如何进行多项式除以多项式的运算上课讲义
初中数学初一数学上册《多项式除以多项式长除法》教案、教学设计
二Байду номын сангаас学情分析
初一年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了基本的算术运算和简单的代数知识。在此基础上，他们对多项式的概念和运算已有初步的了解。然而，长除法作为一项新的运算技能，对学生而言具有一定的挑战性。他们对长除法的运算步骤和规则可能还不够熟悉，需要通过本章节的学习来逐步掌握。
4.通过课堂小结和课后作业，巩固学生对长除法的掌握，提高他们的运算技巧和自主学习能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣和积极性，使他们认识到数学在日常生活和未来发展中的重要性。
2.培养学生面对数学问题时的耐心和细心，使他们养成良好的学习习惯和克服困难的勇气。
3.引导学生在合作学习中尊重他人，善于倾听和表达，培养他们的人际交往能力和团队精神。
6.教学反思：
a.在教学过程中，教师要关注学生的反馈，及时调整教学策略，以提高教学效果。
b.教师应注重自身教育教学水平的提升，不断学习新的教育教学理念和方法，为学生的成长和发展提供更好的指导。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：以一个生动的实际情境作为导入，如“小明的妈妈在超市购物，使用多项式表示购物金额，并运用长除法计算找零”。通过这个情境，引导学生思考如何运用已学的数学知识解决实际问题，为新课的学习做好铺垫。
3.小组代表分享：各小组选派代表分享讨论成果，其他小组成员补充，共同探讨长除法的运算技巧。
4.教师点评：针对学生的讨论，给予积极的评价和指导，纠正他们的错误观念，强化正确的方法。
（四）课堂练习
1.设计练习题：针对本节课所学内容，设计难易程度不同的练习题，让学生独立完成。
数学人教版八年级上册多项式除以多项式
数学人教版八年级上册多项式除以多项式
2014年东莞市初中数学“微课”教学设计
小马虎在做完一道题后，
m( )=ma+mb+mc
=(ma+mb+mc)
通过一个有趣的话题，引出多项式除以单项式问题。
设计意图]通过例题的讲解，使学生对法则有更深的理解，培养学生运用理论知识解决具体问题的能力。
五、课堂小结
设计意图]通过对习题的巩固，锻炼学生的计算能力，更好地检测这节课的成效。
设计理念与特色：
、导入方式新颖，重点难点突出
内容和素材紧扣教学大纲，目的明确，具有较强的针对性。
课件设计根据教学大纲，按循序渐进、因材施教的原则进行，做到重点突出、难点突破、深度适宜。
如何进行多项式除以多项式的运算
如何进行多项式除以多项式的运算多项式除法是数学中的一种计算方法，用于将一个多项式除以另一个多项式，并得到商式和余式。
本文将介绍多项式除法的基本概念、步骤和示例，并探讨在实际问题中如何应用多项式除法。
1.多项式的基本概念：多项式是由数与变量的乘积相加而成的表达式。
它通常写成形如f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0的形式。
其中，a_n到a_0是多项式的系数，x是多项式的未知数，而n是多项式的次数。
多项式可以表示为单项式的和，而单项式是只有一个项的多项式。
2.多项式除法的步骤：多项式除法的基本步骤可以归纳为以下四个部分。
（1）确定除式和被除式：首先，要确定需要进行除法运算的多项式中的除式和被除式。
被除式是需要被除以的多项式，而除式是用来除以被除式的多项式。
（2）确定商的项数：接下来，需要确定商式的项数。
商式的项数应该比被除式的项数少一个，因为除法运算的结果通常包含一个余式。
（3）进行除法运算：按照一般的除法步骤，从左到右依次进行多项式的除法运算。
首先，将被除式的第一项除以除式的第一项，得到商式的第一项。
然后，将商式的第一项乘以除式，并将结果减去被除式的第一项。
这个结果成为一个新的被除式，然后继续用这个新的被除式进行下一步的除法运算。
重复这个过程，直到无法再进行除法运算为止。
（4）确定余式：当无法再进行除法运算时，最后得到的结果即为余式。
余式是多项式除法的结果，它是除不尽的部分。
3.多项式除法的示例：为了更好地理解多项式除法，我们来看一个具体的例子。
假设有以下的多项式需要进行除法运算：被除式：f(x)=2x^3-4x^2+3x+9除式：g(x)=x-1我们按照多项式除法的步骤，进行以下计算。
（1）确定除式和被除式：被除式：f(x)=2x^3-4x^2+3x+9除式：g(x)=x-1（2）确定商的项数：被除式有三项，所以商式应有两项。
