(完整版)求和符号西格马(可编辑修改word版)

n
n
n
n 求和符号西格马
数学中常遇到众多项的和的问题，为了表述的方便，引入了用求和符号简单表述的方法。

并且，在数学的很多地方，都起到了重要的作用。

1求和符号的一般规律
下面的和式
a 1 +a
2
+a
3
+ +a
n
可以简单的表示为∑a i 。

i =1
这里的整数i 是变量，而a i 是i 的函数。

i = 1 指出了i 所取的最小值，n 指出了i 所取的最大值。

当然，i 不是必须从1 开始，它可以从小于等于n 的任何一个整数m 开始，如
∑a i=a m+a m+1+a m+2+ a n
i =m
特殊地，有∑a i =a n 。

i =n
了解了求和符号的一般规律，可以使复杂的问题简单化。

下面我们着手进行这些规律的研究。

n m n
定理1：∑a i =∑a i +∑a i ，其中m 是介于1 和n 间的整数。

i =1 i =1 i =m +1
证明：很明显，这是加法结合律的必然结果。

相当于把n 个数分成了两部分，分别求和后再求和。

n n n
定理2：∑a i +b i =∑a i +∑b i
i =1 i =1 i =1
证明：由加法的交换律和结合律可知
∑a i +b i =(a1 +b1 )+(a2 +b2 )+(a3 +b3 )+ (a n +b n )
i =1
=(a1 +a2 + a n )+(b1 +b2 + b n )
n n
=∑a i +∑b i
i =1 i =1
很明显，上面的两项和的问题可以扩展到多项，更一般地，有
n n n n n
定理3：∑a1i +a2i +a3i + +a ki =∑a1i +∑a2i +∑a3i + +∑a ki
i =1
这个结果可以由定理2 简单地推出。

i =1 i =1 i =1 i =1
n
对于a 1i = a 2i = a 3i = a ki = a i ，有
n n
∑ka
i
= k ∑a i
i =1
i =1
其中 k 为常数，且为整数。

这个结果告诉我们求和符号里面的整数常数可以提到求和符号的外边来。

不但如此，我们还可以将这个整数常数推广成任意的常数。

n
n
定理 4：
∑ra
i
= r ∑a i ，其中的 r 为任意常数。

i =1
i =1
n
n
证明：
∑ra
i
= ra 1 + ra 2 + + ra n = r (a 1 + a 2 + + a n ) = r ∑a i
i =1
可见，定理 4 是乘法分配律的结果。

i =1
例 1：已知
∑i i =1 = n (n + 1) 2
，试求
∑ i =1
(2i - 1)。

解： ∑ i =1 (2i
- 1) = ∑2i i =1
+ ∑ i =1 (- 1) =
2∑i i =1
- ∑1 = i =1 2 ⋅ n (n + 1) - n 2
= n 2。

例 1 实际上是证明了从 1 开始的连续 n 项奇数的和等于n 2 。

例 2：已知 ∑i = i =1 n (n + 1)
2
，试求 ∑i 2 。

i =1
解：由二项式定理可知： (i + 1)3
= i 3 + 3i 2 + 3i + 1 ，这说明
n n n n n
∑(i + 1)3
= ∑i 3 + 3∑i 2 + 3∑i + ∑1 （1）
i =1
注意到
i =1
i =1
i =1
i =1
∑(i + 1)
3
= 23 + 33 + + n 3 + (n + 1)3
i =1
∑i 3 = 13 + 23 + 33 + + n 3
i =1
n
n 有
∑(i + 1)3
- ∑i 3 = (n + 1)
3
- 1
（2）
i =1
i =1 将这个结果代入（1）式有
n
n
n
(n + 1)3 - 1 = 3∑i 2 + 3∑i + ∑1
i =1
i =1
i =1
n n n n n n n n n n
n
将 ∑i i =1 = n (n + 1) 2 代入可得： (n + 1)3 - 1 =
3∑ i =1
i 2 + 3 ⋅ n (n + 1) + n 2
∑ 2
= 1 ( + )( + ) 整理可得： i i =1
n n 1 2n 1 。

