应力、应变的张量描述方程
应力张量分量
应力张量分量引言应力张量分量是应力张量在一个特定的坐标系下的分量表示。
应力张量分量的理解对于材料科学和工程领域的应力分析具有重要意义。
在本文中，我们将了解应力张量的定义、表示方式、在不同坐标系下证明应力张量分量的变换规律以及一些应力分析方面的实际应用。
应力张量的定义应力张量是具有三个独立的分量的二阶张量，用于描述固体和液体中的应力状态。
应力可以理解为物体内部的力分布，因此应力张量可以表示为：σ = [σ11 σ12 σ13] [σ21 σ22σ23] [σ31σ32 σ33]其中，σ11、σ22 和σ33 表示沿着 x、y 和 z 轴的压力或拉力，σ12、σ13 和σ23 表示剪应力（或剪切应力）。
应力张量的表示方式为了确定应力张量的分量表示，我们需要选择一个参考坐标系。
在二维情况下，我们通常选择笛卡尔坐标系，其中坐标轴为 x 和 y。
在三维情况下，我们则使用三维笛卡尔坐标系，其中坐标轴为 x、y 和 z。
对于一个在一个给定坐标系下的应力张量，我们可以通过求解六个应力分量来表示它。
为了简化表示，通常使用下面的符号：σxx = σ11 σyy= σ22 σzz = σ33 σxy = σyx = σ12 σxz = σzx = σ13 σyz = σzy = σ23在这种表示方式下，σij 表示在 i 方向上对 j 方向的拉力或剪切力（也可以反过来表示）。
坐标系之间的转化当我们考虑不同的坐标系时，应力张量的表示会发生变化。
考虑两个不同的笛卡尔坐标系（原始坐标系和目标坐标系），它们的坐标轴可以写为以下矩阵的形式：[x'] [a11 a12 a13] [x] [y'] = [a21 a22 a23] [y] [z'] [a31 a32 a33] [z]其中，矩阵中的每个元素表示从目标坐标系中的一个坐标轴到原始坐标系中的相应坐标轴的投影。
为了推导出应力张量在不同坐标系下的表示，我们需要考虑以下事实：应力张量是下面这种形式的：σ = [ σxx σxy σxz] [ σxy σyyσyz] [ σxz σyz σzz]假设我们有一个 $n$ 维张量 $A$，其分量与坐标系之间的变换是 $A_{ij}^{'} = a_{ik} a_{jl} A_{kl}$。
材料力学公式总结
材料力学公式总结材料力学是研究材料在外力作用下的力学性能和变形规律的学科，它是材料科学的基础和核心。
在材料力学中，有许多重要的公式，它们可以帮助我们理解材料的性能和行为。
本文将对材料力学中的一些重要公式进行总结，希望能对大家的学习和工作有所帮助。
1. 应力和应变的关系公式。
在材料力学中，应力和应变是两个非常重要的概念。
应力是单位面积上的力，通常用σ表示，而应变是材料单位长度的变形量，通常用ε表示。
它们之间的关系可以用胡克定律来描述，即σ = Eε，其中E为杨氏模量，是描述材料抵抗变形能力的一个重要参数。
2. 弹性模量的计算公式。
弹性模量是描述材料在受力后能够恢复原状的能力的一个重要参数。
对于各向同性材料，弹性模量E可以用杨氏模量和泊松比来表示，即E = 2G(1+μ)，其中G 为剪切模量，μ为泊松比。
3. 应力-应变曲线的公式。
材料在受力时，应力和应变之间的关系通常通过应力-应变曲线来描述。
对于线弹性材料来说，应力-应变曲线是一条直线，其斜率就是杨氏模量E。
而对于非线性材料来说，应力-应变曲线通常是一条曲线，可以用一些复杂的数学公式来描述。
4. 塑性变形的公式。
当材料受到超过其屈服强度的应力时，就会发生塑性变形。
塑性变形的特点是应力和应变不再呈线性关系，而是出现了一定的变形硬化。
塑性变形的公式通常比较复杂，需要根据具体的材料和加载条件来确定。