（3）进行除法运算：a)将被除式的第一项除以除式的第一项：(2x^3)/(x)=2x^2b)将商式的第一项乘以除式，并减去被除式的第一项：(2x^2)(x-1)=2x^3-2x^22x^3-2x^2-(2x^3-4x^2)=2x^3-2x^2-2x^3+4x^2=2x^2+4x^2=6x^2c)得到新的被除式：6x^2+3x+9d)重复上述步骤，直到无法再进行除法运算：(6x^2)/(x)=6x(6x)(x-1)=6x^2-6x6x^2-6x-(6x^2+3x)=6x^2-6x-6x^2-3x=-9x最后得到的余式为-9x。
多项式除以多项式公式
多项式除以多项式公式摘要：一、多项式除以多项式的基本概念二、多项式除以多项式的步骤和方法1.准备式2.长除法步骤3.化简结果三、实例演示四、注意事项五、总结与拓展正文：多项式除以多项式是代数学中的一个重要内容，它在数学、物理、化学等科学领域具有广泛的应用。
本文将介绍多项式除以多项式的基本概念、步骤和方法，并通过实例进行演示。
最后，我们将总结注意事项，并探讨如何进一步拓展这一领域。
一、多项式除以多项式的基本概念多项式除以多项式，指的是将一个多项式（称为被除式）分解为两个或多个多项式（称为除式）的乘积。
这一过程可以用来求解方程、简化表达式或分析函数性质等。
二、多项式除以多项式的步骤和方法1.准备式在进行多项式除以多项式之前，首先要确定除式。
通常情况下，除式为一个一次或多次多项式。
接下来，将被除式和除式写成标准形式，即按照降幂排列，并去掉两边的同类项。
2.长除法步骤利用长除法，将除式逐步除入被除式。
具体步骤如下：（1）用除式去除被除式的第一项，得到商的第一项；（2）将商的第一项乘以除式，得到一个新的多项式；（3）用新的多项式减去被除式，得到余数；（4）将余数替换被除式，重复步骤（1）至（3），直到余数为零或达到预设精度。
3.化简结果当余数为零时，多项式除法过程结束。
此时，商的多项式即为所求结果。
需要注意的是，商的多项式可能含有分式和有理式，需要进一步化简。
三、实例演示以二次多项式除以一次多项式为例：被除式：f(x) = 3x^2 + 2x - 1除式：g(x) = x + 1（1）写出准备式：f(x) = 3x^2 + 2x - 1g(x) = x + 1（2）长除法步骤：第一次除法：3x^2 ÷ x = 3x余数：2x - 1第二次除法：2x ÷ 1 = 2x余数：-1第三次除法：-1 ÷ 1 = -1余数：0（3）化简结果：商的多项式为3x - 2，即为所求结果。
四、注意事项1.确定除式：在进行多项式除法时，首先要正确选择除式。
多项式除以多项式课件
强调了多项式除以多 项式在实际应用中的 重要性和应用场景。
通过实例演示了多项 式除以多项式的计算 方法和步骤。
下章预告
将介绍分式的概念和性质，包括分式的约分、通分、加减运算等。
通过实例演示分式的计算方法和技巧，帮助读者更好地理解和掌握分式的运算。
强调分式在实际应用中的重要性和应用场景，进一步拓展读者的数学思维和计算能 力。
让学生理解在多项式除法中，系数和变量 如何变化，以及如何处理复杂的情况。
综合练习
多项式除法的实际应用
通过一些实际问题，让学生理解多项 式除法的实际应用，并能够解决一些 实际问题。
多项式除法的变种
让学生了解并掌握一些多项式除法的 变种，如带余除法等。
06
总结与展望
本章总结
介绍了多项式除以多 项式的概念和基本原 理。
多项式除以多项式课件
目录
• 引言 • 多项式除法的基本概念 • 多项式除法的基本步骤 • 多项式除法的应用 • 练习与巩固 • 总结与展望
01
引言
课程背景
数学是研究数量、结构、变化以及空间等概念的学科，具有 基础性和通用性。多项式是数学中的基本概念，多项式除以 多项式是数学中重要的运算技能之一。
培养学生的数学思维和解决问 题的能力。
02
多项式除法的基本概念
多项式的定义
总结词
多项式是由变量、数字和加、减、乘、除等基本运算组成的数学表达式。
详细描述
多项式是数学中一个基本的概念，它是由一个或多个单项式通过加法或减法连接而成的数学表达式。每个单项式 由一个或多个变量、数字和运算符组成。例如，$x^2 + 3x - 4$ 是一个多项式，因为它由三个单项式 $x^2$、 $3x$ 和 $-4$ 通过加法和减法连接而成。
14.1.4.6多项式除以多项式讲解
(15 x 2 y 10 x y 2 ) 5 x y;
(8a b 4ab ) 4ab;
2 3 3
( 4 c d c d ) ( 2 c d ).
