高一数学《29函数与方程》学案

知识梳理

1、函数零点的定义：对于函数),)((D x x f y ∈=把使_______成立的实数x 叫做))((D x x f y ∈=的零点。

2、几个等价关系：方程0)(=x f 有实根⇔函数)(x f y =的图像与_____有交点⇔函数 )(x f y =有______。

3、函数零点的判定（零点存在性定理）

如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图像是连续不断的一条曲线，并且___________，那么，函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点，即存在),(b a c ∈，使得__________,这个____也就是方程0)(=x f 的根。

4、用二分法求函数)(x f 零点近似值的步骤：

第一步：确定区间],[b a ，验证_______；给定精确度ε；

第二步：求区间),(b a 的中点c ；

第三步：计算_____；（1）若____则c 就是函数的零点；（2）若____，则令c b =（此时零点),(0c a x ∈）；（3）若_____，则令c a =（此时零点),(0b c x ∈）

第四步：判断是否达到精确度ε，若达到ε<-b a ，则取得零点近似值b a 或；否则重复； 基础自测

1、函数2)(-+=x e x f x 的零点所在的一个区间是（ ）

A 、)1,2(--

B 、)0,1(-

C 、)1,0(

D 、)2,1(

2、方程322

=+-x x 的实数解的个数为______

3、函数x x x f sin )(-=的零点个数为______

4、已知函数)1,0()0()(2在区间<++=a a x x x f 上有零点，则a 的取值范围是______

5、关于x 的方程0349

2

2=-⋅-----a x x 有实根的充要条件是（ ） A 、4-≥a B 、04<≤-a C 、0

例1、（1）在下列区间中，函数34)(-+=x e x f x 的零点所在的区间为（ ） A 、)0,41(-

B 、)41,0(

C 、)21,41(

D 、)4

3,21( （2）函数x x x f 21log 2sin 3)(-=π的零点个数是（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5

例2、若⎩⎨⎧<<--≤≥--=2

1,112,1)(2x x x x x x f 或则函数x x f x g -=)()(的零点为______

例3、已知函数)(432).1,0(log )(x f b a a a b x x x f a 时，函数当<<<<≠>-+=的零

点______,),1,(0=∈+∈*n N n n n x 则

规律总结

判断函数)(x f y =在某个区间上是否存在零点，常用以下方法

1、当方程易解时，直接解方程；

2、利用函数零点的存在性定理判断；

3、通过画函数图像，观察图像与x 轴在给定区间上是否有交点来判断；