最 优 控 制 (8)
自动化仪表控制系统安全管理制度(优8)
自动化仪表控制系统安全管理制度1.目的为加强公司自动化仪表设备及控制系统的管理工作，控制和优化工艺条件，保障仪表设备安全经济运行，依据国家有关法规及相关管理规定，制定本制度。
2.范围本制度适用于公司自动化仪表控制系统的管理。
3、职责3.1自动化管理部是自动化仪表控制系统安全管理主管单位，负责协助编制和修订《自动化仪表控制系统安全管理制度》，负责自动化仪表控制系统的调试、检修。
3.2各单位负责自动化仪表设备和控制系统的维护保养。
3.3生产部负责对自动化仪表设备及控制系统的监督管理。
4.控制系统的日常维护4.1系统点检制度4.1.1仪表设备管理部门应加强对系统的日常维护检查，根据系统的配置情况，制定系统点检标准，并设计相应的点检表格。
4.1.2系统点检应包括以下主要内容：A.主机设备的运行状态。
B.外围设备（包括打印机等）的投用情况和完好状况。
C.各机柜的风扇（包括内部风扇）运转状况。
D.机房、操作室的温度、湿度。
4.1.3点检记录要字迹清楚、书写工整，并定期回收，妥善保管。
4.2系统软件管理4.2.1系统软件和应用软件必须有双备份，控制系统的密码或键锁开关的钥匙要由专人保管，并严格执行规定范围内的操作内容。
软件备份要注明软件名称、修改日期、修改人，并将有关修改设计资料存档。
4.2.2系统软件无特殊情况严禁修改；确需修改时，要严格按照申请、论证手续，主管经理批准后实施。
4.2.3工艺参数、联锁设定值的修改，要办理联锁工作票后方可进行改动。
4.2.4对重大系统改动时，要按软件开发程序进行，即建立命题，制定方案、组态调试、模拟试验、小样试运行、组态鉴定等过程。
通过技术鉴定的软件，要做好文件登记并复制软盘，妥善保存。
4.3 机房管理4.3.1机房是过程控制计算机系统的重要工作场所和核心部位，要认真做好安全工作，非机房工作人员未经批准严禁进入，进入机房人员应按规定着装。
进入机房作业人员必须采取静电释放措施，消除人身所带的静电。
最优控制的计算方法
1、梯度法
3、用UK(t)、XK(t)和横截条件求得的终端值(tf)，从tf 到t0反向积分协态方程，求出协态向量K(tf)。 4、计算哈密顿函数H对U的梯度向量 H K g ( )K U H K ( ) K 表示在 U K 、X K 、 处取值。当这些量非最优值 U 时， g K 0 。
U
（iii）边界条件（包括横截条件） 最优控制的计算方法一般是先求出满足上面三个条件中 某两个的解，然后用合适的迭代计算形式逐次改变这个解， 以达到满足剩下的另一个条件的解（即最优解）。
4
一、直接法
1、梯度法 这是一种直接方法，应用比较广泛。它的特点是：先猜 测任意一个控制函数U(t)，它可能并不满足H 取极小的必要 条件，然后用迭代算法根据H 梯度减小的方向来改善U(t)， 使它最后满足必要条件。 计算步骤如下： 1、先猜测[t0, tf]中的一个控制向量UK(t)=U0(t)，K是迭代 步数，初始时K=0。U0 的决定要凭工程经验，猜得合理，计 算收敛得就快 2、在第K步，以估计值UK和给定的初始条件X(t0)，从t0 到tf 顺向积分状态方程，求出状态向量XK(t)。
(2) 以 X (t 0 ) 为初值，从 t 0 到 t f 积分状态方程，得出状态 轨迹 X K (t )。 (3) 以 (t f )为终值，从 t f 到 t 0 反向积分协态方程，求得 协态轨迹 K (t ) 。 H (4) 计算梯度向量 g K ( ) u u k u
(5) 计算共轭系数
8
1、梯度法
0 1、选初始估计 u (t ) 0 。
2、将 u 0 (t ) 0 代入状态方程可得 dx dt 2 x 1 t c 积分上式可得 x 代入初始条件： x(0) 10 ，确定积分常数 1 c 10 10 0 可得 x(t ) x (t ) 10t 1
最优控制
四、最优控制在控制领域中的应用
模拟退火算法 1983年,Kirkpatrick与其合作者提出了模拟退火(SA)的方法,它是求解单目标 多变量最优化问题的一项Monte-Caula技术。该法是一种物理过程的人工模 拟,它基于液体结晶或金属的退火过程。液体和金属物体在加热至一定温度 后,它们所有的分子、原子在状态空间D中自由运动。随着温度的下降,这些 分子、原子逐渐停留在不同的状态。当温度降到相当低时,这些分子、原子 则重新以一定的结构排列,形成了一个全部由有序排列的原子构成的晶体结 构。模拟退火法已广泛应用于生产调度、神经网络训练、图像处理等方面。
三、最优控制的研究方法