1 2 -2- cd 2
解：
单项式相除
小结
1.系数相除； 2.同底数幂相除； 3.只在被除式里的幂不变.
多项式除以单项式
11
3 8 12 9 3 =- a b c ¸ (-8a 4 b5c) 27 1 12-4 9-5 3-1 = a b c 27 1 8 4 2 = abc. 27
(3)(5ab2c)4÷(-5ab2c2)2. (4)36x4y3z÷(5x2y)2.
(5ab2c)4÷(-5ab2c2)2 【解析】 =(54a4b8c4)÷(52a2b4c4)
3 2
4a 2a 1.
2
（2） (36x
4 3
y 24x y 3x y ) (6x y).
3 2
2
2 2
2
【解析】原式
1 6x y 4xy y. 2
2
【跟踪训练】
1.计算
(1)(2.2×1011)÷(4.4×109).
(3)(5ab2c)4÷(-5a-b 的值。 a b 2a-b 2.已知x =2，x =3，求x 的值。
同底数幂的除法可以逆用：
m-n m n a =a ÷a
多项式除以单项式，先把这个多项式的每 一项除以这个单项式，再把所得的商相加
表达式（a+b+c）÷m=a ÷ m +b ÷ m+c ÷ m。
先把这个多项式的每一项分别除以单项式， 再把所得的商相加.
类比的数学思想
【解析】 36x 4 y3z (5x 2 y) 2 =36x 4 y3z 25x 4 y 2 36 = yz. 25
多项式除以多项式精品课教学设计完美版
多项式除以多项式精品课教学设计完美版1. 引言本教学设计旨在帮助学生掌握多项式除以多项式的基本操作和概念。
通过精心设计的课堂活动和练题，学生将能够在实际运用中解决相关问题。
本课程设计适用于高中数学课程，建议在已经掌握多项式的加减乘法运算后进行教学。
2. 教学目标本课程的主要教学目标包括：- 理解多项式除以多项式的概念和操作；- 掌握多项式除法的基本步骤和算法；- 能够解决实际问题中涉及多项式除法的应用题。
3. 教学内容本课程的教学内容包括以下几个方面：3.1 多项式除法的概念- 讲解多项式的概念和表示方法；- 引入多项式除法的概念，与多项式的加减乘法进行比较。
3.2 多项式除法的基本步骤- 详细讲解多项式除法的基本步骤：先找出除式的最高次项与被除式的最高次项相同的项，进行除法运算，然后将结果与被除式相减得到新的被除式，重复以上步骤直到被除式的次数小于除式的次数。
3.3 多项式除法的算法- 基于上述基本步骤，介绍多项式除法的算法；- 演示多项式除法的过程，并与学生一起完成几个例题。
3.4 多项式除法的应用题- 提供多个实际问题的应用题，要求学生运用多项式除法解决问题；- 引导学生理解多项式除法在实际问题中的应用意义。
4. 教学活动本课程设计将采用多种教学活动形式，包括：- 探究式研究：通过让学生自己尝试多项式除法，发现其中的规律和方法；- 教师讲解：通过示范、解释和演示，让学生理解多项式除法的基本步骤和算法；- 小组讨论：学生分组进行练和讨论，互相解答疑惑和分享经验；- 练题实践：提供一系列练题供学生巩固和应用所学的多项式除法知识。
5. 评估方法为了评估学生对多项式除法的掌握情况，可以采用以下几种评估方法：- 课堂练：在课堂上进行练题的解答和批改；- 作业评估：布置相关作业，课后进行批改和评估学生的掌握情况。
6. 教学资源为了支持本课程的教学，可以准备以下资源：- 课本资料：准备与多项式除法相关的课本资料，作为教学参考；- 演示工具：准备投影仪或电子白板等演示工具，用于课堂演示；- 练题：准备多项式除法的练题，用于学生练和应用。
七年级数学下册《多项式除以多项式长除法》教案、教学设计
在教学结束后，设计一些拓展延伸题，让学生在课后进行思考。这些题目可以涉及长除法在实际问题中的应用，也可以是长除法运算规律的总结。旨在提高学生的数学素养，培养学生的创新意识。
6.设想六：课后反思，不断提高
鼓励学生在课后进行反思，总结自己在长除法学习中的优点和不足。同时，教师也要对自己的教学进行反思，不断调整教学方法，提高教学质量。
