9第九讲 幂函数与函数应用(教师版)

第一课时：幂函数知识点一 幂函数的概念思考 y ＝1x ，y ＝x ，y ＝x 2三个函数有什么共同特征？答案 底数为x ，指数为常数.梳理 一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数. 知识点二 五个幂函数的图象与性质1.在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图.2.五个幂函数的性质y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝12x y ＝x －1 定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ≠0} 值域 R [0，＋∞)R [0，＋∞) {y |y ≠0} 奇偶性 奇 偶奇 非奇非偶 奇单调性增在[0，＋∞)上增， 在(－∞，0]上减增增在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减第九节 幂函数与函数应用 基本不等式知识点三 一般幂函数的图象特征思考 类比y ＝x 3的图象和性质，研究y ＝x 5的图象与性质.答案 y ＝x 3与y ＝x 5的定义域、值域、单调性、奇偶性完全相同.只不过当0<x <1时，x 5＝x 3·x 2<x 3，当x >1时，x 5＝x 3·x 2>x 3，结合两函数性质，可得图象如下：梳理 一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；(2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数.特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；(3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称；(5)在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列.类型一 幂函数的概念 例1 已知y ＝(m 2＋2m －2)22m x-＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值.解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－3，n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝32.所以m ＝－3或1，n ＝32.反思与感悟 幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x ，指数为常数这三个条件，才是幂函数.如：y ＝3x 2，y ＝(2x )3，y ＝⎝⎛⎭⎫x 24都不是幂函数.跟踪训练1 在函数y ＝1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )A.0B.1C.2D.3 答案 B解析 因为y ＝1x 2＝x －2，所以是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常数函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1), 所以常数函数y ＝1不是幂函数. 类型二 幂函数的图象及应用例2 若点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点(－2，14)在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x ).解 设f (x )＝x α，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以，将点(2，2)代入f (x )＝x α中，得2＝(2)α，解得α＝2，则f (x )＝x 2.同理可求得g (x )＝x －2.在同一坐标系里作出函数f (x )＝x 2和g (x )＝x －2的图象(如图所示)，观察图象可得：(1)当x >1或x <－1时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； (3)当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x ). 引申探究若对于例2中的f (x )，g (x )，定义h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤g (x )，g (x )，f (x )>g (x )，试画出h (x )的图象.解 h (x )的图象如图所示：反思与感悟 注意本题中对f (x )＞g (x )，f (x )＝g (x )的几何解释.这种几何解释帮助我们从图形角度解读不等式方程，是以后常用的方法.跟踪训练2 幂函数y ＝x α(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图).设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA .那么αβ等于( ) A.1 B.2 C.3 D.无法确定答案 A解析 由条件知，M (13，23)、N (23，13)，∴13＝(23)α，23＝(13)β， ∴(13)αβ＝[(13)β]α＝(23)α＝13， ∴αβ＝1.故选A.类型三 幂函数性质的综合应用 命题角度1 比较大小 例3 设a ＝2323⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1323⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝2325⎛⎫⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.b >a >c C.b >c >a D.c >b >a答案 B解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫23x 在R 上为减函数，∴2323⎛⎫ ⎪⎝⎭<1323⎛⎫ ⎪⎝⎭，即a <b ；∵f (x )＝23x 在(0，＋∞)上为增函数，∴2323⎛⎫⎪⎝⎭>2325⎛⎫⎪⎝⎭，即a >c .∴b >a >c .故选B. 反思与感悟 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变.比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量. 跟踪训练3 比较下列各组数中两个数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫250.3与⎝⎛⎭⎫130.3； (2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1； (3)⎝⎛⎭⎫250.3与()250.3. 解 (1)∵0<0.3<1，∴y ＝x 0.3在(0，＋∞)上为增函数. 又25>13，∴⎝⎛⎭⎫250.3>⎝⎛⎭⎫130.3. (2)∵y ＝x －1在(－∞，0)上是减函数， 又－23<－35.∴⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. (3)∵y ＝x 0.3在(0，＋∞)上为增函数， ∴由25>0.3，可得⎝⎛⎭⎫250.3>0.30.3.① 又y ＝0.3x 在(－∞，＋∞)上为减函数， ∴0.30.3>250.3.②由①②知⎝⎛⎭⎫250.3>250.3.命题角度2 幂函数性质的综合应用 例4 已知幂函数y ＝x3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足()31ma -+<()332m a --的a 的取值范围.解 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0， 解得m <3.又因为m ∈N *，所以m ＝1,2. 因为函数的图象关于y 轴对称，所以3m －9为偶数，故m ＝1. 则原不等式可化为()()1133132a a ---<-.