古典变分法:古典变分法是研究泛函求极值的一种数字方法。古典变分法只能用在控制变量的取值范围不受限制的情况。在许多实际控制问题中,控制函数的取值常常 三、最优控制的研究方法
古典变分法:
古典变分法是研究泛函求极值的一种数字方法。古典变分法只能用在控制 变量的取值范围不受限制的情况。在许多实际控制问题中,控制函数的取 值常常受到封闭性的边界限制,如方向舵只能在2个极限值范围内转动,电动 机的力矩只能在正负的最大值范围内产生等。因此,古典变分法的应用范 围十分有限。
二、最优控制问题的一般性描述
实际上，终端约束规定了状态空间的一个时变或非时变的集合，此满足终 端约束的状态集合称为目标集M，并可表示为：
M {x(t f ) | x(t f ) Rn , N1[ x(t f ), t f ] 0, N2[ x(t f ), t f ] 0}
为简单起见，有时将上式称为目标集。
三、最优控制的研究方法
极小值原理:
极小值原理是对分析力学中古典变分法的推广,能用于处理由于外力源的 限制而使系统的输入（即控制）作用有约束的问题。极小值原理的突出 优点是可用于控制变量受限制的情况,能给出问题中最优控制所必须满足 的条件。如高夯、汪更生、楼红卫等人论述了多种类型的抛物型方程和 退化拟线性、半线性椭圆方程的极小值原理。
最优控制——最大值原理
最优控制——最大值原理最优控制问题是数学中的一个重要问题，研究如何在给定约束条件下使一个系统达到最优状态。
在数学的最优控制理论中，最大值原理是一种重要的工具和方法，被广泛应用于很多最优控制问题的求解中。
本文将详细介绍最优控制中的最大值原理及其应用。
最大值原理也称为哈密顿-雅可比-贝尔曼方程(hamilton-jacobi-bellman equation)，它是最优控制问题的一个基本性质。
最大值原理给出了在给定约束条件下系统状态的最优演化方程。
最大值原理的基本形式是哈密顿－雅可比－贝尔曼方程。
对于一个给定的最优控制问题，假设系统的演化满足一个偏微分方程，此方程将由状态变量、控制变量、时间变量以及一个哈密顿函数构成，具体形式如下：∂V/∂t + min(u) {H(x,u,t)+ ∇V⋅f(x,u,t)} = 0其中，V(x,t)是值函数(value function)，表示从状态x在时间t开始时，系统必须选择的最佳控制来最大化性能指标的期望值。
f(x,u,t)是状态方程(state equation)，描述系统状态的演化。
H(x,u,t)是哈密顿函数(Hamiltonian)，是一个将值函数、控制变量和状态方程综合起来的函数，它的作用是描述系统的动力学性质。
最大值原理的关键在于通过逐步迭代的方式求解值函数V(x,t)，找到使系统达到最优状态的最佳控制变量。
这一过程通常称为最优控制问题的动态规划(dynamic programming)。
最大值原理的主要应用涉及很多不同领域，例如经济学、工程学、生物学等。
在经济学中，最大值原理被广泛应用于决策理论、资产定价、宏观经济模型等领域。
在工程学中，最大值原理常用于控制系统设计、路径规划、优化问题等。
在生物学中，最大值原理被用于神经科学、生态学、生物系统动力学建模等。
最大值原理的应用还包括优化问题、最短路径问题、最优控制问题、反问题等。
它不仅可以用于求解连续问题，也可以用于离散问题。
最优控制
限制 条件 控制装置 初始 状态 控制 作用
性能 最好 受控对象 要求 状态
4.最优控制的性能指标 最优控制的性能指标 在状态空间中， 在状态空间中，要使系统的状态由初始状态 x(t 0 ) 转移到 可以用不同的控制规律来实现。 终端状态 x(t f ),可以用不同的控制规律来实现。为了衡量 可以用不同的控制规律来实现 控制系统在每一种控制规律作用下工作的优劣， 控制系统在每一种控制规律作用下工作的优劣，就需 要用一个性能指标来判断。性能指标的内容与形式， 要用一个性能指标来判断。性能指标的内容与形式， 主要取决于最优控制问题所要完成的任务。 主要取决于最优控制问题所要完成的任务。因此不同
最优控制问题的实质， 最优控制问题的实质，就是确定给定条件下给定系统的 控制规律。致使系统在规定的性能指标（目标函数） 控制规律。致使系统在规定的性能指标（目标函数）下具 有最优值。也就是说， 有最优值。也就是说，最优控制就是要寻找容许的控制作 用（规律）。使动态系统（受控对象）从初始状态转移到 规律）。使动态系统（受控对象） ）。使动态系统 某种要求的终端状态，且保证所规定的性能指标（ 某种要求的终端状态，且保证所规定的性能指标（目标函 数）达到最大（小）值。 达到最大（
