青岛市历年中考数学23题汇总.doc

青岛市中考数学23题汇编
1.(07年中考)提出问题：如图①，在四边形ABCD 中，P 是AD 边上任意一点，PBC ∆与ABC ∆和DBC ∆的面积之间有什么关系？
探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手: ⑴当12
AP AD =时(如图②)：
1,2
AP AD ABP =∆和ABD ∆的高相等，
12
ABP ABD S S ∆∆∴=.
1,2
PD AD AP AD CDP =-=∆和CDA ∆的高相等，
12
CDP CDA S S ∆∆∴=
()()11 2211 22
11 22PBC ABP CDP
ABCD ABD CDA
ABCD DBC ABC ABCD ABCD ABCD DBC ABC
S S S S S S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∴=--=--=----=+四边形四边形四边形四边形四边形⑵当13AP AD =时，探求PBC S ∆与ABC S ∆和
DBC S ∆之间的关系，写出求解过程；
⑶当16
AP AD
=
时，PBC S ∆与ABC S ∆和DBC S ∆之间的关系式为：__________________________； ⑷一般的，当1AP AD
n
=(n 表示正整数)时，探求PBC S ∆与ABC S ∆和DBC S ∆之间的关系,写出求解过程； 问题解决：当m AP AD n =(01
m n
≤≤)时，PBC S ∆与ABC S ∆和DBC S ∆之间的关系式为:__________________.
图①
图②
2. （2008•青岛）实际问题：某学校共有18个教学班，每班的学生数都是40人．为了解学生课余时间上网情况，学校打算做一次抽样调查，如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级，那么全校最少需抽取多少名学生？
建立模型：为解决上面的“实际问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型：
在不透明的口袋中装有红，黄，白三种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
为了找到解决问题的办法，我们可把上述问题简单化：
（1）我们首先考虑最简单的情况：即要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3=4（如图①）；
（2）若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢？
我们只需在（1）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有3个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×2=7（如图②）（3）若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个是同色的呢？
我们只需在（2）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有4个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×3=10（如图③）：…（10）若要确保从口袋中摸出的小球至少有10个是同色的呢？
我们只需在（9）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有10个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×（10-1）=28（如图⑩）
模型拓展一：在不透明的口袋中装有红，黄，白，蓝，绿五种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现从袋中随机摸球：
（1）若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是
6
；
（2）若要确保摸出的小球至少有10个同色，则最少需摸出小球的个数是
46
；
（3）若要确保摸出的小球至少有n个同色（n＜20），则最少需摸出小球的个数是
1+5（n-1）
．
模型拓展二：在不透明口袋中装有m种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现从袋中随机摸球：
（1）若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是
1+m
．
（2）若要确保摸出的小球至少有n个同色（n＜20），则最少需摸出小球的个数是
1+m（n-1）
．
问题解决：（1）请把本题中的“实际问题”转化为一个从口袋中摸球的数学模型；
（2）根据（1）中建立的数学模型，求出全校最少需抽取多少名学生？
考点：列表法与树状图法；用样本估计总体．
分析：首先要理解题意，此题需要两步完成，借助于列表法求解较简单；解题时要注意利用类比和转化的思想结合活动中获得的数学经验与知识解决实际问题．
解答：解：模型拓展一：（1）1+5=6；（1分）
红白蓝
红（红，红）（红，白）（红，蓝）
黄（黄，红）（黄，白）（黄，蓝）
蓝（蓝，红）（蓝，白）（蓝，蓝）
（2）1+5×9=46；（2分）
（3）1+5（n-1）；（3分）
模型拓展二：（1）1+m；（4分）
（2）1+m（n-1）；（5分）
问题解决：（1）在不透明口袋中放入18种颜色的小球（小球除颜色外完全相同）各40个，现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？（8分）
（2）1+18×（10-1）=163个（10分）
点评：本题以范例的形式给出，并在求解的过程中暗示解决问题的思路，要求学生在理解的基础上进行方法的迁移运用．利用类比和转化的思想结合活动中获得的数学经验与知识解决实际问题．
3（2009•青岛）我们在解决数学问题时，经常采用“转化”（或“化归”）的思想方法，把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已解决或比较容易解决的问题．
譬如，在学习了一元一次方程的解法以后，进一步研究二元一次方程组的解法时，我们通常采用“消元”的方法，把二元一次方程组转化为一元一次方程；再譬如，在学习了三角形内角和定理以后，进一步研究多边形的内角和问题时，我们通常借助添加辅助线，把多边形转化为三角形，从而解决问题．
问题提出：如何把一个正方形分割成n（n≥9）个小正方形？
为解决上面问题，我们先来研究两种简单的“基本分割法”．
基本分割法1：如图①，把一个正方形分割成4个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了3个正方形．
基本分割法2：如图②，把一个正方形分割成6个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了5个正方形．
问题解决：有了上述两种“基本分割法”后，我们就可以把一个正方形分割成n（n≥9）个小正方形．
（1）把一个正方形分割成9个小正方形．
一种方法：如图③，把图①中的任意1个小正方形按“基本分割法2”进行分割，就可增加5个小正方形，从而分割成4+5=9（个）小正方形．另一种方法：如图④，把图②中的任意1个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加3个小正方形，从而分割成6+3=9（个）小正方形．
（2）把一个正方形分割成10个小正方形．
方法：如图⑤，把图①中的任意2个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加3×2个小正方形，从而分割成4+3×2=10（个）小正方形．
（3）请你参照上述分割方法，把图⑥给出的正方形分割成11个小正方形（用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法）
（4）把一个正方形分割成n（n≥9）个小正方形．
方法：通过“基本分割法1”、“基本分割法2”或其组合把一个正方形分割成9个、10个和11个小正方形，再在此基础上每使用1次“基本分割法1”，就可增加3个小正方形，从而把一个正方形分割成12个、13个、14个小正方形，依此类推，即可把一个正方形分割成n（n≥9）个小正方形．
从上面的分法可以看出，解决问题的关键就是找到两种基本分割法，然后通过这两种基本分割法或其组合把正方形分割成n（n≥9）个小正方形．
类比应用：仿照上面的方法，我们可以把一个正三角形分割成n（n≥9）个小正三角形．
（1）基本分割法1：把一个正三角形分割成4个小正三角形（请你在图a中画出草图）；
（2）基本分割法2：把一个正三角形分割成6个小正三角形（请你在图b中画出草图）；
