《数学模型》第3章简单的优化模型
简单的优化模型
整数规划模型的基本概念
整数规划定义
整数规划是一类要求决策变量取整数值的数学优化问题。在 实际应用中，由于某些决策变量可能要求取整数值，如设备 数量、人员分配等，因此整数规划具有广泛的应用背景。
整数规划分类
根据决策变量的限制条件，整数规划可分为纯整数规划（所 有决策变量均取整数值）和混合整数规划（部分决策变量取 整数值）。
多目标优化模型的求解方法
权重法
通过给每个目标函数分配一个权 重，将多目标问题转化为单目标 问题进行求解。权重的确定可以
根据实际情况或专家经验。
ε约束法
将多个目标中的一个作为主目标， 其他目标作为约束条件，通过不断 调整约束条件的参数ε来求解多目 标问题。
遗传算法
通过模拟生物进化过程中的选择、 交叉和变异等操作，搜索帕累托最 优解集。遗传算法适用于复杂非线 性多目标问题的求解。
线性规划模型的应用案例
生产计划优化
利用线性规划模型确定各 种产品的生产数量，以最 大化利润或最小化成本。
资源分配问题
在有限资源的条件下，通 过线性规划模型实现资源 的最优分配，满足需求并 最大化效益。
投资组合优化
投资者可以通过线性规划 模型，根据预期收益和风 险约束，求解最优投资组 合。
03
整数规划模型
多目标优化模型的应用案例
水资源分配问题
在水资源规划中，需要同时考虑供水、灌溉、发电、防洪等多个目标。通过构建多目标优 化模型，可以寻求水资源分配方案，使得各个目标在整体上达到最优。
投资组合优化问题
在金融领域，投资者需要在多个投资项目中选择合适的投资组合，以最大化收益并最小化 风险。这是一个典型的多目标优化问题，可以通过多目标优化模型求解得到帕累托最优解 集，供投资者决策参考。
简单的优化模型
分析问题中的约束条 件
从问题中分析出各种约束条件，如资 源限制、时间限制、物理条件等。
02
将约束条件转化为数 学表达式
将上述约束条件转化为数学表达式， 如不等式、等式等。
03
将约束条件加入目标 函数中
将上述数学表达式加入目标函数中， 作为目标函数的约束条件。
选择适当的变量类型和范围
确定变量的类型和范围
03
优化算法的选择
梯度下降法
1 2
基本概念
梯度下降法是一种基于梯度下降的优化算法， 通过迭代计算函数梯度，逐步逼近函数的最小 值点。
应用场景
适用于凸函数或非凸函数，尤其在大数据处理 和机器学习领域，用于优化损失函数。
3
注意事项
在处理非凸函数时，可能会陷入局部最小值点 ，需要结合全局优化算法使用。
简单的优化模型
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 优化模型的分类 • 优化算法的选择 • 优化模型的建立 • 应用案例展示
01
引言
定义和重要性
定义
优化模型是一套用于描述、分析和解决特定问题的数学 模型，通过采用数学方法和算法，寻找最优解决方案。
重要性
优化模型在各行各业都有广泛的应用，如制造业、物流 、金融等。通过优化模型，可以提高效率、降低成本、 增加效益，为企业和社会创造价值。
金融投资优化模型
要点一
总结词
提高投资收益、降低投资风险
要点二
详细描述
金融投资优化模型是针对金融投资领域的一种优化模型 。它通过优化投资组合，提高投资收益、降低投资风险 。该模型考虑了多种资产价格波动、相关性等因素，并 利用统计学习或机器学习算法计算出最优的投资组合方 案。应用该模型可以帮助投资者在保证本金安全的前提 下获得更高的投资收益。
数学建模简单的优化模型
q T1 时， t 0, 故有 Q rT1 . 在 T1 到 T 这段缺货时间内需求率
量，当 t
⑻
q
q 不变， t 按原斜率继续下降，
Q
由于规定缺货量需补足，所以在
R A r
T1
t T 时数量为 R 的产品立即达，
B
T
t
使下周期初的存储量恢复到Q. 与不容许缺货的模型相似，一个周期内的存储费是c2 乘以图中三角形 A 的面积，缺货损失费是 c3乘以三角形 面积B, 加上准备费，得一周期内的总费用为
2
⑷
而
2c1r Q rT . c2
将⑷代入到⑶式，得最小的平均费用为
⑸
C 2c1c2 r .
