.4.2.3直线与圆的方程的应用(1)教案 新人教A版必修2
高中数学必修2教案-6.示范教案(4.2.3 直线与圆的方程的应用)
4.2.3 直线与圆的方程的应用整体设计教学分析直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用.本小节设置了一些例题,分别说明直线与圆的方程在实际生活中的应用,以及用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程.三维目标(1)理解直线与圆的位置关系的几何性质；(2)利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.(3)会用“数形结合”的数学思想解决问题.让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的方程的应用,培养学生分析问题与解决问题的能力.重点难点教学重点：求圆的应用性问题.教学难点:直线与圆的方程的应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.如图1,某城市中的高空观览车的高度是100 m,图1在离观览车约150 m处有一建筑物,某人在离建筑物100 m的地方刚好可以看到观览车,你根据上述数据,如何求出该建筑物的高度？要解决这个问题,我们继续研究直线与圆的方程的应用,教师板书课题:直线与圆的方程的应用.思路2.同学们,前面我们学习了圆的方程、直线与圆的位置关系、圆和圆的位置关系,那么如何利用这些关系来解决一些问题,怎样解决?带着这些问题我们学习直线与圆的方程的应用.教师板书课题:直线与圆的方程的应用.推进新课新知探究提出问题①你能说出直线与圆的位置关系吗？②解决直线与圆的位置关系,你将采用什么方法？③阅读并思考教科书上的例4,你将选择什么方法解决例4的问题？④你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？⑤你能利用“坐标法”解决例5吗？活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,发散思维.①学生回顾学习的直线与圆的位置关系的种类；②解决直线与圆的位置关系,可以采取两种方法；③首先考虑问题的实际意义,如果本题出在初中,我们没有考虑的余地,只有几何法,在这里当然可以考虑用坐标法,两种方法比较可知哪个简单；④回顾圆的定义可知确定一个圆的方程的条件；⑤利用“坐标法”解决问题的关键是建立适当的坐标系,再利用代数与几何元素的相互转化得到结论. 讨论结果：①直线与圆的位置关系有三类:相交、相切、相离.②解决直线与圆的位置关系,将采用代数和几何两种方法,多数情况下采用圆心到直线的距离与半径的关系来解决.③阅读并思考教科书上的例4,先用代数方法及坐标法,再用几何法,作一比较.④你能分析一下确定一个圆的方程的要点,圆心坐标和半径,有时关于D 、E 、F 的三个独立的条件也可.⑤建立适当的坐标系,具体解法我们在例题中展开.应用示例思路1例1 讲解课本4.2节例4,解法一见课本.图2解法二：如图2,过P 2作P 2H ⊥OP.由已知,|OP|=4,|OA|=10.在Rt △AOC 中,有|CA|2=|CO|2+|OA|2设拱圆所在的圆的半径为r,则有r 2=(r-4)2+102. 解得r=14.5.在Rt △CP 2H 中,有|CP 2|2=|CH|2+|P 2H|2.因为|P 2H|=|OA 2|=2,于是有|CH|2=r 2-|OA 2|2=14.52-4=206.25.又|OC|=14.5-4=10.5,于是有|OH|=|CH|-|CO|=25.206-10.5≈14.36-10.5=3.86.所以支柱A 2P 2的长度约为3.86 cm.点评：通过课本解法我们总结利用坐标法解决几何问题的步骤是：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.把两种解法比较可以看出坐标法通俗易懂,几何法较难想,繁琐,因此解题时要有所选择. 变式训练已知圆内接四边形的对角线互相垂直,求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.图3解:如图3,以四边形ABCD 互相垂直的对角线CA 、DB 所在直线分别为x 轴、y 轴,建立适当的平面直角坐标系,设A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).过四边形ABCD 的外接圆的圆心O 1分别作AC 、BD 、AD 的垂线,垂足分别为M 、N 、E, 则M 、N 、E 分别为线段AC 、BD 、AD 的中点,由线段的中点坐标公式,得1O x =x m =2c a +,1O y =y n =2d b +,x E =2a ,y E =2d .所以|O 1E|=222221)222()222(c bd d b a c a +=-++-+. 又|BC|=22c b +,所以|O 1E|=21|BC|. 点评:用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素、点、直线、圆.将几何问题转化为代数问题,然后通过代数运算解决代数问题,最后解释代数运算结果的几何意义,得到几何问题的结论.例2 有一种大型商品,A 、B 两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后回运的运费是：每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍,已知A 、B 两地相距10 km,居民选择A 或B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.