人教版高中数学选修2-2课后习题参考答案
人教版高中数学选修2-2习题第一章导数及其应用1.1.2导数的概念
第一章导数及其应用1.1变化率与导数导数的观点A 级基础稳固一、选择题1． y＝ x2在 x＝ 1 处的导数为 ()A． 2x B． 2 C． 2＋ x D． 1分析：由于 f(x)＝ x2，x＝ 1，因此y＝ f(1＋x)－ f (1)＝ (1＋x)2－ 1＝ 2x＋ (x)2，所以y＝(2＋x)＝ 2.x答案： B2．一物体运动知足曲线方程s＝4t2＋ 2t－ 3，且 s′(5)＝ 42(m/s)，其实质意义是 () A．物体 5 秒内共走过42 米B．物体每 5 秒钟运动42 米C．物体从开始运动到第 5 秒运动的均匀速度是42 米/秒D．物体以 t＝ 5 秒时的刹时速度运动的话，每经过一秒，物体运动的行程为42 米分析：由导数的物理意义知，s′ (5)＝ 42(m/s)表示物体在t＝ 5 秒时的刹时速度．答案： D3．设函数 f (x)在点 x0邻近有定义，且有 f(x0＋x)－ f(x0 )＝ a x＋ b(x)2，(a，b 为常数 )，则 ()A． f′ (x)＝ a B． f′ (x)＝ bC． f′ (x0)＝ a D． f′ (x0)＝ b分析：由于 f′(x＝f（ x0＋x）－f（x）＝0)xa x＋ b（x）2＝(a＋ b x)＝ a，因此 f′(xx0)＝a.答案： C4．已知 y＝x＋ 4，则 y′|x1＝ ________．＝555A. 2B. 10C. 5 D．－10分析：由题意知y＝1＋x＋ 4－ 1＋ 4＝5＋x－5，y＋－5＋－5所以＝5x1＝5x＝. 所以 y′|xx x＝xx＝5x （ 5＋ x ＋5） 10.答案： B5．假如某物体做运动方程为s ＝ 2(1－ t 2)的直线运动 (s 的单位为 m ， t 的单位为 s)，那么 其在 1.2 s 末的刹时速度为 ()A ．－ 4.8 m/sB ．－ 0.88 m/sC ． 0.88 m/sD ． 4.8 m/s解 析 ： 运 动 物 体 在1.2s 末 的 瞬 时 速 度 即 为 s 在 1.2 处 的 导数 ， 所 以f （ 1.2＋ t ）－ f （ 1.2）＝t222[1－（ 1.2＋t ） ]－ 2×（ 1－ 1.2 ）＝2(－ 答案： A 二、填空题6．设函数t － 2.4)＝－ 4.8(m/s)．f(x)知足f （ 1）－ f （ 1－ x ）＝－ 1，则 f ′(1)＝ ________．x分析： f （ 1）－ f （ 1－ x ） ＝ f （ 1－ x ）－ f （ 1）＝ f ′(1)＝－ 1.x－ x答案：－ 17．函数 f(x)＝ x 2＋ 1 在 x ＝ 1 处可导，在求 f ′(1)的过程中，设自变量的增量为x ，则函数的增量y ＝ ________．分析：y ＝ f(1＋ x)－ f(1) ＝－ (1 2＋ 1)＝2 x ＋ ( x)2.答案： 2 x ＋ (x)28．某物体做匀速直线运动，其运动方程是 s ＝ vt ，则该物体在运动过程中其均匀速度与任何时辰的刹时速度的大小关系是________．s （ ＋t ）－ s （ t ）分析： v 0＝＝ s t 0＝ttv （ t 0＋ t ）－ v （ t 0）＝v tt＝ v.t答案：相等三、解答题19．利用导数的定义，求函数y ＝ x 2＋ 2 在点 x ＝ 1 处的导数． 解：由于y ＝ 1 2＋2 － 1 ＝（ x ＋ x ） x 2＋ 2－ 2x x －（x ） 2，因此y ＝－ 2x － x ，（ x ＋ x ） 2· x 2 x （ x ＋ x ） 2· x 2因此 y ′＝y ＝ － 2x － x2＝－ 23，（ x ＋2xx ） · xx因此 y ′|x ＝1＝－ 2.10．在自行车竞赛中，运动员的位移与竞赛时间t 存在关系 s(t)＝ 10t ＋ 5t 2(s 的单位是 m ，t 的单位是 s)．(1)求 t ＝ 20，t ＝ 0.1 时的s 与s ；t(2)求 t ＝ 20 时的速度．解： (1) 当 t ＝ 20， t ＝ 0.1 时，s ＝ s(20＋ t)－ s(20)＝ 10(20＋ 0.1)＋ 5(20＋ 0.1)2－ (10 ×20＋ 5× 202)＝ 1＋ 20＋ 5×0.01＝21.05.因此s 21.05 ＝ 210.5.＝ 0.1ts（ ＋ t）＋（＋ t） 2－ 10t － 5t 2(2)v ＝＝10 t 5 t ＝tt5（t ） 2＋ 10 t ＋ 10tt(5 t ＋ 10＋ 10t)＝ 10＋ 10t ，t＝因此 t ＝ 20 时的速度即为10＋ 10×20＝ 210(m/s)．B 级 能力提高1．某物体运动规律是 s ＝ t 2 － 4t ＋ 5，若此物体的刹时速度为 0，则 t ＝ ()A ．3B ．2.5C ．2D ．1分析： s ＝ (t ＋ t)2－ 4(t ＋t) ＋ 5－ ( t 2－ 4t ＋ 5)＝ 2t t ＋ ( t)2－ 4 t ，由于 v ＝st＝ 2t － 4＝ 0，因此 t ＝ 2.答案： C2．婴儿从出生到第24 个月的体重变化如下图，第二年婴儿体重的均匀变化率为________kg/ 月．分析：第二年婴儿体重的均匀变化率为14.25－ 11.25＝ 0.25(kg/月 )．24－ 12答案： 0.253．若一物体运动方程是 (s 的单位是 m ， t 的单位是 s)3t 2＋ 2（ t ≥3），s ＝29＋ 3（ t － 3） 2（ 0≤t ＜ 3） .求： (1) 物体在 t ∈内的均匀速度；(2) 物体的初速度v 0；(3) 物体在 t ＝ 1 时的刹时速度．解： (1) 由于物体在 t ∈内的时间变化量为t ＝ 5－3＝ 2，物体在 t ∈内的位移变化量为：＝ × 2＋ 2－ (3 ×32＋ 2)＝ 3×(52－ 32s 3 5 )＝ 48，因此物体在 t ∈上的均匀速度为 s 48 ＝ 24(m/s)．＝ 2t (2) 求物体的初速度 v 0 即求物体在 t ＝ 0 时的刹时速度．由于物体在 t ＝ 0 邻近的均匀变化率为s （ ＋）－ （ ） ＝＝ ftftt29＋ 3[（ 0＋ t ）－ 3]2－ 29－ 3（ 0－ 3） 2＝ 3t － 18.t因此物体在 t ＝ 0 处的刹时变化率为，s (3 t － 18)＝－ 18，t ＝即物体的初速度为－ 18 m/s.(3)物体在 t ＝ 1 时的刹时速度即为函数在 t ＝ 1 处的刹时变化率．由于物体在 t ＝ 1 邻近的均匀变化率为：s （ ＋ ）－ （ ）＝ f 1 t f 1 ＝ tt29＋ 3[（ 1＋ t ）－ 3]2－ 29－ 3（ 1－ 3） 2t － 12，＝ 3t因此物体在 t ＝ 1 处的刹时变化率为：s ＝ (3 t － 12)＝－ 12.t即物体在 t ＝ 1 时的速度为－ 12 m/s.。
人教版高中数学选修2-2试题四套(带答案)(整理)
2高中数学选修《2-2》复习试题一、选择题（共8题，每题5分）1.复数(2)z i i =+在复平面内的对应点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 一质点做直线运动,由始点经过s t 后的距离为3216323s t t t =-+,则速度为0的时刻是（ ）A ．4s t= B ．8s t = C ．4s t =与8s t = D ．0s t =与4s t =3。
某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8,如果他连续射击5次，则这名射手恰有4次击中目标的概率是（ ）（A ）40.80.2⨯ （B)445C 0.8⨯ (C ）445C 0.80.2⨯⨯ (D ）45C 0.80.2⨯⨯ 4.已知14a b c =+==则a,b ，c 的大小关系为（ ） A ．a>b>cB ．c>a 〉bC ．c 〉b 〉aD ．b>c 〉a5.曲线32y x =-+上的任意一点P 处切线的斜率的取值范围是（ ） A．)+∞B. )+∞C. ()+∞ D 。
[)+∞ 6。
有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=,那么0x x =是函数()f x 的极值点,因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点. 以上推理中（ ）A ．大前提错误B ． 小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确7。
.在复平面内， 复数1 + i 与31+i 分别对应向量OA 和OB , 其中O 为坐标原点，=（ ) A 。
2 B 。
2 C 。
10 D. 48、函数2()1x f x x =-( ）A ．在(0,2)上单调递减B ．在(,0)-∞和(2,)+∞上单调递增C ．在(0,2)上单调递增D ．在(,0)-∞和(2,)+∞上单调递减二、填空题（共6题，30分) 9. .观察下列式子 2222221311511171,1,1222332344+<++<+++< , … … ， 则可归纳出________________________________10. 复数11z i =-的共轭复数是________。
新版高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用 检测A(1)
第一章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则()A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1解析∵y'=2x+a,∴曲线y=x2+ax+b在(0,b)处的切线的斜率为a,切线方程为y-b=ax,即ax-y+b=0.∴a=1,b=1.答案A2若函数f(x)=ax5+bx3+c满足f'(1)=2,则f'(-1)等于()A.-1B.-2C.2D.0解析f'(x)=5ax4+3bx2为偶函数,∴f'(-1)=f'(1)=2.答案C3若函数f(x)=a ln x+x在x=1处取得极值,则a的值为()A.12B.-1 C.0 D.-12解析f'(x)=ax+1,令f'(x)=0,得x=-a, 易知函数f(x)在x=-a处取得极值.所以a=-1.答案B4已知函数f(x)的导数f'(x)=a(x+1)(x-a),且f(x)在x=a处取得极大值,则实数a的取值范围是() A.(-1,+∞) B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+∞)答案B5设f(x)={x2,x∈[0,1],1x,x∈(1,e],则∫ef(x)d x等于()A.43B.54C.65D.76解析∫e0f(x)d x=∫1x2d x+∫e11xd x=13x3|1+ln x|e1=43.故选A.答案A6已知点P在曲线y=4e x+1上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是()A.[0,π4) B.[π4,π2)C.(π2,3π4] D.[3π4,π)解析因为0>y'=-4e x(e x+1)2=-4e x+2+1e x≥-1,当且仅当x=0时取等号.即-1≤tan α<0,所以3π4≤α<π.答案D7∫1(e x+2x)d x等于() A.1 B.e-1C.eD.e+1解析∵(e x+x2)'=e x+2x,∴∫10(e x+2x)d x=(e x+x2)|1=(e1+12)-(e0+0)=e.答案C8设a∈R,若函数y=e ax+3x,x∈R有大于零的极值点,则() A.a>-3 B.a<-3C.a>-13D.a<-13解析令y'=a e ax+3=0,∴e ax=-3a.设x=x0为大于0的极值点,∴e ax0=-3a.∴a<0,ax0<0.∴0<e ax0<1,即0<-3a<1.∴a<-3.答案B9设a<b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是()解析y'=2(x-a)(x-b)+(x-a)2=(x-a)(3x-a-2b),令y'=0,得x=a或x=a+2b3.∵a<b ,∴a<a+2b3. ∴当x=a 时,y 取极大值0;当x=a+2b3时,y 取极小值,且极小值小于零.故选C . 答案C10若函数f (x ),g (x )满足∫ 1-1f (x )g (x )d x=0,则称f (x ),g (x )为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数:①f (x )=sin 12x ,g (x )=cos 12x ;②f (x )=x+1,g (x )=x-1;③f (x )=x ,g (x )=x 2.其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( ) A.0B.1C.2D.3解析对于①,∫ 1-1sin 12x ·cos 12x d x=∫ 1-112sin x d x=12∫ 1-1sin x d x=12(-cos x )|-11=12{-cos 1-[-cos(-1)]}=12(-cos 1+cos 1) =0.故①为一组正交函数;对于②,∫ 1-1(x+1)(x-1)d x=∫ 1-1(x 2-1)d x=(13x 3-x)|-11=13-1-(-13+1)=23-2=-43≠0,故②不是一组正交函数;对于③,∫1-1x·x2d x=∫1-1x3d x=(14x4)|-11=0.故③为一组正交函数,故选C.答案C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11∫-1-21(11+5x)3d x=.解析取F(x)=-110(5x+11)2,从而F'(x)=1(11+5x)3.则∫-1-21(11+5x)3d x=F(-1)-F(-2)=-110×62+110×12=110−1360=772.答案77212若函数f(x)在x=a处的导数为A(aA≠0),函数F(x)=f(x)-A2x2满足F'(a)=0,则A=.解析由题知f'(a)=A,又F'(x)=f'(x)-2A2x,且F'(a)=f'(a)-2aA2=A-2aA2=0.∵aA≠0,∴A=12a.答案12a13已知函数f (x )在(0,+∞)内可导,且f (e x )=x+e x ,则f'(1)= . 解析令e x =t ,则x=ln t ,∴f (t )=ln t+t ,∴f'(t )=1t +1,∴f'(1)=2.答案214设曲线y=e x 在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x>0)上点P 处的切线垂直,则点P 的坐标为 .解析曲线y=e x 在点(0,1)处的切线斜率k=y'=e x |x=0=1;由y=1x,可得y'=-1x2,因为曲线y=1x(x>0)在点P 处的切线与曲线y=e x 在点(0,1)处的切线垂直,所以-1x P2=-1,解得x P =1,由y=1x,得y P =1,故所求点P 的坐标为(1,1). 答案(1,1)15已知函数f (x )为一次函数,其图象经过点(3,4),且∫ 10f (x )d x=1,则函数f (x )的解析式为 .解析设函数f (x )=ax+b (a ≠0).∵函数f (x )的图象经过点(3,4),∴b=4-3a.∴∫ 10f (x )d x=∫10(ax+4-3a )d x =[12ax 2+(4-3a )x]|01=12a+4-3a=1, ∴a=65.∴b=25.∴f (x )=65x+25.答案f (x )=65x+25三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)求定积分∫0-1x2x2+2xd x的值.解∫0-1x2x2+2xd x=∫0-1x2+2x-2xx2+2xd x=∫0-1(1-2x+2)d x=∫0-11d x-∫0-12x+2d x=1-2∫0-11x+2d x=1-2ln(x+2)|-10=1-2ln 2.17(8分)已知曲线f(x)=2x3-3x,过点M(0,32)作曲线f(x)的切线,求切线的方程.解设切点坐标为N(x0,2x03-3x0),由导数的几何意义知切线的斜率k就是切点处的导数值,而f'(x)=6x2-3,所以切线的斜率k=f'(x0)=6x02-3.所以切线方程为y=(6x02-3)x+32.又点N在切线上,所以2x03-3x0=(6x02-3)x0+32,解得x0=-2.故切线方程为y=21x+32.18(9分)求函数y=13x3+3-ln x的单调区间.解函数的定义域为(0,+∞),y'=x2-1x =(x-1)(x2+x+1)x.令y'>0,则{(x-1)(x2+x+1)x>0,x>0,解得x>1;令y'<0,则{(x-1)(x2+x+1)x<0, x>0,解得0<x<1.故函数的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).19(10分)设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).(1)确定a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.解(1)因f(x)=a(x-5)2+6ln x,故f'(x)=2a(x-5)+6x.令x=1,得f(1)=16a,f'(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1),由点(0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a=12.(2)由(1)知,f(x)=12(x-5)2+6ln x(x>0),f'(x)=x-5+6x =(x-2)(x-3)x.令f'(x)=0,解得x1=2,x2=3.当0<x<2或x>3时,f'(x)>0,故f(x)的单调递增区间为(0,2),(3,+∞);当2<x<3时,f'(x)<0,故f(x)的单调递减区间为(2,3).由此可知f(x)在x=2处取得极大值f(2)=92+6ln 2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln 3.20(10分)已知f(x)=a(x-ln x)+2x-1x2,a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a=1时,证明f(x)>f'(x)+32对于任意的x∈[1,2]成立.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞).f'(x )=a-a x −2x 2+2x 3=(ax 2-2)(x -1)x 3. 当a ≤0时,x ∈(0,1)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,x ∈(1,+∞)时,f'(x )<0,f (x )单调递减.当a>0时,f'(x )=a (x -1)x 3(x -√2a )(x +√2a ).①0<a<2时,√2a >1,当x ∈(0,1)或x ∈(√2a ,+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,当x ∈(1,√2a)时,f'(x )<0,f (x )单调递减.②a=2时,√2a =1,在x ∈(0,+∞)内,f'(x )≥0,f (x )单调递增.③a>2时,0<√2a <1,当x ∈(0,√2a )或x ∈(1,+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,当x ∈(√2a ,1)时,f'(x )<0,f (x )单调递减.综上所述,当a ≤0时,f (x )在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减;当0<a<2时,f (x )在(0,1)内单调递增,在(1,√2a)内单调递减,在(√2a,+∞)内单调递增;当a=2时,f (x )在(0,+∞)内单调递增;当a>2时,f (x )在(0,√2a )内单调递增,在(√2a ,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增. (2)由(1)知,a=1时,f (x )-f'(x )=x-ln x+2x -1x 2−(1-1x −2x 2+2x 3)=x-ln x+3x +1x 2−2x 3-1,x ∈[1,2].设g (x )=x-ln x ,h (x )=3x +1x 2−2x 3-1,x ∈[1,2].则f (x )-f'(x )=g (x )+h (x ).由g'(x )=x -1x≥0, 可得g (x )≥g (1)=1, 当且仅当x=1时取得等号.又h'(x )=-3x 2-2x+6x 4, 设φ(x )=-3x 2-2x+6,则φ(x )在x ∈[1,2]单调递减, 因为φ(1)=1,φ(2)=-10,所以∃x 0∈(1,2),使得x ∈(1,x 0)时,φ(x )>0,x ∈(x 0,2)时,φ(x )<0. 所以h (x )在(1,x 0)内单调递增,在(x 0,2)内单调递减.由h (1)=1,h (2)=12,可得h (x )≥h (2)=12, 当且仅当x=2时取得等号.所以f (x )-f'(x )>g (1)+h (2)=32,即f (x )>f'(x )+32对于任意的x ∈[1,2]成立.。
数学选修22课后习题答案
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第一章：函数的概念与性质1. 1. 函数的定义：函数是一个或多个自变量和一个因变量之间的关系，通常用符号f(x)表示。
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
2. 2. 函数的性质：函数可以是奇函数或偶函数。
奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
函数的图像可以是对称的。
3. 3. 函数的图像：函数的图像可以通过绘制函数的曲线来表示。
在坐标系中，自变量表示横轴，因变量表示纵轴。
4. 4. 函数的极值：函数在某个区间内取得最大值或最小值的点称为极值点。
极大值点对应函数的最大值，极小值点对应函数的最小值。
第二章：函数的运算与初等函数1. 1. 函数的四则运算：函数可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
两个函数相加得到的函数称为它们的和函数，两个函数相减得到的函数称为它们的差函数，两个函数相乘得到的函数称为它们的积函数，两个函数相除得到的函数称为它们的商函数。
2. 2. 初等函数：常见的初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
这些函数在数学中具有重要的地位，广泛应用于各个领域。
3. 3. 函数的复合：复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
复合函数可以通过将函数的表达式代入另一个函数来求得。
4. 4. 函数的逆运算：函数的逆运算是指将函数的自变量和因变量互换。
如果一个函数存在逆函数，那么它们的复合函数等于自变量。
第三章：导数与微分1. 1. 导数的定义：函数在某个点的导数表示函数在该点的变化率。
导数可以通过求函数的极限来定义。
高中数学 3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义课后习题 新人教A版选修2-2
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义课时演练·促提升A组1.已知z1=2+i,z2=1-2i,则复数z=z2-z1对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i,故z对应的点为(-1,-3),在第三象限.答案:C2.已知复数z满足z+i-3=3-i,则z等于()A.0B.2iC.6D.6-2i解析:z=3-i-(i-3)=6-2i.答案:D3.若复数z1=a-i,z2=-4+b i,z1-z2=6+i,z1+z2+z3=1(a,b∈R),则z3为()A.-1-5iB.-1+5iC.3-4iD.3+3i解析:∵z1-z2=(a-i)-(-4+b i)=a+4-(1+b)i=6+i,∴a=2,b=-2,∴z3=1-z1-z2=1-2+i+4+2i=3+3i.故选D.答案:D4.若复平面上的▱ABCD中,对应复数6+8i,对应复数为-4+6i,则对应的复数是()A.-1-7iB.2+14iC.1+7iD.2-14i解析:设对应的复数分别为z1与z2,则有于是2z2=2+14i,z2=1+7i,故对应的复数是-1-7i.答案:A5.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形AOB一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析:根据复数加(减)法的几何意义知,以为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故三角形OAB为直角三角形.答案:B6.计算(-1+2i)+(i+i2)-|1+2i|=.解析:原式=-1+2i+(i-1)-=-2+3i-=-(2+)+3i.答案:-(2+)+3i7.已知复数z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(a∈R),且z1-z2为纯虚数,则a=.解析:z1-z2=(a2-a-2)+(a-4+a2-2)i=(a2-a-2)+(a2+a-6)i(a∈R)为纯虚数,所以解得a=-1.答案:-18.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).若z1-z2=13-2i,求z1,z2.解:∵z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=[(3x+y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+3y)]i=(5x-3y)+(x+4y)i,又z1-z2=13-2i,∴(5x-3y)+(x+4y)i=13-2i.∴解得∴z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,z2=[4×(-1)-2×2]-[5×2+3×(-1)]i=-8-7i.9.在复平面内A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.(1)求对应的复数;(2)判断△ABC的形状;(3)求△ABC的面积.解:(1)对应的复数为2+i-1=1+i,对应的复数为-1+2i-(2+i)=-3+i,对应的复数为-1+2i-1=-2+2i.(2)∵||=,||=,||==2,∴||2+||2=||2,∴△ABC为直角三角形.(3)S△ABC=×2=2.B组1.复数z=x+y i(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为()A.2B.4C.4D.16解析:∵复数z=x+y i(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,∴|x+(y-4)i|=|(x+2)+y i|,化简得x+2y=3.∴2x+4y≥2=2=2=4,当且仅当x=2y=时,等号成立.答案:C2.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解析:设复数z与复平面内的点Z相对应,由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3及|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等,由三角形外心的定义可知,点Z即为△ABC的外心.答案:A3.设纯虚数z满足|z-1-i|=3,则z=.解析:∵z为纯虚数,∴设z=b i(b∈R,且b≠0).由|z-1-i|=3,得|-1+(b-1)i|=3.∴1+(b-1)2=9.∴b-1=±2.∴b=1±2.答案:(1±2)i4.已知复数z=x+y i(x,y∈R),且|z-2|=,则的最大值为.解析:∵z=x+y i(x,y∈R),且|z-2|=,∴(x-2)2+y2=3.由图可知.答案:5.已知复平面内的A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,其中θ∈(0,π),设对应的复数是z.(1)求复数z;(2)若复数z对应的点P在直线y=x上,求θ的值.解:(1)∵点A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,∴点A,B的坐标分别是A(sin2θ,1),B(-cos2θ,cos 2θ),∴=(-cos2θ,cos 2θ)-(sin2θ,1)=(-cos2θ-sin2θ,cos 2θ-1)= (-1,-2sin2θ).∴对应的复数z=-1+(-2sin2θ)i.(2)由(1)知点P的坐标是,代入y=x,得-2sin2θ=-,即sin2θ=,∴sin θ=±.又θ∈(0,π),∴sin θ=,∴θ=.6.若z∈C,且|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值.解:设z=x+y i,x,y∈R,由|z+2-2i|=1,得|z-(-2+2i)|=1,表示以(-2,2)为圆心,1为半径的圆,如图所示,则|z-2-2i|=表示圆上的点与定点(2,2)的距离,由数形结合得|z-2-2i|的最小值为3.7.设z1=1+2a i,z2=a-i,a∈R,A={z||z-z1|<},B={z||z-z2|≤2},已知A∩B=⌀,求a的取值范围.解:因为z1=1+2a i,z2=a-i,|z-z1|<,即|z-(1+2a i)|<,|z-z2|≤2,即|z-(a-i)|≤2,由复数减法及模的几何意义知,集合A是以 (1,2a)为圆心,为半径的圆的内部的点对应的复数,集合B是以(a,-1)为圆心,2为半径的圆周及其内部的点所对应的复数,若A∩B=⌀,则两圆圆心距大于或等于半径和,即≥3,解得a≤-2或a≥.中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.2知识点总结含同步练习题及答案
′
解：（1）y ′ = (e3x+2 ) = e3x+2 ⋅ (3x + 2)′ = 3e3x+2 ； （2）y ′ = (ln(2x − 1))′ =
1 2 ． ⋅ (2x − 1)′ = 2x − 1 2x − 1
2.利用导数求函数的切线方程 描述： 利用导数求函数的切线方程 步骤一：求出函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数 f ′ (x0 ) ； 步骤二：根据直线方程的点斜式，得到切线方程为 y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 )． 例题： 求曲线 y = ex + 1 在 (0, 2) 处的切线方程． 解：因为 y = ex + 1，所以 y ′ = ex ，故曲线 y = ex + 1在 (0, 2)处的切线斜率为
解：（1）因为 y =
所以在点 P 处的切线的斜率等于 4 ．所以在点 P 处的切线方程是
y−
即
8 = 4(x − 2), 3
12x − 3y − 16 = 0.
