坐标系中的平行四边形
坐标系中的平行四边形
坐标系中的一些常见结论一、知识点梳理1、坐标系中的平行四边形 写出下列各图中的点的坐标标出各图中点的坐标，并找出规律总结：两组对角上的点，从数值上满足以下关系：对角上点的坐标的和，等于另外一组对角上点的坐标的和。
从这个结论我们可以得出以下结论：如果一个平行四边形，三个顶点分别为112233(,),(,),(,)a b a b a b ，那么第四点坐标44(,)a b 有： 41234123,a a a a b b b b =+-=+-或41324132,a a a a b b b b =+-=+-或42314231,a a a a b b b b =+-=+-比如，一个平行四边形的三个顶点为(1,2),(3,4),(5,6)，那么第四个顶点坐标可能有三个： (135,246)+-+-或(153,264)+-+-或(351,462)+-+-即第四个顶点坐标可能为(1,0)-或(3,4)或(7,8)这个结论在之后的很多动点问题中都有涉及，请大家理解，并且记住。
2、坐标系中，中点的表示在坐标系中标出以下各点，并观察，写出它们中点的坐标。
(1,2),(5,4) (1,3),(5,1)-你能得出什么结论？结论：坐标系中，两点坐标为1122(,),(,)a b a b ，那么它们的中点坐标为：1212(,)22a ab b ++3、坐标系中，两条平行线的表达式之间的关系请参照第一页，算出每个平行四边形对边所在直线对应的一次函数，比较它们的k 的关系。
结论：在同一个坐标系中，平行的两条直线，它们的k 相等。
特殊情况：如果两个直线k 都不存在，那么它们也是平行的。
4、坐标系中，知道两点求过这两点的直线的表达式如果一条直线经过点(,),(,)a b c d ，那么这个直线的表达式为：()() d b y x a b c a c a-=-+≠-5、坐标系中，两点之间距离的表示：如果一线段端点为(,),(,)a b c d，那么这条线段长度为：6、坐标系中，两直线垂直，那么这两直线所对应的一次函数表达式的k关系为：121k k=-或者12,k k一个为0，另一个不存在。
平行四边形对点坐标关系
平行四边形对点坐标关系（线段平移规律）平行四边形的综合性习题较多，平行四边形的相对两点坐标关系是解决平行四边形存在问题的一种万能方法，这种方法避免了画图不全面而容易丢解的弊端，是一种好的方法！教学过程如下：题目：平面直角坐标系中，已知点 M（2,3），N（-3,4），P（-2，-1 ），请求出点 Q 的坐标，使得以 M N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形。
由于此题的四边形的顶点顺序没有明确给出，所以此题就会出现多种情况，学生遇到的难点会有两个，一个是考虑问题不周，造成丢解；一个是问题考虑全面，但是求解困难，为此，借助几何画板帮助学生更快地找到解决问题的方法。
几何画板演示：平面直角坐标系中线段 AB, A（ 2,1）B（ 3,4 ），将线段AB进行平移, 即左移4个单位长度，上移 2个单位长度，得到线段 CD （ A、B、C D四个点的坐标在画板中要标注好，便于发现坐标之间的关系）如此平移之后，利用平移的性质可知四边形ABCD为平行四边形，通过坐标平移规律引导学生发现平行四边形四个顶点的坐标关系。
由于只进行了一次平移，学生很难发现，所以利用几何画板再进行不断地演示，直至学生发现：平行四边形相对两点的横、纵坐标之和均相等这一规律。
在发现规律的过程中，几何画板的演示起到了帮助加速学生发现规律的作用。
在发现及归纳规律之后，引导学生利用数学知识进行验证，即利用三角形全等的知识进行证明！在学生通过几何画板的“形”的直观，发现猜想，到利用数学知识验证所得的猜想正确后，还要引导学生总结三个定点构成平行四边形问题可以通过分类讨论的思想，利用对点坐标的关系快速求解，就省去了画图的步骤，从而全面快速解决问题！情况一：NP为相对的两个顶点情况二：NM为相对的两个顶点情况三：NQ为相对的两个顶点。
平面直角坐标系中的平行四边形
(2)动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：
①当P运动到何处时，有PQ⊥AC?
②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小?此时四边形PDCQ的面积是多少?
五、中考课堂议练（超越中考p68，2，3）
六、课堂小结作业：超越中考自主训练p70，5
教学章节
第16课平面直角坐标系中四边形
教学内容
平面直角坐标系中四边形
教学年级
9年级
教学课时
1课时
教学目标
1．在掌握平行四边形的判定方法的基础上，能够根据题目的具体情况选择不同的判定方法，解决平面直角坐标系中的四边形存在性问题.
2．经历例题探究过程，初步理解求解平面直角坐标系中四边形存在性问题的一般思路.