活动：学生先审题,然后思考或讨论,学生有困难教师可以提示引导,建立适当的坐标系,这里以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的中点为原点建立直角坐标系较简单,假设一点距A 地近,且费用低,列方程或不等式.解:以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的中点为原点建立直角坐标系,则A(－5,0),B(5,0).设某地P 的坐标为(x,y),且P 地居民选择A 地购买商品的费用较低,并设A 地的运费为3a 元/km,则B 地运费为a 元/km.由于P 地居民购买商品的总费用满足条件：价格+A 地运费≤价格+B 地运费,即3a 22)5(y x ++≤a 22)5(y x +-,整理得(x+425)2+y 2≤(415)2. 所以以点C(-425,0)为圆心,415为半径的圆就是两地居民购货的分界线.圆内的居民从A 地购货费用较低,圆外的居民从B 地购货费用较低,圆上的居民从A 、B 两地购货的总费用相等,因此可以随意从A 、B 两地之一购货.点评:在学习中要注意联系实际,重视数学在生产、生活和相关学科中的应用,解决有关实际问题时,关键要明确题意,掌握建立数学模型的基本方法.思路2例1 求通过直线2x-y+3=0与圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的交点,且面积最小的圆的方程. 活动:学生思考或交流,教师提示引导,求圆的方程无非有两种方法:代数法和几何法. 解法一:利用过两曲线交点的曲线系,设圆的方程为x 2+y 2+2x-4y+1+λ(2x -y+3)=0,配方得标准式(x+1+λ)2+(y-2-2λ)2=(1+λ)2+(2+2λ)2-3λ-1, ∵r 2=45λ2+λ+4=45(λ+52)2+519, ∴当λ=-52时,半径r=519最小. ∴所求面积最小的圆的方程为5x 2+5y 2+6x-18y-1=0.解法二:利用平面几何知识,以直线与圆的交点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)连线为直径的圆符合要求.由⎩⎨⎧=+-++=+-,0142,03222y x y x y x 消去y,得5x 2+6x-2=0.∴判别式Δ＞0,AB 中点横坐标x 0=221x x +=-53,纵坐标y 0=2x 0+3=59, 即圆心O′(-53,59). 又半径r=21|x 1-x 2|·221+=519, ∴所求面积最小的圆的方程是(x+53)2+(y-59)2=519. 点评:要熟练地进行圆的一般式与标准式之间的互化,这里配方法十分重要,方法二用到求弦长的公式|AB|=|x 1-x 2|·21k +;对于圆的弦长,还可以利用勾股定理求得,即|AB|=22d r -,其中r 为圆半径,d 为圆心到弦的距离.变式训练设圆满足①截y 轴所得弦长为2,②被x 轴分成两段弧,弧长之比为3∶1,在满足条件①②的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.图4解:关键确定圆心坐标和半径.如图4.设圆心A(a,b),则半径r=2|b|.由截y 轴的弦长为2,知a 2+1=r 2=2b 2,又圆心A 到l 的距离d=51|a-2b|,∴5d 2=a 2+4b 2-4ab≥a 2+4b 2-2(a 2+b 2)=2b 2-a 2=1,当且仅当a=b 时等号成立.这里由⎪⎩⎪⎨⎧==+=,2,1,2222r b r a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧===.2,1,12,1,1r b a r b a 或∴圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.例 2 已知x,y 是实数,且x 2+y 2-4x-6y+12=0,求(1)xy 的最值;(2)x 2+y 2的最值;(3)x+y 的最值;(4)x-y 的最值.活动：学生思考或交流,教师引导,数形结合,将代数式或方程赋予几何意义.解:(x-2)2+(y-3)2=1表示以点C(2,3)为圆心,1为半径的圆. (1)xy 表示圆C 上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连线的斜率k, 故当y=kx 为圆C 的切线时,k 得最值. ∵21|32|k k +-=1,∴k=2±323. ∴x y 的最大值为2+323,最小值为2-323.(2)设x 2+y 2表示圆C 上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连结的线段长的平方,故由平面几何知识,知当P 为直线OC 与圆C 的两交点P 1、P 2时,OP 12与OP 22分别为OP 2的最大值、最小值. ∴x 2+y 2的最大值为(2232++1)2=14+213,最小值为(2232+-1)2=14-213.(3)令x+y=m,当直线l:x+y=m 与圆C 相切时,l 在y 轴上截距m 取得最值. ∵2|32|m -+=1,∴m=5±2.∴x+y 的最大值为5+2,最小值为5-2.(4)令x-y=n,当直线l′:x -y=n 与圆C 相切时,l′在y 轴上截距的相反数n 取得最值. ∵2|32|n --=1,∴n=-1±2.