有限元基础
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目录
一、 有限元简介
1.概况
2.有限元方法历史
3.有限元分析的作用 二、 有限元分析过程概要 1.有限元分析的目的和概念 2.一维阶梯杆结构问题的求解
3.有限元分析的基本流程
4.有限元分析的特点
1
1.1概况
• 有限元方法(finite element method)或有限元分析 (finite element analysis)是求取复杂微分方程近似解 的一种非常有效的工具，是现代数字化科技 的一种重要基础性原理。严格来说，有限元分 析必须包含三个方面：(1)有限元方法的基本数 学力学原理，(2)基于原理所形成的实用软件， (3)使用时的计算机硬件。
12
• 如何卸载？需要进行非常详细的数值化分析， 以确定出最佳的卸载方案。2006年9月17日成功 地完成了整体钢结构施工的最后卸载。（图1）
13
图2 列车车厢整体结构的有限元模型
14
图3空客A350后机身第19框的设计与有限元分析过程
15
图4人体肩部区域的骨胳有限元分析模型及计算结果
16
二、有限元分析过程的概要
7
• 国际上著名的主要有限元分析软件状况见表 1-1。有关有限元分析的学术论文，每年也不计 其数，学术活动非常活跃，表1-2 列出的是刊 登有限元分析论文的常见学术期刊。
8
9
10
1.3有限元分析的作用
• 据有关资料，一个新产品的问题有60％以上可 以在设计阶段消除，甚至有的结构的施工过 程也需要进行精细的设计，要做到这一点，就 需要类似有限元分析这样的分析手段。 • 下面举出几个涉及土木工程、车辆工程、航空 工程以及生物工程的实例。
例1D三连杆结构的有限元分析过程
• 采用杆单元的方法，求解如图所示结构的所 有力学参量。相关的材料参量和尺寸为：
• ：所谓基于单元的分析方法，就是将原整体结 构按几何形状的变化性质划分节点并进行编 号，然后将其分解为一个个小的构件（即：单 元），基于节点位移，建立每一个单元的节点 平衡关系（叫做单元刚度方程），对于杆单元 来说就是式 下 下 一步就 • 是将各个单元进行组合和集成，以得到该结 构的整体平衡方程。
• 本章先通过一个简单的实例，采用直接的推 导方法，逐步展示有限元分析的基本流程，从 中可以了解有限元方法的思路形成过程，以 及如何由具体的求解步骤归纳出一种通用的 标准求解方法。
17
2.1有限元分析的目的和概念
• 任何具有一定使用功能的构件(称为变形体 (deformed body))都是由满足要求的材料所制造的， 在设计阶段，就需要对该构件在可能的外力 作用下的内部状态进行分析，以便核对所使 用材料是否安全可靠，以避免造成重大安全 事故。描述可承力构件的力学信息一般有三 类：
go
• 将两个杆件进行分解，并标出每一个关联节 点处的受力状况，由于在C点处受有外力F，则
• 由杆件②的平衡关系可知，有
• •
由于IB1和IB2是一对内力所以
杆件①的应力为：
• 杆件②的应力σ2为：
• 由于材料是弹性的，由虎克定律 (Hooke law)有
• 其中ε1和ε2为杆件①和②的应变，则有
2
• 随着现代计算机技术的发展，一般的个人计 算机就能满足第(3)方面的要求；因此，本课程 的重点将在以上的第(1)和第(2)方面，将通过一 些典型的实例来深入浅出地系统阐述有限元 分析的基本原理，并强调原理的工程背景和 物理概念通过ANSYS分析平台来展示具体应用 有限元方法的建模过程。
3
1.2有限元方法的历史
• 有限元方法的思想最早可以追溯到古人的 “化整为零”、“化圆为直”的作法，如“曹冲称 象”的典故，我国古代数学家刘徽采用割圆法 来对圆周长进行计算；这些实际上都体现了 离散逼近的思想，即采用大量的简单小物体 来“冲填”出复杂的大物体。
4
• 1870年，英国科学家Rayleigh就采用假想的“试函 数”来求解复杂的微分方程，1909年Ritz将其发 展成为完善的数值近似方法，为现代有限元 方法打下坚实基础。 • 1960年Clough在处理平面弹性问题，第一次提出 并使用“有限元方法”(finite element method)的名称 • 6]；1955年德国的Argyris出版了第一本关于
20
