勾股定理常见练习题
最新勾股定理知识点与常见题型总结(1)
《勾股定理分类练习》题型一：直接考查勾股定理：直角三角形中，若a, b 分别为直角边，c 为斜边，那么直角三角形三边的关系为 a 2 +b 2 =c 2注意：直角三角形中，最长的边为斜边，较短的两边为直角边1、如图1中,64、400分别为所在正方形的面积，则图中A 字母所代表的正方形面积是2、 如图4，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。
3、在Rt △ABC 中,斜边AB 2 =3,则AB 2+BC 2+AC 2的值是______“知二求一”的题，可以直接利用勾股定理！4、在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长5、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A ．25B ．14C ．7D ．7或251、已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为2、已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为3、已知△ABC ，∠A=90 °， ∠B=30°,AB=5，求AC,BC 的值.题型三：勾股定理的逆定理：1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A ．2，3，4B ．10，8，4C ．7，25，24D ．7，15，122、分别有下列几组数据：①6、8、10 ②12、13、5 ③ 17、8 、15 ④4、11、9其中能构成直角三形的有：（ ）Ａ、４组 Ｂ、３组 Ｃ、２组 Ｄ、１组3、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )A. 钝角三角形;B. 锐角三角形;C. 直角三角形;D. 等腰三角形4、请写出“对顶角相等”和“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”的逆命题题型四、与直角三角形面积相关直角三角形的面积公式：1. 底×高×21 2.两短边相乘×21 （a ×b ×21 ) 3. 斜边×斜边上的高×21（每种求面积的方法举例两个） 1、直角三角形的两直角边分别为5、12，则斜边为＿＿，三角形的面积为＿＿，斜边上的高为 ＿＿＿2、在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝3、已知：如图，⊿ABC 中，∠ACB =︒90，AB = 5cm ，BC = 3 cm ，CD ⊥AB 于D ，求CD 的长及三角形的面积；4、等腰△ABC 的腰长AB ＝10cm ，底BC 为16cm ，则底边上的高为 ，面积为 .题型五、勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用1、如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =︒90，∠DBC =︒90，AD = 3，AB = 4，BC = 12，求CD ；2、已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =题型六、折叠问题1、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ，BC =8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）（A ） 2cm （B ） 3 cm （C ） 4 cm （D ） 5 cm2、已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD 使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB = 8cm ，BC = 10 cm ，求EC 的长3、已知，如图，长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）A ．6cm 2B ．8cm 2C ．10cm 2D ．12cm 2B C A D题型七：实际问题中应用勾股定理1、如图有两棵树，一棵高8cm，另一棵高2cm，两树相距8cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了m2、如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需______米．3、饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做_______㎝。
2024八年级数学上册第一章勾股定理专项突破1利用勾股定理解题的常见题型习题课件新版北师大版
到 A 点的正上方 B 点.已知油罐的底面周长是12 m，高 AB
是5 m，问：梯子最短需要多长？
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解：圆柱的侧面展开图如图所示.
由题意知AA'＝12 m，
A'B'＝5 m，连接AB'.
在Rt△AB'A'中，
AB'2＝AA'2＋B'A'2＝122＋52＝169＝132，
所以AB'＝13 m.所以梯子最短需要13 m长.
所以2∠ A ＞2∠ B ＝90°，故不成立；
当∠ C 为α时，因为∠ B ＝45°，所以∠ A ＋∠ C ＝
135°，所以∠ A ＋2∠ C ＞135°，故不成立；
所以只能是∠ B ＋2∠ C ＝90°，解得∠ C ＝22.5°，
所以∠ A ＝180°－45°－22.5°＝112.5°.
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题型6利用勾股定理构造图形解决问题
6. [2024北师大附中期中]点 B 均在格点上，点 C 也在格点上，满足△ ABC 为以
AB 为斜边的直角三角形.这样的点 C 有(
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
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)
题型7利用勾股定理求动点中线段的长
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题型9利用勾股定理分类求最短距离
勾股定理复习易错题四套题由简到难(附带答案)
勾股定理练习卷姓名一、填空题1．三角形的三边满足a2＝b2＋c2，这个三角形是三角形，它的最大边是．2．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝24，CA＝7，AB＝．3．在△ABC中，假设其三条边的长度分别为9、12、15，那么以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是．4．如图1所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，那么正方形D的面积是cm2．5．如图2，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝60c m，CA＝80c m，一只蜗牛从C点出发，以每分钟20c m的速度沿CA→AB→BC的路径再回到C点，需要分钟的时间．6．x、y为正数，且｜x2-4｜+(y2-16)2＝0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为．7．在布置新年联欢会的会场时，小虎准备把同学们做的拉花用上，他搬来了一架高为2.5米的梯子，要想把拉花挂在高2.4米的墙上〔设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上〕，小虎应把梯子的底端放在距离墙米处．8．如图3是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，假设图中大小正方形的面积分别为52与4，那么直角三角形的两直角边分别为与．〔注：两直角边长均为整数〕二、选择题1．以下各组数为勾股数的是〔〕A．6，12，13 B．3，4，7 C．4，7.5，8.5 D．8，15，16 2．要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物5m，顶端离地面12m，那么梯子的长度为〔〕A．12m B．13m C．14m D．15m3．直角三角形两直角边边长分别为6cm与8cm，那么连接这两条直角边中点的线段长为〔〕A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm4．假设将直角三角形的两直角边同时扩大2倍，那么斜边扩大为原来的〔〕A．2倍B．3倍C．4倍D．5倍5．以下说法中，不正确的选项是〔〕A．三个角的度数之比为1∶3∶4的三角形是直角三角形B．