吉林大学2005级《离散数学II》期末考试试题(A)参考答案

一、
1.（1 3 2）（4 5）;
2.不一定。

因为无限循环群恰有两个生成元;
3.一定;
4.B;
5.C;
6.D;
7.一共两个子群，一个是{0}，一个是A;
8.偶置换,奇置换;
9.A={1，2，4，5，20}，关系是整除;
10.B;
二、
1.x8-x4+1;
2.4Z;
3.商式：2x4+ x3 + 2x2+ 4x+2;余式：2；
4.{I,(1 3)},{(1 2)，（1 3 2）},{(2 3),(1 2 3)}
5.0的周期是1；1的周期是6；2的周期是3；3的周期是2；4的周期是3；
5的周期是6。

三、证明：如果它可约必为一次式与四次及以下因式乘积或二次式与三次及以
下因式乘积的形式。

（1）在R2上3x5+5x2+1是x5+x2+1，而f(0)=f(1)=10，所以它在R2上无一次质因式；（2）在R2上的二次质因式只有x2+x+1，而x5+x2+1=x2（x+1）(x2+x+1)+1，所以它在R2上也无二次质因式，因此它在R2上不可约，从而在R0上不可约。

四、
1)由C的定义知C?G
2)设(G,*)的单位元为e，则有e A和e B，所以e=e*e C；
3)任取x, y C，令x=a1*b1, y=a2*b2，则x*y= (a1*b1)*(a2*b2)，因为*满足结
合律和交换律，所以有x*y= (a1* a2)*( b1*b2) C，故*在C上是封闭的。

4)任取c C，令x=a*b，则x-1=(a*b)-1= b-1*a-1= a-1*b-1C，故C中每个元素
都有逆元素。

因此结论成立。

五、
显然X 非空，如（0，0）属于X根据运算的定义，在X上封闭，且满足交换律与结合律，(X, )的单位元是(0,0)，任取(a,b) X，(a,b)的负元是(-a,-b)。

所以(X, )是交换群。

运算在X上封闭，且满足结合律，所以(X, )是半群。

任取(a1,b1)，(a2,b2) ，(a3,b3) X，有(a1,b1) ((a2,b2) (a3,b3))=(a1a2+a1a3,b1b2+b1b3)
((a1,b1) (a2,b2)) ((a1,b1) (a3,b3))= (a1a2+a1a3,b1b2+b1b3)，再根据和满足交
换律，可得对满足分配律。

故(X，，)是环。

另外的单位元（0，0）就是的零元。

对于任意元素(a,0)，(0,b) X(a0,b0)，有(a,0) (0,b)=(0,0)，所以所有的(a,0)，(0,b) X(a0,b0)都是该环的零元。

六、
解：子格：（{1},D），（{2},D），（{3},D），（{6},D），（{1,2},D），（{13},D），（{1,6},D），（{2,6},D），（{3,6},D），（{1,2,6},D），（{1,3,6},D），（{1,2,3,6},D）；
理想：{1},D），（{1,2},D），（{1, 3},D），（{1,2,3,6},D）；
七、
证明：令b i=a1*a2*…*a i，设集合S={b i|i=1,2,…,n},现要证S中存在元素 e.
考虑如下两种情况：
１．若存在i j使得b i=b j（不妨设i<j），则有a1*a2*…*a i=a1*a2*…*a j，由此可得a i+1*a i+2*…*a j=e.设p=i+1, q=j,则结论成立。

２．若不存在i j使得b i=b j，则有S中任意两个元素均不相同，|S|=n.又因为x S x G，即S?G，所以S=G.（G, *）是群，e G，所以e S.
故存在b i= a1*a2*…*a i=e，令p=1，q=i, 则结论成立。

综上，存在正整数p和q，1p q n，使得a p*a p+1*…*a q=e。