• 设计参数进行修改，以得到较优化的设计方 案；然后，再次进行方案修改后的有限元分析， 以进行最后的力学评判和校核，确定出最后 的设计方案。 • 有限元方法是基于“离散逼近(discretized approximation)”的基本策略，可以采用较多数量 的简单函数的组合来“近似”代替非常复杂的 原函数。
例2.2 1D阶梯杆结构的节点位移求解及平衡关系
• 所处理的对象上例相同，要求分别针对每个 连接节点，基于节点的位移来构建相应的平 衡关系，然后再进行求解。 • 解：分离受力
• 首先分析图2-6(c)中杆①内部的受力及变形状 况，它的绝对伸长量为，则相应伸长量为 • （uB-uA)则相应的伸长量ε1为:
• 由应变的定义可知，它为杆件的相对伸长量， 即ε=ΔL/L，因此，ΔL=ε.L⋅，具体对杆件①和②， 有
• 由于左端A为固定，则该点沿x方向的位移为 零，记为uA=0，而B点的位移则为杆件①的伸 长量ΔL1，即
back
• C点的位移为杆件①和②的总伸长量，即
• 则归纳以上结果完整的解答为
• 讨论：1.以上完全按照材料力学的方法，将对象进行 分解来获得问题的解答，它所求解的基本力学变量 是力（或应力），由于以上问题非常简单，而且是静 定问题，所以可以直接求出，但对于静不定问题，则 需要变形协调方程(compatibility equation)，才能求 解出应力变量，在构建问题的变形协调方程时，则 需要一定的技巧；2.若采用位移作为首先求解的基 本变量，则可以使问题的求解变得更规范一些，下 面就基于A、B、C三个点的位移来进行以上问题的 求解。
可以将杆单元表达为如图所示的标准形式
将单元节点的位移写成
将单元节点外力写成
因此该单元节点内力为
它将与单元的节点外力pe相平衡，则有
因此，该方程可以写成
进一步表达成
其中
Ke 叫做单元K11的刚度 矩阵，K11、 K12、 K21、 K22叫做刚度矩 阵中的刚度系数
2.3有限元分析的基本流程
• 下面以一个1D三连杆结构为例，展现有限元 分析的全部过程
18
• (1) 构件中因承载在任意位置上所引起的移动 (称为位移(displacement))； • (2) 构件中因承载在任意位置上所引起的变形 状态(称为应变(strain))； • (3) 构件中因承载在任意位置上所引起的受力 状态(称为应力(stress))；
19
• 有限元分析的目的：针对具有任意复杂几何 形状变形体，完整获取在复杂外力作用下它 内部的准确力学信息，即求取该变形体的三 类力学信息(位移、应变、应力)。 • 在准确进行力学分析的基础上，设计师就可 以对所设计对象进行强度(strength)、刚度(stiffness) 等方面的评判，以便对不合理的
• 综合分段函数描述的优势和问题，只要采用功能完善的软件 以及能够进行高速处理的计算机，就可以完全发挥“化繁为 简”策略的优势，有限元分析的概念就在于此。
一维阶梯杆结构问题的求解
例题2 1D阶梯杆结构问题的材料力学求解
• 如上图所示为一个阶梯杆结构，已知相应的 弹性模量和结构尺寸为： • E1=E2=2×107Pa，A1=2A2=2cm2,l1=l2=10cm， F=10N。用材料力学的方法求解。 • 解：首先对右端的杆件②进行力学分析，见 图
22
典型例题1 一个一维函数的两种展开方式的比较
• 设有一个一维函数f （x)，x∈[x ，xl]分析它的展 开与逼近形式。
0
• 首先考虑基于全域的展开形式，如采用傅立 叶级数(Fourier series)展开，则有： • f(x）≈c0.φ0（ x∈[x ，xl]）+ c1.φ1（ x∈[x ，xl]）+…. 其中φi（ x∈[x ，xl]）为所采用的基底函数，它的
11
• 北京奥运场馆的鸟巢由纵横交错的钢铁枝蔓 组成，它是鸟巢设计中最华彩的部分，见图1， 也是鸟巢建设中最艰难的。看似轻灵的枝蔓 总重达42000吨，其中，顶盖以及周边悬空部位 重量为14000吨，在施工时，采用了78根支柱进 行支撑，也就是产生了78个受力区域，在钢结 构焊接完成后，需要将其缓慢而又平稳地卸 去，让鸟巢变成完全靠自身结构支撑；因而， 支撑塔架的卸载，实际上就是对整个钢结构 的加载，
• 由于左端固定，即uA=0,该方程的未知量为
方程
求解
•
代入：
例2.3 1D阶梯杆结构基于位移求解的通用形式
• 将方程改写成
• 再将其分解为两个杆件之和，即写成
• 左端第一项实质上是
左端第2项的实质为
左端的第2项实质为
go
