青岛市历年中考数学23题汇总.doc

青岛市中考数学23题汇编

1.(07年中考)提出问题：如图①，在四边形ABCD 中，P 是AD 边上任意一点，PBC ∆与ABC ∆和DBC ∆的面积之间有什么关系？

探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手: ⑴当12

AP AD =时(如图②)：

1,2

AP AD ABP =∆和ABD ∆的高相等，

12

ABP ABD S S ∆∆∴=.

1,2

PD AD AP AD CDP =-=∆和CDA ∆的高相等，

12

CDP CDA S S ∆∆∴=

()()11 2211 22

11 22PBC ABP CDP

ABCD ABD CDA

ABCD DBC ABC ABCD ABCD ABCD DBC ABC

S S S S S S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∴=--=--=----=+四边形四边形四边形四边形四边形⑵当13AP AD =时，探求PBC S ∆与ABC S ∆和

DBC S ∆之间的关系，写出求解过程；

⑶当16

AP AD

=

时，PBC S ∆与ABC S ∆和DBC S ∆之间的关系式为：__________________________； ⑷一般的，当1AP AD

n

=(n 表示正整数)时，探求PBC S ∆与ABC S ∆和DBC S ∆之间的关系,写出求解过程； 问题解决：当m AP AD n =(01

m n

≤≤)时，PBC S ∆与ABC S ∆和DBC S ∆之间的关系式为:__________________.

图①

图②

2. （2008•青岛）实际问题：某学校共有18个教学班，每班的学生数都是40人．为了解学生课余时间上网情况，学校打算做一次抽样调查，如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级，那么全校最少需抽取多少名学生？

建立模型：为解决上面的“实际问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型：

在不透明的口袋中装有红，黄，白三种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？

为了找到解决问题的办法，我们可把上述问题简单化：

（1）我们首先考虑最简单的情况：即要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？

假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3=4（如图①）；

（2）若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢？

我们只需在（1）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有3个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×2=7（如图②）（3）若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个是同色的呢？

我们只需在（2）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有4个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×3=10（如图③）：…（10）若要确保从口袋中摸出的小球至少有10个是同色的呢？

我们只需在（9）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有10个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×（10-1）=28（如图⑩）

模型拓展一：在不透明的口袋中装有红，黄，白，蓝，绿五种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现从袋中随机摸球：

（1）若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是

6

；

（2）若要确保摸出的小球至少有10个同色，则最少需摸出小球的个数是

46

；

（3）若要确保摸出的小球至少有n个同色（n＜20），则最少需摸出小球的个数是

1+5（n-1）

．

模型拓展二：在不透明口袋中装有m种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现从袋中随机摸球：

（1）若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是

1+m

．

（2）若要确保摸出的小球至少有n个同色（n＜20），则最少需摸出小球的个数是

1+m（n-1）

．

问题解决：（1）请把本题中的“实际问题”转化为一个从口袋中摸球的数学模型；

（2）根据（1）中建立的数学模型，求出全校最少需抽取多少名学生？

考点：列表法与树状图法；用样本估计总体．

分析：首先要理解题意，此题需要两步完成，借助于列表法求解较简单；解题时要注意利用类比和转化的思想结合活动中获得的数学经验与知识解决实际问题．

解答：解：模型拓展一：（1）1+5=6；（1分）

红白蓝

红（红，红）（红，白）（红，蓝）

黄（黄，红）（黄，白）（黄，蓝）

蓝（蓝，红）（蓝，白）（蓝，蓝）

（2）1+5×9=46；（2分）

（3）1+5（n-1）；（3分）

模型拓展二：（1）1+m；（4分）

（2）1+m（n-1）；（5分）

问题解决：（1）在不透明口袋中放入18种颜色的小球（小球除颜色外完全相同）各40个，现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？（8分）

（2）1+18×（10-1）=163个（10分）

点评：本题以范例的形式给出，并在求解的过程中暗示解决问题的思路，要求学生在理解的基础上进行方法的迁移运用．利用类比和转化的思想结合活动中获得的数学经验与知识解决实际问题．

3（2009•青岛）我们在解决数学问题时，经常采用“转化”（或“化归”）的思想方法，把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已解决或比较容易解决的问题．

譬如，在学习了一元一次方程的解法以后，进一步研究二元一次方程组的解法时，我们通常采用“消元”的方法，把二元一次方程组转化为一元一次方程；再譬如，在学习了三角形内角和定理以后，进一步研究多边形的内角和问题时，我们通常借助添加辅助线，把多边形转化为三角形，从而解决问题．

问题提出：如何把一个正方形分割成n（n≥9）个小正方形？

为解决上面问题，我们先来研究两种简单的“基本分割法”．

基本分割法1：如图①，把一个正方形分割成4个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了3个正方形．

基本分割法2：如图②，把一个正方形分割成6个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了5个正方形．

问题解决：有了上述两种“基本分割法”后，我们就可以把一个正方形分割成n（n≥9）个小正方形．

（1）把一个正方形分割成9个小正方形．

一种方法：如图③，把图①中的任意1个小正方形按“基本分割法2”进行分割，就可增加5个小正方形，从而分割成4+5=9（个）小正方形．另一种方法：如图④，把图②中的任意1个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加3个小正方形，从而分割成6+3=9（个）小正方形．

（2）把一个正方形分割成10个小正方形．

方法：如图⑤，把图①中的任意2个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加3×2个小正方形，从而分割成4+3×2=10（个）小正方形．

（3）请你参照上述分割方法，把图⑥给出的正方形分割成11个小正方形（用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法）

（4）把一个正方形分割成n（n≥9）个小正方形．