3.设想三：合作交流，共同进步
将学生分成小组，进行合作学习。在小组内，学生相互讨论、交流，共同解决问题。教师巡回指导，及时解答学生的疑问，促进学生之间的优势互补，提高学习效率。
4.设想四：注重过程，关注评价
在教学过程中，关注学生的参与程度、合作交流能力和解决问题的能力。通过课堂提问、课后作业、小组讨论等多种形式，全面评价学生的学习效果。
4.练习结束后，教师挑选部分学生的作业进行展示和讲评，分析解题过程中的优点和不足。
（五）总结归纳，500字
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，总结长除法的运算步骤和关键技巧。
2.学生分享学习心得，交流在解题过程中遇到的困难和解决方法。
3.教师对本节课的教学进行总结，强调长除法在实际问题中的应用，以及与其他数学知识的联系。
七年级数学下册《多项式除以多项式长除法》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.了解多项式除以多项式的定义，理解其与整数的除法之间的联系与区别。
2.学会使用长除法进行多项式除以多项式的计算，掌握商的确定、余数的求解等关键步骤。
能够运用长除法解决实际问题，提高数学运算能力。
4.掌握在多项式除以多项式过程中，如何进行因式分解、合并同类项等基本操作。
2.作业完成后，认真检查，确保无误。
多项式除以多项式课件
多项式的加法和减法
1
减法
2
将减数的各项取反，然后进行加法运Βιβλιοθήκη 算。3加法
将同类项相加，即将相同次数的单项 式的系数相加。
例子
例如，(3x^2 - 2xy + 5) + (2xy - 4) = 3x^2 + 5 - 4。
多项式的乘法
将每个单项式的各项相乘，然后进行加法运算。
步骤
每个单项式的各项相乘，然后 将结果相加。
展开
将乘法进行展开，保证将每个 单项式和其他单项式相乘。
例子
例如，(x + y)(x - y) = x^2 - xy + xy - y^2 = x^2 - y^2。
一元多项式的除法
定义
一元多项式除法是将一个多 项式除以另一个多项式得到 商和余数。
长除法
使用长除法的步骤来进行一 元多项式的除法运算。
用长除法解决多项式除法
使用长除法来解决一元多项式的除法运算，将被除式逐步除以除式并求商和 余数。
多项式除法的基本性质
1
唯一性
同一个被除式和除式，得到的商和余数是唯一的。
2
次数
余数的次数比除式的次数低。
3
例子
例如，(3x^2 - 2x + 5) ÷ (x - 1) = 3x + 1 + 6/(x - 1)。
例子
例如，(2x^2 + 3x - 5) ÷ (x + 2) = 2x - 1 + (-7)/(x + 2)。
什么是多项式除法？
1 含义
多项式除法是一种将一个多项式整除另一个多项式并求商和余数的运算。
2 应用
多项式除法在数学中广泛应用，例如解方程和化简表达式等。
多项式除以多项式ppt课件
课后练习: 利用竖式除法进行多项式求值
(1).已知x3 x2 x 1,求x4 1的值
(2).已知x2 x 1 0,求2009 x3 2008 x2 2010 x 2011
17
当余式的次数小于除式的 次数时，我們应该停止运 算。
商式为 3x + 2
余式为 1
7
练一练:
例写1出.求被除(3x式2、+ 除4x式– 9、+商2式x3、) 余(–式1之+ 间2x的) 的关商系式式和。余
式。被除式=除式 商式+余式
x2 + 2x + 3
2x 1 2x3 3x2 4x 9
(3x2 15x) 3x 商式 = x + 5
3x2 3x
x +5
15x 3x
3x 3x2 15x
3x2
除式 = 3x
15x
15x
被除式 = 3x2 + 15x
余式 = 0
0
3
探究新知:两个多项式相除
如果用多项式除以多项式，我们 使用逐项相除的方法,容易实现 计算吗?