• 可以看出：方程的左端就是杆件①的内力表 达和杆件②的内力表达之和，这样就将原来 的基于节点的平衡关系，变为通过每一个杆 件的平衡关系来进行叠加。这里就自然引入 单元的概念，即将原整体结构进行“分段”，以 划分出较小的“构件”(component)，每一个“构件” 上具有节点，还可以基于节点位移写出该“构 件”的内力表达关系，这样的
5
• 结构分析中的能量原理和矩阵方法的书[7]， 为后续的有限元研究奠定了重要的基础，1967 年Zienkiewicz和Cheung出版了第一本有关有限元 分析的专著；1970年以后，有限元方法开始应 用于处理非线性和大变形问题。
6
• ；目前，专业的著名有限元分析软件公司有几 十家，国际上著名的通用有限元分析软件有 ANSYS，ABAQUS，MSC/NASTRAN，MSC/MARC，ADINA， ALGOR，PRO/MECHANICA，IDEAS，还有一些专门的 有限元分析软件，如LS-DYNA，DEFORM，PAMSTAMP, AUTOFORM，SUPER-FORGE等；
• “构件”就叫做单元(element)，它意味着在几何形 状上、节点描述上都有一定普遍性(generalization)和 标准性(standardization)，只要根据实际情况将单元 表达式中的参数（如材料常数、几何参数）作相 应的代换，它就可以广泛应用于这一类构件(单 元)的描述。
• 从式可以看出，虽然它们分别用来描述杆件① 和杆件②的，但它们的表达形式完全相同，因 此本质上是一样，实际上，它们都是杆单元(bar back element）
• 由虎克定律，它的应力σ1为:
• 杆①的内力IB1为：
• 对于杆②进行同样的分析和计算，有它的内 力IB2为：
• 对于节点C • 代入
• 将节点A、B、C的平衡关系写成一个方程组， 有
• 对于节点A，有平衡关系：
• 代入 对于节点B 代入
• 写成矩阵形式
wk.baidu.com
• 将材料弹性模量和结构尺寸代入方程中，有 以下方程（采用国际单位）
0 0 0
定义域在全域[x ，xl]上，c0，c1，c2…为展开的系 数。
0
23
• 第二种是基于子域[xi,xi+1]上的分段展开形式， 若采用线性函数，
其中
是基底函数
24
• 这两种函数的展开如下图所示：
• 对第二种的函数逼近方式，就是现代力学分析中的有限元方 法的思想，其中的分段就是“单元”的概念。 • 基于分段的函数描述具有非常明显的优势：(1)可以将原函数 的复杂性“化繁为简”，使得描述和求解成为可能，(2)所采用 的简单函数可以人工选取，因此，可取最简单的线性函数， 或取从低阶到高阶的多项式函数，(3)可以将原始的微分求解 变为线性代数方程。但分段的做法可能会带来的问题有：(1) 因采用了“化繁为简”，所采用简单函数的描述的能力和效率 都较低，(2)由于简单函数的描述能力较低，必然使用数量众 多的分段来进行弥补，因此带来较多的工作量。
21
• 一个复杂的函数，可以通过一系列的基底函 数(base function)的组合来“近似”，也就是函数逼 近，其中有两种典型的方法：(1)基于全域的展 开(如采用傅立叶级数展开)，以及(2)基于子域 (sub-domain)的分段函数(pieces function)组合(如采用 分段线性函数的连接)；下面，仅以一个一维 函数的展开为例说明全域逼近与分段逼近的 特点。
一、 有限元简介
1.概况
2.有限元方法历史
3.有限元分析的作用 二、 有限元分析过程概要 1.有限元分析的目的和概念 2.一维阶梯杆结构问题的求解
3.有限元分析的基本流程
4.有限元分析的特点
1
1.1概况
• 有限元方法(finite element method)或有限元分析 (finite element analysis)是求取复杂微分方程近似解 的一种非常有效的工具，是现代数字化科技 的一种重要基础性原理。严格来说，有限元分 析必须包含三个方面：(1)有限元方法的基本数 学力学原理，(2)基于原理所形成的实用软件， (3)使用时的计算机硬件。
12
• 如何卸载？需要进行非常详细的数值化分析， 以确定出最佳的卸载方案。2006年9月17日成功 地完成了整体钢结构施工的最后卸载。（图1）
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图2 列车车厢整体结构的有限元模型