⑷，⑸被称为经济订货批量公式（EOQ公式）.
⑹
结果解释 由⑷，⑸式可以看到，当 c1（准备费用）提高时，生 产周期和产量都变大；当 c2存储费增加时，生产周期和 产量都变小；当需求量 r 增加时，生产周期变小而产量 变大。这些结果都是符合常识的。
从而赢得竞争上的优势。
模型假设 为处理上的方便，假设模型是连续型的，即周期 T ， 产量Q 均为连续变量. 1.每天的需求量为常数 r； 2.每次生产的准备费用为 c1 ,每天每件的存储费为 c2 ,
Q 3.生产能力无限大，即当存储量为零时， 件产品可以
立即生产出来.
建模 设存储量为 q t , q 0 Q. q t 以 r 递减，直到
0.1不变，研究 r 变化
40r 60 t r
r 1.5
⑶
t 是 r 的增函数，下图反映了t 与 r 的关系。
t 20
15
10
5
1.5
《数学建模》课程教学大纲
《数学建模（公选）》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：12130541课程英文名称: Mathematical Modelling课程面向专业：理工类专业课程类型：选修课先修课程：高等数学、线性代数、概率论与数理统计学分：2.5总学时：48 (其中理论学时：48 ；实验学时：0)二、课程性质与目的本课程主要介绍用数学知识解决实际问题的手段——建立数学模型。
通过教学,使学生掌握数学模型的基本知识；培养学生认识问题，用数学模型和计算机分析解决实际问题的初步能力；增强学生学习数学的兴趣和自学的能力，了解数学的一些应用分支的理论，会建立相应的简单模型，并能对模型进行分析。
三、课程教学内容与要求第一章建立数学模型1、教学内容与要求主要内容：学习数学建模课程的意义；数学模型的定义及分类；建立数学模型的方法及步骤；数学建模示例。
基本要求：了解数学模型的意义及分类，理解建立数学模型的方法及步骤。
2、教学重点：数学建模的基本方法和步骤。
3、教学难点：数学建模初步能力的培养。
第二章初等模型1、教学内容与要求主要内容：比例方法建模；类比方法建模；定性分析方法建模；量纲分析方法建模；初等模型举例。
基本要求：掌握比例方法，类比方法，定性分析方法及量纲分析方法建模的基本特点。
能运用所学知识建立数学模型，并对模型进行综合分析。
2、教学重点：比例方法建模，类比方法建模。
3、教学难点：量纲分析法建模第三章简单的优化模型1、教学内容与要求主要内容：存贮模型；生猪的出售时机；森林救火；冰山运输；量纲分析法基本要求：理解优化模型的一般意义，能运用高等数学的知识解决简单的优化模型。
掌握较简单的优化模型的建立和解法。
2、教学重点：比例方法建模，类比方法建模3、教学难点：量纲分析法建模第四章数学规划模型1、教学内容与要求主要内容：奶制品的生产与销售；自来水输送与货机装运；汽车生产与原油采购；接力队的选拔与选课策略；饮料厂的生产与检修；钢管和易拉罐下料基本要求：理解线性规划、整数规划模型和非线性规划模型的基本特点，能熟练利用数学软件进行数学规划模型的求解与灵敏度分析。
第3章简单的优化模型
模型2 允许缺货的存储模型 模型建立
一个周期 T 内的储存费是
c2 q(t )dt c2QT 1 2
0 T1
一个周期 T 内的缺货损失费是
c3 q (t ) dt c3r T T1 2
T 2 T1
模型2 允许缺货的存储模型 模型建立
一个周期 T 内的总费用是 2 C c1 c2QT1 2 c3rT T1 2 利用(8)式，得到每天的平均费用是
第3章 简单的优化模型 3.1 存储模型
建立数学模型来优化存储 量，使总费用最小
模型1 不允许缺货的存储模型 问题的提出
