人教版高中数学选修2-2课后习题参考答案
新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答
第一章 导数及其应用 3.1变化率与导数 练习(P6)
在第3 h 和5 h 时,原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近,原油温度大约以1 ℃/h 的速度下降;在第5 h 时,原油温度大约以3 ℃/h 的速率上升. 练习(P8)
函数()h t 在3t t =附近单调递增,在4t t =附近单调递增. 并且,函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明:体会“以直代曲”1的思想. 练习(P9) 函数3
3()4V
r V π
=
(05)V ≤≤的图象为
根据图象,估算出(0.6)0.3r '≈,(1.2)0.2r '≈.
说明:如果没有信息技术,教师可以将此图直接提供给学生,然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数.
习题1.1 A 组(P10)
1、在0t 处,虽然1020()()W t W t =,然而10102020()()()()
W t W t t W t W t t t t
--?--?≥
-?-?. 所以,企业甲比企业乙治理的效率高.
说明:平均变化率的应用,体会平均变化率的内涵.
2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t
?+?-==-?-??,所以,(1) 3.3h '=-.
这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m /s 的速度下降.
3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数. (5)(5)10s s t s t t t
?+?-==?+??,所以,(5)10s '=. 因此,物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m /s ,它在第5 s 的动能21
3101502
k E =??= J.
4、设车轮转动的角度为θ,时间为t ,则2(0)kt t θ=>.
由题意可知,当0.8t =时,2θπ=. 所以258
k π
=,于是2258t πθ=. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数. (3.2)(3.2)25208
t t t t θθθππ?+?-==?+??,所以(3.2)20θπ'=. 因此,车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -. 说明:第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.
5、由图可知,函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于零,所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可
得,函数()f x 在4x =-,2-,0,2附近分别单调递增,几乎没有变化,单调递减,单调递减. 说明:“以直代曲”思想的应用.
6、第一个函数的图象是一条直线,其斜率是一个小于零的常数,因此,其导数()f x '的图象如图(1)所示;第二个函数的导数()f x '恒大于零,并且随着x 的增加,()f x '的值也在增加;对于第三个函数,当x 小于零时,()f x '小于零,当x 大于零时,()f x '大于零,并且随着x 的增加,()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.
说明:本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组(P11)
1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢,即速度;速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢,根据物理知识,这个量就是加速度.
2、
说明:由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息,并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解,以及数与形之间的相互转换.
3、由(1)的题意可知,函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-,所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象,然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得(2)(3)某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.
说明:这是一个综合性问题,包含了对导数内涵、导数几何意义的了解,以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1.2导数的计算 练习(P18)
1、()27f x x '=-,所以,(2)3f '=-,(6)5f '=.
2、(1)1
ln 2
y x '=; (2)2x y e '=;
(3)4106y x x '=-; (4)3sin 4cos y x x '=--;
(5)1sin 33x
y '=-; (6)21
y x '=-.
习题1.2 A 组(P18)
1、()()2S S r r S r r r r r
π?+?-==+???,所以,0()lim(2)2r S r r r r ππ?→'=+?=.
2、()9.8 6.5h t t '=-+.
3、32
13
()34r V V
π'=
.
4、(1)21
3ln 2
y x x '=+
; (2)1n x n x y nx e x e -'=+; (3)2323sin cos cos sin x x x x x y x
-+'=; (4)98
99(1)y x '=+;
(5)2x y e -'=-; (6)2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++. 5、()822f x x '=-+. 由0()4f x '=有 04822x =-+,解得032x =. 6、(1)ln 1y x '=+; (2)1y x =-.
7、1x
y π
=-+.
8、(1)氨气的散发速度()500ln 0.8340.834t A t '=??.
(2)(7)25.5A '=-,它表示氨气在第7天左右时,以25.5克/天的速率减少. 习题1.2 B 组(P19) 1、(1)
(2)当h 越来越小时,sin()sin x h x
y h
+-=就越来越逼近函数cos y x =.
(3)sin y x =的导数为cos y x =.
2、当0y =时,0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-,所以0
1x y ='
=-.
所以,曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.
2、()4sin d t t '=-. 所以,上午6:00时潮水的速度为0.42-m /h ;上午9:00时潮水的速度为0.63-m /h ;中午12:00时潮水的速度为0.83-m /h ;下午6:00时潮水的速度为 1.24-m /h. 1.3导数在研究函数中的应用 练习(P26)
1、(1)因为2()24f x x x =-+,所以()22f x x '=-.
当()0f x '>,即1x >时,函数2()24f x x x =-+单调递增; 当()0f x '<,即1x <时,函数2()24f x x x =-+单调递减. (2)因为()x f x e x =-,所以()1x f x e '=-.
当()0f x '>,即0x >时,函数()x f x e x =-单调递增; 当()0f x '<,即0x <时,函数()x f x e x =-单调递减. (3)因为3()3f x x x =-,所以2()33f x x '=-.
当()0f x '>,即11x -<<时,函数3()3f x x x =-单调递增; 当()0f x '<,即1x <-或1x >时,函数3()3f x x x =-单调递减. (4)因为32()f x x x x =--,所以2()321f x x x '=--.
当()0f x '>,即1
3x <-或1x >时,函数32()f x x x x =--单调递增;
当()0f x '<,即1
13
x -<<时,函数32()f x x x x =--单调递减.
2、
3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠,所以()2f x ax b '=+. (1)当0a >时,
注:图象形状不唯一.
()0f x '>,即2b
x a >-
时,函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增; ()0f x '<,即2b
x a
<-时,函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.