三个角的度数之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形C．三边长度之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形D．三边长度之比为9∶40∶41的三角形是直角三角形6．三角形的三边长满足关系：(a+b)2=c2+2ab，那么这个三角形是〔〕A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形7．某直角三角形的周长为30，且一条直角边为5，那么另一直角边为〔〕A．3 B．4 C．12 D．138．如果正方形ABCD的面积为29，那么对角线AC的长度为〔〕A ．23B ．49C ．3D ．29三、简答题 1．〔10分〕如图4，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗？2．〔10分〕如图5所示，有一条小路穿过长方形的草地ABCD ，假设AB ＝60m ，BC ＝84m ，AE ＝100m ，那么这条小路的面积是多少3．〔10分〕如图6，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，∠B ＝30°，AD ⊥AB ，垂足为A ，CD ＝1c m ，求AB 的长．4．〔10分〕小芳家门前有一个花圃，呈三角形状，小芳想知道该三角形是不是一个直角三角形，请问她可以用什么方法来作出判断？你能帮她设计一种方案吗？5．〔10分〕如图7，在△ABC 中，AB ＝AC ＝25，点D 在BC 上，AD ＝24，BD ＝7，试问AD 平分∠BAC 吗？为什么？6．〔10分〕如图8所示，四边形ABCD 中，AB =1，BC =2，CD =2，AD =3，且AB ⊥BC ．求证：AC ⊥CD ．参考答案：一、1．直角，a2．25 3．108 4．17 5．12 6．20 7．0.7 8．4，6二、1~4．CBDA 5~8．BBCA三、1．〔1〕5x =；〔2〕24x =2．2240m34．略5．所以AD平分BAC∠，理由略6．证明略四、〔1〕84，85．〔2〕任意一个大于1的奇数的平方可以拆成两个连续整数的与，并且这两个连续整数及原来的奇数构成一组勾股数．〔3〕略．八年级下册第十八勾股定理水平测试一、填空题〔每题3分，共24分〕1．一个三角形的三个内角之比为1∶2∶3，那么三角形是三角形；假设这三个内角所对的三边分别为a、b、c〔设最长边为c〕，那么此三角形的三边的关系是．2．等腰直角三角形的斜边长为2，那么直角边长为，假设直角边长为2，那么斜边长为．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，①假设AB＝41，AC＝9，那么BC＝；②假设AC＝1.5，BC＝2，那么AB＝．4．两条线段的长分别为11cm与60cm，当第三条线段的长为cm时，这3条线段能组成一个直角三角形．5．如图1，将一根长24厘米的筷子，置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形水杯中，那么筷子露在杯子外面的长度至少为厘米．6．如图2，AC⊥CE，AD＝BE＝13，BC＝5，DE＝7，那么AC＝．7．等腰直角三角形有一边长为8c m，那么底边上的高是，面积是．8．如图3，一个机器人从A点出发，拐了几个直角的弯后到达B点位置，根据图中的数据，点A与点B的直线距离是．二、选择题〔每题3分，共24分〕1．如图4,两个较大正方形的面积分别为225,289,那么字母A所代表的正方形的面积为〔〕A．4 B．8 C．16 D．642．小丽与小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走50米，小丽走直线用了10分钟，小芳先去家拿钱再去图书馆，小芳到家用了6分钟，从家到图书馆用了8分钟，小芳从公园到图书馆拐了个〔设公园到小芳家及小芳家到图书馆都是直线〕〔〕A．锐角B．直角C．钝角D．不能确定3．一直角三角形的一条直角边长是7cm,另一条直角边及斜边长的与是49cm,那么斜边的长〔〕A．18cm B．20cm C．24cm D．25cm4．如图5，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，那么阴影局部的面积是〔〕A．16 B．18 C．19 D．215．在直角三角形中，斜边及较小直角边的与、差分别为18、8，那么较长直角边的长为〔〕A．20 B．16 C．12 D．86．在△ABC中，假设AB＝15，AC＝13，高AD＝12，那么△ABC的周长是〔〕A．42 B．32 C．42或32 D．37或337．如图6，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是〔〕A．CD、EF、GH B．AB、EF、GHC．AB、CD、GH D．AB、CD、EF8．如图7，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC边的中点，DE⊥AB于E，那么AE2-BE2等于〔〕A．AC2 B．BD2C．BC2 D．DE2三、简答题〔共58分〕1．一个三角形三条边的比为5∶12∶13，且周长为60c m，求它的面积．2的点．3．如图8，是一个四边形的边角料，东东通过测量，获得了如下数据：AB＝3cm，BC＝12cm，CD＝13cm，AD＝4cm，东东由此认为这个四边形中∠A恰好是直角，你认为东东的判断正确吗？如果你认为他正确，请说明其中的理由；如果你认为他不正确，那你认为需要什么条件，才可以判断∠A是直角？4．如图9，一游泳池长48米，小方与小朱进展游泳比赛，小方平均速度为3米/秒，小朱为3.1米/秒．但小朱一心想快，不看方向沿斜线游，而小方直游，俩人到达终点的位置相距14米．按各人的平均速度计算，谁先到达终点5．如图10〔1〕所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图10〔2〕所示．展开图中每个正方形的边长为1．求在该展开图中可画出最长线段的长度？这样的线段可画几条？四、拓广探索〔此题14分〕：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，设△ABC 的面积为S ，周长为l ．〔1〕填表：〔2〕如果a ＋b －c ＝m ，观察上表猜测：l = (用含有m 的代数式表示)．〔3〕证明〔2〕中的结论．参考答案：一、1．直角，222ab c +=2．1，2 3．40，2.5 4．615．14 6．12 7．4或，16或328．10 二、1~4．DBDC 5~8．CCBA三、1．2120cm2．图略3．不正确，可添加DB BC ⊥或5cm DB =4．小方先到达终点54条四、解：〔1〕从上往下依次填12，1，32；〔2〕； 〔3〕证明略．Ww点击勾股定理之特色题本文将在各地课改实验区的中考试题中，涉及勾股定理知识内容的特色创新题采撷几例，供读者学习鉴赏．一.清新扮靓的规律探究题例1〔成都市〕如图，如果以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去，…，正方形ABCD 的面积1S 为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为23S S ，，…，S n 〔n 为正整数〕，那么第8个正方形的面积8S ＝_______．【解析】：求解这类题目的常见策略是：“从特殊到一般〞． 即是先通过观察几个特殊的数式中的变数及不变数，得出一 般规律，然后再利用其一般规律求解所要解决的问题．对于此题，由勾股定理、正方形的面积计算公式易求得：照此规律可知：25416S ==，新 课 标第 一网 观察数1、2、4、8、16易知：0123412,22,42,82,162=====，于是可知12n n S -=因此，817822128S -===二.考察阅读理解能力的材料分析题例2〔临安〕阅读以下题目的解题过程：a 、b 、c 为的三边，且满足，试判断的形状．AB CD EF G HI J问：〔1〕上述解题过程，从哪一步开场出现错误？请写出该步的代号：；〔2〕错误的原因为：〔3〕此题正确的结论为： .【解析】：材料阅读题是近年中考的热点命题，其类型多种多样，此题属于“判断纠错型〞题目．集中考察了因式分解、勾股定理等知识．在由得到等式2222222-=+-没有错，错在将这个等式()()()c a b a b a b两边同除了一个可能为零的式子22-=，那么有()()0-．假设220a ba b+-=，a b a b从而得a b=，这时，ABC为等腰三角形．因此：（1）选C．（2）没有考虑220-=a b(3) ABC∆是直角三角形或等腰三角形三.渗透新课程理念的图形拼接题例3〔长春〕如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 3．在Rt△ABC的外部拼接一个适宜的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，如下图．