设计意图
教
学
过
程
设
计
一、聚集考点
如图，在平行四边形ABCD中，已知A(0,0) B(1,3),D(5,0),(1)你能得出点C的坐标吗？
二、考点互动讲练
1、考点母题
如图，在平行四边形ABCD中，A（x1,y1）B（x2,y2）C（x3,y3）D（x4,y4），AC与BD交于点E，点E的坐标（x,y），说说这些点的坐标有哪些关系。
三、变式训练
如图，抛物线y=14x2-32x-4与x轴交与A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．
（1）求点A、B、C的坐标．
（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M，N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．
《平面直角坐标系中的平行四边形》课后反思
《平面直角坐标系中的平行四边形》课后反思《平面直角坐标系中的平行四边形》课后反思北京三中王颖平面直角坐标系中图形位置的确定，是综合性较强、难度较大的一类问题，也是中考中的热点问题。
为了可以提高复习课的效率，保证课堂实效，结合我班学生的特点，本课的设计将图形位置的确定定位在了平行四边形这个特殊图形的位置确定上，分解出了综合题中的几何模型【引例】，铺垫到位，总结了作图定位的依据和方法。
再把几何图形放在了平面直角坐标系中，对图形顶点的坐标求法进行归纳和总结。
将专题细化，一题多变，充分引申。
我想这种小起点，低跨步的题目情境更易于学生接受综合性强、难度大的问题，上课后，学生感觉自己对这类题的解法有了一定的了解。
在课堂的教学过程中，我关注学生的审题环节，按：条件是什么？条件怎么用？问题是什么？来让学生关注题目中的关键条件，挖掘隐含条件，学会处理条件。
不仅如此，还让学生参与课堂活动，充分展示自己的作品，展示自己的思维轨迹。
在解题之后注重题目的反思和方法小结，且在下一问题中马上应用该知识点，及时发现学生掌握的不好的知识点，再度强调和巩固。
课堂中引导学生进行小组讨论，但学生没有行动起来，可能今天有人听课比较拘谨。
不然，学习氛围会更热烈一些。
为了能明确的听到学生的见解，今天选择了个别回答的形式，也影响了一部分同学回答问题的积极性，但通过回答问题学生的表现，他们都还是在认真跟着老师学习呢。
因时间问题，例3的讲解显然有些太快了，未给学生充分的思考时间，如果再有教具演示就会更直观了，效果会更好！我还在考虑着今后的教学中应该再大胆一些，让学生独立思考，独立做题，独立的表达，充分的发挥学生学习的能动性。
最后，衷心感谢教研员雷老师和三中数学备课组全体老师为我们这次公开课提供的帮助！欢迎大家指出我这节课的不足之处，我会虚心接受的！第二篇：平面直角坐标系实用说课稿3400字《平面直角坐标系》说课稿武威第十九中学邱雪玲《平面直角坐标系》说课稿武威第十九中学邱雪玲尊敬的各位领导、老师们：大家好！非常高兴能有机会向在座的领导、老师们学习，不当之处，请多指教。
巧解中招试题中“平面直角坐标系中平行四边形”
巧解中招试题中“平面直角坐标系中的平行四边形”数形结合思想是初中数学教学中非常重要的思想方法之一。
用代数方法研究几何问题能使许多图形问题变得简单，平面直角坐标系就是这样一个有力的工具，近几年各地中招试卷中经常出现把平行四边形放在平面直角坐标系中进行考察，河南省在2009年、2010年的竞赛试题中设计的大题进行考察，学生经常出错并且感觉无从下手。
下面我们就一起来研究一下“平面直角坐标系中的平行四边形”有什么特殊的性质呢？为了研究的方便，我们这里只就第一象限的情形进行证明：图1中，给出平行四边形abcd 的顶点a,b,d 的坐标（如图所示），求出顶点c 的坐标（c 点坐标用含a,b,c,d,e,f 的代数式表示）；解：如图2，分别过点a,b,d ,d 作x轴的垂线，垂足分别为a1，b1,c1,d1分别过a,d作ae⊥bb1于df ⊥cc1，于点f 。
在平行四边形abcd 中，cd=ba，又∵bb1 ∥cc1，∴∠eba+∠abc+∠bcf=∠abc+∠bcf+∠fcd=180°。
∴∠eba=∠fcd。
又∵∠bea=∠cfd=90°，∴△bea≌△cfd。
∴af=df=a-c，be=cf=d-b ．设c（x,y)。
由e-x=a-c，得x =e+c-a．由y-f=d-b，得y=f+d-b。
∴c(e+c-a,f+d-b)。
在其它象限也容易求出顶点c的坐标，我们很容易发现：无论平行四边形abcd处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为a （a,b），b（c,d）,c（m,n）,d（e,f）（如图1）时，则四个顶点的横坐标a,c,m,e,之间的等量关系为m+a=c+e；纵坐标b,a,n,f之间的等量关系为n+b=d+f. 我们可以总结出在”平面直角系中的平行四边形”顶点坐标特点是：对点横坐标之和相等，对点纵坐标之和相等。
例1、（2005年，黑龙江）在平面直角坐标系内，a、b、c三点的坐标分别是（0，0）、（4，0）、（3，2），以a、b、c三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（）a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限解：设第四个顶点d的坐标为（x，y），根据题意知分三种情况：（1）以ac为对角线的平行四边形，其中点a与点c为对点，点b与点d为对点。
