不定积分定义

解
x2(x33)dx
(x53x2)dx 1 6
x
6
x3 C
(2)
求(13x2
2 )d.x
1x2
解
(13x2
2 )dx
1x2
3arcx t a2n arcxsiCn
练习
(x 1)3 x2 dx
x33x23x1
x2
dx
精品课件
例13
求
x4 x2
2 1
dx.
解 x x4 2 1 2dx(x21 x )2x ( 21 1)1dx
( 1 1 )c s c x c o t x d x c s c x C .
(12)
1 dxarcsinxC.
1x2
(13) 1 1x2dxarctan 精x 品课 件C .
xdx x1 C
1
例 8 求x2 xdx
解
x2
xdx
5
x 2dx
x 5
51 2
1
C
2
7
x2
C.
7
例9
求
1 x3
dx x
同样，在下式里
a3b (3)
F (x)f(x) (3)'
精品课件
通过上面的比较，对积分运算与原函数有了初步认识，以 下先给出原函数与不定积分的有关的定义。
一、原函数与不定积分
定 义 对 于 定 义 在 区 间 I 上 的 函 数 f ( x ) 若 对 x I ,
有 F (x)f(x) 则 称 F (x )是 f(x )在 区 间 I上 的 一 个 原 函 数
2
解
1
x3
dx x
7
x 2dx
71
x2 71
C
2
5
x2
C.
5
2
精品课件
例10
求1） （1 d,x（ 2） 2xexdx
axdx a x C
ln a
解
x3 x
1
(1)
x3
dx x
4
x 3 dx
1
41
x3
C
1
3x 3
C
4 3
1
(2) 2xexdx 2x ex C ln2 (2e)xdx ( 2 e ) x C ln( 2 e )
G(x)F(x)G (x)F(x) 0
G (x)F(x)C , 即 G(x)F(x)C
结 论 : 若 F(x)f(x),
则f (x)的原函数都可F(用 x)C表示 .
精品课件
定 义 : f ( x ) d x 表 示 函 数 f ( x ) 的 原 函 数 的 全 体 ,
则称
即
f ( x )dx 为f (x)的不定积分
F(x)f(x)
(1)如果f(x)在某区间上存在原函数，那么原函数
不是唯一的,且有无穷多个
若 F(x)f(x), 则 [F (x)C ]f(x)
即若F(x)是f (x)的原函数则 ，F(x)C亦是 .
精品课件
(2) 若函数 f (x) 在区间 I 上存在原函数，
则其任意两个原函数只差一个常数项. 设 F (x ) f(x )G ,(x ) f(x )
积分变量
f(x)dxF(x)C
积 分 号
被 积 函 数
被积表达式
常
数
项
精品课件
例3 求 x5dx
解
(x6) x5,
6
x5dx
x6 6
C
例4 求11x2dx
解 arcxtan11x2
11x2dxarctxanC
精品课件
例5
求
1 x
dx
解 当 x0时， (ln x有 )'1.
x
1 xdxlnxC(x0)
例1 sin xcoxs
s i n x 是 c o s x 的 一 个 原 函 数 ( , )
lnx 1
x
lnx是 1的 一 个 原 函 数 (0, )
x
精品课件
例如 在(,)上 sin x 是 cosx 的原函数
而 即 sin x
sin x 1 ,s s in x x 2 1 ,sin x 3也是它的原函数
性质2 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分
号的前面.
(2) k(fx)d xk f(x)dx. (常k 数 0)
注意：不定积分没有积精品和课件商的运算法则。
性质1 函数代数和的不定积分等于不定积分的代数
和，即 (1 ) [f(x ) g (x )d ] x f(x)d xg(x)d;x
证 只要证明上式右端的导数等于左端的被积函数 即可.由导数运算法则以及不定积分与微分的关 系，有
(2) F'(x)dxF(x)C 或 dF(x)F(x)C，
先微后积 差一常数
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例 6 验证 sx e等 d c ls n xx e 式 tc a x n C 成 . 立
解 依据不定积分只 的要 定验 义证 ，等式的 右导 端数 函
是左端的被积. 函数即可
当s（ exctaxn） 0时，由于
练习：求
2x ex dx
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三、不定积分的运算性质
性质1 函数代数和的不定积分等于不定积分的代数
和，即 (1 ) [f(x ) g (x )d ] x f(x)d xg(x)d;x
性质1可以推广到有限多个函数的情形，即
[f1 (x)f2(x) fn(x)d ]x
f1 (x )d x f2 (x )d x fn (x )d . x
常说成一族函数,反映在几何上则是一
族曲线,这族曲线称为f (x)的积分曲线 O x
y F(x)
x
族. 在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为k,
因此,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的
切线彼此平行（如图）.f (x)为积分曲线在(x, f
(x))处的切线斜率.
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练习 设曲线通过点(2,3),且其上任一点的切线斜率等 于这点的横坐标，求此曲线方程.
[ln(x steax cn )]
1
(sexc taxnse2x c)
ln(sexctanx)
sexc,
所以，已给等式成立 .
当s（ exctaxn） 0时，类似地给 可等 以式 验 . 成 证
综上所述，已给等式成 立.
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例 7 已知某曲线过点 (1,2), 其上 点(x,y)处切线
的斜率为 x的两倍求，其方程
x(1x2) x(1x2) dx
11x2 1xdx11x2dx1xdx
a rcta nxln|x| C
精品课件
例15 求co2txdx 解 cot2 xdx
(c2sxc1)dx
co xtxC
练习：求 tan2 xdx
例解1612s求 i(n122xscidnox2xs2x)ddxx
1 ( x sinx)C 2
(5) exdxexC .