（2）设切点为 (x 0 , y 0 )，则由（1）知切线的斜率 k = x2 ，切线方程为 y − y 0 = x2 (x − x 0 ) ． 0 0 又切线过点 P (2,
8 1 ) 且 (x0 , y 0 ) 在曲线 y = x3 上，所以 3 3 ⎧ ⎪ 8 − y = x2 (2 − x0 ), 0 0 ⎨3 1 ⎪ ⎩ y = x3 , ⎪ 0 3 0 − 3x2 + 4 = 0, x3 0 0
整理得
即
(x0 − 2)2 (x0 + 1) = 0.
【人教B版】高中数学选修2-2学案全集(全册 共65页 附答案)
【人教B版】高中数学选修2-2学案全集（全册共65页附答案）目录1.2 导数的运算1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实际应用1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理2.1.1 合情推理2．1.2 演绎推理2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法3.1.2 复数的概念3.1.3 复数的几何意义3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法1.2 导数的运算1．掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数． 2．熟练运用导数的运算法则．3．正确地对复合函数进行求导，合理地选择中间变量，认清是哪个变量对哪个变量求导数．1．基本初等函数的导数公式表y ＝f (x ) y′＝f′(x )(1)求导公式在以后的求导数中可直接运用，不必利用导数的定义去求． (2)幂函数的求导规律：求导幂减1，原幂作系数．【做一做1－1】给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y′＝133x ；③若y ＝1x2，则y′＝－2x －3；④若y ＝f (x )＝3x ，则f′(1)＝3；⑤若y ＝cos x ，则y′＝sin x ；⑥若y ＝sin x ，则y′＝cos x ．其中正确的个数是( )．A ．3B ．4C ．5D ．6【做一做1－2】下列结论中正确的是( )．A ．(log a x )′＝a xB ．(log a x )′＝ln 10xC ．(5x )′＝5xD ．(5x )′＝5xln 5 2．导数的四则运算法则(1)函数和(或差)的求导法则： 设f (x )，g (x )是可导的，则(f (x )±g (x ))′＝__________，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的____________．(2)函数积的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，则[f (x )g (x )]′＝____________，即两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．由上述法则立即可以得出[Cf (x )]′＝Cf′(x )，即常数与函数之积的导数，等于常数乘以____________．(3)函数的商的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，g (x )≠0，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝________________.(1)比较：[f (x )g (x )]′＝f′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝g (x )f ′(x )－f (x )g ′(x )g 2(x )，注意差异，加以区分．(2)f (x )g (x )≠f ′(x )g ′(x )，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′≠g (x )f ′(x )＋f (x )g ′(x )g 2(x ).(3)两函数的和、差、积、商的求导法则，称为可导函数四则运算的求导法则．(4)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导． 若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．例如，设f (x )＝sin x ＋1x ，g (x )＝cos x －1x，则f (x )，g (x )在x ＝0处均不可导，但它们的和f (x )＋g (x )＝sin x ＋cos x 在x ＝0处可导． 【做一做2】下列求导运算正确的是( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x·log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 3．复合函数的求导法则对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f [g (x )]．如函数y ＝(2x ＋3)2是由y ＝u 2和u ＝2x ＋3复合而成的．复合函数y ＝f [g (x )]的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为 y′x ＝y′u ·u ′x .即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．对于复合函数的求导应注意以下几点：(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量．(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的，而其中要特别注意的是中间变量的导数．如(sin 2x )′＝2cos 2x ，而(sin 2x )′≠cos 2x .(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数．如求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的导数，设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y′x ＝y′u ·u ′x ＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可省略不写． 【做一做3】函数y ＝ln(2x ＋3)的导数为________．1．如何看待导数公式与用定义法求导数之间的关系？剖析：导数的定义本身给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限定义的，因此求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，利用导数公式就可以比较简捷地求出函数的导数．2．导数公式表中y′表示什么？剖析：y′是f′(x )的另一种写法，两者都表示函数y ＝f (x )的导数． 3．如何理解y ＝C (C 是常数)，y′＝0；y ＝x ，y′＝1?剖析：因为y ＝C 的图象是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为本身，所以切线的斜率都是0；因为y ＝x 的图象是斜率为1的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率为1.题型一 利用公式求函数的导数 【例题1】求下列函数的导数：(1)y ＝x x ；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝log 2x 2－log 2x ；(5)y ＝－2sin x2(1－2cos 2x4)．分析：熟练掌握常用函数的求导公式．运用有关的性质或公式将问题转化为基本初等函数后再求导数．反思：通过恒等变形把函数先化为基本初等函数，再应用公式求导． 题型二 利用四则运算法则求导 【例题2】求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6； (2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1.分析：仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形，然后进行求导．反思：对于函数求导问题，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，必须注意变换的等价性，避免不必要的运算错误．题型三 求复合函数的导数 【例题3】求下列函数的导数：(1)y ＝(2x ＋1)n(x ∈N ＋)；(2)y ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 5；(3)y ＝sin 3(4x ＋3)；(4)y ＝x cos x 2.分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，其中还应特别注意中间变量的关系，求导后，要把中间变量转换成自变量的函数．反思：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量．易犯错误的地方是混淆变量，或忘记中间变量对自变量求导．复合函数的求导法则，通常称为链条法则，因为它像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环．题型四 易错辨析易错点：常见函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则等，记忆不牢或不能够灵活运用，所以在求导时容易出错．牢记公式、灵活应用法则是避免求导出错的关键．【例题4】求函数y ＝12(e x ＋e －x)的导数．错解：y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x ＋e －x )′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x ＋e －x)．1下列各组函数中导数相同的是( )． A ．f (x )＝1与f (x )＝xB ．f (x )＝sin x 与f (x )＝cos xC ．f (x )＝1－cos x 与f (x )＝－sin xD ．f (x )＝x －1与f (x )＝x ＋12已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f′(－1)＝4，则a 的值为( )． A ．193 B ．103 C ．133 D ．1633函数y ＝cos xx的导数是( )．A ．－sin xx2 B ．－sin xC ．－x sin x ＋cos x x 2D ．－x cos x ＋cos xx 24设y ＝1＋a ＋1－x (a 是常数)，则y′等于( )．A ．121＋a ＋121－xB ．121－xC ．121＋a －121－xD ．－121－x5已知抛物线y ＝ax 2＋bx －5(a ≠0)，在点(2,1)处的切线方程为y ＝－3x ＋7，则a ＝________，b ＝________.答案：基础知识·梳理1．nxn －1a xln a1x ln acos x －sin x 【做一做1－1】B 由求导公式可知，①③④⑥正确． 【做一做1－2】D2．(1)f′(x )±g′(x ) 导数和(或差) (2)f′(x )g (x )＋f (x )g′(x ) 函数的导数 (3)fx g x －f x gxg 2x【做一做2】B 由求导公式知，B 选项正确.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x′＝x ′＋(x －1)′＝1－x －2＝1－1x2.(3x )′＝3x ln 3，(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x . 【做一做3】y′＝22x ＋3函数y ＝ln(2x ＋3)可看作函数y ＝ln u 和u ＝2x ＋3的复合函数，于是y′x ＝y′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ×2＝22x ＋3.典型例题·领悟【例题1】解：(1)y′＝(x x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32′＝32x 32－1＝32x . (2)y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x5.(3)y′＝(5x 3)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2. (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y′＝(log 2x )′＝1x ln 2. (5)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y′＝cos x .【例题2】解：(1)y′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－3(x 2)′－5x ′－6′＝4x 3－6x －5.(2)y′＝(x ·tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·sin x cos x ′＝x ·sin x ′·cos x －x ·sin x cos x ′cos 2x＝sin x ＋x ·cos x ·cos x ＋x ·sin 2xcos 2x＝sin x ·cos x ＋x ·cos 2x ＋x ·sin 2x cos 2x ＝12sin 2x ＋x cos 2x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin 2x ＋2x 2cos 2x . (3)方法1：y′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝3x 2＋12x ＋11.方法2：y ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， y′＝3x 2＋12x ＋11.(4)方法1：y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝x －1′x ＋1－x －1x ＋1′x ＋12＝x ＋1－x －1x ＋12＝2x ＋12.方法2：y ＝1－2x ＋1， y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′＝－2′x ＋1－2x ＋1′x ＋12＝2x ＋12.【例题3】解：(1)y′＝[(2x ＋1)n]′＝n (2x ＋1)n －1·(2x ＋1)′＝2n (2x ＋1)n －1.(2)y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 5′＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 4·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x ′＝5x4x ＋16.(3)y′＝[sin 3(4x ＋3)]′＝3sin 2(4x ＋3)[sin(4x ＋3)]′＝3sin 2(4x ＋3)·cos(4x ＋3)·(4x ＋3)′＝12sin 2(4x ＋3)cos(4x ＋3)．(4)y′＝(x cos x 2)′＝x ′·cos x 2＋(cos x 2)′·x＝cos x 2－2x 2sin x 2.【例题4】错因分析：y ＝e －x 的求导错误，y ＝e －x 由y ＝e u与u ＝－x 复合而成，因此其导数应按复合函数的求导法则进行．正解：令y ＝e u ，u ＝－x ，则y′x ＝y′u ·u ′x ，所以(e －x )′＝(e u )′(－x )′＝e －x×(－1)＝－e －x，所以y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋e －x ′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x －e －x )． 随堂练习·巩固1．D2．B f′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103.3．C y′＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝xx －cos x ·x ′x ＝－x sin x －cos xx ＝－x sin x ＋cos xx 2.4．D 由x 是自变量，a 是常数，可知(1＋a )′＝0，所以y′＝(1＋a )′＋(1－x )′＝[(1－x )12]′＝12(1－x )－12·(1－x )′＝－121－x .5．－3 9 ∵y′＝2ax ＋b ，∴y′|x ＝2＝4a ＋b ，∴方程y －1＝(4a ＋b )(x －2)与方程y ＝－3x ＋7相同，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝－3，1－a ＋b ＝7，即4a ＋b ＝－3，又点(2,1)在y ＝ax 2＋bx －5上， ∴4a ＋2b －5＝1.即4a ＋2b ＝6.由⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝－3，4a ＋2b ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝9.1.3.1 利用导数判断函数的单调性1．理解可导函数单调性与其导数的关系，会用导数确定函数的单调性． 2．通过比较体会用导数求函数单调区间的优越性．用函数的导数判定函数单调性的法则1．如果在(a ，b )内，f′(x )＞0，则f (x )在此区间是______，(a ，b )为f (x )的单调增区间；2．如果在(a ，b )内，f′(x )＜0，则f (x )在此区间是______，(a ，b )为f (x )的单调减区间．(1)在(a ，b )内，f′(x )＞0(＜0)只是f (x )在此区间是增(减)函数的充分条件而非必要条件．(2)函数f (x )在(a ，b )内是增(减)函数的充要条件是在(a ，b )内f′(x )≥0(≤0)，并且f′(x )＝0在区间(a ，b )上仅有有限个点使之成立．【做一做1－1】已知函数f (x )＝1＋x －sin x ，x ∈(0,2π)，则函数f (x )( )． A ．在(0,2π)上是增函数 B ．在(0,2π)上是减函数C ．在(0，π)上是增函数，在(π，2π)上是减函数D ．在(0，π)上是减函数，在(π，2π)上是增函数【做一做1－2】设f′(x )是函数f (x )的导数，f′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象最有可能是( )．1．函数的单调性与其导数有何关系？剖析：(1)求函数f(x)的单调增(或减)区间，只需求出其导函数f′(x)＞0(或f′(x)＜0)的区间．(2)若可导函数f(x)在(a，b)内是增函数(或减函数)，则可以得出函数f(x)在(a，b)内的导函数f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．2．利用导数判断函数单调性及单调区间应注意什么？剖析：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题时只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．(2)在对函数划分单调区间时，要注意定义域内的不连续点和不可导点．(3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．题型一求函数的单调区间【例题1】求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x－x3；(2)f(x)＝x ax－x2(a＞0)．分析：先求f′(x)，然后解不等式f′(x)＞0得单调增区间，f′(x)＜0得单调减区间．反思：运用导数讨论函数的单调性需注意如下几点：(1)确定函数的定义域，解决问题时，只能在函数的定义域内，通过讨论函数导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)在对函数划分单调区间时，要注意定义域内的不连续点和不可导点；(3)在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件．题型二根据函数的单调性求参数的取值范围【例题2】已知函数f(x)＝2ax－1x2，x∈(0,1]，若f(x)在x∈(0,1]上是增函数，求a 的取值范围．分析：函数f(x)在(0,1]上是增函数，则f′(x)≥0在(0,1]上恒成立．反思：函数f(x)在区间M上是增(减)函数，即f′(x)≥0(≤0)在x∈M上恒成立．题型三证明不等式【例题3】已知x＞1，求证：x＞ln(1＋x)．分析：构造函数f(x)＝x－ln(1＋x)，只要证明在x∈(1，＋∞)上，f(x)＞0恒成立即可．反思：利用可导函数的单调性证明不等式，是不等式证明的一种重要方法，其关键在于构造一个合理的可导函数．此法的一般解题步骤为：令F(x)＝f(x)－g(x)，x≥a，其中F(a)＝f(a)－g(a)＝0，从而将要证明的不等式“当x＞a时，f(x)＞g(x)”转化为证明“当x＞a时，F(x)＞F(a)”．题型四易错辨析易错点：应用导数求函数的单调区间时，往往因忘记定义域的限制作用从而导致求解结果错误，因此在求函数的单调区间时需先求定义域．【例题4】求函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调减区间．错解：f′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ，令4x 2－1x ＜0，得x ＜－12或0＜x ＜12，所以函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.1在区间(a ，b )内f′(x )＞0是f (x )在(a ，b )内为增函数的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( )． A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2 B ．(π，2π)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π)3若f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 为增函数，则一定有( )．A ．b 2－4ac ≤0 B．b 2－3ac ≤0C ．b 2－4ac ≥0 D．b 2－3ac ≥04如果函数f (x )＝－x 3＋bx (b 为常数)在区间(0,1)上是增函数，则b 的取值范围是__________．5函数y ＝－13x 3＋x 2＋5的单调增区间为________，单调减区间为________．答案：基础知识·梳理 1．增函数 2．减函数 【做一做1－1】A f′(x )＝1－cos x ，当x (0,2π)时，f′(x )＞0恒成立，故f (x )在(0,2π)上是增函数．【做一做1－2】C 由f′(x )的图象知，x (－∞，0)或x (2，＋∞)时，f′(x )＞0，故f (x )的增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，同理可得f (x )的减区间为(0,2)．典型例题·领悟【例题1】解：(1)f (x )′＝1－3x 2.令1－3x 2＞0，解得－33＜x ＜33.因此函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33. 令1－3x 2＜0，解得x ＜－33或x ＞33.因此函数f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞. (2)由ax －x 2≥0得0≤x ≤a ，即函数的定义域为[0，a ]．又f (x )′＝ax －x 2＋x ×12(ax －x 2)－12·(a －2x )＝－4x 2＋3ax 2ax －x2， 令f (x )′＞0，得0＜x ＜3a 4；令f (x )′＜0，得x ＜0或x ＞34a ，又x [0，a ]，∴函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a 4，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 4，a .【例题2】解：由题意，得f′(x )＝2a ＋2x3.。
(完整版)数学选修2-2练习题及答案
目录：数学选修2-2第一章 导数及其应用 [基础训练A 组] 第一章 导数及其应用 [综合训练B 组] 第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 第二章 推理与证明 [基础训练A 组] 第二章 推理与证明 [综合训练B 组]第二章 推理与证明 [提高训练C 组] 第三章 复数 [基础训练A 组] 第三章 复数 [综合训练B 组]第三章 复数 [提高训练C 组]（数学选修2-2）第一章 导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3yx x 的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。
2014-2015学年 高中数学 人教A版选修2-2 复数课后作业含答案
