3时，线段PB 1的长为4 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点Q 满足： QB 1⊥PB 1, QB 2⊥PB 2.求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值.(1)解设P ()x 0，y 0.在y ＝x ＋3中，令x ＝0，得y ＝3，从而b ＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 29＝1，y ＝x ＋3得x 2a 2＋()x ＋329＝1.∴x 0＝－6a 29＋a 2.∵PB 1＝x 20＋()y 0－32＝2||x 0，∴42＝2·6a 29＋a 2，解得a 2＝18. ∴椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.(2)证明设P (x 0，y 0)，Q (x 1，y 1). 方法一直线PB 1的斜率为1PB k ＝y 0－3x 0，由QB 1⊥PB 1，则直线QB 1的斜率为1QB k ＝－x 0y 0－3.于是直线QB 1的方程为y ＝－x 0y 0－3x ＋3.同理， QB 2的方程为y ＝－x 0y 0＋3x －3. 联立两直线方程，消去y ，得x 1＝y 20－9x 0.∵P ()x 0，y 0在椭圆x 218＋y 29＝1上，∴x 2018＋y 209＝1，从而y 20－9＝－x 202. ∴x 1＝－x 02.∴1212PB B QB B S S＝⎪⎪⎪⎪x 0x 1＝2.方法二设直线PB 1, PB 2的斜率为k, k ′，则直线PB 1的方程为y ＝kx ＋3. 由QB 1⊥PB 1，直线QB 1的方程为y ＝－1k x ＋3.将y ＝kx ＋3代入x 218＋y 29＝1，得()2k 2＋1x 2＋12kx ＝0，∵P 是椭圆上异于点B 1, B 2的点， ∴x 0≠0，从而x 0＝－12k2k 2＋1.∵P ()x 0，y 0在椭圆x 218＋y 29＝1上，∴x 2018＋y 209＝1，从而y 20－9＝－x 202. ∴k ·k ′＝y 0－3x 0·y 0＋3x 0＝y 20－9x 20＝－12，得k ′＝－12k .由QB 2⊥PB 2，得直线QB 2的方程为y ＝2kx －3. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ＋3，y ＝2kx －3，得x ＝6k 2k 2＋1，即x 1＝6k2k 2＋1.∴1212PB B QB B S S＝⎪⎪⎪⎪x 0x 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12k2k 2＋16k 2k 2＋1＝2. 5.设函数f (x )＝x －a sin x (a >0).(1)若函数y ＝f (x )是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围； (2)设a ＝12，g (x )＝f (x )＋b ln x ＋1()b ∈R ，b ≠0， g ′(x )是g (x )的导函数.①若对任意的x >0，g ′(x )>0，求证：存在x 0，使g (x 0)<0； ②若g (x 1)＝g (x 2) (x 1≠x 2)，求证： x 1x 2<4b 2.(1)解由题意，得 f ′()x ＝1－a cos x ≥0对x ∈R 恒成立. ∵a >0，∴1a ≥cos x 对x ∈R 恒成立， ∵(cos x )max ＝1， ∴1a≥1，从而0<a ≤1. (2)证明 ①g ()x ＝x －12sin x ＋b ln x ＋1，则g ′(x )＝1－12cos x ＋bx.若b <0，则存在－b2>0，使g ′⎝⎛⎭⎫－b 2＝－1－12cos ⎝⎛⎭⎫－b 2<0，不合题意. ∴b >0. 取x 0＝3eb-，则0<x 0<1.此时g ()x 0＝x 0－12sin x 0＋b ln x 0＋1<1＋12＋b ln 3e b -＋1＝－12<0.∴存在x 0>0，使g ()x 0<0.②依题意，不妨设0<x 1<x 2，令x 2x 1＝t ，则t >1.由(1)知函数y ＝x －sin x 单调递增，则x 2－sin x 2>x 1－sin x 1，从而x 2－x 1>sin x 2－sin x 1. ∵g (x 1)＝g (x 2)，∴x 1－12sin x 1＋b ln x 1＋1＝x 2－12sin x 2＋b ln x 2＋1，∴－b (ln x 2－ln x 1)＝x 2－x 1－12(sin x 2－sin x 1)>12()x 2－x 1.∴－2b >x 2－x 1ln x 2－ln x 1>0.下面证明x 2－x 1ln x 2－ln x 1>x 1x 2，即证明t －1ln t >t ，只要证明ln t －t －1t <0. (*)设h ()t ＝ln t －t －1t ()t >1，则h ′()t ＝－()t －122t t<0在()1，＋∞上恒成立.∴h (t )在()1，＋∞上单调递减，故h (t )<h (1)＝0，从而(*)式得证.∴－2b >x 1x 2，即x 1x 2<4b 2.6.已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)n b(n ∈N *).若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1a n －1b n (n ∈N *)，记数列{c n }的前n 项和为S n .(i)求S n ；(ii)求正整数k ，使得对任意n ∈N *均有S k ≥S n . 解 (1)∵a 1a 2a 3…a n ＝(2)n b(n ∈N *)，① 当n ≥2，n ∈N *时，a 1a 2a 3…a n －1＝(2)1n b -，②由①②知a n ＝(2)1n n b b --，令n ＝3，则有a 3＝(2)32b b -.∵b 3＝6＋b 2，∴a 3＝8.∵{a n }为等比数列，且a 1＝2，设{a n } 的公比为q ， ∴则q 2＝a 3a 1＝4，由题意知a n ＞0，∴q ＞0，∴q ＝2. ∴a n ＝2n (n ∈N *).又由a 1a 2a 3…a n ＝(2)n b(n ∈N *)，得 21×22×23…×2n ＝(2)n b，即(1)22n n +＝(2)n b，∴b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *).(2)(i)∵c n ＝1a n －1b n ＝12n －1n (n ＋1)＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝12－⎝⎛⎭⎫11－12＋122－⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝12＋122＋…＋12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＝1－12n －1＋1n ＋1＝1n ＋1－12n .(ii)∵c 1＝0，c 2＞0，c 3＞0，c 4＞0，当n ≥5时，c n ＝1n (n ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)2n －1，而n (n ＋1)2n －(n ＋1)(n ＋2)2n ＋1＝(n ＋1)(n －2)2n ＋1＞0，得n (n ＋1)2n ≤5×(5＋1)25＜1，∴当n ≥5时，c n ＜0.综上，对任意的n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.解答题满分练21.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧面P AD ⊥底面ABCD, P A ⊥PC ； (1)求证：平面P AB ⊥平面PCD ； (2)若过点B 的直线l 垂直于平面PCD ，求证： l ∥平面P AD .证明 (1)因为ABCD 为矩形，所以CD ⊥AD ，因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧面P AD ∩底面ABCD ＝AD, CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ，因为AP ⊂平面P AD ，所以P A ⊥CD ，又P A ⊥PC, PC ∩CD ＝C, CD ，PC ⊂平面PCD ，所以AP ⊥平面PCD ，又AP ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面PCD . (2)由(1)知，AP ⊥平面PCD ，又l ⊥平面PCD ，所以l ∥P A ，又l ⊄平面P AD, AP ⊂平面P AD ，所以l ∥平面P AD .2.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且满足cos B cos C ＋b2a ＋c ＝0 .(1)求角B 的值；(2)若c ＝2，AC 边上的中线BD ＝32，求△ABC 的面积. 解 (1)cos B cos C ＋b 2a ＋c ＝0⇔cos B cos C ＋sin B2sin A ＋sin C ＝0,所以cos B (2sin A ＋sin C )＋sin B cos C ＝0，所以2sin A cos B ＋cos B sin C ＋sin B cos C ＝0，所以2sin A cos B ＋sin(B ＋C )＝0，所以sin A (2cos B ＋1)＝0，因为sin A ≠0，所以cos B ＝－12.所以B ＝2π3.(2)延长BD 到E ，使BD ＝DE ，易知四边形AECB 为平行四边形，在△BEC 中，EC ＝2，BE ＝2BD ＝ 3 ，因为∠ABC ＝2π3，所以∠BCE ＝π3 ，由余弦定理得，BE 2＝EC 2＋BC 2－2EC ·BC ·cos ∠BCE ，即3＝22＋a 2－2·2a ·cos π3，即a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1，S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×2×32＝32.3.某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy .(1)若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？(2)为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小.现隧道口的最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，使得隧道口截面面积最小？(隧道口截面面积公式为S ＝23lh )解 (1)设抛物线的方程为y ＝－ax 2(a ＞0)，则抛物线过点⎝⎛⎭⎫10，－32，代入抛物线方程得a ＝3200，令y ＝－6，解得x ＝±20，则隧道设计的拱宽l 是40米.(2)抛物线最大拱高为h 米，h ≥6，抛物线过点⎝⎛⎭⎫10，－⎝⎛⎭⎫h －92，代入抛物线方程得a ＝h －92100.令y ＝－h ，则－h －92100x 2＝－h ，解得x 2＝100hh －92，则⎝⎛⎭⎫l 22＝100h h －92，h ＝92l 2l 2－400，∵h ≥6，∴92l 2l 2－400≥6，即20＜l ≤40，∴S ＝23lh ＝23l ·92l 2l 2－400＝3l 3l 2－400，20<l ≤40，∴S ′＝9l 2(l 2－400)－3l 3·2l (l 2－400)2＝3l 2(l 2－1 200)(l 2－400)2＝3l 2(l ＋203)(l －203)(l 2－400)2，当20<l <203时，S ′＜0；当203<l ≤40时，S ′＞0，即S 在(20,203)上单调递减，在(203，40]上单调递增， ∴当l ＝203时，S 取得最小值，此时l ＝203，h ＝274.答当拱高为274米，拱宽为203米时，使得隧道口截面面积最小.4.已知圆C 与y 轴相切，圆心在直线2x －y ＝0上，且直线x －y ＝0被圆C 截得的弦长为2 2. (1)求圆C 的标准方程；(2)已知两定点A (0,1)，B (0，－1)，P 为圆C 上的动点，求P A 2＋PB 2的取值范围. 解 (1)由已知可设圆心C (a,2a )，则r ＝|a |. 圆心到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －2a |2＝|a |2，则⎝⎛⎭⎫|a |22＋(2)2＝|a |2，解得a ＝±2，从而所求圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝4 或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝4. (2)设P (x ，y )，则P A 2＋PB 2＝x 2＋(y －1)2＋x 2＋(y ＋1)2＝2(x 2＋y 2)＋2，要求P A 2＋PB 2的取值范围，只需求x 2＋y 2的取值范围，而x 2＋y 2的几何意义为圆C 上的点P (x ，y )到原点O (0,0)的距离的平方. 由圆心C 到原点O 的距离OC ＝25，知点P (x ，y )到原点O 的距离的最大值，最小值分别为25＋2,25－2，则x 2＋y 2的取值范围为[24－85，24＋85]，故P A 2＋PB 2的取值范围为[50－165，50＋165].5.已知函数f (x )＝a ln x ＋bx (a ，b ∈R )在x ＝12处取得极值，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x －y ＋1＝0垂直. (1)求实数a ，b 的值；(2)若关于x 的不等式f (x )≥x 2－3x ＋k 有大于0的实数解，求实数k 的取值范围； (3)若对于任意的x ∈[1，＋∞)，不等式f (x )≤(m －2)x －mx 恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝ax＋b ，由题设可知f ′(1)＝－1且f ′⎝⎛⎭⎫12＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－1，2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.代回检验可得，满足题意.所以实数a ，b 的值分别为1和－2.(2)由(1)可知f (x )＝ln x －2x ，所以不等式f (x )≥x 2－3x ＋k 即x 2－x －ln x ＋k ≤0.令g (x )＝x 2－x －ln x ＋k (x >0)，则g ′(x )＝2x －1－1x ＝2x 2－x －1x ＝(2x ＋1)(x －1)x，所以g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，则g (x )min ＝g (1)＝k . 因此，欲使不等式f (x )≥x 2－3x ＋k 有大于0的实数解，则k ≤0. 即实数k 的取值范围是(－∞，0].(3)对于任意的x ∈[1，＋∞)，f (x )≤(m －2)x －mx 恒成立，等价于ln x －m ⎝⎛⎭⎫x －1x ≤0在x ∈[1，＋∞)上恒成立.设h (x )＝ln x －m ⎝⎛⎭⎫x －1x (x ≥1)，则h ′(x )＝1x －m ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2＝－mx 2＋x －m x 2. 若m ≤0，则h ′(x )>0，h (x )在[1，＋∞)上为增函数， h (x )≥h (1)＝0，这与题设h (x )≤0矛盾.若m >0，方程－mx 2＋x －m ＝0的判别式Δ＝1－4m 2.(i)当Δ≤0，即m ≥12时，h ′(x )≤0，所以h (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以h (x )≤h (1)＝0，即不等式成立；(ii)当0<m <12时，设方程－mx 2＋x －m ＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，x 1＝1－1－4m 22m∈(0,1)，x 2＝1＋1－4m 22m∈(1，＋∞)，当x ∈[1，x 2)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，h (x )≥h (1)＝0，与题设矛盾. 综上所述，m ≥12.即实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.6.(2018·江苏泰州中学模拟)已知数列{}a n ，{}b n ，S n 为数列{}a n 的前n 项和，向量x ＝(1，b n )，y ＝(a n －1，S n )，x ∥y .(1)若b n ＝2，求数列{}a n 的通项公式； (2)若b n ＝n2，a 2＝0.①证明：数列{}a n 为等差数列；②设数列{}c n 满足c n ＝a n ＋3a n ＋2，问是否存在正整数l ，m (l <m ，且l ≠2，m ≠2)，使得c l ，c 2，c m成等比数列？若存在，求出l ，m 的值；若不存在，请说明理由. (1)解由x ＝(1，b n )，y ＝(a n －1，S n )，x ∥y ，得：S n ＝(a n －1)b n ，若b n ＝2，则S n ＝2a n －2.①当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，即a 1＝2，又S n ＋1＝2a n ＋1－2，②②－①得：S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ，即a n ＋1＝2a n ，所以a n ＋1a n ＝2，又a 1＝2，所以{}a n 是首项为2，公比为2的等比数列. 所以a n ＝2n .(2)①证明因为b n ＝n2，则2S n ＝na n －n ，③当n ＝1时，2S 1＝a 1－1，即a 1＝－1，又2S n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－(n ＋1)，④④－③得：2S n ＋1－2S n ＝(n ＋1)a n ＋1－na n －1，即(n －1)a n ＋1－na n －1＝0，⑤ 又na n ＋2－(n ＋1)a n ＋1－1＝0，⑥⑥－⑤得：na n ＋2－2na n ＋1＋na n ＝0，即a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，所以数列{}a n 为等差数列. ②解因为a 1＝－1，a 2＝0，数列{a n }为等差数列，所以数列{}a n 是首项为－1，公差为1的等差数列. a n ＝－1＋(n －1)×1＝n －2，所以c n ＝n ＋1n，假设存在正整数l ，m (l <m ，且l ≠2，m ≠2)，使得c l ，c 2，c m 成等比数列，即c 22＝c l c m ，可得94＝l ＋1l ·m ＋1m，整理得5lm －4l ＝4m ＋4，即l ＝4m ＋45m －4，由4m ＋45m －4≥1，得1≤m ≤8, 一一代入检验⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，l ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，l ＝1611或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，l ＝54或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，l ＝87或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝6，l ＝1413或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝7，l ＝3231或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝8，l ＝1.又l ，m 为正整数，l <m ，且l ≠2，m ≠2，所以存在l ＝1，m ＝8符合题意.解答题满分练31.已知函数f ()x ＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R . (1)求函数y ＝f (x )的单调减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f ()A ＝－1，a ＝7且向量m ＝(3，sin B )与向量n ＝(2，sin C )共线，求△ABC 的面积.解 (1)f (x )＝2cos 2x －3sin 2x ＝cos 2x －3sin 2x ＋1＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1，令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴函数y ＝f (x )的单调减区间为⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π(k ∈Z ). (2)∵f (A )＝－1，∴2cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＋1＝－1，即cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝－1，∴2A ＋π3＝π＋2k π(k ∈Z )， ∴A ＝π3＋k π(k ∈Z )，又∵0<A <π， ∴A ＝π3，∵a ＝7，∴由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线， ∴2sin B ＝3sin C ，由正弦定理得2b ＝3c ，②由①②得b ＝3，c ＝2，∴S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×2×3×32＝332.2.(2018·常州市武进区期中)如图所示，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，且AB ＝2，AD ＝4，AP ＝4，F 是线段BC 的中点. (1)求证：平面P AF ⊥平面PDF ；(2)若E 是线段AB 的中点，在线段AP 上是否存在一点G ，使得EG ∥平面PDF ？若存在，求出线段AG 的长度；若不存在，说明理由.(1)证明 ∵P A ⊥平面ABCD, DF ⊂平面ABCD, ∴P A ⊥DF ，又∵在底面ABCD 中， AF ＝DF ＝22，AD ＝4， ∴AF 2＋DF 2＝AD 2, ∴AF ⊥DF ，∵AP ∩AF ＝A ，AF ⊂平面P AF ，AP ⊂平面P AF ， ∴DF ⊥平面P AF ，∵DF ⊂平面PDF ， ∴平面P AF ⊥平面PDF .(2)解方法一假设在线段AP 上存在点G ，使得EG ∥平面PDF .延长AB 交DF 的延长线于点M ，连结PM .∵F 是线段BC 的中点，底面ABCD 是矩形， ∴MB ＝AB,∵EG ∥平面PDM, EG ⊂平面P AM ，平面P AM ∩平面PDM ＝PM ， ∴EG ∥PM ，∵AE ＝14AM, ∴AG ＝14AP ＝1，故在线段AP 上存在点G ，使得EG ∥平面PDF ，此时AG ＝1.方法二假设在线段AP 上存在点G ，使得EG ∥平面PDF .取DF 的中点I ，连结EI ，过点G 作AD 的平行线交PD 于点H ，连结GH ，HI . ∵E 是线段AB 的中点，∴EI 是梯形ABFD 的中位线， ∴EI ＝3，EI ∥GH ，∵EG ∥平面PDF , EG ⊂平面GEIH ，平面GEIH ∩平面PDF ＝IH ， ∴EG ∥IH ，∴四边形GEIH 是平行四边形， ∴EI ＝GH ＝3，∴PG ＝34AP ＝3, ∴AG ＝1，故在线段AP 上存在点G ，使得EG ∥平面PDF ，此时AG ＝1.3.如图，某生态园将一块三角形地ABC 的一角APQ 开辟为水果园，已知角A 为2π3，AB ，AC 的长度均大于200米，现在边界AP ，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆.(1)若围墙AP ，AQ 总长度为200米，如何操作可使得三角形地块APQ 的面积最大？ (2)已知竹篱笆长为50 3 米， AP 段围墙高1米， AQ 段围墙高2米，造价均为每平方米100元，求围墙总造价的取值范围. 解 (1)设AP ＝x 米，则AQ ＝(200－x )米，所以S △APQ ＝12x ()200－x sin 2π3＝34x ()200－x ≤34⎝⎛⎭⎫20022＝2 500 3 (平方米)，当且仅当x ＝200－x 时，取等号.即AP ＝AQ ＝100 米， S max ＝2 500 3 平方米. (2)由正弦定理AP sin ∠AQP ＝AQ sin ∠APQ ＝PQ sin A ，得AP ＝100sin ∠AQP ，AQ ＝100sin ∠APQ ，故围墙总造价y ＝100()AP ＋2AQ ＝10 000(sin ∠AQP ＋2sin ∠APQ )＝10 0003cos ∠AQP ，因为0<∠AQP <π3， ∴12<cos ∠AQP <1，所以y ∈ ()5 0003，10 0003.答围墙总造价的取值范围为()5 0003，10 0003(元).4.(2018·盐城模拟)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，并且椭圆经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，直线l 的方程为x ＝4. (1)求椭圆的方程；(2)已知椭圆内一点E (1,0)，过点E 作一条斜率为k 的直线与椭圆交于A ，B 两点，交直线l于点M ，记P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.解 (1)因为椭圆的离心率为32，所以b 2a 2＝1－⎝⎛⎭⎫322＝14，又椭圆过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，所以1a 2＋34b 2＝1，所以a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，令x ＝4，则y ＝3k ，所以点M (4,3k )，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝k (x 1－1)－32x 1－1＋k (x 2－1)－32x 2－1＝2k －32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 2＋4y 2＝4，可得()1＋4k 2x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0.所以x 1,2＝4k 2±23k 2＋11＋4k2，所以x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2，所以k 1＋k 2＝2k －32·8k 21＋4k 2－24k 2－41＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1 ＝2k －33. 又因为k 3＝3k －323＝k －36，所以k 1＋k 2＝2k 3，所以存在λ＝2，使得k 1＋k 2＝2k 3. 5.已知函数f (x )＝ x －bx，g (x )＝ 2a ln x .(1)若b ＝0，函数f (x )的图象与函数g (x )的图象相切，求a 的值；(2)若a >0, b ＝－1，函数F (x )＝xf (x )＋g (x )满足对任意x 1，x 2∈(]0，1(x 1≠x 2)，都有||F ()x 1－F ()x 2<3⎪⎪⎪⎪1x 1－1x 2恒成立，求a 的取值范围； (3)若b ＝1，函数G (x )＝f (x )＋ g (x )，且G (x )有两个极值点x 1，x 2，其中x 1∈⎝⎛⎦⎤0，13，求G ()x 1－G ()x 2的最小值.解 (1)若b ＝0，函数f (x )＝x 的图象与g (x )＝2a ln x 的图象相切，设切点为(x 0,2a ln x 0)，则切线方程为y ＝2ax 0x －2a ＋2a ln x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a x 0＝1，－2a ＋2a ln x 0＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝e ，a ＝e 2.所以a ＝e 2. (2)当a >0，b ＝－1时，F (x )＝x 2＋1＋2a ln x ，F ′(x )＝2x ＋2ax >0，所以F (x )在(0,1]上单调递增.不妨设0<x 1<x 2≤1，原不等式⇔F (x 2)－F (x 1)<3⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2，即F (x 2)＋ 3x 2< F (x 1)＋3x 1. 设h (x )＝F (x )＋3x ＝ x 2＋1＋2a ln x ＋3x ，x ∈(0,1]，则原不等式⇔h (x )在(0,1]上单调递减，即h ′(x )＝2x ＋2a x －3x 2≤0在(0,1]上恒成立，所以2a ≤3x－2x 2在(0,1]上恒成立.设y ＝3x －2x 2，它在(0,1]上单调递减，所以y min ＝3－2＝1，所以2a ≤1，又a >0，所以0<a ≤12.(3)若b ＝1，函数G (x )＝f (x )＋g (x )＝x －1x＋2a ln x ，G ′(x )＝ x 2＋2ax ＋1x 2(x >0)，由题意知x 1，x 2是x 2＋2ax ＋1＝0的两根，所以x 1,2＝－2a ±4a 2－42，x 2＝1x 1，2a ＝－x 1－1x 1，G (x 1)－G (x 2)＝G (x 1)－G ⎝⎛⎭⎫1x 1＝2⎣⎡⎦⎤x 1－1x 1－⎝⎛⎭⎫x 1＋1x 1ln x 1. 令H (x )＝2⎣⎡⎦⎤x －1x －⎝⎛⎭⎫x ＋1x ln x ，x ∈⎝⎛⎦⎤0，13， H ′(x )＝2⎝⎛⎭⎫1x 2－1ln x ＝2()1＋x()1－x ln x x 2，当x ∈⎝⎛⎦⎤0，13时，H ′(x )<0, H (x )在⎝⎛⎦⎤0，13上单调递减，H (x )的最小值为H ⎝⎛⎭⎫13＝20ln 3－163. 即G (x 1)－G (x 2) 的最小值为20ln 3－163. 6.(2018·常州市武进区期中)已知数列{}a n 中， a 1＝3，前n 项和S n 满足a n ＋1＝2S n ＋3(n ∈N *). (1) 求数列{}a n 的通项公式； (2)记b n ＝a n()a n －1()a n ＋1－1，求数列{}b n 的前n 项和T n ；(3)是否存在整数对()m ，n (其中m ∈Z ,n ∈N *)满足a 2n －()m ＋2a n ＋7m ＋5＝0？若存在，求出所有的满足题意的整数对()m ，n ，若不存在，请说明理由. 解 (1)当n ≥2时，a n ＋1＝2S n ＋3与a n ＝2S n －1＋3相减，得a n ＋1－a n ＝2()S n －S n －1＝2a n ，即a n ＋1＝3a n (n ≥2)，在a n ＋1＝2S n ＋3中，令n ＝1可得，a 2＝9，即a 2＝3a 1. 故a n ＋1＝3a n (n ∈N *)，故数列{}a n 是首项为3，公比为3的等比数列，其通项公式为a n ＝3n (n ∈N *). (2)由(1) 知，b n ＝a n()a n－1()a n ＋1－1＝3n()3n－1()3n ＋1－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋1－1，则T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫12－18＋⎝⎛⎭⎫18－126＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋1－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫12－13n ＋1－1(n ∈N *). (3)a 2n －()m ＋2a n ＋7m ＋5＝0，即32n －()m ＋23n ＋7m ＋5＝0，则m ＝32n －2×3n ＋53n －7＝()3n －7()3n ＋5＋403n －7＝()3n＋5＋403n －7，若存在整数对()m ，n ，则403n －7必须是整数，其中3n －7只能是40的因数，可得n ＝1时， m ＝－2; n ＝2时， m ＝34; n ＝3时， m ＝34. 综上所有的满足题意的整数对为()－2，1， ()34，2， ()34，3.解答题专项练1.立体几何1.(2018·江苏省金陵中学月考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，AP ＝AD ，点M 在棱PD 上， AM ⊥PD ，点N 是棱PC 的中点，求证：(1) MN ∥平面P AB ； (2) AM ⊥平面PCD .证明 (1)因为在△P AD 中， AP ＝AD ，AM ⊥PD ，所以点M 是棱PD 的中点. 又点N 是棱PC 的中点，所以MN 是△PDC 的中位线，所以MN ∥DC .因为底面ABCD 是矩形，所以AB ∥DC ，。