(2)当0a <时,
()0f x '>,即2b
x a <-时,函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增;
()0f x '<,即2b
x a
>-时,函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减. 4、证明:因为32()267f x x x =-+,所以2()612f x x x '=-. 当(0,2)x ∈时,2()6120f x x x '=-<, 因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习(P29)
1、24,x x 是函数()y f x =的极值点,
其中2x x =是函数()y f x =的极大值点,4x x =是函数()y f x =的极小值点.
2、(1)因为2()62f x x x =--,所以()121f x x '=-.
令()1210f x x '=-=,得1
12
x =.
当112x >时,()0f x '>,()f x 单调递增;当1
12
x <时,()0f x '<,()f x 单调递减.
所以,当112x =时,()f x 有极小值,并且极小值为211149
()6()212121224
f =?--=-.
(2)因为3()27f x x x =-,所以2()327f x x '=-. 令2()3270f x x '=-=,得3x =±.
下面分两种情况讨论:
①当()0f x '>,即3x <-或3x >时;②当()0f x '<,即33x -<<时. 当x 变化时,()f x ',()f x 变化情况如下表:
因此,当x =当3x =时,()f x 有极小值,并且极小值为54-.
(3)因为3()612f x x x =+-,所以2()123f x x '=-.
令2()1230f x x '=-=,得2x =±. 下面分两种情况讨论:
①当()0f x '>,即22x -<<时;②当()0f x '<,即2x <-或2x >时. 当x 变化时,()f x ',()f x 变化情况如下表:
因此,当x =当2x =时,()f x 有极大值,并且极大值为22 (4)因为3()3f x x x =-,所以2()33f x x '=-.
令2()330f x x '=-=,得1x =±. 下面分两种情况讨论:
①当()0f x '>,即11x -<<时;②当()0f x '<,即1x <-或1x >时. 当x 变化时,()f x ',()f x 变化情况如下表:
因此,当x =当1x =时,()f x 有极大值,并且极大值为2 练习(P31)
(1)在[0,2]上,当112x =时,2()62f x x x =--有极小值,并且极小值为149
()1224
f =-.
又由于(0)2f =-,(2)20f =.
因此,函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是49
24
-.
(2)在[4,4]-上,当3x =-时,3()27f x x x =-有极大值,并且极大值为(3)54f -=; 当3x =时,3()27f x x x =-有极小值,并且极小值为(3)54f =-; 又由于(4)44f -=,(4)44f =-.
因此,函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.
(3)在1
[,3]3
-上,当2x =时,3()612f x x x =+-有极大值,并且极大值为(2)22f =.
又由于155
()327
f -=,(3)15f =.
因此,函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最大值是22、最小值是55
27
.
(4)在[2,3]上,函数3()3f x x x =-无极值. 因为(2)2f =-,(3)18f =-.
因此,函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-. 习题1.3 A 组(P31)
1、(1)因为()21f x x =-+,所以()20f x '=-<. 因此,函数()21f x x =-+是单调递减函数.
(2)因为()cos f x x x =+,(0,)2x π∈,所以()1sin 0f x x '=->,(0,)2x π
∈.
因此,函数()cos f x x x =+在(0,)2
π
上是单调递增函数. (3)因为()24f x x =--,所以()20f x '=-<. 因此,函数()24f x x =-是单调递减函数.
(4)因为3()24f x x x =+,所以2()640f x x '=+>. 因此,函数3()24f x x x =+是单调递增函数. 2、(1)因为2()24f x x x =+-,所以()22f x x '=+.
当()0f x '>,即1x >-时,函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<,即1x <-时,函数2()24f x x x =+-单调递减. (2)因为2()233f x x x =-+,所以()43f x x '=-.
当()0f x '>,即3
4x >时,函数2()233f x x x =-+单调递增.
当()0f x '<,即3
4x <时,函数2()233f x x x =-+单调递减.
(3)因为3
()3f x x x =+,所以2()330f x x '=+>. 因此,函数3()3f x x x =+是单调递增函数.
(4)因为32()f x x x x =+-,所以2()321f x x x '=+-. 当()0f x '>,即1x <-或1
3
x >
时,函数32()f x x x x =+-单调递增.
当()0f x '<,即1
13
x -<<时,函数32()f x x x x =+-单调递减.
3、(1)图略. (2)加速度等于0.
4、(1)在2x x =处,导函数()y f x '=有极大值; (2)在1x x =和4x x =处,导函数()y f x '=有极小值; (3)在3x x =处,函数()y f x =有极大值; (4)在5x x =处,函数()y f x =有极小值.
5、(1)因为2()62f x x x =++,所以()121f x x '=+.
令()1210f x x '=+=,得1
12
x =-.
当1
12x >-时,()0f x '>,()f x 单调递增;
当1
12
x <-时,()0f x '<,()f x 单调递减.
所以,112x =-时,()f x 有极小值,并且极小值为211149
()6()212121224
f -=?---=-.
(2)因为3()12f x x x =-,所以2()312f x x '=-. 令2()3120f x x '=-=,得2x =±.
下面分两种情况讨论:
①当()0f x '>,即2x <-或2x >时;②当()0f x '<,即22x -<<时. 当x 变化时,',变化情况如下表:
因此,当x =当2x =时,()f x 有极小值,并且极小值为16-.
(3)因为3()612f x x x =-+,所以2()123f x x '=-+.