§3.1 数系的扩充和复数的概念3．1.1 数系的扩充和复数的概念一、基础过关1． “复数a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数”是“a ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2． 下列命题正确的是( )A ．若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数B ．若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋iC ．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1D ．两个虚数不能比较大小3． 以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( )A ．2－2iB ．－5＋5iC ．2＋iD ．5＋5i 4． 若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的值为( )A ．12B ．2C ．0D ．15． 若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－1或1二、能力提升6． 若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )A ．2k π－π4(k ∈Z )B ．2k π＋π4(k ∈Z )C ．2k π±π4(k ∈Z )D ．k 2π＋π4(k ∈Z )7．z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝______，n ＝______. 8． 给出下列几个命题：①若x 是实数，则x 可能不是复数； ②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根． 则其中正确命题的个数为________．9． 已知集合M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数a ＝________. 10．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．11．已知(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值．12．设z 1＝m 2＋1＋(m 2＋m －2)i ，z 2＝4m ＋2＋(m 2－5m ＋4)i ，若z 1<z 2，求实数m 的取值范围．三、探究与拓展13．如果log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，如何求自然数m ，n 的值？3.1.2 复数的几何意义一、基础过关1． 复数z ＝3＋i 3对应的点在复平面第几象限( )A ．一B ．二C ．三D ．四2． 当0<m <1时，z ＝(m ＋1)＋(m －1)i 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是 ( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i4． 已知复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，当a ＝0时，复平面内的点z 的轨迹是( )A ．实轴B ．虚轴C ．原点D ．原点和虚轴5．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1＋3IC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i6．若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i(k ∈R )所对应的点在第三象限，则k 的取值范围是________． 二、能力提升7． 若θ∈(3π4，5π4)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 8． 复数z ＝icos θ，θ∈[0,2π)的几何表示是( )A ．虚轴B ．虚轴除去原点C ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(0,1)，(0，－1)D ．C 中线段PQ ，但应除去原点9．复数z ＝log 123＋ilog 3 12对应的点位于复平面内的第______象限．10．若复数z 1＝1－i ，z 2＝3－5i ，则复平面上与z 1，z 2对应的点Z 1与Z 2的距离为________． 11．复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则|z |＝______.12．当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点：（1）位于第四象限； （2）位于x 轴负半轴上； （3）在上半平面(含实轴)．13．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°且复数z 的模为2，求复数z .三、探究与拓展14．（1）满足条件|z －i|＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆（2）已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则yx的最大值为________．§3.2 复数代数形式的四则运算3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义一、基础过关1． 若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i 2． 复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( )A ．2B ．2＋2iC ．4＋2iD ．4－2i 4． 设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( )A ．1＋iB ．2＋IC ．3D ．－2－i 5． 已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( )A ．－3iB ．3iC ．±3iD ．4i6． 计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 008＋2 009i)＋(2 009－2 010i)＋(－2 010＋2011i)．二、能力提升7． 若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P ，Q ，则向量PQ →对应的复数是____．8． 如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是________． 9． 若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________．10．设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．11．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．12．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．三、探究与拓展13．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.（1）求AB →，BC →，AC →对应的复数； （2）判断△ABC 的形状； （3）求△ABC 的面积．3.2.2 复数代数形式的乘除运算一、基础过关 1． 复数－i ＋1i等于( )A ．－2iB ．12I C ．0D ．2i 2． i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i7等于( )A ．0B ．2iC ．－2iD ．4i3． 若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－14． 在复平面内，复数i1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于 ( )A ．34B ．43C ．－43D ．－346． 若z ＝1＋2ii，则复数z 等于( )A ．－2－iB ．－2＋IC ．2－iD ．2＋i二、能力提升7．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________． 8．复数2i－1＋3i的虚部是________．9．已知z 是纯虚数，z ＋21－i 是实数，那么z=________．10．计算：（1）2＋2i (1－i )2＋(21＋i)2 010； （2）(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)．11．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.12．已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝101－3i ，求z .探究与拓展13．已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b 、c 为实数)．（1）求b ，c 的值；（2）试说明1－i 也是方程的根吗？习题课一、基础过关1． 复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是( )A ．15iB ．15C ．－15iD ．－152． 复数2＋i1－2i的共轭复数是( )A ．－35iB ．35I C ．－iD ．i3． 若(m 2－5m ＋4)＋(m 2－2m )i>0，则实数m 的值为( )A ．1B ．0或2C ．2D ．04． 设a ，b ∈R 且b ≠0，若复数(a ＋b i)3是实数，则( )A ．b 2＝3a 2B ．a 2＝3b 2C ．b 2＝9a 2D ．a 2＝9b 2 5． 设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D ．126． 复平面内点A 、B 、C 对应的复数分别为i 、1、4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则|BD →|等于( )A ．5B ．13C ．15D ．17二、能力提升7．已知复数z ＝2－i1－i ，其中i 是虚数单位，则|z |＝________.8．已知(a －i)2＝2i ，那么实数a ＝________.9．设复数z 满足条件|z |＝1，那么|z ＋22＋i|的最大值是________．10．已知a ∈R ，则z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹是什么？11．设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．12．在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数是2＋i.（1）如果点A 关于实轴的对称点为B ，求向量OB →对应的复数； （2）如果（1）中点B 关于虚轴的对称点为C ，求点C 对应的复数．三、探究与拓展13．是否存在复数z ，使其满足z ·z ＋2i z ＝3＋a i ？如果存在，求实数a 的取值范围；如果不存在，请说明理由．章末检测一、选择题1． i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( )A ．i ∈SB ．i 2∈SC ．i 3∈SD ．2i∈S2． z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 3． i 是虚数单位，复数3＋i1－i等于( )A ．1＋2iB ．2＋4iC ．－1－2iD ．2－i 4． 已知a 是实数，a －i1＋i是纯虚数，则a 等于( )A ．1B ．－1C ． 2D ．－ 2 5． 若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 等于( )A ．－2＋iB ．2＋iC ．1－2iD ．1＋2i 6． (1＋i)20－(1－i)20的值是( )A ．－1 024B ．1 024C ．0D ．1 024i7． i 是虚数单位，若1＋7i2－i＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则ab 的值是( )A ．－15B ．3C ．－3D ．158． 若z 1＝(x －2)＋y i 与z 2＝3x ＋i(x ，y ∈R )互为共轭复数，则z 1对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9． 已知f (n )＝i n －i －n (n ∈N *)，则集合{f (n )}的元素个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．无数个二、填空题10．复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是________． 11．给出下面四个命题：①0比－i 大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；④如果让实数a 与a i 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中真命题的个数是________．12．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是______． 13．下列说法中正确的序号是________．①若(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，其中x ∈R ，y ∈∁C R ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y1＝－(3－y )；②2＋i>1＋i ； ③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；④若一个数是实数，则其虚部不存在； ⑤若z ＝1i ，则z 3＋1对应的点在复平面内的第一象限．三、解答题14．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时，（1）z 是实数？（2）z 是纯虚数？15．已知复数z 1＝1－i ，z 1·z 2＋z 1＝2＋2i ，求复数z 2.16．计算：（1）(2＋2i )4(1－3i )5；（2）(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.17．实数m 为何值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 对应的点在：（1）x 轴上方；（2）直线x ＋y ＋5＝0上．18．已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2.（1）求复数z ；（2）设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．19．设z 1是虚数，z 2＝z 1＋1z 1是实数，且－1≤z 2≤1.（1）求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围； （2）若ω＝1－z 11＋z 1，求证：ω为纯虚数．复数参考答案第一节1．A 2．D 3．A 4．D 5．A 6．B 7．2 ±2 8．1 9．－110．解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0. 故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0， 所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0. 故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0m ＋3≠0m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1.所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数．11．解 ∵(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，y －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2. 所以实数x ，y 的值分别为12，2.12．解 由于z 1<z 2，m ∈R ，∴z 1∈R 且z 2∈R ，当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0，m ＝1或m ＝－2.当z 2∈R 时，m 2－5m ＋4＝0， m ＝1或m ＝4，∴当m ＝1时，z 1＝2，z 2＝6，满足z 1<z 2. ∴z 1<z 2时，实数m 的取值为m ＝1.13．解 因为log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，所以log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i 是实数，从而有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0， ①log 12(m ＋n )>－1， ② 由①得m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1； 当m ＝3时，代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾， 综上可得m ＝0，n ＝1.第二节1．D 2．D 3．C 4．B 5．A 6．2<k <6或－6<k <－2 7．B 8．C 9．三 10．2 5 11．212．解 (1)要使点位于第四象限，须⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0m 2＋3m －28<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m <3或m >5－7<m <4，∴－7<m <3. (2)要使点位于x 轴负半轴上，须⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0m 2＋3m －28＝0，∴⎩⎨⎧3<m <5m ＝－7或m ＝4，∴m ＝4. (3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m 2＋3m －28≥0，解得m ≥4或m ≤－7.13．解 根据题意可画图形如图所示：设点Z 的坐标为(a ，b )， ∵|OZ →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°， ∴a ＝－1，b ＝3， 即点Z 的坐标为(－1，3)， ∴z ＝－1＋3i. 14．(1)C(2) 3第三节1．D 2．B 3．C 4．D 5．B6．解 原式＝(1－2＋3－4＋…－2 008＋2 009－2 010)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2 009－2 010＋2 011)i ＝－1 005＋1 005i. 7．3＋i 8.115＋3i 9．110．解 ∵z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，∴z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋m m ＋2－2＋[(m －15)＋m (m －3)]i ＝m 2－m －4m ＋2＋(m 2－2m －15)i.∵z 1＋z 2为虚数，∴m 2－2m －15≠0且m ≠－2， 解得m ≠5，m ≠－3且m ≠－2(m ∈R )． 11．解 ∵AC →＝BC →－BA →，∴AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ， 设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ， ∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ，故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．12．解 方法一 设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )，则D (x ，y )，又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)． ∴AC 中点为⎝⎛⎭⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12. ∵平行四边形对角线互相平分，∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x 22＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.方法二 设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ，又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ， 由于AD →＝BC →.∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5. 即点D 对应的复数为3＋5i.13．解 (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ， AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i ， (2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22， ∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2， ∴△ABC 为直角三角形． (3)S △ABC ＝12×2×22＝2.第四节1．A 2．A 3．D 4．B 5．A 6．D 7．1 8．－129．－2i10．解 (1)2＋2i(1－i )2＋(21＋i )2 010＝2＋2i －2i＋(22i ) 1 005＝i(1＋i)＋(1i )1 005＝－1＋i ＋(－i)1 005＝－1＋i －i ＝－1.(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i) ＝22－14i ＋25－25i ＝47－39i. 11．解 (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1z 2＝(2－i)·(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i ， ∵z 1z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i. 12．解 z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i.又z ·z －3i z ＝101－3i，∴a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝10(1＋3i )10，∴a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3. ∴z ＝－1，或z ＝－1－3i.13．解 (1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根，∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0， 即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝02＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝2.∴b 、c 的值为b ＝－2，c ＝2. (2)方程为x 2－2x ＋2＝0.把1－i 代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i 也是方程的一个根． 第五节1．B 2．C 3．D 4．A 5．A 6．B 8．－1 9．410．解 由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，∴复数z 的实部为正数，虚部为负数，因此，复数z 的对应点在第四象限． 设z ＝x ＋y i (x 、y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)消去a 2－2a 得：y ＝－x ＋2 (x ≥3)．∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线， 方程为y ＝－x ＋2 (x ≥3)．11．解 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i＝(3－i )(2－i )5＝1－i.因为z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ， 所以(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i. 所以(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1，解得a ＝－3，b ＝4.即实数a ，b 的值分别是－3,4.12．解 (1)设所求向量OB →对应的复数为z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则点B 的坐标为(a ，b )．已知A (2,1)，由对称性可知a ＝2，b ＝－1. 所以OB →对应的复数为z 1＝2－i.(2)设所求点C 对应的复数为z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，则C (c ，d )． 由(1)，得B (2，－1)．由对称性可知，c ＝－2，d ＝－1. 故点C 对应的复数为z 2＝－2－i.13．解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则原条件等式可化为x 2＋y 2＋2i(x －y i)＝3＋a i.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2y ＝3，2x ＝a .消去x ，得y 2＋2y ＋a 24－3＝0. 所以当Δ＝4－4⎝⎛⎭⎫a 24－3＝16－a 2≥0， 即－4≤a ≤4时，复数z 存在．故存在满足条件的复数z ，且实数a 的取值范围为－4≤a ≤4.章末检测答案1．B 2．A 3．A 4．A 5．B 6．C 7．C 8．C 9．B 10．(3,4) 11．0 12．(1，5) 13．⑤14．解 (1)要使复数z 为实数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2或－1.即当m ＝－2或－1时，z 是实数．(2)要使复数z 为纯虚数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3.即当m ＝3时，z 是纯虚数．15．解 因为z 1＝1－i ，所以z 1＝1＋i ，所以z 1·z 2＝2＋2i －z 1＝2＋2i －(1＋i)＝1＋i. 设z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 由z 1·z 2＝1＋i ， 得(1－i)(a ＋b i)＝1＋i ， 所以(a ＋b )＋(b －a )i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1b －a ＝1，解得a ＝0，b ＝1， 所以z 2＝i.16．解 (1)原式＝16(1＋i )4(1－3i )4(1－3i )＝16(2i )2(－2－23i )2(1－3i )＝－644(1＋3i )2(1－3i )＝－16(1＋3i )×4 ＝－41＋3i＝－1＋3i. (2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i. 17．解 (1)若z 对应的点在x 轴上方，则m 2－2m －15>0，解得m <－3或m >5.(2)复数z 对应的点为(m 2＋5m ＋6，m 2－2m －15)， ∵z 对应的点在直线 x ＋y ＋5＝0上，∴(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0， 整理得2m 2＋3m －4＝0，。
()新课程人教版高中数学选修22课后习题解答(全)