坐标系中的平行四边形共15页
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
坐标系中的平行四边形
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
让我们一起来探索平面直角坐标系中平行四边形的顶点的坐标之间的关系
让我们一起来探索平面直角坐标系中平行四边形的顶点的坐标之间的关系-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1让我们一起来探索平面直角坐标系中平行四边形的顶点的坐标之间的关系。
第一步：数轴上两点连线的中点表示的数自己画一个数轴，如果点A、B分别表示-2、4，则线段AB的中点M表示的数是。
再试几个，我们发现：数轴上连结两点的线段的中点所表示的数是这两点所表示数的平均数。
第二步；平面直角坐标系中两点连线的中点的坐标（如图①）为便于探索，我们在第一象限内取两点A（x1,y1），B（x2,y2）,取线段AB的中点M，分别作A、B到x轴的垂线段AE、BF，取EF的中点N，则MN是梯形AEFB的中位线，故MN⊥x轴，利用第一步的结论及梯形中位线的性质，我们可以得到点M的坐标是（，）（用x1,y1，x2,y2表示），AEFB是矩形时也可以。
我们的结论是：平面直角坐标系中连结两点的线段的中点的横（纵）坐标等于这两点的横（纵）坐标的平均数。
图①?图②第三步：平面直角坐标系中平行四边形的顶点坐标之间的关系（如图②）在平面直角坐标系中画一个平行四边形ABCD，设A（x1,y1），B（x2,y2），C（x3,y3）,D（x4,y4）,则其对角线交点Q的坐标可以表示为Q（，），也可以表示为Q（，），经过比较，我们可以分别得出关于x1,x2,x3,x4及,y1,y2,y3,y4的两个等式是和。
我们的结论是：平面直角坐标系中平行四边形的对角顶点的横（纵）坐标的?。
题型：解答题难度：中档来源：不详第一步：1?第二步：第三步：或X1+x3=x2+x4 y1+y3=y2+y4，的和相等。
解：第一步：故答案为：1，如图：．解：∵MN是梯形AEFB的中位线，AE∥BF，∴E、F的横坐标分别是x1，x2，解：由第三步推出x1+x3=x2+x4y1+y3=y2+y4，故答案为：x1+x3=x2+x4y1+y3=y2+y4，的和相等．画出数轴即可求出第一步；先求出N是EF中点，求出N的横坐标，根据梯形的中位线性质求出纵坐标即可；根据平行四边形性质推出Q是AC和BD的中点，根据以上结论即可求出答案．。
坐标系中的平行四边形的知识
坐标系中的平行四边形的知识平行四边形是几何学中一个常见的形状，它具有独特的性质和特点。
在坐标系中，平行四边形的性质可以通过坐标的运算和几何知识来得到详细描述。
平行四边形的定义平行四边形是一个具有两对边平行的四边形。
在坐标系中，平行四边形可以通过坐标点表示，其中相邻的两个点构成一条边，而相对的两个点之间的线段是平行的。
平行四边形的性质包括对角线互相平分、相对边平行等。
平行四边形的判定在坐标系中，可以通过坐标点的斜率来判定平行四边形。
如果四个点的斜率相等，则这四个点构成的四边形是平行四边形。
斜率的计算方法为两点之间纵坐标的差值除以横坐标的差值。
平行四边形的性质1.对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，并且中点连线是平行四边形的对边之一。
2.相邻角互补：平行四边形的相邻内角互补，也就是说相邻角的和为180度。
3.临角相等：平行四边形的临角相等，也就是相对边之间的角相等。
4.相对边平行：平行四边形的相对边是平行的。
5.对角线长：对角线长相等。
平行四边形的性质应用平行四边形的性质在几何推导和解题中有着广泛的应用。
通过利用平行四边形的性质，可以简化几何问题的计算和分析。
在坐标系中，通过有效地利用平行四边形的知识，可以更快速地解决复杂的几何问题。
总结在坐标系中，平行四边形是一个重要的几何形状，具有多种性质和特点。
通过对平行四边形的定义、判定和性质进行深入了解，可以更好地应用几何知识解决问题。
平行四边形的知识不仅在数学领域有着重要意义，也可以延伸到其他学科和实际生活中，为我们提供更多的思维方式和解决问题的途径。
坐标系中平行四边形存在性问题探究教学设计
西安爱知中学第十一届校本教研备课组公开课教案年级初三备课组数学组姓名霍高峰坐标系中平行四边形存在性问题探究教学设计课堂练习：1、如图，二次函数x x y 31322—=的图象经过△AOB 的三个顶点，其中A(-1，m )，B(n,n ) ． （1）求A 、B 的坐标；（2）在坐标平面上找点C ，使以A 、O 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形． ①这样的点C 有几个？ ②能否将抛物线x x y 31322—=平移后经过A 、C 两点？若能，求出平移后经过A 、C 两点的一条．．抛物线的解析式；若不能，说明理由．2、如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．xyBAO C《坐标系中平行四边形问题探究》教学反思一直以来，关于在坐标系中，特别在二次函数中讨论平行四边形存在性问题困扰自己，有时自己觉得非常简单的方法对于学生却如同天书一般困难，思考再三，根据平行四边形的图形特点，总结了利用表示坐标的方法解决平行四边形问题的方法。