令2()1230f x x '=-+=,得2x =±. 下面分两种情况讨论:
①当()0f x '>,即2x <-或2x >时;②当()0f x '<,即22x -<<时. 当x '
因此,当x =当2x =时,()f x 有极小值,并且极小值为10-. (4)因为3()48f x x x =-,所以2()483f x x '=-.
令2()4830f x x '=-=,得4x =±. 下面分两种情况讨论:
①当()0f x '>,即2x <-或2x >时;②当()0f x '<,即22x -<<时. 当x '
因此,当x =当4x =时,()f x 有极大值,并且极大值为128.
6、(1)在[1,1]-上,当112
x =-时,函数2()62f x x x =++有极小值,并且极小值为47
24.
由于(1)7f -=,(1)9f =,
所以,函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9,
4724
. (2)在[3,3]-上,当2x =-时,函数3()12f x x x =-有极大值,并且极大值为16; 当2x =时,函数3()12f x x x =-有极小值,并且极小值为16-. 由于(3)9f -=,(3)9f =-,
所以,函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16,16-.
(3)在1[,1]3-上,函数3()612f x x x =-+在1
[,1]3-上无极值.
由于1269
()327
f -=,(1)5f =-,
所以,函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最大值和最小值分别为269
27
,5-.
(4)当4x =时,()f x 有极大值,并且极大值为128.. 由于(3)117f -=-,(5)115f =,
所以,函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128,117-. 习题3.3 B 组(P32)
1、(1)证明:设()sin f x x x =-,(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<,(0,)x π∈ 所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递减
因此()sin (0)0f x x x f =-<=,(0,)x π∈,即sin x x <,(0,)x π∈. 图略 (2)证明:设2()f x x x =-,(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-,(0,1)x ∈
所以,当1
(0,)2
x ∈时,()120f x x '=->,()f x 单调递增,
2()(0)0f x x x f =->=;
当1
(,1)2
x ∈时,()120f x x '=-<,()f x 单调递减,
2()(1)0f x x x f =->=;
又11
()024
f =>. 因此,20x x ->,(0,1)x ∈. 图略
(3)证明:设()1x f x e x =--,0x ≠. 因为()1x f x e '=-,0x ≠
所以,当0x >时,()10x f x e '=->,()f x 单调递增,
()1(0)0x f x e x f =-->=;
当0x <时,()10x f x e '=-<,()f x 单调递减, ()1(0)0x f x e x f =-->=;
综上,1x e x ->,0x ≠. 图略 (4)证明:设()ln f x x x =-,0x >.
因为1
()1f x x
'=-,0x ≠
所以,当01x <<时,1
()10f x x
'=->,()f x 单调递增,
()ln (1)10f x x x f =-<=-<;
当1x >时,1
()10f x x
'=-<,()f x 单调递减,
()ln (1)10f x x x f =-<=-<;
当1x =时,显然ln11<. 因此,ln x x <.
由(3)可知,1x e x x >+>,0x >.
. 综上,ln x x x e <<,0x > 图略
2、(1)函数32()f x ax bx cx d =+++的图象大致是个“双峰”图象,类似“”或“”的形状. 若有极值,则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值,从图象上能大致估计它的单调区间.
(2)因为32()f x ax bx cx d =+++,所以2()32f x ax bx c '=++. 下面分类讨论:
当0a ≠时,分0a >和0a <两种情形: ①当0a >,且230b ac ->时,
设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ,且12x x <,
当2()320f x ax bx c '=++>,即1x x <或2x x >时,函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增; 当2()320f x ax bx c '=++<,即12x x x <<时,函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减. 当0a >,且230b ac -≤时,
此时2()320f x ax bx c '=++≥,函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增. ②当0a <,且230b ac ->时,
设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ,且12x x <,
当2()320f x ax bx c '=++>,即12x x x <<时,函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增; 当2()320f x ax bx c '=++<,即1x x <或2x x >时,函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减. 当0a <,且230b ac -≤时,
此时2()320f x ax bx c '=++≤,函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减 1.4生活中的优化问题举例 习题1.4 A 组(P37)
1、设两段铁丝的长度分别为x ,l x -,则这两个正方形的边长分别为
4x ,4
l x -,两个正方形的面积和为 22221
()()()(22)4416
x l x S f x x lx l -==+=-+,0x l <<.
令()0f x '=,即420x l -=,2
l
x =.
当(0,)2l x ∈时,()0f x '<;当(,)2l
x l ∈时,()0f x '>.
因此,2
l
x =是函数()f x 的极小值点,也是最小值点.
所以,当两段铁丝的长度分别是2
l
时,两个正方形的面积和最小.
2、如图所示,由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去 四个边长为x 的小正方形,做成一个无盖方盒,所以无 盖方盒的底面为正方形,且边长为2a x -,高为x .
(1)无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-,02
a
x <<.
(2)因为322()44V x x ax a x =-+, 所以22()128V x x ax a '=-+.
令()0V x '=,得2a x =(舍去),或6
a
x =.
当(0,)6a x ∈时,()0V x '>;当(,)62a a
x ∈时,()0V x '<.
因此,6a
x =是函数()V x 的极大值点,也是最大值点.
所以,当6
a
x =时,无盖方盒的容积最大.
x
a
(第2
题)
3、如图,设圆柱的高为h ,底半径为R , 则表面积222S Rh R ππ=+
由2V R h π=,得2V
h R π=.
因此,22
2
2()222V V S R R R R R R ππππ=+=+,0R >. 令2()40V S R R R π'=-+=
,解得R =.
当R ∈时,()0S R '<;
当)R ∈+∞时,()0S R '>.
