《国际视角下的小学数学教育》摘记

《国际视角下的小学数学教育》摘记(2009-02-16 14:44:13)转载▼分类：且行且思标签：教育按：前一段时间，一个朋友向我推荐了郑毓信教授的《国际视角下的小学数学教育》，还把电子书传给了我（可惜不能复制内容）。

因为一直很敬佩郑教授，于是，边看边做一些摘记。

呵呵，也许读书是应该留下一点痕迹的吧！引言：数学教育研究之合理定位我们首先应特别关注关于数学学习过程中思维活动的研究，因为，从根本上说，一切的数学教学活动或教育教学研究最终都应落实到学生的数学学习，从而，只有对学生在数学学习过程中的思维活动具有较为深入的了解，数学教育研究才有可能在科学的基础上得到健康发展，我们的教学工作也才可能真正超越纯粹经验总结的水平而上升为理论指导下的自觉实践。

【数学教育教学的重点应放在：研究学生在学习过程中的思维活动情况。

让学生学会数学地思考，更进一步说，让学生通过数学学会思维，这是数学教育的终极目标。

】在2002年10月于香港召开的国际比较研究会议上，美国著名比较教育研究专家丁格勒就曾提及，在先前美国数学教育界通常较为注意学生的方面，而现在则已认识到了教师是提高教学质量的关键因素：进而，就如何改进教师的工作而言，人们在先前往往比较注意如何招募更为优秀的人材来充实教师队伍，以及如何提高教师的素质，现在则开始认识到教学方法的重要性。

【“建构主义”理论认为，学习是个体的一种主动建构过程，它强调学生的主体参与。

但如果这种强调超过了一定的限度，也会产生一定的弊端，出现“主体性神话”现象。

在强调学生主体的同时，教师的主导作用也应予以重视！对教学方法的研究，无论在何种环境中，都是必须强调的。

】第一章数学教育的国际进展及其启示美国著名比较教育研究专家斯丁格勒在前面所提及的那次香港会议上曾表达了这样的看法：“数学教学中问题设计”可以被看成改进教学的一个突破口，而我们中国在这一个方面显然已经积累了大量的经验。

P22第二章数学教育哲学与建构主义数学教育哲学的研究应当集中于以下三个问题：第一，什么是数学？这也就是所谓的数学观。

第二，为什么要进行数学教育？这直接涉及到了数学的价值和数学教育的基本目标。

第三，应当怎样去进行数学教学？这就是关于数学学习于教学活动本质的认识论分析。

由于上述三个问题显然都应被看成数学教育的基本问题，因此，笔者以为，这事实上也就更为清楚地表明了这样一点：数学教育哲学研究的主要目标就是要从哲学高度为数学教育奠定必要的理论基础。

P31【原以为数学教育哲学是非常抽象和高深的，没想到其研究的问题与我们息息相关呢！如果能把这三个问题参悟透，那一定会成为学者型教师！】数学观的革命在强调数学知识更新的同时，我们也应十分注意基本数学观念的必要转变，也即应当由传统的静态的、绝对主义的、机械反映论的数学观转向动态的、易谬主义的、模式论的数学观。

P32例如，一种十分常见的观念就在于：人们往往把数学等同于数学知识（在此主要指各个具体的数学结论、命题和公式等）的汇集，后者又常常被看成无可怀疑的真理。

然而，以上的观念（对此可称为“静态的和绝对主义的数学观”）并不能被看成正确地反映了数学的本质，因为，与所说的“静态”特征相比，数学事实上更应被看成是人类的一种创造性活动，而也正因为此，我们又应明确承认数学的猜测性，这也就是说，数学活动即应被看成一种包含有猜测、错误和尝试、证明与反驳、检验与改进的复杂过程。

【读到这段话，又想到了大数学家克莱因的观点——数学不是真理。

也即是说，我们不该把数学视为“静态”的，因为数学体系还在不断地发展、壮大。

数学学习活动也是创造性的，允许猜想、错误、检验等行为存在。

】具体地说，后一种观念就是所谓的“动态的、易谬主义的数学”。

而由静态的、绝对主义的数学观向动态的、易谬主义的数学观转变则就代表了数学观的一次革命。

以下再围绕“数学活动论”和“经验与拟经验的数学观”对后者的主要内涵与教育意义作出进一步的介绍。

所谓“数学活动论”，在此既是指在从事数学的教学活动时，我们不应把注意力唯一地集中于数学活动的最终产物，而应更加注意活动本身。

例如，数学活动往往以某个或某些有待于解决的问题作为实际出发点；从而，从这样的角度去分析，我们也就应当将“问题”看成“数学（活动）”的一个重要组成成分；其次，为了求解问题，我们显然又必须采取一定的表述工具和研究方法，从而，这也就直接涉及到了“数学（活动）”的另外两个要素：“语言”和“方法”。

再则，由于在现代社会中每个数学工作者都必定处于一定的数学传统之中，尽管其本人可能并未明确地认识到这样一点，而所说的数学传统则又往往借助于相应的“观念”得到了明确表现，从而，我们在此事实上也就应当把“观念”看成是“数学（活动）”的又一重要组成成分。

综上可见，从动态的角度去分析，“数学”就应被看成包含有更多的内容，也既是由“命题”“问题”“语言”“方法”和“观念”等多种成分所组成的一个复合体，这也就是所谓的“数学活动论”。

【在关注结论的同时，更要十二分地注重活动过程的体验，这就是“数学活动论”的真义吧！】对于方法的强调则显然也是与数学教育的现代发展趋势完全相一致的，这也就是说，与具体知识内容的学习相比，我们即应更加注意学生思维能力的培养，特别是，这就可以被看成改进数学教学的一个重要方向，既是应当用数学方法论去指导具体数学知识内容的教学，从而真正做到“教活”“教懂”“教深”——所谓“教活”，就是让学生看到活生生的数学研究工作，而不是死的数学知识；所谓“教懂”，就是让学生真正理解有关的数学内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背；所谓“教深”，则是指使学生不仅能掌握具体的数学知识，而其也能领会内在的思想方法。