静态最优化问题。（参数最优化），如果最优化问题的解 静态最优化问题。（参数最优化），如果最优化问题的解 。（参数最优化）， 随时间的变化而变化，即变量是时间的函数， 随时间的变化而变化，即变量是时间的函数，则称为动态 最优化（最优控制）问题。 最优化（最优控制）问题。解决静态最优化问题采用线性 规划和非线性规划方法。 规划和非线性规划方法。而解决动态最优化问题则采用动 态规划法或最大值原理。 态规划法或最大值原理。 例2：理想振荡器的最快停振问题 ： 组成。 理想振荡器的振荡电路由电感 L 和电容 C 组成。假设从 开始， 时刻 t 0 开始，在振荡电路上加上一个外加电势 e(t ) ，要求 该振荡器能最快停止振荡。 该振荡器能最快停止振荡。 解：根据基尔霍夫第二定律则有： 根据基尔霍夫第二定律则有：
最优控制课后习题答案
最优控制课后习题答案最优控制课后习题答案最优控制是现代控制理论中的重要分支，它研究如何在给定约束条件下，使系统的性能指标达到最优。
在最优控制的学习过程中，课后习题是巩固理论知识、培养解决问题能力的重要环节。
本文将为大家提供一些最优控制课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 线性二次型最优控制问题考虑一个线性时不变系统，其状态方程和性能指标分别为：$$\begin{align*}\dot{x}(t) &= Ax(t) + Bu(t) \\J(u) &= \int_{0}^{T} (x^T(t)Qx(t) + u^T(t)Ru(t))dt\end{align*}$$其中，$x(t)$为系统的状态向量，$u(t)$为控制输入向量，$A$和$B$为系统矩阵，$Q$和$R$为正定矩阵，$T$为最优控制的时间段。
求解该问题的最优控制输入$u^*(t)$。
答案：根据最优控制的原理，最优控制输入$u^*(t)$满足以下的最优性条件：$$\begin{align*}\frac{\partial J}{\partial u}(u^*(t)) &= 2R u^*(t) + 2B^T P(t)x(t) = 0 \\\dot{P}(t) &= -PA - A^T P - Q + PBR^{-1}B^T P\end{align*}$$其中，$P(t)$为状态向量的共轭变量矩阵。
通过求解上述的代数方程和微分方程，可以得到最优控制输入$u^*(t)$和状态向量的共轭变量矩阵$P(t)$。
2. 非线性最优控制问题考虑一个非线性系统，其状态方程和性能指标分别为：$$\begin{align*}\dot{x}(t) &= f(x(t), u(t)) \\J(u) &= \int_{0}^{T} g(x(t), u(t)) dt\end{align*}$$其中，$f(x(t), u(t))$为非线性函数，$g(x(t), u(t))$为性能指标函数。
最优控制理论课件
第一章绪论1.1 引言近50年来，科学技术的迅速发展，对许多被控对象如宇宙飞船、导弹、卫星和现代工业设备与生产过程的性能提出了更高的要求，在许多情况下要求系统的某种性能指标为最优。
这就要求人们对控制问题都必须从最优控制的角度进行研究分析和设计。
最优控制理论是现代控制理论的重要组成部分。
其形成与发展奠定了整个现代控制理论的基础。
早在20世纪50年代初九开始了对最短时间控制问题的研究。
随后，由于空间技术的发展，越来越多的学者和工程技术人员投身于这一领域的研究和开发，逐步形成了较为完整的最优控制理论体系。
最优化问题就是根据各种不同的研究对象以及人们预期要达到的目标，寻找一个最优控制规律，或设计出一个最优控制方案或最优控制系统。
最优控制理论研究的主要问题是：根据已建立的被控对象的时域数学模型或频域数学模型，选择一个容许的控制律，使得被控对象按预定要求运行，并使给定的某性能指标达到最优值。
从数学的观点来看，最优控制理论研究的问题是求解一类带有约束条件的泛函取值问题，属于变分学的理论范畴。
然而，经典变分学理论只能解决容许控制属于开机的一类，为适应工程实践的需要，20世纪50年代中期出现了现代变分理论。
在现代变分理论中最常用的两种分法是动态规划和极小值原理。
动态规划时美国学者R.E贝尔曼于1953-1957年为了解决多级决策问题的算法而逐步创立的。
最小值原理时前苏联科学院院士π.C.庞特里亚金与1956年-1958年间逐步创立的。
近年来，由于数字计算机的飞速发展和完善，逐步形成了最优控制理论中的数值计算法，参数优化方法。
当性能指标比较复杂或者不能用变量或函数表示时，可以采用直接搜索法，经过若干次迭代，都所到最优点。
常用的方法有邻近极值法、梯度法、共轭梯度法及单纯形法等。
同时由于可以把计算机作为控制系统的一个组成部分，以实现在线控制，从而使最优控制理论的工程实现成为现实。
因此，最优控制理论提出的求解方法，既是一种数学方法，又是一种计算机算法。