第一章导数及其应用3．1变化率与导数练习〔P6〕在第3h和5h时，原油温度的瞬时变化率分别为1和3.它说明在第3h附近，原油温度大约以1℃／h的速度下降；在第5h时，原油温度大约以3℃／h的速率上升.练习〔P8〕函数h(t)在t t3附近单调递增，在t t4附近单调递增.并且，函数h(t)在t4附近比在t3附近增加得慢.说明：体会“以直代曲〞的思想.练习〔P9〕函数r(V)33V(0V5)的图象为4根据图象，估算出r(0.6)，r(1.2).说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数.习题A组〔P10〕1、在t0处，虽然W1(t0)W2(t0)，然而W1(t0)W1(t0t)W2(t0)W2(t0t).t t所以，企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.h h(1t)h(1)t，所以，h(1).2、tt这说明运发动在t1s附近以m／s的速度下降.3、物体在第5s的瞬时速度就是函数s(t)在t5时的导数.s s(5t)s(5)t10，所以，s(5)10.t t因此，物体在由题意可知，当t时， 2.所以k25，于是25t2. 88新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答〔第1页共25页〕车轮转动开始后第s 时的瞬时角速度就是函数 (t)在t 时的导数.t) (3.2)25(3.2) 20.ttt20，所以8因此，车轮在开始转动后第s 时的瞬时角速度为20s 1.说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的稳固.5、由图可知，函数f(x)在x 5处切线的斜率大于零，所以函数在x 5附近单调递增.同理可得，函数f(x)在x 4， 2，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减.说明：“以直代曲〞思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数 f(x)的图象如图〔1〕所示；第二个函数的导数f(x)恒大于零，并且随着x 的增加，f (x)的值也在增加；对于第三个函数，当x 小于零时，f(x)小于零，当x 大于零时，f(x)大于零，并且随着x 的增加，f (x)的值也在增加.以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：此题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系 . 习题3.1 B 组〔P11〕1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是 速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度 .2、说明：由给出的 v(t)的信息获得s(t)的相关信息，并据此画出 s(t)的图象的大致形状 .这个 过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换 . 3、由〔1〕的题意可知，函数 f(x)的图象在点(1,5)处的切线斜率为 1，所以此点附近曲线呈下降趋势.首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象 .同理可得〔2〕〔3〕某 点处函数图象的大致形状 .下面是一种参考答案 .新课程标准数学选修 2—2第一章课后习题解答〔第2页共25页〕说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟.此题的答案不唯一.1．2导数的计算练习〔P18〕1、f(x)2x7，所以，f(2)3，f(6) 5.2、〔1〕y1；〔2〕y2e x；xln2〔3〕y10x46x；〔4〕y3sinx4cosx；〔5〕y1sin x；〔6〕y211.33x习题A组〔P18〕S S(r r)S(r)r r，所以，S(r)lim(2r r)2r.1、2r r r02、h(t).3、r(V)1332. 34V4、〔1〕y3x21；〔2〕y nx n1e x x n e x；xln2〔3〕y3x2sinx x3cosx cosx；〔4〕y99(x1)98；sin2x〔5〕y2e x；〔6〕y2sin(2x5)4xcos(2x5).5、f(x)822x.由f(x0)4有4822x0，解得x032.6、〔1〕y lnx1；〔2〕yx1.7、y x1.8、〔1〕氨气的散发速度A(t)500ln t.〔2〕A(7)，它表示氨气在第7天左右时，以克／天的速率减少.新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答习题1.2 B组〔P19〕1、〔1〕〔2〕当h越来越小时，y sin(xh)sinx就越来越逼近函数ycosx. h〔3〕y sinx的导数为y cosx.2、当y0时，x0.所以函数图象与x轴交于点P(0,0).yx，所以y x0. e1所以，曲线在点P处的切线的方程为y x.2、d(t)4sint.所以，上午6:00时潮水的速度为m／h；上午9:00时潮水的速度为m／h；中午12:00时潮水的速度为m／h；下午6:00时潮水的速度为m／h. 1．3导数在研究函数中的应用练习〔P26〕1、〔1〕因为f(x)x22x4，所以f(x)2x 2.当f(x)0，即x1时，函数f(x)x22x4单调递增；当f(x)0，即x1时，函数f(x)x22x4单调递减.〔2〕因为f(x)e x x，所以f(x)e x 1.当f(x)0，即x0时，函数f(x)e x x单调递增；当f(x)0，即x0时，函数f(x)e x x单调递减.〔3〕因为f(x)3x x3，所以f(x)33x2.当f(x)0，即1x1时，函数f(x)3x x3单调递增；当f(x)0，即x1或x1时，函数f(x)3x x3单调递减.〔4〕因为f(x)x3x2x，所以f(x)3x22x 1.当f(x)0，即x 1或x1时，函数f(x)x3x2x单调递增；3新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答当f(x)0，即1 x1时，函数f(x) x 3 x2 x 单调递减.32、注：图象形状不唯一.3、因为f(x) ax 2bx c(a0)，所以f(x)2axb.〔1〕当a0时，f(x)0，即xb 时，函数f(x)ax 2 bx c(a 0)单调递增；2af(x) 0，即xb时，函数f(x)ax 2 bx c(a0)单调递减.〔2〕当a0时，2af(x)0，即xb 时，函数f(x)ax 2 bx c(a0)单调递增；2af(x)0，即xb时，函数f(x)ax 2 bx c(a 0)单调递减.2a4、证明：因为f(x)2x 3 6x 2 7，所以f (x) 6x 2 12x.当x(0,2)时，f(x) 6x 2 12x 0，因此函数f(x)2x 36x 2 7在(0,2)内是减函数.练习〔P29〕1、x 2,x 4是函数y f(x)的极值点，其中xx 2是函数yf(x)的极大值点，xx 4是函数y f(x)的极小值点.2、〔1〕因为f(x) 6x 2x2，所以f(x)12x 1.令f(x)12x10，得x1.12当x1时，f (x)0，f(x)单调递增；当x1 时，f(x)0，f(x)单调递减.12 112 11)2149. 所以，当x时，f(x)有极小值，并且极小值为f( )6 ( 212 12121224〔2〕因为f(x)x 3 27x ，所以f (x)3x 227.令f(x)3x 2270，得x3.下面分两种情况讨论：①当f(x)0，即x3或x3时；②当f (x) 0，即3x3时.当x 变化时，f (x)，f(x)变化情况如下表：x(,3)3(3,3)3(3,)f(x)＋0－0＋f(x)单调递增54单调递减54单调递增因此，当x3时，f(x)有极大值，并且极大值为54；当x3时，f(x)有极小值，并且极小值为54.〔3〕因为f(x)612xx3，所以f(x)123x2.令f(x)123x20，得x2.下面分两种情况讨论：①当f(x)0，即2x2时；②当f(x)0，即x2或x2时.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x(,2)2(2,2)2(2,)f(x)－0＋0－f(x)单调递减10单调递增22单调递减因此，当x2时，f(x)有极小值，并且极小值为10；当x2时，f(x)有极大值，并且极大值为22〔4〕因为f(x)3x x3，所以f(x)33x2.令f(x)33x20，得x1.下面分两种情况讨论：①当f(x)0，即1x1时；②当f(x)0，即x1或x1时.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x(,1)1(1,1)1(1,)f(x)－0＋0－f(x)单调递减2单调递增2单调递减因此，当x1时，f(x)有极小值，并且极小值为2；当x1时，f(x)有极大值，并且极大值为2练习〔P31〕〔1〕在[0,2]上，当x 1时，f(x)6x2x2有极小值，并且极小值为f(1)49. 121224又由于f(0)2，f(2)20.因此，函数f(x)6x2x2在[0,2]上的最大值是20、最小值是49.24〔2〕在[4,4]上，当x3时，f(x)x327x有极大值，并且极大值为f(3)54；当x3时，f(x)x327x有极小值，并且极小值为f(3)54；又由于f(4)44，f(4)44.因此，函数f(x)x327x在[4,4]上的最大值是54、最小值是54.〔3〕在[1,3]上，当x2时，f(x)612x x3有极大值，并且极大值为f(2)22.31)55又由于f(，f(3)15.327因此，函数f(x)612x x3在[1,3]上的最大值是22、最小值是55. 327〔4〕在[2,3]上，函数f(x)3x x3无极值.因为f(2)2，f(3)18.因此，函数f(x)3x x3在[2,3]上的最大值是2、最小值是18.习题A组〔P31〕1、〔1〕因为f(x)2x1，所以f(x)20.因此，函数f(x)2x1是单调递减函数.〔2〕因为f(x)xcosx，x(0,2)，所以f(x)1sinx0，x(0,).2因此，函数f(x)x cosx在(0,)上是单调递增函数.2〔3〕因为f(x)2x4，所以f(x)20.因此，函数f(x)2x4是单调递减函数.〔4〕因为f(x)2x34x，所以f(x)6x240.因此，函数f(x)2x34x是单调递增函数.2、〔1〕因为f(x)x 2 2x4，所以f(x)2x 2.当f(x) 0，即x 1时，函数f(x) x 2 2x4单调递增.当f(x)0 ，即x1 时，函数f(x) x2 2x 4 单调递减.〔2〕因为f(x)2x 2 3x 3，所以f(x) 4x 3.当f(x)0 ，即x3时，函数f(x)2x 2 3x 3 单调递增.4当f(x)0 ，即x3时，函数f(x)2x 2 3x 3 单调递减.4〔3〕因为f(x)3x x 3，所以f(x)33x 2 0.因此，函数 f(x)3x x 3是单调递增函数.〔4〕因为f(x)x 3 x 2 x ，所以f(x) 3x 2 2x 1.当f(x)0，即x 1或x 1时，函数f(x) x 3 x 2 x 单调递增.3 当f(x)0 ，即 1 x1时，函数f(x)x 3 x 2x 单调递减.33、〔1〕图略.〔2〕加速度等于0.4、〔1〕在x x 2处，导函数yf (x)有极大值；〔2〕在xx 1和x x 4处，导函数yf(x)有极小值；3〕在xx 3处，函数yf(x)有极大值；4〕在xx 5处，函数yf(x)有极小值.5、〔1〕因为f(x) 6x 2 x 2 ，所以f(x)12x1.令f(x)12x10，得x1.1时，f12当x (x) 0 ，f(x)单调递增；12当x 1时，f (x) 0 ，f(x)单调递减.12所以，x1 时，f(x)有极小值，并且极小值为f( 1)6(1)2 1 2 49.121212 1224〔2〕因为f(x) x 312x ，所以f(x)3x 212.令f(x)3x 2 12 0，得x2.下面分两种情况讨论：新课程标准数学选修 2—2第一章课后习题解答①当f(x)0，即x2或x2时；②当f(x)0，即2x2时.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x(,2)2(2,2)2(2,)f(x)＋0－0＋f(x)单调递增16单调递减16单调递增因此，当x2时，f(x)有极大值，并且极大值为16；当x2时，f(x)有极小值，并且极小值为16.〔3〕因为f(x)612xx3，所以f(x)123x2.令f(x)123x20，得x2.下面分两种情况讨论：①当f(x)0，即x2或x2时；②当f(x)0，即2x2时.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x(,2)2(2,2)2(2,)f(x)＋0－0＋f(x)单调递增22单调递减10单调递增因此，当x2时，f(x)有极大值，并且极大值为22；当x2时，f(x)有极小值，并且极小值为10.〔4〕因为f(x)48x x3，所以f(x)483x2.令f(x)483x20，得x4.下面分两种情况讨论：①当f(x)0，即x2或x2时；②当f(x)0，即2x2时.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x(,4)4(4,4)4(4,)f(x)－0＋0－f(x)单调递减 128 单调递增 128 单调递减因此，当x4时，f(x)有极小值，并且极小值为 128；当x4时，f(x)有极大值，并且极大值为128.6、〔1〕在[1,1] 上，当x1 时，函数f(x)6x2 x2 有极小值，并且极小值为 47.1224由于f( 1) 7 ，f(1)9，所以，函数f(x)6x2x 2在[ 1,1]上的最大值和最小值分别为9，47.24〔2〕在[3,3] 上，当x2时，函数f(x)x 312x 有极大值，并且极大值为16；当x2时，函数f(x) x 3 12x 有极小值，并且极小值为16.由于f(3) 9 ，f(3)9 ，所以，函数f(x)x 3 12x 在[ 3,3]上的最大值和最小值分别为16，16 .〔3〕在[1,1]上，函数f(x)612xx 3在[1,1]上无极值.31)269，f(1)3由于f(5，3 27所以，函数f(x)612xx 3在[1,1]上的最大值和最小值分别为269，5.327〔4〕当x4时，f(x)有极大值，并且极大值为128..由于f( 3) 117，f(5) 115，所以，函数f(x)48xx 3在[ 3,5] 上的最大值和最小值分别为128，117.习题B 组〔P32〕1、〔1〕证明：设f(x) sinx x ，x(0, ).因为f (x) cosx 1 0，x (0,)所以f(x) sinx x 在(0, )内单调递减因此f(x)sinx xf(0)0 ，x(0,)，即sinxx ，x(0,). 图略〔2〕证明：设f(x) x x 2，x (0,1) .因为f (x) 1 2x ，x (0,1)新课程标准数学选修 2—2第一章课后习题解答〔第10页共25页〕所以，当x(0, 1 )时，f (x) 1 2x 0 ，f(x)单调递增，2f(x)x x 2 f(0)0；当x (1,1)时，f (x) 1 2x 0，f(x)单调递减，2f(x) x x 2 f(1)0 ；又f(1)1 0.因此，x x 2 0 ，x(0,1).图略24〔3〕证明：设f(x)e x 1 x ，x0.因为f(x) e x 1，x所以，当x0时，f(x)e x 1 0，f(x)单调递增，f(x)e x 1 xf(0)0；当x 0 时，f(x)e x 1 0，f(x)单调递减，f(x)e x 1 xf(0) 0；综上，e x1 x ，x0.图略〔4〕证明：设f(x)lnx x ，x 0 .因为f(x)1 1，xx所以，当0x 1时，f (x)1 10，f(x)单调递增，xf(x) lnx x f(1)1 0；当x 1 时，f(x)1 1 0，f(x)单调递减，xf(x) lnx x f(1) 1 0；当x 1 时，显然ln1 1 . 因此，lnxx .由〔3〕可知， e x x 1 x ，x0..综上，lnxx e x ，x图略2、〔1〕函数f(x)ax 3 bx 2 cx d 的图象大致是个“双峰〞图象，类似“〞或“〞的形状. 假设有极值，那么在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.〔2〕因为f(x)ax 3bx 2 cx d ，所以f (x) 3ax 22bxc.新课程标准数学选修 2—2第一章课后习题解答〔第11页共25页〕下面分类讨论：当a0时，分a 0 和a 0两种情形：①当a 0，且b 23ac 0 时，设方程f(x) 3ax 2 2bx c0的两根分别为x 1,x 2，且x 1x 2，当f (x) 3ax 2 2bx c 0 ，即x x 1或x x 2时，函数f(x) ax 3 bx 2cx d 单调递增；当f (x)3ax 2 2bx c 0，即x 1 xx 2时，函数f(x) ax 3 bx 2 cx d 单调递减.当a 0，且b 2 3ac 0 时，此时 f(x)3ax 22b xc 0，函数f(x)ax 3 bx 2 cx d 单调递增.②当a 0，且b 2 3ac 0时，设方程f(x) 3ax 2 2bx c0的两根分别为x 1,x 2，且x 1x 2，当f (x) 3ax 2 2bx c 0 ，即x 1 xx 2时，函数f(x) ax 3 bx 2 cx d 单调递增；当f (x)3ax 2 2bx c 0 ，即x x 1或x x 2时，函数f(x)ax 3bx 2 cx d 单调递减.当a 0，且b 2 3ac 0 时，此时f(x)3ax 22bxc 0，函数f(x)ax 3 bx 2 cx d 单调递减1．4生活中的优化问题举例习题 A 组〔P37〕1、设两段铁丝的长度分别为 x ，lx ，那么这两个正方形的边长分别为x ，l 4 x，两个正方4形的面积和为 Sf(x)(x )2(lx )21 (2x 22lxl 2)，0xl .4416令f(x) 0，即4x2l0，x l .当x(0,l)时，f2(l,l)时，f(x)(x) 0；当x 0.22因此，xl是函数f(x)的极小值点，也是最小值点.2所以，当两段铁丝的长度分别是l 时，两个正方形的面积和最小.22、如下列图，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面为正方形，且边长为a2x ，高为x.x〔1〕无盖方盒的容积V(x)(a2x)2x ，0x a .2 〔2〕因为V(x)4x 34ax 2 a 2x ，新课程标准数学选修2—2 第一章课后习题解答〔第12页共25 页〕a〔第2题〕所以V(x) 12x 2 8ax a 2.令V(x) 0，得x a 〔舍去〕，或x a . 26当x (0,a)时，V(x)0；当x(a ,a)时，V(x) 0.6 62因此，xa是函数V(x)的极大值点，也是最大值点.6a时，无盖方盒的容积最大.所以，当x6h ，底半径为R ，3、如图，设圆柱的高为 那么外表积S2 Rh 2 R 2R由VR 2h ，得hV 2.R因此，S(R)2RV 2 R 2 2V 2 R 2，R 0 . hR 2 R2VR 0，解得 RV .令S(R)43R2当R(0,3V)时，S(R)0；2当R(3V,)时，S(R)0.〔第3题〕2因此，R3V是函数S(R) 的极小值点，也是最小值点 .此时，hV 23 V2R.2R 22所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于f(x)1 n2，所以f(x)2 n (x a i ).(x a i ) n in i11令f(x)0，得x 1 n a i ，n i1可以得到，x1na i 是函数f(x)的极小值点，也是最小值点.n i 1这个结果说明，用n 个数据的平均值1na i 表示这个物体的长度是合理的，n i1这就是最小二乘法的根本原理.5、设矩形的底宽为xm ，那么半圆的半径为xm ，半圆的面积为x 2 m 2 ，28新课程标准数学选修 2—2第一章课后习题解答〔第13页共25页〕矩形的面积为ax 2m 2，矩形的另一边长为(ax)m8x8因此铁丝的长为l(x)x x 2a x (1 )x 2a ，0 x8a2x 4 4x令l(x)142a 0，得x8a 〔负值舍去〕.x 24当x(0,8a )时，l(x) 0；当x( 8a ,8a)时，l(x)0.44因此， x8a 是函数l(x)的极小值点，也是最小值点.4所以，当底宽为 8a m 时，所用材料最省.46、利润L 等于收入R 减去本钱C ，而收入R 等于产量乘单价.由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入Rq p q(251q) 25q 1q 2，8 8利润LR C (25q 1q 2) (1004q) 1q 2 21q100，0 q 200.18 8求导得L q 2141令L 0，即 q210，q84. 4当q(0,84)时，L0；当q (84,200)时，L 0；因此，q 84是函数L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为84 时，利润L 最大,习题 B 组〔P37〕1、设每个房间每天的定价为 x 元，那么宾馆利润L(x)(50x180)(x20)1 x 270x1360，180x680.1010令L(x)1x 70 0，解得x 350.5当x (180,350) 时，L(x) 0；当x(350,680) 时，L(x)0.因此，x350是函数L(x)的极大值点，也是最大值点.所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大.2、设销售价为 x 元／件时，新课程标准数学选修 2—2第一章课后习题解答〔第14页共25页〕利润L(x) (x令L(x)8cb当x(a,4a8 4a5bb x a)(c cb4ac 5bc xb 5b)时，L(x)4)c(xa)(5 4 x)，ax 5b .b4 0，解得x4a 5b .80；当x (4a 5b ,5b)时，L(x)0. 8 4当x8是函数L(x)的极大值点，也是最大值点.所以，销售价为4a5b元／件时，可获得最大利润.81．5定积分的概念练习〔P42〕8.3.说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲〞和“逼近〞的思想 练习〔P45〕1、s i s iv(i) t[ (i )2 2]1(i )212，i1,2,L,n.nn n nnnnnnv(i)t 于是ss is ii 1i 1i 1nn(i )212][i1n n n(1)21 L(n1)21(n )212n nnn nn122n 3 [1 2 L n ] 21 n(n 1)(2n1) 2n 361 112(1 )(1)3n2n取极值，得ns limni1[1v(i)]n[1(11)(11)2] 5limnnni13n2n 3说明：进一步体会“以不变代变〞和“逼近〞的思想.2、22km.3 说明：进一步体会“以不变代变〞和“逼近〞的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤. 练习〔P48〕2说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.x 3dx4.从几何上看，表示由曲线yx 3与直线x 0，x2，y0所围成的曲边梯形的面积S4.新课程标准数学选修 2—2第一章课后习题解答〔第15页共25页〕习题A组〔P50〕1、〔1〕(x1)dx100i1)1]1；21i11001002500i1)1〔2〕1)dx[(11](x；1i150050021000i 1)1]1〔3〕(x1)dx[(1.1i110001000说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.2、距离的缺乏近似值为：18112171310140〔m〕；距离的过剩近似值为：271181121713167〔m〕.3、证明：令f(x) 1.用分点a x0x1L x i1x i L xn b将区间[a,b]等分成n个小区间，在每个小区间[x i1,x i]上任取一点i(i1,2,L,n)n n作和式f(i)xi 1i 1b ab a，nbn从而1dx lima ni1banb a，说明：进一步熟悉定积分的概念.12表示由直线x0，x1y0y1x2、根据定积分的几何意义，1xdx，以及曲线401x2dx.所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此1041.5、〔1〕x3dx14由于在区间[1,0]上x300，x1，y0和曲线，所以定积分x3dx表示由直线x1x3所围成的曲边梯形的面积的相反数.〔2〕根据定积分的性质，得13dx01110. xx3dx x3dx11044由于在区间[1,0]上x30，在区间[0,1]上x30，所以定积分1x3dx等于位于x轴上方的1曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积.〔3〕根据定积分的性质，得23dx021415 x x3dx x3dx11044由于在区间[1,0]上x30，在区间[0,2]上x30，所以定积分2x3dx等于位于x轴上方的1曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积.说明：在〔3〕中，由于x3在区间[1,0]上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答〔第16页共25页〕用定把区[1,2]分成n 等份来求个定分，那么和式中既有正又有，而且无法抵一些，求和会非常麻.利用性3可以将定分223dx ，，x3x 3dx 化x 3dxx1 1在区[1,0]和区[0,2]上的符号都是不的，再利用定分的定，容易求出x 3dx ，12 2x 3dx ，而得到定分x 3dx 的.由此可，利用定分的性可以化运算.1在〔2〕〔3〕中，被函数在分区上的函数有正有，通一步体会定分的几何意.1.5 B 〔P50〕1、物体在t 0到t 6〔位：s 〕之走的路程大 145m.明：根据定分的几何意，通估算曲梯形内包含位正方形的个数来估物体走的路程.2、〔1〕v.8i 11 8 9〔m 〕；〔2〕剩近似：222i 148i 1 1187 〔m 〕缺乏近似：i 12 2424；4〔m 〕.〔3〕 0 03、〔1〕分割在区[0,l]上等隔地插入n1个分点，将它分成n 个小区：[0, l ]，[l, 2l ]，⋯⋯，[(n2)l ,l]，nn nn第i 个区[(i1)l ,il]〔i 1,2,L n 〕，其度n nil (i 1)l l .xn nn把棒在小段[0,l ]，[l, 2l ]，⋯⋯，[(n2)l ,l]上量分作：n n nnm 1, m 2,L,m n ，n棒的量mi1m i .〔2〕近似代替当n 很大，即x 很小，在小区[(i1)l ,il]上，可以密度(x)x 2的n n[(i1)l ,il化很小，近似地等于一个常数，不妨它近似地等于任意一点i]的函数n n (i )i2.于是，棒在小段[(i1)l ,il]上量m i(i )xi 2 l〔i 1,2,Ln 〕.n nn新课程标准数学选修 2—2第一章课后习题解答〔第17页共25页〕()新课程人教版高中数学选修22课后习题解答(全)21 / 2121〔3〕求和nn n2l . 得细棒的质量 mm i(i )xii1i1i1n〔4〕取极限nl，所以ml细棒的质量mlimi 2x 2dx..nni1新课程标准数学选修 2—2第一章课后习题解答〔第18页共25页〕。
高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.4知识点总结含同步练习题及答案
1 1 1 25 ． + +⋯+ < n+1 n+2 2n 36
即
2n 1 1 1 1 n + +⋯+ <∫ dx = ln x| 2 n = ln 2n − ln n = ln 2， n+1 n+2 2n x n
因为ln 2 ≈ 0.6931 ， 25 ≈ 0.6944 ，所以ln 2 < 25 ．所以
3 1
π 2 dx；（3）∫ 0 2 (sin x − cos x)dx． x
∫
(1 + x + x2 ) = ∫
3 1
1 2 3 1 x | 1 + x3 | 3 1 2 3 1 1 = (3 − 1) + (3 2 − 1 2 ) + (3 3 − 1 3 ) 2 3 44 = . 3 = x| 3 1 +
∑ f (ξi )Δx = ∑
i =1 i =1 n n
b−a f (ξi )， n
当 n → ∞ 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f (x) 在区间 [a, b] 上的定积分（definite integral），记作 ∫ ab f (x)dx，即
∫
b a
f (x)dx = lim ∑
∫
b a
f (x)dx = F (x)| b a = F (b) − F (a).