坐标法不是探讨和论证线段的相等、三角形的全等……，而是用动态的观点看待几何图形——把平行四边形看成是由一条线段平移而成，用数的运算来描述图形的变化——用坐标表示平移，其本质是用几何变换去认识几何图形，用代数方法来解决几何问题，体现的是解析几何的思想、数形结合的思想、几何变换的思想．坐标法的思路：先由题目条件探索三点的坐标（若只有两个定点，可设一个动点的坐标）．根据平行四边形的对角线互相平分这一特征，借助中点坐标公式，探索出平行四边形对角线端点坐标关系，顺利写出第四个顶点的坐标．最后根据题目的要求（动点在什么曲线上），判断平行四边形的存在性．坐标法的特点：①不会遗漏．坐标法回避了对复杂图形的相互关系的分析；②不需证明．坐标法直接写出第四个点的坐标，跨越了复杂的推理过程，回避了繁琐的证明；③不限条件．坐标法适用范围广，无论定点在什么位置、无论动点在哪几条曲线上、在什么曲线上，都可以探索，真正是以不变应万变．坐标法实际就是要用代数的方法研究几何问题，加强数形之间的联系，突出数形结合的思想．这启发我们在日常的教学活动中，要加强对新课程的研究，渗透新课程的理念，按照新课程的要求及时渗透数形结合的思想、几何变换的思想，引导学生从不同的角度思考问题，这样才能从教材简单的例、习题中获得解决问题的新方法、新思想，才能引导学生重视教材，同时培养学生探索的能力和创新的意识．从本节课学生的情况来看，学生对于这种方法接受容易，学习的兴趣也得到提升，在课堂中能够积极发言，探讨遇到的问题。
坐标系中平行四边形存在性问题探究
A E B O C x D
巩固练习
如图，已知平面直角坐标系上的三点坐标 分别为A（2,4）、B（1,1）C（6,2）现存 在一点D，使这四个点构成的四边形是平 行四边形，则点D坐标为 .
y A C x
B O
知识应用 例1.已知：如图，A（-1,0），B（2,0）， 1 点P在y轴上，点Q在直线 y x 2 上， 2 若以点A、B、P、Q为顶点的四边形为平 行四边形。求Q点坐标
x A O C B
y
l
1 y=- x+2 2 x B
A
O
例2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（1,0），B（3,0）C（0，-1）三点。 （1）求该抛物线的表达式； （2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、 P、A、B为顶点的四边形是平行四边形求所有 满足条件点P的坐标。
y
A
O C
B
x
1、如图，二次函数 的图象经过△AOB的 三个顶点，其中A(-1，m)，B(n,n) ． （1）求A、B的坐标； （2）在坐标平面上找点C，使以A、O、B、C为顶点 的四边形是平行四边形． ①这样的点C有几个？ 2 2 1 ②能否将抛物线 y 3 x — 3 x 平移后经过A、C两点？若 能，求出平移后经过A、C两点的一条抛物线的解析 式；若不能，说明理由．
坐标系中平行四边形存 在性问题探究
西安爱知中学 霍高峰
课堂引入 如图，四边形ABCD为平行四边形，其中 A（2,4）、B（1,1）C（6,2）则点D坐标 为 . y
A C x D
B O
知识提升
如图，四边形ABCD为平行四边形，其中A （x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3）、D（x4,y4）, 对角线AC、BD相交于E。 （1）请利用A、C两点坐标表示E点坐标 （2）请利用B、D两点坐标表示E点坐标 （3）根据（1）、（2）的结果讨论平行四边形 两条对角线的端点坐标有何关系。 y
平面直角坐标系中平行四边形存在性的探究
Ｂ
Ａ
／ ／ ７
／ ／ ｃ 。
图２
为平行 四边 形 ．
关键 词 ：分 类讨 论 ；平行 四 边形 ；存 在 性 ；直 角
坐 标 系
如何较快地求 出点 。 的坐
标 呢 ？在 教 学 过程 中 ，笔 者 发 现 学 生 最初 在 思 考这 一 问题 时 ，有
可 以把 点 Ａ也 视 为 一 个 定 点 ．根 据类 型 １中 “ 已知 三 个 定 点 ” 的分 析 方 法 ，可 知 其对 应 的点 共 有 三 个 ， 并 可 以 用 平 移 法 写 出 它 们 的 坐 标 ，为 Ｍ （ ｔ 一４ ，２ ） ，
Ｍ（ ４一ｔ ，２ ） ，Ｍ（ ｔ ＋４ ，一 ２ ） ．
）｜ ～
类型 １ ：已知三个定点 。求第 四个点
情形 ２ ：若 以 Ａ Ｂ， Ｂ Ｃ为 边
Ａ
●
（ 如 图 ３ ）， 可 得
平 面 内有点 Ａ（ ４ ，４ ） ， （ 一 ２ ，２ ） ， Ｃ （ ３ ，一 １ ） ，试 在此 平 面 中找 出另
一
（ ９ ，１ ） ．
ｙ
Ｃ Ｍ ，其 中点 Ａ（ ４ ，４ ） 到点 Ｃ （ ３ ，一 １ ） 是 向左 平 移 １ 个单 位 ， 向下 平 移 ５个 单 位 ，故 也 将 点 Ｂ（ 一 ２ ，２ ） 如 此 平 移 ，即得 点 。 （ 一 ３ ，一 ３ ）（ 也 可 以看 成是 将 线段 Ａｃ平
移到 Ｂ Ｍ ） ． 例 １ 如图 ｌ ，在 直 角 坐 标
点 的运 动路线一定 是在过点 ｃ （ 或 点 Ｃ关于直线
Ａ Ｂ 的对 称 点 Ｃ ） 且 平行 于 Ａ Ｂ的 这两 条直 线 上 ．这 时