(6 )s in x d x c o sx 精品 课C 件
(7 )c o sxd x s in x C . (8 )sid n x 2x c sc2xd x c o tx C . (9 )co d s x 2xsec2xd x ta nx C .
( 1 0 ) s e c x t a n x d x s e c x C .
解 设所求的曲线方程为y f(x)
可知
y' x，
所 以 yxdx1 2x2C
把 (2,3)代 入 上 述 方 程 ， 得
C1，
因此所求曲线的方程为
x2
y 1.
2
精品课件
,依题意
二、基本积分公式
(1 )kd xkxC
(2)xd x x 1 1C( 1 ).
(3) dxxln|x|C. (4) axdxlanxaC.
[ f ( x ) x g d ( x ) x ] ' d [ f ( x ) x ] ' d [ g ( x ) x ] 'd
=f(x)g(x)，
这说明 f(x)x d 是g (函x)数x d
所以欲证的等式成立. 精品课件
的f不(x定)积g(分x)，
例11 求 (2x35x24x3 )d x . 解 (2x35x24x3)dx
(x21)x211dx
(x21)dxx211dx x3xarctxaC n.
3
精品课件
例14 求 x12(12xx22)dx.
解
1 2x2 x2(1 x2
dx )
1 x2 x2
x2(1x2)dx
x12dx11x2dx
1arctaxnC x
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练习 求 1x(1xxx2)2dx.
解
1x(1xxx2 )2dx
开这方不运是乘算 方， 运称算a ，为 而b 的是它 立的方逆根运算。 —开方运算。
一般来说，在下式里
若 也F熟( x悉)已导知数，运f (算x)未：知 ， 由 F ( x)
fx(2x),则2x称 （ 3）('1 式)'为 求 导 运 算 ，
称 f ( x)为 F ( x)的 导 数 。 若 f ( x)已 知 同， F样(提x)未出知问，题由：f ( x) F ( x), 则 称 这（?3不） '是式2x为求 积导 分运(2 运算)'算，，而称是F它( x的)为 f (逆x)的运原算函—数积。分运算。
解 设曲线方 y程 f(x)
y
则由题意知
f(x)2x
f (x) 2xdx x 2 C
又曲线过(点 1,2),
21C, 即C1 故所求曲线 y为x2 1.
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0
x
不定积分的几何意义
函数f (x)的原函数图形称为f (x) y
的积分曲线,不定积分表示的不是一个
y F(x) C
原函数,而是无穷多个(全部)原函数,通
第四章 积分及其应用 本章主要内容
一元函数的不定积分和定积分的概念与性 质、积分法、无穷区间的广义积分和定积分的 应用。
§4.1不定积分概念与性质 【学习本节要达到的目标】 1、理解不定积分和原函数的概念 2、理解不定积分与微分的关系 2、掌握不定积分的性质
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回顾: 微分学的基本问题是“已知一个 函数,
2x3dx5x2dx4xdx3dx
2 x 3 d x 5 x 2 d x 4 x d x 3 d x 1 2x45 3x32x23xC .
注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可
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例12(1) 求x2(x33)dx
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为了更好地理解积分运算是导数（微分）运算的逆运算， 我们在介绍积分运算时，把乘方运算（开方）和它作比较：
若 a已 知 ， b 未 知 ， 由 a
我们熟悉乘方运算：
b,则 称
23 8
（ 3 ）(1)式
为
乘
方
运 算 ， 称 b为 a的 立 方 。
若于是b 已提知出新， 问a 未题知：， 由
b ?3 a 8 , 则 称 （(2 3)） 式 为
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作业
P92. （9）
A组 2（1）；3（1）（3）（5）（7） B组 1
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如何求它的导数.” 那么, 如果已知一个函数的导数, 要求原
来的函数, 这类问题, 是微分法的逆问题. 这就 产生了积提分出学这.样的逆问题，是因为它存在于许多实际的 问题中，例如：已知速度求路程；已知加速度求速度； 已知曲线上每一点处的切线斜率（或斜率所满足的某一 规律），求曲线方程等等。
要解决这些实际问题，自然会想到微分运算的逆 运算，这就是产生积分运算的原因。
加任意常数都co是sx
的原函数.
这样就给我们提出了问题： ✓原函数存在的条件？ ✓原函数有多少个？ ✓这些原函数之间有何关系？ ✓如何求出这些原函数？
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原 函 数 存 在 定 理
若函数ƒ(x)在区间I上
连续, 则ƒ(x)在区间I上的原函数一定存在.
例2
f (x) x2 CR
F(x) 1x3, 3
练习： cos2 x dx 2
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小结
原函数与不定积分的概念
F(x)f(x)
F(x)是f (x)的一个原函数 f (x)的所有原函数可以 为表 F(x示 )C
f ( x)dx F(xC)
基本积分公式
直接积分法
直接积分法:用基本积分公式及积分性质求积分的方法 用直接积分法求不定积分要注意对被积函数变形
当x 0时， 有 ln(x)' 1 (x)' 1 (1) 1 ,
x
x
x
1 xdxln x()C(x0)
lnx 当x0,
lnx ln(x)
当x0,
源自文库
所 以 1d xlnxC(x0). x精品课件
不定积分与微分的关系
微分运算与积分运算互为逆运算.
(1) [f(x)dx]'f(x)
先积后微
或d f(x)dxf(x)dx， 形式不变