【江苏高考】2019年数学二轮复习教师用书第1部分知识专题突破专题11 附加题部分

专题十一附加题部分(选修测试物理的考生学习此部分)此部分考查的内容主要是选修系列2中的内容以及选修系列4中专题4－1《几何证明选讲》、4－2《矩阵与变换》、4－4《坐标系与参数方程》、4－5《不等式选讲》这4个专题的内容(考生只需选考其中两个专题)．———————命题观察·高考定位———————(对应学生用书第54页)1．(2016·江苏高考)如图11－1，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)．图11－1(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程． (2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )； ②求p 的取值范围.【导学号：56394080】[解] (1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，由点⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0在直线l ：x －y －2＝0上，得p2－0－2＝0，即p ＝4.所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点M (x 0，y 0)．因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为－1，则可设其方程为y ＝－x ＋b .①证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝－x ＋b消去x 得y 2＋2py －2pb ＝0.(*)因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以y 1≠y 2，从而Δ＝(2p )2－4×(－2pb )>0，化简得p ＋2b >0.方程(*)的两根为y 1,2＝－p ±p 2＋2pb ，从而y 0＝y 1＋y 22＝－p .因为M (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝2－p . 因此，线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )． ②因为M (2－p ，－p )在直线y ＝－x ＋b 上，所以－p ＝－(2－p )＋b ，即b ＝2－2p .由①知p ＋2b >0，于是p ＋2(2－2p )>0，所以p <43.因此，p 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43. 2．(2015·江苏高考) 如图11－2，在四棱锥P －ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2，PA ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1.图11－2(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．[解] 以⎩⎨⎧⎭⎬⎫AB →，AD →，AP →为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则各点的坐标为B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)．第22题图(1)由题意知，AD ⊥平面PAB ，所以AD →是平面PAB 的一个法向量，AD →＝(0,2,0)．因为PC →＝(1,1，－2)，PD →＝(0,2，－2)，设平面PCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·PC →＝0，m ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2z ＝0，2y －2z ＝0.令y ＝1，解得z ＝1，x ＝1.所以m ＝(1,1,1)是平面PCD 的一个法向量．从而cos 〈AD →，m 〉＝AD →·m |AD →||m |＝33，所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为33. (2)因为BP →＝(－1,0,2)，设BQ →＝λBP →＝(－λ，0,2λ)(0≤λ≤1)，又CB →＝(0，－1,0)，则CQ →＝CB →＋BQ →＝(－λ，－1,2λ)．又DP →＝(0，－2,2)，从而cos 〈CQ →，DP →〉＝CQ →·DP →|CQ →||DP →|＝1＋2λ10λ2＋2. 设1＋2λ＝t ，t ∈[1,3]，则cos 2〈C Q →，D P →〉＝2t25t 2－10t ＋9＝29⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －592＋209≤910.当且仅当t ＝95，即λ＝25时，|cos 〈CQ →，DP →〉|的最大值为31010.因为y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，所以此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值．又因为BP ＝12＋22＝5，所以BQ ＝25BP ＝255.3．(2016·江苏高考)(1)求7C 36－4C 47的值；(2)设m ，n ∈N *，n ≥m ，求证：(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋n C m n －1＋(n ＋1)C mn ＝(m ＋1)C m ＋2n ＋2.[解] (1)7C 36－4C 47＝7×6×5×43×2×1－4×7×6×5×44×3×2×1＝0.(2)证明：当n ＝m 时，结论显然成立．当n >m 时，(k ＋1)C mk ＝k ＋k ！m ！k －m ！＝(m ＋1)·k ＋！m ＋！k ＋－m ＋！＝(m ＋1)C m ＋1k ＋1，k ＝m ＋1，m ＋2，…，n . 又因为C m ＋1k ＋1＋C m ＋2k ＋1＝C m ＋2k ＋2，所以(k ＋1)C m k ＝(m ＋1)(C m ＋2k ＋2－C m ＋2k ＋1)，k ＝m ＋1，m ＋2，…，n .因此，(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋(n ＋1)C m n ＝(m ＋1)C m m ＋[(m ＋2)C mm ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋(n ＋1)C mn ]＝(m ＋1)C m ＋2m ＋2＋(m ＋1)[(C m ＋2m ＋3－C m ＋2m ＋2)＋(C m ＋2m ＋4－C m ＋2m ＋3)＋…＋(C m ＋2n ＋2－C m ＋2n ＋1)] ＝(m ＋1)C m ＋2n ＋2.4．(2015·江苏高考)已知集合X ＝{1,2,3}，Y n ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }，令f (n )表示集合S n 所含元素的个数． (1)写出f (6)的值；(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明． [解] (1)Y 6＝{}1，2，3，4，5，6，S 6中的元素(a ，b )满足：若a ＝1，则b ＝1,2,3,4,5,6；若a ＝2，则b ＝1,2,4,6；若a ＝3，则b ＝1,3,6. 所以f (6)＝13. (2)当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N *)．下面用数学归纳法证明：①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立．②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论： a ．若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立；b ．若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k3＋1＝(k ＋1)＋2＋k ＋－12＋k ＋－13，结论成立；c ．若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋－23，结论成立；d ．若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋－12＋k ＋13，结论成立；e ．若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k3＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋－13，结论成立；f ．若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1＝(k ＋1)＋2＋k ＋－12＋k ＋－23，结论成立．综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立． [命题规律](1)排列、组合试题具有一定的灵活性和综合性，常与实际相结合，转化为基本的排列组合模型解决问题，需用到分类讨论思想，转化思想. 排列与组合问题一直是高考数学的热点内容之一．与二项式定理综合问题较难．(2)空间向量与立体几何，重点考查利用空间向量求线线角、线面角、面面角，难度中等．———————主干整合·归纳拓展———————(对应学生用书第55页) [第1步▕ 核心知识再整合]1．几何证明选讲部分，需要核心关注与圆有关的比例线段、圆幂定理的应用及推理论证，相似三角形与圆内接四边形是主要的转换形式．2．矩阵与变换部分，着重掌握用二阶行列式求逆矩阵、二阶矩阵的乘法等基础计算． 3．坐标系与参数方程部分，着重掌握极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化，通过极坐标方程、参数方程考查直线与圆、椭圆的位置关系是命题的热点．4．不等式选讲部分，以考查含一个或两个绝对值号的不等式的求解为主，通常不等式中带有参数，分类讨论去绝对值是必然的选择． 5．离散型随机变量的均值与方差(1)均值：E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ；(2)方差：V (X )＝(x 1－μ)2p 1＋(x 2－μ)2p 2＋…＋(x n －μ)2p n ； (3)性质：E (ax ＋b )＝aE (x )＋b ；V (ax ＋b )＝a 2V (x )． 6．两点分布与二项分布的均值与方差(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，V (X )＝p (1－p )； (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，V (X )＝np (1－p )． 7．直方图的三个常用结论(1)小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率； (2)各长方形的面积和等于1； (3)小长方形的高＝频率组距.8．排列、组合数相关性质排列：A m n ＋1＝A m n ＋m A m －1n ；组合：C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n (m ≤n ，m ，n ∈N *)，k C k n ＝n C k －1n －1. C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.9. 二项式定理(a ＋b )n＝C 0n a n＋C 1n an －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)，10．(1)直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法：设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a 2，b 2，c 2)，v ＝(a 3，b 3，c 3)，则 ①线面平行：l ∥α⇔a ⊥μ⇔a ·μ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.②线面垂直：l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2.③面面平行：α∥β⇔μ∥v ⇔μ＝λv ⇔a 2＝λa 3，b 2＝λb 3，c 2＝λc 3. ④面面垂直：α⊥β⇔μ⊥v ⇔μ·v ＝0⇔a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3＝0. (2)直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算：设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)(以下相同)． ①线线夹角：设l ，m 的夹角为θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2，则 cos θ＝|a·b ||a ||b |＝|a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2|a 21＋b 21＋c 21a 22＋b 22＋c 22. ②线面夹角：设直线l 与平面α的夹角为θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2，则sin θ＝|a ·μ||a ||μ|＝|cos 〈a ，μ〉|.③面面夹角：设平面α，β的夹角为θ(0≤θ＜π)，则|cos θ|＝|μ·v ||μ||v |＝|cos 〈μ，v 〉|.[第2步▕ 高频考点细突破]【例1】 O 的直径，弦BD ，CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F .求证：AB 2＝BE ·BD －AE ·AC .图11－3[证明] 连接AD (图略)，∵AB 为圆的直径，∴AD ⊥BD ，又EF ⊥AB ，则A ，D ，E ，F 四点共圆，∴BD ·BE ＝BA ·BF . 又△ABC ∽△AEF ， ∴AB AE ＝ACAF，即AB ·AF ＝AE ·AC ， ∴BE ·BD －AE ·AC ＝BA ·BF －AB ·AF ＝AB ·(BF －AF )＝AB 2.[规律方法] 与圆有关的线段求解，主要是通过相似三角形建立相似比来求解，从而证明三角形相似是核心，而在圆内证明三角形相似主要是通过圆周角定理或圆心角定理证明角相等．[举一反三] 如图11－4，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足．图11－4求证：(1)∠PAC ＝∠CAB ； (2)AC 2＝AP ·AB .[解] (1)证明：因为PC 切半圆O 于点C ，所以∠PCA ＝∠CBA . 因为AB 为半圆O 的直径，所以∠ACB ＝90°.因为AP ⊥PC ，所以∠APC ＝90°. 因此∠PAC ＝∠CAB .(2)由(1)知△APC ∽△ACB ，故AP AC ＝ACAB，即AC 2＝AP ·AB .【例2】 (2017·江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02.(1)求AB ；(2)若曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程.【导学号：56394081】[解] (1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 210.(2)设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上的任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为点P (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 0＝x ，x 0＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝x2.因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，则x 208＋y 202＝1，从而y 28＋x 28＝1，即x 2＋y 2＝8.因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2＋y 2＝8.[规律方法] 本小题主要考查矩阵的乘法、特征向量的求法，考查运算求解能力．注意矩阵乘法不满足交换律，即A －1B ≠BA －1，矩阵与变换所涉及的内容并不多，在平时只要注意归纳，并且计算过关此题可以轻松拿下． [举一反三](江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试)已知α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a －14属于λ的一个特征向量，求实数a ，λ的值及A 2.[解] 由条件可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a －14⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝2λ，－2＋4＝λ，解得a ＝λ＝2.因此A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 10－5 14.【例3】 xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos αy ＝3＋2sin α，(α∈[0,2π]，α为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝a (a ∈R )，若曲线C 1与曲线C 2有且仅有一个公共点，求实数a 的值．[解] 曲线C 1的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4，圆心坐标为(3，3)，半径为2. ∵曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝a (a ∈R )，∴12ρsin θ＋32ρcos θ＝a ，∴曲线C 2的直角坐标方程为3x ＋y －2a ＝0， ∵曲线C 1与曲线C 2有且仅有一个公共点，∴|3＋3－2a |2＝2，解得a ＝1或a ＝5. [规律方法] 参数方程与普通方程、极坐标与直角坐标之间的互化，熟练简单曲线的极坐标是解答本类问题的关键． [举一反三](2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P到直线l 的距离的最小值．[解] 直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )，从而点P 到直线l 的距离 d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋－2＝s －22＋45.当s ＝2时，d min ＝455.因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.【例4】[解] y ＝3sin x ＋22＋2cos 2x ＝3sin x ＋4cos 2x .由柯西不等式得y 2＝(3sin x ＋4cos 2x )2≤(32＋42)·(sin 2x ＋cos 2x )＝25，所以y max ＝5，此时sin x ＝35.所以函数y ＝3sin x ＋22＋2cos 2x 的最大值为5..[规律方法] 不等式证明的基本方法是比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法和数学归纳法，其中以比较法和综合法最为基础，使用综合法证明不等式的关键就是通过适当的变换后使用重要不等式，证明过程注意从重要不等式的形式入手达到证明的目的． [举一反三](2017·江苏高考)已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明：ac ＋bd ≤8. [证明] 由柯西不等式，得(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．因为a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，所以(ac ＋bd )2≤64，因此ac ＋bd ≤8.【例5】 )，这些球除颜色外完全相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，…，m ＋n 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(k ＝1,2,3，…，m ＋n ).(1)试求编号为2(2)随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E (X )是X 的数学期望，证明：E (X )<n m ＋nn －.【导学号：56394082】[解] (1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ＝C n －1m ＋n －1C n m ＋n ＝n m ＋n .(2)证明：随机变量X 的概率分布为E (X )＝∑k ＝n m ＋n1k ·C n －1k －1C n m ＋n ＝1C n m ＋n ∑k ＝nm ＋n 1k ·k －！n －！k －n ！.所以E (X )<1C n m ＋n ∑k ＝nm ＋nk －！n －！k －n ！＝1n －nm ＋n ∑k ＝nm ＋nk －！n －！k －n ！＝1n －n m ＋n(1＋C n －2n －1＋C n －2n ＋…＋C n －2m ＋n －2) ＝1n －n m ＋n(C n －1n －1＋C n －2n －1＋C n －2n ＋…＋C n －2m ＋n －2) ＝1n －n m ＋n(C n －1n ＋C n －2n ＋…＋C n －2m ＋n －2)＝…＝1n －n m ＋n(C n －1m ＋n －2＋C n －2m ＋n －2)＝C n －1m ＋n －1n －n m ＋n＝n m ＋n n －，即E (X )<n m ＋nn －.[规律方法] 求解离散型随机变量均值与方差的主要步骤：(1)求出随机变量的所有可能的取值；(2)计算随机变量取各个值的概率，列出概率分布列；(3)按照公式计算均值(数学期望)与方差． [举一反三](江苏省南京市2017届高三上学期学情调研)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜．投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为25，乙每次投篮命中的概率为23，且各次投篮互不影响．现由甲先投． (1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投篮次数X 的分布列与期望．[解] (1)设甲第i 次投中获胜的事件为A i (i ＝1,2,3)，则A 1，A 2，A 3彼此互斥．甲获胜的事件为A 1＋A 2＋A 3.P (A 1)＝25；P (A 2)＝35×13×25＝225； P (A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×25＝2125. 所以P (A 1＋A 2＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝25＋225＋2125＝62125.所以甲获胜的概率为62125.(2)X 所有可能取的值为1,2,3. 则P (X ＝1)＝25＋35×23＝45；P (X ＝2)＝225＋35×13×35×23＝425； P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×1＝125.即X 的概率分布列为所以X 的数学期望E (X )＝1×45＋2×425＋3×125＝3125.【例6】 (2017，…，n }的所有含有4个元素的子集记为A 1，A 2，A 3，…，A C 4n .设A 1，A 2，A 3，…，A C 4n 中所有元素之和为S n .(1)求S 4，S 5，S 6并求出S n ； (2)证明：S 4＋S 5＋…＋S n ＝10C 6n ＋2.[解] (1)当n ＝4时，集合M 只有1个符合条件的子集，S 4＝1＋2＋3＋4＝10，当n ＝5时，集合M 每个元素出现了C 34次，S 5＝C 34(1＋2＋3＋4＋5)＝60，当n ＝6时，集合M 每个元素出现了C 35次，S 6＝C 35(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝210，所以，当集合M 有n 个元素时，每个元素出现了C 3n －1，故S n ＝C 3n －1·n n ＋2.(2)证明：因为S n ＝C 3n －1·n n ＋2＝112(n ＋1)n (n －1)(n －2)(n －3)＝10C 5n ＋1，则S 4＋S 5＋…＋S n ＝10(C 55＋C 56＋C 57＋…＋C 5n ＋1)＝10C 6n ＋2.[规律方法] 通过观察式子的结构，利用排列数和组合数的相关性质及二项式系数的相关性质以含有排列、组合数结构的代数式进行化简，有时需要拆分、拼凑项来进行结构重组． [举一反三](2017·江苏省盐城市高考数学二模)现有n n＋2(n ≥2，n ∈N *)个给定的不同的数随机排成一个如图11－5所示的三角形数阵：图11－5设M k 是第k 行中的最大数，其中1≤k ≤n ，k ∈N *.记M 1＜M 2＜…＜M n 的概率为p n . (1)求p 2的值；(2)证明：p n ＞C 2n ＋1n ＋！.[解] (1)由题意知p 2＝2A 22A 33＝23，即p 2的值为23.(2)先排第n 行，则最大数在第n 行的概率为nn n ＋2＝2n ＋1；去掉第n 行已经排好的n 个数，则余下的n n ＋2－n ＝n n －2个数中最大数在第n －1行的概率为n －1n n －2＝2n；…故p n ＝2n ＋1×2n ×…×23＝2n －1n ＋n ×…×3＝2nn ＋！. 由于2n＝(1＋1)n＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ≥C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＞C 1n ＋C 2n ＝C 2n ＋1，故2nn ＋！＞C 2n ＋1n ＋！，即p n ＞C 2n ＋1n ＋！.【例7】求证：(1)若x 为“兄弟数” ，则x 2也为“兄弟数”；(2)若x 为“兄弟数”，k 是给定的正奇数，则x k也为“兄弟数”.【导学号：56394083】[证明] (1)设x ＝n ＋1＋n (n ∈N *)，则x 2＝2n ＋1＋2nn ＋＝4n 2＋4n ＋1＋4n 2＋4n ，是“兄弟数”．(2)设x ＝n ＋1＋n ，y ＝n ＋1－n (n ∈N *)，则xy ＝1，而x k＝∑i ＝0kC i k(n ＋1)k －i(n )i，y k＝∑i ＝0kC i k (n ＋1)k －i(－n )i，故x k＋y k＝∑i ＝0k C i k(n ＋1)k －i(n )i＋∑i ＝0kC i k (n ＋1)k －i(－n )i＝2[C 0k (n ＋1)k ＋C 2k (n ＋1)k －2·n ＋C 4k (n ＋1)k －4·n 2＋…＋C k －1kn ＋1·n k －12]，不妨记：x k＋y k＝2a n ＋1，a ∈N *，同理：由x k－y k＝∑i ＝0kC ik(n ＋1)k －i(n )i－∑i ＝0kC i k (n ＋1)k －i(－n )i，不妨记：x k－y k＝2b n ，b ∈N *，进而，2x k ＝4a2n ＋＋4b 2n ，即x k ＝a2n ＋＋b 2n .又4a 2(n ＋1)－4b 2n ＝(x k＋y k )2－(x k－y k )2＝4x k y k＝4，故a 2(n ＋1)＝b 2n ＋1. 因此x k＝b 2n ＋1＋b 2n 亦为“兄弟数”．[规律方法] 二项式定理内容的考查常出现二项式内容与其它知识的交汇、整合，这是命题的一个创新方向．如二项式定理与函数、数列、复数、不等式等其他知识点综合成题时，对其他模块的知识点要能熟练运用．[举一反三]在自然数列1,2,3，…，n 中，任取k 个元素位置保持不动，将其余n －k 个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为P n (k ). (1)求P 3(1)；(2)求∑k ＝04P 4(k )；(3)证明∑k ＝0n kP n (k )＝n ∑k ＝0n －1P n －1(k )，并求出∑k ＝0nkP n (k )的值．[解] (1)因为数列1,2,3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1,3,2或3,2,1或2,1,3，所以P 3(1)＝3.(2)∑k ＝04P 4(k )＝P 4(0)＋P 4(1)＋P 4(2)＋P 4(3)＋P 4(4)＝C 04C 13C 13＋C 14C 12＋C 24＋0＋1＝9＋8＋6＋0＋1＝24.(3)把数列1,2，…，n 中任取其中k 个元素位置不动，则有C kn 种；其余n －k 个元素重新排列，并且使其余n －k 个元素都要改变位置，则有P n (k )＝C kn P n －k (0)，故∑k ＝0nkP n (k )＝∑k ＝0nk C kn P n －k (0)，又因为k C kn ＝n C k －1n －1，所以∑k ＝0n kP n (k )＝∑k ＝0nk C kn Pn －k(0)＝n ∑k ＝0n －1Ckn －1Pn －k －1(0)＝n ∑k ＝0n －1P n －1(k )．令a n ＝∑k ＝0nkP n (k )，则a n ＝na n －1，且a 1＝1.于是a 2a 3a 4…a n －1a n ＝2a 1×3a 2×4a 3×…×na n －1，左右同除以a 2a 3a 4…a n －1，得a n ＝2×3×4×…×n ＝n ！.所以∑k ＝0nkP n (k )＝n ！.【例8】 11111ABCD ，且AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝120°.图11－6(1)求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； (2)求二面角B －A 1D －A 的正弦值．[解] 在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E . 因为AA 1⊥平面ABCD ，所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD . 如图，以{AE →，AD →，AA 1→}为正交基底，建立空间直角坐标系A －xyz .因为AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝120°，则A (0,0,0)，B (3，－1,0)，D (0,2,0)，E (3，0,0)，A 1(0,0，3)，C 1(3，1，3)．(1)A 1B →＝(3，－1，－3)，AC 1→＝(3，1，3)，则cos 〈A 1B →，AC 1→〉＝A 1B →·AC 1→|A 1B →||AC 1→|＝＝－17，因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17.(2)平面A 1DA 的一个法向量为AE →＝(3，0,0)．设m ＝(x ，y ，z )为平面BA 1D 的一个法向量，又A 1B →＝(3，－1，－3)，BD →＝(－3，3,0)，则⎩⎨⎧m ·A 1B →＝0，m ·BD →＝0，即⎩⎨⎧3x －y －3z ＝0，－3x ＋3y ＝0.不妨取x ＝3，则y ＝3，z ＝2，所以m ＝(3，3，2)为平面BA 1D 的一个法向量．从而cos 〈AE →，m 〉＝AE →·m|AE →||m |＝3，0，，3，3×4＝34. 设二面角B －A 1D －A 的大小为θ，则|cos θ|＝34.因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝1－cos 2θ＝74. 因此二面角B －A 1D －A 的正弦值为74. [规律方法] (1)利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”．(2)利用法向量的根据是两个半平面的法向量所成的角和二面角的平面角相等或互补，在能断定所求二面角的平面角是锐角、直角或钝角的情况下，这种方法具有一定的优势，但要注意，必须能断定“所求二面角的平面角是锐角、直角或钝角”，在用法向量法求二面角的大小时，务必要作出这个判断，否则解法是不严谨的． [举一反三](2017·江苏省无锡市高考数学一模)如图11－7，已知正四棱锥P －ABCD 中，PA ＝AB ＝2，点M ，N 分别在PA ，BD 上，且PM PA ＝BN BD ＝13. (1)求异面直线MN 与PC 所成角的大小； (2)求二面角N －PC －B 的余弦值.【导学号：56394084】图11－7[解] (1)设AC 与BD 的交点为O ，AB ＝PA ＝2.以点O 为坐标原点，DA →，DC →，OP →方向分别是x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系O －xyz .则A (1，－1,0)，B (1,1,0)，C (－1,1,0)，D (－1，－1,0)，设P (0,0，p )，则AP →＝(－1,1，p )，又AP ＝2， ∴1＋1＋p 2＝4，∴p ＝2，∵OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋23AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－13，223，ON →＝13OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，0，∴PC →＝(－1,1，－2)，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，－223，设异面直线MN 与PC 所成角为θ，则cos θ＝|MN →·PC →||MN →|·|PC →|＝23＋4343·4＝32.∴θ＝30°，∴异面直线MN 与PC 所成角为30°.(2)PC →＝(－1,1，－2)，PB →＝(1,1，－2)，PN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，－2，设平面PBC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·PB →＝x ＋y －2z ＝0，n ·PC →＝－x ＋y －2z ＝0，取z ＝1，得n ＝(0，2，1)，设平面PNC 的法向量m ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·PN →＝13a ＋13b －2c ＝0，m ·PC →＝－a ＋b －2c ＝0，取c ＝1，得m ＝(2，22，1)，设二面角N －PC －B 的平面角为θ，则cos θ＝|m·n ||m |·|n |＝53·11＝53333.∴二面角N －PC －B 的余弦值为53333.[第3步▕ 高考易错明辨析]1．忽视参数的符号已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f x －2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．[错解] (1) 由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2，即－4a ≤x ≤2a，又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－4a ＝－2，2a ＝1，即a ＝2.(2)记h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤－1，－4x －3，－1＜x ＜－12，－1，x ≥－12，∴|h (x )|≤1，因此k ≥1.[正解] (1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2，又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，∴当a ≤0时，不合题意；当a ＞0时，－4a ≤x ≤2a ，得⎩⎪⎨⎪⎧－4a ＝－2，2a ＝1，即a ＝2.(2)记h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤－1，－4x －3，－1＜x ＜－12，－1，x ≥－12，∴|h (x )|≤1，因此k ≥1. 2．基本概念理解不清直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．[错解] 由⎩⎪⎨⎪⎧2ρcos θ＝1ρ＝2cos θ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝1，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝－1，cos θ＝－12，则弦长＝[1－－2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝ 5. [正解] 2ρcos θ＝1是过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0且垂直于极轴的直线，ρ＝2cos θ是以(1,0)为圆心，1为半径的圆，则弦长＝21－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝ 3. ———————专家预测·巩固提升———————(对应学生用书第61页)1．(原创题)如图11－8，AC ⊥AB ，BE ⊥AB ，AB＝10，AC ＝2，用一块三角尺进行如下操作：将直角顶点P 在线段AB 上滑动，一直角边始终经过点C ，另一直角边与BE 相交于点D ，若BD ＝8，则AP 的长为________．图11－82或8 [由题意，知△APC ∽△BDP ，∴AP BD ＝AC BP ，即AP 8＝210－AP.∴AP ＝2或8.] [题后反思] 本题强调动手能力，用身边的实物建模，构造相似三角形，这是此题的一个亮点．2．(新颖题)在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，则△AOB (其中O为极点)的面积为________．3 [如图，S △AOB ＝12×3×4×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π6＝3.][题后反思] 本题把极坐标放在三角形内进行考查，角度新颖，而且难度降低，体现新课标注重知识点的内涵与本质这一特点．3．(改编题)若不等式|2x －m |≤|3x ＋6|恒成立，则实数m 的取值范围为________.【导学号：56394085】{－4} [在同一直角坐标系中分别画出函数y ＝|2x －m |及y ＝|3x ＋6|的图象(如图)，由于不等式|2x －m |≤|3x ＋6|恒成立，∴函数y ＝|2x －m |的图象在y ＝|3x ＋6|的图象的下方，因此，函数y ＝|2x －m |的图象也必须经过点(－2,0)，∴m ＝－ 4.] 4．(原创题)设函数f (x )＝|x －3|－|x ＋1|，x ∈R .(1)解不等式f (x )＜－1；(2)设函数g (x )＝|x ＋a |－4，g (x )≤f (x )在x ∈[－2,2]上恒成立，求实数a 的取值范围． [解] (1)由条件知f (x )＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧4， x ＜－1，－2x ＋2，－1≤x ≤3，－4， x ＞3，由f (x )＜－1，解得x ＞32.(2)由g (x )≤f (x )得|x ＋a |－4≤|x －3|－|x ＋1|，由函数的图象可知a 的取值范围是[－4,0].5．(改编题)在极坐标系内，已知曲线C 1的方程为ρ2－2ρ(cos θ－2sin θ)＋4＝0，以极点为原点，极轴方向为x 正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＝1－4t 5y ＝18＋3t (t 为参数)．(1)求曲线C 1的直角坐标方程以及曲线C 2的普通方程；(2)设点P 为曲线C 2上的动点，过点P 作曲线C 1的两条切线，求这两条切线所成角余弦值的取值范围．[解] (1)对于曲线C 1的方程为ρ2－2ρ(cos θ－2sin θ)＋4＝0，可化为直角坐标方程x2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝1；对于曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＝1－4t5y ＝18＋3t(t 为参数)，可化为普通方程3x ＋4y －15＝0.(2)过圆心(1，－2)作直线3x ＋4y －15＝0的垂线，此时两切线成角θ最大，即余弦值最小，则由点到直线的距离公式可知d ＝|3×1＋－－15|32＋42＝4，则sin θ2＝14，因此cosθ＝1－2sin 2θ2＝78，因此两条切线所成角的余弦值的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫78，1.。

2019年江苏省语文高考二轮复习自主加餐练：阅读组合增分练1(2021年整理)

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阅读组合增分练1文言文＋古诗词＋名句名篇（时间：30分钟满分：37分)一、文言文阅读(18分)阅读下面的文言文，完成1～4题。

张士逊字顺之.淳化中，举进士，调郧乡主簿，迁射洪令.转运使檄移士逊治郪，民遮马首不得去，因听还射洪。

安抚使至梓州，问属吏能否，知州张雍曰：“射洪令，第一也。

”知邵武县，以宽厚得民。

前治射洪，以旱祷雨白崖山陆使君祠，寻大雨，士逊立廷中，须雨足乃去。

至是，邵武旱，祷欧阳太守庙，庙去．城过一舍，士逊彻．盖，雨沾足始归。

改秘书丞，历御史台推直官.翰林学士杨亿荐为监察御史。

贡举初用糊名法，士逊为诸科巡铺官,以进士有姻党，士逊请避去,真宗记名于御屏，自是有亲嫌者皆移试，著为令。

中书拟人充江南转运使，再拟辄见却．，帝独用士逊。

再迁侍御史，徙河北。

河侵棣州，诏徙州阳信,议者患粮多，不可迁.士逊视濒河数州方艰食，即计余以贷贫者，期来岁输阳信，公私利之.明道初,进中书侍郎兼兵部尚书.明年旱蝗,士逊请如汉故事册免,不许。