5. 断裂力学的公式。
材料在受到过大的应力时会发生断裂，断裂力学是研究材料断裂行为的学科。
在断裂力学中，有许多重要的公式，如格里菲斯断裂准则、弗兰克-雷迪公式等，它们可以帮助我们预测材料的断裂行为。
总结。
材料力学中的公式是我们理解材料性能和行为的重要工具，通过对这些公式的学习和掌握，我们可以更好地应用材料力学知识，解决工程实际问题。
希望本文对大家有所帮助，也希望大家能够深入学习材料力学，为材料科学的发展做出贡献。
第五章 应力张量 应变张量与应力应变关系
1、 2、 3是方程（5-7）的三个根，所
以，也可以将特征方程写成
( 1 )( 2 )( 3 ) 0
展开后有 3 ( 1 2 3 ) 2 ( 1 2 2 3 3 1 ) 1 2 3 0
与式（5-7）比较，得
I1 I2
方程（7）有三组解：
第一组是 m0, n0
第二组是 m0, n1/ 2
第三组是 m1/ 2, n0
有了m、n就可以从（4）中求得相应的l，并运用
（5）式得到相应的极值剪应力 ，由（2）式
得到极值剪应力面上的正应力 。 同理可从（3）和（4）中分别消去m和n，按上述 方法又可以得到六组解，但其中三组是重复的， 独立的解答一共六组，如表5-1所示。 表中前三组解答对应于主平面，其上剪应力为零； 而后三组解答对应于经过主轴之一而平分其他两 主轴夹角的平面，如图5-5示，其上剪应力为
1 和 2 的方向可取与 ν (3) 垂直平面上的任
意方向。即与ν (3) 垂直的方向都是主方向。
如果 123，则 ν (1)ν (2)、ν (2)ν (3)、
ν (3)ν (1)三者可以是零，也可以不是零，这
说明三个主方向可以相互垂直，也可以不垂 直，也就是说，任何方向都是主方向。
（3）主应力的极值性 命题1：最大（或最小）主应力是相应点处任 意截面上正应力的最大（或最小）值。
r r
这就是极坐标下的应力分量与直角坐标下应力 分量的转换公式。
反过来，取直角坐标系为新坐标系，极坐标系 旧坐标系，根据（5-2）式，用极坐标应力分量 表示直角坐标应力分量的关系为：
x xrxrr xx 2xrxr
cos2 r sin2 2sin cosr
2 第二章 应力和应变
第二章应力和应变地震波传播的任何定量的描述，都要求其能表述固体介质的内力和变形的特征。
现在我们对后面几章所需要的应力、应变理论的有关部分作简要的复习。
虽然我们把这章作为独立的分析，但不对许多方程进行推导，读者想进一步了解其细节，可查阅连续介质力学的教科书。
三维介质的变形称为应变，介质不同部分之间的内力称为应力。
应力和应变不是独立存在的，它们通过描述弹性固体性质的本构关系相联系。
2.1 应力的表述——应力张量2.1.1应力表示考虑一个在静力平衡状态下，均匀弹性介质里一个任意取向的无限小平面。
平面的取向可以用这个平面的单位法向矢量nˆ来规定。
在nˆ方向的一侧施加在此面单位面积上的力叫做牵引力，用矢量),,()ˆ(zyxtttnt=表示。
在nˆ相反方向的另一侧施加在此面上的力与其大小相等，方向相反，即)ˆ()ˆ(ntnt-=-。
t在垂直于平面方向的分量叫做法应力，平行于平面方向的分量叫做剪应力。
在流体的情况下，没有剪应力，nptˆ-=，这里P 是压强。
上面的表示这是一个平面上的应力状况，为表示固体内部任意平面上的应力状态，应力张量τ在笛卡尔坐标系（图 2.1）里可以用作用于xyxzyz,,平面的牵引力来定义(：ˆˆˆ()()()ˆˆˆ()()()ˆˆˆ()()()xx xy xzx x xy y y yx yy yzz z z zx zy zzt x t y t zt x t y t zt x t y t zττττττττττ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2.1）在右式的表示中，第一个下角标表示面的法线方向，第二个下角标表示该面上应力在该坐标轴上的投影。