∴x-y 的最大值为-1+2,最小值为-1-2.点评:从“数”中认识“形”,从“形”中认识“数”,数形结合相互转化是数学思维的基本方法之一.“数学是一个有机的统一体,它的生命力的一个必要条件是所有的各个部分不可分离地结合.”(希尔伯特)数形结合的思维能力不仅是中学生的数学能力、数学素养的主要标志之一,而且也是学习高等数学和现代数学的基本能力.本题是利用直线和圆的知识求最值的典型题目. 例3 已知圆O 的方程为x 2+y 2=9,求过点A(1,2)所作的弦的中点的轨迹.活动：学生回想求轨迹方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几何的知识.解法一:参数法(常规方法)设过A 的弦所在的直线方程为y-2=k(x-1)(k 存在时),P(x,y),则⎩⎨⎧-+==+),2(,922k kx y y x 消y,得(1+k 2)x 2+2k(2-k)x+k 2-4k-5=0.∴x 1+x 2=1)2(22+-k k k .利用中点坐标公式及中点在直线上,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+-=12,1)2(22k k y k k k x (k 为参数).∴消去k 得P 点的轨迹方程为x 2+y 2-x-2y=0,当k 不存在时,中点P(1,0)的坐标也适合方程. ∴P 的轨迹是以点(21,1)为圆心,25为半径的圆. 解法二:代点法(涉及中点问题可考虑此法)设过点A 的弦MN,M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).∵M 、N 在圆O 上,∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.9,922222121y x y x .∴相减得(x 1+x 2)+2121x x y y --·(y 1+y 2)=0(x 1≠x 2). 设P(x,y),则x=221x x +,y=221y y +. ∴M 、N 、P 、A 四点共线, 2121x x y y --=12--x y (x≠1). ∴2x+12--x y ·2y=0. ∴中点P 的轨迹方程是x 2+y 2-x-2y=0(x=1时亦正确). ∴点P 的轨迹是以点(21,1)为圆心,25为半径的圆. 解法三:数形结合(利用平面几何知识)由垂径定理知OP ⊥PA,故P 点的轨迹是以AO 为直径的圆.(下略)点评:本题涉及求轨迹方程的三种间接方法.思路一,代表了解析几何的基本思路和基本方法,即⎩⎨⎧==,0),(,0),(y x g y x f 消y(或x)得关于x(或y)的一元二次方程Ax 2+Bx+C=0,再利用求根公式、判别式、韦达定理等得解.思路二,又叫平方差法,要求弦的中点的轨迹方程时,用此法比较简便. 基本思路是利用弦的两个端点M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2)在已知曲线上,将点的坐标代入已知方程然后相减,利用平方差公式可得x 1+x 2、y 1+y 2、x 1-x 2、y 1-y 2等.再由弦MN 的中点P(x,y)的坐标满足x=221x x +,y=221y y +,以及直线MN 的斜率k=2121x x y y --(x 1≠x 2)等,设法消去x 1、x 2、y 1、y 2,即可得弦MN 的中点P 的轨迹方程.用此法对斜率不存在的情况,要单独讨论.思路三,数形结合,利用平面几何知识等,有时能使求解过程变得非常简洁.学好解析几何,要掌握特点,注意四个结合:①数形结合:形不离数,数不离形,依形判断,就数论形;②动静结合:动中有静,静中有动,几何条件——曲线方程——图形性质;③特殊与一般结合:一般性寓于特殊性之中,特殊化与一般化是重要的数学思维方法;④理论与实际结合:学以致用,创造开拓.知能训练课本本节练习1、2、3、4.拓展提升某种体育比赛的规则是:进攻队员与防守队员均在安全线l 的垂线AC 上(C 为垂足),且距C 分别为2a 和a(a ＞0)的点A 和B,进攻队员沿直线AD 向安全线跑动,防守队员沿直线方向向前拦截,设AD 和BM 交于M,若在M 点,防守队员比进攻队员先到或同时到,则进攻队员失败,已知进攻队员的速度是防守队员速度的两倍,且他们双方速度不变,问进攻队员的路线AD 应为什么方向才能取胜?图5解:如图5,以l 为x 轴,C 为原点建立直角坐标系,设防守队员速度为v,则进攻队员速度为2v,设点M 坐标为(x,y),进攻队员与防守队员跑到点M 所需时间分别为t 1=v AM 2||,t 2=v BM ||. 若t 1＜t 2,则|AM|＜2|BM|,即2222)(2)2(a y x a y x -+<-+.整理,得x 2+(y-32a)2＞(32a)2,这说明点M 应在圆E:x 2+(y-32a)2=(32a)2以外,进攻队员方能取胜.设AN 为圆E 的切线,N 为切点,在Rt △AEN 中,容易求出∠EAN=30°,所以进攻队员的路线AD 与AC 所成角大于30°即可.课堂小结1.用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.2.对于直线和圆,熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确地解题,还必须掌握一些方法和技巧.