不容易，可以试试竖式除法。 我们以 (6x2 + 7x + 3) (2x + 1) 作为例子。
2x3 – x2
4x2 + 4x 4x2 – 2x
6x – 9 6x – 3
–6
商式为 x2 + 2x + 3 余式为–6
还可以写作 : 3x 2 4x 9 2x3 (2x 1)( x2 2x 3) 6
8
变式探究
().( x3 1) (x2 x 1)
(B).( x4 x3 x2 2x 6) (x2 2)
多项式除以多项式
多项式除以多项式教学目标：1．会用竖式（长除法）计算多项式除以多项式；2．对于余式为零的多项式的除法，会根据：被除式=除式商式，进行验算。
3．能根据被除式与除式的次数确定商的次数。
4．对于余式不为零的多项式的除法，会根据被除式=除式商式+余式，已知其中三个，求另一个。
教学重点：用竖式（长除法）计算多项式除以多项式。
教学难点：对于余式为零的多项式的除法，确定被除式中的字母。
教学过程：一、引入计算：多位数除以多位数我们可以用竖式进行计算，同样我们也可以用竖式进行多项式除以多项式的计算。
二、新课（一）教师通过举例介绍多项式除以多项式竖式计算的步骤及验算的方法。
例1 计算我们在进行多项式的加减法、乘法时首先要做什么工作？将多项式按某个字母进行降幂排列。
解：学生阅读书本p186多项式除以多项式竖式计算的步骤。
提问：我们可以通过什么办法验算刚才计算的正确性呢？根据被除式=除式商式，我们可以验算上面的例子。
所得的积与原被除式相同，所以上面的除法计算是正确的。
（二）例题巩固，运用新知例２用竖式计算并进行验算：（１）（２）说明：把被除式、除式都按某一字母降幂排列，当被除式有缺项时要留出空位。
解：（１）∴（２）验算略∴提问：上面的例子中，被除式是几次多项式，除式是几次多项式，商是几次多项式？商的次数与被除式、除式的次数有何关系？例３计算（１）（２）说明：在某些多项式的除法里，有时可以利用乘法公式，直接写出除法运算的结果。
在多位数除以多位数中会出现有余数的情况，同样在多项式除以多项式中也会出现这种情况。
多位数除法中余数小于除数，那么在多项式除法中，余数有什么要求呢？例４计算∴得商式，余式。
余式的次数小于除式的次数。
写出被除式、除式、商式、余数之间的关系式。
被除式=除式商式+余式如果用表示被除式，表示除式，表示商式，表示余式，则提问：当除式是一次式时，余式是几次式？余式是一个常数，可简记为。
例５已知除式，商式，余式，求被除式。
多项式除以多项式 简单几何证明⑷
代数：§补充内容：多项式除以多项式几何：§2.3简单几何证明⑷重点、难点：代数：重点：1．学习多项式除以多项式的方法：⑴公式法：记住以下常用公式：①平方差公式：()()=-+b a b a 。
②完全平方公式：()=±2b a 。
()=++2c b a 。
③立方和公式：()()=+-+22b ab a b a 。
④立方和公式：()()=++-22b ab a b a 。
⑤完全立方公式：()=+3b a 。
⑥公式：()()() 2++=++x x b x a x 。
⑵竖式除法：⑶分离系数法：2．会用多项式除以多项式的方法进行计算。
难点：利用多项式除以多项式的方法解决整式运算的复杂题目。
几何：重点：正确的证明格式和步骤。
难点：逻辑思维能力的培养。
［讲一讲］代数： 例1．计算：⑴()()b a b a +÷-22 ⑵()()b a b a +÷+33分析：利用乘法公式，可以将一些特殊的多项式写成多项式乘积的形式，再将除号写成分数线，分子与分母约去相同的因式，便得到答案。
这就是公式法。
解：⑴原式=()()b a ba b a b a b a b a -=+-+=+-22 ⑵原式=()()222233b ab a b a b ab a b a b a b a +-=++-+=++例2．计算：()()4202-÷-+x x x 分析：观察被除式中，一次项的系数为1，常数项为20-，()4520-⨯=-，()145=-+，发现202-+x x 可以写成()()45-+x x ，便可以运算了。
解：原式=()()()()54454454542022+=--+=--⋅+-+=--+x x x x x x x x x x 注：不是所有多项式除以多项式的运算都能用公式法求解。
例3．计算：()()122522+÷++x x x分析： 先回忆一下小学学习的多位数除法：如：21252÷424221 1225221 1221252=÷∴多位数除法是在比较“首位”的基础上找到商的，在此基础上，仿照数字除法，利用比较“首项”的方法，用竖式解决此题。
多项式除以多项式——长除法
多项式除以多项式——长除法
多项式除以多项式的方法有两种，分别是除法快速求解法、长除法。
这里介绍的是长
除法，也叫“多项式除法”，它是一种应用数位计算机和有规格式控制排序手段模拟人以
及有智能打字机精度执行多项式计算的计算机内算法。
首先，介绍多项式如何表示，它由一系列幂次和系数组成，幂次从高到低排列，用
[括号]符号将幂次和系数分开，用“加法法则”连接各项，如y=2x^{3}+5x+30即表示：y
＝[3,2] + [1,5] + [0,30]。
接着就是多项式除法的步骤：
1.确定被除数和除数，将被除数和除数系数化简，取幂次最高的几项，即
[n,a_{n}]/[m,b_{m}]，其中a_{n},b_{m}均不为零。
2.初等变换，将除数依次转成[m,1]系数的多项式，即b_{m}x^{m}/b_{m}=x^{m},此时的商系数系数[n-m,a_{n}/b_{m}]。
3.将上一步的最高一项作为除数，除去被除数的相应项，此时被除数的最高一项有变化，变为[n-m-1,k]。
4.继续上一步的过程，用被除数分解，有可能某次被除数为零，此时商变为[n-
m,a_{n}/b_{m}] + [n-m-1,k] + ... + 0，循环结束。
最后给出一个例子：y=2x^{3}+5x+30,用[2,1]除，结果是y=[1,1] + [-1,3] + [0,0]，即y=x+3x^{-1}。
多项式除法可以用来解决复杂的多项式计算问题，但它的缺点也不容忽视，例如使用