例题： 利用定积分定义计算： （1）∫ 1 (1 + x)dx；（2）∫ 0 xdx． 解：（1）因为 f (x) = 1 + x 在区间 [1, 2] 上连续，将区间 [1, 2] 分成 n 等份，则每个区间的
数学选修22习题答案
数学选修22习题答案数学选修22习题答案数学选修22是高中数学课程中的一门选修课程，主要内容包括数列、概率与统计以及解析几何等。
本文将为读者提供一些数学选修22习题的答案，帮助读者更好地掌握这门课程的知识。
一、数列1. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n + 2，求该数列的前5项。
解：将n分别代入1、2、3、4、5，得到数列的前5项为5、8、11、14、17。
2. 求等差数列{an}的通项公式，已知该数列的首项为3，公差为2。
解：设等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，代入已知条件得到an = 3 +(n-1)2，化简得到通项公式an = 2n + 1。
二、概率与统计1. 在一次抽奖活动中，有5个一等奖，10个二等奖和15个三等奖。
如果从中随机抽取3个奖品，求至少抽到一等奖的概率。
解：总共有30个奖品，从中抽取3个奖品的组合数为C(30,3) = 4060。
抽到至少一等奖的情况有两种：抽到一等奖的组合数为C(5,1) = 5，其余两个奖品可以从剩下的25个奖品中抽取，组合数为C(25,2) = 300；抽到两个一等奖的组合数为C(5,2) = 10，剩下一个奖品可以从剩下的25个奖品中抽取，组合数为C(25,1) = 25。
因此，至少抽到一等奖的概率为(5*300 + 10*25)/4060 ≈ 0.368。
2. 某班级有40个学生，其中男生25人，女生15人。
从中随机抽取3个学生，求抽到至少一个男生的概率。
解：总共有40个学生，从中抽取3个学生的组合数为C(40,3) = 9880。
抽到至少一个男生的情况有三种：抽到一个男生的组合数为C(25,1) = 25，剩下两个学生可以从剩下的39个学生中抽取，组合数为C(39,2) = 741；抽到两个男生的组合数为C(25,2) = 300，剩下一个学生可以从剩下的39个学生中抽取，组合数为C(39,1) = 39；抽到三个男生的组合数为C(25,3) = 2300。
2018学年高中数学人教A版选修2-2习题 第2章 推理与证明2.1.2 含答案
选修2-2 第二章 2.1 2.1.2一、选择题1．“在四边形ABCD中，∵AB CD，∴四边形ABCD是平行四边形”．上述推理过程导学号10510519()A．省略了大前提B．省略了小前提C．是完整的三段论D．推理形式错误[答案] A[解析]上述推理基于大前提“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”．2．下面是一段演绎推理：大前提：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；小前提：已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；结论：所以直线b∥直线a.在这个推理中导学号10510520()A．大前提正确，结论错误B．小前提与结论都是错误的C．大、小前提正确，只有结论错误D．大前提错误，结论错误[答案] D[解析]如果直线平行于平面，则这条直线只是与平面内的部分直线平行，而不是所有直线，所以大前提错误，当直线b∥平面α，直线a⊂平面α时，直线b与直线a可能平行，也可能异面，故结论错误，选D.3．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是导学号10510521()A．BM是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1C D．存在某个位置，使MB∥平面A1DE[答案] C[解析]由线面位置关系易知A、B、D正确，C错误，如图，取CD的中点Q，连接MQ，BQ，∵M为A1C的中点，∴MQ 1 2A1D，∵E为AB中点，四边形ABCD为矩形，∴BQ DE，∵矩形ABCD中，AB＝2AD，△A1DE≌△ADE，∴MQ，BQ为定值∠MQB＝∠A1DE＝∠ADE为定值，∴BM为定值，又B为定点，∴点M在以B点为球心，BM为半径的球面上运动，∴A、B选项正确；由于BQ∥DE，MQ∥A1D，∴平面BMQ∥平面A1DE，∴BM∥平面A1DE，故D 正确；若DE⊥A1C，由于DE⊥EC，则DE⊥平面A1EC，则DE⊥A1E，这与DA1⊥EA1矛盾，故选C.4．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是导学号10510522()A．类比推理B．归纳推理C．演绎推理D．一次三段论[答案] C[解析]这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．5．(2016·长春外国语学校高二检测)有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为导学号10510523() A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误[答案] C[解析]用小前提“S是M”，判断得到结论“S是P”时，大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分，因此此推理不符合演绎推理规则．6．(2016·锦州市高二检测)若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在△ABC中，AB＝AC，所以在△ABC中，∠B＝∠C，以上推理运用的规则是导学号10510524() A．三段论推理B．假言推理C．关系推理D．完全归纳推理[答案] A[解析]∵三角形两边相等，则该两边所对的内角相等(大前提)，在△ABC中，AB＝AC，(小前提)∴在△ABC中，∠B＝∠C(结论)，符合三段论推理规则，故选A.二、填空题7．求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是a有意义时，a≥0，小前提是log2x－2有意义，结论是________.导学号10510525[答案]log2x－2≥0[解析]由三段论方法知应为log2x－2≥0.8．以下推理过程省略的大前提为：________.导学号10510526∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab.[答案]若a≥b，则a＋c≥b＋c[解析]由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c.9．设函数f(x)＝e xx2＋ax＋a，其中a为实数，若f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围是________.导学号10510527[答案]0<a<4[解析]因为f(x)的定义域为R，所以x2＋ax＋a≠0恒成立．所以Δ＝a2－4a<0.所以0<a<4，即当0<a<4时，f(x)的定义域为R.三、解答题10．将下列演绎推理写成三段论的形式.导学号10510528(1)菱形的对角线互相平分．(2)奇数不能被2整除，75是奇数，所以75不能被2整除．[答案](1)平行四边形的对角线互相平分大前提菱形是平行四边形小前提菱形的对角线互相平分结论(2)一切奇数都不能被2整除大前提75是奇数小前提75不能被2整除结论一、选择题1．下面是一段“三段论”推理过程：若函数f (x )在(a ，b )内可导且单调递增，则在(a ，b )内，f ′(x )>0恒成立．因为f (x )＝x 3在(－1,1)内可导且单调递增，所以在(－1,1)内，f ′(x )＝3x 2>0恒成立，以上推理中导学号 10510529( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．结论正确D ．推理形式错误[答案] A[解析] ∵对于可导函数f (x )，若f (x )在区间(a ，b )上是增函数，则f ′(x )≥0对x ∈(a ，b )恒成立．∴大前提错误，故选A.2．下面几种推理过程是演绎推理的是导学号 10510530( )A ．因为∠A 和∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，所以∠A ＋∠B ＝180°B ．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油C ．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，通过计算a 2，a 3，a 4，a 5的值归纳出{a n }的通项公式[答案] A[解析] 选项A 中“两条直线平行，同旁内角互补”是大前提，是真命题，该推理为三段论推理，选项B 为类比推理，选项C 、D 都是归纳推理．二、填空题3．“∵α∩β＝l ，AB ⊂α，AB ⊥l ，∴AB ⊥β”，在上述推理过程中，省略的命题为________.导学号 10510531[答案] 如果两个平面相交，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面4．(2016·深圳高二检测)已知2sin 2α＋sin 2β＝3sin α，则sin 2α＋sin 2β的取值范围为________.导学号 10510532[答案] [0，54]∪{2} [解析] 由2sin 2α＋sin 2β＝3sin α得sin 2α＋sin 2β＝－sin 2α＋3sin α＝－(sin α－32)2＋94且sin α≥0，sin 2α∈[0,1]． 因为0≤sin 2β≤1，sin 2β＝3sin α－2sin 2α，所以0≤3sin α－2sin 2α≤1.解之得sin α＝1或0≤sin α≤12， 令y ＝sin 2α＋sin 2β，当sin α＝1时，y ＝2.当0≤sin α≤12时，0≤y ≤54. 所以sin 2α＋sin 2β的取值范围是[0，54]∪{2}． 三、解答题5．判断下列推理是否正确？为什么？导学号 10510533①“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A ，B ，C 为空间三点(小前提)，所以过A ，B ，C 三点只能确定一个平面(结论)．”②∵奇数3,5,7,11是质数，9是奇数，∴9是质数．[解析] ①错误．小前提错误．因为若三点共线，则可确定无数平面，只有不共线的三点才能确定一个平面．②错误．推理形式错误，演绎推理是由一般到特殊的推理，3,5,7,11只是奇数的一部分，是特殊事例．6．已知a ，b ，c 是实数，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，g (x )＝ax ＋b .当－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1.导学号 10510534(1)求证：|c |≤1.(2)当－1≤x ≤1时，求证：－2≤g (x )≤2.[证明] (1)因为x ＝0满足－1≤x ≤1的条件，所以|f (0)|≤1.而f (0)＝c ，所以|c |≤1.(2)当a >0时，g (x )在[－1,1]上是增函数，所以g (－1)≤g (x )≤g (1)．又g (1)＝a ＋b ＝f (1)－c ，g (－1)＝－a ＋b ＝－f (－1)＋c ，所以－f (－1)＋c ≤g (x )≤f (1)－c ，又－1≤f (－1)≤1，－1≤f (1)≤1，－1≤c ≤1，所以－f (－1)＋c ≥－2，f (1)－c ≤2，所以－2≤g (x )≤2.当a <0时，可用类似的方法，证得－2≤g (x )≤2.当a ＝0时，g (x )＝b ，f (x )＝bx ＋c ，g (x )＝f (1)－c ，所以－2≤g (x )≤2.综上所述，－2≤g (x )≤2.。
高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.1知识点总结含同步练习及答案
导数的几何意义当点趋近于点时，割线
趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P n P (,f ()) x 0x 0 P P n P P
)．
．
．
．
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解析：图像中每点的斜率均表示这一时刻的速度．
答案：解析：4. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 时刻五角星露出水面部分的图形面积为
，则导函数 的图象大致为
．
A ．
B ．
C
．D ．
A
导函数 为单位时间内五角星出水的面积率，由图可知当一个角出来时，面积率由 开始，逐渐增多，当一个角
都出完了，则面积率一下由最大开始减小，当出最后两个角时，面积率会先增加，然后减小到 ．
t S (t )(S (0)=0)y =(t )S ′()y =(t )S ′0。
人教版高中数学选修2-2第二章2.3.2数学归纳法的应用习题
2014年新田一中选修2-2课后作业（十八）班级___________姓名___________学号___________1．利用数学归纳法证明1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋12n<1(n∈N*，且n≥2)时，第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是( )．A．增加了12k＋1这一项B．增加了12k＋1和12k＋2两项C．增加了12k＋1和12k＋2两项，同时减少了1k这一项D．以上都不对2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步( )．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*)3．命题P(n)满足：若n＝k(k∈N*)成立，则n＝k＋1成立，下面说法正确的是( )．A．P(6)成立则P(5)成立B．P(6)成立则P(4)成立C．P(4)成立则P(6)成立D．对所有正整数n，P(n)都成立4．已知S n＝11·3＋13·5＋15·7＋…＋1(2n－1)(2n＋1)，则S1＝________，S2＝________，S3＝________，S4＝________，猜想S n＝________.5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为________．6．数列{a n}中，已知a1＝2，a n＋1＝an3a n＋1(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜测得出a n的表达式为________．7．求证：1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n.8．数列{a n}满足S n＝2n－a n，n∈N*，先计算前4项后猜想a n，并用数学归纳法证明．1．利用数学归纳法证明1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋12n<1(n∈N*，且n≥2)时，第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是( )．A．增加了12k＋1这一项B．增加了12k＋1和12k＋2两项C．增加了12k＋1和12k＋2两项，同时减少了1k这一项D．以上都不对解析不等式左端共有n＋1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n的等差数列，当n＝k时，左端为1k＋1k＋1＋1k＋2＋…＋12k；当n＝k＋1时，左端为1k＋1＋1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2，对比两式，可得结论．答案 C2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是( )．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*)解析因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确．答案 B3．已知平面内有n条直线(n∈N*)，设这n条直线最多将平面分割成f(n)个部分，则f(n＋1)等于( )．A．f(n)＋n－1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n＋1 D．f(n)＋n＋2解析要使这n条直线将平面所分割成的部分最多，则这n条直线中任何两条不平行，任何三条不共点．因为第n＋1条直线被原n条直线分成n＋1条线段或射线，这n＋1条线段或射线将它们所经过的平面区域都一分为二，故f(n＋1)比f(n)多了n＋1部分．答案 C4．已知S n＝11·3＋13·5＋15·7＋…＋1(2n－1)(2n＋1)，则S1＝________，S2＝________，S3＝________，S4＝________，猜想S n＝________.解析分别将1,2,3,4代入观察猜想S n＝n2n＋1.答案13253749n2n＋15．用数学归纳法证明“当n为正偶数时x n－y n能被x＋y整除”第一步应验证n ＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成________________．解析因为n为正偶数，故第一个值n＝2，第二步假设n取第k个正偶数成立，即n＝2k，故应假设成x2k－y2k能被x＋y整除．答案 2 x2k－y2k能被x＋y整除6．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n2＜2－1n(n≥2)．证明：(1)当n＝2时，1＋122＝54＜2－12＝32，命题成立．(2)假设当n＝k时命题成立，即1＋122＋132＋…＋1k2＜2－1k，当n＝k＋1时，1＋122＋132＋…＋1k2＋1(k＋1)2＜2－1k＋1(k＋1)2＜2－1k＋1k(k＋1)＝2－1k＋1k－1 k＋1＝2－1k＋1，命题成立．由(1)、(2)知原不等式在n≥2时均成立．综合提高(限时25分钟)7．用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋12n>1124(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，下列说法正确的是( )．A．增加了一项12(k＋1)B．增加了两项12k＋1和12(k＋1)C．增加了B中的两项，但又减少了一项1 k＋1D．增加了A中的一项，但又减少了一项1 k＋1解析当n＝k时，不等式左边为1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，当n＝k＋1时，不等式左边为1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2.答案 C8．命题P (n )满足：若n ＝k (k ∈N *)成立，则n ＝k ＋1成立，下面说法正确的是( )．A ．P (6)成立则P (5)成立B ．P (6)成立则P (4)成立C ．P (4)成立则P (6)成立D ．对所有正整数n ，P (n )都成立解析 由题意知，P (4)成立，则P (5)成立，若P (5)成立，则P (6)成立．所以P (4)成立，则P (6)成立． 答案 C9．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a 、b 、c 的值为________．解析 ∵等式对一切n ∈N *均成立，∴n ＝1,2,3时等式成立，即：⎩⎨⎧1＝3(a －b )＋c ，1＋2×3＝32(2a －b )＋c ，1＋2×3＋3×32＝33(3a －b )＋c ，整理得⎩⎨⎧3a －3b ＋c ＝1，18a －9b ＋c ＝7，81a －27b ＋c ＝34，解得a ＝12，b ＝c ＝14.答案 a ＝12，b ＝c ＝1410．数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝a n3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算出a 2，a 3，a 4后，归纳、猜测得出a n 的表达式为________．解析 a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，猜测a n ＝26n －5.答案 a n ＝26n －511．求证：1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n .证明 (1)当n ＝1时，f (1)＝1＋12，原不等式成立；(2)设n＝k(k∈N*)时，原不等式成立即1＋k2≤1＋12＋13＋…＋12k≤12＋k成立，当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1≥1＋k2＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1>1＋k 2＋＝1＋k2＋12＝1＋k＋12，f(k＋1)＝f(k)＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1≤12＋k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1<12＋k＋∴f(k＋1)<12＋(k＋1)即n＝k＋1时，命题成立．综合(1)、(2)可得：原命题对n∈N*恒成立．12．(创新拓展)数列{a n}满足S n＝2n－a n，n∈N*，先计算前4项后猜想a n，并用数学归纳法证明．证明当n＝1时，S1＝2－a1，∴a1＝1，n＝2时，S2＝a1＋a2＝4－a2，∴a2＝32，n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝6－a3，∴a3＝74，n＝4时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝8－a4，∴a4＝158.∴猜想a n＝2n－1 2n－1.用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝1，猜想成立，②假设n＝k时猜想成立，即a k＝2k－12k－1成立．那么，当n＝k＋1时，S k＋1＝2(k＋1)－a k＋1＝S k＋a k＋1＝2k－a k＋a k＋1，∴2a k＋1＝2＋a k＝2＋2k－12k－1＝2k＋1－12k－1，∴a k＋1＝2k＋1－12k，即n＝k＋1时猜想成立．由①②可知，对n∈N*猜想均成立．。
(完整版)人教版高中数学选修2-2课后习题参考答案(可编辑修改word版)
3V 34新课程标准数学选修 2—2 第一章课后习题解答第一章 导数及其应用 3．1 变化率与导数练习（P6）在第 3 h 和 5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为-1和 3. 它说明在第 3 h 附近，原 油温度大约以 1 ℃／h 的速度下降；在第 5 h 时，原油温度大约以 3 ℃／h 的速率上升. 练习（P8）函数h (t ) 在t = t 3 附近单调递增，在t = t 4 附近单调递增. 并且，函数h (t ) 在t 4 附近比在t 3 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”1 的思想.练习（P9）函数r (V ) = (0 ≤ V ≤ 5) 的图象为根据图象，估算出r '(0.6) ≈ 0.3 ， r '(1.2) ≈ 0.2 .说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题 1.1 A 组（P10）1、在t 处，虽然W (t ) = W (t ) ，然而W 1 (t 0 ) -W 1 (t 0 - ∆t ) ≥ W 2 (t 0 ) -W 2 (t 0 - ∆t ) .0 1 0 2 0-∆t -∆t所以，企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.2、 ∆h = h (1+ ∆t ) - h (1) = -4.9∆t - 3.3 ，所以， h '(1) = -3.3 .∆t ∆t这说明运动员在t = 1s 附近以 3.3 m ／s 的速度下降.3、物体在第 5 s 的瞬时速度就是函数 s (t ) 在t = 5 时的导数.∆s = s (5 + ∆t ) - s (5) = ∆t +10 ，所以， s '(5) = 10 . ∆t ∆tt 因 此 ， 物 体 在 第 5 s 时 的 瞬 时 速 度 为 10 m ／ s ， 它 在 第 5 s 的 动 能 E = 1⨯ 3⨯102 = 150 J. k24、设车轮转动的角度为，时间为t ，则= kt 2 (t > 0) . 由题意可知，当t = 0.8 时，= 2. 所以k =25，于是= 25 2. 88车轮转动开始后第 3.2 s 时的瞬时角速度就是函数(t ) 在t = 3.2 时的导数. ∆=(3.2 + ∆t ) -(3.2) = 25∆t + 20，所以'(3.2) = 20.∆t∆t8因此，车轮在开始转动后第 3.2 s 时的瞬时角速度为20s -1 .说明：第 2,3,4 题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数 f (x ) 在 x = -5 处切线的斜率大于零，所以函数在 x = -5 附近单调递增. 同理可得，函数 f (x ) 在 x = -4 ， -2 ，0，2 附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减.说明：“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数 f '(x )的图象如图（1）所示；第二个函数的导数 f '(x ) 恒大于零，并且随着 x 的增加， f '(x )的值也在增加；对于第三个函数，当 x 小于零时， f '(x ) 小于零，当 x 大于零时，f '(x ) 大于零，并且随着 x 的增加， f '(x ) 的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系.习题 3.1 B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻 画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.1 2 x -11 33 4V 23 2、说明：由给出的v (t ) 的信息获得 s (t ) 的相关信息，并据此画出 s (t ) 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数 f (x ) 的图象在点(1, -5) 处的切线斜率为-1，所以此点 附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1.2 导数的计算练习（P18）1、 f '(x ) = 2x - 7 ，所以， f '(2) = -3 ， f '(6) = 5 .2、（1） y ' = 1x l n 2；（2） y ' = 2e x ；（3） y ' = 10x 4 - 6x ；（4） y ' = -3sin x - 4 cos x ；（5） y ' = - 1 sin x；（6） y ' =.3 3习题 1.2 A 组（P18）1、 ∆S = S (r + ∆r ) - S (r ) = 2r + ∆r ，所以， S '(r ) = lim(2r + ∆r ) = 2r .∆r ∆r∆r →02、h '(t ) = -9.8t + 6.5 .3、r '(V ) =.2 x =0 4、（1） y ' = 3x 2 +1x l n 2； （2） y ' = nx n -1e x + x n e x ；（3） y ' 3x 2 sin x - x 3 cos x + cos x sin 2x； （4） y = 99(x +1)98；（5） y ' = -2e -x ；（6） y ' = 2 s in(2x + 5) + 4x cos(2x + 5) .5、 f '(x ) = -8 + 2 2x . 由 f '(x 0 ) = 4 有 4 = -8 + 2 2x 0 ，解得 x 0 = 3 .6、（1） y ' = ln x +1； （2） y = x -1.7 、 y = - x +1.8、（1）氨气的散发速度 A '(t ) = 500 ⨯ln 0.834 ⨯ 0.834t .（2） A '(7) = -25.5 ，它表示氨气在第 7 天左右时，以 25.5 克／天的速率减少. 习题 1.2 B 组（P19） 1、（1）（2） 当h 越来越小时， y =sin(x + h ) - sin x就越来越逼近函数 y = cos x .h（3） y = sin x 的导数为 y = cos x .2、当 y = 0 时， x = 0 . 所以函数图象与 x 轴交于点 P (0, 0) .y ' = -e x ，所以 y ' = -1 .所以，曲线在点 P 处的切线的方程为 y = -x .2、d '(t ) = -4 sin t . 所以，上午 6:00 时潮水的速度为-0.42 m ／h ；上午 9:00 时潮水 的速度为-0.63 m ／h ；中午 12:00 时潮水的速度为-0.83 m ／h ；下午 6:00 时潮水的速度为-1.24 m ／h.1.3 导数在研究函数中的应用练习（P26）1、（1）因为 f (x ) = x 2 - 2x + 4 ，所以 f '(x ) = 2x - 2 .当 f '(x ) > 0 ，即 x > 1 时，函数 f (x ) = x 2 - 2x + 4 单调递增；= '当 f '(x ) < 0 ，即 x < 1时，函数 f (x ) = x 2 - 2x + 4 单调递减.（2）因为 f (x ) = e x - x ，所以 f '(x ) = e x -1.当 f '(x ) > 0 ，即 x > 0 时，函数 f (x ) = e x - x 单调递增； 当 f '(x ) < 0 ，即 x < 0 时，函数 f (x ) = e x - x 单调递减. （3）因为 f (x ) = 3x - x 3 ，所以 f '(x ) = 3 - 3x 2 .当 f '(x ) > 0 ，即-1 < x < 1时，函数 f (x ) = 3x - x 3 单调递增； 当 f '(x ) < 0 ，即 x < -1或 x > 1 时，函数 f (x ) = 3x - x 3 单调递减. （4）因为 f (x ) = x 3 - x 2 - x ，所以 f '(x ) = 3x 2 - 2x -1.当 f '(x ) > 0 ，即 x < - 1或 x > 1 时，函数 f (x ) = x 3 - x 2 - x 单调递增；3 当 f '(x ) < 0 ，即- 1< x < 1 时，函数 f (x ) = x 3 - x 2 - x 单调递减.32、注：图象形状不唯一.3、因为 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) ，所以 f '(x ) = 2ax + b .（1）当a > 0 时，f '(x ) > 0 ，即 x > - b2a f '(x ) < 0 ，即 x < - b2a（2）当a < 0 时，f '(x ) > 0 ，即 x < - b 2a f '(x ) < 0 ，即 x > - b2a时，函数 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 单调递增；时，函数 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 单调递减.时，函数 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 单调递增；时，函数 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 单调递减.4、证明：因为 f (x ) = 2x 3 - 6x 2 + 7 ，所以 f '(x ) = 6x 2 -12x .当 x ∈(0, 2) 时， f '(x ) = 6x 2 -12x < 0 ，因此函数 f (x ) = 2x 3 - 6x 2 + 7 在(0, 2) 内是减函数.练习（P29）1、 x 2 , x 4 是函数 y = f (x ) 的极值点，1 1 其中 x = x2 是函数 y = f (x ) 的极大值点， x = x 4 是函数 y = f (x ) 的极小值点.2、（1）因为 f (x ) = 6x 2 - x - 2 ，所以 f '(x ) = 12x -1 .令 f '(x ) = 12x -1 = 0 ，得 x =1.12调递减.当 x >1时， f '(x ) > 0 ， f (x ) 单调递增；当 x < 112 12时， f '(x ) < 0 ， f (x ) 单 所 以 ， 当x = 1时 ， 12f (x ) 有 极 小 值 ， 并 且 极 小 值 为f ( ) = 6 ⨯( )2 - 1 - 2 = - 49. 12 12 12 24（2）因为 f (x ) = x 3 - 27x ，所以 f '(x ) = 3x 2 - 27 .令 f '(x ) = 3x 2 - 27 = 0 ，得 x = ±3 . 下面分两种情况讨论：①当 f '(x ) > 0 ，即 x < -3 或 x > 3 时；②当 f '(x ) < 0 ，即-3 < x < 3 时.当 x 变化时， f '(x ) ， f (x ) 变化情况如下表：因此，当 x = -3 时， f (x ) 有极大值，并且极大值为 54； 当 x = 3 时， f (x ) 有极小值，并且极小值为-54 . （3）因为 f (x ) = 6 +12x - x 3 ，所以 f '(x ) = 12 - 3x 2 .令 f '(x ) = 12 - 3x 2 = 0 ，得 x= ±2 . 下面分两种情况讨论：①当 f '(x ) > 0 ，即-2 < x < 2 时；②当 f '(x ) < 0 ，即 x < -2 或 x > 2 时.当 x 变化时， f '(x ) ， f (x ) 变化情况如下表：=-因此，当x =-2 时，f (x) 有极小值，并且极小值为-10 ；当x = 2 时，f (x) 有极大值，并且极大值为22（4）因为 f (x) = 3x -x3，所以 f '(x) = 3 - 3x2.令 f '(x) = 3 - 3x2= 0 ，得 x =±1 .