关于热传导方程

热传导方程式（或称热方程）是一个重要的偏微分方程，它描述一个区域内的温度如何随时间变化。
物理动机
一维热方程图解 (观看动画版)
热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程式表达：
其中：
u =u(t, x, y, z) 表温度，它是时间变量 t 与 空间变量 (x,y,z) 的函数。 /是空间中一点的温度对时间的变化率。 uxx, uyy 与 uzz 温度对三个空间座标轴的二次导数。 k 决定于材料的热传导率、密度与热容。 热方程是傅立叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。
如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定 u 的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。
热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。
热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。
利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式
其中的 Δ 是对空间变量的拉普拉斯算子。
热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与 Ornstein-Uhlenbeck 过程。热方程及其非线性的推广型式也被应用于影像分析。量子力学中的薛定谔方程虽然有类似热方程的数学式（但时间参数为纯虚数），本质却不是扩散问题，解的定性行为也完全不同。
就技术上来说，热方程违背狭义相对论，因为它的解表达了一个扰动可以在瞬间传播至空间各处。扰动在前方光锥外的影响通常可忽略不计，但是若要为热传导推出一个合理的速度，则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。
以傅立叶级数解热方程

在理想状态下一根棍子的热传导，配上均匀的边界条件。
以下解法首先由约瑟夫·傅里叶在他于1822年出版的著作 Théorie analytique de la chaleur（中译：解析热学）给出。先考虑只有一个空间变量的热方程，这可以当作棍子的热传导之模型。方程式如下：
其中 u = u(t, x) 是t 和 x 的双变量函数。
x 是空间变量，所以 x ∈ [0,L]，其中 L 表示棍子长度。 t 是时间变量，所以 t ≥ 0。假设下述初始条件
其中函数 f 是给定的。再配合下述边界条件
0. 让我们试着找一个非恒等于零的解，使之满足边界条件 (3) 并具备以下形式：
这套技术称作分离变量法。现在将 u 代回方程

式 (1)，
由于等式右边只依赖 x，而左边只依赖 t，两边都等于某个常数 ? λ，于是：
以下将证明 (6) 没有 λ ≤ 0 的解：
假设 λ < 0，则存在实数 B、C 使得 从 (3) 得到 于是有 B = 0 = C，这蕴含 u 恒等于零。 假设 λ = 0，则存在实数 B、C 使得 仿上述办法可从等式 (3) 推出 u 恒等于零。 因此必然有 λ > 0，此时存在实数 A、B、C 使得 从等式 (3) 可知 C = 0，因此存在正整数 n 使得 由此得到热方程形如 (4) 的解。
一般而言，满足 (1) 与 (3) 的解相加后仍是满足 (1) 与 (3) 的解。事实上可以证明满足 (1)、(2)、(3) 的解由下述公式给出：
其中

推广求解技巧
上面采用的方法可以推广到许多不同方程。想法是：在适当的函数空间上，算子 可以用它的特征向量表示。这就自然地导向线性自伴算子的谱理论。
考虑线性算子 Δ u = ux x，以下函数序列
（n ≥ 1）是 Δ 的特征向量。诚然：
此外，任何满足边界条件 f(0)=f(L)=0 的 Δ 的特征向量都是某个 en。令 L(0, L) 表 [0, L] 上全体平方可积函数的向量空间。这些函数 en 构成 L(0, L) 的一组正交基底。更明白地说：
最后，序列 {en}n ∈ N 张出 L(0, L) 的一个稠密的线性子空间。这就表明我们实际上已将算子 Δ 对角化。
非均匀不等向介质中的热传导
一般而言，热传导的研究奠基于以下几个原理。首先注意到热流是能量流的一种形式，因此可以谈论单位时间内流进空间中一块区域的热量。
单位时间内流入区域 V 的热量由一个依赖于时间的量 qt(V) 给出。假设 q 有个密度 Q(t,x)，于是 热流是个依赖于时间的向量函数 H(x)，其刻划如下：单位时间内流经一个面积为 dS 而单位法向量为 n 的无穷小曲面元素的热量是 因此单位时间内进入 V 的热流量也由以下的面积分给出
其中 n(x) 是在 x 点的向外单位法向量。
热传导定律说明温度对时间的梯度满足以下线性关系 其中 A(x) 是个 3 × 3 实对称正定矩阵。 利用格林定理可将之前的面积分转成一个体积分
温度在 x 点对时间的改变率与流进无穷小体积元素的热量成比例，此比例常数与时间无关，而可能与空间有关，写作 κ (x)。 将以上所有等式合并，便获得支配热流的一般公式。
注记：
系数 κ(x) 是该材料在 x 点的比热 × 密度。 在等方向性介质的情况，矩阵 A 只是个标量，等于材料的导热率。在非等向的情况， A不一定是标量，我们鲜少能明确写出热方程的解。然而通常可考虑相应的抽象柯西问题，证明它是适定的，并（或）导出若干定性结果（诸如初始值保持正性、无穷传播速度、收敛至平衡态或一些平滑