长除法计算复杂的多项式时，可能会非常耗时，并且容易出错，所以要慎重使用。
多项式除以多项式公式
多项式除以多项式公式摘要：一、多项式除以多项式的基本原理二、多项式除以多项式的具体步骤1.提取公因式2.利用长除法进行除法运算3.整理结果三、实例演示四、注意事项五、总结正文：多项式除以多项式是数学中常见的运算，它在代数、几何等领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍多项式除以多项式的基本原理、具体步骤以及注意事项，帮助读者更好地理解和掌握这一运算方法。
一、多项式除以多项式的基本原理多项式除以多项式，实际上就是将一个多项式分解为另一个多项式与一个常数的乘积。
在这个过程中，我们需要找到一个合适的方法，将一个多项式的每一项都与另一个多项式的对应项相除，从而得到商和余数。
二、多项式除以多项式的具体步骤1.提取公因式：首先，我们需要找到两个多项式中的公因式，将其提取出来。
这有助于简化后续的计算过程。
2.利用长除法进行除法运算：将第一个多项式的每一项除以第二个多项式的每一项，得到商和余数。
将商再作为新的多项式，与第二个多项式进行除法运算，直到无法继续除为止。
3.整理结果：将得到的商多项式中的各项按照次数从高到低排列，并将余数加到最低次数的项上，得到最终的结果。
三、实例演示为了更好地理解多项式除以多项式的过程，我们以一个简单的实例进行演示：假设我们有一个多项式：f(x) = 2x^3 + 4x^2 - 3x + 1，另一个多项式为：g(x) = x^2 - 2x + 1。
首先，提取公因式：我们可以发现，f(x)中的各项都可以被x^2 - 2x + 1整除。
然后，进行长除法运算：f(x) = (x^2 - 2x + 1)(2x^2 + 2x - 1)我们可以得到：2x^3 + 4x^2 - 3x + 1 = (x^2 - 2x + 1) * 2x + 3x - 12x^3 + 4x^2 - 3x + 1 = 2x^3 - 4x^2 + 2x + 3x - 12x^3 - 4x^2 + 5x - 1 = 0接下来，我们继续进行除法运算，直到无法继续除为止。
多项式除以多项式课件
如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说 这个多项式能被另一个多项式整除
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应用:利用竖式除法进行多项式求值
例 2 已 .x 2 5 知 x 9 9 0 ,求 0 x 3 6 x 2 9x 8 15 的 01
x +1
x2 5x 990 x3 6x2 985x 1019
6x2 2x
步骤 1 : 3x
2x 1 6x2 7 x 3 6x2
步骤 3 : 3x
2x 1 6x2 7x 3 6x2 3x 4x + 3
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步骤2: 3x
2x + 16x2 7x 3 6x 2 + 3x
(+1)(+3x)
步骤 4 :
4x
3x +2 2x
2x 1 6 x 2 7 x 3
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例２ 用竖式计算：
（１）
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（２）
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例3,已知，求ຫໍສະໝຸດ 整除的值。∵
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能被
整除
例3,已知
整除
，求
的值。
解２ 因为被除式是三次式 ，除式是二次式，所以商式 是一次式，首项系数为４， 设商式为
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2x3 – x2
4x2 + 4x 4x2 – 2x
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6x – 9 6x – 3
–6
商式为 x2 + 2x + 3
余式为–6
还可以写作: 3x2 4x 9 2x3 (2x 1)(x2 2x 3) 6
多项式除以多项式教案
多项式除以多项式教案(总3页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除多项式除以单项式教学目标1.使学生掌握多项式除以单项式的法则，并能熟练的进行多项式除以单项式的计算。
2.渗透转化思想。
3.培养学生的抽象，概括能力以及运算能力。
教学重点与难点1.重点：多项式除以单项式的运算法则2.难点：正确熟练的运用法则进行运算。
教学过程设计一，从学生原有的认知结构中提出问题1.计算并回答问题（1）4 (2) (-（3）以上计算式省么运算？能否叙述这种运算的法则.2.计算并回答问题（1）3x(-x+1) （2） -24a(-a+2)（3）以上计算式省么运算？能否叙述这种运算的法则.二，讲授新课1.引导学生提出问题对照整式乘法的学习的顺序，下面我们应该研究整式除法的什么内容（多项式除以单项式）2. 引导学生得出多项式除以单项式的法则引例：（am + bm + cm ）我们曾经把多项式乘以单项式的运算转化为单项式乘以单项式的运算来进行，那么多项式除以单项式是否也能进行类似的转化呢根据“除以一个数等于乘以这个数的倒数”得(a + b + c)=(a +b + c)=a +b +=（a这就是多项式除以单项式的运算法则，你能用文字语言叙述吗？多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。
三，应用举例：变式练习例1.计算（1）解2==4 1(2).解 .=36=-6y第（1）题有师生共同回答，共同板演，并提醒学生注意商式中1不可漏掉，第（2）小题由学生板演，教师强调指出：当除式的系数为负数时，商式的各项符号与被除式各项的系数相反。