最优控制介绍课件
状态方程可以表 示为微分方程或 差分方程的形式
03
02
04
状态方程通常包 括系统的状态变 量、输入变量和 输出变量
状态方程在最优 控制问题中用于 描述系统的动态 特性，为控制器 的设计提供依据
控制方程
状态方程： 描述系统 状态的变 化规律
控制方程： 描述控制 输入与系 统状态的 关系
性能指标 方程：描 述系统的 性能指标
02
状态转移方程： 描述状态之间的
递推关系
03
边界条件：定义 初始状态和终止
状态
04
求解过程：从初 始状态开始，逐 步求解子问题， 直至得到最优解
最优控制理论
01
最优控制理论是研究如何找到最优控制策
略，使得系统在特定条件下达到最优性能。
02
最优控制理论包括动态规划、极大值原
理、变分法等方法。
03
最优控制理论广泛应用于工程、经济、
04
间接法：通过求解最优控制问 题的辅助问题来获得最优控制 策略
06
数值解法优缺点：优点是计算 简单、易于实现；缺点是计算 精度较低、收敛速度较慢
机器人控制
1
机器人运动控 制：通过最优 控制算法，实 现机器人的精 确运动控制
2
机器人路径规 划：通过最优 控制算法，规 划机器人的最 优路径
3
机器人抓取控 制：通过最优 控制算法，实 现机器人的精 确抓取控制
交通控制
STEP1
STEP2
STEP3
STEP4
交通信号灯控制： 根据实时交通状况， 自动调整信号灯时 间，提高道路通行 效率
公共交通调度：根 据客流量、车辆位 置等信息，优化公 交线路和发车频率， 降低乘客等待时间
最优控制ppt课件
精品课件
定理(变分预备定理)：设 ( t )
是时间区间
[t0, t1]上连续的n维向量( t函) 数，
的连续n维向量函数(t，0)且(t1)0
有
t1
T
(t)(t)dt
，若
0
t0
是任意
则必有
(t)0,t[t0,t1]
精品课件
4.1.2 欧拉方程
LX,XrX,X
这里，LX,X 是X 的线性泛函，rX,X 是关于 X
的 高阶无穷小，则
JLX,X
称为泛函J[x]的变分。 可知泛函变分就是泛函增量 的线性主部。
精品课件
当一个泛函具有变分时，也称该泛函可微。和函 数的微分一样，泛函的变分可以利用求导的方 法来确定。
定理 设J[x]是线性赋范空间Rn上的连续泛函
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精品课件
在动态系统最优控制问题中，性能指标是 一个泛函，性能指标最优即泛函达到极值。解决泛 函极值问题的有力工具是变分法。所以下面就来列 出变分法中的一些主要结果，大部分不加证明，但 读者可对照微分学中的结果来理解。
精品课件
4.1.1 泛函与变分
先来给出下面的一些定义。
1、泛函： 如果对某一类函数X(t)中的每一个函
(1) (L1 L2 ) L1 L2
(2) ( L1L2 ) L2 L1 L1 L2
b
b
(3) a L[ x, x, t]dt a L[ x, x, t]dt
(4) dx d x
dt dt 精品课件
举例：
可见，计算泛函的变分如同计算函数的微分一样。
精品课件
6、泛函的极值：若存在 0 ，对满足的 X X* 一切X，J(X)J(X*)具有同一符号，则
最优控制理论
5
电气与自动化工程学院
School of Electrical Engineering and Automation
二、最优控制的发展简史 第二次世界大战以后发展起来的自动调节原理，对设计与分析单输 入单输出的线性定常系统是有效的；然而近代航空及空间技术的发展对 控制精度提出了很高的耍求，并且被控制的对象是多输入多输出的，参 数是时变的。面临这些新的情况．建立在传递函数基础上的自动调节原 理就日益显出它的局限性来。这种局限性首先表现在对于时变系统，传 递函数根本无法定义，对多输入多输出系统从传递函数概念得出的工程 结论往往难于应用。由于工程技术的需要，以状态空间概念为基础的最 优控制理论渐渐发展起来。最优控制理论是现代控制理论的核心， 20世 纪50年代发展起来的，已形成系统的理论。
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三、研究最优控制的方法 从数学方面看，最优控制问题就是求解一类带有约束条件的泛函极值 问题，因此这是一个变分学的问题：然而变分理论只是解决容许控制属 于开集的一类最优控制问题，而在工程实践中还常遇到容许控制属于闭 集的一类最优控制问题，这就要求人们研究新方法。
1.3 最优控制问题的提法
f ( x,u, t ) 系统状态方程为 x