出正确的图形〕例如图备用图【解析】：要在Rt△ABC的外部拼接一个适宜的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰及底边确实定；要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识．下面四种拼接方法可供参考．四.极具“热点〞的动态探究题例4〔泉州〕:如图１，一架长4米的梯子AB斜靠在及地面OM垂直的墙壁ON上，梯子及地面的倾斜角α为 60．⑴求AO及BO的长；⑵假设梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行. 如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米X k b1.c o m【解析】：对于没有学习解直角三角形知识的同学而言，求解此题有一定的难度．但假设是利用等边三角形就可以推出的一个性质：“在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半〞，结合勾股定理求解，还是容易解答的．⑴AOBRt∆中,∠O=90,∠α= 60∴,∠OAB= 30，又ＡＢ＝4米，∴米.由勾股定理得：22-22OA AB OB421223=-=.⑵设2,3,==在CODAC x BD xRt∆中,根据勾股定理:222+=OC OD CD∴所以，AC=2x=即梯子顶端A沿NO下滑了米.勾股定理中的常见题型例析勾股定理是几何计算中运用最多的一个知识点．考察的主要方式是将其综合到几何应用的解答题中，常见的题型有以下几种：一、探究开放题例1如图1，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF ，再以第二个正方形的对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去……．〔1〕记正方形ABCD 的边长为1a ＝1，依上述方法所作的正方形的边长依次为2a ，3a ，4a ，…，n a ，求出2a ，3a ，4a 的值．〔2〕根据以上规律写出第n 个正方形的边长n a 的表达式．分析：依次运用勾股定理求出a 2，a 3，a 4，再观察、归纳出一般规律．解：(1)∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=BC=CD=AD=1．由勾股定理，得AC 222AB BC +=同理，AE =2，EH = 22．即 a 2= 2，a 3=2，a 4= 22(2) ∵011(2)a ==， 122(2)a ==， 232(2)a ==， 3422(2)a ==，点拨：探究开放题形式新颖、思考方向不确定，因此综合性与逻辑性较强，它着力于考察观察、分析、比拟、归纳、推理等方面的能力，对提高同学们的思维品质与解决问题的能力具有十分重要的作用．二、动手操作题例2如图2，图〔１〕是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为a 与b ，斜边长为c ．图〔２〕是以c 为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．〔１〕画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形；〔２〕用这个图形证明勾股定理；〔３〕假设图〔１〕中的直角三角形有苦干个，你能运用图〔１〕所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图〔无需证明〕．解：〔1〕所拼图形图3所示，它是一个直角梯形．〔2〕由于这个梯形的两底分别为a 、b ，腰为〔a +b 〕，所以梯形的面积为211()()()22a b a b a b ++=+．又因为这个梯形的面积等于三个直角三角形的面积与，所以梯形的面积又可表示为：．Xk b1.c om〔3〕所拼图形如图4．点拨：动手操作题内容丰富，解法灵活，有利于考察解题者的动手能力与创新设计的才能。
勾股定理练习题及答案
勾股定理练习题及答案问题一：已知直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。
解答一：根据勾股定理，斜边的平方等于两条直角边的平方和。
设斜边的长度为c，则有：c^2 = 3^2 + 4^2c^2 = 9 + 16c^2 = 25取平方根得到c = 5cm。
所以，斜边的长度为5cm。
问题二：已知直角三角形的斜边长度为10cm，一条直角边的长度为6cm，求另一条直角边的长度。
解答二：设另一条直角边的长度为a。
根据勾股定理，可得：a^2 + 6^2 = 10^2a^2 + 36 = 100a^2 = 100 - 36a^2 = 64取平方根得到a = 8cm。
所以，另一条直角边的长度为8cm。
问题三：已知直角三角形的一条直角边的长度为5cm，另一条直角边的长度为12cm，求斜边的长度。
解答三：设斜边的长度为c。
根据勾股定理，可得：c^2 = 5^2 + 12^2c^2 = 25 + 144c^2 = 169取平方根得到c = 13cm。
所以，斜边的长度为13cm。
问题四：已知直角三角形的斜边长度为15cm，一条直角边的长度为9cm，求另一条直角边的长度。
解答四：设另一条直角边的长度为a。
根据勾股定理，可得：a^2 + 9^2 = 15^2a^2 + 81 = 225a^2 = 225 - 81a^2 = 144取平方根得到a = 12cm。
所以，另一条直角边的长度为12cm。
问题五：已知直角三角形的一条直角边的长度为7cm，另一条直角边的长度为24cm，求斜边的长度。
解答五：设斜边的长度为c。
根据勾股定理，可得：c^2 = 7^2 + 24^2c^2 = 49 + 576c^2 = 625取平方根得到c = 25cm。
所以，斜边的长度为25cm。
以上是五道勾股定理练习题及答案的解答过程。
通过这些练习题，我们可以加深对勾股定理的理解，熟练掌握如何在已知条件下求解三角形的边长。
勾股定理在几何学和实际应用中都有广泛的应用，是数学中的重要概念之一。
勾股定理常见练习试题
（一）情境引入如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m 处折断倒下， 树顶落在离树根24m 处. 大树在折断之前高多少？（二）合作探究（1）观察下面两幅图并填表：A 的面积 （单位面积）B 的面积 （单位面积）C 的面积 （单位面积）左图 右图（2）问：①、图形A 、B 、C 的面积有何关系？②、图形A 、B 、C 的面积与三角形的边长有何关系？ ③、由①、②可得出直角三角形三边长有什么结论？１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：AB CC BAcba HG FEDCBA方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５..勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） 题型一：已知两边求第三边【例1】直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为72cm ，82cm ，则以斜边为边长的正方形的面积为_____15____2cm ．【例2】已知直角三角形的两边长为5、12，则另一条边长是____13或____________． 【例3】作出长度为10的线段。
勾股定理知识点与常见题型总结
《勾股定理分类练习》题型一：直接考查勾股定理：直角三角形中，若a, b 分别为直角边，c 为斜边，那么直角三角形三边的关系为 a 2 +b 2 =c 2变形公式：1、如图1中,64、400分别为所在正方形的面积，则图中A 字母所代表的正方形面积是2、 如图4，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。