因此,R =是函数()S R 的极小值点,也是最小值点.
所以,当罐高与底面直径相等时,所用材料最省.
4、证明:由于2
11()()n i i f x x a n ==-∑,所以1
2()()n i i f x x a n ='=-∑.
令()0f x '=,得1
1n
i i x a n ==∑,
可以得到,1
1n
i i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点,也是最小值点.
这个结果说明,用n 个数据的平均值1
1n
i i a n =∑表示这个物体的长度是合理的,
这就是最小二乘法的基本原理.
5、设矩形的底宽为x m ,则半圆的半径为2
x
m ,半圆的面积为28x π2m ,
矩形的面积为28x a π-2m ,矩形的另一边长为()8
a x
x π-m
因此铁丝的长为22()(1)244x a x a l x x x x x πππ=++-=++,0x <<
令22()104a l x x π
'=+
-
=,得x =. 当x ∈时,()0l x '<;当x ∈时,()0l x '>.
因此,x =()l x 的极小值点,也是最小值点.
时,所用材料最省.
6、利润L 等于收入R 减去成本C ,而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式,再用导数求最大利润.
收入211
(25)2588R q p q q q q =?=-=-,
利润2211
(25)(1004)2110088
L R C q q q q q =-=--+=-+-,0200q <<.
求导得1
214L q '=-+
令0L '=,即1
2104q -+=,84q =.
当(0,84)q ∈时,0L '>;当(84,200)q ∈时,0L '<;
因此,84q =是函数L 的极大值点,也是最大值点. 所以,产量为84时,利润L 最大, 习题1.4 B 组(P37)
1、设每个房间每天的定价为x 元,
那么宾馆利润21801
()(50)(20)7013601010
x L x x x x -=--=-+-,180680x <<.
令1
()7005
L x x '=-+=,解得350x =.
当(180,350)x ∈时,()0L x '>;当(350,680)x ∈时,()0L x '>. 因此,350x =是函数()L x 的极大值点,也是最大值点. 所以,当每个房间每天的定价为350元时,宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元/件时,
利润4
()()(4)()(5)b x L x x a c c c x a x b b
-=-+?=--,54b a x <<.
令845()0c ac bc L x x b b
+'=-+=,解得458a b
x +=
. 当45(,)8a b x a +∈时,()0L x '>;当455(,)84a b b
x +∈时,()0L x '<. 当458
a b
x +=是函数()L x 的极大值点,也是最大值点.
所以,销售价为458
a b
+元/件时,可获得最大利润.
1.5定积分的概念 练习(P42) 83
. 说明:进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤,体会“以直代曲”和“逼近”的思想. 练习(P45)
1、22112
()[()2]()i i i i i s s v t n n n n n n '?≈?=?=-+?=-?+?,1,2,,i n =.
于是 111
()n n n
i i i i i i
s s s v t n ==='=?≈?=?∑∑∑
21
12
[()]n
i i n n n ==-?+?∑
22211111()()()2n n n n n n n n -=-?--?-?+
2231
[12]2n n
=-++++
31(1)(21)26n n n n ++=-?+
111
(1)(1)232n n =-+++
取极值,得
11
11115
lim [()]lim [(1)(1)2]323n n
n n i i i s v n n n n →∞→∞====-+++=∑∑
说明:进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.
2、223
km.
说明:进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想,熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤. 练习(P48)
2
30
4x dx =?
. 说明:进一步熟悉定积分的定义和几何意义.
从几何上看,表示由曲线3y x =与直线0x =,2x =,0y =所围成的曲边梯形的面积4S =. 习题1.5 A 组(P50)
1、(1)100211
11
(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+
-?=∑?; (2)500211
11
(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+
-?=∑?; (3)1000211
11
(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+
-?=∑?. 说明:体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法. 2、距离的不足近似值为:18112171310140?+?+?+?+?=(m ); 距离的过剩近似值为:271181121713167?+?+?+?+?=(m ). 3、证明:令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=
将区间[,]a b 等分成n 个小区间,在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,
,)i i n ξ=
作和式 11
()n n
i i i b a
f x b a n ξ==-?==-∑∑, 从而 1
1lim n b a n i b a
dx b a n →∞=-==-∑?, 说明:进一步熟悉定积分的概念. 4
、根据定积分的几何意义,0
?
表示由直线0x =,1x =,0y =
以及曲线y
成的曲边梯形的面积,即四分之一单位圆的面积,因此0
4
π
=
?
.
5、(1)0311
4
x dx -=-?.
由于在区间[1,0]-上30x ≤,所以定积分0
31
x dx -?表示由直线0x =,1x =-,0y =和曲线3y x =所
围成的曲边梯形的面积的相反数.
(2)根据定积分的性质,得10133311011
044
x dx x dx x dx --=+=-+=???.
由于在区间[1,0]-上30x ≤,在区间[0,1]上30x ≥,所以定积分1
31
x dx -?等于位于x 轴上方的曲边梯
形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.
(3)根据定积分的性质,得202333110115
444
x dx x dx x dx --=+=-+=???
由于在区间[1,0]-上30x ≤,在区间[0,2]上30x ≥,所以定积分2
31
x dx -?等于位于x 轴上方的曲边梯
形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.
说明:在(3)中,由于3x 在区间[1,0]-上是非正的,在区间[0,2]上是非负的,如果直接利用定义把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分,那么和式中既有正项又有负项,而且无法抵挡一些项,求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分2
31
x dx -?化为0
2
331
x dx x dx -+??,这样,3x 在区间[1,0]-和
区间[0,2]上的符号都是不变的,再利用定积分的定义,容易求出031
x dx -?,2
30
x dx ?,进而得到定积
分2
31
x dx -?的值. 由此可见,利用定积分的性质可以化简运算.