课堂练习1.计算（1）（4 (2) （28)例（2）化简÷2x解÷2x=（4=（4÷2x= 2x - 4先有学生讨论解题方法，然后指定一名学生板演，根据学生的板演教师提醒学生注意：（1）例（2）为一道综合题，运算要按照顺序进行。
多项式除以多项式教案大学
课程名称：高等代数授课对象：大学本科生授课学时：2学时教学目标：1. 理解多项式除以多项式的基本概念和运算规则。
2. 掌握多项式除以多项式的长除法步骤。
3. 能够熟练运用多项式除法解决实际问题。
4. 培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
教学内容：1. 多项式除以多项式的基本概念2. 多项式除法的长除法步骤3. 多项式除法的应用教学过程：一、导入新课1. 复习上节课的内容，引导学生回顾多项式的概念和运算。
2. 提出问题：如何将一个多项式除以另一个多项式？二、讲解新课1. 多项式除以多项式的基本概念- 解释多项式除法的定义，即找出一个多项式Q和余数R，使得被除式A可以表示为A = B Q + R，其中B为除式，Q为商，R为余数。
- 强调商和余数的次数分别不超过除式的次数。
2. 多项式除法的长除法步骤- 引导学生观察两个多项式，找出除式中最高次项的系数。
- 将被除式中最高次项的系数乘以除式的最高次项，得到乘积。
- 将乘积与除式相除，得到商的最高次项。
- 将商的最高次项乘以除式，得到乘积。
- 将乘积从被除式中减去，得到新的被除式。
- 重复以上步骤，直到被除式的次数小于除式的次数。
3. 多项式除法的应用- 举例说明多项式除法在实际问题中的应用，如求解多项式的根、化简多项式等。
- 引导学生思考如何运用多项式除法解决实际问题。
三、课堂练习1. 给出几个多项式除以多项式的实例，让学生进行计算，巩固所学知识。
2. 引导学生思考如何运用多项式除法解决实际问题。
四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调多项式除法的基本概念、长除法步骤和应用。
2. 布置课后作业，要求学生完成多项式除法的练习题。
教学评价：1. 课堂练习的完成情况，考察学生对多项式除法知识的掌握程度。
2. 课后作业的完成情况，考察学生对多项式除法的实际应用能力。
3. 学生在课堂上的表现，如提问、回答问题等，考察学生的参与度和学习积极性。
关于多项式除以多项式
关于多项式除以多项式两个多项式相除,可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列,然后再仿照两个多位数相除得计算方法,用竖式进行计算.例如,我们来计算(7x＋2＋6x2)÷(2x＋1),仿照672÷21,计算如下:∴(7x＋2＋6x2)÷(2x＋1)=3x＋2.由上面得计算可知计算步骤大体就是,先用除式得第一项2x去除被除式得第一项6x2,得商式得第一项3x,然后用3x去乘除式,把积6x2＋3x写在被除式下面(同类项对齐),从被除式中减去这个积,得4x＋2,再把4x＋2当作新得被除式,按照上面得方法继续计算,直到得出余式为止.上式得计算结果,余式等于0.如果一个多项式除以另一个多项式得余式为0,我们就说这个多项式能被另一个多项式整除,这时也可说除式能整除被除式.整式除法也有不能整除得情况.按照某个字母降幂排列得整式除法,当余式不就是0而次数低于除式得次数时,除法计算就不能继续进行了,这说明除式不能整除被除式.例如,计算(9x2＋2x3＋5)÷(4x－3＋x2).解:所以商式为2x＋1,余式为2x＋8.与数得带余除法类似,上面得计算结果有下面得关系:9x2＋2x3＋5＝(4x－3＋x2)(2x＋l)＋(2x＋8).这里应当注意,按照x得降幂排列,如果被除式有缺项,一定要留出空位.当然,也可用补0得办法补足缺项.当除式、被除式都按降幂排列时,各项得位置就可以表示所含字母得次数.因此,计算时,只须写出系数,算出结果后,再把字母与相应得指数补上去.这种方法叫做分离系数法.按照分离系数法,上面例题得计算过程如下:于就是得到商式=2x＋1,余式=2x＋8.对于多项式得乘法也可用分离系数法进行计算,例如,(2x3－5x－4)(3x2－7x＋8)按分离系数法计算如下:所以,(2x3－5x－4)(3x2－7x＋8)=6x5－14x4＋x3＋23x2－12x－32.如果您有兴趣,作为练习,可用上面得方法计算下面各题.1.(6x3＋x2－1)÷(2x－1).2.(2x3＋3x－4)÷(x－3).3.(x3－2x2－5)(x－2x2－1).4.(x＋y)(x2－xy＋y2).【本讲教育信息】一、教学内容:单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式二、重点、难点整式得除法与我们以前所学得整式得加法、减法、乘法有很多不同,特别就是多项式除以多项式,虽然就是选学内容,但多项式除以多项式在解决代数式求值,及复杂得因式分解都有很大得用处。
《多项式与多项式相除》教案
《多项式与多项式相除》教案多项式与多项式相除教案1. 引言本教案介绍了多项式与多项式相除的概念和方法。
多项式相除是代数学中重要的概念之一，它涉及到多项式的除法运算，可以帮助我们解决如分式化简、多项式因式分解等问题。
本教案旨在帮助学生理解多项式与多项式相除的原理和步骤，并能够运用此知识解决相关的数学问题。
2. 多项式相除的定义多项式相除是指将一个多项式被另一个多项式除，得到商多项式和余式的过程。
设被除式为f(x)，除式为g(x)，商多项式为q(x)，余式为r(x)，则多项式相除的定义为：f(x) = g(x) * q(x) + r(x)，其中r(x)为零次或次数小于g(x)的多项式。
3. 多项式相除的步骤多项式相除的步骤如下：1. 将被除式和除式按照降幂排列，确保最高次项对齐。
2. 将被除式的最高次项与除式的最高次项相除，得到商的首项。
3. 将商的首项乘以除式，得到一个新的多项式。
4. 用新的多项式减去被除式，得到一个新的多项式，作为下一步的被除式。