第6章平行四边形 题型解读7 直角坐标系中的平行四边形-2020-2021学年北师大版八年级数学下册
《平行四边形》题型解读7 直角坐标系中的平行四边形【知识梳理】： 1.总体解题分析思路线：2.常见添辅助线方法：①过平行四边形顶点作坐标轴的垂线段，把点的坐标转化成线段长； ②连接对角线，利用中点坐标公式求解点的坐标；【典型例题】例1.已知如图，平行四边形ABCD 的边AB 在轴上，顶点D 在轴上，AD=4，AB=5，点A 的坐标为（-2，0），则 点B 的坐标为____________, 点C 的坐标为____________, 点D 的坐标为____________ 【解题过程】作CE ⊥x 轴，∵点A 的坐标为（-2，0），∴OA=2，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC=4,AB=CD=5,∴OB=3,∴BE=2,在Rt △OAD 中，由勾股定理可得OD=2√3,∵∠DAO=∠CBE,OA=BE=2,∠AOD=∠CEB=90º,∴△AOD ≌△BEC,∴CE=OB=2√3,∴B(3,0)、D(0,2√3)、C(5,2√3).例2.如图，在平面直角坐标系中，AB//OC ，A （0，12），B （a,12），C （b,0），且满足b =√a −21+√21−a +16. 动点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；动点Q 从点O 出发在线段OC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，点P 、Q 同时出发，当点P 运动到点B 时，点Q 随之停止运动.设运动时间为t （秒）. （1）求B ，C 两点的坐标；（2）当t 为何值时，四边形PQCB 是平行四边形？请求出此时P ，Q 两点的坐标； （3）当t 为何值时，△PQC 是以PQ 为腰的等腰三角形？并求出P 、Q 两点的坐标.【解题过程】（1）∵b =√a −21+√21−a +16，∴√a −21≥0，√21−a ≥0，∴a=21,∴b=16,∴B(21,12)、C(16,0)； （2）如图1，由题可知：AP=2t,PB=21-2t ，OQ=t,QC=16-t ，∵当四边形PQCB 是平行四边形时，∴PB=QC ，即21-2t=16-t ，解得t=5，此时AP=10,OQ=5，∵AB//OC ，∴点B 、P 的纵坐标相同，∴P(10,12)、Q(5,0)。
平面直角坐标系中求平行四边形点的坐标的公式
平面直角坐标系中求平行四边形点的坐标的公式在平面直角坐标系里，我们常常会遇到平行四边形的问题。
这可是个让人挠头但又充满乐趣的挑战呢！想想看，一个平行四边形就像是一对亲密无间的朋友，永远是两两相对，形影不离。
搞清楚这些点的坐标，并不需要太高深的数学技能，反而有点像跟朋友一起出去玩，简单又有趣。
咱们得明白，平行四边形的对边是平行的，这点可不是说说而已。
比如，你在坐标系中有两个点A（x1, y1）和B（x2, y2），这时候想要找出平行四边形的另外两个点C 和D，那就得聪明一点了。
说到这里，大家是不是有点儿兴奋了？找点的过程就像探险一样，充满惊喜。
要想清楚C和D的坐标，首先要找到平行四边形的“位置”。
有了A 和B，我们就可以简单地用公式来找到C和D。
好吧，接下来就是核心步骤了。
我们来设C点的坐标为(x3, y3)，D点的坐标为(x4, y4)。
C点其实可以用A点和B点来“算”出来。
这样一来，C的坐标就可以表示为C（x1 + k, y1 + m），而D的坐标可以写成D（x2 + k, y2 + m）。
这里的k和m可大可小，想象一下就像加了点糖的茶，喝起来特别好！这样一来，平行四边形的四个点就全部搞定了，真是太简单了。
在这个过程中，记得保持心情愉快哦。
数学不再是枯燥的符号和公式，它就像一场游戏。
想象一下，坐在公园的长椅上，和朋友聊着天，偶尔抬头看看天上的云朵，或许它们的形状就像一个个平行四边形。
只要你用心观察，总能发现生活中的数学。
搞定了坐标的计算，你就是这个领域的小专家。
大家可能会问，这样的公式怎么会有用呢？说实话，平行四边形不仅在课本上出现，在生活中也是无处不在。
你去超市的时候，购物车的形状其实就像一个平行四边形！在家里，桌子、椅子也大多是这类形状。
生活就像一个大拼图，平行四边形就是其中重要的一部分。
每个坐标点就像拼图上的每个小块，缺一不可。
所以，别觉得数学难，实际上它就像一个朋友，静静地待在你身边，随时等着你去发现它的美。
平面直角坐标系中的平行四边形