及帝自损尊号，士逊又请降官一等,以答天变,帝慰勉之。

宝元初，以兵部尚书入相，封郢国公。

士逊与辅臣奏事，帝从容曰:“朕昨放宫人，不独闵．幽闭，亦省浮费也。

近复有献孪女者,朕却而弗受。

江苏专版2019版高考语文二轮复习附加题自选练1含解

．．．．．．[注．4．，《《《附加题自选练1 (时间：30分钟满分：40分)一、阅读材料，完成1～3题。

(10分)夫通人览见广博不能掇以论说此为匿生书主人孔子所谓诵《诗》三百授之以政不达者也；与彼草木不能伐采，一实也。

孔子得《史记》]以作《春秋》，及其立义创意，褒贬赏诛，不复因《史记》者，眇思自出于胸中也。

凡贵通者，贵其能用之也，即徒诵读，读诗讽术，虽千篇以上，鹦鹉能言之类也。

(节选自《论衡·超奇》) [注]《史记》：指记载鲁国历史的资料。

1．用斜线“/”给上面文言文中的画线部分断句。

(限．处)(4分)参考答案：夫通人览见广博/不能掇以论说/此为匿生书主人/孔子所谓诵《诗》三百/授之以政不达者也(断对一处得1分，多断一处倒扣1分，扣完为止)2．《论衡》的作者是(朝代)的(人名)。

(2分)参考答案：东汉王充(每空1分)3．根据材料，概括成为真正的“通人”的条件。

(4分)答：参考答案：①博览群书，见闻广博；②融会贯通，学以致用。

(每点2分)参考译文：通人见识广博，却不能拿过来论述事情，这叫作藏书家，就是孔子所说的那种能背诵《诗经》三百篇，但把政务交给他却办不通的人；这跟那些见过草木却不会采伐的情况，是一样的道理。

孔子得到关于鲁国历史的记载来写《春秋》而他在立意上有所创新，赞赏和贬责，不再沿袭这些记载，精妙的想法出自自己的胸中。

大凡看重通人的，是看重他们能运用所学到的知识，如果他们只是能够熟读，读诗诵经，即使能背诵诗歌千篇以上，也只是如同模仿人说话的鹦鹉而已(，没有用处)。

二、名著阅读题(15分)4．下列对有关名著的说明，不正确的两项是(5分)()A．《三国演义》中，孔明派人贿赂张鲁手下谋士杨松，杨松向张鲁诬告马超谋反，逼得马超左右为难，刘备趁机派李恢劝降了马超。

B．边城》中，天保和傩送同时爱上了翠翠，按茶峒的习俗他们会有一番“情人奉让”的礼节，但他们却选择用唱歌的方式争取爱情。

C．老人与海》结尾，一对旅行的情侣对骨架表示惊叹，他们不知道那是被鲨鱼残杀的大马林鱼的残骸，但还是惊叹鱼尾巴的漂亮，作者以此衬托桑地亚哥的勇敢。

江苏省2019高考数学二轮复习自主加餐的3大题型 3个附加题综合仿真练(一)(理)(含解析)

3个附加题综合仿真练(一)（理科)1．本题包括A、B、C三个小题，请任选二个作答A．[选修4－2:矩阵与变换］已知矩阵A＝错误!，B＝错误!.求矩阵C，使得AC＝B。

解：因为错误!＝2×3－1×1＝5，所以A－1＝错误!,又AC＝B,所以C＝A－1B＝错误!错误!＝错误!。

B．[选修4－4：坐标系与参数方程］在极坐标系中,已知圆C的圆心在极轴上，且过极点和点错误!,求圆C的极坐标方程．解:法一：因为圆心C在极轴上且过极点，所以设圆C的极坐标方程为ρ＝a cos θ，又因为点错误!在圆C上,所以3错误!＝a cos 错误!,解得a＝6.所以圆C的极坐标方程为ρ＝6cos θ.法二：点错误!的直角坐标为（3，3)，因为圆C过点（0，0)，(3,3)，所以圆心C在直线为x＋y－3＝0上．又圆心C在极轴上,所以圆C的直角坐标方程为(x－3）2＋y2＝9。

所以圆C的极坐标方程为ρ＝6cos θ.C．[选修4－5：不等式选讲］已知x，y,z为不全相等的正数．求证：错误!＋错误!＋错误!〉错误!＋错误!＋错误!.证明:因为x,y，z都是正数，所以错误!＋错误!＝错误!错误!≥错误!.同理可得错误!＋错误!≥错误!,错误!＋错误!≥错误!,将上述三个不等式两边分别相加，并除以2,得错误!＋错误!＋错误!≥错误!＋错误!＋错误!.由于x，y,z不全相等，因此上述三个不等式中等号至少有一个取不到，所以错误!＋错误!＋错误!〉错误!＋错误!＋错误!.2．在平面直角坐标系xOy中,直线l：x＝－1,点T(3,0)．动点P满足PS⊥l，垂足为S，且错误!·错误!＝0。

设动点P的轨迹为曲线C.(1）求曲线C的方程；(2)设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与x轴的交点为N.求证：向量错误!与错误!共线．解:(1）设P （x ，y )为曲线C 上任意一点 .因为PS ⊥l ,垂足为S ，又直线l ：x ＝－1，所以S (－1，y )．因为T （3,0）,所以错误!＝(x ,y ），错误!＝(4,－y ）．因为错误!·错误!＝0，所以4x －y 2＝0，即y 2＝4x 。

(江苏专用)2019届高考数学(理科)二轮复习：填空、解答题满分练(14套,Word版,含答案)