化性质）。这些论证通常有赖于单参数半群理论：举例来说，如果 A 是个对称矩阵，那么由 定义的椭圆算子是自伴而且耗散的，因此由谱定理导出它生成一个单参数半群。
粒子扩散


粒子扩散方程
在粒子扩散的模性中，我们考虑的方程涉及
在大量粒子集体扩散的情况：粒子的体积浓度，记作 c。 或者
在单一粒子的情况：单一粒子对位置的机率密度函数，记作 P。 不同情况下的方程式：
或者
c 与 P 都是位置与时间的函数。D 是扩散系数，它控制扩散速度，通常以米/秒为单位。
如果扩散系数 D 依赖于浓度 c（或第二种情况下的机率密度 P），则我们得到非线性扩散方程。
单一粒子在粒子扩散方程下的随机轨迹是个布朗运动。
如果一个粒子在时间 t = 0 时置于 ，则相应的机率密度函数具有以下形式：
它与机率密度函数的各分量 Rx, Ry and Rz 的关系是：
随机变量 Rx,Ry,Rz 服从平均数为 0、变异数为 的正态分布。在三维的情形，随机向量 服从平均数为 、变异数为 的正态分布。
在 t=0 时，上述 的表示式带有奇点。对应于粒子处在原点之初始条件，其机率密度函数是在原点的狄拉克δ函数，记为（三维的推广是）；扩散方程对此初始值的解也称作格林函数。

扩散方程的历史源流
粒子扩散方程首先由 Adolf Fick 于1855年导得。

以格林函数解扩散方程
格林函数是扩散方程在粒子位置已知时的解（数学家称之为扩散方程的基本解）。当粒子初始位置在原点 时，相应的格林函数记作（t>0）；根据扩散方程对平移的对称性，对一般的已知初始位置，相应的格林函数是。
对于一般的初始条件，扩散方程的解可以透过积分分解为一族格林函数的叠加。
举例来说，设 t=0 时有一大群粒子，根据浓度分布的初始值 分布于空间中。扩散方程的解将告诉我们浓度分布如何随时间演化。
跟任何（广义）函数一样，浓度分布的初始值可以透过积分表为狄拉克δ函数的叠加：
扩散方程是线性的，因此在之后的任一时刻 t，浓度分布变为：
在粒子扩散的情形，我们可以将狄拉克δ函数对应的初始条件理解为粒子落在一个已知位置。一般而言，任何扩散过程的解都有这种表法，包括热传导或动量的扩散；后者关系到流体的黏性现象。
一维格林函数解列表以下以简写 BC 代表边界条件，IC 代表初始条件。

应用
热方程在许多现象的数学模型中出现，而且常在金融数学中作为期权的模型出现。著名的布莱克-斯科尔斯模型中的差分方程可以转成热方程，并从此导出较简

单的解。许多简单期权的延伸模型没有解析解，因此必须以数值方法计算模型给出的定价。热方程可以用 Crank-Nicolson 法有效地求数值解，此方法也可用于许多无解析解的模型（详见文献 Wilmott，1995）。
热方程在流形上的推广是处理阿蒂亚-辛格指标定理的主要工具之一，由此也导向热方程在黎曼几何中的许多深入应用。







广义热传导
传递是广义的,包括传导,辐射,对流等,传导要借助于固体物,如铁板从这端到那端.

