7_积分变换与微分方程.

1 F eitd
2
1 F eitd
2
F eitd
1 F e2itd
2
b
2 1n
F
eibt dt
例如 默认情况下的傅立叶变换为
In[4]:=FourierTransform[t^2 Exp[-t^2],t,s]
s2
e4
2 s2
Out[4]= 4 2
以下是纯数学的傅立叶变换
f (t) 1 F eitd
2
例2 给出cos(x2)的傅立叶变换 Mathematica命令为：
In[4]:=FourierTransform[Cos[t^2],t,w]
Out[4]=
1 2
Cos
2
4
Sin
2
4
上式的傅立叶逆变换为：
In[5]:=InverseFourierTransform[%,w,t]
24s 1 s2 Out[1]= 1 s2 4
上式的逆变换是： In[2]:=InverseLaplaceTransform[%,s,t]
Out[2]= t3sint
拉普拉斯变换的基本特性是可以将微分和积分运算转 化为基本的代数运算。
比如：
t
In[3]:=LaplaceTransform[0 f [u]du ,t,s]
• 已知y՛՛+y՛-2y=0, (1) 求方程的通解 (2)求方程满足初始条件y(0)=4, y՛(0)=1的特解 Mathematica命令为 In[8]:=DSolve[y՛՛[x]+y՛[x]-2y[x]==0,y[x],x] Out[8]={{y[x]→e-2 x C[1]+ex C[2]}}
对expr的拉普拉斯变换 对expr的拉普拉斯逆变换 对expr的多维拉普拉斯变换 对expr的多维拉普拉斯逆变换
• 函数f(t):
❖ 拉普拉斯变换为：
F s f t estdt 0
❖ 拉普拉斯逆变换为：
1
i
F
s estds
2 i
例1 给出t3sint的拉普拉斯变换
Mathematica命令为： In[1]:=LaplaceTransform[t^3Sin[t],t,s]
In[6]:={FourierSinTransform[t^2Exp[-t],t,w], FourierCosTransform[t^2Exp[-t],t,w]}
Out[6]= 2
2 3 2
1 2 3
,
2
2
6 2
1 2 3
在不同的领域，对傅立叶变换和其逆变换的定义是不同 的，可以用FourierParameters来指出是哪一种定义。
领域
取值
傅立叶变换公式
傅立叶逆变换公式
默认
{0，1}
现代物理
纯数学 {1，-1} 系统工程
经典物理 {-1，1}
符号处理 {0，-2Pi}
一般情况 {a，b}
1 f t eitdt
2
f t eitdt
1 f t eitdt
2
f
t e2it dt
b
2 1n
f
t eibt dt
LaplaceTransform[ f [t], t, s]
Out[3]=
s
➢ 傅立叶变换
傅立叶变换函数 函数名称
FourierTransform[expr,t,w] InverseFourierTransform[expr,w,t] FourierSinTransform[expr,t,w] InverseFourierSinTransform[expr,w,t] FourierCosTransform[expr,t,w] InverseFourierCosTransform[expr,w,t]
意义
对expr的傅立叶变换 对expr的傅立叶逆变换 对expr的傅立叶正弦变换 对expr的傅立叶正弦逆变换 对expr的傅立叶余弦变换 对expr的傅立叶余弦逆变换
• 在Mathematica中，函数f(t)的傅立叶变换在默 认情况下定义为
F 1 f t eitdt
2
函数F(w)的逆变换为
In[9]:=DSolve[{y՛՛[x]+y՛[x]-2y[x]==0,y[0]==4, y՛[0]==1},y[x],x]
In[5]:=FourierTransform[t^2 Exp[-t^2],t,s, FourierParameters {-1,1}]
Out[5]=
1
e
s2 4
4
2 s2
• 微分方程
➢ 常微分方程的求解
❖ 常微分方程的解析解
常用格式：
DSolve[eqn,y[x],x]
求微分方程的解y(x)
• 求方程组x՛-y=0， y՛+x=0的通解 Mathematica命令为 In[7]:=DSolve[{x՛[t]-y[t]==0, y՛[t]+x[t] ==0},
{x[t],y[t]},t] Out[7]={{x[t] → C[1]Cos[t]+C[2]Sin[t], y[t] →
C[2]Cos[t]-C[1]Sin[t]}}
DSolve[eqn,y,x]
求微分方程的解y
DSolve[{eqn1,eqn2,…},{y1,y2,…},x]
求微分方程组的解
• 求方程y՛՛՛-y՛՛=x的通解 Mathematica命令为 In[6]:=DSolve[y՛՛՛[x]-y՛՛[x]==x,y[x],x] Out[6]={{y[x]→-x2/2 –x3/6+exC[1]+C[2]+xC[3]}}
Out[5]= Cos[t2]
• 为了避免复杂的指数运算, 傅立叶变换中引进 了傅立叶正弦变换和傅立叶余弦变换。它们用 Sin[wt]和Cos[wt]代替傅立叶变换定义中的函 数Exp(iwt), 而且用积分区间(0, )代替(- , )。
例3 给出t2exp(-t)的傅立叶正弦和余弦变换
Mathematica命令为：
第七讲 积分变换与微分方程
• 积分变换
➢ 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换函数
函数名称
意义
LaplaceTransform[exprபைடு நூலகம்t,s]
InverseLaplaceTransform[expr,s,t] LaplaceTransform[expr,{t1,t2,…},{s1,s2,…}]
InverseLaplaceTransform[expr, {s1,s2,…},{t1,t2,…}]