填空题满分练(1)1.复数z ＝x ＋(x ＋2)i(其中i 为虚数单位，x ∈R )满足2＋iz是纯虚数，则|z |＝________.答案：253解：根据题意可设2＋iz＝b i(b ∈R 且b ≠0)，∴2＋i ＝[x ＋(x ＋2)i]×b i ＝－b (x ＋2)＋xb i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝－b (x ＋2)，1＝xb ，解：得x ＝－23，∴z ＝－23＋43i ，∴|z |＝253.2.(2018·南通、徐州、扬州等六市模拟)已知集合U ＝{－1,0,1,2,3}，A ＝{－1,0,2}，则∁U A ＝________. 答案： {1,3}解： ∵集合U ＝{－1,0,1,2,3}，A ＝{－1,0,2}， ∴∁U A ＝{1,3}.3.某工厂生产A ，B ，C ，D 四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5∶1.现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，若样本中A 种型号有16件，那么此样本的容量n 为________. 答案： 88解：根据分层抽样的特点，样本中A 种型号产品应是样本容量的22＋3＋5＋1＝211，所以样本的容量n ＝16÷211＝88.4.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，已知2sin A ＝3cos A ，且有a 2－c 2＝b 2－mbc ，则实数m ＝__________.答案： 1解： ∵2sin A ＝3cos A ，∴2sin 2A ＝3cos A ， ∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0， ∴cos A ＝12或cos A ＝－2(舍).由a 2－c 2＝b 2－mbc ，得cos A ＝m 2，∴m 2＝12，∴m ＝1.5.已知等差数列{}a n 满足a 3＋a 5＝14, a 2a 6＝33，则a 1a 7＝________. 答案： 13解：由题意得a 2＋a 6＝a 3＋a 5＝14, a 2a 6＝33，所以a 2＝3，a 6＝11或a 2＝11，a 6＝3. 当a 2＝3，a 6＝11时，d ＝11－36－2＝2，a 1＝1，a 7＝13，∴a 1a 7＝13；当a 2＝11，a 6＝3时，d ＝3－116－2＝－2，a 1＝13，a 7＝1，∴a 1a 7＝13.6.在△ABC 中，点D 满足BC →＝3BD →，则AD →＝________.(用AB →，AC →表示) 答案： 23AB →＋13AC →解：因为BC →＝3BD →，所以AC →－AB →＝3(AD →－AB →)，即AD →＝23AB →＋13AC →.7.给出30个数：1, 2, 4, 7, 11, 16，…，要计算这30个数的和.如图给出了该问题的流程图，那么图中①处和②处分别填入____________.答案： i ≤30和p ＝p ＋i 解：由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为30，即①中应填写i ≤30. 又由第1个数是1，第2个数比第1个数大1，即1＋1＝2，第3个数比第2个数大2，即2＋2＝4，第4个数比第3个数大3，即4＋3＝7，…，故②中应填写p ＝p ＋i .8.已知实数x, y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3≤0，x ＋y －2≥0，－x ＋2y －2≤0，则z ＝(x －1)2＋y 2的最小值为________. 答案： 12解：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)，易知z 表示可行域内的点(x ，y )到点(1,0)的距离的平方，所以z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|1＋0－2|12＋122＝12.9.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为(2,0)，且双曲线C 的离心率为22，则双曲线C 的渐近线方程为________. 答案： y ＝±7x解：依题意知，双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为(2,0)，∴c ＝2，∵双曲线的离心率为22，∴c a ＝2a ＝22，∴a ＝22， ∵c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝142， ∴渐近线方程为y ＝±b ax ＝±7x .10.已知圆柱M 的底面半径为2，高为6，圆锥N 的底面直径和母线长相等.若圆柱M 和圆锥N 的体积相同，则圆锥N 的高为________.答案： 6解：设圆锥N 的底面半径为r ，则它的母线长为2r ，高为3r ，由圆柱M 与圆锥N 的体积相同，得4π×6＝13πr 2×3r ，解：得r ＝23，因此圆锥N 的高h ＝3r ＝6.11.将圆的一组n 等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录k (k ≤n )个点的颜色，称为该圆的一个“k 阶段序”，当且仅当两个k 阶段序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k 阶段序.若某圆的任意两个“k 阶段序”均不相同，则称该圆为“k 阶魅力圆”，则“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为________. 答案： 8解： “3阶段序”中，每个点的颜色有两种选择，故“3阶段序”共有2×2×2＝8(种)，一方面，n 个点可以构成n 个“3阶段序”，故“3阶魅力圆”中的等分点的个数不多于8个；另一方面，若n ＝8，则必须包含全部共8个“3阶段序”，不妨从(红，红，红)开始按逆时针方向确定其它各点颜色，显然“红，红，红，蓝，蓝，蓝，红，蓝”符合条件，故“3阶魅力圆”中最多可有8个等分点.12.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线AF 2与椭圆的另一个交点为C ，若AF 2→＝2F 2C →，则椭圆的离心率为________. 答案：55解：设C (x ，y )，由AF 2→＝2F 2C →，得 ⎩⎪⎨⎪⎧|y |b 2a ＝12，x ＝2c ，∴C ⎝⎛⎭⎪⎫2c ，±b 22a .又C 为椭圆上一点， ∴(2c )2a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫±b 22a 2b2＝1，解：得e ＝55. 13.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝(x ＋1)e x，则对任意m ∈R ，函数F (x )＝f (f (x ))－m 的零点个数至多有________个. 答案： 3解：当x <0时，f ′(x )＝(x ＋2)e x，由此可知f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2,0)上单调递增，f (－2)＝－e －2，f (－1)＝0，且f (x )<1.又f (x )是R 上的奇函数，f (0)＝0，而当x ∈(－∞，－1)时，f (x )<0，所以f (x )的图象如图所示.令t ＝f (x )，则当t ∈(－1,1)时，方程f (x )＝t 至多有3个根，当t ∉(－1,1)时，方程f (x )＝t 没有根，而对任意m ∈R ，方程f (t )＝m 至多有一个根t ∈(－1,1)，从而函数F (x )＝f (f (x ))－m 的零点个数至多有3个.14.已知正四面体P －ABC 的棱长均为a ，O 为正四面体P －ABC 的外接球的球心，过点O 作平行于底面ABC 的平面截正四面体P －ABC ，得到三棱锥P －A 1B 1C 1和三棱台ABC －A 1B 1C 1，那么三棱锥P －A 1B 1C 1的外接球的表面积为________. 答案：27π32a 2解：设底面△ABC 的外接圆半径为r ，则asinπ3＝2r ，所以r ＝33a . 所以正四面体的高为a 2－⎝⎛⎭⎪⎫33a 2＝63a ，设正四面体的外接球半径为R ，则R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫63a －R 2，∴R ＝64a .因为64∶63＝3∶4，所以三棱锥P －A 1B 1C 1的外接球的表面积为 4π×⎝⎛⎭⎪⎫64a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝27π32a 2. 填空题满分练(2)1.若复数z 满足1＋iz －i ＝i(i 是虚数单位)，则z ＝________.答案： 1解：由题设有z ＝1＋ii＋i ＝－i ＋1＋i ＝1.2.已知集合A ＝{2,0，－2}，B ＝{x |x 2－2x －3>0}，集合P ＝A ∩B ，则集合P 的子集个数是________. 答案： 2解：由题设有B ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，故P ＝A ∩B ＝{－2}，所以P 的子集的个数为2.3.已知cos α＝17，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝________.答案：1314解： ∵cos α＝17，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝17×12＋437×32＝1314.4.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)已知某高级中学高一、高二、高三学生人数分别为880,860,820，现用分层抽样的方法从该校抽调128人，则在高二年级中抽调的人数为________. 答案： 43解：由题意可知，在高二年级中抽调的人数为128×860880＋860＋820＝43.5.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13，….该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，则(a 1a 3－a 22)(a 2a 4－a 23)(a 3a 5－a 24)…(a 2015a 2017－a 22016)＝________. 答案：－1解：根据斐波那契数列可知，a 1a 3－a 22＝1，a 2a 4－a 23＝－1，a 3a 5－a 24＝1，a 4a 6－a 25＝－1，…，所以根据计算的规律可得，当n 为偶数时，a n a n ＋2－a 2n ＋1＝－1，当n 为奇数时，a n a n ＋2－a 2n ＋1＝1，所以(a 1a 3－a 22)(a 2a 4－a 23)(a 3a 5－a 24)…(a 2 015a 2 017－a 22 016)＝－1.6.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是________.(填序号)①函数f (x )的最小正周期为π2； ②直线x ＝－π12是函数f (x )图象的一条对称轴；③函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π6上单调递增； ④将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin2x .答案： ④解： A ＝2, T 2＝2π3－π6＝π2，即πω＝π2，即ω＝2, π2＋2π32＝7π12，当x ＝7π12时， 2×7π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π，解：得φ＝－2π3，所以函数是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，函数的最小正周期为π；当x ＝－π12时， 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12－2π3＝－5π6，不是函数的对称轴；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π6时，2x －2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，－π3，f (x )先单调递减后单调递增；函数向左平移π3个单位长度后得到函数g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－2π3＝2sin 2x ，所以④正确.7.如图是一个输出一列数的算法流程图，则这列数的第三项是________.答案： 30解：第一次输出a ＝3，n ＝2；第二次输出a ＝3×2＝6，n ＝3；第三次输出a ＝6×5＝30，n ＝4.故这列数的第三项为30.8.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥4，x ＋2y ≤4，y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值是________.答案： 6解：不等式组对应的可行域如图阴影部分所示(含边界).当动直线y ＝32x －z2过点(2,0)时，z 取最小值6.9.大约2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面再渐渐倾斜得到椭圆.若用周长为24的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆Γ，且Γ与矩形ABCD 的四边相切.设椭圆Γ在平面直角坐标系中的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，测得Γ的离心率为32，则椭圆Γ的方程为________. 答案：x 216＋y 24＝1 解：由题意得4a ＋4b ＝24，即a ＋b ＝6①，由c a ＝32得a ＝2b ②，由①②解：得a ＝4，b ＝2.所以椭圆Γ的方程为x 216＋y 24＝1.10.若曲线y ＝ln x ＋1的一条切线是y ＝ax ＋b ，则4a ＋e b的最小值是________. 答案： 4解：设切点为(m ，ln m ＋1)(m >0)，f ′(x )＝1x ，f ′(m )＝1m，故切线方程为y －(ln m ＋1)＝1m(x －m )，即y ＝1m x ＋ln m ，所以a ＝1m ，b ＝ln m,4a ＋e b＝4m ＋m ≥24m·m ＝4，当且仅当4m＝m ，即m ＝2时取等号. 11.过点M ⎝⎛⎭⎪⎫22，－22作圆x 2＋y 2＝1的切线l ，l 与x 轴的交点为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，l 与抛物线E 交于A ，B 两点，则AB 的中点到抛物线E 的准线的距离为________. 答案： 4 2解：由题意得，过点M ⎝⎛⎭⎪⎫22，－22作圆x 2＋y 2＝1的切线l ，可得直线l 的方程为x －y －2＝0，此时直线l 与x 轴的交点坐标为(2，0)，又点(2，0)与抛物线的焦点重合，即p2＝2，解：得p ＝22，即y 2＝42x ，且准线方程为x ＝－2，联立方程组⎩⎨⎧y 2＝42x ，x －y －2＝0，整理得x 2－62x ＋2＝0，Δ＝(62)2－8>0，x 1,2＝62±82＝32±4，则x 1＋x 2＝62，所以x 1＋x 22＝32，所以AB 的中点到抛物线的准线的距离为x 1＋x 22＋2＝4 2.12.已知圆心角为120°的扇形AOB 的圆心为O ，在其弧AB 上任取一点P ，则使∠AOP 和∠BOP 同时大于50°的概率为________. 答案： 16解：由几何概型的定义和几何概型的公式可知，使∠AOP 和∠BOP 能同时大于50°的概率为120°－50°－50°120°＝20°120°＝16.13.在四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝CD ＝DA ＝1，设△ABD ，△BCD 的面积分别为S 1，S 2，则当S 21＋S 22取最大值时，BD ＝________.答案：102解：设BD ＝b ，S 21＋S 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2×sin A 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1×sin C 2＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2A ＋14cos 2C ＝34－2b 4－10b 2＋1316＝34－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－522＋1216，所以当b 2＝52，即b ＝102时，S 21＋S 22取得最大值.14.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12018log x ，0<x <1，log 2018x ，x ≥1，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则4a 2＋b 2＋2a ＋b 的取值范围是________.答案： [4＋22，＋∞)解：先作出f (x )的图象如图所示，通过图象可知，0<a <1<b ，设f (a )＝f (b )＝t ，则⎩⎪⎨⎪⎧12018log a ＝t ，log 2 018b ＝t(t >0)，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2 018－t，b ＝2 018t，所以ab ＝1,2a ＋b ＝22 018t ＋2 018t，而2 018t>0，所以2a ＋b ＝22 018t ＋2 018t ≥22，当且仅当2 018t＝2时等号成立.令m ＝2a ＋b ，则m ≥22，故4a 2＋b 2＋2a ＋b ＝(2a ＋b )2＋(2a ＋b )－4＝m 2＋m －4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋122－174，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋122－174在[22，＋∞)上单调递增，所以4a 2`＋b 2＋2a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋122－174≥4＋2 2.填空题满分练(3)1.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)已知全集为R ，集合A ＝{x |2x ≥4}，B ＝{x |x 2－3x ≥0}，则A ∩(∁R B )＝________. 答案： [2,3)解： A ＝{x |2x ≥4}＝{x |x ≥2}，B ＝{x |x 2－3x ≥0}＝{x |x ≤0或x ≥3}，∁R B ＝(0,3)，则A ∩(∁RB )＝[2,3).2.已知i 为虚数单位，复数1＋a i2－i(a ∈R )为纯虚数，则a 的值为________. 答案： 2解：因为1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝(2－a )＋(2a ＋1)i5为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＝0，2a ＋1≠0，所以a ＝2.3.中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下：数列{a n }的前n 项和S n ＝14n 2，n ∈N *，等比数列{b n }满足b 1＝a 1＋a 2，b 2＝a 3＋a 4，则b 3＝________.(用数字表示) 答案： 9解：由题意可得b 1＝a 1＋a 2＝S 2＝14×22＝1，b 2＝a 3＋a 4＝S 4－S 2＝14×42－14×22＝3，则等比数列的公比q ＝b 2b 1＝31＝3，故b 3＝b 2q ＝3×3＝9.4.设向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，c ＝(1，－3)，若b ∥c ，则a －b 与b 的夹角为________.(用度数表示) 答案： 150°解： ∵b ∥c ，∴－3x ＝(－3)×1，∴x ＝3， ∴b ＝(3，－3)，a －b ＝(0,4).∴a －b 与b 的夹角θ的余弦值cos θ＝－124×23＝－32，又∵0°≤θ≤180°， ∴θ＝150°.5.设变量x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋3≥0，x ＋y －3≥0，则z ＝2x －y 的取值范围是________.答案： [－3，＋∞)解：不等式组对应的可行域如图阴影部分所示(含边界)，目标函数z ＝2x －y 经过点(0,3)时有最小值，且最小值为－3，由图可得，无最大值，则z ＝2x －y 的取值范围是[)－3，＋∞.6.将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，AB ＝3，BC ＝2，圆柱上底面圆心为O ，△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O －EFG 体积的最大值是________. 答案： 4解：设Rt△EFG 的两条直角边分别为a ，b ，则a 2＋b 2＝16，三棱锥O －EFG 的高为3，从而V O －EFG ＝13S △EFG ·3＝12ab ≤a 2＋b24＝4，当且仅当a ＝b ＝22时等号成立，故三棱锥O －EFG的体积的最大值为4.7.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)执行如图所示的流程图，输出的S 为________.答案： 17解：开始时，S ＝27，i ＝1，第一次循环，S ＝47，i ＝2，第二次循环，S ＝17，i ＝3，第三次循环，S ＝27，i ＝4，第四次循环，S ＝47，i ＝5，第五次循环，S ＝17，5<5不满足条件，输出S ＝17.8.某高中在今年的期末考试历史成绩中随机抽取n 名考生的笔试成绩，作出其频率分布直方图如图所示，已知成绩在[75,80)中的学生有1名，若从成绩在[75,80)和[90,95)两组的所有学生中任取2名进行问卷调查，则2名学生的成绩都在[90,95)中的概率为________.答案： 35解：因为成绩在[75,80)的频率为5×0.01＝0.05，所以n ＝10.05＝20，成绩在[90,95)的频率为1－5×(0.01＋0.02＋0.06＋0.07)＝0.2，所以成绩在[90,95)中的学生人数为20×0.2＝4，所以成绩在[75,80)中有1个人，设为a ，成绩在[90,95)中有4个人，设为A ，B ，C ，D ，从5个人中任意取2个人有(a ，A )，(a ，B )，(a ，C )，(a ，D )，(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共10个基本事件，2名学生成绩都在[90,95)的事件有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共6个基本事件，所以由古典概型的概率公式，得所求概率为610＝35.9.将函数f (x )＝23cos 2x －2sin x cos x －3的图象向左平移t (t >0)个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为________. 答案：π6解： f (x )＝23cos 2x －2sin x cos x －3＝23×1＋cos 2x 2－sin 2x －3＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，平移后函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t ＋π6为奇函数，所以2t ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，解：得t ＝k π2＋π6，k ∈Z ，所以当k ＝0时，t 有最小值π6.10.如图，已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象关于点M (2,0)对称，且f (x )的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4，将f (x )的图象向右平移13个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )的单调递增区间为____________.答案： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k －23，4k ＋43(k ∈Z ) 解：由图知A ＝3，不妨设两个相邻的最高点和最低点分别为P ，Q ，过P 作PH ⊥x 轴于点H ，如图所示.令HM ＝m (m >0)，则m 2＋(3)2＝4，得m ＝1，所以P (1，3)，Q (3，－3)，设函数f (x )的最小正周期为T ，则T 2＝2，T ＝4＝2πω，ω＝π2，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ，将(2,0)代入得π＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )，因为|φ|<π2，所以φ＝0，f (x )＝3sin π2x ，所以g (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π6.由2k π－π2≤π2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解：得4k －23≤x ≤4k ＋43()k ∈Z .所以g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k －23，4k ＋43k ∈Z .11.已知抛物线C ：y 2＝4x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的投影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝________.答案：833解：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，所以S △MFN ＝12×p ×|y 1－y 2|＝12×2×|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|，直线方程是y ＝3(x －1)，与抛物线方程联立，消去x ，整理得3y 2－4y －43＝0，所以y 1＋y 2＝43，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝163＋16＝833. 12.在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且2ab sin C ＝3()b 2＋c 2－a 2，若a＝13，c ＝3，则△ABC 的面积为________. 答案： 3 3解：由题意得2ab sin C 2bc ＝3·b 2＋c 2－a 22bc ，即a sin Cc＝3cos A ，由正弦定理得sin A ＝3cos A, 所以tan A ＝3，A ＝π3.由余弦定理得13＝32＋b 2－2×3b cos π3，解：得b ＝4，故面积为12bc sin A ＝12×4×3×32＝3 3.13.如图，已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F 1，左、右顶点分别为A ，B ，M 在双曲线上且在x 轴的上方，MF 1⊥x 轴，直线MA ，MB 与y 轴分别交于P ，Q 两点，若OP ＝eOQ (e 为双曲线的离心率)，则e ＝________.答案：2＋1解：由已知得，A (－a,0)，B (a,0)，F 1(－c,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . 由△BOQ ∽△BF 1M 可得，OQ MF 1＝OBBF 1，即OQ b 2a＝a a ＋c ，解：得OQ ＝b 2a ＋c . 由△AOP ∽△AF 1M 可得，OP MF 1＝OA AF 1，即OP b 2a＝a c －a ，解：得OP ＝b 2c －a . 由已知得OP ＝eOQ ，可得b 2c －a＝e ×b 2a ＋c，所以a ＋c ＝e (c －a )，即1＋e ＝e (e －1)，整理得e 2－2e ＝1，又e >1，所以e ＝2＋1.14.设函数g (x )＝e x＋3x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，定义在R 上的连续函数f (x )满足：f (－x )＋f (x )＝x 2，且当x ＜0时，f ′(x )＜x ，若∃x 0∈{x |f (x )＋2≥f (2－x )＋2x }，使得g ()g ()x 0＝x 0，则实数a 的取值范围为________.答案：(]－∞，e ＋2解：设F (x )＝f (x )－x 22，则F ′(x )＝f ′(x )－x ，所以当x <0时，F ′(x )<0，故函数F (x )＝f (x )－x 22是()－∞，0上的单调递减函数，又由f (－x )＋f (x )＝x 2可知，F (－x )＋F (x )＝f (－x )＋f (x )－2×x 22＝0，则函数F (x )＝f (x )－x 22是奇函数，所以函数F (x )＝f (x )－x 22是()－∞，＋∞上的单调递减函数.由题设中f (x )＋2≥f ()2－x ＋2x 可得F (x )≥F ()2－x ，解：得x ≤1，由g (g (x 0))＝x 0，得g (x 0)＝x 0，所以问题转化为x ＝e x＋3x －a 在(]－∞，1上有解：，即a ＝e x＋2x 在(]－∞，1上有解：，令h (x )＝e x＋2x ，x ∈(－∞，1]，则h ′(x )＝e x＋2>0，故h (x )＝e x＋2x 在(]－∞，1上单调递增，则h (x )≤h (1)＝e ＋2，即a ≤e＋2.填空题满分练(4)1.(2018·南通、徐州、扬州等六市模拟)已知复数z 1＝a ＋i ，z 2＝3－4i ，其中i 为虚数单位，若z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________. 答案： 43解： ∵复数z 1＝a ＋i ，z 2＝3－4i ，∴z 1z 2＝a ＋i 3－4i ＝(a ＋i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝3a －4＋(4a ＋3)i 25， ∵z 1z 2为纯虚数，∴3a －4＝0且4a ＋3≠0，即a ＝43.2.已知全集U ＝R ，集合A ＝{x ||x －1|<1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x －5x －1≥1，则A ∩(∁U B )＝________. 