图2.1 在笛卡尔坐标系里描述作用在无限小立方体面上的力的牵引力矢量)ˆ(),ˆ(),ˆ(z t y t xt 。
应力分量的符号规定如下：对于正应力，我们规定拉应力为正，压应力为负。
对于剪应力，如果截面的外法线方向与坐标轴一致，则沿着坐标轴的正方向为正，反之为负；如果截面方向与外法线方向相反，则沿着坐标轴反方向为正。
弹塑性力学物理方程
z
x
1 2 yx
1 2
zx
1 2
xy
-
1 2
xz
y
-
1 2
yz
-
1 2
zy
z
以最后一个方程为例 zx 反号，而x，y，z和xy不变， c61＝c62＝c63＝c64＝0
x =c11x+ c12y+ c13z+ c14xy y =c12x+ c22y+ c23z+ c24xy z =c13x+ c23y+ c33z+ c34xy xy =c14x+ c24y+ c34z+ c44xy yz = c55yz+ c56zx zx = c56yz+ c66zx
x
1
Ex
- yx Ey
- zx Ez
0
0
0
x
y
xy
Ex
1
- zy
Ey
Ez
0
0
0
y
z
xy
yz
xz Ex
0
0
- yz Ey
0
0
1 Ez 0
0
0
0
1
0
G xy
0
1
G yz
0
z
0
xy
0
yz
zx
0
0
0
0
0
1 Gzx zx
1 v E
ij
E
kk ij
弹性应变能
• 一维情况
一细长杆，长度L，横截面积S，两端受拉力P作用，伸长量为L，
外力功为
L
U Pd (L) 0
应力应变公式
应力应变公式应力应变公式是描述物体受力后产生形变的数学关系，它是工程力学中的重要概念。
在本文中，我将详细介绍应力应变公式及其在工程实践中的应用。
应力应变公式可以用来描述物体在受到外力作用下的形变情况。
在弹性力学中，应力是指物体受到的单位面积上的力，通常用σ表示。
应变是物体在受到应力作用后发生的形变，通常用ε表示。
应力应变公式则描述了应力和应变之间的关系。
应力应变公式可以表示为σ = Eε，其中E为材料的弹性模量。
这个公式告诉我们，在给定的弹性模量下，应力和应变成正比。
当一个物体受到力的作用时，它会发生形变，形变的大小与受力的大小成正比。
而弹性模量则是材料特性的一个重要参数，它描述了材料在受力后恢复原状的能力。
应力应变公式在工程实践中有广泛的应用。
首先，它可以用来计算材料的应变。
通过测量物体在受力后的形变，可以根据应力应变公式计算出材料的应变。
这对于材料的设计和性能评估非常重要。
其次，应力应变公式可以用来计算材料的应力。
通过测量物体受力后的变形情况，可以根据应力应变公式计算出材料所受的应力，从而判断材料在不同条件下的强度和稳定性。
此外，应力应变公式还可以用来分析材料的变形和破坏机制，为工程师提供设计和改进材料的依据。
然而，需要注意的是，应力应变公式只适用于弹性变形情况。
当材料受到超过其弹性极限的应力时，会发生塑性变形或破坏，此时应力应变关系不再成立。
此外，不同材料的弹性模量不同，因此应力应变公式只适用于特定材料，并且在不同材料之间不能直接比较。
在实际应用中，工程师需要根据具体情况选择合适的材料和适当的应力应变公式。
不同材料的弹性模量和应力应变特性有所差异，因此需要针对具体材料进行实验测量和分析。
此外，应力应变公式只适用于弹性变形情况，对于塑性变形和破坏机制的分析需要使用其他方法和理论。
应力应变公式是工程力学中的重要工具，它描述了物体受力后的形变情况。