问题6-2 对于问题6-1中的直流他励电动机，如果电动机从初始 ) I D (t )是 时刻 t0 0 的静止状态转过一个角度 又停下，求控制 I D (t（ 受到限制的），使得所需时间最短。 这也是一个最优控制问题：
系统方程为
0 1 0 1 x1 0 x K m I D 1 TF x J 2 0 0 x2 D JD x1 (0) 0 x1 (t f ) 初始状态 x ( 0) 0 末值状态 2 x (t ) 0
最优控制
(3)
j [ x ( t 0 )] 0
j 1, 2, ..., m m ≤ r
相应的始端集为 Ω 0 { x ( t 0 ) | j [ x ( t 0 )] 0} 此时，
x (t0 ) Ω 0
称之为可变始端。
四、明确终端条件 固定终端： 终端时刻 tf 给定，终端状态 自由终端： 终端时刻 tf 给定，终端状态
最优控制 26
§6-3 静态最优化问题的解 (10)
⑵ 拉格朗日乘子法（增元法） 约束条件 × 新的可调整函数 乘子λ ＋ 目标函数
H J g r , l
没有约束条件的三元函数 取得极值的条件：
H l 0 H r 0 H 0
最优控制 27
§6-4 离散时间系统的最优控制 (1)
2
...
2
fu
u
2 2
... ... ...
... f
2
u nu 2
u1 u n 2 f u 2 u n 2 f 2 u n f
2
最优控制 21
§6-3 静态最优化问题的解 (5)
例题6-1 设：
f ( x ) 2 x1 5 x 2 x 3 2 x 2 x 3 2 x 3 x1 6 x 2 3
最优控制 9
§6-1 概述
五、静态优化和动态优化
(6)
1. 静态优化：若变量 x 与时间无关，为静态优化。
2. 动态优化：在最优控制系统中，受控对象是一个动态 系统，所有的变量都是时间的函数，为动 态优化。
3. 静态优化和动态优化的关系 在动态优化中，将时域 [t0，tf] 分成许多有限区段，在 每一个区段中将变量近似看作常量，则动态优化问题 可近似按分段静态优化问题来处理； —— 离散时间优化问题！
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u t R p 为 控 制 向 量 ， 且 u t 在 t 0 , t f 上 分 段 连 续 ；
f R n 为 连 续 向 量 函 数 ， x t 连 续 可 微
2.初态和终态： xt0，xtf S目标集
3.容许控制 ： ut — 控 制 域
§6-2 最优控制中的变分法
现
代 泛函变分的求法
控
制 理 论
定理： J x 的变 J J 分 x x | 0， (0 1 )
性质：1 .F 1 F 2 F 1 F 2
2 .F 1 F 2 F 1 F 2 F 2 F 1
理 论
L x t,x r x t,x
其L 中 xt,x— J的线性函数
rxt,x— J的高阶无穷小
则L 称 xt,x为泛 Jxt函 的一阶变 J 分
泛函变分是泛函增量的线性主部
Modern Control Theory
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2 1 2a1ta2
ua1ta2
这里 a1、a2 为常数
由 x2 udt 得： x2t1 2a1t2a2ta3
Modern Control Theory
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§ 6-4 有约束条件下的泛函数极值问题
现
代 控
由 x1 x2dt 得：x 1 t 1 6 a 1 t3 1 2 a 2 t2 a 3 t a 4
现
代 控
当 t0 和 tf给 定 时 ， x t0 和 x tf 是 否 定 还 是 自 由 ， 可 分 四 种
制 情 况 ：
理 论 (1) 固定始端和终端
x(t)
即 x t 0 和 x t f 给 定 x t 0 0 ,x t f 0
最优控制
称为泛函J[x]的变分。 可知泛函变分就是泛函增量 的线性主部。
当一个泛函具有变分时，也称该泛函可微。和函 数的微分一样，泛函的变分可以利用求导的方 法来确定。 定理 设J[x]是线性赋范空间Rn上的连续泛函， 若在x= x0处J[x]可微，则J[x]的变分为
J [ x0 , x] J [ x0 x]
(t ) Rn 是待定拉格朗日乘子。 为拉格朗日函数，
4.1.3 横截条件
(1)
末端时刻固定时的横截条件
F ( ) t t f x(t f ) 0 x
当tf 固定时，在x(t0)=x0 固定时，横截条件为
x(t0)=x0
如果末端状态也固定x(tf)=xf 时，边界条件退化为x(t0)=x0， x(tf)= xf ；当末端状态自由时，横截条件为