答案： {x |1≤x <2}解：由题意得A ＝{x ||x －1|<1}＝{x |－1<x －1<1}＝{x |0<x <2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x －5x －1≥1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －4x －1≥0＝{x |x <1或x ≥4}， ∴∁U B ＝{x |1≤x <4}， ∴A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}.3.在等差数列{a n }中，a 4，a 7是函数f (x )＝x 2－3x －18的两个零点，则{a n }的前10项和为________. 答案： 15解：由题意得a 4，a 7是方程x 2－3x －18＝0的两根， ∴a 4＋a 7＝3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 1＋a 10)＝5(a 4＋a 7)＝5×3＝15.4.在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆x 2＋y 2＝4上两点，点A (1,1)，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长度的取值范围为________. 答案： [6－2，6＋2] 解：设BC 的中点为M (x ，y ). 因为OB 2＝OM 2＋BM 2＝OM 2＋AM 2，所以4＝x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝32，所以点M 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12为圆心，62为半径的圆，所以AM 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－22，6＋22，所以BC 的取值范围是[6－2，6＋2]. 5.已知直线m ，n ，平面α，β，给出下列命题： ①若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β； ②若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β； ③若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥β. 其中正确的命题是________.(填序号) 答案： ①解： ①若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β，正确.∵n ⊥β，且m ⊥n ，可得出m ∥β或m ⊂β，又m ⊥α，故可得α⊥β. ②若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β，不正确. 两平面有可能相交.③若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥β，不正确.m ⊥α且m ⊥n ，可得出n ∥α或n ⊂α，又n ∥β，故不能得出α⊥β.6.甲、乙、丙、丁四个人到重庆旅游，朝天门、解：放碑、瓷器口三个景点，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到瓷器口的方案有________种. 答案： 24解：分两类求解：.①甲单独一人时，则甲只能去另外两个景点中的一个，其余三人分为两组然后分别去剩余的两个景点，故方案有C 12C 23A 22＝12(种)；②甲与另外一人为一组到除瓷器口之外的两个景点中的一个，其余两人各去一个景点，故方案有C 13C 12A 22＝12(种).由分类加法计数原理，可得总的方案数为24.7.函数y ＝f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，函数单调递增，若f (1)＝1，则满足－1≤f (x ＋2)≤1的x 的取值范围是________. 答案： [－3，－1]解：函数y ＝f (x )为定义在R 上的奇函数，由f (1)＝1，可知f (－1)＝－1.当x ≥0时，函数单调递增，由y ＝f (x )为定义在R 上的奇函数，得y ＝f (x )在R 上单调递增. 则由－1≤f (x ＋2)≤1，可得－1≤x ＋2≤1，解：得－3≤x ≤－1.8.如图所示的流程图输出的结果为510，则判断框内的条件是________.答案： n ≤8(或n <9)解：由题意得该程序的功能是计算2＋22＋23＋ (2). ∵2＋22＋23＋ (2)＝2(1－2n)1－2＝2n ＋1－2，∴当n ＝7时，2n ＋1－2＝28－2＝254，不合题意；当n ＝8时，2n ＋1－2＝29－2＝510，符合题意.∴判断框中的条件为n ≤8或n <9.9.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，x －2≤0，x ＋y ≥0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2的最大值为________.答案： 8解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界).x 2＋y 2表示可行域内的点(x ，y )到原点距离的平方.由图形可得，可行域内的点A 或点B 到原点的距离最大，且A (2，－2)，B (2,2)，又OA ＝OB ＝22， ∴(x 2＋y 2)max ＝8.10.设直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有顶点都在同一个球面上，且球的表面积是40π，AB ＝AC＝AA 1，∠BAC ＝120°，则此直三棱柱的高是________. 答案： 2 2解：设AB ＝AC ＝AA 1＝x ，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，则由余弦定理可得BC ＝3x .由正弦定理，可得△ABC 外接圆的半径为r ＝x ， ∵球的表面积是40π， ∴球的半径为R ＝10.设△ABC 外接圆的圆心为O ′，球心为O ，在Rt△OBO ′中，有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x 2＝10，解：得x ＝22，即AA 1＝2 2.∴直三棱柱的高是2 2.11.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，P 为双曲线左支上一点，△ABP为等腰三角形且外接圆的半径为5a ，则双曲线的离心率为________. 答案：153解：由题意知在等腰△ABP 中，AB ＝AP ＝2a ，设∠ABP ＝∠APB ＝θ，F 1为双曲线的左焦点，则∠F 1AP ＝2θ，其中θ必为锐角. ∵△ABP 外接圆的半径为5a ， ∴25a ＝2asin θ，∴sin θ＝55，cos θ＝255， ∴sin 2θ＝2×55×255＝45， cos 2θ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫2552－1＝35. 设点P 的坐标为(x ，y )，则x ＝－a －AP cos 2θ＝－11a 5， y ＝AP sin 2θ＝8a5，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－11a 5，8a 5.由点P 在双曲线上，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－11a 52a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 52b 2＝1，整理得b 2a 2＝23，∴e ＝c a＝1＋b 2a 2＝153. 12.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图在一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是________.答案：316解：由七巧板的构造可知，△BIC ≌△GOH ，故黑色部分的面积与梯形EFOH 的面积相等，则S EFOH ＝34S △DOF ＝34×14S ABDF ＝316S ABDF ，∴所求的概率为P ＝S EFOH S ABDF ＝316. 13.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝S n ＋3n(n ∈N *，n ≥1)，则数列{S n }的通项公式为________. 答案： S n ＝3n－2n解： ∵a n ＋1＝S n ＋3n＝S n ＋1－S n ， ∴S n ＋1＝2S n ＋3n，∴S n ＋13n ＋1＝23·S n 3n ＋13， ∴S n ＋13n ＋1－1＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫S n 3n －1，又S 13－1＝13－1＝－23， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 3n －1是首项为－23，公比为23的等比数列，∴S n 3n －1＝－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n， ∴S n ＝3n－2n.14.德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,1805—1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”：y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q ，0，x ∈∁R Q ，其中R 为实数集，Q 为有理数集.则关于函数f (x )有如下四个命题：①f (f (x ))＝0；②函数f (x )是偶函数；③任取一个不为零的有理数T ，f (x ＋T )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立；④存在三个点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 3，f (x 3))，使得△ABC 为等边三角形.其中真命题的个数是________. 答案： 3解：当x 为有理数时，f (x )＝1；当x 为无理数时，f (x )＝0，∴当x 为有理数时，f (f (x ))＝f (1)＝1；当x 为无理数时，f (f (x ))＝f (0)＝1，∴无论x 是有理数还是无理数，均有f (f (x ))＝1，故①不正确；∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，故②正确；当T ∈Q 时，若x 是有理数，则x ＋T 也是有理数；若x 是无理数，则x ＋T 也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T ，f (x ＋T )＝f (x )对x ∈R 恒成立，故③正确；取x 1＝33，x 2＝0，x 3＝－33，f (x 1)＝0，f (x 2)＝1，f (x 3)＝0，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫33，0，B (0,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0，△ABC 恰好为等边三角形，故④正确. 填空题满分练(5)1.i 是虚数单位，(1－i)z ＝2i ，则|z |＝________. 答案：2解：由题意知z ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，则|z |＝(－1)2＋12＝ 2. 2.已知集合P ＝{x |－1≤x <2}，集合Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x ≤52，则P ∩Q ＝________. 答案： (0,2) 解： P ∩Q ＝(0,2).3.已知e 1，e 2是夹角为90°的两个单位向量，且a ＝3e 1－e 2,b ＝2e 1＋e 2，则a ，b 的夹角为________.(用度数表示) 答案： 45°解： ∵e 1，e 2是夹角为90° 的两个单位向量， ∴||e 1||＝e 2＝1，e 1·e 2＝0， ∴||a ＝()3e 1－e 22＝9||e 12－6e 1·e 2＋||e 22＝10，||b ＝()2e 1＋e 22＝4||e 12＋4e 1·e 2＋||e 22＝5，a ·b ＝()3e 1－e 2·()2e 1＋e 2＝6||e 12－||e 22＝5，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b ||a ||b ＝510×5＝22，∵0°≤θ≤180°， ∴θ＝45°.4.已知整数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7≥0，x ＋2y －5>0，则3x ＋4y 的最小值是________.答案： 16解：可行域如图所示，令z ＝3x ＋4y ，当动直线3x ＋4y －z ＝0过点A 时，z 有最小值.又由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0，x ＋2y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，故A (3,1)，但点A (3,1)不在可行域内，故当直线过可行域内的整点(4,1)时，z 有最小值16.5.已知一个样本为x,1，y,5，若该样本的平均数为2，则它的方差的最小值为________. 答案： 3解：样本x ,1，y ,5的平均数为2，故x ＋y ＝2，故s 2＝14[(x －2)2＋(y －2)2＋10]＝52＋14(x2＋y 2)≥52＋14×(x ＋y )22＝52＋14×2＝3，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，故方差的最小值是3.6.(2018·江苏省盐城市东台中学模拟)下面求2＋5＋8＋…＋2018的值的伪代码中，正整数m 的最大值为________. I ←2S ←0While I <m S ←S ＋I I ←I ＋3 EndWhile Print S 答案： 2021解：由伪代码知，这是当型循环结构的算法，由于累加项的步长为3，循环变量I 的终值为2018，故2018<m <2022，由于m 是正整数，所以最大值为2021.7.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)已知关于实数x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0构成的平面区域为Ω，若∃(x 0，y 0)∈Ω，使得(x 0－1)2＋(y 0－4)2≤m ，则实数m 的取值范围是________. 答案： [20，＋∞)解：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0表示的可行域如图阴影部分所示(含边界).(x 0－1)2＋(y 0－4)2表示可行域内一点与点(1,4)之间的距离的平方和， ∵点(1,4)到直线x ＋2y －19＝0的距离为25，故[(x 0－1)2＋(y 0－4)2]min ＝20，故实数m 的取值范围是[20，＋∞).8.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，则函数g (x )＝________.答案： 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 解： ∵由图象知，14T ＝π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝π4，∴T ＝π，ω＝2.∵2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝2，∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z .∵|φ|<π，∴φ＝2π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.f (x )的图象向右平移π6个单位长度后得到的图象解：式为g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋2π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.9.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有相同的焦点F ，过点F 且垂直于x 轴的直线l 与抛物线交于A, B 两点，与双曲线交于C, D 两点，当AB ＝2CD 时，双曲线的离心率为________. 答案：5＋12解：由题意知F (2,0), c ＝2，∵过点F 且垂直于x 轴的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与双曲线交于C, D 两点，在y 2＝8x 中，令x ＝2，则y 2＝16，即y ＝±4. ∴AB ＝8，∴CD ＝4，将x ＝2代入到双曲线的方程，可得y ＝±b 4a 2－1，则2b4a 2－1＝4.∵a 2＋b 2＝c 2＝4，∴a ＝5－1， ∴双曲线的离心率为e ＝c a＝25－1＝5＋12.10.已知△ABC 的顶点A ∈平面α，点B ，C 在平面α的同侧，且AB ＝2，AC ＝3，若AB ，AC 与α所成的角分别为π3，π6，则线段BC 长度的取值范围为________.答案： [1，7]解：如图，过B ，C 作平面的垂线，垂足分别为M ，N ，则四边形BMNC 为直角梯形.在平面BMNC 内，过C 作CE ⊥BM 交BM 于点E . 又BM ＝2sin∠BAM ＝2sinπ3＝3，AM ＝2cos π3＝1， CN ＝3sin∠CAN ＝3sinπ6＝32，AN ＝3cos π6＝32，所以BE ＝BM －CN ＝32，故BC 2＝MN 2＋34. 又AN －AM ≤MN ≤AM ＋AN ，即12＝AN －AM ≤MN ≤AM ＋AN ＝52，所以1≤BC 2≤7，即1≤BC ≤7.11.已知数列{a n }是各项均为正整数的等差数列，公差d ∈N *，且{a n }中任意两项之和也是该数列中的一项，若a 1＝6m，其中m 为给定的正整数，则d 的所有可能取值的和为__________. 答案： 12(2m ＋1－1)(3m ＋1－1)解： ∵公差d 是a 1＝6m 的约数， ∴d ＝2i·3j(i ，j ＝0,1,2，…，m )，∴d 的所有可能取值之和为∑i ＝0m2i ·∑j ＝0m3j ＝12(2m ＋1－1)·(3m ＋1－1).12.已知点M 为单位圆x 2＋y 2＝1上的动点，点O 为坐标原点，点A 在直线x ＝2上，则AM →·AO →的最小值为________. 答案： 2解：设A (2，t )，M (cos θ，sin θ)，则AM →＝(cos θ－2，sin θ－t )，AO →＝(－2，－t )，所以AM →·AO →＝4＋t 2－2cos θ－t sin θ. 又(2cos θ＋t sin θ)max ＝4＋t 2，故AM →·AO →≥4＋t 2－4＋t 2.令s ＝4＋t 2，则s ≥2，又4＋t 2－4＋t 2＝s 2－s ≥2，当s ＝2，即t ＝0时等号成立，故(AM →·AO →)min ＝2.13.已知函数f (x )＝x 2－2mx ＋m ＋2，g (x )＝mx －m ，若存在实数x 0∈R ，使得f (x 0)<0且g (x 0)<0同时成立，则实数m 的取值范围是________. 答案： (3，＋∞)解：当m >0，x <1时，g (x )<0，所以f (x )<0在(－∞，1)上有解：，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，m >0或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，Δ>0，f (1)≥0，m <1，即m >3或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m 2－m －2>0，3－m ≥0，m <1，故m >3.当m <0，x >1时，g (x )<0，所以f (x )<0在(1，＋∞)上有解：，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，m <0，此不等式组无解：.综上，m 的取值范围为(3，＋∞).14.已知实数a >0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1＋a2，x ＜0，ex －1＋a 2x 2－()a ＋1x ＋a 2，x ≥0，若关于x 的方程f (－f (x ))＝e －a ＋a2有三个不等的实根，则实数a 的取值范围是________.答案： ⎝⎛⎭⎪⎫2，2＋2e 解：当x ＜0时，f (x )为增函数，当x ≥0时，f ′(x )＝ex －1＋ax －a －1, f ′(x )为增函数，令f ′(x )＝0，解：得x ＝1，故函数f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，最小值为f (1)＝0.由此画出函数f (x )的图象如图所示.令t ＝－f (x )，因为f (x )≥0，所以t ≤0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f ()t ＝e－a＋a2，f ()t ＝et －1＋a2，解：得－a ＝t －1，所以t ＝－a ＋1，所以f (x )＝a －1. 所以方程要有三个不同的实数根，则需a 2＜a －1＜1e ＋a 2，解：得2＜a ＜2e＋2.填空题满分练(6)1.已知全集U ＝R ，N ＝{x |x (x ＋3)<0}，M ＝{x |x <－1}，则图中阴影部分表示的集合是________.答案： {x |－1≤x <0}2.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)若复数z ＝1－i2－i ，则z 的虚部为________.答案：－15解： z ＝1－i 2－i ＝(1－i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝3－i5，其虚部为－15.3.已知数列{a n }满足：对于∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝________.答案：132解：由于a n ·a m ＝a n ＋m (m ，n ∈N *)，且a 1＝12.令m ＝1，得12a n ＝a n ＋1，所以数列{a n }是公比为12，首项为12的等比数列.因此a 5＝a 1q 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝132.4.如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录绘制了日销售量的频率分布直方图.若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为________.答案： 9解：这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为(0.004＋0.002)×50×30＝9.5.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，△PF 1F 2是以F 2P为底边的等腰三角形，且60°<∠PF 1F 2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是________. 答案： ⎝⎛⎭⎪⎫3－12，12 解：由题意可得PF 1＝F 1F 2＝2c ，再由椭圆的定义可得PF 2＝2a －PF 1＝2a －2c . 设∠PF 1F 2＝θ，又60°<∠PF 1F 2<120°， ∴－12<cos θ＜12.在△PF 1F 2中，由余弦定理可得cos θ＝c 2－a 2＋2ac 2c2，由－12＜cos θ＜12，可得e 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，12.6.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝yx －3的最小值是________.答案：－2解：画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示(含边界)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y ＝0，解：得A (2,2)，z ＝y x －3的几何意义为可行域内的点与定点P (3,0)的连线的斜率. ∵k PA ＝2－02－3＝－2，∴z ＝y x －3的最小值是－2.7.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 依次成等差数列，BC 边上的中线AD ＝7，AB ＝2，则S △ABC ＝________. 答案： 3 3解： ∵A ，B ，C 成等差数列，∴B ＝60°，在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ，即7＝4＋BD 2－2BD ，∴BD ＝3或－1(舍去)，可得BC ＝6，∴S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×2×6×32＝3 3.8.已知三棱锥P －ABC 内接于球O ，PA ＝PB ＝PC ＝2，当三棱锥P －ABC 的三个侧面的面积之和最大时，球O 的表面积为________. 答案： 12π解：由于三条侧棱相等，根据三角形面积公式可知，当PA ，PB ，PC 两两垂直时，侧面积之和最大.此时PA ，PB ，PC 可看成正方体一个顶点的三条侧棱，其外接球直径为正方体的体对角线，即4R 2＝3·22＝12，故球的表面积为4πR 2＝12π.9.给出如图所示的流程图，若输入的x 的值为－5，则输出的y 值是________.答案： 0解：由流程图知，若输入的x 的值为－5，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝25＝32>2，程序继续运行x ＝－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＝23＝8>2，程序继续运行x ＝－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，不满足⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>2，∴执行y ＝log 2x 2＝log 21＝0.10.若函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx (0<ω<5，ab ≠0)的图象的一条对称轴方程是x ＝π4ω，函数f ′(x )的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0，则f (x )的最小正周期是________.答案： π解：由f (x )＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 图象的对称轴方程为x ＝π4ω可知，π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，解：得φ＝π4＋k π，k ∈Z ，即ba＝tan φ＝1，所以a ＝b .又f ′(x )＝a ωcos ωx －b ωsin ωx 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝0，即a ω⎝⎛⎭⎪⎫cosωπ8－sin ωπ8＝0，所以ωπ8＝π4＋k π，k ∈Z ，解：得ω＝2＋8k ，k ∈Z ，又因为0<ω<5，所以ω＝2，所以T ＝2πω＝π.11.在正三角形ABC 内任取一点P ，则点P 到A ，B ，C 的距离都大于该三角形边长一半的概率为________. 答案： 1－3π6解：满足条件的正三角形ABC 如图所示.设边长为2，其中正三角形ABC 的面积S △ABC ＝34×4＝ 3. 满足到正三角形ABC 的顶点A ，B ，C 的距离至少有一个小于等于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，则S 阴影＝12π，则使取到的点到三个顶点A ，B ，C 的距离都大于1的概率P ＝1－3π6. 12.已知△ABC 的三个顶点的坐标为A (0,1)，B (1,0)，C (0，－2)，O 为坐标原点，动点M 满足|CM →|＝1，则|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是________. 答案：2＋1解：设点M 的坐标是(x ，y )，∵C (0，－2)，且|CM →|＝1，∴x 2＋(y ＋2)2＝1，x 2＋(y ＋2)2＝1，则点M 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆. ∵A (0,1)，B (1,0)，∴OA →＋OB →＋OM →＝(x ＋1，y ＋1)，则|OA →＋OB →＋OM →|＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2，其几何意义表示圆x 2＋(y ＋2)2＝1上的点与点P (－1，－1)间的距离.又点P (－1，－1)在圆C 的外部，∴|OA →＋OB →＋OM →|max ＝|PC →|＋1＝(0＋1)2＋(－2＋1)2＋1＝2＋1.13.已知P 为函数y ＝4x的图象上任一点，过点P 作直线PA ，PB 分别与圆x 2＋y 2＝1相切于A ，B 两点，直线AB 交x 轴于M 点，交y 轴于N 点，则△OMN 的面积为________.答案： 18解：不妨设点P 在第一象限，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，4x 0，则PO 2＝x 20＋16x 20，PA 2＝PB 2＝PO 2－12＝x 20＋16x 20－1，故以P 为圆心，PA 为半径的圆的方程为()x －x 02＋⎝⎛⎭⎪⎫y －4x2＝x 20＋16x 20－1，联立x 2＋y 2＝1，两圆方程作差可得直线AB 的方程为x 0x ＋4x 0y －1＝0，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，x 04，所以△OMN 的面积为12·1x 0·x 04＝18.14.函数y ＝f (x )的定义域为D ，若∀x ∈D ，∃a ∈[1,2]，使得f (x )≥ax 恒成立，则称函数y ＝f (x )具有性质P ，现有如下函数：①f (x )＝ex －1；②f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－1(x ≤0)； ③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (1－x )，x <0，(x －1)3＋1，x ≥0.则具有性质P 的函数f (x )为________.(填序号) 答案： ①② 解： ①设φ(x )＝ex －1－x (x ∈R )，则φ′(x )＝ex －1－1.当x >1时，φ′(x )>0；当x <1时，φ′(x )<0.。