通过应力应变公式，工程师可以计算材料的应变和应力，评估材料的性能和稳定性，并为材料的设计和改进提供依据。
orgden超弹本构的方程
orgden超弹本构的方程
超弹本构方程是一种描述材料变形行为的数学模型，用于描述材料的应力和应变之间的关系。
超弹性是一种具有非线性、各向同性和各向异性的材料特性，其本构方程往往基于能量函数的形式来表示。
对于超弹性材料，最常用的本构方程是针对小应变的线性弹性本构方程和针对大应变的非线性本构方程。
在这里，我将介绍一种常用的非线性超弹性本构方程——Hooke-Jeeves本构方程。
Hooke-Jeeves本构方程用于描述各向同性的超弹性材料的应力-应变关系，其数学表示如下：
σ = C : ε + D :ε^2
其中，σ是应力张量，ε是应变张量，C和D分别是材料的线性和非线性弹性刚度张量。
在上述方程中，": "表示张量之间的内积，^2表示张量的二次方。
C和D可以通过实验数据或者数值模拟得到。
需要注意的是，超弹性材料的本构方程可能还涉及到其他参数和项，如体积保持约束等，具体的方程形式可能因具体材料而异。
因此，在具体应用中，需要根据材料的特性和实际需求来选择适当的本构方程。
以上是关于超弹性材料的本构方程的简要介绍，希望对您有所帮助。
材料力学控制方程
材料力学的基本控制方程通常包括平衡方程、本构方程和边界条件。
1. 平衡方程：描述了结构在受力后的静力平衡状态。
对于一个连续体，这些方程可以表述为：
-力的平移平衡：∑F_x = 0, ∑F_y = 0, ∑F_z = 0 （力的三个分量的总和为零）
-弯矩的旋转平衡：∑M_α = 0 （在某一点或某一片段关于任意轴的力矩之和为零）这些平衡方程适用于线性弹性问题，也适用于塑性问题和粘弹性问题。
2. 本构方程：定义了材料的应力-应变关系。
对于线弹性材料，本构方程可以表示为胡克定律：
σ_ij = C_ijkl ε_kl
其中，σ_ij 是应力张量，ε_kl 是应变张量，C_ijkl 是材料弹性常数的第四阶张量。
对于塑性材料，本构方程更加复杂，通常涉及流动函数和硬化模型。
3. 边界条件：描述结构边界上的约束情况。
边界条件分为两类：
- Dirichlet条件：也称为固定条件，指定位移边界条件，例如u_x(边界) = 0。
- Neumann条件：也称为载荷条件，指定力边界条件，例如F_x(边界) = 0。
对于非齐次边界条件，可能需要指定特定的位移分布或载荷分布。
将这些方程结合起来，就可以求解出结构在给定载荷作用下的应力、应变和位移分布。
在实际应用中，还需要考虑初始条件（例如初始应变或初始速度）和材料的损伤、疲劳以及其他复杂因素。
弹性力学-应力和应变
σ x τ xy τ xz σ xx σ xy σ xz τ xy σ y τ yz 或σ xy σ yy σ yz τ z τ yz σ z σ xz σ yz σ zz
写法： 采用张量下标记号的应力写法 写法： 把坐标轴x、 、 分别 把坐标轴 、y、z分别 表示， 用x1、x2、x3表示， 或简记为x 或简记为 j (j=1,2,3),
s j = σ j −σm, ( j = 1,2,3)
应力偏张量也有三个不变量： 应力偏张量也有三个不变量：
(3 −13)
J1 = s1 + s2 + s3 = σ1 +σ2 +σ3 −3σM = 0 1 2 2 2 J2 = −(s1s2 + s2s3 + s3s1) = (s1 + s2 + s3 ) 2 J3 = s1s2s3
3
偏张量的第二不变量 J2 有关。 有关。
四、等效应力 1.定义： 定义： 定义 相等的两个应力状态的力学效应相同， 如果假定 J2相等的两个应力状态的力学效应相同，那么