常用的有：(1)利用可再化简、对称、直交、平行等特点适当地选择坐标系；(2)善于根据图形的已知条件和论证的目标,恰当地使用曲线的方程；(3)掌握直线和圆的基本定义、基本概念、基本性质,有效运用它们来解题；(4)注意“平几”知识在简洁、直观表达问题中的作用；(5)借助数形结合进行等价转化,减少思维量、运算量；(6)灵活使用曲线系方程,方便快捷地解题；(7)根据背景的特点,巧用字母的替换法则；(8)充分运用韦达定理进行转化与化归；(9)留心引参消参、设而不求等在优化解题思路方面上的作用.3.直线和圆在现实生活中有着十分广泛的应用,主要包括两大块：一是直线与圆的直接应用,它涉及到质量、重心、气象预报、购物选址、光的折射、直线型经验公式的选用等问题,这部分涉及的知识内容比较简单,要熟练掌握直线和圆的方程形式；可以使我们更好地了解近代数学的发展,从而有利于学生应用数学意识的培养.作业习题4.2 B 组2、3、5.设计感想本节课是在教师的引导下,对已学知识进行归纳、总结,以形成更系统、更完整的体系；对已学知识进一步加深理解,强化记忆,是一个再认识,再学习的过程,对已掌握的技能、规律、方法进行深化和进一步熟悉,提高学生分析、理解问题的能力.例题设置目的在于“以点带面,举一反三”.能抓住问题的本质举一反三；思路1通过新旧知识联系,加强横向沟通,考查学生是否具有多角度思考问题、利用不同的方法解决问题的能力,重在应用.思路2注重在课堂上进行解题方法的讨论,有助于活跃学生思维,促进发散思维的培养,提高思维灵活性,抓住数形结合的数学思想,总结解题规律,充分体现解析几何的研究方法.。
高中数学教案之高一数学人教版必修二4.2.3直线与圆的方程的应用
高一数学必修二教案
科目：数学
课题
课型
直线与圆的方程的应用
（ 1）会用“数形结合”的数学思想解决问题 .
教学
目标
（ 2）理解掌握，直线与圆的方程在实际生活中的应用
.
新课
（ 3）让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问
题与解决问题的能力教学教ຫໍສະໝຸດ 内容备过程注
一、 自主 学习
二、 质疑 提问
高中数学教案之高一数学人教版必修二 4.2.3 直线与圆的方程的应用
高中数学教案之高一数学人教版必修二 4.2.3 直线与圆的方程的应用
高中数学教案之高一数学人教版必修二 4.2.3 直线与圆的方程的应用
三、 问题 探究
高中数学教案之高一数学人教版必修二 4.2.3 直线与圆的方程的应用
高中数学教案之高一数学人教版必修二 4.2.3 直线与圆的方程的应用
四、 课堂 检测
五、 小结 评价
4.2.直线与圆的方程的应用-人教A版必修二教案
4.2 直线与圆的方程的应用 - 人教A版必修二教案一、教学目标1.掌握直线与圆的交点求解方法；2.掌握直线与圆方程的联立及解法；3.理解直线与圆方程的应用；4.能够独立解决直线与圆方程综合应用的问题。
二、教学重点1.直线与圆的交点求解方法；2.直线与圆方程的联立及解法；3.直线与圆方程的应用。
三、教学难点1.直线与圆方程的联立及解法；2.直线与圆方程的应用。
四、教学过程1. 导入新知识通过引入一个实际问题，如求解直线与圆的交点，引导学生认识到本章要学习的知识点。
2. 理解直线方程与圆方程通过教师的讲解及相关实例的演示，学生能够理解直线和圆分别的标准方程、一般式方程和参数式方程。
3. 直线与圆的交点求解方法在理解了直线和圆的方程后，学生需要掌握直线与圆的交点求解方法。
首先学生需要理解判别式的概念，然后通过解方程的方式求解直线与圆的交点。
4. 直线与圆方程的联立及解法在把直线和圆的方程联系起来的过程中，学生会遇到直线和圆方程联立时的解法。
教师应通过讲解和实例演示帮助学生理解解方程的方法。
5. 直线与圆方程的应用在学习了直线和圆的方程及其联立解法后，教师需要通过实例演示说明直线与圆方程实际应用的场景，如求解圆内切于三角形且过指定点的直线方程。
6. 练习及作业让学生进行相关练习，巩固所学知识。
五、教学反思本课程通过引入实际问题引导学生认识到要学习的知识点，让学生通过讲解、演示、实例等方式逐步掌握直线与圆的交点求解方法以及直线与圆方程的联立及解法，最终通过实际的场景应用来加深理解。
同时，教师也应引导学生独立思考和解决问题的能力。
4.2.3直线与圆的方程的应用教案
4.2.3 直线与圆的方程的应用教案1. 教学目标•理解直线和圆的方程的基本概念及其应用；•掌握利用直线和圆的方程解决实际问题的方法；•培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
2. 教学内容•直线和圆的方程的概念和基本性质；•直线和圆的方程的利用方法；•实际问题的解决方法。
3. 教学重点•直线和圆的方程的应用；•实际问题的解决方法。
4. 教学方法•合作学习法：学生分组进行问题解答和讨论；•案例分析法：通过具体案例分析来引发学生思考和讨论。
5. 教学准备•教学PPT；•教学板书；•直线和圆的方程相关的案例题。
6. 教学步骤第一步：引入1.引导学生回顾直线和圆的基本概念和方程的表示方法；2.提出一个实际问题，如：小明家离学校的距离为10 km，他的家与学校之间有一条笔直的公路，小明每天骑自行车沿着公路来回上下学。
问：小明上学和放学分别骑行多久可以到达学校和回家？第二步：知识讲解1.通过PPT展示直线和圆的方程的应用方法；2.讲解题目中的问题可以通过直线的方程来解决；3.引导学生思考，如果道路是曲线会对题目的解决方法产生什么影响。
第三步：案例分析1.提供一个具体的案例题，如：已知直线方程为2x + 3y = 7，圆的方程为(x-2)² + (y+1)² = 9，求直线与圆的交点；2.学生分组进行讨论，尝试寻找解决问题的方法；3.鼓励学生积极思考，指导他们通过代入法解决问题。