简称抛物型方程，一类重要的偏微分方程。热传导方程是最简单的一种抛物型方程。
　热传导方程　研究热传导过程的一个简单数学模型。根据热量守恒定律和傅里叶热传导实验定律导致热传导方程
[507-01] (1)式中是温度;[kg2]是拉普拉斯算符;是导温系数;[507-00]；[kg2]是热传导系数；[kg2]分别是比热和密度；[507-03]；是外加热源密度自然界还有很多现象同样可以用方程(1)来描述,例如分子在介质中的扩散过程等，因此方程(1)通常亦称为扩散方程。
　定解问题　为了确定一个具体的热传导过程，除了列出方程(1)以外,还必须知道物体的初始温度（初始条件）和在它的边界上所受到的外界的影响(边界条件)。
　初始条件：
[507-04] (2)
　边界条件，最通常的形式有三类。
　第一边界条件（或称狄利克雷条件）：
[507-05] (3)即表面温度为已知函数。
　第二边界条件（或称诺伊曼条件）：
[507-06] (4)式中是的外法向，即通过表面的热量已知。
　第三边界条件（或称罗宾条件）：
[508-01] (5)式中≥0；即物体表面给定热交换条件。
　除了以上三类边界条件外还可以在边界[kg1]上给定其他形式的边界条件，如斜微商条件、混合边界条件等。
　方程(1)连同初始条件(2)以及边界条件(3)、(4)、(5)中的任意一个一起构成了一个定解问题,根据边界条件的不同形式，分别称为第一、二、三边值问题，统称为热传导方程的初边值问题或混合问题。若≡,[kg2]则由方程(1)和初始条件(2)构成的定解问题称为热传导方程的初值问题或柯西问题。
　基本解与格林函数　基本解是点热源的影响函数。如果在=0时刻在(,,)处给定单位点热源,即(,，,0)=(,,)（是狄克函数），则当>0时由它引起的在全空间的温度分布(即热传导方程(1)的解)称为热传导方程的基本解。通过傅里叶变换可以得到它的表达式。当>0时
　[508-02]
[508-03]
　热传导方程初值问题(1)、(2)的解可通过叠加的步骤由基本解生成[508-04]
[508-05]
[508-06]。
　对于一个有界区域,若边界温度为零,在初始时刻在(,,)处给定一个单位点热源(,,,0)=

(，，),当>0时由它引起在内的温度分布（即热传导方程的解）称为热传导方程第一边值问题的格林函数，记作(-,-,-,)。根据格林公式
　[508-07]
[508-08]，式中是的共轭算子，
[508-09]任意第一边值问题(1)(2)、(3)的解都可通过格林函数表为[508-10]
[508-11]
[508-12]；格林函数可以通过基本解来表示：
　[508-13]
[508-14]这里 [508-15]时是一个定义在×[0,∞)上的充分光滑函数。对于一维问题或为立方体等特殊区域，格林函数可以通过分离变量法或镜像法去求得。
　极值原理　一个内部有热源的热传导过程（即在方程(1)中≥0）,它的最低温度一定在边界上或初始时刻达到，这就是所谓的极值原理。事实上，还可以有更强的结论：①如果在=[kg1][kg1]时在内部某一点达到了最低温度，那么在这个时刻以前(即<时)整个物体的温度等于常数，这就是所谓的强极值原理；②如果这个最低温度只在[kg1]=[kg1][kg1]时刻的某一边界点[kg1][kg1]达到，那么在这一点上[508-16](是的外法向)，此即所谓的边界点引理。
　极值原理与边界点引理在热传导方程的研究中有很多应用，它的一个最直接的推论就是导出了热传导方程初边值问题解的惟一性和稳定性。
　至于初值问题(1)(2)的解的惟一性,它与解在无穷远点的性态有关。如果对于初值问题(1)(2),附加上无穷远点增长阶的限制[508-17]，这里，是任意给定正常数,那么由极值原理可以证明初值问题(1)、(2)的解必惟一。
　解的正则性（光滑性）　若≡0，则由初值问题解的表达式可看出,若(,,)有界连续,则初值问题(1)、(2)的解(,,,)当>0时都是无穷次连续可微的,而且关于空间变量，，是解析的，关于时间变量属于谢弗莱二类函数，即在｜｜<内满足
[508-18]当0时,热传导方程解的可微性质与[kg1]的性质有关,例如为了得到热传导方程的古典解，除了需要假定(,，,)连续以外,还要求对，，或对是赫尔德连续的。
　解的渐近性　如果边界上的温度以及热源密度与时间无关(即[508-19])，则热传导过程将趋于稳定状态，也就是当→∞时,不管什么初始条件，物体内部温度总趋于同一个极限（稳定态的温度分布(,,)），它是椭圆边值问题：[508-23][508-24]的解。
　解的半群性质　热传导是一个单向的不可逆过程，热总是由高温流向低温。如果边界温度为零，()表示由初始时刻的温度场映到时刻的温度场的线性解算子，即[508-25]，由于热传导的不可逆性质,因此算子族[508-21]具有半群性质:①(0)=（为恒同算子）;②(+)=()(),≥0；③[508-22]。由泛函分析中的希尔-吉田定理,存在一个相应的无穷小生成子,()=e，使得具有齐次边条件的第一边值问题(1)、(2)、(3)的解具有