对一般应力状态可以定义： 对一般应力状态可以定义：
σ ≡ 3J2 =
1 2
(σ1 −σ2 )2 + (σ2 −σ3 )2 + (σ3 −σ1)2
三、等斜面上的应力 等斜面：通过某点做平面 ，该平面的法线与三个应力主轴
夹角相等 坐标轴与三个应力主轴一致， 设在这一点取 x1, x2 , x3 坐标轴与三个应力主轴一致， σ 3 则等斜面法线的三个方向余弦为
l1 = l2 = l3 =1/ 3
(3 − 20)
八面体面： 八面体面：
满足（3-20）式的面共有八个，构成 满足（ 20）式的面共有八个， 一个八面体，如图所示。 一个八面体，如图所示。 等斜面常也被叫做八面体面。 等斜面常也被叫做八面体面。 若八面体面上的应力向量用F 表示，则按（ 若八面体面上的应力向量用F8表示，则按（3-3）式有 1 2 2 2 2 2 2 2 F = (σ1l1) + (σ2l2 ) + (σ3l3) = (σ1 +σ2 +σ3 ) (3− 21) 8 3
第三章 应力-应变及其基本方程
一点的应力状态
z
xx
z
zx zy
xz yz
xy
yx
y y
ij yxx
xy y
xz yz
zx zy z
应力分量的值与坐标系的
选取有关. 3
在空间应力状态下，如适当的选择坐标轴， 使其在该坐标系内的剪应力为零而只剩正应力。 则这样三个相互垂直的坐标轴的方向就是应力 张量的主方向，与主方向垂直的面叫主平面， 该面上存在的正应力叫主应力。三个主应力的 大小与坐标轴的选择无关。
22
应力路径
➢几种加载方式的说明
单调加载和循环加载：
23
应变张量的分解
物体内部 任意一点 的变形状态可以由六 个应变分量来表示：
三个正应变: x , y , z 三个剪应变: xy , yz , zx
24
应变张量的分解
＝
＋
立方体变形
纯体积变形
m ( x y z ) / 3
纯畸变变形
应力张量分解及其不变量
体积变形
剪切变形
应力张量 ij 球应力张量 m 偏应力张量 Sij
ij Sij m ij
m 0 0
0
m
0
mij
0 0 m
m (1 2 3 ) / 3
Sij ij mij Syxx
xy Sy
xz yz
zx zy Sz
平面上法向应变：
3m
平面上剪应变：
2 2 2 J2
应变空间与应变平面
26
各种剪应变
➢ 八面体上正应变：
8
1 3
(1
x
ij
1 2
yx
1
2 xy
1 2
连续介质变形的基本方程
连续介质变形的基本方程在固体力学和流体力学中，连续介质变形是一个重要的研究领域。
连续介质是指在宏观上看起来是连续、均匀的物质。
而连续介质变形是指物质在受到外力作用下，发生了形状、大小、密度等方面的变化。
在研究连续介质变形时，我们通常会使用基本方程来描述其变化规律。
其中，固体力学和流体力学的基本方程略有不同。
以下是这两种基本方程的简要介绍：1. 固体力学的基本方程在固体力学中，连续介质的变形可以用应变张量描述。
应变张量是一个三维矩阵，用于描述物体在不同方向上的变形程度。
而应变张量的变化可以用应力张量描述。
应力张量是一个与应变张量大小相同的矩阵，用于描述物体在不同方向上所受的力的大小。
固体力学的基本方程可以用两个方程式表示：应力张量 = 杨氏模量×应变张量应变张量 = 变形张量×形变张量其中，杨氏模量是一个物质特有的常数，用于描述物体在受到力作用下的变形程度。
变形张量和形变张量分别描述物体在受到力作用下的形状变化和大小变化。
2. 流体力学的基本方程在流体力学中，连续介质的变形可以用速度场描述。
速度场是一个三维函数，用于描述物体在不同位置上的速度大小和方向。