P35【可见，对于方法的指导，再重视也不过分！】对于“语言”的强调则直接涉及到了对于“数学”自身的理解。

于自然语言一样，数学事实上也应被看成一种语言：自然科学的语言（特殊地，这显然就从另一个角度说明了“数学”何以与“语文”“外语”一起被列为高考的三个基本内容；另外，从这一角度去分析，我们也可更为深入地去理解“数学地谈论”于“数学地写作”的意义）；另外，以下的事实则可说最为清楚地表明了“语言学习”在数学学习中的重要地位：按照不少学者的看法，数学语言的掌握情况就可被看成数学水平的一个重要标志，例如，对代数语言的掌握就标志着由小学数学水平到中学数学水平的过渡，对极限语言的掌握则标志着由初等数学上升到了高等数学的水平，最后，集合论语言的普遍使用则就是现代数学发展的一个重要标志。

P35【数学是一种语言，这一语言分为：代数语言、极限语言和集合论语言。

在小学数学中，代数语言占据着重要地位。

】美国著名数学教育家戴维斯教授的以下警告：“我们的学校已接近于毁灭年轻的一代。

”【这话绝非危言耸听！】所谓的“经验与拟经验的数学观”其基本涵义之一就是对于数学猜测性和易谬性的直接肯定（后者也就是所谓的“易谬主义”的一个基本立场）；另外，从更深的层次来看，前者包括了对于数学真理性问题的进一步分析：我们首先即应承认社会实践对于数学发展的决定性作用，然而，作为对于这种“经验数学观”的必要补充和重要发展，我们又应看到数学研究具有自己相对独立的检验标准，这就是关于数学意义的分析，如新的研究是否有利于认识的深化和方法论上的进步等——显然，后者事实上也就是对于数学特殊性的直接肯定，从而我们就不应将数学简单地等同于一般的经验学科。

与“数学活动论”一样，“经验与拟经验的数学观”也有着重要的教育意义。

例如，从易谬主义的立场出发，我们在数学中显然就不仅应当教证明，而且也应教会学生进行猜测。

值得指出的是，后者就是与培养学生关于数学美的鉴赏能力直接相关联的，而又正如法国著名科学家、数学家彭加莱所指出的，“缺乏这种审美感的人永远不会成为真正的创造者。

”另外，正因为数学活动是一种包括擦侧、错误和尝试、证明与反驳、检验与改进的复杂过程，因此，就不能不说是一一种过于简单化的认识与做法，既是希望能够通过事先的预防完全避免学生在学习中出现各种各样的粗无，毋宁说，我们即应对学生的错误采取更为容忍和理解的态度，并应努力帮助学生学会“从错误中学习”。

P37【同情并理解学生的错误，说说容易，要真正做到却并未易事！】最后，我们再来对“模式论的数学观”作一简单介绍，与机械反映论相对立，模式论的数学观其核心观点就在于：数学并非对于客观事物或现象的直接研究，而是通过相对独立的量化模式的建构、并以此为直接对象来从事客观世界量性规律性研究的。

这也就是说，无论是数学中的观念和命题，还是数学中的问题和方法，它们都具有超越特殊对象的普遍意义，也即都是一种抽象的“模式”（pattern），而并非真实的事实或现象，或是它们的直接“模型” (model)，进而，数学则更应当被看成是“模式的科学”。

【数学主要研究客观事物或现象呈现的模式、模型，它是模式的科学。

因此，它具备抽象性，也就不足为怪了！】更为一般地说，我们在此可明确地提出如下的目标：我们即应以模式的概念为核心来组织数学教学，并应努力帮助学生建立与发展分析模式、应用模式、建构模式与鉴赏模式的能力，这也就是所谓的“模式论的数学教学观”。

显然，这事实上也就清楚地表明了“数学模式论”的教学内涵。

P38美国著名数学教育家伦伯格（T.Romberg）就曾指出：“两千多年来，数学一直被认为是与人类的活动和价值观念无关的无可怀疑的真理的集合。

这一观念现在遇到了越来越多的数学哲学家的挑战，他们认为数学是可错的、变化的，并和其他知识一样都是人类创造性的产物。

……这种动态的数学观具有重要的数学涵义。

”特殊地，这显然也就十分清楚地表明了数学观的必要转变的重要性。

P39【数学是可错的、变化的，它是动态发展变化的，确立这一个数学观，对我们的数学教育意义重大！】对立面的必要平衡在笔者看来，这事实上就应被看成目前正处于积极实施之中的新一轮数学课程改革深入发展的关键所在，既是应当很好地处理以下的一些关系，特别是，我们在此不应采取完全排斥的态度，而是应当努力做到对立面的很好协调与相互促进：“学生情感、态度、价值观和一般能力的培养”与“数学基础知识与技能的教学”；“学生的个性发展”与“个人的社会定位”；“义务教育的普及性、基础性和发展性”与“数学上普遍的高标准”；“大众数学”与“20%较好的学生在数学上的发展”；“数学与日常生活的联系”与“数学的形式特性”；“学生的主动建构”与“教师的引导作用”；“学习活动的自主性（创造性）”与“教学活动的规范性”；“创新精神”与“文化继承”；“学生的个性差异”与“思维的必要优化”；“探究学习”与“接受学习”；等等。

另外，笔者以为，数学教育的复杂性与整合性事实上也就决定了数学教育改革必定是一个长期和渐进的过程。