第四步：解决问题1.组织学生进行讨论，整理解决问题的步骤并记录在板书上；2.学生按照讨论的步骤，尝试解决问题；3.学生上台讲解解题过程，引导其他学生讨论和提问。
第五步：总结1.总结直线和圆的方程的应用方法；2.引导学生思考直线和圆的方程的优点和局限性；3.鼓励学生发散思维，思考其他应用场景。
7. 课堂练习1.提供多个直线和圆的方程的应用题，进行课堂练习；2.学生分组解答题目，并互相讨论解答过程。
8. 布置作业1.布置练习题，要求学生使用直线和圆的方程解决相关问题；2.鼓励学生对课堂讲解的知识进行扩展和应用。
人教A版高中数学必修二第四章直线与圆的方程的应用教案新
4.2.3 直线与圆的方程的应用
一、教学目标
1、知识与技能
（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；
（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
3、情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力．
二、教学重点、难点：
重点与难点：直线与圆的方程的应用．
三、教学设想。
【免费下载】高中数学必修2人教A教案423直线与圆的方程的应用
（一）教学目标1（（2用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果3让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力（二）教学重点、难点重点与难点：直线与圆的方程的应用教学环节教师再引入课题现在我们通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及例孔圆拱的，拱高OP = 4m，建4m需要用一根支解析：建立图所示的直角坐标设圆心的坐标是(0，b)，圆的，那么圆的方程是x生：自学例、师：分析例程，启发学生利用坐标法求，注下面确定b 和r 的值.因为P 、B 都在圆上，所以它们的坐标(0，4)，(10，0)都满足方程x 2 + (y – b )2 = r 2.于是，得到方程组2222220(4),10(0)b r b r⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得b = –10.5，r 2 = 14.52所以，圆的方程是x 2 + (y + 10.5)2 = 14.52.把点P 2的横坐标x = –2代入圆的方程，得(–2)2 + (y + 10.5)2 = 14.52，取2210.514.5(2)y +=--(P 2的纵坐标y ＞0平方根取正值).所以2214.5(2)10.5y =---≈14.36 – 10.5=3.86(m)4．你能分析一下确定一例边形的对角线互相垂直，求证生：建立适当的直角坐标系，探求解决问题的方法证明：如图，以四边形ABCD 过四边形′分别作x 所以又所以练习37.4m 练习3 某圆拱桥的水面跨度20m ，拱高4m.现有一船，10m ，水面以上高3m ，这条船能否从桥下通过？ 练习4 等边△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，1|||3BD BC =，|CE | CA |，AD 、B 教师指导学生阅读教材，并练习建立如图所示的直A (18.7，0)，，设所求圆的方程是(x – a )2 + b 于是有⎩解此方程组，得解：轴，单位长，建立如图所示的坐标系.证明：如图，x 轴，建立直角,0),(,0)2m C ，(,0)2n ，由已知，点A 在PQ 2n地的单位距离运费为a，即从。
高中数学必修二教案-直线与圆的方程的应用
课题：2.4.2.3直线与圆的方程的应用(1)
课型：新授课
教学目标：（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；
（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．
教学重点、难点：直线与圆的方程的应用．
教学过程：
一、复习引入：
问题1：如何判断直线与圆的位置关系？
问题2：如何判断圆与圆的位置关系？
直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，这几节课我们将通过一些例子学习直线与圆的方程在实际生活以及平面几何等方面的应用
二、新课教学：
例1．（课本例4）图4。
2-5是某圆拱形桥的示意图。
这个圆的圆拱跨度AB=20m，拱
A P的高度（精确到0.01m）. 高OP=4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱
22
小结方法:用坐标法解决实际应用题的步骤：
第一步：将实际应用题转化为数学问题，建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成实际结论，．
例2．（课本例5）已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
小结方法:用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
p练习第2，3，4题;
课堂练习：课本
132
p习题4.2A组第8，11题.B组第1题课后作业：课本
132。
数学：4.2.3《直线与圆的方程的应用》教案(新课标必修2) 最新!!
练习2：P144练习1；