在(2)(3)中,被积函数在积分区间上的函数值有正有负,通过练习进一步体会定积分的几何意义.
习题1.5 B 组(P50)
1、该物体在0t =到6t =(单位:s )之间走过的路程大约为145 m.
说明:根据定积分的几何意义,通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、(1)9.81v t =.
(2)过剩近似值:8
1
1189
9.819.8188.292242i i =???=??
=∑(m ); 不足近似值:8
111187
9.819.8168.672242i i =-??
?=??=∑(m ) (3)4
9.81tdt ?; 4
9.81d 78.48t t =?(m ).
3、(1)分割
在区间[0,]l 上等间隔地插入1n -个分点,将它分成n 个小区间:
[0,]l n ,2[,]l l n n ,……,(2)[,]n l l n
-, 记第i 个区间为(1)[,]i l il
n n
-(1,2,i n =),其长度为
(1)il i l l x n n n
-?=-=.
把细棒在小段[0,]l n ,2[,]l l n n ,……,(2)[,]n l
l n
-上质量分别记作:
12,,,n m m m ???, 则细棒的质量1n
i i m m ==?∑.
(2)近似代替
当n 很大,即x ?很小时,在小区间(1)[
,]i l il
n n
-上,可以认为线密度2()x x ρ=的值变化很小,近似地等于一个常数,不妨认为它近似地等于任意一点(1)[,]i i l il
n n
ξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是,细棒在小段(1)[,]i l il n n -上质量 2()i i i l
m x n
ρξξ?≈?=(1,2,i n =). (3)求和
得细棒的质量 2111
()n n n
i i i i i i l
m m x n ρξξ====?≈?=∑∑∑.
(4)取极限
细棒的质量 21
lim n i n i l
m n ξ→∞==∑,所以20l m x dx =?..
1.6微积分基本定理 练习(P55)
(1)50; (2)50
3
; (3
53-; (4)24; (5)3
ln 22
-; (6)12; (7)0; (8)2-.
说明:本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 习题1.6 A 组(P55)
1、(1)403; (2)13ln 22--; (3)9
ln 3ln 22
+-;
(4)17
6
-; (5)2318π+; (6)22ln 2e e --. 说明:本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 2、3300sin [cos ]2xdx x π
π
=-=?.
它表示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为:位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积(取正值)与x 轴下方的曲边梯形的面积(取负值)的代数和. 习题1.6 B 组(P55)
1、(1)原式=221011[]222x e e =-; (2
)原式=4
6
11[sin 2]22x π
π=; (3)原式=3126[]ln 2ln 2x =. 2、(1)cos 1
sin [][cos cos()]0mx mxdx m m m m ππππππ--=-=---=?;
(2)sin 1
cos [sin sin()]0mx mxdx m m m m ππππππ--=|=--=?;
(3)2
1cos 2sin 2sin []224mx x mx mxdx dx m πππππππ----==-=??;
(4)21cos 2sin 2cos []224mx x mx mxdx dx m
πππ
ππππ---+==+=??.
3、(1)0.202220()(1)[]49245245t kt kt t kt t g g g g g g
s t e dt t e t e t e k k k k k k
----=-=+=+-=+-?.
(2)由题意得 0.2492452455000t t e -+-=.
这是一个超越方程,为了解这个方程,我们首先估计t 的取值范围.
根据指数函数的性质,当0t >时,0.201t e -<<,从而 5000495245t <<,
因此,50005245
4949
t <<. 因此5000
0.27
49
245 3.3610e
-?
-≈?,52450.2749
245 1.2410e -?
-≈?, 所以,70.271.2410245 3.3610t e ---?<.
从而,在解方程0.2492452455000t t e -+-=时,0.2245t e -可以忽略不计.
因此,.492455000t -≈,解之得 5245
49
t ≈(s ).
说明:B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分,可视学生的具体情况选做,不要求掌握.
1.7定积分的简单应用 练习(P58)
(1)32
3
; (2)1.
说明:进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程. 练习(P59)
1、5
2533(23)[3]22s t dt t t =+=+=?(m ).
2、4
24
003(34)[4]402
W x dx x x =+=+=?(J ).
习题1.7 A 组(P60)
1、(1)2; (2)9
2
.
2、2[]b b a a q q q q
W k dr k k k r r a b
==-=-?. 3、令()0v t =,即40100t -=. 解得4t =. 即第4s 时物体达到最大高度.
最大高度为 4
24
0(4010)[405]80h t dt t t =-=-=?(m ). 4、设t s 后两物体相遇,则 2
(31)105t
t
t dt tdt +=+??,
解之得5t =. 即,A B 两物体5s 后相遇.
此时,物体A 离出发地的距离为 5
23500(31)[]130t dt t t +=+=?(m ).
5、由F kl =,得100.01k =. 解之得1000k =. 所做的功为 0.1
20.10010005005W ldl l ==|=?(J ).
6、(1)令55
()501v t t t
=-+=+,解之得10t =. 因此,火车经过10s 后完全停止. (2)1021000551
(5)[555ln(1)]55ln1112
s t dt t t t t =-+=-++=+?(m ). 习题1.7 B 组(P60) 1、(1)22a a
a x dx --?
表示圆222x y a +=与x 轴所围成的上
半圆的面积,因此2
22
2
a a a a x dx π--=
?