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图3空客A350后机身第19框的设计与有限元分析过程
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图4人体肩部区域的骨胳有限元分析模型及计算结果
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二、有限元分析过程的概要
7
• 国际上著名的主要有限元分析软件状况见表 1-1。有关有限元分析的学术论文，每年也不计 其数，学术活动非常活跃，表1-2 列出的是刊 登有限元分析论文的常见学术期刊。
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1.3有限元分析的作用
• 据有关资料，一个新产品的问题有60％以上可 以在设计阶段消除，甚至有的结构的施工过 程也需要进行精细的设计，要做到这一点，就 需要类似有限元分析这样的分析手段。 • 下面举出几个涉及土木工程、车辆工程、航空 工程以及生物工程的实例。
例1D三连杆结构的有限元分析过程
• 采用杆单元的方法，求解如图所示结构的所 有力学参量。相关的材料参量和尺寸为：
• ：所谓基于单元的分析方法，就是将原整体结 构按几何形状的变化性质划分节点并进行编 号，然后将其分解为一个个小的构件（即：单 元），基于节点位移，建立每一个单元的节点 平衡关系（叫做单元刚度方程），对于杆单元 来说就是式 下 下 一步就 • 是将各个单元进行组合和集成，以得到该结 构的整体平衡方程。
• 本章先通过一个简单的实例，采用直接的推 导方法，逐步展示有限元分析的基本流程，从 中可以了解有限元方法的思路形成过程，以 及如何由具体的求解步骤归纳出一种通用的 标准求解方法。
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2.1有限元分析的目的和概念
• 任何具有一定使用功能的构件(称为变形体 (deformed body))都是由满足要求的材料所制造的， 在设计阶段，就需要对该构件在可能的外力 作用下的内部状态进行分析，以便核对所使 用材料是否安全可靠，以避免造成重大安全 事故。描述可承力构件的力学信息一般有三 类：
go
• 将两个杆件进行分解，并标出每一个关联节 点处的受力状况，由于在C点处受有外力F，则
• 由杆件②的平衡关系可知，有
• •
由于IB1和IB2是一对内力所以
杆件①的应力为：
• 杆件②的应力σ2为：
• 由于材料是弹性的，由虎克定律 (Hooke law)有
• 其中ε1和ε2为杆件①和②的应变，则有
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• 随着现代计算机技术的发展，一般的个人计 算机就能满足第(3)方面的要求；因此，本课程 的重点将在以上的第(1)和第(2)方面，将通过一 些典型的实例来深入浅出地系统阐述有限元 分析的基本原理，并强调原理的工程背景和 物理概念通过ANSYS分析平台来展示具体应用 有限元方法的建模过程。
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1.2有限元方法的历史
• 有限元方法的思想最早可以追溯到古人的 “化整为零”、“化圆为直”的作法，如“曹冲称 象”的典故，我国古代数学家刘徽采用割圆法 来对圆周长进行计算；这些实际上都体现了 离散逼近的思想，即采用大量的简单小物体 来“冲填”出复杂的大物体。
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• 1870年，英国科学家Rayleigh就采用假想的“试函 数”来求解复杂的微分方程，1909年Ritz将其发 展成为完善的数值近似方法，为现代有限元 方法打下坚实基础。 • 1960年Clough在处理平面弹性问题，第一次提出 并使用“有限元方法”(finite element method)的名称 • 6]；1955年德国的Argyris出版了第一本关于
20
• 设计参数进行修改，以得到较优化的设计方 案；然后，再次进行方案修改后的有限元分析， 以进行最后的力学评判和校核，确定出最后 的设计方案。 • 有限元方法是基于“离散逼近(discretized approximation)”的基本策略，可以采用较多数量 的简单函数的组合来“近似”代替非常复杂的 原函数。