因为y ＝13x-在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a . 解得23<a <32或a <－1.故a 的取值范围是{a |a <－1或23<a <32}.反思与感悟 幂函数y ＝x α中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值.跟踪训练4 已知幂函数f (x )＝21mmx +(m ∈N *).(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若函数还经过(2，2)，试确定m 的值，并求满足f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围. 解 (1)∵m ∈N *，∴m 2＋m ＝m ×(m ＋1)为偶数. 令m 2＋m ＝2k ，k ∈N *，则f (x )＝2kx ，∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f (x )为增函数. (2)∵2＝122＝212m m+，∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)， ∴f (x )＝12x ，由(1)知f (x )在定义域[0，＋∞)上为增函数. ∴f (2－a )>f (a －1)等价于2－a >a －1≥0， 解得1≤a <32.图第二课时：函数应用知识点一函数模型思考自由落体速度公式v＝gt是一种函数模型.类比这个公式的发现过程，说说什么是函数模型？它怎么来的？有什么用？答案函数模型来源于现实(伽利略斜塔抛球)，通过收集数据(打点计时器测量)，画散点图分析数据(增长速度、单位时间内的增长量等)，寻找或选择函数(假说)来拟合，这个函数即为函数模型.函数模型通常用来解释已有数据和预测.梳理一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.知识点二几类已知函数模型梳理几类函数模型：类型一 函数模型应用例1某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年的年产量保持不变，将该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系用图象表示，则正确的是( )答案 A跟踪训练1.向高为H 的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是( )答案 B解析 水深h 为自变量，随着h 增大，A 中V 增长速度越来越快，C 中先慢后快，D 增长速度不变，只有B 中V 增长速度越来越慢.类型二 利用已知函数模型求解实际问题例2 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min 开出13km 后，以120km/h 的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S 与匀速行驶的时间t 之间的关系，并求火车离开北京2h 内行驶的路程. 解 因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120＝115 (h)，所以0≤t ≤115.因为火车匀速行驶t h 所行驶的路程为120t ，所以，火车运行总路程S 与匀速行驶时间t 之间的关系是S ＝13＋120t (0≤t ≤115).2h 内火车行驶的路程S ＝13＋120×(2－1060)＝233(km).反思与感悟 在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是已知函数模型，这时可借助待定系数法求出函数解析式.再根据解题需要研究函数性质.跟踪训练2 如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米.则水位下降1米后，水面宽________米.答案 2 6解析 以拱顶为原点，过原点与水面平行的直线为x 轴，建立平面直角坐标系(如图)，则水面和拱桥交点A (2，－2)，设抛物线所对应的函数关系式为y ＝ax 2(a ≠0)，则－2＝a ·22，∴a ＝－12，∴y ＝－12x 2.当水面下降1米时，水面和拱桥的交点记作B (b ，－3)，将B 点的坐标代入y ＝－12x 2，得b ＝±6，因此水面宽26米.类型二 自建确定性函数模型解决实际问题 命题角度1 非分段函数模型例3 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨.若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 解 设可获得总利润为R (x )万元， 则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8000＝－x 25＋88x －8000＝－15(x －220)2＋1680 (0≤x ≤210).∵R (x )在[0,210]上是增函数，∴x ＝210时， R (x )max ＝－15(210－220)2＋1680＝1660(万元).∴年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元.反思与感悟 自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”. 求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务.设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量. 列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等.限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等.跟踪训练3 有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次为Q 1万元和Q 2万元，它们与投入的资金x 万元的关系是Q 1＝15x ，Q 2＝35x .现有3万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？解 设对甲种商品投资x 万元，则对乙种商品投资(3－x )万元，总利润为y 万元. 所以Q 1＝15x ，Q 2＝353－x .所以y ＝15x ＋353－x (0≤x ≤3)，令t ＝3－x (0≤t ≤3)，则x ＝3－t 2.所以y ＝15(3－t 2)＋35t ＝－15(t －32)2＋2120.当t ＝32时，y max ＝2120＝1.05(万元)，即x ＝34＝0.75(万元)，所以3－x ＝2.25(万元).由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，共获得利润1.05万元.命题角度4 分段函数模型例4 某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆.旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x 元只取整数，用y 表示出租所有自行车的日净收入.(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得) (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？ 解 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115＞0，解得x ＞2.3. 又因为x ∈N ，所以3≤x ≤6，且x ∈N .当6＜x ≤20，且x ∈N 时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115， 综上可知y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115，3≤x ≤6，x ∈N ，－3x 2＋68x －115，6＜x ≤20，x ∈N .