配件厂为装配线生产若干种部件。 轮换生产不同的部件时，因更换设备要付生 产准备费（与生产数量无关）。 同一部件的产量大于需求时，因积压资金、 占用仓库要付储存费。 今已知某一部件的日需求量100件，生产准备 费5000元，储存费每日每件1元。 如果生产能力远大于需求，并且不允许出现 缺货，试安排该产品的生产计划，即多少天 生产一次（称为生产周期），每次产量多少， 可使总费用最小。
模型1 不允许缺货的存储模型 模型假设
设生产周期 T 和产量 Q 均为连续量， 1.产品每天的需求量为常数 r； 2.每次生产准备费为 c1 ， 每天每件产品存储 费为 c2 ； 3.生产能力为无限大（相对于需求量） ，不 允许缺货，即当存储量降到零时，Q 件产 品立即生产出来供给需求。
模型1 不允许缺货的存储模型 模型建立
求得最优生产周期为
2c1 c2 c3 T c2c3r
模型2 允许缺货的存储模型 模型求解
每周期初的最优存储量为
Q 2c1c3 r c2 c2 c3
每周期的最优供货量为
数学建模-优化模型
r
周呈圆形蔓延，半径 r与 t 成正比. B
面积 B与 t2 成正比
dB/dt与 t 成正比
模型建立
假设1） 假设2）
dB
b t1,
t t b
2 1 x
dt
b
t
t t 1
2 1 x 0
t1
x t2 t
B(t2 )
t2 dB dt 0 dt
bt2 t12 2t12 2 2 2(x )
• 解释条件中正负号的实际意义
效用函数u(x1,x2)几种常用的形式
1. u ( )1 , , 0
x1 x2
p1x1 p1 ,
p2 x2
p2
u
x1 p1 u p2 x2
• 购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根 成正比, 比例系数是参数α与β之比的平方根.
• u(x1,x2)中参数 , 分别度量甲乙两种商品对消费
几何分析
消费线AB
u(x1, x2) = c 单调减、 下凸、互不相交.
AB必与一条等效用线
x2
· y/p2 A
相切于Q点 (消费点).
x2
Q (x1, x2) 唯一
0
u(x1,x2) = c
c增加
·Q
l 3
l
x1 1
·l2B
y/p1 x1
模型求解
max u(x1, x2 )
引入拉格朗日
s.t. p1x1 p2x2 y 乘子λ构造函数
模型求解 求 x使 C(x)最小
dC 0 dx
x c1t12 2c2t1
2c32
dB
dt b
x
0
t1
t2 t
结果解释 • / 是火势不继续蔓延的最少队员数
(完整版)数学模型姜启源-第三章(第五版)
平均每天费用950元 • 50天生产一次,每次5000件, 贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费5000元，总计127500元.
平均每天费用2550元
c2 t1x x
c3 x
其中 c1,c2,c3, t1, ,为已知参数
模型求解 求 x使 C(x)最小
dC 0 dx
x
c t 2 2c t
11
21
2c 2
3
结果解释 x c1t12 2c2t1
2c32
dB
dt
/ 是火势不继续蔓延的最少队员数
x
x 0.45
0.4 0.35
0.3 0.25
0.2 0.15
0.1 0.05
0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 a
a
1
空杯质量w2取决于材料 (纸杯、塑料杯、玻璃杯).
设w2=150g 半升啤酒杯w1=500g a=0.3 x=0.3245
一杯啤酒约剩1/3时重心最低，最不容易倾倒！
问题分析与模型假设 x
w1 ~ 啤酒 (满杯) 质量
1
w2 ~空杯侧壁质量, w3 ~空杯底面质量
啤酒杯重心s(x)由啤酒重心和空杯 重心合成.