下面分两种情况讨论：①当f '(x) > 0 ，即-1 <x < 1时；②当f '(x) < 0 ，即x <-1或x > 1 时. 当x 变化时，f '(x) ，f (x) 变化情况如下表：因此，当x =-1 时，f (x) 有极小值，并且极小值为-2 ；当x = 1 时，f (x) 有极大值，并且极大值为2练习（P31）（1）在[0, 2] 上， 当 x =1 49f ( ) .12 24 1 时，12f (x) = 6x2-x - 2 有极小值，并且极小值为又由于 f (0) =-2 ， f (2) = 20 .因此，函数 f (x) = 6x2-x - 2 在[0, 2] 上的最大值是 20、最小值是-49.24（2）在[-4, 4] 上，当 x =-3 时， f (x) =x3- 27x 有极大值，并且极大值为 f (-3) = 54 ；当x = 3 时， f (x) =x3- 27x 有极小值，并且极小值为 f (3) =-54 ；又由于 f (-4) = 44 ， f (4) =-44 .(0, ) ，所以 f (x )因此，函数 f (x ) = x 3 - 27x 在[-4, 4] 上的最大值是 54、最小值是-54 .（ 3） 在[- 1, 3] 上， 当 x = 2 时， 3f (x ) = 6 +12x - x 3 有极大值， 并且极大值为f (2) = 22 .又由于 f (- 1) = 55， f (3) = 15 .3 27因此，函数 f (x ) = 6 +12x - x 3 在[- 1 , 3] 上的最大值是 22、最小值是 55.3 27（4）在[2, 3] 上，函数 f (x ) = 3x - x 3 无极值.因为 f (2) = -2 ， f (3) = -18 .因此，函数 f (x ) = 3x - x 3 在[2, 3] 上的最大值是-2 、最小值是-18 . 习题 1.3 A 组（P31）1、（1）因为 f (x ) = -2x +1，所以 f '(x ) = -2 < 0 .因此，函数 f (x ) = -2x +1是单调递减函数.（2）因为 f (x ) = x + cos x ， x ∈ ' = 1- sin x > 0 ， x ∈ 2(0, ) . 2 因此，函数 f (x ) = x + cos x 在 (0, ) 上是单调递增函数. 2（3）因为 f (x ) = -2x - 4 ，所以 f '(x ) = -2 < 0 .因此，函数 f (x ) = 2x - 4 是单调递减函数.（4）因为 f (x ) = 2x 3 + 4x ，所以 f '(x ) = 6x 2 + 4 > 0 .因此，函数 f (x ) = 2x 3 + 4x 是单调递增函数.2、（1）因为 f (x ) = x 2 + 2x - 4 ，所以 f '(x ) = 2x + 2 .当 f '(x ) > 0 ，即 x > -1 时，函数 f (x ) = x 2 + 2x - 4 单调递增.当 f '(x ) < 0 ，即 x < -1时，函数 f (x ) = x 2 + 2x - 4 单调递减.（2）因为 f (x ) = 2x 2 - 3x + 3 ，所以 f '(x ) = 4x - 3 .当 f '(x ) > 0 ，即 x > 3时，函数 f (x ) = 2x 2 - 3x + 3 单调递增.4当 f '(x ) < 0 ，即 x < 3时，函数 f (x ) = 2x 2 - 3x + 3 单调递减.4（3）因为 f (x ) = 3x + x 3 ，所以 f '(x ) = 3 + 3x 2 > 0 .因此，函数 f (x ) = 3x + x 3 是单调递增函数.（4）因为 f (x ) = x 3 + x 2 - x ，所以 f '(x ) = 3x 2 + 2x -1.当 f '(x ) > 0 ，即 x < -1或 x > 1时，函数 f (x ) = x 3 + x 2 - x 单调递增.3 当 f '(x ) < 0 ，即-1 < x < 1时，函数 f (x ) = x 3 + x 2 - x 单调递减.33、（1）图略. （2）加速度等于 0.4、（1）在 x = x 2 处，导函数 y = f '(x ) 有极大值；（2） 在 x = x 1 和 x = x 4 处，导函数 y = f '(x ) 有极小值；（3） 在 x = x 3 处，函数 y =（4） 在 x = x 5 处，函数 y = f (x ) 有极大值；f (x ) 有极小值.5、（1）因为 f (x ) = 6x 2 + x + 2 ，所以 f '(x ) = 12x +1.令 f '(x ) = 12x +1 = 0 ，得 x = - 1.12当 x > - 112 当 x < - 112时， f '(x ) > 0 ， f (x ) 单调递增；时， f '(x ) < 0 ， f (x ) 单调递减.所 以 ，x = - 1 时 ， 12f (x ) 有 极 小 值 ， 并 且 极 小 值 为 f (- 1 ) = 6 ⨯(- 1 )2 - 1 - 2 = - 49 .12 12 12 24（2）因为 f (x ) = x 3 -12x ，所以 f '(x ) = 3x 2 -12 .令 f '(x ) = 3x 2 -12 = 0 ，得 x = ±2 . 下面分两种情况讨论：①当 f '(x ) > 0 ，即 x < -2 或 x > 2 时；②当 f '(x ) < 0 ，即-2 < x < 2 时.当 x 变化时， f '(x ) ， f (x ) 变化情况如下表：因此，当 x =-2 时， f (x) 有极大值，并且极大值为 16；当x = 2 时， f (x) 有极小值，并且极小值为-16 .（3）因为 f (x) = 6 -12x +x3，所以 f '(x) =-12 + 3x2.令 f '(x) =-12 + 3x2= 0 ，得 x =±2 .下面分两种情况讨论：①当f '(x) > 0 ，即x <-2 或x > 2 时；②当f '(x) < 0 ，即-2 <x < 2 时. 当x 变化时，f '(x) ，f (x) 变化情况如下表：因此，当 x =-2 时， f (x) 有极大值，并且极大值为 22；当x = 2 时， f (x) 有极小值，并且极小值为-10 .（4）因为 f (x) = 48x -x3，所以 f '(x) = 48 - 3x2.令 f '(x) = 48 - 3x2= 0 ，得 x =±4 .下面分两种情况讨论：①当f '(x) > 0 ，即x <-2 或x > 2 时；②当f '(x) < 0 ，即-2 <x < 2 时. 当x 变化时，f '(x) ，f (x) 变化情况如下表：因此，当x =-4 时，f (x) 有极小值，并且极小值为-128 ；当x = 4 时，f (x) 有极大值，并且极大值为128.6、（1）在[-1,1] 上，当 x =-112时，函数f (x) = 6x2+x + 2 有极小值，并且极小值为47.24由于f (-1) = 7 ，f (1) = 9 ，所以，函数f (x) = 6x2+x + 2 在[-1,1] 上的最大值和最小值分别为9，47.24（2）在[-3, 3] 上，当 x =-2 时，函数 f (x) =x3-12x 有极大值，并且极大值为 16； 当x = 2 时，函数 f (x) =x3-12x 有极小值，并且极小值为-16 .由于f (-3) = 9 ，f (3) =-9 ，所以，函数 f (x) =x3-12x 在[-3, 3] 上的最大值和最小值分别为 16， -16 .（3）在[-1,1] 上，函数f (x) = 6 -12x +x3在[-1,1] 上无极值.3 3由于f (-1) =269，f (1) =-5 ，3 27所以，函数f (x) = 6 -12x +x3在[-1,1] 上的最大值和最小值分别为269，-5 .3 27（4）当x = 4 时，f (x) 有极大值，并且极大值为128..由于f (-3) =-117 ，f (5) = 115 ，所以，函数 f (x) = 48x -x3在[-3, 5] 上的最大值和最小值分别为 128， -117 . 习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设 f (x) = sin x -x ，x ∈(0,) .因为 f '(x) = cos x -1 < 0 ， x ∈(0,)所以f (x) = sin x -x 在(0,) 内单调递减因此 f (x) = sin x -x <f (0) = 0 ， x ∈(0,) ， 即 sin x <x ， x ∈(0,) . 图略（2）证明：设 f (x) =x -x2， x ∈(0,1) .因为 f '(x) = 1- 2x ， x ∈(0,1)又1 1所以，当 x ∈1(0, )2时，f '(x) = 1- 2x > 0 ，f (x) 单调递增，f (x) =x -x2> f (0) = 0 ；当 x ∈1时，f '(x) = 1- 2x < 0 ，f (x) 单调递减，( ,1)2f (x) =x -x2> f (1) = 0 ；f ( ) => 0 . 因此， x -x22 4>0 ，x ∈(0,1) . （3）证明：设 f (x) =e x-1-x ， x ≠ 0 .因为 f '(x) =e x-1， x ≠ 0所以，当x > 0 时，f '(x) =e x-1 > 0 ，f (x) 单调递增，f (x) =e x-1-x > f (0) = 0 ；当x < 0 时，f '(x) =e x-1 < 0 ，f (x) 单调递减，f (x) =e x-1-x >f (0) = 0 ；综上，e x-1 >x ，x ≠ 0 . 图略（4）证明：设 f (x) = ln x -x ，x > 0 .因为 f '(x) =1-1 ，x ≠ 0 x所以，当0 <x < 1时，f '(x) =1-1 > 0 ，f (x) 单调递增，xf (x) = ln x -x < f (1) =-1 < 0 ；当x > 1 时，f '(x) =1-1 < 0 ，f (x) 单调递减，xf (x) = ln x -x < f (1) =-1 < 0 ；当x =1 时，显然ln1 <1. 因此，ln x <x .由（3）可知， e x>x +1 >x ， x > 0 .. 综上，ln x <x <e x，x > 0 图略2、（1）函数f (x) =ax3+bx2+cx +d 的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象图略( ) 上能大致估计它的单调区间.（2）因为 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ，所以 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c . 下面分类讨论：当a ≠ 0 时，分a > 0 和a < 0 两种情形： ①当a > 0 ，且b 2 - 3ac > 0 时，设方程 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c = 0 的两根分别为 x , x ，且 x < x ，1212当 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c > 0 ，即 x < x 或 x > x 时，函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 单12调递增；当 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c < 0 ，即 x < x < x 时，函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 单调递减.12当a > 0 ，且b 2 - 3ac ≤ 0 时，此时 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c ≥ 0 ，函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 单调递增.②当a < 0 ，且b 2 - 3ac > 0 时，设方程 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c = 0 的两根分别为 x , x ，且 x < x ，1212当 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c > 0 ，即 x < x < x 时，函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 单调递12增；当 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c < 0 ，即 x < x 或 x > x 时，函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 单12调递减.当a < 0 ，且b 2 - 3ac ≤ 0 时，此时 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c ≤ 0 ，函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 单调递减 1.4 生活中的优化问题举例习题 1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为 x ， l - x ，则这两个正方形的边长分别为 x ， l - x，4 4两个正方形的面积和为 S = f (x ) = x 2 + (l - x )2 = 1 (2x 2- 2lx + l 2 ) ， 0 < x < l .4 4 16 令 f '(x ) = 0 ，即4x - 2l = 0 ， x = l.2当 x ∈ l (0, ) 2时， f '(x ) < 0 ；当 x ∈ l( , l ) 2 时， f '(x ) > 0 .因此， x = l是函数 f (x ) 的极小值点，也是最小值点.2V3 2 V321 ni 所以，当两段铁丝的长度分别是 l时，两个正方形的面积和最小.22、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长为 x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面为正方形，且边长为a - 2x ，高为 x .（1）无盖方盒的容积V (x ) = (a - 2x )2 x ， 0 < x < a.2（2）因为V (x ) = 4x 3 - 4ax 2 + a 2 x ，所以V '(x ) = 12x 2 - 8ax + a 2 .令V '(x ) = 0 ，得 x = a （舍去），或 x = a.（第 2 题）当 x ∈ a (0, ) 6 2 时，V '(x ) > 0 ；当 x ∈ 6 a a( , ) 6 2 时，V '(x ) < 0 . 因此， x = a是函数V (x ) 的极大值点，也是最大值点.6 所以，当 x = a时，无盖方盒的容积最大.63、如图，设圆柱的高为h ，底半径为 R ，则表面积 S = 2Rh + 2R 2由V = R 2h ，得h =V .R 2因此， S (R ) = 2R2V V R 2 + 2R 2 = 2V + 2R 2 ， R > 0 . R令 S '(R ) = - + 4R = 0 ，解得 R = .R当 R ∈(0, 3 V) 时， S '(R ) < 0 ；2当 R ∈( 3 V2, +∞) 时， S '(R ) > 0 .（第 3 题）因 此 ， R =是 函 数 S (R ) 的 极 小 值 点 ， 也 是 最 小 值 点 . 此 时 ，h = V R 2 = 23 V= 2R .2所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.n 4、证明：由于 f (x ) = ∑(x - a )2，所以 f '(x ) = 2 ∑(x - a ) .n i =1 n i =1i8a 4 + 令 f (x ) = 0 ，得 x = n ∑ = n ∑ n ∑ )x ' 1 na i =11 n可以得到， x a i是函数 f (x ) 的极小值点，也是最小值点.i =11 n这个结果说明，用 n 个数据的平均值 a i 表示这个物体的长度是合理i =1的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为 x m ，则半圆的半径为 x 2m ，半圆的面积为x 2 8m 2 ，矩形的面积为a -x 2 8 m 2 ，矩形的另一边长为( a x - x ) m8因此铁丝的长为l (x ) =x + x + 2a - x = (1+ + 2a， 0 < x < 2 x 4 4 x令l '(x ) = 1+ - 4 2a = 0 ，得 x = x2（负值舍去）.当 x ∈(0, ) 时， l '(x ) < 0 ；当 x ∈( 8a ,8a ) 时， l '(x ) > 0 .因此， x = 4 +是函数l (x ) 的极小值点，也是最小值点.所以，当底宽为m 时，所用材料最省.6、利润 L 等于收入 R 减去成本C ，而收入 R 等于产量乘单价. 由此可得出利润 L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入 R = q ⋅ p = q (25 - 1 q ) = 25q - 1q 2 ，8 8 利润 L = R - C = (25q - 1 q 2 ) - (100 + 4q ) = - 1q 2 + 21q -100 ， 0 < q < 200 .8 8求导得 L ' = - 1q + 214 令 L ' = 0 ，即- 1q + 21 = 0 ， q = 84 .4当 q ∈(0,84) 时， L ' > 0 ；当 q ∈(84, 200) 时， L ' < 0 ；8a8a 4 + 8a4 + 8a4 +i ，n ∆ ( ) ⋅ + ⋅ ] 因此， q = 84 是函数 L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为 84 时，利润 L 最大,习题 1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为 x 元，那么宾馆利润 L (x ) = (50 - x -180)(x - 20) = - 110 10令 L '(x ) = - 1x + 70 = 0 ，解得 x = 350 .5x 2 + 70x -1360 ，180 < x < 680 .当 x ∈(180, 350) 时， L '(x ) > 0 ；当 x ∈(350, 680) 时， L '(x ) > 0 .因此， x = 350 是函数 L (x ) 的极大值点，也是最大值点.所以，当每个房间每天的定价为 350 元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为 x 元／件时，利润 L (x ) = (x - a )(c + c b - x ⨯ 4) = c (x - a )(5 - 4 x ) ， a < x < 5b.b b 4令 L '(x ) = - 8c x + 4ac + 5bc = 0 ，解得 x = 4a + 5b.b b 8 当 x ∈(a , 4a + 5b ) 时， L '(x ) > 0 ；当 x ∈( 4a + 5b , 5b) 时， L '(x ) < 0 .8 8 4 当 x = 4a + 5b 是函数 L (x ) 的极大值点，也是最大值点.8所以，销售价为 4a + 5b元／件时，可获得最大利润.81.5 定积分的概念练习（P42） 8 . 3说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.练习（P45）1、∆s ≈ ∆s ' = v ( i )∆t = [-( i )2 + 2]⋅ 1 = -( i )2 ⋅ 1 + ⋅ 2， i = 1, 2, , n .i i n n n n n n于是 s = ∑ ∆s ≈ ∑ ∆s ' = ∑ i v ( ) ti =1 i ii =1 i =1n= ∑ i =1[- i 2 1 2n n n = - 1 2 1n -1 2 1 n 2 1( n ) ⋅ n- - ( ) ⋅ - ( ) n n n ⋅ + 2 n = - 1[1+ 22 + + n 2 ] + 2n 3nn n= ∑ i =1i =1i =1⎰ ∑a= - 1 ⋅ n (n +1)(2n +1) + 2 n 3 6 = - 1 (1+ 1 )(1+ 1) + 23 n 2n 取极值，得s = lim ∑ 1 i n[ v ( )] lim [- 1 (1+ 1 )(1+ 1 ) + 2] = 5n →∞ i =1 nn n →∞ i =1 3 n 2n 3 说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想. 2、 22 km.3说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤. 练习（P48）2x 3dx = 4 .说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.从几何上看，表示由曲线 y = x 3 与直线 x = 0 ， x = 2 ， y = 0 所围成的曲边梯形的面积 S = 4 . 习题 1.5 A 组（P50）2100i -1 1 1、（1） ⎰1 (x -1)dx ≈ ∑[(1+ 100 ) -1]⨯ 100 = 0.495 ； 2500i -1 1 （2） ⎰1 (x -1)dx ≈ ∑[(1+ 500) -1]⨯ 500 = 0.499 ； 21000i -1 1 （3） ⎰1 (x -1)dx ≈ ∑[(1+ 1000) -1]⨯ 1000 = 0.4995 . 说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法. 2、距离的不足近似值为：18⨯1+12 ⨯1+ 7 ⨯1+ 3⨯1+ 0 ⨯1 = 40 （m ）； 距离的过剩近似值为： 27 ⨯1+18⨯1+12 ⨯1+ 7 ⨯1+ 3⨯1 = 67 （m ）. 3、证明：令 f (x ) = 1 . 用分点 a = x 0 < x 1 < < x i -1 < x i < < x n = b将区间[a , b ] 等分成 n 个小区间， 在每个小区间[x i -1 , x i ] 上任取一点i(i = 1, 2, , n )作和式∑ f (i )∆x = ∑ b - an = b - a ， i =1bi =1nb - a 从而 1dx = lim n →∞i =1= b - a ，nnn n⎰1- x 2 1 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-1-1说明：进一步熟悉定积分的概念. 4、根据定积分的几何意义， ⎰01- x 2 dx 表示由直线 x = 0 ， x = 1 ， y = 0 以及曲线y = 所围成的曲边梯形的面积， 即四分之一单位圆的面积， 因此 1- x 2 d x = . 0 4 5、（1） ⎰0 x 3dx = - 1 . -1 4由于在区间[-1, 0] 上 x 3≤ 0 ，所以定积分 0x 3dx 表示由直线 x = 0 ， x = -1 ， y = 0-1和曲线 y = x 3 所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质，得⎰1x 3dx = ⎰0x 3dx + ⎰1x 3dx = - 1 + 1= 0 .-1 -1 0 4 4由于在区间[-1, 0] 上 x 3 ≤ 0 ，在区间[0,1] 上 x 3≥ 0 ，所以定积分 1x 3dx 等于位于 x-1轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积.（3）根据定积分的性质，得⎰2 x 3dx = ⎰0 x 3dx + ⎰2 x 3dx = - 1 + 4 = 15-1 -1 0 4 4由于在区间[-1, 0] 上 x 3 ≤ 0 ，在区间[0, 2] 上 x 3 ≥ 0 ，所以定积分 2x 3dx 等于位于 x-1轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中，由于 x 3 在区间[-1, 0] 上是非正的，在区间[0, 2] 上是非负的，如果直接利用定义把区间[-1, 2] 分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又 有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质 3 可以将定积分 2x 3dx-1化为 0 x 3dx + 2x 3dx ，这样， x 3 在区间[-1, 0] 和区间[0, 2] 上的符号都是不变的，再-1利用定积分的定义，容易求出⎰0x 3dx ， ⎰2x 3dx ，进而得到定积分⎰2x 3dx 的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义.习题 1.5 B 组（P50）1、该物体在t = 0 到t = 6 （单位：s ）之间走过的路程大约为 145 m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1） v = 9.81t .8 i 1 1 8⨯ 9（2）过剩近似值： ∑9.81⨯ ⨯ = 9.81⨯ ⨯ = 88.29 （m ）； i =12 2 4 2 1⎰4 4∑ i l ∑ ∑ ∑ n8i -1 1 1 8⨯ 7不足近似值： ∑9.81⨯i =1⨯ = 9.81⨯ ⨯ 2 2 4 2 = 68.67 （m ）（3） ⎰09.81tdt ； 3、（1）分割⎰09.81t d t = 78.48 （m ）.在区间[0, l ] 上等间隔地插入n -1个分点，将它分成n 个小区间：l l 2l(n - 2)l [0, ] ，[ , ]，……，[ , l ] ， n n n n 记第i 个区间为[(i -1)l iln , n ] （ i = 1, 2, n ），其长度为 ∆x = il - (i -1)l = l .n n n 把细棒在小段 ll 2l(n - 2)l[0, ] ，[ , ]，……，[ , l ] 上质量分别记作： n n n n∆m 1 , ∆m 2 , , ∆m n ，则细棒的质量m = ∑∆m i .i =1 （2） 近似代替当n 很大，即∆x 很小时，在小区间[(i -1)l , il] 上，可以认为线密度(x ) = x 2 n n的值变化很小， 近似地等于一个常数， 不妨认为它近似地等于任意一点 ∈[(i -1)l il处的函数值 () = 2. 于是， 细棒在小段 [(i -1)l il上质量 i , ] i i , ] n n n n∆m ≈ ()∆x = 2 l （ i = 1, 2, n ）.i i i n（3） 求和得细棒的质量n nnm = ∆m ≈ ()∆x = 2. i ii n（4） 取极限i =1i =1nl2i =1l 2细棒的质量 m = limn →∞i =1n，所以m = ⎰0 x dx ..1.6 微积分基本定理练习（P55）（1）50；（2） 50 ；（3）4 2 - 5； （4）24； 33 3（5） 3 - ln 2 ； （6） 1 ；（7）0；（8） -2 .2 23 6 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 习题 1.6 A 组（P55）1、（1） 40 ； （2） - 1- 3ln 2 ；（3） 9+ ln 3 - ln 2 ；3 （4） - 17 ；（5） 6232 82+1； （6） e 2- e - 2 ln 2 .说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.2、 3sin xdx = [-cos x ]3= 2 . ⎰0 它表示位于 x 轴上方的两个曲边梯形的面积与 x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于 x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与 x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和. 习 题 1.6 B 组 （P55）1 e2 11 11、（1）原式＝[ e 2x ]1 = - ；（2）原式＝[ sin 2x ]4 = - ；2 0 2 22x 3 62 4 （3）原式＝[ ln 2]1 = ln 2.2、（1） sin mxdx = [- cos mx ]= - 1[cos m - cos(-m )] = 0 ； ⎰-m - msin mx 1（2） cos mxdx = | = [sin m - sin(-m )] = 0 ；⎰-m - m（3） sin 2 mxdx = 1- cos 2mx dx = [ x - sin 2mx ]= ；⎰- ⎰- 2 2 4m - （4） cos 2mxdx = 1+ cos 2mx dx = [ x + sin 2mx ] = .⎰- ⎰- 2 2 4m -3、 （ 1） s (t ) = t g (1- e -kt )dt = g+ g e - kt ]t = g t + g e - kt - g = 49t + 245e -0.2t - 245 . ⎰0 k [ k t k2 0 k k 2 k 2（2）由题意得 49t + 245e -0.2t - 245 = 5000 .这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计t 的取值范围.根据指数函数的性质，当t > 0 时， 0 < e -0.2t < 1 ，从而 5000 < 49t < 5245 ，因此， 5000 < t < 5245 .49 49因此245e-0.2⨯500049≈ 3.36 ⨯10-7 ， 245e-0.2⨯524549≈ 1.24 ⨯10-7 ，所以，1.24 ⨯10-7 < 245e -0.2t < 3.36 ⨯10-7 .从而，在解方程49t + 245e -0.2t - 245 = 5000 时， 245e -0.2t 可以忽略不计.240 ⎰ ⎰= ⎰ 0a a 1]a 3因此，. 49t - 245 ≈ 5000 ，解之得 t ≈5245（s ）.49说明：B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握. 1.7 定积分的简单应用练习（P58）（1） 32； （2）1.3说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程.练习（P59）52 51、 s = (2t + 3)dt = [t + 3t ] = 22 （m ）.⎰3 2、W = ⎰0 (3x + 4)dx = [ 2 3x 2 + 4x ]4 = 40 （J ）. 习题 1.7 A 组（P60）1、（1）2； （2） 9.2 2、W = ⎰b k q dr = [-q b = k q - k q.a r r a b3、令v (t ) = 0 ，即40 -10t = 0 . 解得t = 4 . 即第 4s 时物体达到最大高度.42 4最大高度为 h = (40 -10t )dt = [40t - 5t ] = 80 （m ）.⎰4、设t s 后两物体相遇，则 0t(3t 2+1)dt = t10tdt + 5 ， 0解之得t = 5 . 即 A , B 两物体 5s 后相遇.此时，物体 A 离出发地的距离为 5(3t 2 +1)dt = [t 3 + t ]5 = 130 （m ）.⎰5、由 F = kl ，得10 = 0.01k . 解之得k = 1000 .所做的功为 0.1W1000ldl = 500l 2 |0.1= 5 （J ）. 06、（1）令v (t ) = 5 - t + 551+ t= 0 ，解之得t = 10 . 因此，火车经过 10s 后完全停止.（2） s = (5 - t + 55 )dt = [5t - 1 t 2 + 55 ln(1+ t )]10 = 55 ln11（m ）. ⎰1+ t2习题 1.7 B 组（P60）1、（1） ⎰- aa 2 - x 2 dx 表示圆 x 2 + y 2 = a 2 与 x 轴所围成的上半圆的面积，因此⎰- adx =a 22（2） ⎰[ - x ]dx 表示圆(x -1)2 + y 2 = 1与直线（ 第 1（ 2）2 a 2- x 21- (x -1)210k3 x 2 33x33x= 2bh . （第 2 题） 0⎩ ⎰ ⎰ y = x 所围成的图形（如图所示）的面积，1⨯12 1 1因此， ⎰0 [ - x ]dx =- ⨯1⨯1 = - . 4 2 4 22、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的方程为 y = ax 2 ，则h = a ⨯ (b )2 ，所以a = 4h. 2 b 2从而抛物线的方程为y = 4h x 2. b 2b4h4h b 于是，抛物线拱的面积 S = 2 2(h - 0b 2 x 2 )dx = 2[hx - 3b 2 x 3 ]2 3⎧ y = x 2 + 23、如图所示.解方程组⎨ y = 3x得曲线 y = x 2 + 2 与曲线 y = 3x 交点的横坐标 x = 1 ， x = 2 .12于是，所求的面积为 1[(x 2 + 2) - 3x ]dx + 2[3x - (x 2 + 2)]dx = 1 .0 14、证明：W = R +h G Mm dr = [-G Mm ]R +h = GMmh .⎰Rr2rRR (R + h )第一章 复习参考题 A 组（P65）1、（1）3；（2） y = -4 .2、（1） y ' =2 s in x cos x + 2x； （2） y ' = 3(x - 2)2 (3x +1)(5x - 3) ；cos 2x（3） y ' =2x ln x ln 2 + 2x x；（4） y 2x - 2x 2(2x +1)4.3、 F ' = -2GMm .r34、（1） f '(t ) < 0 . 因为红茶的温度在下降.（2） f '(3) = -4 表明在 3℃附近时，红茶温度约以 4℃／min 的速度下降. 图略.5、因为 f (x ) = ，所以 f '(x ) =2 .当 f '(x ) =2> 0 ，即 x > 0 时， f (x ) 单调递增； 1- (x -1)2 ⎰ ' =33x=当 f '(x ) =2< 0 ，即 x < 0 时， f (x ) 单调递减.6、因为 f (x ) = x 2 + px + q ，所以 f '(x ) = 2x + p .当 f '(x ) = 2x + p = 0 ，即 x = - p= 1 时， f (x ) 有最小值.2由- p= 1，得 p = -2 . 