3、在Rt △ABC 中,斜边AB 2 =3,则AB 2+BC 2+AC 2的值是______“知二求一”的题，可以直接利用勾股定理变形公式！4、在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长5、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A ．25B ．14C ．7D ．7或251、已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为2、已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为3、已知△ABC ，∠A=90 °， ∠B=30°,AB=5，求AC,BC 的值.题型三：勾股定理的逆定理：1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A ．2，3，4B ．10，8，4C ．7，25，24D ．7，15，122、分别有下列几组数据：①6、8、10 ②12、13、5 ③ 17、8 、15 ④4、11、9其中能构成直角三形的有：（ ）Ａ、４组 Ｂ、３组 Ｃ、２组 Ｄ、１组3、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )A. 钝角三角形;B. 锐角三角形;C. 直角三角形;D. 等腰三角形4、请写出“对顶角相等”和“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”的逆命题（判断真假）题型四、与直角三角形面积相关直角三角形的面积公式：1. 底×高×21 2.两短边相乘×21 （a×b×21 ) 3. 斜边×斜边上的高×21（每种求面积的方法举例两个）1、直角三角形的两直角边分别为5、12，则斜边为＿＿，三角形的面积为＿＿，斜边上的高为 ＿＿＿2、在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝3、已知：如图，⊿ABC 中，∠ACB =︒90，AB = 5cm ，BC = 3 cm ，CD ⊥AB 于D ，求CD 的长及三角形的面积；4、等腰△ABC 的腰长AB ＝10cm ，底BC 为16cm ，则底边上的高为 ，面积为 .题型五、勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用1、如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =︒90，∠DBC =︒90，AD = 3，AB = 4，BC = 12，求CD ；题型六、折叠问题 1、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ，BC =8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（）（A ） 2cm （B ） 3 cm （C ） 4 cm （D ） 5 cm2、已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD 使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB = 8cm ，BC = 10 cm ，求EC 的长3、已知，如图，长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）A ．6cm 2B ．8cm 2C ．10cm 2D ．12cm 2题型七：实际问题中应用勾股定理1、 如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，2、 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m3、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当它把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ）A ．8cmB ．10cmC ．12cmD ．14cm4、一个无盖的圆柱纸盒：高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程(π取3)是( ) A.20cm; B.10cm; C.14cm; D.无法确定.B C A D D E。
初中勾股定理常见题型
1.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB的长度为？A.5（答案）B. 6C.7D.82.直角三角形的一条直角边长为8，斜边长为17，则另一条直角边的长为？A.15B.10（答案）C.12D.163.勾股定理适用于哪种三角形？A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形（答案）D.任意三角形4.若一个直角三角形的两直角边分别为6和8，则其斜边上的高为？A. 4.8（答案）B. 5C. 6D.7.25.在直角三角形中，如果斜边长为c，两直角边分别为a和b，那么勾股定理的表达式是？A. a + b = cB.a2 + b2 = c2（答案）C.a2 - b2 = c2D.ab = c26.一个直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为5，则另一条直角边的平方是？A.144（答案）B.169C.196D.2257.直角三角形中，若斜边长为10，一条直角边比另一条直角边长2，则较短的直角边长为？A.4（答案）B. 5C. 6D.88.已知直角三角形两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，若a和b都扩大2倍，则新的斜边长为？A. cB.2c（答案）C.4cD.c29.勾股定理最早是由哪位数学家提出的？A.牛顿B.欧拉C.毕达哥拉斯（答案）D.高斯10.在直角三角形中，如果一条直角边长为12，斜边上的高为6.4，那么斜边的长为？A.15B.18（答案）C.20D.24。
《勾股定理》专题复习(含答案)
第一章《勾股定理》专项练习专题一：勾股定理考点分析：勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题典例剖析例1．（1）如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸（单位：mm ），计算两圆 孔中心A 和B 的距离为______mm ．（2）如图2，直线l 上有三个正方形a b c ，，， 若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ）Ａ．4 Ｂ．6Ｃ．16Ｄ．55分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可．解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180—60=120，由勾股定理得: AB 2=902+1202=22500,所以AB=150（mm ）（2)由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故选C ．点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形的两边,求第三边时，往往要借助于勾股定理来解决．例2．如图3，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求122424454A E A A E C A E C ++∠∠∠的度数．解：连结32A E ．32122222A A A A A E A E ==，，32212290A A E A A E ∠=∠=，322122Rt Rt A A E A A E ∴△≌△（SAS ）．322122A E A A E A ∴∠=∠．由勾股定理,得:4532C E C E ===，4532A E A E ===,44332A C A C ==,445332A C E A C E ∴△≌△（SSS ）．323454A E C A E C ∴∠=∠图1 图21A2A3A 4A 5A 5E 2E 1E 1D 1C 1B 4C1A 2A 3A4A 5A 5E2E 1E1D 1C 1B 4C 3C 2C图3122424454324424323224A E A A E C A E C A E C A E C A E C A E C ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠．由图可知224E C C △为等腰直角三角形．22445A E C ∴∠=． 即12242445445A E A A E C A E C ∠+∠+∠=．点评：由于在正方形网格中，它有两个主要特征：（1）任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得．（2）利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如450、900、1350，便一目了然．以上两例就是根据网格的直观性，再结合图形特点，运用勾股定理进行计算，易求得线段和角的特殊值，重点考查学生的直觉观察能力和数形结合的能力． 专练一：1、△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=2:1：1,a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则下列各等式中成立的是（ ）（A ）222a b c +=；（B ）222a b =; （C)222c a =； (D ）222b a = 2、若直角三角形的三边长分别为2，4,x,则x 的可能值有（ ） （A ）1个； （B ）2个； (C ）3个； (D ）4个3、一根旗杆在离底面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为（ ）（A ）10.5米； （B ）7。