• s2=1/2 •xs(x) 液面 • s1=x/2 0
液面高度x时啤酒质量w1x, 啤酒重心位置 s1=x/2
忽略空杯底面质量w3 空杯重心位置 s2=1/2
简单的优化模型
整数规划模型的求解方法
穷举法
通过列举所有可能的解来找出最优解。适用于小规模问题，但对于 大规模问题效率低下。
分支定界法
通过不断分割问题空间并排除不可能的解来逼近最优解。适用于大 规模问题，但需要较高的计算复杂度。
启发式算法
通过设计一些启发式规则来加速搜索过程，如贪心算法、遗传算法等 。适用于一些特定类型的问题，但可能无法保证找到全局最优解。
通过动态规划可以求解资源分配问题 ，如任务调度、生产计划等，以实现 资源利用的最优化。
背包问题
通过动态规划可以求解0/1背包问题 、完全背包问题等，避免重复计算物 品的价值和重量。
05
模拟退火算法
模拟退火算法的定义与特点
定义
模拟退火算法是一种启发式搜索算法 ，通过模拟物理退火过程来寻找问题 的最优解。
运输问题
线性规划模型可以用于解决运输问题，如货 物运输、车辆调度等。
投资组合优化
线性规划模型可以用于优化投资组合，降低 风险并提高收益。
03
整数规划模型
整数规划模型的定义与特点
定义
整数规划是一种特殊类型的线性规划，其中一部分或全部变量被约束为整数。
特点
整数规划的变量取值范围受到限制，通常用于解决资源分配、组合优化等问题 。
特点
遗传算法具有全局搜索能力，能够处理多维、非线性、非凸问题；同时，它还具有很好的鲁棒性和自适应性，能 够处理大规模、复杂的问题。
遗传算法的求解方法
编码方式
遗传算法需要对问题 进行编码，通常采用 二进制编码、实数编 码等。
适应度函数
适应度函数用于评估 个体的优劣，根据问 题的不同，适应度函 数也会有所不同。
简单优化模型的特点
数学模型-第03章(第五版)
存在恰当的x，使f1(x), f2(x)之和最小.
分析
• 关键是对B(t)作出合理的简化假设.
失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形.
B
分析B(t)比较困难, 转而讨论单位时间 烧毁面积 dB/dt (森林烧毁的速度).
第三章
材料强度最大
简单优化模型
利润最高 风险最小
优化——工程技术、经济管理、科学研究中的常见问题. 运输费用最低
用数学建模方法解决优化问题的过程 优化目标与决策 模型假设与建立 数学求解与分析
简单优化模型归结为函数极值问题，用微分法求解. 属于数学规划的优化模型在第四章讨论.
第 三 章 简 单 优 化 模 型
3.2 森林救火
问题
森林失火后，要确定派出消防队员的数量. 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小. 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量.
分析
记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t).
• 损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定.
啤酒杯重心s(x)只与质量比a有关 对于每个a, s(x) 有一最小点. a=0.3, x=0.35左右 s最小, 即重心最低.
0.5
s
0.45 a=1 0.4 a=0.5 0.35 a=0.3 0.3
0.25 a=0.1 0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
建立啤酒杯重心模型一
啤酒杯重心模型一
x
s=s(x) ~ 液面高度x的啤酒杯重心
数学建模第三章
数学建模第三章第三章⾮线性最优化⽅法§3.1 最优化问题与建模⼀. 基本概念：因为⼈类所从事的⼀切⽣产或社会活动均是有⽬的的，其⾏为总是在特定的价值观念或审美取向的⽀配下进⾏的，经常⾯临求解⼀个可⾏的甚⾄是最优的⽅案的决策问题。
可以说，最优化思想是数学建模的灵魂。
⽽最优化⽅法作为⼀门特殊的数学学科分⽀有着⼴泛的实际应⽤背景。