四．本节小结：
作业
P144/A组7；P145/B组3、4
后记
一．复习旧知：
1．直线与圆、圆与圆的位相交；
（2）求两圆公共弦所在直线方程；（ ）
（3）在平面上找一点P，使过P点引两圆的切线，它们的长都等于 ，并求此点的坐标。（ 或 ）
二．探索新知：
1．坐标系下直线与圆方程实际问题的解决：
例1：（P142例4）某圆拱形桥的圆拱跨度 m，拱高 m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱 的高度。（图见课本P142）
主要内容及板书
练习1：P144练习2、3、4；
2．直线与圆位置关系的深入问题：
例2：（1）求与圆 关于直线 对称的圆的方程；
（2）一束光线从点A（－2，4）出发经x轴反射后，与圆 相切，试求
①入射光线所在直线的方程；
②光线在这一过程中所走的路程；
③若光线从点A（－2，4）出发经x轴反射后，与圆 有公共点，试求光线在该过程中所走路程的最小值及此时的公共点坐标。
教学内容：§4.2.3直线与圆的方程的应用总第5课时
教学目标
1．结合具体实例，让学生经历解答应用题的基本方法与过程；
2．会解决直线与圆位置关系的拓展问题，如对称、反射、最值等问题；
本节重点
直线与圆的方程在实际问题和平面几何等问题中的应用
本节难点
用坐标法解决实际问题
教学模式
教学过程
主要内容及板书
摘要与反思
例2：（P143例5）已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半。
高中数学人教A版必修2《4.2.3直线与圆的方程的应用》教学案3
必修二《4.2.3直线与圆的方程应用》教学案学习目标(1)理解直线与圆的位置关系的几何性质；(2)利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；(3)会用“数形结合”的数学思想解决问题．学习重点直线与圆的方程的应用．学习难点直线与圆的方程的应用．教学设计一、目标展示二、自主学习三、合作探究直线与圆的方程的应用非常广泛，对于生产、生活实践以及平面几何中与直线和圆有关的问题，我们可以建立直角坐标系，通过直线与圆的方程，将其转化为代数问题来解决．本节我们通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用．四、精讲点拨例1如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．这个圆的圆拱跨度AB＝20m，拱高OP＝4 m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01m)．跟踪训练1一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西60km处，受影响的范围是半径长为20km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北30km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？例2已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半．跟踪训练2Rt△ABC的斜边BC为定长m，以斜边的中点O为圆心作半径为定长n的圆，BC所在直线交此圆于P、Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值．例3．某圆拱桥的水面跨度20m，拱高4m．现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？跟踪训练3设半径为3km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东，B向北，A出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度一定，其比为3∶1，问A、B两人在何处相遇？五、达标检测1．一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过 ( )A．1.4米B．3.0米C．3.6米D．4.5米2．方程y＝1－x2表示的图形是( )3．如图所示，A，B是直线l上的两点，且AB＝2.两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成的图形面积S的取值范围是___________．六、课堂小结1．利用坐标法解决平面几何问题，是将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题，应用的是数学中最基本的思想方法：转化与化归的思想方法，事实上，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归．所谓转化与化归思想是指把待解决的问题(或未解决的问题)转化化归为已有知识范围内可解决的问题的一种数学意识．2．利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题．课后作业习题4．2B组：1、2．教后反思。
人教A版高中数学必修二直线与圆的方程的应用教案一(1)
练习：某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m.现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过?