而速度场的变化可以用压力场描述。
压力场是一个与速度场大小相同的函数，用于描述物体在不同位置上所受的压力大小。
流体力学的基本方程可以用两个方程式表示：动量方程：密度×加速度场 = 压力场的梯度场 + 体积力场连续性方程：质量守恒动量方程中，密度和加速度场描述物质的质量和运动状态。
压力场的梯度场和体积力场描述物质在不同位置上所受的力的大小和方向。
连续性方程描述物质在不同位置上的质量守恒。
材料力学公式总结
材料力学公式总结材料力学是研究材料在外力作用下的力学性能和变形规律的学科，它在工程领域中具有重要的应用价值。
在材料力学的研究中，我们常常需要运用一些公式来描述材料的力学性能和变形规律。
下面，我将对材料力学中常用的一些公式进行总结和归纳，以便大家更好地掌握和运用这些公式。
1. 应力和应变的关系公式。
在材料力学中，应力和应变是两个基本的物理量。
它们之间的关系可以用应力-应变关系公式来描述。
一般而言，线弹性材料的应力和应变之间满足线性关系，即应力等于弹性模量乘以应变。
其数学表达式为：σ = Eε。
其中，σ表示应力，E表示弹性模量，ε表示应变。
2. 杨氏模量的计算公式。
杨氏模量是描述材料抗拉伸和压缩能力的重要参数，它可以用来表征材料的硬度和刚度。
对于各向同性材料，杨氏模量的计算公式为：E = (σ/ε)。
其中，E表示杨氏模量，σ表示拉伸或压缩的应力，ε表示相应的应变。
3. 泊松比的计算公式。
泊松比是描述材料在拉伸或压缩时横向收缩或膨胀的程度的物理量，它可以用来表征材料的变形性能。
泊松比的计算公式为：ν = -ε横/ε轴。
其中，ν表示泊松比，ε横表示横向应变，ε轴表示轴向应变。
4. 屈服强度的计算公式。
材料的屈服强度是描述材料开始发生塑性变形的应力值，它可以用来评估材料的抗拉伸能力。
一般而言，材料的屈服强度可以通过材料的拉伸试验来测定，其计算公式为：σy = Fy/A0。
其中，σy表示屈服强度，Fy表示屈服点的拉伸力，A0表示原始横截面积。
5. 断裂韧性的计算公式。
断裂韧性是描述材料抗断裂能力的物理量，它可以用来评估材料的抗破坏能力。
一般而言，材料的断裂韧性可以通过材料的冲击试验来测定，其计算公式为：Kc = Yσ√(πa)。
其中，Kc表示断裂韧性，Y表示材料的弹性模量，σ表示应力，a表示裂纹长度。
以上就是我对材料力学中常用的一些公式进行的总结和归纳。
希望这些公式能够对大家在材料力学的学习和工程实践中有所帮助。
应力分析与应变分析
1 2 y
2 z 2
1 2
2 z
x 2
2 y
x 2
2 z
y 2
2 x
z 2
讨论：
1.物理意义：表示各应变分量之间的相互关系“连续 协调”即变形体在变形过程中不开裂，不堆积； 2.应变协调方程说明：同一平面上的三个应变分量中 有两个确定，则第三个也就能确定；在三维空间内 三个切应变分量如果确 定，则正应变分量也就可以 确定； 3.如果已知位移分量，则按几何方程求得的应变分量 自然满足协调方程；若是按其它方法求得的应变分 量，则必须校验其是否满足连续性条件。
e
2 2(1 )
(
(1 2 )2 (2 3)2 (3 1)2
（ ——泊松比）
对于塑性变形：
e
2( 3
(1 2 )2 (2 3)2 (3 1)2
真实应力和真实应变含义：
tr p(t) A(t)
表示某瞬时的应力值
tr ln(lt l0 )
表示对某瞬时之前的应变的积分
§1.3 应力张量的分解与几何表示
ij
' ij
ij m
(i,j=x,y,z)
其中
m
1 3
(
x
y
z
)
即平均应力，
为柯氏符号。
即
x
.
xy y
xz yz
.x'
xy
' y
xz yz
m
1 0
0 1
0 0
.
. z .
.