江苏省2019高考数学总复习优编增分练：高考附加题加分练(打包9套)

(一)几何证明选讲1.如图，O 是△ABC 外接圆的圆心，∠ACB ＝54°，求∠ABO 的值．解连结OA ，因为O 是圆心，所以∠AOB ＝2∠ACB ，所以∠ABO ＝12(180°－∠AOB )＝12(180°－2∠ACB ) ＝90°－∠ACB ＝90°－54°＝36°.2.如图，已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，BE 切圆O 于点B ，D 是CE 与圆O 的交点，若∠BAC ＝60°，BE ＝2，BC ＝4，求线段CD 的长．解因为BE 切圆O 于点B ，所以∠CBE ＝∠BAC ＝60°. 因为BE ＝2，BC ＝4，由余弦定理得EC ＝2 3. 又BE 2＝EC ·ED ，所以DE ＝233，所以CD ＝EC －ED ＝23－233＝433.3．如图，已知点C 在圆O 的直径AB 的延长线上，CD 是圆O 的一条切线，D 为切点，点D 在AB 上的射影是点E ，CB ＝3BE .求证：(1)DB 是∠CDE 的平分线； (2)AE ＝2EB .证明 (1)连结AD ，∵AB 是圆O 的直径， ∴∠DAB ＋∠DBA ＝90°，∵DE ⊥AB ，∴∠BDE ＋∠DBA ＝90°， ∴∠DAB ＝∠BDE ， ∵CD 切圆O 于点D ， ∴∠CDB ＝∠DAB ， ∴∠BDE ＝∠CDB ， ∴DB 是∠CDE 的平分线．(2)由(1)可得DB 是∠CDE 的平分线， ∴CD DE ＝CB BE＝3，即CD ＝3DE .设BE ＝m (m >0)，DE ＝x (x >0)，则CB ＝3m ，CD ＝3x ，在Rt△CDE 中，由勾股定理可得(3x )2＝x 2＋(4m )2，则x ＝2m ，由切割线定理得CD 2＝CB ·CA ，(32m )2＝3m ·CA ，CA ＝6m ，AB ＝3m ，AE ＝2m ，则AE ＝2EB .4．(2018·江苏海安中学质检)如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，它的内切圆分别与边BC ，CA ，AB 相切于点D ，E ，F ，连结AD ，与内切圆相交于另一点P ，连结PC ，PE ，PF ，已知PC ⊥PF ，求证：(1)PF FD ＝PDDC；(2)PE ∥BC . 证明 (1)连结DE ，则△BDF 是等腰直角三角形，于是∠FPD ＝∠FDB ＝45°，故∠DPC ＝45°.又∠PDC ＝∠PFD ，则△PFD ∽△PDC ，所以PF FD ＝PD DC.①(2)由∠AFP ＝∠ADF ，∠AEP ＝∠ADE ，知△AFP ∽△ADF ，△AEP ∽△ADE . 于是，EP DE ＝AP AE ＝AP AF ＝FPDF .故由①得EP DE ＝PD DC，②由∠EPD ＝∠EDC ，结合②得，△EPD ∽△EDC ，从而△EPD 也是等腰三角形．于是，∠PED ＝∠EPD ＝∠EDC ，所以PE ∥BC .(二)矩阵与变换1．(2018·南京模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001.若直线l ：x －y ＋2＝0在矩阵AB 对应的变换作用下得到直线l 1，求直线l 1的方程．解因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2201，设点P 0(x 0，y 0)是l 上任意一点，P 0在矩阵AB 对应的变换作用下得到P (x ，y )，因为P 0(x 0，y 0)在直线l ：x －y ＋2＝0上，所以x 0－y 0＋2＝0.①由AB ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 201 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＋2y 0＝x ，y 0＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12x －y ，y 0＝y .②将②代入①得x －4y ＋4＝0，所以直线l 1的方程为x －4y ＋4＝0.2．已知曲线C ：y 2＝12x ，C 在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2对应的变换作用下得到曲线C 1，C 1在矩阵N＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0对应的变换作用下得到曲线C 2，求曲线C 2的方程．解设A ＝NM ，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0，设P (x ′，y ′)是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线C 2上对应的点为P (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2y ′ x ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ′，y ＝x ′，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝y ，y ′＝－12x .又点P (x ′，y ′)在曲线C ：y 2＝12x 上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2＝12y ，即x 2＝2y . 3．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122x 的一个特征值为3，求M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量．解矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4.因为λ1＝3是方程f (λ)＝0的一根，所以x ＝1. 由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ2＝－1. 设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0，得x ＝－y .令x ＝1，则y ＝－1，所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1. 4．(2018·扬州模拟)已知x ，y ∈R ，若点M (1,1)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 3y 对应的变换作用下得到点N (3,5)，求矩阵A 的逆矩阵A －1.解因为A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 x 3y ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋x ＝3，3＋y ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2132.设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 132 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋c ＝1，3a ＋2c ＝0，2b ＋d ＝0，3b ＋2d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，c ＝－3，d ＝2，所以A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－3 2.(三)坐标系与参数方程1．(2018·南京六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，Ox 为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝1－t(t 为参数)．求直线l 被曲线C 截得的弦长．解曲线C 的直角坐标方程是x 2＋(y －1)2＝1，直线l 的普通方程是x ＋2y －3＝0，圆心C (0,1)到直线l 的距离d ＝|2－3|12＋22＝55，所以直线l 被曲线C 截得的弦长为 212－⎝⎛⎭⎪⎫552＝455. 2．(2018·江苏南京外国语学校月考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数，m 为常数)．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.若直线l 与圆C 有两个不同的公共点，求实数m 的取值范围．解圆C 的普通方程为(x －m )2＋y 2＝4. 直线l 的极坐标方程化为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ＝2，即22x ＋22y ＝2，化简得x ＋y －2＝0. 因为圆C 的圆心为C (m,0)，半径为2，圆心C 到直线l 的距离d ＝|m －2|2，直线l 与圆C 有两个不同的公共点，所以d ＝|m －2|2<2，解得2－22<m <2＋22，即实数m 的取值范围是(2－22，2＋22)．3．(2018·江苏南京师大附中模拟)在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝22cos θ和直线l ：θ＝π4(ρ∈R )相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解圆C ：ρ＝22cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－22x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝2.直线l ：θ＝π4(ρ∈R )的直角坐标方程为y ＝x .圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－0|2＝1.所以AB ＝2.4．(2018·江苏泰州中学月考)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2，曲线C 的极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ＝1，曲线D 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)．曲线C 和曲线D 相交于A ，B 两点． (1)求点P 的直角坐标；(2)求曲线C 的直角坐标方程和曲线D 的普通方程； (3)求△PAB 的面枳S ，解 (1)设点P 的直角坐标为(x ，y )，则x ＝2cos π2＝0，y ＝2sin π2＝2，∴点P 的直角坐标为()0，2.(2)将ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入ρcos θ－ρsin θ＝1，得x －y ＝1，∴曲线C 的直角坐标方程为x －y －1＝0.消去方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α 中的参数α，得(x －1)2＋y 2＝1，∴曲线D 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.(3)因为直线C ：x －y －1＝0过圆D ：(x －1)2＋y 2＝1的圆心， ∴AB 为圆D 的直径， ∴AB ＝2.又点P (0,2)到直线C ：x －y －1＝0的距离为d ＝32＝322，∴S △PAB ＝12AB ·d ＝12×2×322＝322.(四)不等式选讲1．已知正数x ，y 满足x 2＋y 2＝2，求证：x ＋y ≥2xy . 证明 ∵x >0，y >0，∴要证x ＋y ≥2xy ，只要证(x ＋y )2≥4x 2y 2，即证x 2＋y 2＋2xy ≥4x 2y 2.∵x 2＋y 2＝2，∴只要证2＋2xy ≥4x 2y 2，即证2(xy )2－xy －1≤0，即证(2xy ＋1)(xy －1)≤0. ∵2xy ＋1>0，∴只要证xy ≤1. ∵2xy ≤x 2＋y 2＝2，∴xy ≤1成立，当且仅当x ＝y ＝1时取等号． ∴x ＋y ≥2xy .2．已知a ，b ，c 都是正数且abc ＝1，求证：(2＋a )(2＋b )(2＋c )≥27. 证明由算术－几何平均不等式可得 2＋a ＝1＋1＋a ≥33a ， 2＋b ＝1＋1＋b ≥33b ， 2＋c ＝1＋1＋c ≥33c . 不等式两边分别相乘可得，(2＋a )(2＋b )(2＋c )≥33a ×33b ×33c ＝273abc ＝27，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立．3．已知函数f (x )＝2|x －2|＋3|x ＋3|.若函数f (x )的最小值为m ，正实数a ，b 满足4a ＋25b ＝m ，求1a ＋1b的最小值，并求出此时a ，b 的值．解依题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x －5，x <－3，x ＋13，－3≤x ≤2，5x ＋5，x >2，当x ＝－3时，函数f (x )有最小值10，故4a ＋25b ＝10，故1a ＋1b ＝110⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ()4a ＋25b ＝110⎝⎛⎭⎪⎫29＋25b a ＋4a b ≥110⎝ ⎛⎭⎪⎫29＋225b a ·4a b ＝4910，当且仅当25b a ＝4ab时等号成立，此时a ＝57，b ＝27.4．(2018·镇江调研)已知函数f (x )＝|x －a |＋|x ＋a |，若对任意x ∈R ，不等式f (x )>a 2－3恒成立，求实数a 的取值范围．解 ∵对任意x ∈R ，不等式f (x )>a 2－3恒成立， ∴f (x )min >a 2－3，又∵|x －a |＋|x ＋a |≥ |x －a －(x ＋a )|＝|2a |， ∴|2a |>a 2－3，即|a |2－2|a |－3<0，解得－1<|a |<3. ∴－3<a <3.(五)空间向量与立体几何1．(2018·盐城模拟)如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝AD ＝2，点M ，N 分别在PD ，PC 上，PN →＝12NC →，PM ＝MD .(1)求证：PC ⊥平面AMN ； (2)求二面角B －AN －M 的余弦值．(1)证明以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．又∵PA ＝AD ＝2， ∴P (0,0,2)，D (0,2,0)，B (2,0,0)，∴M (0,1,1)，C (2,2,0)．∴PC →＝(2,2，－2)，AM →＝(0,1,1)． ∵PC →·AM →＝0＋2－2＝0， ∴PC ⊥AM .设N (x ，y ，z )，∵PN →＝12NC →，求得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，43. ∵PC →·AN →＝43＋43－83＝0，∴AN ⊥PC .又AM ∩AN ＝A ，AM ，AN ⊂平面AMN ， ∴PC ⊥平面AMN .(2)解设平面BAN 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝0，23x ＋23y ＋43z ＝0，令z ＝－1，∴n ＝(0,2，－1)．∵PC →＝(2,2，－2)是平面AMN 的法向量， ∴cos〈n ，PC →〉＝n ·PC →|n ||PC →|＝155.由图知二面角B －AN －M 为钝二面角， ∴二面角B －AN －M 的余弦值为－155. 2.如图，已知三棱锥O －ABC 的侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝OC ＝2，E 是OC 的中点．(1)求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值； (2)求二面角A －BE －C 的正弦值．解 (1)以O 为原点，分别以OB ，OC ，OA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,1)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，E (0,1,0)． EB →＝(2，－1,0)，AC →＝(0,2，－1)，∴co s 〈EB →，AC →〉＝－25，又异面直线所成的角为锐角或直角， ∴异面直线BE 与AC 所成角的余弦值为25.(2)AB →＝(2,0，－1)，AE →＝(0,1，－1)，设平面ABE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则由n 1⊥AB →，n 1⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －z ＝0，y －z ＝0，取n 1＝(1,2,2)，平面BEC 的法向量为n 2＝(0,0,1)， ∴cos〈n 1，n 2〉＝23，∴二面角A －BE －C 的余弦值的绝对值为23，∴sin θ＝53，即二面角A －BE －C 的正弦值为53. 3.三棱柱ABC －A 1B 1C 1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝3，D 是BC 的中点．(1)求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； (2)求二面角B 1－A 1D －C 1的正弦值．解 (1)由题意知，B (2,0,0)，C (0,4,0)，D (1,2,0)，A 1(0,0,3)，B 1(2,0,3)，C 1(0,4,3)，则A 1D →＝(1,2，－3)，A 1C 1→＝(0,4,0)，DB 1→＝(1，－2,3)．设平面A 1C 1D 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．由n ·A 1D →＝x ＋2y －3z ＝0，n ·A 1C 1→＝4y ＝0，得y ＝0，x ＝3z ，令z ＝1，得x ＝3，n ＝(3,0,1)．设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈DB 1→，n 〉|＝|3＋3|10×14＝33535.(2)设平面A 1B 1D 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c )，A 1B 1→＝(2,0,0)．由m ·A 1D →＝a ＋2b －3c ＝0，m ·A 1B 1→＝2a ＝0，得a ＝0,2b ＝3c ，令c ＝2，得b ＝3，m ＝(0,3,2)．设二面角B 1－A 1D －C 1的大小为α， |cos α|＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝265，sin α＝3765＝345565.所以二面角B 1－A 1D －C 1的正弦值为345565.4.如图，在三棱锥S －ABC 中，底面是边长为23的正三角形，点S 在底面ABC 上的射影O 是AC 的中点，侧棱SB 和底面成45°角．(1)若D 为棱SB 上一点，当SDDB为何值时，CD ⊥AB ； (2)求二面角S －BC －A 的余弦值的大小．解连结OB ，由题意得OS ，OB ，OC 两两垂直．以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OS 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．由题意知∠SBO ＝45°，SO ＝3.所以O (0,0,0)，C (0，3，0)，A (0，－3，0)，S (0,0,3)，B (3,0,0)．(1)设BD →＝λBS →(0≤λ≤1)，连结OD ，则OD →＝(1－λ)OB →＋λOS →＝(3(1－λ)，0,3λ)，所以CD →＝(3(1－λ)，－3，3λ)．因为AB →＝(3，3，0)，CD ⊥AB ，所以CD →·AB →＝9(1－λ)－3＝0，解得λ＝23.故当SD DB ＝12时，CD ⊥AB .(2)平面ACB 的法向量为n 1＝(0,0,1)．设平面SBC 的法向量n 2＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·SB →＝0，n 2·SC →＝0，得⎩⎨⎧3x －3z ＝0，3y －3z ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝z ，y ＝3z ，取z ＝1，则n 2＝(1，3，1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝1×0＋3×0＋1×112＋12＋(3)2＝15，显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为55. (六)曲线与方程、抛物线1.如图，过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作抛物线的两条弦AB ，CD ，设直线AC 与BD 的交点为P ，直线AC ，BD 分别与y 轴交于M ，N 两点．(1)求证：点P 恒在抛物线的准线上； (2)求证：四边形PMFN 是平行四边形．证明 (1)由题意知F (1,0)，不妨设A (a 2,2a )，D (b 2,2b )，a >0，b <0，B (x B ，y B )．直线AB 的方程为2ax ＋(1－a 2)y －2a ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，2ax ＋(1－a 2)y －2a ＝0，得ay 2＋2(1－a 2)y －4a ＝0，由2ay B ＝－4，得y B ＝－2a，代入抛物线方程y 2＝4x ，得x B ＝1a 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2，－2a ，同理得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2，－2b ，则直线AC 的方程为y ＝2b ab －1x －2aab －1，直线BD 的方程为y ＝2a ab －1x －2bab －1，则M ⎝⎛⎭⎪⎫0，－2a ab －1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2b ab －1. 联立直线AC ，BD 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2b ab －1x －2aab －1，y ＝2a ab －1x －2bab －1，可得点P 的横坐标为定值－1，即点P 恒在抛物线的准线上．(2)因为k FN ＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b ab －11－0＝2b ab －1＝k AC ，k FM ＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ab －11－0＝2a ab －1＝k BD ，所以四边形PMFN 是平行四边形．2.如图，已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)过点(2,1)，直线l 过点P (0，－1)与抛物线C 交于A ，B 两点，点A 关于y 轴的对称点为A ′，连结A ′B .(1)求抛物线C 的标准方程；(2)问直线A ′B 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．解 (1)将点(2,1)代入抛物线C 的方程，得p ＝2，所以抛物线C 的标准方程为x 2＝4y . (2)设直线l 的方程为y ＝kx －1，又设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ′(－x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 24，y ＝kx －1，得x 2－4kx ＋4＝0，则Δ＝16k 2－16>0，x 1,2＝4k ±16k 2－162，x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝4k ，所以k A ′B ＝y 2－y 1x 2－(－x 1)＝x 224－x 214x 1＋x 2＝x 2－x 14，于是直线A ′B 的方程为y －x 224＝x 2－x 14(x －x 2)，所以y ＝x 2－x 14(x －x 2)＋x 224＝x 2－x 14x ＋1，当x ＝0时，y ＝1，所以直线A ′B 过定点(0,1)．