(2)12
[1(1)]x x dx ---?表示圆2
2
(1)1x y -+=与直线
y x =所围成的图形(如图所示)的面积,
因此,212
0111[1(1)]114242
x x dx ππ?---=
-??=-?. 2、证明:建立如图所示的平面直角坐标系,可设抛物线的
方程为2y ax =,则2()2b h a =?,所以24h
a b =.
从而抛物线的方程为 224h
y x b
=.
于是,抛物线拱的面积2322
2204422()2[]33
b b
h h S h x dx hx x bh b b =-=-=?. 3、如图所示.解方程组22
3y x y x
?=+?=?
得曲线22y x =+与曲线3y x =交点的横坐标11x =,22x =. 于是,所求的面积为1
2
220
1
[(2)3][3(2)]1x x dx x x dx +-+-+=??.
4、证明:2[]()
R h
R h R R
Mm Mm Mmh
W G
dr G G r r R R h ++==-=+?
. 第一章 复习参考题A 组(P65)
1、(1)3; (2)4y =-.
2、(1)2
2sin cos 2cos x x x y x +'=; (2)2
3(2)(31)(53)y x x x '=-+-; (3)22ln ln 2x x
y x x '=+; (4)24
22(21)
x x y x -'=+. 3、3
2GMm
F r '=-.
4、(1)()0f t '<. 因为红茶的温度在下降.
(2)(3)4f '=-表明在3℃附近时,红茶温度约以4℃/min 的速度下降. 图略.
5、因为32()f x x =,所以3()3f x x
'=.
当3()03f x x '=>,即0x >时,()f x 单调递增;
当3()03f x x
'=<,即0x <时,()f x 单调递减.
6、因为2()f x x px q =++,所以()2f x x p '=+.
当()20f x x p '=+=,即12
p
x =-=时,()f x 有最小值.
由12
p
-=,得2p =-. 又因为(1)124f q =-+=,所以5q =.
y x
O
1
(第1(2)题)
y
x h b O
(第2题)
7、因为2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+, 所以22()34(3)()f x x cx c x c x c '=-+=--.
当()0f x '=,即3
c
x =
,或x c =时,函数2()()f x x x c =-可能有极值. 由题意当2x =时,函数2()()f x x x c =-有极大值,所以0c >. 由于
所以,当3c x =时,函数2()()f x x x c =-有极大值. 此时,23
c
=,6c =.
8、设当点A 的坐标为(,0)a 时,AOB ?的面积最小. 因为直线AB 过点(,0)A a ,(1,1)P ,
所以直线AB 的方程为001y x a x a
--=
--,即1
()1y x a a =--. 当0x =时,1a y a =-,即点B 的坐标是(0,)1
a
a -.
因此,AOB ?的面积2
1()212(1)AOB a a S S a a a a ?===--.
令()0S a '=,即22
12()02(1)a a
S a a -'=?=-.
当0a =,或2a =时,()0S a '=,0a =不合题意舍去.
由于
所以,当2a =,即直线AB 的倾斜角为135?时,AOB ?的面积最小,最小面积为2. 9、D .
10、设底面一边的长为x m ,另一边的长为(0.5)x +m. 因为钢条长为14.8m.
所以,长方体容器的高为14.844(0.5)12.88 3.2244
x x x
x --+-==-.
设容器的容积为V ,则
32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V V x x x x x x x ==+-=-++,0 1.6x <<. 令()0V x '=,即26 4.4 1.60x x -++=.
所以,4
15
x =-(舍去),或1x =.
当(0,1)x ∈时,()0V x '>;当(1,1.6)x ∈时,()0V x '<.
因此,1x =是函数()V x 在(0,1.6)的极大值点,也是最大值点.
所以,当长方体容器的高为1 m 时,容器最大,最大容器为1.8 m 3. 11、设旅游团人数为100x +时,
旅行社费用为2()(100)(10005)5500100000y f x x x x ==+-=-++(080)x ≤≤. 令()0f x '=,即105000x -+=,50x =.
又(0)100000f =,(80)108000f =,(50)112500f =. 所以,50x =是函数()f x 的最大值点.
所以,当旅游团人数为150时,可使旅行社收费最多.
12、设打印纸的长为x cm 时,可使其打印面积最大.
因为打印纸的面积为623.7,长为x ,所以宽为623.7
x
,
打印面积623.7
()(2 2.54)(2 3.17)S x x x =-?-?
2
3168.396
655.9072 6.34x x
=--,5.0898.38x <<. 令()0S x '=,即23168.3966.340x -=,22.36
x ≈(负值舍去),623.7
27.8922.36
≈. 22.36x =是函数()S x 在(5.08,98.38)内唯一极值点,且为极大值,从而是最大值点. 所以,打印纸的长、宽分别约为27.89cm ,22.36cm 时,可使其打印面积最大. 13、设每年养q 头猪时,总利润为y 元.
则 21
()20000100300200002
y R q q q q =--=-+-(0400,)q q N <≤∈.
令0y '=,即3000q -+=,300q =.
当300q =时,25000y =;当400q =时,20000y =.
300q =是函数()y p 在(0,400]内唯一极值点,且为极大值点,从而是最大值点. 所以,每年养300头猪时,可使总利润最大,最大总利润为25000元.
14、(1)2; (2)22e -; (3)1;
(4)原式=2222
200
0cos sin (cos sin )[sin cos ]0cos sin x x dx x x dx x x x x
π
ππ
-=-=+=+??; (5)原式=22001cos sin 2
[]224
x x x dx πππ---==?.