平面直角坐标系中的平行四边形1．如图，直线y ＝－34x 经过抛物线y ＝ax2＋8ax －3的顶点M ，点P 是抛物线上的动点，点Q 是抛物线对称轴上的动点． （1）求抛物线的解析式；（2）当PQ ∥OM 时，设点P 的横坐标为x ，线段PQ 的长为d ，求d 关于x 的函数关系式； （3）当以P 、Q 、O 、M 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求P 、Q 两点的坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x2＋mx ＋n 经过A （3，0）、B （0，－3）两点，点P 是直线AB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ．（1）若点P 在第四象限，连接AM 、BM ，当△ABM 的面积最大时，求△ABM 的AB 边上的高；（2）若四边形PMBO 为等腰梯形，求点P 的坐标（3）是否存在这样的点P ，使得以点P 、M 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y ＝x2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C （0，－3），顶点为D （－1，－4），连接AC 、CD ． （1）求抛物线的解析式；（2）试在x 轴上找一点E ，使∠CED 最大，求点E 的坐标；（3）点Q 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点P ，使以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y ＝x2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C （0，－3），顶点为D （－1，－4），连接AC 、CD ． （1）求抛物线的解析式；（2）试在x 轴上找一点E ，使∠CED 最大，求点E 的坐标；（3）点Q 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点P ，使以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5．已知抛物线y ＝16(x －2)(x －2t －3)（t ＞0）与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且△ABC 的面积为212． （1）求抛物线的解析式；（2）设l 为过点B 且经过第一、二、四象限的一条直线，过原点O 的直线与l 交于点E ，与以AC 为直径的圆交于点D ，若△OAD ∽△OEB ，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，若点Q 为直线l 上的动点，在坐标平面内是否存在点P ，使得以P 、Q 、A 、C 四点为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6．已知抛物线y ＝12x2－mx ＋2m －7 2． （1）试说明：无论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点；（2）如图，当该抛物线的对称轴为直线x ＝3时，抛物线的顶点为点C ，直线y ＝x －1与抛物线交于A 、B 两点，并与它的对称轴交于点D ． ①抛物线上是否存在一点P 使得四边形ACPD 是正方形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由； ②平移直线CD ，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ，通过怎样的平移能使得C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．7．如图，直线y ＝3x ＋3交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3，0），顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E 的坐标为（1，－2），点M 是抛物线上一点（D 点除外），且△MOE 的面积与△DOE 的面积相等，求M 点坐标； （3）若点P 是抛物线的对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点Q ，使以点P 、Q 、A 、B 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0）两点，且x 1＜x 2，与y 轴交于点C （0，－4），其中x 1，x 2是方程x2－4x －12＝0的两个根．（1）求抛物线的解析式；（2）点M 是线段AB 上的一个动点，过点M 作MN ∥BC ，交AC 于点N ，连接CM ，当△CMN 的面积最大时，求点M 的坐标；（3）点D （4，k ）在（1）中抛物线上，点E 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点F ，使以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 交x 轴于点A （－3，0），点B （1，0），交y 轴于点E （0，－3）．点C 是点A 关于点B 的对称点，点F 是线段BC 的中点，直线l 过点F 且与y 轴平行．直线y ＝－x ＋m 过点C ，交y 轴于D 点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点K 为线段AB 上一动点，过点K 作x 轴的垂线与直线CD 交于点H ，与抛物线交于点G ，求线段HG 长度的最大值；（3）在直线l 上取点M ，在抛物线上取点N ，使以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标．