5. 重复以上步骤，直到新的多项式的次数小于除式的次数，或者为零。
4. 举例说明以下是一个多项式相除的示例：被除式：f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 6除式：g(x) = x - 2按照步骤进行多项式相除：1. 将被除式和除式按照降幂排列，得到：f(x) = 3x^3 - 5x^2 +2x - 6，g(x) = x - 22. 将被除式的最高次项与除式的最高次项相除，得到商的首项：q(x) = 3x^23. 将商的首项乘以除式，得到一个新的多项式：3x^2 * (x - 2)= 3x^3 - 6x^24. 用新的多项式减去被除式，得到一个新的多项式：(3x^3 - 6x^2) - (3x^3 - 5x^2 + 2x - 6) = x^2 + 2x - 65. 重复以上步骤，直到新的多项式的次数小于除式的次数，或者为零。
此例中，新的多项式的次数为2，小于除式的次数1，故停止相除。
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如何进行多项式除以多项式的运算
如何进行多项式除以多项式的运算
多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：
例1 计算)4()209(2+÷++x x x
规范解法
∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x
解法步骤说明：
（1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．
（2）将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得
x x x =÷2，这就是商的第一项．
（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面．
（4）从2092++x x 减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分．
（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．
（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差
205+x 的下面．
（7）相减得差0，表示恰好能除尽．
（8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x
例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ．
规范解法
∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x
163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．
注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数．
另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．
∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x
163323-+-=x x x ……………………………余
29-x ．
8．什么是综合除法？
由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．
如：计算)3()432(3-÷-+x x x ．
因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式
（2）．
还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：
将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．
多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1．
例1 用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．
规范解法
∴ 商式2223-+-=x x x ，余式＝10．
例2 用综合除法证明910152235-+-x x x 能被3+x 整除． 规范证法 这里)3(3--=+x x ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）
因余数是0，所以910152235-+-x x x 能被3+x 整除．
当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．．
例3 求723-+x x 除以12+x 的商式和余数．
规范解法 把12+x 除以2，化为2
1+x ，用综合除法．
但是，商式2
322+-≠x x ，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变．
∴ 商式43212+-=x x ，余数4
37-=． 为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下．
用723-+x x 除以21+x ，得商式2322+-x x ，余数为4
37-，即 ∴ 437232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=-+x x x x x ()4374321122-⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-+=x x x ．
即 323-+x x 除以12+x 的商式43212+-=x x ，余数仍为4
37-．。