4、自变量函数的变分： 自变量函数 X (t )的变分 X X 是指同属于函数类X (t )中两个函数X 1 (t ) 、 2 (t ) 之差
X X 1 (t ) X 2 (t )
这里, t 看作为参数。当 X (t ) 为一维函数时，X 可用图4-1来表示。
图4-1 自变量函数的变分
x(t ) x * (t ) x(t )
于是泛函J 的增量 J 可计算如下（以下将*号省去）
J
tf t0
tf t0
F x x, x x, t F x, x, t dt
F F x x o ( x)2 ,( x)2 dt x x
H ( x, u, , t ) L( x, u, t ) T (t ) f ( x, u, t )
（15）
它称为哈密顿（Hamilton）函数，在最优控制中 起着重要的作用。
最优控制(动态求解)
06
最优控制在现实生活中的应 用
经济问题
投资组合优化
通过最优控制理论，投资者可以 确定最佳的投资组合策略，以最 大化收益或最小化风险。
生产调度
在生产过程中，企业可以使用最 优控制理论来优化生产调度，以 提高生产效率并降低成本。
商业决策
商业决策者可以使用最优控制理 论来制定最佳的商业策略，例如 定价、库存管理和营销策略。
内点法
内点法是一种基于梯度下降的求解方法，通过迭代逼近最优解，适用 于大规模的优化问题。
最优控制的线性规划问题
最优控制问题可以转化为线性规划问 题，通过建立状态方程、目标函数和 约束条件，利用线性规划求解方法找 到最优控制策略。
在实际应用中，最优控制的线性规划 问题广泛应用于生产调度、物流优化、 金融投资等领域。
03
其中，V(x)表示状态x的价值函数，R(x,a)表示在状态x采取 行动a的即时奖励，p(x′∣x,a)表示从状态x采取行动a转移到 状态x′的概率。
递归求解方法
01
02
03
递归求解方法是动态规划的常用求解 方法，通过递归地求解子问题来得到 原问题的最优解。
递归求解方法的基本步骤是：将原问 题分解为若干个子问题，分别求解每 个子问题的最优解，然后利用子问题 的最优解来求解原问题的最优解。
03
状态方程的解可以给出系统在 任意时刻的状态，是进行最优 控制的基础。
性能指标函数
01
性能指标函数用于衡量控制策略的效果，通常表示为系统状态 和控制输入的函数。
02
性能指标函数的目标是最小化或最大化，例如控制能量、时间、
误差等。
性能指标函数的选取应根据具体问题的需求来确定，不同的性
03
最优控制全部PPT课件
给定一个线性系统，其平衡状态X(0)=0，设计的目的是保持系统处于平衡状态，即 这个系统应能从任何初始状态返回平衡状态。这种系统称为线性调节器。
线性调节器的性能指标为：
J
tf t0
n
xi 2 (t)dt
i 1
加权后的性能指标为：
J
tf t0
n
qi xi 2 (t)dt
i1
对u(t)有约束的性能指标为： J t f 1 [ X T (t)QX (t) uT (t)Ru(t)]dt
上述由控制约束所规定的点集称为控制域U，凡在t0-tf上有定义，且在控制域U 内取值的每一个控制函数u(t)均称为容许控制。
4：性能指标
通常情况下，最优控制问题的性能指标形如：
J
（x(t f ),t f）
tf t0
F（x(t),u(t),t)dt
其中第一项是接近目标集程度，即末态控制精度的度量，称为末值型性能指标。
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从工程实际考虑，约束条件为 0 F(t) maxF(t)
如果我们既要求拦截过程的时间尽量短，又要求燃料消耗尽量少，则可取性能指标：
J
tf t0
[c1
F (t )]d t
为最小
综上所述，所谓最优防天拦截问题，即选择满足约束条件的控制F(t),驱使系统从初始 状态出发的解，在某个时刻满足终端条件，且使性能指标为极值（极小值）。
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5：线性跟踪器
若要求状态X(t)跟踪或尽可能接近目标轨迹Xd(t),则这种系统称为状态跟踪器，其相 应的性能指标为：
J
tf t0
1 [ X (t) 2
Xd
(t )] T
Q[ X (t)
最优控制理论PPT课件
生产计划与调度
在企业生产管理中，利用 最优控制理论对生产计划 和调度进行优化，提高生 产效率和降低成本。
08
总结与展望
最优控制理论的重要性和应用前景
总结
最优控制理论是现代控制理论的重要组成部分，它在解决复杂系统的优化和控制问题方面 具有显著的优势。该理论通过数学模型和算法，寻求在给定条件下实现系统性能最优化的 控制策略。