' z
0 0 1
' x
x
m,
' y
y
m
' z
cauchy方程和navier-stokes方程
cauchy方程和navier-stokes方程
Cauchy方程和Navier-Stokes方程是描述流体动力学的两个重要方程。
Cauchy方程是描述流体在平衡状态下应力的基本方程，它基于应力和应变之间的关
系。
该方程可以表示为：
σ=λϵ+2μϵ
其中，σ是应力张量，ϵ是应变张量，λ是拉梅常数，μ是动力粘度。
Navier-Stokes方程是描述流体运动的动量守恒方程，它结合了流体的速度、压力、
密度和粘度等物理量。
该方程可以表示为：
ρDtD u=−∇p+∇⋅τ+ρg
其中，ρ是密度，u是速度矢量，p是压力，τ是粘性应力张量，g是重力加速度。
Cauchy方程和Navier-Stokes方程都是偏微分方程，它们描述了流体在不同条件下
的行为。
Cauchy方程关注的是平衡状态下的应力分布，而Navier-Stokes方程关注
的是流体的运动状态和动量守恒。
在实际应用中，这两个方程常常一起使用，以全面描述流体的动力学行为。
应力应变转换公式
应力应变转换公式
应力（Stress）和应变（Strain）是描述物体受力后产生的变形程度
的物理量。
应力是单位面积上的力，应变是物体长度或体积的相对变化。
应力和应变之间的关系可以通过应力-应变曲线来描述。
在弹性范围内，即物体受力后能完全恢复原状的范围内，应力和应变呈线性关系。
在
这种线性关系下，可以使用应力应变转换公式来表示应变和应力之间的关系。
σ=Eε
其中，σ表示应力，E表示弹性模量，ε表示应变。
需要注意的是，弹性模量E是物体特性，是一个常数。
它与物体的材
料有关，不同材料的弹性模量数值不同。
用于弹性模量的单位是帕斯卡（Pa）。
应变可以分为线性应变（拉伸或压缩应变）、切变应变以及体积应变。
对于线性应变，应力应变转换公式为：
ε=σ/E
对于切变应变，应力应变转换公式为：
γ=τ/G
其中，γ表示切变应变，τ表示切变应力，G表示剪切模量。
对于体积应变，应力应变转换公式为：
ε_v=-αΔT
其中，ε_v表示体积应变，α表示热膨胀系数，ΔT表示温度变化。
综上所述，应力应变转换公式描述了应力和应变之间的关系。
它们在
物体受力后的变形及其影响研究中起到了重要的作用，不同类型的应变有
不同的转换公式。
这些公式允许我们根据给定的应力值计算相应的应变值，或者根据给定的应变值计算应力值，从而更好地了解物体在受力下产生的
变形情况。
《流体力学》课件 第二次课 应力张量、应变率张量
1
1 2
2 x3
3 x3
3 x2
1
2 1
2
3 2
1 2
3
2
1 2
1
1
2 1
2
2 1
3
1. 变形速度张量对角线分量的物理意义
r1 xi，r2 yj ，r3 zk
（1）（2）（3）
d r V r V
dt
（1）（4）（, 2）（5）（, 3）（6）
d dt d dt
pnn pnn
pnz pzz pnz pnn
pnn pxx p yy pzz p
解：
n
i
3
j
k
1
i
3
j
k
1 1，3，1
1 32 1 11
11
0 1 2
pn n P
1 11
1，3，11
2
2 0
0 1
1 5，7，3
11
pnn
pn
n
n
P n
1 5，7，31，3，1T
2.2 速度分解定理
2.2.1 流体微团内流体质点速度之间的关系
i
i
0i
i
x j
x j
i x j
1 2
i x j
j xi
1 i 2 x j
j xi
aij
sij
AS
i
i
x j
x j
aijx j
sijx j
式中： aij
1 2
i x j
j xi
— 旋转率张量；sij
x、y、z的应变率
z
d dt
z
w z
z 2
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二阶张量，而标量和矢量分别为零阶和一阶张量。
矢量可以在参考直 角坐标系下分解，以位 移矢量u为例，它可以 表示成位移分量ux、 uy 、 uz与基矢ex、 ey 、 ez的 乘积之和的形式：
x3=z u3(uz) u
e3( k ) u1(ux) e1( i ) o e2( j )
E
2 1
yz
G
yz
2G yz
zx
E
2 1
zx
G zx
2G zx
采用张量，则物理方程可表示：
ij 2Gij kkij
(1-3)
i和j为自由指标，表示轮流取该指标范围内的任何值，关系
式将始终成立，式中σij和εij分别表示9个应力和应变分量：
11
x , 22
y , 33
z
12 xy , 23 yz , 31 zx
ij 的应用与计算示例如下：
(1) ii 11 22 33 3