例2据气象台预报：在O市正东方向300km的B处有一台风中心形成，并以每小时40km的速度向西北方向移动。在距台风中心250km以内的地区将受其影响，问从现在起经过多长时间，台风将影响O市？持续时间多长？
点拨：当船行驶在河道的正中央时，要使船能够通过桥洞的最低要求是船顶最宽处的角点在圆拱桥的拱圈上。
使学生熟悉平面几何问题与代数问题的转化，加深“坐标法”的解题步骤．
教
后
反
思
时间
月日
备课组长签名
三、课堂小结
（1）利用“坐标法”解决问题的需要准备什么工作？
（2）如何建立直角坐标系，才能易于解决平面几何问题？
（3）你认为学好“坐标法”解决问题的关键是什么？
四、巩固练习
船行前方的河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面为9m，拱圈内水面宽22m．船只在水面以上部分高6.5m、船顶部宽4m，故通行无阻．近日水位暴涨了2.7m，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身．试问船身必须降低多少，才能顺利地通过桥洞？
威坪中学课时授课计划
授课时间：2008年月日星期：授课教师：
课题
4.2.3直线与圆的方程ຫໍສະໝຸດ 应用（一）课时第1课时
课型
新授课
授课班级
课时
教学
目标
（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；
（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．
教学重点、难点
高中数学必修2教案：4-2-3直线与圆的方程的应用
课题：2.4.2.3直线与圆的方程的应用课型：新授课教学目标：（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．教学重点、难点：直线与圆的方程的应用．教学过程：一、复习引入：问题1：如何判断直线与圆的位置关系？问题2：如何判断圆与圆的位置关系？直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，这几节课我们将通过一些例子学习直线与圆的方程在实际生活以及平面几何等方面的应用二、新课教学：例1．（课本例4）图4。
2-5是某圆拱形桥的示意图。
这个圆的圆拱跨度AB=20m，拱A P的高度（精确到0.01m）. 高OP=4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱22小结方法:用坐标法解决实际应用题的步骤：第一步：将实际应用题转化为数学问题，建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成实际结论，．例2．（课本例5）已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.小结方法:用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．p练习第2，3，4题;课堂练习：课本132课后作业：课本132p 习题4.2A 组第8，11题.B 组第1题 课 型：习题课教学目标：（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系； （3）会用“数形结合”的数学思想解决问题． 教学重点、难点：直线与圆的方程的应用． 教学过程：一、作业讲评：课本132p 习题4.2A 组第8，11题.B 组第1题 二、讲练结合：1． 如果方程220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +- ）所表示的曲线关于直线0x y +=对称，那么必有（ B ）A ．D=E B.D+E=0 C.E+F=0 D.以上都不对2．从点P （x ，3）向圆22(2)(2)1x y +++=作切线，则切线长度的最小值等于 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课题：2.4.2.3直线与圆的方程的应用(1)
课型：新授课
教学目标：（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；
（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．
教学重点、难点：直线与圆的方程的应用．
教学过程：
一、复习引入：
问题1：如何判断直线与圆的位置关系？
问题2：如何判断圆与圆的位置关系？
直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，这几节课我们将通过一些例子学习直线与圆的方程在实际生活以及平面几何等方面的应用