非线性最优控制理论
20世纪70年代，基于微分几何、非 线性分析和最优控制问题的研究。
智能优化算法与最优控制
20世纪80年代，考虑系统不确定性 ，引入概率论和随机过程理论。
03
最优控制问题的数学模型
状态方程与性能指标
状态方程
描述系统动态行为的数学方程，通常表示为状态变量对时间 的导数等于其函数。
性能指标
态。这种控制策略的关键在于如何根据当前状态信息快速、准确地计算出最优控制输入。
离散系统的最优输出反馈控制
总结词
离散系统的最优输出反馈控制是一种基 于系统输出的反馈控制策略，通过最优 控制算法计算出在当前输出下的最优控 制输入，使得系统状态在有限时间内达 到预期目标。
VS
详细描述
离散系统的最优输出反馈控制是一种有效 的最优控制策略，它根据系统的输出信息 ，通过最优控制算法计算出在当前输出下 的最优控制输入，使得系统状态在有限的 时间步内以最优的方式达到目标状态。这 种控制策略的关键在于如何根据输出信息 快速、准确地计算出最优控制输入。
控制问题分类
确定性和不确定性控制、线性与 非线性控制、连续和离散控制等 。
重要性及应用领域
重要性
在实际工程和科学问题中，许多问题 都需要通过最优控制理论来解决，如 航天器轨道控制、机器人运动控制、 电力系统优化等。
第8章 最优控制设计方法
第8章 最优控制设计方法线性二次型最优控制设计方法是20世纪60年代发展起来的一种应用较多的最优控制系统设计方法。
设计对象是以状态空间形式给出的线性系统，而目标函数为对象状态和控制输入的二次型函数。
二次型问题就是在线性系统的约束条件下，选择控制输入使得二次型目标函数达到最小值。
二次型公式的优点是它们可以导出易于实现和分析的线性控制率，因此本章主要对二次型最优控制设计问题作为重点讨论的问题。
本章首先讨论连续系统的二次型最优控制设计问题，接着讨论离散系统的二次型最优控制设计问题，包括有限阶和无限阶（稳态）问题，然后讨论最少燃料控制设计问题。
最优观测器设计，即Kalman—Bucy 滤波器也将在本章讨论。
最后，讨论二次型高斯问题。
8.1连续系统的二次型最优控制设线性定常系统的状态方程为)()()(t Bu t Ax t x += （8—1）式中，)(t x 为n 维状态矢量；)(t u 为r 维控制矢量；A 为n n ×维常数矩阵；B 为r n ×维常数矩阵。
假设控制矢量不受任何约束。
二次型性能指标为∫=ft dt u x L J 0),( （8—2）式中，),(u x L 为x 和u 的二次型函数。
若终端时间f t 趋于∞，则系统属于无限长时间状态调节器问题，可以证明，由此导出线性控制率为)()(t Kx t u −= （8—3） 式中，K 为n r ×维矩阵。
因此基于二次型性能指标的最优控制系统设计，就简化为矩阵K 中元素的求取。
具体二次型性能指标如下：∫∞+=0)(dt u R u x Q x J TT （8—4） 式中，Q 为n n ×维半正定实对称常数矩阵；R 为r r ×维半正定实对称常数矩阵。
Q 和R 决定了系统误差与控制能量消耗之间的相对重要性最优控制的目标就是求取)(t u ，使性能指标J 达到最小值。
8.1.1连续系统二次型调节器问题的求解求解这类问题的方法有很多种，这里仅介绍基于Lyapunov 第二方法的求解方法。
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text(0.7,1.3,′x2′) text(0.35,3.2,′x3′) 运行结果 K= • 100.0000 53.1200 11.6711 • 设计的闭环系统状态方程为
• 输出方程为
• 闭环系统在MATLAB中的表示方式
• 所设计的控制系统单位阶跃响应见图 8.2 ， 系统状态单位阶跃响应见图8.3。
图8.1 例8.3控制系统结构框图
• 解 为了得到快速响应，q11，q22，q33和R相 比必须充分大，选择 • 应用MATLAB求解的程序如下 • % MATLAB PROGRAM FOR EXAMPLE 8.3 • % Design of LQR system • A=[0 1 0;0 0 1;0 -2 -3]; B=[0;0;1];
• 因此可以求得最优反馈增益矩阵K为
• 最优控制u(t)为
• 式(8.19)中的矩阵P必须满足式(8.10)或者满 足下列方程：
• 式(8.20)称为代数黎卡提(Riccati)方程。
• 8.1.2 连续系统二次型调节器问题的拓展 • (1)带有交叉乘积项 • 当非线性系统线性化，或将一个非线性目 标函数用一个二次型函数近似时，目标函 数经常会出现如下状态变量和输入控制交 叉的形式。
第8章 最优控制设计方法