(2)当3≤x ≤6，且x ∈N 时，因为y ＝50x －115是增函数，所以当x ＝6时，y max ＝185元. 当6＜x ≤20，且x ∈N 时，y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎫x －3432＋8113， 所以当x ＝11时，y max ＝270元.综上所述，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为270元.反思与感悟 自变量x 按取值不同，依不同的对应关系对应因变量y 是分段函数的典例特征，建立分段函数模型应注意：(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏. (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.跟踪训练4 学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40min 的一节课中，注意力指数y 与听课时间x (单位：min)之间的关系满足如图的图象.当x ∈(0,12]时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点A (10,80)，过点B (12,78)；当x ∈[12,40]时，图象是线段BC ，其中C (40,50).根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.(1)试求y ＝f (x )的函数关系式；(2)教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由.解 (1)当x ∈(0,12]时，设f (x )＝a (x －10)2＋80(a ≠0).因为该部分图象过点B (12,78)，将B 点的坐标代入上式，得a ＝－12，所以f (x )＝－12(x －10)2＋80.当x ∈[12,40]时，设f (x )＝kx ＋b (k ≠0).因为线段BC 过点B (12,78)，C (40,50)，将它们的坐标分别代入上式，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 12k ＋b ＝78，40k ＋b ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝90，所以f (x )＝－x ＋90. 故所求函数的关系式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12(x －10)2＋80，x ∈(0，12]，－x ＋90，x ∈(12，40].(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤12，－12(x －10)2＋80＞62或⎩⎪⎨⎪⎧12＜x ≤40，－x ＋90＞62，解得4＜x ≤12或12＜x ＜28，即4＜x ＜28.故老师应在x ∈(4,28)时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳.幂函数1.已知y ＝(m 2＋m －5)x m 是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m 的值为( ) A.－3 B.2 C.－3或2 D.3答案 A解析 由y ＝(m 2＋m －5)x m 是幂函数，知m 2＋m －5＝1，解得m ＝2或m ＝－3.∵该函数在第一象限内是单调递减的，∴m <0.故m ＝－3.2.已知f (x )＝12x ，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( ) A.f (a )<f (b )<f (1a )<f (1b )B.f (1a )<f (1b )<f (b )<f (a )C.f (a )<f (b )<f (1b )<f (1a )D.f (1a )<f (a )<f (1b )<f (b )答案 C解析 因为函数f (x )＝12x 在(0，＋∞)上是增函数， 又0<a <b <1b <1a，故选C.3.已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( ) A.－3 B.1 C.2 D.1或2答案 B解析 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1适合题意，故选B. 4.判断大小：5.25－1________5.26－2.(填“>”或“<”) 答案 >解析 ∵y ＝x －1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26， ∴5.25－1>5.26－1；∵y ＝5.26x 是增函数，－1>－2，∴5.26－1>5.26－2. 综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2.5.已知幂函数f (x )＝xm 2－1(m ∈Z )的图象与x 轴，y 轴都无交点，且关于原点对称，则函数f (x )的解析式是________. 答案 f (x )＝x －1解析 ∵函数的图象与x 轴，y 轴都无交点，∴m 2－1<0，解得－1<m <1. ∵图象关于原点对称，且m ∈Z ， ∴m ＝0，∴f (x )＝x －1.6.已知幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，求m 的值. 解 因为f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，所以3m －5<0，故m <53.又因为m ∈N ，所以m ＝0或m ＝1，当m ＝0时，f (x )＝x －5，f (－x )≠f (x )，不符合题意； 当m ＝1时，f (x )＝x －2，f (－x )＝f (x )，符合题意. 综上知，m ＝1.函数的应用1．（2017·全国高一课时练习）拟定从甲地到乙地通话m 分钟的话费符合()[]()3.71,04{?1.060.52,4m f m m m <≤=⨯+>其中[]m 表示不超过m 的最大整数，从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是( ) A.3.71 B.4.24 C.4.77 D.7.95【答案】C【解析】()[]()()5.2 1.060.5 5.22 1.06 2.52 4.77f =⨯⨯+=⨯+=,故选C.2．（2019·全国高一课时练习）某种图书，如果以每本2.5元的价格出售，可以售出8万本，若单价每提高0.1元，销售量将减少2000本，如果提价后的单价为x 元，下列各式中表示销售总收入不低于20万元的是（ )A ．() 80.2 2.520x x ⎡⎤--≥⎣⎦B ．()800002000 2.520x x ⎡⎤--≥⎣⎦C ．() 82 2.520x x ⎡⎤--≥⎣⎦D ．() 8000020000 2.520x x ⎡⎤--≥⎣⎦【答案】C【解析】提价后的价格为x 元，则提高了()2.5x -元，则销售减少了2.520000.1x -⨯本，即减少了()2 2.5x -万本，实际售出()82 2.5x --万本，则总收入为()82 2.5x x ⎡⎤--⎣⎦， 故选：C3．（2017·全国高一课时练习）某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如下图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )A.310元B.300元C.290元D.280元【答案】B 【解析】设函数解析式为()0y kx b k ≠＝＋， 函数图象过点(1，800)，(2，1 300)， 则80021300k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得500300k b =⎧⎨=⎩所以500300y x =+，当x ＝0时，y ＝300. 所以营销人员没有销售量时的收入是300元． 答案：B4．（2019·全国高一课时练习）一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （辆）与创造的价值y （元）之间满足二次函数关系。