3.如图，已知定点R (0，－3)，动点P ，Q 分别在x 轴和y 轴上移动，延长PQ 至点M ，使PQ →＝12QM →，且PR →·PM →＝0.(1)求动点M 的轨迹C 1；(2)圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点(0,1)的直线l 依次交C 1于A ，D 两点(从左到右)，交C 2于B ，C 两点(从左到右)，求证：AB →·CD →为定值．(1)解方法一设M (x ，y )，P (x 1,0)，Q (0，y 2)，则由PR →·PM →＝0，PQ →＝12QM →及R (0，－3)，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1(x －x 1)＋(－3)y ＝0，－x 1＝12x ，y 2＝12y －12y 2，化简得x 2＝4y .所以动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线．方法二设M (x ，y )．由PQ →＝12QM →，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，0，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 3.所以PR →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，－3，PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2，y . 由PR →·PM →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2，y ＝0，即34x 2－3y ＝0，化简得x 2＝4y . 所以动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线．(2)证明由题意，得AB →·CD →＝AB ·CD ，⊙C 2的圆心即为抛物线C 1的焦点F . 设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则AB ＝FA －FB ＝y 1＋1－1＝y 1. 同理CD ＝y 2.直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0，所以x 1,2＝4k ±16k 2＋162，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1·x 2＝－4，所以AB →·CD →＝AB ·CD ＝y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝－4k 2＋4k 2＋1＝1，所以AB →·CD →为定值1.4.如图，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A (x 1，y 1)(y 1>0)，B (x 2，y 2)两点，T 为抛物线的准线与x 轴的交点．(1)若TA →·TB →＝1，求直线l 的斜率； (2)求∠ATF 的最大值．解 (1)因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，T (－1,0)，当l ⊥x 轴时，A (1,2)，B (1，－2)，此时TA →·TB →＝0，与TA →·TB →＝1矛盾，所以可设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， x 1,2＝2k 2＋4±(2k 2＋4)2－4k 42k 2，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，①故y 21y 22＝16x 1x 2＝16，y 1y 2＝－4.②因为TA →·TB →＝1，所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝1，将①②代入并整理，得k 2＝4，所以k ＝±2. (2)因为y 1>0，所以tan∠ATF ＝y 1x 1＋1＝y 1y 214＋1＝1y 14＋1y 1≤1，当且仅当y 14＝1y 1，即y 1＝2时取等号，因为点A 在第一象限，所以∠ATF 的最大值为π4.(七)计数原理1．已知等式(x 2＋2x ＋2)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，其中a i (i ＝0,1,2，…，10)为实常数．求：(1)∑n ＝110a n 的值；(2)∑n ＝110na n 的值．解 (1)在(x 2＋2x ＋2)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10中，令x ＝－1，得a 0＝1.令x ＝0，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝25＝32.所以∑n ＝110a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝31.(2)等式(x 2＋2x ＋2)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10两边对x 求导，得5(x 2＋2x ＋2)4·(2x ＋2)＝a 1＋2a 2(x ＋1)＋…＋9a 9(x ＋1)8＋10a 10(x ＋1)9. 在5(x 2＋2x ＋2)4·(2x ＋2)＝a 1＋2a 2(x ＋1)＋…＋9a 9(x ＋1)8＋10a 10(x ＋1)9中，令x ＝0，整理得∑n ＝110na n ＝a 1＋2a 2＋…＋9a 9＋10a 10＝5·25＝160.2．设等差数列{a n }的首项为1，公差为d (d ∈N *)，m 为数列{a n }中的项． (1)若d ＝3，试判断⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x m的展开式中是否含有常数项？并说明理由；(2)证明：存在无穷多个d ，使得对每一个m ，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x m的展开式中均不含常数项．(1)解因为{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，所以a n ＝3n －2. 假设⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x m的展开式中第r ＋1项为常数项(r ∈N )，T r ＋1＝C r mx m －r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝32C m r rm x -，于是m －32r ＝0.设m ＝3n －2(n ∈N *)，则有3n －2＝32r ，即r ＝2n －43，这与r ∈N 矛盾．所以假设不成立，即⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x m的展开式中不含常数项．(2)证明由题设知a n ＝1＋(n －1)d ，设m ＝1＋(n －1)d ，由(1)知，要使对于每一个m ，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x m的展开式中均不含常数项，必须有：对于n ∈N *，满足1＋(n －1)d －32r ＝0的r 无自然数解，即r ＝2d 3(n －1)＋23∉N .当d ＝3k (k ∈N *)时，r ＝2d 3(n －1)＋23＝2k (n －1)＋23∉N .故存在无穷多个d ，满足对每一个m ，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x m的展开式中均不含常数项．3．已知f (x )＝(2＋x )n ，其中n ∈N *.(1)若展开式中含x 3项的系数为14，求n 的值；(2)当x ＝3时，求证：f (x )必可表示成s ＋s －1(s ∈N *)的形式． (1)解因为T r ＋1＝C r n2n －rx 2r ，当r2＝3时，r ＝6，故x 3项的系数为C 6n 2n －6＝14，解得n ＝7.(2)证明由二项式定理可知， (2＋3)n＝C 0n 2n(3)0＋C 1n 2n －1(3)1＋C 2n 2n －2(3)2＋…＋C n n 20(3)n，设(2＋3)n ＝p ＋3q ＝p 2＋3q 2，p ，q ∈N *，而若有(2＋3)n ＝a ＋b ，a ，b ∈N *，则(2－3)n ＝a －b ，a ，b ∈N *.∵(a ＋b )·(a －b )＝(2＋3)n ·(2－3)n＝1， ∴a －b ＝1，令a ＝s ，s ∈N *，得b ＝s －1，∴(2＋3)n 必可表示成s ＋s －1的形式，其中s ∈N *. 4．设n ∈N *，n ≥3，k ∈N *. (1)求值：①k C k n －n C k －1n －1；②k 2C kn －n (n －1)C k －2n －2－n C k －1n －1(k ≥2)；(2)化简：12C 0n ＋22C 1n ＋32C 2n ＋…＋(k ＋1)2C kn ＋…＋(n ＋1)2C nn . 解 (1)①k C kn －n C k －1n －1＝k ×n ！k ！(n －k )！－n ×(n －1)！(k －1)！(n －k )！＝n ！(k －1)！(n －k )！－n ！(k －1)！(n －k )！＝0. ②k 2C kn －n (n －1)C k －2n －2－n C k －1n －1 ＝k 2×n ！k ！(n －k )！－n (n －1)×(n －2)！(k －2)！(n －k )！－n ×(n －1)！(k －1)！(n －k )！＝k ×n ！(k －1)！(n －k )！－n ！(k －2)！(n －k )！－n ！(k －1)！(n －k )！＝n ！(k －2)！(n －k )！⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1－1－1k －1＝0.(2)由(1)可知当k ≥2时，(k ＋1)2C kn ＝(k 2＋2k ＋1)C k n ＝k 2C k n ＋2k C k n ＋C kn ＝[n (n －1)C k －2n －2＋n C k －1n －1]＋2n C k －1n －1＋C kn ＝n (n －1)C k －2n －2＋3n C k －1n －1＋C kn .故12C 0n ＋22C 1n ＋32C 2n ＋…＋(k ＋1)2C kn ＋…＋(n ＋1)2C nn＝(12C 0n ＋22C 1n )＋n (n －1)(C 0n －2＋C 1n －2＋…＋C n －2n －2)＋3n (C 1n －1＋C 2n －1＋…＋C n －1n －1)＋(C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn )＝(1＋4n )＋n (n －1)2n －2＋3n (2n －1－1)＋(2n－1－n )＝2n －2(n 2＋5n ＋4)．(八)随机变量及其概率分布1．袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为512.现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数． (1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X 的概率分布及数学期望E (X )．解 (1)设袋中原有n 个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为C 2nC 29，由题意知C 2n C 29＝512，化简得n 2－n －30＝0，解得n ＝6或n ＝－5(舍去)，故袋中原有白球的个数为6. (2)由题意，X 的可能取值为1,2,3,4.P (X ＝1)＝69＝23，P (X ＝2)＝3×69×8＝14， P (X ＝3)＝3×2×69×8×7＝114，P (X ＝4)＝3×2×1×69×8×7×6＝184.所以取球次数X 的概率分布为所求数学期望E (X )＝1×23＋2×14＋3×114＋4×184＝107.2．某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为P 1＝23，乙的命中率为P 2，在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测．在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”．(1)若P 2＝12，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；(2)在2018年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ，如果E (ξ)≥5，求P 2的取值范围．解 (1)所求概率P ＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12·23·13⎝ ⎛⎭⎪⎫C 12·12·12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23·23⎝ ⎛⎭⎪⎫12·12＝13.(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为P ＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12·23·13[C 12·P 2·(1－P 2)]＋⎝⎛⎭⎪⎫23·23P 22＝89P 2－49P 22. 而ξ～B (12，P )，所以E (ξ)＝12P ，由E (ξ)≥5知，⎝ ⎛⎭⎪⎫89P 2－49P 22·12≥5，解得34≤P 2≤54.又0≤P 2≤1，∴34≤P 2≤1.3．(2018·南通调研)从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地取出m 个． (1)若m ＝1，求所取子集的元素既有奇数又有偶数的概率；(2)若m ＝2，记所取子集的元素个数之差的绝对值为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E (ξ)．解 (1)当m ＝1时，记事件A ：“所取子集的元素既有奇数又有偶数”．则集合{1,2,3,4,5}的非空子集数为25－1＝31，其中非空子集的元素全为奇数的子集数为23－1＝7，全为偶数的子集数为22－1＝3，所以P (A )＝31－(7＋3)31＝2131.(2)当m ＝2时，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，则P (ξ＝0)＝C 2C 15＋C 2C 25＋C 2C 35＋C 2C 45C 231＝110465＝2293， P (ξ＝1)＝C 15C 25＋C 25C 35＋C 35C 45＋C 45C 55C 231＝205465＝4193， P (ξ＝2)＝C 15C 35＋C 25C 45＋C 35C 55C 231＝110465＝2293，P (ξ＝3)＝C 15C 45＋C 25C 55C 231＝35465＝793， P (ξ＝4)＝C 15C 55C 231＝5465＝193，所以ξ的概率分布为所以ξ的数学期望E (ξ)＝0×2293＋1×4193＋2×2293＋3×793＋4×193＝11093.4．(2018·启东模拟)如图，已知正六棱锥S －ABCDEF 的底面边长为2，高为1.现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积．(1)求概率P (X ＝3)的值；(2)求X 的概率分布，并求其数学期望E (X )．解 (1)从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有C 37＝35(种)取法．其中X ＝3的三角形如△ABF ，这类三角形共有6个．因此P (X ＝3)＝6C 37＝635.(2)由题意知，X 的可能取值为3，2，6，23，3 3. 其中X ＝3的三角形如△ABF ，这类三角形共有6个；其中X ＝2的三角形有两类，如△SAD (3个)，△SAB (6个)，共有9个；其中X ＝6的三角形如△SBD ，这类三角形共有6个；其中X ＝23的三角形如△CDF ，这类三角形共有12个；其中X ＝33的三角形如△BDF ，这类三角形共有2个．因此P (X ＝3)＝635，P (X ＝2)＝935，P (X ＝6)＝635，P (X ＝23)＝1235，P (X ＝33)＝235.所以随机变量X 的概率分布为所求数学期望E (X )＝3×635＋2×935＋6×635＋23×1235＋33×235＝363＋66＋1835. (九)数学归纳法1．已知数列{a n }满足：a 1＝2a －2，a n ＋1＝aa n －1＋1(n ∈N *)． (1)若a ＝－1，求数列{a n }的通项公式；(2)若a ＝3，试证明：对∀n ∈N *，a n 是4的倍数． (1)解当a ＝－1时，a 1＝－4，a n ＋1＝(－1)a n －1＋1. 令b n ＝a n －1，则b 1＝－5，b n ＋1＝(－1)b n . ∵b 1＝－5为奇数，∴当n ≥2时，b n 也是奇数且只能为－1，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5，n ＝1，－1，n ≥2，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－4，n ＝1，0，n ≥2.(2)证明当a ＝3时，a 1＝4，a n ＋1＝3a n －1＋1. 下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数．当n ＝1时，a 1＝4＝4×1，命题成立；设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，则存在t ∈N *，使得a k ＝4t ， ∴a k ＋1＝3a k －1＋1＝34t －1＋1＝27·(4－1)4(t －1)＋1＝27·(4m ＋1)＋1＝4(27m ＋7)，其中，4m ＝44(t －1)－C 14(t －1)·44t －5＋…－(－1)r C r 4(t －1)·44t －4－r＋…－C 4t －54(t －1)·4，∴m ∈Z ，∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由数学归纳法知，对∀n ∈N *，a n 是4的倍数成立． 2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12a 2n －12na n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝3.(1)计算a 2，a 3，a 4的值，由此猜想数列{a n }的通项公式，并给出证明； (2)求证：当n ≥2时，a n n ≥4n n.(1)解 a 2＝4，a 3＝5，a 4＝6，猜想：a n ＝n ＋2(n ∈N *)． ①当n ＝1时，a 1＝3，结论成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k ＋2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12a 2k －12ka k ＋1＝12(k ＋2)2－12k (k ＋2)＋1＝k ＋3＝(k ＋1)＋2，即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，得数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2(n ∈N *)．(2)证明原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫1＋2n n≥4.显然，当n ＝2时，等号成立．当n >2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n n ＝C 0n ＋C 1n 2n＋C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2＋…＋C n n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n n >C 0n ＋C 1n 2n＋C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2＝5－2n>4.综上所述，当n ≥2时，a n n ≥4n n.3．已知函数f (x )＝ln(2－x )＋ax 在区间(0,1)上是增函数． (1)求实数a 的取值范围；(2)若数列{a n }满足a 1∈(0,1)，a n ＋1＝ln(2－a n )＋a n ，n ∈N *，证明：0<a n <a n ＋1<1. (1)解 ∵函数f (x )＝ln(2－x )＋ax 在区间(0,1)上是增函数， ∴f ′(x )＝－12－x ＋a ≥0在区间(0,1)上恒成立，∴a ≥12－x.又g (x )＝12－x在区间(0,1)上是增函数，∴a ≥g (1)＝1，即实数a 的取值范围为[1，＋∞)． (2)证明先用数学归纳法证明0<a n <1. 当n ＝1时，a 1∈(0,1)成立．假设当n ＝k (k ∈N *)时，0<a k <1成立．当n ＝k ＋1时，由(1)知当a ＝1时，函数f (x )＝ln(2－x )＋x 在区间(0,1)上是增函数， ∴a k ＋1＝f (a k )＝ln(2－a k )＋a k ， ∴0<ln 2＝f (0)<f (a k )<f (1)＝1，即0<a k ＋1<1成立，∴当n ∈N *时，0<a n <1成立．下证a n <a n ＋1.∵0<a n <1，∴a n ＋1－a n ＝ln(2－a n )>ln 1＝0， ∴a n <a n ＋1. 综上0<a n <a n ＋1<1.4．设f (k )是满足不等式log 2x ＋log 2(3·2k －1－x )≥2k －1(k ∈N *)的正整数x 的个数．(1)求f (k )的解析式；(2)记S n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )，P n ＝n 2＋n －1(n ∈N *)，试比较S n 与P n 的大小．解 (1)∵log 2x ＋log 2(3·2k －1－x )≥2k －1(k ∈N *)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0，3·2k －1－x >0，x (3·2k －1－x )≥22k －1，解得2k －1≤x ≤2k，∴f (k )＝2k －2k －1＋1＝2k －1＋1.(2)∵S n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n ) ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＋n ＝2n＋n －1，∴S n －P n ＝2n －n 2.当n ＝1时，S 1－P 1＝2－1＝1>0；当n ＝2时，S 2－P 2＝4－4＝0；当n ＝3时，S 3－P 3＝8－9＝－1<0；当n ＝4时，S 4－P 4＝16－16＝0；当n ＝5时，S 5－P 5＝32－25＝7>0；当n ＝6时，S 6－P 6＝64－36＝28>0. 猜想：当n ≥5时，S n －P n >0. 证明如下：①当n ＝5时，由上述可知S n －P n >0.②假设当n ＝k (k ≥5，k ∈N *)时，S k －P k ＝2k －k 2>0. 当n ＝k ＋1时，S k ＋1－P k ＋1＝2k ＋1－(k ＋1)2＝2·2k－k 2－2k －1＝2(2k－k 2)＋k 2－2k －1 ＝2(S k －P k )＋k 2－2k －1>k 2－2k －1 ＝k (k －2)－1≥5×(5－2)－1＝14>0. ∴当n ＝k ＋1时，S k ＋1－P k ＋1>0成立．由①②可知，当n ≥5时，S n －P n >0成立，即S n >P n 成立．由上述分析可知，当n ＝1或n ≥5时，S n >P n ；当n ＝2或n ＝4时，S n ＝P n ；当n ＝3时，S n <P n .。