又因为 f (1) = 1- 2 + q = 4 ，所以q = 5 .27、因为 f (x ) = x (x - c )2 = x 3 - 2cx 2 + c 2 x ，所以 f '(x ) = 3x 2 - 4cx + c 2 = (3x - c )(x - c ) .当 f '(x ) = 0 ，即 x = c，或 x = c 时，函数 f (x ) = x (x - c )2 可能有极值.3由题意当 x = 2 时，函数 f (x ) = x (x - c )2 有极大值，所以c > 0 . 由于所以，当x = c 时，函数 f (x ) = x (x - c )2 有极大值. 此时， c = 2 ， c = 6 . 3 3 8、设当点 A 的坐标为(a , 0) 时， ∆AOB 的面积最小.因为直线 AB 过点 A (a , 0) ， P (1,1) ，所以直线 AB 的方程为 y - 0 = x - a，即 y =x - 0 1- a1 (x - a ) . 1- a 当 x = 0 时， y = a ，即点 B 的坐标是(0, a) .a -1因此， ∆AOB 的面积 S ∆AOB = S (a ) = a -11 aa 22 a a -1 2(a -1) .令 S '(a ) = ' = 1 ⋅a 2 - 2a =0 ，即 S (a ) 2 (a -1)2 0 .当a = 0 ，或a = 2 时， S '(a ) = 0 ， a = 0 不合题意舍去.x (-∞, c )3c 3( c , c ) 3c(c , +∞)f '(x ) ＋－＋f (x )单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增由于所以，当a = 2 ，即直线 AB 的倾斜角为135︒ 时， ∆AOB 的面积最小，最小面积为 2. 9、 D .10、设底面一边的长为 x m ，另一边的长为(x + 0.5) m. 因为钢条长为 14.8m. 所以，长方体容器的高为14.8 - 4x - 4(x + 0.5) = 12.8 - 8x = 3.2 - 2x .4 4设容器的容积为V ，则V = V (x ) = x (x + 0.5)(3.2 - 2x ) = -2x 3 + 2.2x 2 +1.6x ， 0 < x < 1.6 .令V '(x ) = 0 ，即-6x 2 + 4.4x +1.6 = 0 .所以， x = - 4 15（舍去），或 x = 1 .当 x ∈(0,1) 时，V '(x ) > 0 ；当 x ∈(1,1.6) 时，V '(x ) < 0 .因此， x = 1 是函数V (x ) 在(0,1.6) 的极大值点，也是最大值点. 所以，当长方体容器的高为 1 m 时，容器最大，最大容器为 1.8 m 3. 11、设旅游团人数为100 + x 时，旅行社费用为 y = f (x ) = (100 + x )(1000 - 5x ) = -5x 2 + 500 +100000 (0 ≤ x ≤ 80) .令 f '(x ) = 0 ，即-10x + 500 = 0 ， x = 50 .又 f (0) = 100000 ， f (80) = 108000 ， f (50) = 112500 .所以， x = 50 是函数 f (x ) 的最大值点.所以，当旅游团人数为 150 时，可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为 x cm 时，可使其打印面积最大.因为打印纸的面积为 623.7，长为 x ，所以宽为 623.7，x打印面积 S (x ) = (x - 2 ⨯ 2.54)( 623.7- 2 ⨯ 3.17)x= 655.9072 - 6.34x - 3168.396， 5.08 < x < 98.38 .x2 令 S '(x ) = 0 ，即6.34 - 3168.396 = 0 ， x ≈ 22.36 （负值舍去）， 623.7≈ 27.89 .x 2 22.365 2dx = 2 (cos x - sin x )dx = [sin x + cos x ]2 = 0 ； （5）原式＝ 2 dx = [ ]2 = x = 22.36 是函数 S (x ) 在(5.08, 98.38) 内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点.所以，打印纸的长、宽分别约为 27.89cm ，22.36cm 时，可使其打印面积最大. 13、设每年养q 头猪时，总利润为 y 元.则 y = R (q ) - 20000 -100q = - 1q 2 + 300q - 20000 (0 < q ≤ 400, q ∈ N ) .2令 y ' = 0 ，即-q + 300 = 0 ， q = 300 .当q = 300 时， y = 25000 ；当q = 400 时， y = 20000 .q = 300 是函数 y ( p ) 在(0, 400] 内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点.所以，每年养 300 头猪时，可使总利润最大，最大总利润为 25000 元. 14、（1） 2 - 2 ；（2） 2e - 2 ； （3）1；cos 2 x - sin 2 x⎰0cos x + sin x⎰01- cos x x - sin x - 2⎰0 2 2 0 4 15、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.16、2 - 2 .17、由 F = kl ，得0.049 = 0.01k . 解之得k = 4.9 .0.3l 2 0.3所做的功为 W = ⎰0.1 4.9ldl = 4.9 ⨯ 2|0.1 = 0.196 （J ）第一章 复习参考题 B 组（P66）1、（1） b '(t ) = 104 - 2 ⨯103t . 所以，细菌在t = 5 与t = 10 时的瞬时速度分别为 0 和-104 .（2）当0 ≤ t < 5 时， b '(t ) > 0 ，所以细菌在增加；当5 < t < 5 + 5 时， b '(t ) < 0 ，所以细菌在减少.2、设扇形的半径为r ，中心角为弧度时，扇形的面积为 S .因为 S = 1r 2 ， l - 2r =r ，所以= l- 2 .2 rS = 1r 2 = 1 ( l - 2)r 2 = 1 (lr - 2r 2 ) ， 0 < r < l .2 2 r 2 23 2 （4）原式＝ .令 S ' = 0 ，即l - 4r = 0 ， r = l，此时为 2 弧度.4r = l 是函数 S (r ) 在 4 l(0, ) 内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.2所以，扇形的半径为 l、中心角为 2 弧度时，扇形的面积最大.43、设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么r 2 + h 2 = R 2 . 因此，V =1r 2h = 1(R 2 - h 2 )h = 1R 2h -1h 3 ， 0 < h < R .3 3 33令V ' = 1R 2 -h 2 = 0 ，解得h = 33 R .3容易知道， h =3 R 是函数V (h ) 的极大值点，也是最大值点.3所以，当h =3 R 时，容积最大.3把h =3 R 代入r 2 + h 2 = R 2 ，得r =36 R .3由 R = 2r ，得= 2 6 .3所以，圆心角为=2 6 时，容积最大.34、由于80 = k ⨯102 ，所以k = 4.5设船速为 x km ／h 时，总费用为 y ，则 y = 4 x 2 ⨯ 20 + 20⨯ 4805 x x令 y ' = 0 ，即16 - 9600= 0 ， x ≈ 24 .x2 = 16x + 9600， x > 0x容易知道， x = 24 是函数 y 的极小值点，也是最小值点.当 x = 24 时， (16 ⨯ 24 + 9600) ÷ ( 20) ≈ 941（元／时）24 24所以，船速约为 24km ／h 时，总费用最少，此时每小时费用约为 941 元.5、 设汽车以 x km ／ h 行驶时， 行车的总费用y = 390x(3 +x 2 360 ) + 130 ⨯14 ， x。
高中数学选修2_2全套知识点与练习答案解析
选修2-2 知识点及习题答案解析导数及其应用一.导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在x x =处的导数，记作0()f x '或|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n nn f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即00()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()x f x e '=7 若()log xaf x =,则1()ln f x x a '= 8 若()ln f x x =,则1()f x x'=导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2.[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x g x '''=•三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b(1)如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；(2)如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数()y f x =的极值的方法是:（1）如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值（2）如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤： （1）求函数()y f x =在(,)a b 的极值； （2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.推理与证明考点一 合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.类比推理的一般步骤:(1) 找出两类事物的相似性或一致性;(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.(4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.考点二 演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理. 考点三 数学归纳法1. 它是一个递推的数学论证方法.2. 步骤:A.命题在n=1（或0n ）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k 时命题成立； C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N ∈)结论都成立。
高中数学选修2-2全套知识点和练习答案解析
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 高中数学选修2-2全套知识点和练习答案解析修选修 2-2 知识点及习题答案解析导数及其应用一一. 导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数 ( ) y f x 在0x x 处的瞬时变化率是0 00( ) ( )limxf x x f xx ，我们称它为函数 ( ) y f x 在0x x 处的导数，记作0( ) f x 或0| x x y，即0( ) f x =0 00( ) ( )limxf x x f xx 2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点nP 趋近于 P 时，直线 PT 与曲线相切。
容易知道，割线nPP 的斜率是 00( ) ( )nnnf x f xkx x，当点nP 趋近于 P 时，函数 ( ) y f x 在0x x 处的导数就是切线 PT 的斜率k，即0000( ) ( )lim ( )nxnf x f xk f xx x3. 导函数：当 x 变化时， ( ) f x 便是 x 的一个函数，我们称它为 ( ) f x 的导函数. ( ) y f x 的导函数有时也记作y ,即 0( ) ( )( ) limxf x x f xf xx 二二. 导数的计算基本初等函数的导数公式: 1 若 ( ) f x c (c 为常数)，则 ( ) 0 f x ； 2 若 ( ) f x x ,则1( ) f x x ; 3 若 ( ) sin f x x ,则 ( ) cos f x x1/ 34 若 ( ) cos f x x ,则 ( ) sin f x x ;5 若 ( )xf x a ,则 ( ) lnxf x a a6 若 ( )xf x e ,则 ( )xf x e7 若 ( ) log xaf x ,则1( )lnf xx a8 若 ( ) ln f x x ,则1( ) f xx导数的运算法则 1. [ ( ) ( )] ( ) ( ) f x g x f x g x2. [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x f x g x3. 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) [ ( )]f x f x g x f x g xg x g x复合函数求导 ( ) y f u 和 ( ) u g x ,称则 y 可以表示成为 x 的函数,即 ( ( )) y f g x 为一个复合函数( ( )) ( ) y f g x g x 三三. 导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间 ( , )a b 内 (1)如果( ) 0 f x ，那么函数( ) y f x 在这个区间单调递增；(2)如果 ( ) 0 f x ，那么函数( ) y f x 在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数( ) y f x 的极值的方法是:（1）如果在0x 附近的左侧 ( ) 0 f x ,右侧( ) 0 f x ,那么0( ) f x是极大值（2）如果在0x 附近的左侧 ( ) 0 f x ,右侧 ( ) 0 f x ,那么0( ) f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数求函数( ) y f x 在 [ , ]a b 上的最大值与最小值的步骤：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ （1）求函数 ( ) y f x 在 ( , )a b 内的...3/ 3。
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新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答第一章 导数及其应用 3．1变化率与导数 练习（P6）在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升.练习（P8）函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”1的思想. 练习（P9） 函数33()4Vr V π=(05)V ≤≤的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10）1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--∆--∆≥-∆-∆. 所以，企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t∆+∆-==-∆-∆∆，所以，(1) 3.3h '=-. 这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.(5)(5)10s s t s t t t∆+∆-==∆+∆∆，所以，(5)10s '=.因此，物体在第 5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第 5 s 的动能213101502k E =⨯⨯= J.4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>. 由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258k π=，于是2258t πθ=. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ∆+∆-==∆+∆∆，所以(3.2)20θπ'=. 因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于零，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数()f x '的图象如图（1）所示；第二个函数的导数()f x '恒大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于第三个函数，当x 小于零时，()f x '小于零，当x 大于零时，()f x '大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1．2导数的计算 练习（P18）1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=.2、（1）1ln 2y x '=； （2）2x y e '=； （3）4106y x x '=-； （4）3sin 4cos y x x '=--；（5）1sin 33xy '=-； （6）21y x '=-.习题1.2 A 组（P18）1、()()2S S r r S r r r r r π∆+∆-==+∆∆∆，所以，0()lim(2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=. 2、()9.8 6.5h t t '=-+. 3、3213()34r V Vπ'=.4、（1）213ln 2y x x '=+； （2）1n x n x y nx e x e -'=+； （3）2323sin cos cos sin x x x x xy x-+'=； （4）9899(1)y x '=+； （5）2x y e -'=-； （6）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++. 5、()82f x x '=-+. 由0()4f x '=有 04822x =-+，解得032x =. 6、（1）ln 1y x '=+； （2）1y x =-. 7、1xy π=-+.8、（1）氨气的散发速度()500ln 0.8340.834t A t '=⨯⨯.（2）(7)25.5A '=-，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少. 习题1.2 B 组（P19） 1、（1）（2）当h 越来越小时，sin()sin x h xy h+-=就越来越逼近函数cos y x =.（3）sin y x =的导数为cos y x =.2、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-，所以01x y ='=-.所以，曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h.1．3导数在研究函数中的应用 练习（P26）1、（1）因为2()24f x x x =-+，所以()22f x x '=-.当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增；当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减. （2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增； 当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减. （3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增； 当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减. （4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>，即13x <-或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减.2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+. （1）当0a >时，()0f x '>，即2bx a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2bx a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.（2）当0a <时，()0f x '>，即2bx a <-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；()0f x '<，即2bx a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-. 当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<，因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习（P29）1、24,x x 是函数()y f x =的极值点，注：图象形状不唯一.其中2x x =是函数()y f x =的极大值点，4x x =是函数()y f x =的极小值点. 2、（1）因为2()62f x x x =--，所以()121f x x '=-. 令()1210f x x '=-=，得112x =. 当112x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，当112x =时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-. （2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-. 令2()3270f x x '=-=，得3x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当3x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为54； 当3x =时，()f x 有极小值，并且极小值为54-. （3）因为3()612f x x x =+-，所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为10-； 当2x =时，()f x 有极大值，并且极大值为22 （4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-. 令2()330f x x '=-=，得1x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当1x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为2-； 当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为2 练习（P31）（1）在[0,2]上，当112x =时，2()62f x x x =--有极小值，并且极小值为149()1224f =-. 又由于(0)2f =-，(2)20f =.因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924-. （2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极大值，并且极大值为(3)54f -=； 当3x =时，3()27f x x x =-有极小值，并且极小值为(3)54f =-； 又由于(4)44f -=，(4)44f =-.因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.（3）在1[,3]3-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极大值，并且极大值为(2)22f =.又由于155()327f -=，(3)15f =.因此，函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最大值是22、最小值是5527.（4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-无极值. 因为(2)2f =-，(3)18f =-.因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-. 习题1.3 A 组（P31）1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<. 因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数.（2）因为()cos f x x x =+，(0,)2x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,)2x π∈. 因此，函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数. （3）因为()24f x x =--，所以()20f x '=-<. 因此，函数()24f x x =-是单调递减函数. （4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>. 因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数. 2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减. （2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-.当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<，即34x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减.（3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>. 因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数.（4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-. 当()0f x '>，即1x <-或13x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减.3、（1）图略. （2）加速度等于0.4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极大值； （2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极小值； （3）在3x x =处，函数()y f x =有极大值； （4）在5x x =处，函数()y f x =有极小值.5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=，得112x =-. 当112x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当112x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-.（2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-. 令2()3120f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为16；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为16-. （3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为22； 当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为10-. （4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=，得4x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当4x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为128-； 当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128. 6、（1）在[1,1]-上，当112x =-时，函数2()62f x x x =++有极小值，并且极小值为4724.由于(1)7f -=，(1)9f =，所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9，4724. （2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极大值，并且极大值为16； 当2x =时，函数3()12f x x x =-有极小值，并且极小值为16-. 由于(3)9f -=，(3)9f =-，所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16，16-.（3）在1[,1]3-上，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值.由于1269()327f -=，(1)5f =-，所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最大值和最小值分别为26927，5-.（4）当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.. 由于(3)117f -=-，(5)115f =，所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128，117-. 习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈ 所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递减因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即sin x x <，(0,)x π∈. 图略（2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈所以，当1(0,)2x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增，2()(0)0f x x x f =->=；当1(,1)2x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减，2()(1)0f x x x f =->=；又11()024f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略（3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠. 因为()1x f x e '=-，0x ≠所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增，()1(0)0x f x e x f =-->=；当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减，()1(0)0x f x e x f =-->=；综上，1x e x ->，0x ≠. 图略 （4）证明：设()ln f x x x =-，0x >. 因为1()1f x x'=-，0x ≠ 所以，当01x <<时，1()10f x x'=->，()f x 单调递增， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<； 当1x >时，1()10f x x'=-<，()f x 单调递减， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x =时，显然ln11<. 因此，ln x x <. 由（3）可知，1x e x x >+>，0x >.. 综上，ln x x x e <<，0x > 图略2、（1）函数32()f x ax bx cx d =+++的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.（2）因为32()f x ax bx cx d =+++，所以2()32f x ax bx c '=++. 下面分类讨论：当0a ≠时，分0a >和0a <两种情形： ①当0a >，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a >，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≥，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增. ②当0a <，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a <，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≤，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减 1．