勾股定理常见题
一．选择题（共16小题）1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（）A．13 B．26C．47 D．942．已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（）A．21 B．15C．6 D．以上答案都不对3．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的可能值有（）⑴A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A．2cm B．3cmC．4cm D．5cm5．把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）⑷A．2倍B．4倍C．3倍D．5倍6．△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（）A．42 B．32 C．42或32 D．37或337．如图，以直角三角形三边为边长作正方形，其中两个以直角边为边长的正方形面积分别为225和400，则正方形A的面积是（）A．175 B．575C．625 D．7008．下列说法中，正确的个数有（）①已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则斜边长为；②直角三角形的最大边长为，最短边长为1，则另一边长为；③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC为直角三角形；④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5．⑺A．1个B．2个C．3个D．4个9．小明的爸爸买了一部29英寸（74厘米）的电视机，下列对29英寸的说法中正确的是（）A．小明认为指的是荧屏的长度B．妈妈认为指的是荧屏的宽度C．爸爸认为指的是荧屏的周长D．售货员认为指的是荧屏对角线的长度10．已知直角三角形的两直角边的长恰好是方程x2﹣5x+6=0的两根，则此直角三角形的斜边长为（）A．B．3 C．D．311．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长为（）A．2 B．2.6C．3 D．4⑾12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB交BC于E，若BE=，则AC=（）A．1 B．2C．3 D．413．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm214．已知x、y为正数，且|x2﹣4|+（y2﹣3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A．5 B．25 C．7 D．1515．下列五个命题：（1）若直角三角形的两条边长为5和12，则第三边长是13；（2）如果a≥0，那么=a（3）若点P（a，b）在第三象限，则点P（﹣a，﹣b+1）在第一象限；（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．其中不正确命题的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个16．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（）A．B．3 C．+2 D．二．填空题（共4小题）⒄⒅19．如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则AB的长为_________．20．如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第n个三角形的面积为_________．⒆⒇三．解答题（共4小题）21．先请阅读下列题目和解答过程：“已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4①∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）②∴c2=a2+b2③∴△ABC是直角三角形．”④请解答下列问题：（1）上列解答过程，从第几步到第几步出现错误？（2）简要分析出现错误的原因；（3）写出正确的解答过程．22．如图，在△ABC中，∠C=90°，在AB边上取一点D，使BD=BC，过D作DE⊥AB交AC于E，AC=8，BC=6．求DE的长．23．如图，已知∠C=90°，BC=3cm，BD=12cm，AD=13cm．△ABC的面积是6cm2．（1）求AB的长度；（2）求△ABD的面积．24．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，设△ABC的面积为S，周长为l．（1）填表：（2）如果a+b﹣c=m，观察上表猜想：=_________，（用含有m的代数式表示）；（3）说出（2）中结论成立的理由．答案与评分标准一．选择题（共16小题）1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（）A．13 B．26C．47 D．94考点：勾股定理。
勾股定理常见练习题精修订
勾股定理常见练习题标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]勾股定理应用题题型一：已知两边求第三边1、直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为72cm，82cm，则以斜边为边长的正方形的面积为_________2cm．2、已知直角三角形的两边长为5、12，则另一条边长是________________．3、作出长度为10的线段。
4、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？针对练习1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．10，8，4 C．7，25，24 D．7，15，122、已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25 B．14 C．7 D．7或253、以面积为9 cm2的正方形对角线为边作正方形，其面积为（）A．9 cm2 B．13 cm2 C．18 cm2 D．24 cm2题型二：利用勾股定理测量长度例1：如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？例2：如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.AB例3：如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下，树顶落在离树根24m处. 大树在折断之前高多少？题型三：转化思想例:如图，有一圆柱，其高为12cm，它的底面半径为3cm，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，它想得到上面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为________ cm。
（π取3）题型四：利用勾股定理解决实际问题例:如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为多少米？巩固练习1、如图1，直角△ABC的周长为24，且AB:AC=5:3，则BC=（）A．6 B．8 C．10 D．12图1 图22、如图2，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了（）A．4米 B．6米 C．8米 D．10米3、将一根长24 cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是（）A．5≤h≤12 B．5≤h≤24 C．11≤h≤12 D．12≤h≤24 4、已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm24题 5题6题5、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，则四边形ABCD的面积为（）A、36，B、22C、18D、126、如图中阴影部分是一个正方形,如果正方形的面积为64厘米2，则X的长为厘米。
八年级勾股定理典型练习题含答案
4、如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的大小为（）
A.45°B.50°C.55°D.60°
题型二勾股定理中的网格问题
5、如图，在正方形网格中，每个小正方形边长都为1，则网格上△ABC中，边长为无理数的边长有（）
∴AB= ，
选C.