典型的最优化模型可以被描述为如下形式：其中表⽰⼀组决策变量，通常在实数域内取值，称决策变量的函数为该最优化模型的⽬标函数；为维欧⽒空间的某个⼦集，通常由⼀组关于决策变量的等式或不等式刻画，形如：这时，称模型中关于决策变量的等式或不等式、为约束条件，⽽称满⾜全部约束条件的空间中的点为该模型的可⾏解，称，即由所有可⾏解构成的集合为该模型的可⾏域。
称为最优化模型的（全局）最优解，若满⾜：对均有，这时称处的⽬标函数值的为最优化模型的（全局）最优值；称为最优化模型的局部最优解，若存在，对，均有。
（全局）最优解⼀定是局部最优解，但反之不然，其关系可由下图得到反映：上图为函数在区间上的⼀段函数曲线（由Mathematica绘制），如果考察最优化问题，从图中发现它有三个局部最优解、、，其中是全局最优解，最优值为“”。
⼆. 最优化问题的⼀些典型的分类：优化⽅法涉及的应⽤领域很⼴，问题种类与性质繁多，根据不同的原则可以给出不同的分类。
从数学建模的⾓度，对最优化问题的⼀些典型分类及相关概念的了解是有益的。
根据决策变量的取值类型，可分为函数优化问题与组合优化问题，称决策变量均为连续变量的最优化问题为函数优化问题；若⼀个最优化问题的全部决策变量均离散取值，则称之为组合优化问题。
⽐⽅⼀些最优化问题的决策变量被限定只能取整数值，即为组合最优化问题，这类优化问题通常被称为整数规划问题，另外⼤多⽹络规划问题属于组合最优化问题。
当然，也有许多应⽤问题的数学模型表现为混合类型的，即模型的部分决策变量为连续型的，部分决策变量为离散型的；另外当谈论⼀个最优化问题是函数优化问题还是组合优化问题时，还需结合我们对这⼀问题的思考⽅式来进⾏确定，⽐⽅后⾯介绍的线性规划问题的求解，既有将其作为⼀个组合优化问题⽽开发的算法，也有将其作为⼀个函数优化问题⽽开发的算法；另外的⼀种分类⽅式是根据问题中⽬标、约束条件函数的形式或性质来加以划分的：若⼀个最优化问题的⽬标、约束条件函数均为决策变量的线性函数，则称之为线性规划问题，否则称之为⾮线性最优化问题。
《数学建模》教学大纲
《数学模型》课程教学大纲一、《数学模型》课程说明（一）课程编号：07251105（二）英文名称：Mathmatic Modeling（三）开课对象：数学与应用数学专业（四）课程的性质：数学建模是为数学与应用数学专业开设的一门学科基础课，其先修课程有数学分析、高等代数、概率论与数理统计、数学实验等。
它是研究如何将数学方法和计算机知识结合起来用于解决实际生活中存在问题的一门边缘交叉学科，是集经典数学、现代数学和实际问题为一体的一门新型课程，是应用数学解决实际问题的重要手段和途径。
（五）教学目的：数学建模是继本科生学习数学分析、高等代数、概率论与数理统计之后进一步提高运用数学知识解决实际问题，培育和训练综合能力所开设的一门新学科。
通过具体实例引入使学生掌握数学建模基本思想、基本方法、基本类型。
学会进行科学研究的一般过程，并能进入一个实际操作的状态．通过数学模型有关的概念、特征的学习和数学模型应用实例的介绍，培养学生数学推导计算和简化分析能力、熟练运用计算机能力；培养学生联想、洞察能力、综合分析能力；培养学生应用数学解决实际问题的能力。
（六）教学要求和方法1.教学要求本课程主要介绍在数学应用中已经比较完善的数学模型，包括初等模型、简单优化模型、线性规划模型、离散模型、离散模型、微分方程模型、差分方程、概率统计模型等内容。
要求学生了解数学建摸的基本概念及基本方法，学会将学过的数学方法和知识同周围的现实世界联系起来，甚至和真正的实际问题联系起来。
不仅应使学生知道数学有用、怎么用，更要使学生体会到在真正的应用中还需要继续学习。
2.教学方法本课程将课堂讲授与上机实习结合起来，以课堂讲授为主。
课堂讲授旨在教学生如何建立模型，讲授中穿插各类数模实例，与现实中的各类实际问题相结合，启发学生自主思考和研究问题，找寻解决问题的数学模型和实际方法。
除此外，还会讲解数学建模论文的书写方法，以论文的形式完成建模和研究工作。
上机旨在教学生如何求解模型，以学生自主学习为主，结合课堂学习内容完成课堂布置的作业，利用数学软件求解模型结果。
数学建模 第三章 优化模型
gi ( x) 0( gi ( x) 0),i 1,2,..., p.