高中数学选修1-2课后习题答案
高中数学选修1-2课后习题答案
高中数学选修1-2课后习题答案 第Ⅰ卷选择题共50分 一、选择题(本大题共10小题,每题5分,共50分,每小题给出的4个选项中,只有一选项是符合题目要求的) 参考公式 1.在画两个变量的散点图时,下面哪个叙述是正确的( ) A 预报变量在x轴上,解释变量在y轴上 B 解释变量在x轴上,预报变量在y轴上 C 可以选择两个变量中任意一个变量在x轴上 D 可以选择两个变量中任意一个变量在y轴上 2.数列2,5,11,20,,47, x…中的x等于() A 28 B 32 C 33 D 27
3.复数2 5 -i 的共轭复数是( ) A i +2 B i -2 C -i -2 D 2 - i 4.下面框图属于( ) A 流程图 B 结构图 C 程序框图 D 工序流程图 5.设,,a b c 大于0,则3个数:1a b +,1b c +,1 c a +的值( ) A 都大于2 B 至少有一个不大于2 C 都小于2 D 至少有一个不小于2 6.当132< 处理处理 得病32 101 133 不得病61 213 274 合计93 314 407 根据以上数据,则( ) A 种子经过处理跟是否生病有关 B 种子经过处理跟是否生病无关 C 种子是否经过处理决定是否生病 D 以上都是错误的 8.变量x与y具有线性相关关系,当x取值16,14,12,8 时,通过观测得到y的值分别为11,9,8,5,若在实际问题中,y的预报最大取值是10,则x的最大取值不能超过( ) A 16 B 17 C 15 D 12 9.根据右边程序框图,当输入10 时,输出的是() A 12 B 19 C 14.1 D -30 高中数学人教版选修2-3课本习题答案 练习《第6页〉 1.(1)要完成的“一件事情”是“通出1人完成工作”,不同的选法种数是5+4=9; (2)要完成的“一件事情”是“从A村经B村到C村去”,不同路线条数是3X2=6. 2.(1)要完成的“一件事情”是“彦出1人参加活动”,不同的选法种数是3+5+4 = 12, (2)要完戊的“一件事情”是“从3个年级的学生中各逸1人参加活动”,不同的选法种致是3X5X4=60. 3.因为要确定的是这名同学的专业选择,并不要考■虑学校的差异.所以应当是6+4-1^ 9 (种)可能的 专业选择. 蛛习(第10页〉 1.要完成的“一件事情”是“得到展开式的一项”.由于每一项都是a.b,c t的形式.所以可以分三形完成: 第一步.取如有3种方法;第二步,取小有3种方法:第三步.取s有5神方法.根据分步乘法计数原理,展开式共有3X3X5=45 (项). 2.要完成的“一件事情”是“偷定一个电活号码的后四位二分四步完成,每一步部是从。?9这10 个败 字中取一个.共有10X10X10X10 = 10 000 (个). 3.要完成的“一件事情”是“从5名同学中选出正、副组长各1名”.分两步完成:第一步逸正组长,有 5种方法;第二步选副组长.有4种方法.共有选法5X4 = 20 (#). 4.要完成的“一件事情”是“从6个门中的一个进入并从另一个门出去”.分例步完成:先从6个门中选 一个进入.再从共余5个门中逸一个出去.共有进出方法5X5-30 (种). 习题1.1(M 12页) A组 1.“一件事情”是“买一台某型号的电视机”.不同的选法有4+7=11 (神,. 2.“一件事情”是“从甲地经乙地或经丙地到丁地去”.所以是“先分类,后分步”.不同的路线共有 2X3+4X2=14 (条). 3.对于第一问,“一件事情”是“构成一个分数”.由于1, 5, 9. 13是奇数,4, 8, 12,】6是偶数. 所以以1.5, 9.13中任意一个为分子,都可以与4, 8?12, 16中的任意一个构成分数.因此可以分两步来构成分致:第一步,逸分孑,有4种选法;第二步,选分母,也有4种选法.共有不同的分数4X4 = 16 (个). 对于第二何,“一件事情”是“构成一个真分数”.分四类:分子为1时,分母可以从4.8. 12. 16 中任选一个.有4个;分子为5时,分母从8, 12, 16中选一个.有3个;分子为9时.分锹从12, 16中选一个,有2个,分子为13时,分母只能选16,有1个.所以共有其分散4+3 + 2+1 = 10 (个). 4.“一件事憎”是“接通线路”.根据电路的有关知识,容易褂到不同的接通线路有3 + 14-2X 2=8 (条). 5.(1> “一件事情”是“用坐标确定一个点”.由于横、纵坐标可以相同,因此可以分两步完成:第一 步,从人中选横坐怵.有6个选择;第二步从人中选纵坐标,也有6个选择.所以共有坐标6X6 = 36 (个). 新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答 第一章 导数及其应用 3.1变化率与导数 练习(P6) 在第3 h 和5 h 时,原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近,原油温度大约以1 ℃/h 的速度下降;在第5 h 时,原油温度大约以3 ℃/h 的速率上升. 练习(P8) 函数()h t 在3t t =附近单调递增,在4t t =附近单调递增. 并且,函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明:体会“以直代曲”1的思想. 练习(P9) 函数3 3()4V r V π = (05)V ≤≤的图象为 根据图象,估算出(0.6)0.3r '≈,(1.2)0.2r '≈. 说明:如果没有信息技术,教师可以将此图直接提供给学生,然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组(P10) 1、在0t 处,虽然1020()()W t W t =,然而10102020()()()() W t W t t W t W t t t t --?--?≥ -?-?. 所以,企业甲比企业乙治理的效率高. 说明:平均变化率的应用,体会平均变化率的内涵. 2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t ?+?-==-?-??,所以,(1) 3.3h '=-. 这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m /s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数. (5)(5)10s s t s t t t ?