(2) ij ij 1111 1212 1313 2121 2222 2323 3131 3232 3333 (11)2 (22 )2 (33)2 3
(3) ij jk i1 1k i22k i 3 3k ik (4) aijij a1111 a2222 a3333 aii (5) aiij a11 j a22 j a33 j a j
3
ai2i ai2i a121 a222 a323 j 1
ii
2
3
2
ii
(11 22 33 )2
i1
33
ijij
ijij 11 11 1212 1313
i1 j1
21 21 22 22 23 23 3131 3232 3333
第一章 张量初步及应力、应变基本方程
1.1 张量初步 1.2 一点的应力状态 1.3 最大(最小)剪应力 1.4 应力张量的分解 1.5 八面体应力、等效应力 1.6 应力圆和洛德(Lode)参数 1.7 应力空间 1.8 应力路径 1.9 应变张量的分解 1.10 应变空间与应变π平面 1.11 各种剪切应变间的关系 1.12 应力和应变的基本方程
(1-2)
引入爱因斯坦求和约定： 如果在表达式的某项中，
某指标重复地出现两次，则表示要把该项在该指标的取值
范围内遍历求和，该重复指标称为哑指标，或简称哑标。
用哑标代替求和符号∑，则位移矢量u和点积a·b可表
示成：u=uiei，a·b=aibi。显然，aibi =biai，即矢量点积的 顺序可以交换：a·b= b·a；由于哑标仅表示遍历求和，因
此可以成对地任意换标，例如a·b=aibi=ajbj=akbk。
(3) 对于各向同性的均质弹性体，物理方程可描述为：
x
E
1
1
2
ex
x y z
2G x
y
E
1
1
2
e
y
x y z
2G y
z
E
1
1
2
ey
x y z
2G y
xy
E
2 1
xy
G
xy
2G xy
yz
u2(uy) x2=y
x1=x 图1.1 位移矢量的分解
3
u uxex uyey uzez u1e1 u2e2 u3e3 uiei i 1
(1-1)
指标：对于一组性质相同的n个量可以用相同的名字加不 同的指标来表示，例如位移u的分量可用ui(i=1,2,3)表示， 这里的i就是指标。今后约定，如果不标明取值范围，则拉 丁字母i，j，k，···均表示三维指标，取值1，2，3，例如， 采用ui可以表示u1、 u2和 u3三个数值，这种名字加指标的 记法称为指标符号。
1.1 张量初步
力学中常用的量可以分成几类：只有大小没有方向性 的物理量称为标量，通常用一个字母来表示，例如温度T、 密度ρ、时间t等。既有大小又有方向的物理量称为矢量， 常用黑体字母(或字母上加一箭头)来表示，例如矢径r( )
和rr力F( )等F。r 具有多重方向性的的更为复杂的物理量称为
张量，常用黑体字母或字母下加一横表示，例如一点的应
自由指标和哑标举例：
3
aibi aibi a1b1 a2b2 a3b3 i 1
3
aijbj aijbj ai1b1 ai2b2 ai3b3 j 1
33
aijbicj
aijbic j a11b1c1 a12b1c2 a13b1c3
i1 j1
a21b2c1 a22b2c2 a33b2c3 a31b3c1 a32b3c2 a33b3c3
21 yx , 32 zy ,13 xz
11 x ,22 y ,33 z 12 xy , 23 yz ,31 zx 21 yx ,32 zy ,13 xz
k为哑标， kk 11 22 33 x y z δij为Kronecher符号：δij =1(i=j)， δij =0(i≠j)，根据场论，δij可 以表示两个基矢的点积：δij =ei·ej 注意： aibj 表示9个数，而 aibi则只是一个数。
(6) ijnj ni ijnj ijnj (ij ij )nj
(4) 指标符号同样适用于微分关系。例如，三维空间中线
元长ds和其分量dxi之间的关系：(ds)2= (dx1)2+(dx2)2+(dx3)2
可以写成： (ds)2= dxidxi。再如多变量函数f(x1,x2,x3)的全微
分可写成
df
f xi
dxi
。Leabharlann xxxyy
xz
z
0
xy
x
y
y
yz
z
0
xz
yz
z
0
x y z
对于不计体力的平衡微分方程，
则可表示成： ij 0
x j
(1-4)
更进一步可表示为： ij, j 0 ，这
里下标“ , j ”表示对xj求偏导。
指标符号的正确用法：
(1) 三维空间中任意点的三个直角坐标通常记为x，y和z。 指标符号可缩写成xi ，其中x1= x， x2= y， x3= z。
(2) 矢量a和b的分量可分别记为ai 和bi ，它们的点积为：
3
agb axbx ayby azbz a1b1 a2b2 a3b3 aibi i 1