4生活中的优化问题举例 习题1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为x ，l x -，则这两个正方形的边长分别为4x ，4l x -，两个正方形的面积和为 22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<.令()0f x '=，即420x l -=，2lx =.当(0,)2l x ∈时，()0f x '<；当(,)2lx l ∈时，()0f x '>.因此，2lx =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.所以，当两段铁丝的长度分别是2l时，两个正方形的面积和最小.2、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无 盖方盒的底面为正方形，且边长为2a x -，高为x .（1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-，02ax <<.（2）因为322()44V x x ax a x =-+， 所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=，得2a x =（舍去），或6a x =. 当(0,)6a x ∈时，()0V x '>；当(,)62a ax ∈时，()0V x '<.因此，6ax =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点.所以，当6ax =时，无盖方盒的容积最大.3、如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ， 则表面积222S Rh R ππ=+由2V R h π=，得2V h R π=. 因此，2222()222V V S R R R R R R ππππ=+=+，0R >. 令2()40V S R R R π'=-+=，解得R =.当R ∈时，()0S R '<；当)R ∈+∞时，()0S R '>. 因此，R =是函数()S R 的极小值点，也是最小值点. 此时，22V h R R π===. 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于211()()n i i f x x a n ==-∑，所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=，得11ni i x a n ==∑，（第3题）可以得到，11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.这个结果说明，用n 个数据的平均值11ni i a n =∑表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2xm ，半圆的面积为28x π2m ，矩形的面积为28x a π-2m ，矩形的另一边长为()8a xx π-m 因此铁丝的长为22()(1)244xa x a l x x x x x πππ=++-=++，0x <<令22()104a l x x π'=+-=，得x =.当x ∈时，()0l x '<；当x ∈时，()0l x '>.因此，x =()l x 的极小值点，也是最小值点.时，所用材料最省. 6、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入211(25)2588R q p q q q q =⋅=-=-，利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.求导得1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，84q =.当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<；因此，84q =是函数L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为84时，利润L 最大,习题1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-，180680x <<.令1()7005L x x '=-+=，解得350x =.当(180,350)x ∈时，()0L x '>；当(350,680)x ∈时，()0L x '>. 因此，350x =是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元／件时，利润4()()(4)()(5)b x L x x a c c c x a x b b-=-+⨯=--，54ba x <<.令845()0c ac bc L x x b b+'=-+=，解得458a bx +=. 当45(,)8a b x a +∈时，()0L x '>；当455(,)84a b bx +∈时，()0L x '<.当458a bx +=是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，销售价为458a b+元／件时，可获得最大利润.1．5定积分的概念 练习（P42） 83. 说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.练习（P45）1、22112()[()2]()i i i i i s s v t n n n n n n'∆≈∆=∆=-+⋅=-⋅+⋅，1,2,,i n =.于是 111()n n ni i i i i is s s v t n ==='=∆≈∆=∆∑∑∑2112[()]ni i n n n ==-⋅+⋅∑22211111()()()2n n n n n n n n -=-⋅--⋅-⋅+2231[12]2n n=-++++31(1)(21)26n n n n ++=-⋅+111(1)(1)232n n =-+++取极值，得1111115lim [()]lim [(1)(1)2]323nnn n i i i s v n n n n →∞→∞====-+++=∑∑说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.2、223km.说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤. 练习（P48）2304x dx =⎰. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.从几何上看，表示由曲线3y x =与直线0x =，2x =，0y =所围成的曲边梯形的面积4S =.习题1.5 A 组（P50） 1、（1）10021111(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （2）50021111(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （3）100021111(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰. 说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.2、距离的不足近似值为：18112171310140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）； 距离的过剩近似值为：271181121713167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）.3、证明：令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=作和式11()nni i i b af x b a nξ==-∆==-∑∑， 从而11lim nban i b adx b a n→∞=-==-∑⎰， 说明：进一步熟悉定积分的概念.4、根据定积分的几何意义，0⎰表示由直线0x =，1x =，0y =以及曲线y =所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此4π=⎰.5、（1）03114x dx -=-⎰. 由于在区间[1,0]-上30x ≤，所以定积分031x dx -⎰表示由直线0x =，1x =-，0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质，得1133311011044x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,1]上30x ≥，所以定积分131x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.（3）根据定积分的性质，得202333110115444x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,2]上30x ≥，所以定积分231x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中，由于3x 在区间[1,0]-上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利用定义把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分231x dx -⎰化为02331x dx x dx -+⎰⎰，这样，3x 在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出031x dx -⎰，230x dx ⎰，进而得到定积分231x dx -⎰的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义.习题1.5 B 组（P50）1、该物体在0t =到6t =（单位：s ）之间走过的路程大约为145 m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）9.81v t =.（2）过剩近似值：8111899.819.8188.292242i i =⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）；不足近似值：81111879.819.8168.672242i i =-⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ） （3）49.81tdt ⎰；49.81d 78.48t t =⎰（m ）.3、（1）分割在区间[0,]l 上等间隔地插入1n -个分点，将它分成n 个小区间：[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n -， 记第i 个区间为(1)[,]i l iln n-（1,2,i n =），其长度为 (1)il i l l x n n n-∆=-=.把细棒在小段[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n-上质量分别记作：12,,,n m m m ∆∆∆，则细棒的质量1ni i m m ==∆∑.（2）近似代替当n 很大，即x ∆很小时，在小区间(1)[,]i l iln n-上，可以认为线密度2()x x ρ=的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点(1)[,]i i l il n n ξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是，细棒在小段(1)[,]i l il n n-上质量2()i i i lm x nρξξ∆≈∆=（1,2,i n =）.（3）求和得细棒的质量 2111()nnni i i i i i l m m x nρξξ====∆≈∆=∑∑∑. （4）取极限细棒的质量 21lim ni n i lm nξ→∞==∑，所以20l m x dx =⎰..1．6微积分基本定理练习（P55）（1）50； （2）503； （3）533-； （4）24； （5）3ln 22-； （6）12； （7）0； （8）2-.说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 习题1.6 A 组（P55）1、（1）403； （2）13ln 22--； （3）9ln 3ln 22+-；（4）176-； （5）2318π+； （6）22ln 2e e --. 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.2、3300sin [cos ]2xdx x ππ=-=⎰.它表示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和. 习题1.6 B 组（P55）1、（1）原式＝221011[]222x e e =-； （2）原式＝4611[sin 2]22x ππ=； （3）原式＝3126[]ln 2ln 2x =. 2、（1）cos 1sin [][cos cos()]0mx mxdx m m m m ππππππ--=-=---=⎰；（2）sin 1cos [sin sin()]0mx mxdx m m m m ππππππ--=|=--=⎰；（3）21cos 2sin 2sin []224mx x mx mxdx dx m πππππππ----==-=⎰⎰；（4）21cos 2sin 2cos []224mx x mx mxdx dx mπππππππ---+==+=⎰⎰.3、（1）0.202220()(1)[]49245245t kt kt t kt t g g g g g gs t e dt t e t e t e k k k k k k----=-=+=+-=+-⎰.（2）由题意得 0.2492452455000t t e -+-=.这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计t 的取值范围. 根据指数函数的性质，当0t >时，0.201t e -<<，从而 5000495245t <<， 因此，500052454949t <<. 因此50000.2749245 3.3610e-⨯-≈⨯，52450.2749245 1.2410e-⨯-≈⨯，所以，70.271.2410245 3.3610t e ---⨯<<⨯.从而，在解方程0.2492452455000t t e -+-=时，0.2245t e -可以忽略不计.因此，.492455000t -≈，解之得 524549t ≈（s ）. 说明：B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握. 1．7定积分的简单应用 练习（P58）（1）323； （2）1.说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程. 练习（P59）1、52533(23)[3]22s t dt t t =+=+=⎰（m ）.2、424003(34)[4]402W x dx x x =+=+=⎰（J ）.习题1.7 A 组（P60）1、（1）2； （2）92.2、2[]b b a a q q q qW k dr k k k r r a b==-=-⎰. 3、令()0v t =，即40100t -=. 解得4t =. 即第4s 时物体达到最大高度.最大高度为 4240(4010)[405]80h t dt t t =-=-=⎰（m ）. 4、设t s 后两物体相遇，则20(31)105ttt dt tdt +=+⎰⎰，解之得5t =. 即,A B 两物体5s 后相遇. 此时，物体A 离出发地的距离为523500(31)[]130t dt t t +=+=⎰（m ）.5、由F kl =，得100.01k =. 解之得1000k =. 所做的功为 0.120.10010005005W ldl l ==|=⎰（J ）.6、（1）令55()501v t t t=-+=+，解之得10t =. 因此，火车经过10s 后完全停止. （2）1021000551(5)[555ln(1)]55ln1112s t dt t t t t =-+=-++=+⎰（m ）. 习题1.7 B 组（P60）1、（1）a -⎰表示圆222x y a +=与x 轴所围成的上半圆的面积，因此22aa π-=⎰（2）1]x dx ⎰表示圆22(1)1x y -+=与直线（第1（2）题）y x =所围成的图形（如图所示）的面积，因此，2120111[1(1)]114242x x dx ππ⨯---=-⨯⨯=-⎰. 2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的方程为2y ax =，则2()2b h a =⨯，所以24ha b =.从而抛物线的方程为 224hy x b =.于是，抛物线拱的面积232202204422()2[]33b bh h S h x dx hx x bh b b =-=-=⎰. 3、如图所示.解方程组223y x y x⎧=+⎨=⎩得曲线22y x =+与曲线3y x =交点的横坐标11x =，22x =. 于是，所求的面积为122201[(2)3][3(2)]1x x dx x x dx +-+-+=⎰⎰.4、证明：2[]()R hR h R RMm Mm MmhW Gdr G G r r R R h ++==-=+⎰. 第一章 复习参考题A 组（P65）1、（1）3； （2）4y =-.2、（1）22sin cos 2cos x x xy x+'=； （2）23(2)(31)(53)y x x x '=-+-； （3）22ln ln 2x xy x x '=+； （4）2422(21)x x y x -'=+. 3、32GMm F r '=-. 4、（1）()0f t '<. 因为红茶的温度在下降.（2）(3)4f '=-表明在3℃附近时，红茶温度约以4℃／min 的速度下降. 图略. 5、因为32()f x x =，所以32()3f x x'=.当32()03f x x'=>，即0x >时，()f x 单调递增；yxh b O（第2题）当()0f x '=<，即0x <时，()f x 单调递减.6、因为2()f x x px q =++，所以()2f x x p '=+. 当()20f x x p '=+=，即12px =-=时，()f x 有最小值. 由12p-=，得2p =-. 又因为(1)124f q =-+=，所以5q =. 7、因为2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+， 所以22()34(3)()f x x cx c x c x c '=-+=--. 当()0f x '=，即3cx =，或x c =时，函数2()()f x x x c =-可能有极值. 由题意当2x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值，所以0c >. 由于所以，当3c x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值. 此时，23c=，6c =. 8、设当点A 的坐标为(,0)a 时，AOB ∆的面积最小. 因为直线AB 过点(,0)A a ，(1,1)P ，所以直线AB 的方程为001y x a x a --=--，即1()1y x a a =--.当0x =时，1a y a =-，即点B 的坐标是(0,)1aa -. 因此，AOB ∆的面积21()212(1)AOBa a S S a a a a ∆===--.令()0S a '=，即2212()02(1)a aS a a -'=⋅=-. 当0a =，或2a =时，()0S a '=，0a =不合题意舍去.由于所以，当2a =，即直线AB 的倾斜角为135︒时，AOB ∆的面积最小，最小面积为2.9、D .10、设底面一边的长为x m ，另一边的长为(0.5)x +m. 因为钢条长为14.8m. 所以，长方体容器的高为14.844(0.5)12.88 3.2244x x xx --+-==-.设容器的容积为V ，则32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V V x x x x x x x ==+-=-++，0 1.6x <<.令()0V x '=，即26 4.4 1.60x x -++=. 所以，415x =-（舍去），或1x =. 当(0,1)x ∈时，()0V x '>；当(1,1.6)x ∈时，()0V x '<. 因此，1x =是函数()V x 在(0,1.6)的极大值点，也是最大值点. 所以，当长方体容器的高为1 m 时，容器最大，最大容器为1.8 m 3. 11、设旅游团人数为100x +时，旅行社费用为2()(100)(10005)5500100000y f x x x x ==+-=-++(080)x ≤≤. 令()0f x '=，即105000x -+=，50x =.又(0)100000f =，(80)108000f =，(50)112500f =. 所以，50x =是函数()f x 的最大值点.所以，当旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为x cm 时，可使其打印面积最大.因为打印纸的面积为623.7，长为x ，所以宽为623.7x，打印面积623.7()(2 2.54)(2 3.17)S x x x=-⨯-⨯ 23168.396655.9072 6.34x x =--，5.0898.38x <<.令()0S x '=，即23168.3966.340x -=，22.36x ≈（负值舍去），623.727.8922.36≈. 22.36x =是函数()S x 在(5.08,98.38)内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点.所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm ，22.36cm 时，可使其打印面积最大. 13、设每年养q 头猪时，总利润为y 元.则 21()20000100300200002y R q q q q =--=-+-(0400,)q q N <≤∈.令0y '=，即3000q -+=，300q =.当300q =时，25000y =；当400q =时，20000y =.300q =是函数()y p 在(0,400]内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点. 所以，每年养300头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000元.14、（1）2； （2）22e -； （3）1；（4）原式＝22222000cos sin (cos sin )[sin cos ]0cos sin x xdx x x dx x x x xπππ-=-=+=+⎰⎰； （5）原式＝22001cos sin 2[]224x x x dx πππ---==⎰. 15、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.16、2.17、由F kl =，得0.0490.01k =. 解之得 4.9k =.所做的功为 20.30.30.10.14.9 4.90.1962l W ldl ==⨯|=⎰（J ）第一章 复习参考题B 组（P66）1、（1）43()10210b t t '=-⨯. 所以，细菌在5t =与10t =时的瞬时速度分别为0和410-.（2）当05t ≤<时，()0b t '>，所以细菌在增加；当55t <<+时，()0b t '<，所以细菌在减少.2、设扇形的半径为r ，中心角为α弧度时，扇形的面积为S .因为212S r α=，2l r r α-=，所以2lrα=-.222111(2)(2)222l S r r lr r r α==-=-，02l r <<.令0S '=，即40l r -=，4lr =，此时α为2弧度.4l r =是函数()S r 在(0,)2l内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.所以，扇形的半径为4l、中心角为2弧度时，扇形的面积最大.3、设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么222r h R +=.因此，222231111()3333V r h R h h R h h ππππ==-=-，0h R <<.令22103V R h ππ'=-=，解得h =.容易知道，h R =是函数()V h 的极大值点，也是最大值点.所以，当h R =时，容积最大.把3h R =代入222r h R +=，得3r R =.由2R r απ=，得3α=.所以，圆心角为α=时，容积最大. 4、由于28010k =⨯，所以45k =. 设船速为x km ／h 时，总费用为y ，则2420204805y x x x=⨯+⨯ 960016x x=+，0x >令0y '=，即29600160x-=，24x ≈.容易知道，24x =是函数y 的极小值点，也是最小值点. 当24x =时，960020(1624)()9412424⨯+÷≈（元／时）所以，船速约为24km ／h 时，总费用最少，此时每小时费用约为941元.5、设汽车以x km ／h 行驶时，行车的总费用2390130(3)14360x y x x =++⨯，50100x ≤≤ 令0y '=，解得53x ≈（km ／h ）. 此时，114y ≈（元） 容易得到，53x ≈是函数y 的极小值点，也是最小值点.因此，当53x ≈时，行车总费用最少.所以，最经济的车速约为53km ／h ；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是114元.6、原式＝4404422022[]2xx x x x e dx e dx e dx e e e e -----=+=-+|=+-⎰⎰⎰.7、解方程组 2y kx y x x=⎧⎨=-⎩ 得，直线y kx =与抛物线2y x x =-交点的横坐标为0x =，1k -.抛物线与x 轴所围图形的面积2312100111()[]23236x x S x x dx =-=-=-=⎰.由题设得 1120()2k k S x x dx kxdx --=--⎰⎰31221001()[]23kkk x x x kx dx x ---=--=-⎰3(1)6k -=.又因为16S =，所以31(1)2k -=. 于是12k =-.说明：本题也可以由面积相等直接得到111220()()kk k x x kx dx kxdx x x dx -----=+-⎰⎰⎰，由此求出k 的值. 但计算较为烦琐.新课程标准数学选修2—2第二章课后习题解答第二章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理练习（P77）1、由12341a a a a ====，猜想1n a =.2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.3、设111O PQ R V -和222O P Q R V -分别是四面体111O PQ R -和222O P Q R -的体积， 则111222111222O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅. 练习（P81） 1、略.2、因为通项公式为n a 的数列{}n a ， 若1n na p a +=，其中p 是非零常数，则{}n a 是等比数列； ……………………大前提 又因为0cq ≠，则0q ≠，则11n n nn a cq q a cq ++==； ……………………………小前提所以，通项公式为(0)n n a cq cq =≠的数列{}n a 是等比数列. ……………………结论3、由AD BD >，得到ACD BCD ∠>∠的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD BD >”，而AD 与BD 不在同一个三角形中.习题2.1 A 组（P83）1、21n a n =+()n N *∈. 2、2F V E +=+.3、当6n ≤时，122(1)n n -<+；当7n =时，122(1)n n -=+；当8n =时，122(1)n n ->+()n N *∈.4、212111(2)n n A A A n π++≥-（2n >，且n N *∈）. 5、121217n n b b b b b b -=（17n <，且n N *∈）.6、如图，作DE ∥AB 交BC 于E .因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 又因为AD ∥BE ，AB ∥DE . 所以四边形ABED 是平行四边形.（第6题）因为平行四边形的对边相等.又因为四边形ABED 是平行四边形. 所以AB DE =.因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，又因为AB DE =，AB DC =, 所以DE DC = 因为等腰三角形的两底角是相等的.又因为△DEC 是等腰三角形, 所以DEC C ∠=∠ 因为平行线的同位角相等又因为DEC ∠与B ∠是平行线AB 和DE 的同位角, 所以DEC B ∠=∠ 因为等于同角的两个角是相等的，又因为DEC C ∠=∠，DEC B ∠=∠, 所以B C ∠=∠ 习题2.1 B 组（P84）1、由123S =-，234S =-，345S =-，456S =-，567S =-，猜想12n n S n +=-+.2、略.3、略.2．2直接证明与间接证明 练习（P89）1、因为442222cos sin (cos sin )(cos sin )cos 2θθθθθθθ-=+-=，所以，命题得证.2>，只需证22>，即证1313+>+>，只需要22>，即证4240>，这是显然成立的. 所以，命题得证. 3、因为 222222222()()()(2sin )(2tan )16sin tan a b a b a b αααα-=-+==， 又因为 sin (1cos )sin (1cos )1616(tan sin )(tan sin )16cos cos ab αααααααααα+-=+-=⋅22222222sin (1cos )sin sin 161616sin tan cos cos αααααααα-===， 从而222()16a b ab -=，所以，命题成立.说明：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.练习（P91）1、假设B ∠不是锐角，则90B ∠≥︒. 因此9090180C B ∠+∠≥︒+︒=︒. 这与三角形的内角和等于180°矛盾. 所以，假设不成立. 从而，B ∠一定是锐角.2成等差数列，则=所以22=，化简得5=225=，即2540=， 这是不可能的. 所以，假设不成立..说明：进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点. 习题2.2 A 组（P91）1、由于0a ≠，因此方程至少有一个跟bx a=.假设方程不止一个根，则至少有两个根，不妨设12,x x 是它的两个不同的根，则 1ax b = ①2ax b = ②①－②得12()0a x x -=因为12x x ≠，所以120x x -≠，从而0a =，这与已知条件矛盾，故假设不成立. 2、因为 (1tan )(1tan )2A B ++=展开得 1tan tan tan tan 2A B A B +++=，即tan tan 1tan tan A B A B +=-. ①假设1tan tan 0A B -=，则cos cos sin sin 0cos cos A B A B A B -=，即cos()0cos cos A B A B += 所以cos()0A B +=.因为A ，B 都是锐角，所以0A B π<+<，从而2A B π+=，与已知矛盾.因此1tan tan 0A B -≠.①式变形得 tan tan 11tan tan A BA B +=-， 即tan()1A B +=.又因为0A B π<+<，所以4A B π+=.说明：本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明.3、因为 1tan 12tan αα-=+，所以12tan 0α+=，从而2sin cos 0αα+=.另一方面，要证 3sin 24cos2αα=-， 只要证226sin cos 4(cos sin )αααα=-- 即证 222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=， 即证 (2sin cos )(sin 2cos )0αααα+-=由2sin cos 0αα+=可得，(2sin cos )(sin 2cos )0αααα+-=，于是命题得证. 说明：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰.4、因为,,a b c 的倒数成等差数列，所以211b a c=+. 假设2B π<不成立，即2B π≥，则B 是ABC ∆的最大内角，所以,b a b c >>（在三角形中，大角对大边）， 从而11112a c b b b +>+=. 这与211b a c=+矛盾. 所以，假设不成立，因此，2B π<.习题2.2 B 组（P91）1、要证2s a <，由于22s ab <，所以只需要2s s b<，即证b s <.因为1()2s a b c =++，所以只需要2b a b c <++，即证b a c <+. 由于,,a b c 为一个三角形的三条边，所以上式成立. 于是原命题成立. 2、由已知条件得 2b ac = ① 2x a b =+，2y b c =+ ② 要证2a cx y+=，只要证2ay cx xy +=，只要证224ay cx xy += 由①②，得 22()()2ay cx a b c c a b ab ac bc +=+++=++， 24()()2xy a b b c ab b ac bc ab ac bc =++=+++=++， 所以，224ay cx xy +=，于是命题得证. 3、由 tan()2tan αβα+= 得sin()2sin cos()cos αβααβα+=+，即sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+. ……①要证 3sin sin(2)βαβ=+即证 3sin[()]sin[()]αβααβα+-=++即证 3[sin()cos cos()sin ]sin()cos cos()sin αβααβααβααβα+-+=+++ 化简得sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+，这就是①式.。