2019届高考(浙江、江苏)英语二轮复习检测：第一部分专题9 名词性从句专题强化训练

[模拟题组一]1．(2016·浙江温州高三五校考试)I think the doctor is able to cure of________is called a suspect.A．all B．whatC．whatever D．anything解析：选C。

whatever具备两个意思，其一是no matter what，引导让步状语从句；其二是anything that，引导名词性从句，在本题中，whatever引导的是一个宾语从句，whatever 在这个宾语从句中被用作主语。

2．The traveler lost his way in the woods，and________made things worse was that it was getting dark.A．that B．whatC．which D．as解析：选B。

主语从句________made things worse 缺少主语，应用what引导。

that在名词性从句中起连接词的作用，不充当任何成分。

故选B。

3．You are saying that everyone should be equal，and this is________I disagree.A．why B．whereC．what D．how解析：选B。

考查宾语从句。

disagree是不及物动词，不缺宾语，不能填代词，排除C。

其余三项均在引导名词性从句时作状语，但句意要求：这就是我不赞同的地方。

缺地点状语，所以选B。

4．People all over the world have a dream________they will always live a peaceful life.A．that B．whatC．which D．when解析：选A。

考查同位语从句。

句意：全世界的人们都有一个梦想，即总是过和平的生活。

________they will always live a peaceful life为同位语从句，作a dream 的同位语，该从句不缺少任何成分，故选A。

2019年江苏卷高考附加题(含答案)

X
的概率分布为 P( X
1)
7 C62
7 , P(X 15
2)
4 C62
4， 15
P( X
2)
2 C62
2 , P(X 15
5)
2 C62
2 15
．
（2）设 A(a ，b) 和 B(c ，d ) 是从 M n 中取出的两个点．
因为 P( X n) 1 P( X n) ，所以仅需考虑 X n 的情况． ①若 b d ，则 AB n ，不存在 X n 的取法； ② 若 b 0 ，d 1 ，则 AB (a c)2 1 n2 1 ，所以 X n 当且仅当
(1 3)n (1 3)5
C50 C15 3 C52 ( 3)2 C35 ( 3)3 C54 ( 3)4 C55 ( 3)5
ab 3．
解法一：
因为 a, b N* ，所以 a C50 3C52 9C54 76, b C15 3C35 9C55 44 ，
从而 a2 3b2 762 3 442 32 ．
2
1
当x> 时，原不等式可化为x+2x–1>2，解得x>1.
2
综上，原不等式的解集为{x | x 1 或x 1} . 3
22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算
求解能力，满分10分．
解：（1）因为 (1 x)n C0n C1n x C2n x2 Cnn xn ，n 4 ，
因此 a2 3b2 (a b 3)(a b 3) (1 3)5 (1 3)5 (2)5 32 ．
23．【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．满分10分．

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2019届二轮复习附加题强化训练作业（江苏卷用）
一、阅读材料，完成1～3题。

(10分)
按《项氏家说》：“贾谊之《过秦》、陆机之《辩亡》，皆赋体也。

”洵识曲听真之言也。

孙曰：“《醉翁亭记》《赤__壁__赋》自__是__千__古__绝__作__即__废__记__赋__法__何__伤__且__体__从__何__起__长__卿__《子虚》已__乖__屈__宋__苏__李__五__言__宁__规__四《诗》《屈原传》不__类__序__乎__《货殖传》不__类__志__乎？《扬子云赞》非传乎？《昔昔盐》非排律乎？”足见名家名篇，往往破体，而文体亦因以恢弘焉。

(节选自钱钟书《管锥编》) 1.用斜线“/”给上面文言文中的画线部分断句。

(限6处)
解析本段话中，“是千古绝作”，是判断句，后面可以断开。

“何伤”“何起”句式一致，可在“何伤”后断开。

“屈宋”是屈原和宋玉，“苏李”是苏武、李陵，所以“屈宋苏李”之间应该断开。

“《屈原传》不类序乎”“《货殖传》不类志乎”句式一致，中间可断开，那么在“《屈原传》不类序乎”前面也应断开。

答案《醉翁亭记》《赤壁赋》自是千古绝作/即废记赋法何伤/且体从何起/长卿《子虚》已乖屈宋/苏李五言宁规四《诗》/《屈原传》不类序乎/《货殖传》不类志乎
2.“屈宋”中的“宋”指的是________，五律定型是由宋之问和________完成的。

解析本题“屈宋”中的“宋”指的是宋玉，另外，“屈”是屈原。

五律定型是由宋之问和沈佺期完成的。

“五律”指五言律诗，沈佺期、宋之问等诗人，总结了南朝以来新体诗的成就，把已经成熟的形式肯定下来，在创作中使五律正式定型。

答案宋玉沈佺期
3.材料中“破体”的含义是
解析要注意认真研读文本的内容，将“破体”带入具体语境中去推断，选文中列举了一些名家打破文体格式，创作了传世名篇，因此可以明确“破体”的意思是“打破文体”，即不拘泥于原有文体格式，有个人的创新。

答案“破体”就是不拘泥于原有文体格式，有个人的创新。

【参考译文】
根据《项氏家说》：“贾谊的《过秦》、陆机的《辩亡》，全都是赋体文。

”苏洵是通晓曲子听取真谛的论述啊。

孙说：“《醉翁亭记》《赤壁赋》自然是千古绝作，即废弃记叙采用
赋又有什么损害，况且文体又从何而来？刘长卿的《子虚》已经承袭屈原和宋玉，苏武、李陵的五言巧妙学习四言的《诗》，《屈原传》难道不像序吗？《货殖传》难道不像志吗？《扬子云赞》难道不是传吗？《昔昔盐》难道不是排律吗？”足以发现名家名篇，往往打破文体，而文体也因此气势恢弘啊。

二、名著阅读题(15分)
4.下面对有关名著名篇的说明，不正确的两项是( )
A.《呐喊》以日记体的形式，纪录了“狂人”的心理活动；小说集中每篇小说有各自的主题，又有着共同的大主题；人物既个性鲜明，又具有典型性。

B.巴金作品《家》中的大哥觉新善良懦弱，逆来顺受，奉行“作揖哲学”；觉民沉着温和，只关心个人幸福；觉慧单纯热情，决不跟旧势力妥协。

C.《边城》中傩送为了纯真的爱情，宁愿放弃一座碾坊的陪嫁而选择渡船，大老宁愿牺牲自己的幸福，希望成全弟弟的爱情。

他们都胸怀宽广，光明磊落。

D.抄检大观园时，司棋掀翻了自己的箱子并当面冲撞领头抄检的王善保家的，体现了她对封建主子及其帮凶的蔑视和自尊自重、敢于反抗的强烈个性。

E.《欧也妮·葛朗台》中，作者用漫画式的夸张、真实的细节描写和典型的个性化语言入木三分地塑造了著名的吝啬鬼、守财奴的形象——葛朗台。

解析A项“《呐喊》以日记体的形式，纪录了‘狂人’的心理活动”说法错误，“日记体”只是《狂人日记》。

D项掀翻自己箱子的是晴雯不是司棋。

答案AD
5.简答题
(1)琴为什么一心要到觉民、觉慧他们就读的“外专”去读书？
答：
解析作答时可以从琴的内因外因两个方面考虑。

从原著看，琴所在的女中教的不过是封建的文章，外文也教得粗浅，而觉慧他们的学校却是先进的、积极的，还有外国教员。

答案(1)因为他们学校从教学内容到教员都比琴自己的学校开放，因为男女同学有冲击封建秩序的作用，那里有自己的心上人——觉民。

(2)《边城》中翠翠的爱情与三次端午节关系紧密，请简要说明。

答：
解析作答这个题目，必须对名著《边城》有整体的把握，平时注意积累记忆名著中的重要情节及涉及的人物形象的心理。

沈从文的《边城》共写了三次端午节，都与翠翠的爱情紧密相关，第一次端午节翠翠初遇傩送，翠翠心中埋下爱情种子。

第二次端午节翠翠再去看赛船，对傩送情窦初开。

第三次端午节翠翠了解傩送真心喜欢自己，然而经过了这三个端午节，这段朦胧的爱还没真正地掀开那层薄薄的纱。

后又有人替大老提亲，兄弟俩都不愿伤害对方，预示爱情的悲剧。

《边城》由三个端午节事件贯穿始终，“端午”成为这篇小说发展的一条主要时间线索。

答案第一次端午节翠翠初遇傩送，傩送安排伙计送回翠翠，翠翠心中埋下爱情种子；第二次端午节翠翠再去看赛船，牵挂外出青浪滩的傩送，暗示翠翠情窦初开；第三次端午节翠翠
了解傩送真心喜欢自己，后又有人替大老提亲，兄弟俩都不愿伤害对方，预示爱情的悲剧。

三、材料概括分析题。

(15分)
阅读材料，完成6～8题。

中国版“美食剧”《深夜食堂》因“不接地气”口碑和收视都离预期差距太大，可日版却细腻得让人感动，因为是生活的浓缩。

“不接地气”就是远离生活，就是不合生活逻辑。

真正耳目一新的作品并不远离生活，从不脱离生活轨道。

电影《大话西游》是无厘头的典范之作，但爱情的成全、取经的责任、闪光的人性等都是生活的写实，都接地气。

纪录片《舌尖上的中国》、电视剧《白鹿原》里的热气腾腾的美食无不让人垂涎三尺。

生活才是影视作品最好的剧本。

即便历史正剧，也是对过去生活的还原；仙侠、玄幻剧里的爱情也是现实爱情的深加工；穿越剧只是利用了时空差和时代语境的冲突，那些穿越回去的角色终究要融入当时的生活。

生活就像万有引力，影视作品都要被生活的引力牵着走。

中国版《深夜食堂》给我们提了个醒：口碑神作才值得翻拍，要想有突破，就得下真功夫。

翻拍要借壳还魂，要么换汤不换药，要么换药不换汤，要么汤药都换掉。

总之，翻拍要符合目标观众的生活逻辑。

相对于国外影视人来说，国内影视人非常幸福，悠久的历史文化、精彩的中国故事、多元的地域风情等，无论是翻拍，还是原创，都有可以依托的生活元素。

6.“接地气”的影视作品有哪些特点？
答：
解析要从题干中明确问题指向，然后到文本中圈出能体现“接地气”的影视作品特点的相关内容，尤其要关注总结性的语言，如第2段“‘不接地气’就是远离生活，就是不合生活逻辑”“真正耳目一新的作品并不远离生活，从不脱离生活轨道”；第3段“即便历史正剧，也是对过去生活的还原”；第4段“目标观众的生活逻辑”等。

最后将这些筛选好的信息进行整合，分点概括即可。

答案主题紧贴生活，符合生活逻辑；角色、主要元素还原(再现)生活；作品的设计符合观众的生活逻辑。

7.请简要分析文中画线句子的含意及言外之意。

答：
答案含义：生活制约、影响着万事万物，包括影视作品；无论何种形式的影视作品都离不开生活，离开了生活的影视作品决不是好作品。

言外之意：包含了作者对当前某些影视作品的忧虑和不满；也给中国影视作品的制作指出了一条根本性的出路。

8.国内的影视人怎样才能翻拍好影视剧？
答：
解析先通读文本，然后带着问题到文本中筛选相关信息，如第4段“口碑神作才值得翻拍”“翻拍要借壳还魂，要么换汤不换药，要么换药不换汤，要么汤药都换掉”“翻拍要符合目标观众的生活逻辑”；第5段“无论是翻拍，还是原创，都有可以依托的生活元素”，最后将这些筛选好的信息整合，分点概括即可。

答案寻找口碑神作，形式内容共美，符合生活逻辑，用好中国元素。