（3）分别把图c、图d和图e中的正三角形分割成9个、10个和11个小正三角形（用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法）；
（4）请你写出把一个正三角形分割成n（n≥9）个小正三角形的分割方法（只写出分割方法，不用画图）．
考点：作图—应用与设计作图．
专题：阅读型．
分析：（3）按“基本分割2”进行两次即可；
（4）类比应用：
①基本分割法1即利用正三角形的3条中位线把一个正三角形分割成4个小正三角形；
②基本分割法2即作正三角形的一条中位线，将其分割成一个小正三角形和梯形，再利用梯形上底的中点和下底的三等分点，将梯形分割成5个正三角形，从而把一个正三角形分割成6个小正三角形；
③图c分别按基本分割1和基本分割2各进行一次即可；
图d分别按基本分割1进行3次即可；
图e分别按基本分割2进行2次即可；
④类比正方形的分割中的第（4）小题，即可作出答案：
通过“基本分割法1”、“基本分割法2”或其组合把一个正三角形分割成9个、10个和11个小正方形，再在此基础上每使用1次“基本分割法1”，就可增加3个小正三角形，从而把一个正三角形分割成12个、13个、14个小正方形，依此类推，即可把一个正三角形分割成n（n≥9）个小正三角形．
解答：解：（1）把一个正方形分割成11个小正方形：
（2分）
（2）把一个正三角形分割成4个小正三角形：
（3分）
（3）一个正三角形分割成6个小正三角形：
（5分）
（4）把一个正三角形分割成9个、10个和11个小正三角形：
（8分）
把一个正三角形分割成n （n ≥9）个小正三角形的分割方法：通过“基本分割法1”、“基本分割法2”或其组合，把一个正三角形分割成9个、10个和11个小正三角形，再在此基础上每使用1次“基本分割法1”，就可增加3个小正三角形，从而把一个正三角形分割成12个、13个、14个小正三角形，依此类推，即可把一个正三角形分割成n （n ≥9）个小正三角形．（10分）
点评：本题一方面考查了学生的动手操作能力，另一方面考查了学生的空间想象能力，重视知识的发生过程，让学生体验学习的过程．
4.(10年中考)问题再现
现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见.在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题.今天我们把正多边形．．．．的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究.
我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面.如右图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O 周围围绕着4个正方形的内角.
试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着_______个正六边形的内角. 问题提出
如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？ 问题解决
猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？
分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决.从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形内角特点.具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角.
验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x 个正方形和y 个正八边形的内角可以拼成一个周角.根据题意，可得方程：
()82180903608
x y -⨯+
⋅=，整理得：2x +3y =8，
我们可以找到唯一一组适合方程的正整数解为1
2x y =⎧⎨=⎩
.
结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕这1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形
和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌.
猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由. 验证2：
结论2：_________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________.
上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其他可能的组合方案. 问题拓广
请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程.
猜想3：_________________________________________________________________________________. 验证3：
结论3：_________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________.
解题：用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．
用两种正多边形镶嵌，每一顶点可用3个正三角形和2个正方形、四个正三角形和1个正六边形、2个正三角形和2个正六边形、1个正三角形和2个正十二边形、1个正方形和2个正八边形等能镶嵌成一个平面图案． 解：用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着3个正六边形的内角．（1分）
验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a 个正三角形和b 个正六边形的内角可以拼成一个周角， 根据题意，可得方程：60a+120b=360． 整理得：a+2b=6，
可以找到两组适合方程的正整数解为a=1，b=2；a=4，b=1．（3分 结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．（5分） 猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？（6分）
验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m 个正三角形、n 个正方形和c 个正六边形的内角可以拼成一个周角． 根据题意，可得方程：60m+90n+120c=360， 整理得：2m+3n+4c=12，
可以找到惟一一组适合方程的正整数解为m=1，n=2，c=1
结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌．（说明：本题答案不惟一，符合要求即可．） 正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合． 5.(11年中考)问题提出
我们在分析解决数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小.解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差变形，利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式M 、N 的大小，只要作出它们的差M N -，若0M N ->，则M N >；若0M N -=，则M N =；若0M N -<，则M N <. 问题解决
如图①，把边长为a +b 的大正方形(a≠b )分割成两个边长分别是a ，b 的小正方形以及两个矩形，试比较两个小正方形的面积之和M 与两个矩形面积之和N 的大小.
由图可知，22
M a b =+，2N ab =，
()222
2 .
M N a b ab
a b ∴-=+-=- a b ≠， ()2
0a b ∴->，
M N ∴>.
类比应用
⑴已知小明和小亮购买同一种商品的平均价格分别为2a b +元/千克，2ab
a b
+元/千克，试比较小明和小亮所购商品的平均价格的高低(a ，b 是正数，且a≠b ). 解：
a b
图①
类比应用
⑵试比较图②、图③两个矩形的周长M 1、N 1(b>c )的大小.
解：
拓展应用
小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，箱子的尺寸如图④(0<c<a<b )，售货员分别按图⑤、图⑥、图⑦三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由.
解：
图②
图③
b +a-c
图④ 图⑤ 图⑥ 图⑦。