例2.2 1D阶梯杆结构的节点位移求解及平衡关系
• 所处理的对象上例相同，要求分别针对每个 连接节点，基于节点的位移来构建相应的平 衡关系，然后再进行求解。 • 解：分离受力
• 首先分析图2-6(c)中杆①内部的受力及变形状 况，它的绝对伸长量为，则相应伸长量为 • （uB-uA)则相应的伸长量ε1为:
• 由应变的定义可知，它为杆件的相对伸长量， 即ε=ΔL/L，因此，ΔL=ε.L⋅，具体对杆件①和②， 有
• 由于左端A为固定，则该点沿x方向的位移为 零，记为uA=0，而B点的位移则为杆件①的伸 长量ΔL1，即
back
• C点的位移为杆件①和②的总伸长量，即
• 则归纳以上结果完整的解答为
• 讨论：1.以上完全按照材料力学的方法，将对象进行 分解来获得问题的解答，它所求解的基本力学变量 是力（或应力），由于以上问题非常简单，而且是静 定问题，所以可以直接求出，但对于静不定问题，则 需要变形协调方程(compatibility equation)，才能求 解出应力变量，在构建问题的变形协调方程时，则 需要一定的技巧；2.若采用位移作为首先求解的基 本变量，则可以使问题的求解变得更规范一些，下 面就基于A、B、C三个点的位移来进行以上问题的 求解。
可以将杆单元表达为如图所示的标准形式
将单元节点的位移写成
将单元节点外力写成
因此该单元节点内力为
它将与单元的节点外力pe相平衡，则有
因此，该方程可以写成
进一步表达成
其中
Ke 叫做单元K11的刚度 矩阵，K11、 K12、 K21、 K22叫做刚度矩 阵中的刚度系数
2.3有限元分析的基本流程
• 下面以一个1D三连杆结构为例，展现有限元 分析的全部过程
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• (1) 构件中因承载在任意位置上所引起的移动 (称为位移(displacement))； • (2) 构件中因承载在任意位置上所引起的变形 状态(称为应变(strain))； • (3) 构件中因承载在任意位置上所引起的受力 状态(称为应力(stress))；
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• 有限元分析的目的：针对具有任意复杂几何 形状变形体，完整获取在复杂外力作用下它 内部的准确力学信息，即求取该变形体的三 类力学信息(位移、应变、应力)。 • 在准确进行力学分析的基础上，设计师就可 以对所设计对象进行强度(strength)、刚度(stiffness) 等方面的评判，以便对不合理的
• 综合分段函数描述的优势和问题，只要采用功能完善的软件 以及能够进行高速处理的计算机，就可以完全发挥“化繁为 简”策略的优势，有限元分析的概念就在于此。
一维阶梯杆结构问题的求解
例题2 1D阶梯杆结构问题的材料力学求解
• 如上图所示为一个阶梯杆结构，已知相应的 弹性模量和结构尺寸为： • E1=E2=2×107Pa，A1=2A2=2cm2,l1=l2=10cm， F=10N。用材料力学的方法求解。 • 解：首先对右端的杆件②进行力学分析，见 图
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典型例题1 一个一维函数的两种展开方式的比较
• 设有一个一维函数f （x)，x∈[x ，xl]分析它的展 开与逼近形式。
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• 首先考虑基于全域的展开形式，如采用傅立 叶级数(Fourier series)展开，则有： • f(x）≈c0.φ0（ x∈[x ，xl]）+ c1.φ1（ x∈[x ，xl]）+…. 其中φi（ x∈[x ，xl]）为所采用的基底函数，它的
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• 北京奥运场馆的鸟巢由纵横交错的钢铁枝蔓 组成，它是鸟巢设计中最华彩的部分，见图1， 也是鸟巢建设中最艰难的。看似轻灵的枝蔓 总重达42000吨，其中，顶盖以及周边悬空部位 重量为14000吨，在施工时，采用了78根支柱进 行支撑，也就是产生了78个受力区域，在钢结 构焊接完成后，需要将其缓慢而又平稳地卸 去，让鸟巢变成完全靠自身结构支撑；因而， 支撑塔架的卸载，实际上就是对整个钢结构 的加载，