+?-==?+??,所以,(5)10s '=. 因此,物体在第 5 s 时的瞬时速度为10 m /s ,它在第 5 s 的动能 21 3101502k E =??= J. 4、设车轮转动的角度为θ,时间为t ,则2(0)kt t θ=>. 由题意可知,当0.8t =时,2θπ=. 所以258k π= ,于是2 258 t πθ=. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数. (3.2)(3.2)25208 t t t t θθθπ π?+?-==?+??,所以(3.2)20θπ'=. 因此,车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -. 说明:第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固. 5、由图可知,函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于零,所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得,函数()f x 在4x =-,2-,0,2附近分别单调递增,几乎没有变化,单调递减,单调递减. 说明:“以直代曲”思想的应用. 6、第一个函数的图象是一条直线,其斜率是一个小于零的常数,因此,其导数()f x '的图象如图(1)所示;第二个函数的导数()f x '恒大于零,并且随着x 的增加,()f x '的值也在增加;对于第三个函数,当x 小于零时,()f x '小于零,当x 大于零时,()f x '大于零,并且随着x 的增加,()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种. 说明:本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组(P11) 1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢,即速度;速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢,根据物理知识,这个量就是加速度. 2019版数学精品资料(人教版) 人教A 版选修1-1,1-2课本例题习题改编 1. 原题(选修1-1第三十五页例3)改编 已知点A 、B 的坐标分别是A (0,-1),B (0,1),直线AM 、BM 相交于点M ,且它们的斜率之积是-t ,t ∈(0,1].求M 的轨迹方程,并说明曲线的类型. 解:设M (x ,y ),则10BM y k x -= - (x ≠0),(1)0AM y k x --=-(x ≠0),BM AM k k =-t ,10y x -- ?(1) y x ---=-t(x ≠0),整理得2 2 1x y t +=1(x ≠0)(1)当t ∈(0,1)时,M 的轨迹为椭圆(除去A 和B 两点);(2)当t=1时,M 的轨迹为圆(除去A 和B 两点). 2.原题(选修1-1第五十四页习题2.2A 组第一题)改编 1F 、2F 是双曲线 22 11620 x y -=的焦点,点P 在双曲线上,若点P 到焦点1F 的距离等于9,则点P 到焦点2F 的距离等于 解:∵双曲线 22 11620 x y -=得:a=4,由双曲线的定义知||P 1F |-|P 2F ||=2a=8,|P 1F |=9, ∴|P 2F |=1<(不合,舍去)或|P 2F |=17,故|P 2F |=17. 3. 原题(选修1-1第六十八页复习参考题B 组第一题)改编 已知F 1、F 2分别为椭圆 19 162 2=+y x 的左、右焦点,点P 在椭圆上,若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点,求21F PF ?的面积. 解:依题意,可知当以F 1或F 2为三角形的直角顶点时,点P 的坐标为97,4? ? ±± ??? ,则点P 到x 轴的距离为 49,此时2 1F PF ?的面积为479;当以点P 为三角形的直角顶点时,点P 的坐标为37 7 9>,舍去。故21F PF ?的面积为 4 7 9. 4. 原题(选修1-2第五十五页习题3.1B 组第二题)改编 设,C z ∈满足条件.12 141log 2 1 ->--+-z z 的复数 z 所对应的点z 的集合表示什么图形? 高二文科数学选修1-2测试题 一、选择题:. 1.复数10 (1)1i i +-等于( ) A.1616i + B.1616i -- C.1616i - D.1616i -+ 2.按流程图的程序计算,若开始输入的值为3x =,则输出的x 的值是( ) A .6 B .21 C .156 D .231 3..“自然数中a,b,c 恰有一个偶数”的否定为 ( ) A.自然数a,b,c 都是奇数 B. 自然数a,b,c 都是偶数 C 自然数a,b,c 中至少有两个偶数 D. 自然数a,b,c 都是奇数或至少有两个偶 4.把两个分类变量的频数列出,称为( ) A .三维柱形图 B .二维条形图 C .列联表 D .独立性检验 5. 关于复数z 的方程31z -=在复平面上表示的图形是( ) A .椭圆 B .圆 C .抛物线 D .双曲线 6.(1) 名师出高徒; (2) 球的体积与该球的半径之间的关系;(3) 苹果的产量与气候之间的关系; (4) 森林中的同一种树,其断面直径与高度之间的关系;(5) 学生与他(她)的学号之间的关系; (6) 乌鸦叫,没好兆; 其中,具有相关关系的是( ) A .(1)(3)(4)(6) B .(1)(3)(4)(5) C .(2)(5) D .(1)(3)(4) 7.求135101S =++++的流程图程序如右图所示, 其中①应为( ) A .101?A = B .101?A ≤ C .101?A > D .101?A ≥ 8.两个变量有线性相关关系且残差的平方和等于0,则( A.样本点都在回归直线上 B.样本点都集中在回归直线附近 C.样本点比较分散 D.不存在规律高中数学选修课后习题答案人教版
人教版高中数学选修 课后习题参考答案
2019版【人教A版】高中数学:选修1-1、1-2课本例题习题改编(含答案)
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