备用图10．在平面直角坐标系xO y 中，关于y 轴对称的抛物线y ＝－m －1 3x2＋(m －2)x ＋4m －7与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，P 是抛物线上的一点（点P 不（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数m ，使得以P 、A 、B 、Q 四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．12．（12分）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （2，m ）在直线y ＝2x 上，在x 轴上有点B （10，0）连接AB ，直线AB 交y 轴于点C ． （1）求直线AB 解析式，并求出C 点坐标；（2）若点M 是在x 轴上方，问是否在点M ，使0，B ，M ，A 为顶点的四边形是平行四边形．若是，求出点M 坐标，若不是，试说明理由．（3）若点P 是直线AB 上一个动点，平面内存在点N ，使以O ，C ，N ，P 为顶点的四边形是菱形，请写出点N 的坐标（直接写出结果，不需要过程）．。
在坐标系中求平行四边形公式
在坐标系中求平行四边形公式
在数学中，平行四边形是一个具有两对平行边的四边形。
对于任意平行四边形，我们可以通过两个不同的方法来求解其面积和各个顶点坐标之间的关系。
下面将介绍这两种方法。
方法一：利用平行四边形的高度和底边长
假设我们有一个平行四边形，其底边长度为 \(a\)，高度为 \(h\)。
通过几何知
识我们知道，平行四边形的面积可以表示为底边长乘以高度。
具体公式如下：\[ S = a \times h \]
其中，\(S\) 表示平行四边形的面积。
这个公式非常简单直观，只需要知道底
边长度和高度就可以轻松求解平行四边形的面积。
方法二：利用顶点坐标
假设我们有一个平行四边形，已知其四个顶点的坐标分别为 \(A(x_1, y_1)\)、
\(B(x_2, y_2)\)、\(C(x_3, y_3)\)、\(D(x_4, y_4)\)。
那么平行四边形的面积可以通
过以下公式求解：
\[ S = \frac{1}{2} \times |x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - y_1x_2 - y_2x_3 -
y_3x_4 - y_4x_1| \]
这个公式通过计算顶点坐标的乘积和差值来求解平行四边形的面积，虽然看起
来有些复杂，但通过代入具体坐标就可以快速求解。
综上所述，我们可以通过底边长度和高度，或者通过顶点坐标，来求解平行四
边形的面积。
这些方法能够帮助我们更好地理解平行四边形的性质和计算方法。
坐标系中平行四边形各点坐标的特点
坐标系中平行四边形各点坐标的特点1. 什么是坐标系？在数学中，坐标系是用来描述和定位一个点在空间中位置的工具。
常见的二维坐标系包括直角坐标系和极坐标系，而三维空间则使用三维直角坐标系。
直角坐标系中，我们使用两个相互垂直的轴（通常为x轴和y轴）来表示平面上的点。
每个点都可以由一个有序对（x，y）来表示，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
2. 平行四边形的定义平行四边形是指具有两对平行边的四边形。
它有以下特点：•对角线互相平分•对角线长度相等•相邻两边对顶角互补（和为180度）3. 平行四边形各点坐标的特点在直角坐标系中，我们可以通过给出平行四边形任意一顶点的坐标以及其他相关信息来确定整个平行四边形。
3.1 平行四边形顶点坐标之间关系设平行四边形的一个顶点为A(x1, y1)，则可以通过以下公式计算其他三个顶点的坐标：•第二个顶点B：B(x2, y2) = A(x1 + a, y1)•第三个顶点C：C(x3, y3) = A(x1 + a, y1 + b)•第四个顶点D：D(x4, y4) = A(x1, y1 + b)其中，a和b分别表示平行四边形的两条平行边的长度。
3.2 平行四边形对角线坐标之间关系设平行四边形的两条对角线交点为O，对角线AC的中点为M，对角线BD的中点为N，则可以通过以下公式计算这些点的坐标：•对角线交点O：O(xo, yo) = M((x2+x3)/2, (y2+y3)/2)•对角线中点M：M(xm, ym) = ((x1+x4)/2, (y1+y4)/2)•对角线中点N：N(xn, yn) = ((x2+x3)/2, (y2+y3)/2)3.3 平行四边形特殊情况下的坐标关系当平行四边形是矩形或正方形时，其特殊性质使得坐标关系更加简化。
3.3.1 矩形的坐标关系矩形是一种特殊的平行四边形，它的两对边都是平行且长度相等。
设矩形的一个顶点为A(x1, y1)，则可以通过以下公式计算其他三个顶点的坐标：•第二个顶点B：B(x2, y2) = A(x1 + a, y1)•第三个顶点C：C(x3, y3) = A(x1 + a, y1 + b)•第四个顶点D：D(x4, y4) = A(x1, y1 + b)其中，a和b分别表示矩形的两条边的长度。
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探究二:
对角线两个顶点的横坐标之和相等;
对角线两个顶点的纵坐标之和相等.