6 例 2 实际上是求出了从 1 开始的 n 个连续自然数平方的和。

n
n
n
n
一般来说，类似于定理 2 的
∑a i b i
= ∑a i
⋅ ∑b i
是不成立的， ∑a i b i
描述的是 n 项的和，
i =1
i =1
i =1
i =1
n
n
n
而
∑a ⋅ ∑b 描述的是n 2
项的和，而且这些项包含 ∑a b 的所有项。

i
i =1
i i =1
i i
i =1
2 双重求和与平面阵列
数列每一项都由相互独立的两个数 i 和 j 决定，即数列是 i 、j 的二元函数，它的一般项记为
a ij 。

取i = 1,2,3, , n ， j = 1,2,3, , m ，则a ij 表示了下面阵列的所有项a 11, a 12 , a 13 , , a 1m a 21, a 22 , a 23 , , a 2m
a 31, a 32 , a 33 , , a 3m
a n 1, a n 2 , a n 3 , , a nm
（3）
m n
m n
这n ⨯ m 项的和，简略地记为
∑∑a
ij ，符号
∑∑
是一个整体，称为双重求和符号。

它
j =1 i =1
j =1 i =1
与前面讨论的求和符号有什么联系吗？下面我们进行这个讨论。

求阵列（3）所有项的和可以有很多种方法，这里我们着重指出两种。

一种是先求各行的和， 再将各行的和累加；另一种是先求各列的和，再将各列的和累加。

先按行求和，有
m
m
m
m
n
⎛ m ⎫
∑a 1 j + ∑a 2 j + ∑a 3 j + + ∑a nj = ∑ ∑a ij ⎪ j =1 j =1 j =1 j =1 i =1 ⎝ j =1 ⎭
先按列求和，有
n
n n
n m ⎛ n ⎫ ∑a i 1 + ∑a i 2 + ∑a i 3 + + ∑a im = ∑ ∑a ij ⎪
i =1 i =1 i =1 i =1 j =1 ⎝ i =1 ⎭
m n
n
⎛ m ⎫ m ⎛ n ⎫
由于不管是 ∑∑a ij 、 ∑ ∑a ij ⎪ 还是 ∑ ∑a ij ⎪ ，表示的都是阵列（3）所有项的和。

因
此有： j =1 i =1 i =1 ⎝ j =1 ⎭
j =1 ⎝ i =1 ⎭ m n
n ⎛ m ⎫ m ⎛ n ⎫
定理 5：
∑∑a ij = ∑ ∑a ij ⎪ = ∑ ∑a ij ⎪
j =1 i =1 i =1 ⎝ j =1 ⎭ j =1 ⎝ i =1 ⎭ n n
m
m
n
n
这表明，双重求和可以化成对 i 和 j 的累次求和来进行，并且与求和的顺序无关。

即，我们即可以先对 i 求和也可以先对 j 求和。

m n
例 3：设a ij = i + j ，试求
∑∑a
ij 。

j =1 i =1
解：
m n
m n
m
∑∑a ij
= ∑∑(i + j ) = ∑[(1 + j ) + (2 + j ) + (3 + j ) + + (n + j )]
j =1 i =1
j =1 i =1
j =1
= ∑⎡ n (n + 1) + nj ⎤ = n (n + 1) ∑m
1 + n ∑m j = mn (n + 1) + mn (m + 1) j =1 ⎢⎣
2 ⎦⎥ 2 j =1
j =1 2 2 = 1
mn (m + n + 1) 2
m n
例 4：求 ∑∑ij 。

j =1 i =1
解：
∑∑ = ∑( +
+ + + ) = ∑ m (m + 1) = m (m + 1) ⋅ n (n + 1) = 1 ( + )( + ) ij
j =1 i =1
i i =1
2i 3i mi
i i =1
2 2 mn m 1 n 1 2 4
1、图 2 所示）。

n。