下的最大值或最小值，其中
x f ( x)
x
设计变量（决策变量） 目标函数 可行域
min(or max)u f ( x) x
s. t. hi ( x) 0, i 1,2,...,m.
gi ( x) 0( gi ( x) 0),i 1,2,..., p.
T 对c1 的敏感程度记为
2 1 c2 r c1 1 T T dT c1 S (T , c1 ) 2 2c1 T 2 c1 c1 dc1 T c2 r 1 1 S (T , c2 ) S (T , r ) 2 2
S (T , c1 )
1 S (T , c1 ) 2
min u f ( x) x
s. t. hi ( x) 0, i 1,2,...,m.
gi ( x) 0( gi ( x) 0),i 1,2,..., p.
（2）线性规划（LP）
目标函数和所有的约束条件都是设计变量
的线性函数。
min u ci xi
i 1
n
结果解释
2c1 T c2 r
2c1r Q rT c2
C 2c1c2 r
当准备费 c1 增加时，生产周期和产量都变大； 当存贮费 c2 增加时，生产周期和产量都变小； 当日需求费 r 增加时，生产周期变小而产量变大。
这些定性结果符合常识，而定量关系（平方根，系
数2 等）凭常识是无法得出的，只能由数学建模得到。
1 S (T , c2 ) 2
1 S (T , r ) 2
意义是当准备费增加1%时，生产周期增加0.5% ； 而存贮费增加1%时，生产周期减少0.5% ；
数学建模第3章 简单的优化模型
数学建模第3章 简单的优化模型3.1 在存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用。
重新确定最优订货周期和订货批量。
证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样。
而在允许缺货模型中最优订货周期和定货批量都比原来结果减少。
（1）不允许缺货模型：模型假设：考虑连续模型，即设生产周期T 和产量Q 均为连续量。
作如下假设：1、 产品每天的需求量为常数r ;2、 每次生产准备费为1c ，每天每件产品贮存费为2c ;3、 生产力为无限大（相对于需求量），当贮存量降到0时，Q 件产品立即生产出来供给需求，即不允许缺货。
模型建立：设购买单位种类货物的费用为k ，将贮存量表示为时间t 的函数()q t ，0t =生产Q 件，贮存量(0)q Q =，()q t 以需求速率r 递减，直到()0q T =。
如图1，显然有Q rT =。
图1一个周期内的贮存费为2/2c QT ⨯，准备费为1c ，购买费用为kQ 。
所以一周期的总费用为：21212/2/2C c c QT kQ c c rT krT =++=++，则每天的平均费用为：12()//2c T c T c rT kr =++。
模型求解：求T 使得每天平均费用最小，由2221r c Tc dT dC +-=，令0=dT dC ，可以得到122c T c r =，122c r Q c =，结果不变.（2）允许缺货模型：模型假设 与不允许缺货的1、2一样，但3、生产力为无限大（相对于需求量），允许缺货，每天每件产品缺货损失费为3c ，但缺货数量需在下次生产时补足。
模型建立 同上，设购买单位种类货物的费用为k ，将贮存量表示为时间t 的函数()q t ，0t =生产Q 件，贮存量(0)q Q =，()q t 以需求速率r 递减。
但是当1t T =时，有()0q t =，显然有1Q rT =，在1T 到T 这段时间内需求率不变，在t T =时数量立即恢复到Q 。
图2一个周期内的准备费为1c ，贮存费为21/2c QT ，缺货损失费为231()/2c r T T -,购买费用为kQ 。
简单的优化模型
提高产品质量
通过合理的生产计划安排，可以减 少生产过程中的缺陷和错误，提高 产品质量。
缩短交货期
合理安排生产计划，可以按时完成 生产任务，缩短交货周期。
运输优化
总结词
降低运输成本
选择合适的运输方式
根据实际情况选择最合适的运输方式，可以 降低运输成本。
优化运输路径
合理安排装载
通过优化运输路径，可以减少运输里程，从 而降低运输成本。
结果分析
通过求解，得到最优解：x1 = 20，x2 = 60。
即产品A的最优生产量为20单位，产品B的最优 生产量为60单位。 最大利润为20 × 10 + 60 × 15 = 1100元。