y
(c,d)B
(Aa,b)
o 图4
C’ (e-a+c,d+m) mC (e-a+c,d)
D’ (e,b+m)
m
D (e,b)
x
归纳与发现
（3）通过对图1，2，3，4的观察，你会发现： 无论 平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其 顶点坐标为A（xA，yA），B（ xB ，yB），
探究—— 坐标系中平行四边形顶点的问题
1.（1）在图1中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D 的坐标， 写出图1中的顶点C的坐标是__（_5_,_2_）__
y
y
y
B(1,2) C（5,2） B(c,d) C（c+e,d）
B(c,d) C（e-a+c,d
o(A) D(4,0) x 图1
o(A) D(e,0)x 图2
A(a,b) D(e,b)
o
x
图3
（2）观在察图图2中1,2，,3给,你出能平发行现四平边行形四A边BC形D的的四顶个点顶A点，的B，D 的坐标， 横写坐出标图,2纵中坐的标顶之点间C的关坐系标吗是（？__c+_e_,_d）___
（3）的在坐图标对对3，中角角写，线线出给两两图出个个3平顶顶中行点点的四的的顶边横纵点形坐坐CA的标标B坐之之C标和和D的是相相顶（_等等_e点;_.-a_A+_c，_,d_B）_，D
y x2 2x 3 与x轴交A、
B两点（A点在B点左侧），直线与抛物
线交于A、C两点 ，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、C两点的坐标；
（2）若点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F， 使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平 行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标； 如果不存在， 请说明理由．
设P(x,0),F(0,y) ①当P→A x+2=1+0
0+0=y- 3
∴ x=-1
x=1
∴ y=- 3 ∴p2(1,0)
③当P→F： x+0=2+1
y+0=0- 3
∴
x=3 y=-
3
∴p3(3,0)
y= 3
∴p1(-1,0)
∴存在点p1(-1,0), p2(1,0), p3(3,0)满足条件.
(07义乌）如图，抛物线
变式二：如图：将△ABC绕AC的中点P旋转 180°，点B落到点 B’的位置，求点B’的坐标；
(8,9)
y
A(C’)
(B’)
(3,7）● ● P
● C (A’)
●
（6,4）
B (1,2)
o
x
（07中考绍兴24题）如图，在平面直角坐标系中，O为原
点，点A、C的坐标分别为（2，0）、（1，3 3）．将
C（ xC ，yC），D（ xD，yD）时，
则:四个顶点的 横坐标之间的等量关系为 XA+XC=XB+XD ；
纵坐标之间的等量关系为 yA+yC=yB+yD .
yD,yD）
o
x
1、如图,在平行四边形ABB1A1中A、B的坐标分别 （2,0）,（0,1），则a+b的值为（ A ） A、2 B、3 C、4 D、5
△OAC绕AC的中点旋转180°，点O落到点B的位置．抛物
线 y ax2 2 3x 经过点A，点D是该抛物线的顶点．
(1) 求a的值，点B的坐标及顶点D的坐标； (2) 若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形， 该平行四边形的另一顶点F在y轴上．写出点P的坐标(直接 写出答案即可)．
y
B1(a,2) B(0,1)
a+2=0+3 ∴a=1 1+b=2+0 ∴b=1
A1(3,b)
0
A(2,0)
x
变式一：如图：求点D的坐标,使以A、B、C、 D为顶点的四边形为平行四边形。
(-2,5) D2
y
(3,7）
A
●
D1 (8,9)
● C（6,4）
●
B(1,2)
o
x
D3 (4,-1)
当图形的顶点位置不确定时， 要进行分类讨论。
F1(1,0) F2(-3,0)
(-1,0)
F3(4+ 7,0) F4(4- 7 ,0)
(2,-3)
小结：
一个规律: 坐标系中平行四边形
对角线两个顶点的横坐标之和相等;
对角线两个顶点的纵坐标之和相等.
两种思想：
1.分类讨论思想 2.方程思想
(1, 3 3 )
(2,0)
解:⑴把A(2,0)代入 y ax2 2 3x ,
得:a= 3
由题意:OA∥BC,而
OA=2,C(1, 3 3 )
∴B(3, 3 3)
∵ y 3x2 2 3x
x+1=2+0
∴顶点D(1, 3)
②当P→D： 0- 3 =0+y
(2) ∵A(2,0),D(1, 3)