15、答案：B
解答：先将图形展开，根据两点之间，线段最短，利用根据勾股定理即可得出结论．
如图所示：沿AC将圆柱的侧面展开，∵底面半径为2cm，∴BC= =2π≈6cm，
在Rt△ABC中，∵AC=8cm，BC=6cm，∴AB= = =10cm．
16、答案：B
解答：将长方体展开，连接A、B，
A.5 B.25C.10 +5D.35
17、如图，长方体的高为3厘米，底面是正方形，边长为2厘米，现有一小虫从A出发，沿长方体表面到达C处，问小虫走的路程最短为多少厘米？
18、如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1km，BD＝3km，且CD＝3km，现要在河边上建一个水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/km，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最低，并求出铺设水管的总费用．
勾股定理中的常见题型
题型一勾股定理与翻折问题
1、已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE 面积为（）
A.6cm2B.8cm2C.10cm2D.12cm2
2、如图所示，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将长方形沿AC折叠，使点D落在点D′处，求重叠部分△AFC的面积．
17.1 勾股定理的应用常见题型及答案
17.1.2 勾股定理的应用【常见题型一】【题型1 蚂蚁行程模型】【例】如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A 出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（）A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方体，再然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为10cm，=5（cm）．则AD＝10×12又因为CD＝AB＝12cm，所以AC=√122+52=13（cm）．故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是13cm．故选：B．【变式】如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A．（3+√13）cm B．√97cm C．√85cm D．√109cm【分析】把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是9和4，则所走的最短线段是√42+92=√97；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是7和6，所以走的最短线段是√72+62=√85；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是10和3，所以走的最短线段是√32+102=√109；三种情况比较而言，第二种情况最短．故选：C．【题型2 范围影响问题】【例】如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C 与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，环卫车周围130m 以内为受噪声影响区域．（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出学校C是否会受噪声影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出环卫车噪声影响该学校持续的时间．【解答】解：（1）学校C会受噪声影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB，∴150×200＝250×CD，=120（m），∴CD=150×200250∵环卫车周围130m以内为受噪声影响区域，∴学校C会受噪声影响．（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，∵ED=√EC2−CD2=√1302−1202=50（m），∴EF＝100（m），∵环卫车的行驶速度为每分钟50米，∴100÷50＝2（分钟），即环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟．【变式】如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON的方向行驶时，以P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为5米/秒．（1）求卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间．【分析】（1）过点A作AH⊥ON于H，利用含30°角的直角三角形的性质可得答案；（2）当AC＝AN＝50米时，则卡车在CD段对学校A有影响，利用勾股定理求出CH的长，再根据等腰三角形的性质可得CD的长，从而求出时间．【解答】解：（1）过点A作AH⊥ON于H，∵∠O＝30°，OA＝80米，OA＝40米，∴AH=12∴卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离为40米；（2）当AC＝AN＝50米时，则卡车在CD段对学校A有影响，由（1）知AH＝40米，∴CH=√AC2−AH2=√502−402=30（米），∴CN＝2CH＝60（米），∴t＝60÷5＝12（秒），∴卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间为12秒．【题型3 大树折断模型】【例】如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（）A．10米B．12米C．14米D．16米【分析】先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AB＝6m，AC＝8m，∴BC=√AB2+AC2=√62+82=10（m），∴大树的高度＝AB+BC＝6+10＝16（m）．故选：D．【题型4 风吹荷花模型】【例】如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面的部分BC为1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶端与岸齐，则芦苇高度是尺．【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，可知边长为10尺的正方形，则B'C＝5尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长．【解答】解：设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，因为边长为10尺的正方形，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，解之得x＝13，即芦苇长13尺．故答案是：13．【变式】如图，淇淇在离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m．（1）开始时，船距岸A的距离是m；（2）若淇淇收绳5m后，船到达D处，则船向岸A移动m．【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长；（2）根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD 可得BD长．