二、新课教学：
例1．（课本例4）图4。
2-5是某圆拱形桥的示意图。
这个圆的圆拱跨度AB=20m，拱
A P的高度（精确到0.01m）. 高OP=4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱
22
小结方法:用坐标法解决实际应用题的步骤：
第一步：将实际应用题转化为数学问题，建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成实际结论，．
例2．（课本例5）已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
小结方法:用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
p练习第2，3，4题;
课堂练习：课本
132
p习题4.2A组第8，11题.B组第1题
课后作业：课本
132
小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
在中学阶段，至关重要！！以学生作为学习的主体，学生自己做主，不受别人支配，不受外界干扰通过阅读、听讲、研究、观察、实践等手段使个体可以得到持续变化（知识与技能，方法与过程，情感与价值的改善和升华）的行为方式。
如何培养中学生的自主学习能力？
01学习内容的自主性
1、以一个成绩比自己好的同学作为目标，努力超过他。
2、有一个关于以后的人生设想。
3、每学期开学时，都根据自己的学习情况设立一个学期目标。
4、如果没有达到自己的目标，会分析原因，再加把劲。
5、学习目标设定之后，会自己思考或让别人帮助分析是否符合自己的情况。
6、会针对自己的弱项设定学习目标。
7、常常看一些有意义的课外书或自己找(课外题)习题做。
8、自习课上，不必老师要求，自己知道该学什么。
9、总是能很快选择好对自己有用的学习资料。
10、自己不感兴趣的学科也好好学。
11、课堂上很在意老师提出的重点、难点问题。
12、会花很多时间专攻自己的学习弱项。
02时间管理
13、常常为自己制定学习计划。
14、为准备考试，会制定一个详细的计划。
15、会给假期作业制定一个完成计划，而不会临近开学才做。
16、常自己寻找没有干扰的地方学习。
17、课堂上会把精力集中到老师讲的重点内容上面。
18、做作业时，先选重要的和难一点的来完成。
19、作业总是在自己规定的时间内完成。
20、作业少时，会多自学一些课本上的知识。
03 学习策略
21、预习时，先从头到尾大致浏览一遍抓住要点。
22、根据课后习题来预习，以求抓住重点。
23、预习时，发现前面知识没有掌握的，回过头去补上来。
24、常常归纳学习内容的要点并想办法记住。
25、阅读时，常做标注，并多问几个为什么。
26、读完一篇文章，会想一想它主要讲了哪几个问题。
27、常寻找同一道题的几种解法。
28、采用一些巧妙的记忆方法，帮助自己记住学习内容。
29、阅读时遇到不懂的问题，常常标记下来以便问老师。
30、常对学过的知识进行分类、比较。
31、常回忆当天学过的东西。
32、有时和同学一起“一问一答”式地复习。
33、原来的学习方法不管用时，马上改变方法。
34、注意学习别人的解题方法。
35、一门课的成绩下降了，考虑自己的学习方法是否合适。
36、留意别人好的学习方法，学来用用。
37、抓住一天学习的重点内容做题或思考。
38、不断试用学习方法，然后找出最适合自己的。
04学习过程的自主性
39、解题遇到困难时，仍能保持心平气和。
40、在学习时很少烦躁不安。
41、做作业时，恰好有自己喜欢的电视节目，仍会坚持做作业。
42、学习时有朋友约我外出，会想办法拒绝。
43、写作文或解题时，会时刻注意不跑题。
44、解决问题时，要检验每一步的合理性。
45、时时调整学习进度，以保证自己在既定时间内完成任务。
05学习结果的评价与强化
46、做完作业后，自己认真检查一遍。
47、常让同学提问自己学过的知识。
48、经常反省自己一段时间的学习进步与否。
49、常常对一天的学习内容进行回顾。
50、考试或作业出现错误时，仔细分析错误原因。
51、每当取得好成绩时，总要找一找进步的原因。
52、如果没有按时完成作业，心里就过意不去。
53、如果因贪玩而导致成绩下降，就心里责怪自己。
54、考试成绩不好的时候，鼓励自己加倍努力。
06学习环境的控制
55、总给自己树立一个学习的榜样。
56、常和别人一起讨论问题。
57、遇到问题自己先想一想，想不出来就问老师或同学。
58、自己到书店选择适合自己的参考书。
59、常到图书馆借阅与学习有关的书籍。
60、经常查阅书籍或上网查找有关课外学习的资料。