THANKS
动态规划模型
动态规划模型是一类特殊的优 化模型，通常用于求解多阶段 决策过程的最优解。
动态规划模型的基本思想是将 多阶段决策过程划分为多个单 阶段决策过程，并保存中间结 果，避免重复计算。
动态规划模型通常用于求解如 背包问题、最长公共子序列、 0/1 背包问题等经典问题。
整数规划模型
整数规划模型是一类特殊的优化模型 ，其要求决策变量为整数。
简单的优化模型
汇报人：文小库 xx年xx月xx日
目录
• 引言 • 常见的优化模型 • 优化模型的数学基础 • 优化模型的应用 • 优化模型的软件实现 • 简单的优化模型案例分析
01
引言
定义和背景
优化模型
指在一组约束条件下，通过改变决策变量的取值，使目标函 数达到最优解的问题。
简单优化模型
指只涉及一个或少数几个决策变量，约束条件比较简单，求 解方法相对直观的优化问题。
Gurobi
高效求解
01
简单的优化模型ppt
混合优化
将不同方法和技术结合起来，形成混合优 化算法，以应对更复杂的问题。
多目标优化
研究如何处理多个相互冲突的目标，寻求 整体最优解。
鲁棒优化
针对不确定性因素，研究如何设计具有鲁 棒性的优化模型，提高决策的稳健性。
约束优化
在满足一定约束条件下，寻找最优解决方 案。
THANKS
调度优化
针对不同的生产或服务场景，优化 各项任务的执行顺序和时间安排， 提高生产效率和服务质量。
路径规划
在地图或网络上规划最优路径，使 得行驶时间、距离或成本等指标最 优。
金融优化
运用数学方法和计算机技术，对金 融投资组合进行优化，以实现最大 收益或最小风险。
最优化的前景展望
算法改进
不断探索新的优化算法，提高求解大规模 或复杂问题的能力。
投资组合优化
03
整数规划模型可以用于优化投资组合，以实现最小化风险或最
大化收益的目标。
04
简单的非线性规划模型
非线性规划模型概述
定义
非线性规划模型是一类在目标函数或者约 束条件中含有非线性关系的优化问题，通 常可以用来解决一些较为复杂的优化问题 。
VS
分类
根据不同的分类标准，非线性规划可以分 为多种类型，如多极值问题、有约束和无 约束问题等。
共轭梯度法是一种利用共轭方向进行迭代的 求解方法，具有较好的收敛性能。
非线性规划模型的实际应用
电力系统规划
生产计划问题
投资组合问题
信号处理问题
非线性规划模型可以应用于电力 系统规划中，求解最优潮流、最 优调度等问题。
非线性规划模型可以应用于生产 计划问题中，求解资源分配、生 产调度等问题。
非线性规划模型可以应用于投资 组合问题中，求解最优资产配置 、最大收益等问题。
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3.2 生猪的出售时机
问 饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设 题 备，估计可使80kg重的生猪体重增加2kg.
市场价格目前为8元/kg，但是预测每天会降低 0.1元，问生猪应何时出售?
如果估计和预测有误差，对结果有何影响?
分 投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随 析 时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大.
A
=QT/2
Q rT
0
T
t
一周期贮存费为
c2
T 0
q(t)dt
c2
QT 2
一周期 总费用
C~
c1
c2
QT 2
c1
c2
rT 2 2
每天总费用平均 值（目标函数）
C(T)C ~c1c2rT TT 2
模型求解 求 T 使C(T)c1c2rTmin
T2
dC 0 dT
T 2 c1 rc 2
模型解释
Q rT 2c1r c2
平均每天费用950元 • 50天生产一次,每次5000件, 贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费5000元，总计127500元.
平均每天费用2550元
10天生产一次,平均每天费用最小吗?
问题分析与思考
• 周期短，产量小
贮存费少，准备费多
• 周期长，产量大
准备费少，贮存费多
（目标函数）
求 T ,Q 使 C(T,Q) m in
C 0, C 0 为与不允许缺货的存贮模型
T Q
相比，T记作T´, Q记作Q´.