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，∴AB=√132−52=12（m），故答案为：12；（2）∵淇淇收绳5m后，船到达D处，∴CD＝8（m），∴AD=√CD2−AC2=√82−52=√39（m），∴BD＝AB﹣AD＝（12−√39）m．故答案为：（12−√39）．【题型5 方向角问题】【例】如图，两艘海舰在海上进行为时2小时的军事演习，一海舰以120海里/时的速度从港口A出发，向北偏东60°方向航行到达B，另一海舰以90海里/时的速度同时从港口A 出发，向南偏东30°方向航行到达C，则此时两艘海舰相距多少海里？【分析】根据题意可得∠BAC＝90°，分别求出2小时两辆海舰走过的路程AB和AC，然后利用勾股定理求得两艘海舰的距离BC的长度．【解答】解：由题意知，∠BAC＝90°，AB＝2×120＝240，AC＝2×90＝180，由勾股定理得BC=√AB2+AC2=√2402+1802=300，答：此时两艘海舰相距300海里．【题型6 梯子问题】【例】（2022春•淮南期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为米．【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，∴AB2＝0.72+2.42＝6.25（米2），∵AB＞0，∴AB＝2.5（米），在Rt△A′BD中，∠A′DB＝90°，A′D＝2米，A'B＝AB＝2.5米，∴BD2+A′D2＝A′B2，即BD2+22＝2.52（米2），∵BD＞0，∴BD＝1.5（米），∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2（米），故答案为：2.2．【变式】一个长度为5米的梯子的底端距离墙脚2米，这个梯子的顶端能达到4.5米的墙头吗？【分析】根据勾股定理，求出梯子顶端到地面的垂直高度（距离），再和墙的高度作比较．【解答】解：梯子顶端到地面的垂直距离为：√52−22=√21，因为√21＞4.5，所以这个梯子的顶端能达到4.5米的墙头．【题型7 勾股定理之选址使到两地距离相等】【例】如图，在笔直的高速路旁边有A、B两个村庄，A村庄到公路的距离AC＝8km，B村庄到公路的距离BD＝14km，测得C、D两点的距离为20km，现要在CD之间建一个服务区E，使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长．【分析】根据题意设出E点坐标，再由勾股定理列出方程求解即可．【解答】解：设CE＝x，则DE＝20﹣x，由勾股定理得：在Rt△ACE中，AE2＝AC2+CE2＝82+x2，在Rt△BDE中，BE2＝BD2+DE2＝142+（20﹣x）2，由题意可知：AE＝BE，所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3所以，E应建在距C点13.3km，即CE＝13.3km．【变式】在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高米．【分析】首先设树的高度为x米，用x表示BD＝x﹣5，AD＝20﹣x，再利用勾股定理就可求出树的高度．【解答】解：设树的高度为x米．∵两只猴子所经过的距离相等，BC+AC＝15，∴BD＝x﹣5，AD＝20﹣x，在Rt△ACD中根据勾股定理得，CD2+AC2＝AD2，x2+100＝（20﹣x）2，x＝7.5，故答案为：7.5．。
勾股定理及常见题型分类
勾股定理及常见题型分类一、知识要点：1.勾股定理是指直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和。
2.勾股定理的证明方法包括几何证明和代数证明，其中几何证明使用勾股树。
3.勾股定理的逆定理是指若一个三角形的三边满足勾股定理，则该三角形是直角三角形。
4.勾股定理常见题型包括勾股定理的应用、勾股定理的证明和勾股定理的逆定理。
二、典型题题型一：“勾股树”及其拓展类型求面积1.如图所示，正方形A、B、C、D构成了一棵勾股树，求最大正方形E的面积。
2.如图所示，直线l上有三个正方形a、b、c，已知a、c 的边长分别为6和8，求b的面积。
3.如图所示，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，探索三个半圆的面积之间的关系。
4.如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是S1+S2=S3.5.如图所示，依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是4、5、6、7.题型二：勾股定理与图形问题1.如图所示，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是n+1.2.如图所示，求该四边形的面积。
3.如图所示，已知在△ABC中，∠A=45°，AC=2，AB=3+1，则边BC的长为3.4.如图所示，某公司的大门为长方形ABCD，上部为以AD为直径的半圆，已知AB=2.3m，BC=2m，卡车高2.5m，宽1.6m，判断卡车是否能通过公司的大门，并说明理由。
5.如图所示，已知AD=8m，CD=6m，∠D=90°，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积。
题型三：已知两边求第三边1.在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm、2cm，则斜边长为√5cm。
2.已知直角三角形的两边长为3cm、2cm，则另一条边长的平方是5cm²。
勾股定理翻折问题12种类型例题
勾股定理翻折问题12种类型例题勾股定理翻折问题12种类型例题引言在数学领域中，勾股定理是一个非常基础但又十分重要的定理。
它主要描述了直角三角形中三条边之间的关系，这一定理在几何学中应用广泛。
而勾股定理的翻折问题则是对勾股定理的一种延伸和拓展，涉及到更多的变数和复杂的计算。
今天，我将以深度和广度兼具的方式来探讨这一问题，并给出12种类型的例题，希望能够给大家带来一些启发和帮助。
1. 直角三角形的性质我们来回顾一下直角三角形的性质。
在一个直角三角形ABC中，有一个直角，记作∠C=90°。
根据勾股定理，我们知道a^2 + b^2 = c^2，其中a和b分别代表三角形中的两条短边，c代表斜边。
这是我们解决翻折问题的基础。
2. 翻折问题的定义接下来，我们需要了解翻折问题的定义。
翻折问题是指在平面直角坐标系上，已知一个单一的点A(x,y)，通过某种方法，将该点按照直角三角形的勾股定理进行“翻折”，得到一个点B，使得点B满足勾股定理的条件。
3. 常见类型的例题现在，让我们来看一下翻折问题中的一些常见类型的例题，以便更好地理解这一概念。
第一种类型：已知直角三角形的斜边长度c，求翻折后的点B的坐标。
在这种类型的例题中，我们已知直角三角形的斜边长度c，需要求出点B的坐标。
这需要我们运用勾股定理来解决问题，具体的计算过程可能会涉及到一些代数运算和方程求解。
第二种类型：已知直角三角形的两条短边a和b，求翻折后的点B的坐标。
这种类型的例题相较于第一种类型来说更为简单，因为我们已知直角三角形的两条短边a和b，可以直接套用勾股定理来求解点B的坐标。
第三种类型：已知点A的坐标(x,y)，求其翻折后的点B的坐标。
在这种类型的例题中，我们已知点A的坐标(x,y)，需要根据这一坐标来求解点B的坐标。
这个过程需要我们巧妙地运用勾股定理和坐标的计算方式，是一个比较灵活和有趣的问题。
第四种类型：已知点A的坐标(x,y)和直角三角形的斜边长度c，求翻折后的点B的坐标。
勾股定理与方程
62 32 6 x)2 =y2 62 x2 =y2 （1）（2），得
（1） （2）
142 (16 x)2 62 +x2 =0
x=3
y=3 3或y= 3 （3 舍去）
SABC
1 2
AB CD
1 16 3 3 24 3 2
答：ABC的面积为24 3.