明显的表达式　
[509-01]，式中 [509-02]。
　线性和拟线性抛物型方程　设[509-03]。二阶线性偏微分方程
[509-04] (6)在区域内称为是抛物型的，如果存在常数 >0,使得对于任意[kg1][kg1],(,,…,,)[kg1][kg1] 有
[509-05]。如果连续可微，那么(6)可改写为
　[509-06] (7)的形式。(7)称为具有散度形式的抛物型方程，(6)称为非散度形式的抛物型方程。当[509-07]时,[kg1](6)与(7)是有区别的，不能互推。如果方程(6)、(7)中的系数和右端还依赖于，,则(6)和(7)称为拟线性抛物型方程。
　抛物型方程和椭圆型方程的研究有相似的地方，它们互相影响、互为借鉴。椭圆型方程理论很多结果在抛物型方程中都有相应的定理，例如先验估计、极值原理等。
　拟线性蜕化抛物型方程　考虑在绝热过程中气体通过多孔介质的流动，这个过程可由下述方程来刻画：
[509-08]，式中>1，是气体密度，通常研究它的非负解。由于当[kg1]=[kg1]0时方程蜕化，因此它是一个拟线性蜕化抛物型方程。对于这个问题的系统理论研究是从 1957年开始的。解的支集的边界是一条自由边界，通过自由边界[509-111]一般不连续，因此这个方程一般只存在在索伯列夫意义下的广义解,而且由于当=0时方程蜕化为一阶方程，因此与热传导方程不同，扰动的传播速度是有限的。
　反应扩散方程（组）　形如
[509-09]的半线性抛物型方程组叫做反应扩散方程组。除了研究各种定解问题外,由于(8)的解常具有行波解(－)以及当→∞时 (,)趋于椭圆型方程组相应的边值问


一般来说,热传导问题都是要用微分方程求解的,因为热传导的速率正比于温度的二阶导数.
稳定导热是指温度对时间偏导为0的情况,此时各点温度不随时间而变化.
如果温度对两个维度的二阶微分为0,就只剩下一个维度的二阶微分了,这时问题就简化为一维导热了.二热导热依此类推.




热传导-热传导
　热量从系统的一部分传到另一部分或由一个系统传到另一个系统的现象叫热传导。热传导是热传递三种基本方式之一。它是固体中热传递的主要方式，在不流动的液体或气体层中层层传递，在流动情况下往往与对流同时发生。热传导实质是由大量物质的分子热运动互相撞击，而使能量从物体的高温部分传至低温部分，或由高温物体传给低温物体的过程。在固体中，热传导的微观过程是：在温度高的部分，晶体中结点上的微粒振动动能较大。在低温部分，微粒振动动能较小。因微粒的振动互相联系，所以在晶体内部就发生微粒的振动，动能由动能大的部分向动能小的部分传递。在固体中热的传导，就是能量的迁移。在金属物质中，因

存在大量的自由电子，在不停地作无规则的热运动。自由电子在金属晶体中对热的传导起主要作用。在液体中热传导表现为：液体分子在温度高的区域热运动比较强，由于液体分子之间存在着相互作用，热运动的能量将逐渐