• 8.1 连续系统的二次型最优控制 • 设线性定常系统的状态方程为
• 式中 x(t)——n维状态矢量； • u(t)——r维控制矢量； • A——n×n维常数矩阵； • B——n×r维常数矩阵。
• 假设控制矢量不受任何约束。二次型性能 指标为
• 式中 L(x，u)——x和u的二次型函数。 • 若终端时间 tf 趋于 ∞ ，则系统属于无限长时 间状态调节器问题，可以证明，由此导出 线性控制率为
• 其中， K 为最优反馈矩阵； P 为对应黎卡提 方程的惟一正定解(若矩阵A-BL是稳定的， 则总有 P 的正定解存在 ) ； E 为 A-BK 的特征 值；其中的N为可选项，其代表交叉乘积项 的加权矩阵。lqry命令用于求解二次型调节 器的特例，即目标函数中用输出 y来代替状 态x，此时的目标函数为
• • • • • • • •
xlabel(′Time/s′); ylabel(′output y=x1′); figure(2); plot(T,X),grid; title(′状态变量响应曲线′); xlabel(′Time/s′); ylabel(′x1,x2,x3′); text(1.6,1.3,′x1′)
图8.2 例8.3闭环系统单位阶跃响应曲线
图8.3 例8.3系统状态x1，x2，x3单位阶跃响应曲线
• 8.2 离散系统的二次型最优控制 • 8.2.1 离散系统二次型问题模型 • 设线性离散系统的状态方程为
• 式中 x(k)——n维状态矢量； • u(k)——r维控制矢量； • A——n×n维非奇异矩阵； • B——n×r维矩阵。
• 命令 are 则可用来求解由下式给出的一般形 式的代数黎卡提方程 • 命令格式为 • 该命令返回对应黎卡提方程的正定解。这 个正定解存在的条件为：B是半正定对称矩 阵，C是对称矩阵。
• 例8.3 给定系统如下
• 性能指标为
• 式中
• 假定系统控制信号由下式给出
• 其结构图如图8.1所示。在决定控制率时， 设输入信号r=0，试用MATLAB求反馈增益 矩阵K=[k1 k2 k3]。
• • • • • • • •
Q=[100 0 0;0 1 0;0 0 1] ; R=0.01; K=lqr(A,B,Q,R) k1=K(1);k2=K(2);k3=K(3); AA=A-B*K;BB=B*k1;CC=\[1 0 0\];DD=0; SYS=SS(AA,BB,CC,DD); [Y,T,X]=step(SYS); plot(T,Y),grid; title(′LQR系统单位阶跃响应′);
• 式中 K——r×n维矩阵。 • 因此基于二次型性能指标的最优控制系统 设计，就简化为矩阵K中元素的求取。 • 具体二次型性能指标如下：
• 式中 Q——n×n维半正定实对称常数矩阵; • R——r×r 维半正定实对称控制能量消耗之 间的相对重要性，最优控制的目标就是求 取u(t)，使性能指标J达到最小值。 • 8.1.1 连续系统二次型调节器问题的求解 • 将式(8.3)代入式(8.1)中，可得
• 由此可求出J为
• 由于假设矩阵A-BK是稳定的，因此x(∞)→ 0，这样得到
• 即J可由初始条件x(0)和矩阵P得到。
• 由于R为正定实对称矩阵，因此可将R写成 • 式中，S为一非奇异矩阵，式(8.10)可改写 成 • 整理可得
• J对K取极值就要求下式对K取极小值
• 由于式(8.16)为非负，其最小值为零，即有
• 如果考虑进入系统的功率时，或在目标函 数中包含yTy项(y=Cx+Du)时，目标函数也 会呈现式(8.21)的形式。 • 对于这种目标函数，修正后的黎卡提方程 为
• 最优控制为
• (2)带有预制稳定度的调节器 • 修正的目标函数为
• 对应的黎卡提方程为
• 8.1.3 MATLAB实现方法 • 应用MATLAB中的lqr和lqry命令可以直接求 解二次型调节器问题，以及相关的黎卡提 方程。这两个命令的格式为
• 假设系统状态完全可控，系统性能指标为
• 式中 Q——n×n维正定或半正定实对称矩阵； • R——r×r维正定实对称矩阵； • S——n×n维正定或半正定实对称矩阵。 • Q ， R ， S 为加权矩阵，反映了设计者对状态矢量 x(k)、控制矢量u(k)、终端矢量的关心程度。
• 如无特殊说明，在下面的推导中设矩阵 ABK是稳定的，即A-BK的特征值均具有负实 部。 • 将式(8.3)代入式(8.4)中，可得
• 对任意x都有
• 式中，P为正定实对称矩阵，可进一步推得
• 将式(8.5)代入式(8.8)中，可得 • 由 Lyapunov 第二方法可知，对于给定的正 定矩阵 Q+KTRK ，如果 A-BK 是稳定的，则 存在正定矩阵P，使得