类比勾股定理，试猜想
a2 b2与c2
的关系，并证明你的结论.
.
注意：
锐角三角形和钝角三角形都要过点A或点B作 高，才能得出结论.
小结
应注意：没有图的要按题意画好 图并标上字母.
”;
如：要求CE，需先求DE，再由勾股定理求
CE.
【问题5】如果将勾股定理中“直角三角形”改
为？“斜三角形a”2 ，b2与c2
的关系会是怎样呢
思考题：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若
∠C=90°，如图①，根据勾股定理，则 a2 b2 =c2
，若△ABC不是直角三角形，如图②和图③，请你
设计意图： 1.能利用勾股定理解决简单的实际问题； 2.通过用代数式、方程等表述数量关系的过程，体 会模型的思想，建立符号意识；
3.初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和 提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的 实际问题，增强应用意识，提高实践能力；
4.本题是我国古代数学著作《九章算术》中的问题 ，展现我国古人在勾股定理应用研究方面的成果.
一只猴子爬下树后恰好也走到地
D
面C处，如果两个猴子经过的距离
相等，问这棵树有多高？
A
5m
C
10m
B
思考2
解：如图，D为树顶，AB=5 m,BC=10 m.
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勾股定理应用题
题型一：已知两边求第三边
1、直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为７2cm ,82cm ,则以斜边为边长的正方形的面积为＿＿___＿___2cm ．
2、已知直角三角形的两边长为5、1２，则另一条边长是__＿_＿_＿_＿____＿__.
3、作出长度为10的线段。
4、一种盛饮料的圆柱形杯,测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4．6㎝,问吸管要做多长？
针对练习
１、以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是( )
A.2，３，4 Ｂ.10,8,４ C.７，2５,24 Ｄ.７，15,1２ ２、已知一个Rt △的两边长分别为3和４,则第三边长的平方是（ ）
A.25
B.1４ﻩ Ｃ.7
D ．7或２5 3、以面积为9 c ｍ2ﻩ的正方形对角线为边作正方形，其面积为( ）
A.9 cm 2
B.13 c ｍ2ﻩ
C.１8 cm ２ﻩ D ．２4 cm 2
题型二:利用勾股定理测量长度 例1: 如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?
A B
例２：如图
(8)
，水池中离岸边D 点1．5米的Ｃ处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边,它的顶端Ｂ恰好落到D 点,并求水池的深度AC.
例３：如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10ｍ处折断倒下,树顶落在离树根２4ｍ处. 大
树在折断之前高多少?
题型三:转化思想
例:如图,有一圆柱，其高为12ｃm ，它的底面半径为3cm,在圆柱下底面Ａ处有一只蚂蚁， 它想得到上面B 处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为________ cm 。
（π取3）
题型四：利用勾股定理解决实际问题
例:如图，在一个高为３米,长为5米的楼梯表面铺地毯， 则地毯长度为多少米？
巩固练习 １、如图1,直角△AB Ｃ的周长为24,且A Ｂ:ＡC=５：3,则BC ＝（ ）
A ．6 Ｂ．8 C.１０ D.1２
图 1 图2
2、如图2,一架云梯长２5米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙７米,如果梯子的顶端下滑4米，
那么梯子的底部在水平方向上滑动了( ）
A ．４米
B ．６米 Ｃ.8米 D.１0米
3、将一根长２4 cm 的筷子，置于底面直径为5ｃｍ、高为1２cm 的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长为hcm,则h 的取值范围是( )
Ａ.5≤h ≤12 ﻩ B.5≤h ≤２４ﻩ C.１1≤ｈ≤12ﻩ Ｄ．１2≤h ≤24
4、已知，如图,长方形ＡBC Ｄ中，AB=3ｃm ，A Ｄ=9cm,将此长方形折叠,使点B 与点Ｄ重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为( ）
A ．６cm 2ﻩ
B ．8ｃm ２ﻩ C.1０cm 2
D.12cm
2
４题 5题 ６题 ５、已知,如图，四边形ＡBCD 中，AB=3cm,A Ｄ=4cm ，B Ｃ=13ｃm,CD=12cm ，且∠A=９0°,则四边形ABC Ｄ的面积为（ )
Ａ、36， Ｂ、2２ C 、18 Ｄ、1２
6、如图中阴影部分是一个正方形,如果正方形的面积为６４厘米2,则X 的长为 厘米。
7、如图，从电线杆离地面６米处向地面拉一条长1０米的缆绳,这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部为 米。
7题 ８题
8、如图,在等腰直角△ABC 中,AD 是斜边BC 上的高，AB=8,则AD 2
＝ 。
9、小华和小红都从同一点O 出发,小华向北走了9米到A 点，小红向
东走了12米到了B 点,则________ AB 米。
1０、如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为6cm，则正方形A,Ｂ,Ｃ,D的面积之和为___＿_cm2。
1１、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点Ｃ偏离欲到达点Ｂ 200ｍ，结果他在水中实际游了5２0m,求该河流的宽度为多少？
课后思考题
如图,一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为２0、3、２,A 和B是这个台阶两个相对的端点,A点有一只蚂蚁,想到Ｂ点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是。