• 由于左端固定，即uA=0,该方程的未知量为
方程
求解
•
代入：
例2.3 1D阶梯杆结构基于位移求解的通用形式
• 将方程改写成
• 再将其分解为两个杆件之和，即写成
• 左端第一项实质上是
左端第2项的实质为
左端的第2项实质为
go
• 可以看出：方程的左端就是杆件①的内力表 达和杆件②的内力表达之和，这样就将原来 的基于节点的平衡关系，变为通过每一个杆 件的平衡关系来进行叠加。这里就自然引入 单元的概念，即将原整体结构进行“分段”，以 划分出较小的“构件”(component)，每一个“构件” 上具有节点，还可以基于节点位移写出该“构 件”的内力表达关系，这样的
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• 结构分析中的能量原理和矩阵方法的书[7]， 为后续的有限元研究奠定了重要的基础，1967 年Zienkiewicz和Cheung出版了第一本有关有限元 分析的专著；1970年以后，有限元方法开始应 用于处理非线性和大变形问题。
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• ；目前，专业的著名有限元分析软件公司有几 十家，国际上著名的通用有限元分析软件有 ANSYS，ABAQUS，MSC/NASTRAN，MSC/MARC，ADINA， ALGOR，PRO/MECHANICA，IDEAS，还有一些专门的 有限元分析软件，如LS-DYNA，DEFORM，PAMSTAMP, AUTOFORM，SUPER-FORGE等；
• “构件”就叫做单元(element)，它意味着在几何形 状上、节点描述上都有一定普遍性(generalization)和 标准性(standardization)，只要根据实际情况将单元 表达式中的参数（如材料常数、几何参数）作相 应的代换，它就可以广泛应用于这一类构件(单 元)的描述。
• 从式可以看出，虽然它们分别用来描述杆件① 和杆件②的，但它们的表达形式完全相同，因 此本质上是一样，实际上，它们都是杆单元(bar back element）
• 由虎克定律，它的应力σ1为:
• 杆①的内力IB1为：
• 对于杆②进行同样的分析和计算，有它的内 力IB2为：
• 对于节点C • 代入
• 将节点A、B、C的平衡关系写成一个方程组， 有
• 对于节点A，有平衡关系：
• 代入 对于节点B 代入
• 写成矩阵形式
wk.baidu.com
• 将材料弹性模量和结构尺寸代入方程中，有 以下方程（采用国际单位）
0 0 0
定义域在全域[x ，xl]上，c0，c1，c2…为展开的系 数。
0
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• 第二种是基于子域[xi,xi+1]上的分段展开形式， 若采用线性函数，
其中
是基底函数
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• 这两种函数的展开如下图所示：
• 对第二种的函数逼近方式，就是现代力学分析中的有限元方 法的思想，其中的分段就是“单元”的概念。 • 基于分段的函数描述具有非常明显的优势：(1)可以将原函数 的复杂性“化繁为简”，使得描述和求解成为可能，(2)所采用 的简单函数可以人工选取，因此，可取最简单的线性函数， 或取从低阶到高阶的多项式函数，(3)可以将原始的微分求解 变为线性代数方程。但分段的做法可能会带来的问题有：(1) 因采用了“化繁为简”，所采用简单函数的描述的能力和效率 都较低，(2)由于简单函数的描述能力较低，必然使用数量众 多的分段来进行弥补，因此带来较多的工作量。
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• 一个复杂的函数，可以通过一系列的基底函 数(base function)的组合来“近似”，也就是函数逼 近，其中有两种典型的方法：(1)基于全域的展 开(如采用傅立叶级数展开)，以及(2)基于子域 (sub-domain)的分段函数(pieces function)组合(如采用 分段线性函数的连接)；下面，仅以一个一维 函数的展开为例说明全域逼近与分段逼近的 特点。