T 2c1 c2 c3 rc2 c3
Q 2c1r c3 c2 c2 c3
允许 缺货 模型
T'
Q'
2c 1
c2
c3
rc c
2
3
2c1r c3
c c c
22
3
不允许 缺货 模型
一周期
贮存费
c2
T1 q (t )dt
0
c2 A
一周期
缺货费
c3
T T1
q (t ) dt
c3B
一周期总费用
Cc1c2Q 21T c3r(T 2T1)2
允许缺货的存贮模型
一周期总费用 Cc11 2c2Q1 T 1 2c3r(TT 1)2
每天总费用 平均值
C(T,Q) C c1c2Q2c3(rTQ)2 T T 2rT 2rT
经济批量订货公式（EOQ公式）
不允许缺货的存贮模型
允许缺货的存贮模型
q
当贮存量降到零时仍有需求r, Q
出现缺货，造成损失.
r
原模型假设：贮存量降到零时 A
Q rT1
Q件立即生产出来(或立即到货). O T1B T
t
现假设：允许缺货, 每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足.
周期T, t=T1贮存量降到零
要 不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 求 需求量、准备费、贮存费之间的关系.
问题分析与思考
日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元. • 每天生产一次, 每次100件,无贮存费,准备费5000元.
每天费用5000元 • 10天生产一次, 每次1000件，贮存费900+800+…+100 =4500元，准备费5000元，总计9500元.
存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小.
• 这是一个优化问题，关键在建立目标函数.
显然不能用一个周期的总费用作为目标函数.
目标函数——每天总费用的平均值.
模型假设
1. 产品每天的需求量为常数 r； 2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2； 3. T天生产一次（周期）, 每次生产Q件，当贮存量
模型应用
• 回答原问题
T 2 c1 rc 2
Q rT 2c1r c2
c1=5000, c2=1，r=100
T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元)
思考: 为什么与前面计算的C=950元有差别?
• 用于订货供应情况: 每天需求量 r，每次订货费 c1, 每天每件贮存费 c2 , T天订货一次(周期), 每次订货Q 件，当贮存量降到零时，Q件立即到货.
为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）； 4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理.
建模目的
设 r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小.
模 型 建 立 离散问题连续化
q
贮存量表示为时间的函数 q(t)
t=0生产Q件，q(0)=Q, q(t)以
Q r
需求速率r递减，q(T)=0.
建模目的确定恰当的目标函数. • 求解静态优化模型一般用微分法.
问题
3.1 存贮模型
配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费. 该厂 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出.
已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费 每日每件1元. 试安排该产品的生产计划，即多少天生产 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小.
T 2c1 rc 2
Q rT 2c1r c2
记 c2 c3
c3
T T, Q Q
不 允
1 TT, Q Q c3
许 缺
c3 1 T T,Q Q
货
允许 缺货
T
2c1
c 2
c 3
rc2 c3
q Q
模型 Q 2c1r c3 c2 c2 c3
r R
注意：缺货需补足
O
T1 T
t
Q~每周期初的存贮量
第三章 简单的优化模型
--静态优化模型
3.1 存贮模型 3.2 出售时机 3.3 森林救火 3.4 消费者的选择 3.5 生产者的决策 3.6 血管分支 3.7 冰山运输
简单的优化模型(静态优化)
• 现实世界中普遍存在着优化问题. • 静态优化问题指最优解是数(不是函数). • 建立静态优化模型的关键之一是根据
每周期的生产量 RrT 2c1rc2 c3
R （或订货量）
c2 c3
RQQ Q~不允许缺货时的产量(或订货量)
存贮模型
• 存贮模型(EOQ公式)是研究批量生产计划的 重要理论基础, 也有实际应用.
• 建模中未考虑生产费用, 为什么?在什么条件下 可以不考虑(习题1)?
• 建模中假设生产能力为无限大(生产时间不计), 如果生产能力有限(大于需求量的常数), 应作怎样 的改动(习题2)?
建模及求解
定性分析 c1T,Q c2T,Q rT,Q
敏感性分析 参数c1,c2, r的微小变化对T,Q的影响
T对c1的(相 对)敏感度
S(T,c1)
ΔT/T Δc1 /c1
d T c1 d c1 T
c2)=–1/2, S(T,r)=–1/2 c2或r增加1%, T减少0.5%