微分几何 陈维桓 绪论-第一章-第二章讲稿_百度文库.
微分几何课件
3、向量函数 r (t )的微商 r (t )仍为 t 的一个向量函数，如果函数 r (t ) 也是连续和可微的，则 r (t )的微商r (t ) 称为 r (t )的二阶微商。
( n) 类似可定义三阶、四阶微商。如r (t ), r (t ).
4、在区间 [t1,t2]上有直到 k 阶连续微商的函数称为这区间上的 k次
微分几何
第一节
向量函数
向量函数的概念：给出一点集 G ，如果对于G 中的每一个 点 x ，有一 个确定的向量 r 和它对应，则说在 G上给定了一个向 量函数，记作 r r ( x), x G, 例如 设G是实数轴上一区间 [t0 , t ] ，则得一元向量函数 r r (t ). 设G是一平面域， (u, v) G，则得二元向量函数 r r (u, v). ( x, y, z ) G，得三元向量函数 r r ( x, y, z) 设G是空间一区域， 1、1 向量函数的极限
例书中的开圆和圆柱螺线。
z
3、曲线的参数方程
坐标式
M
x x(t ) y y (t ) z z (t )
at b
x
o
y
向量式 r (t ) x(t )e1 y(t )e2 z(t )e3
例1、 开圆弧
x a cos t y a sin t
t (0, 2 )
1、5 向量函数的积分
c b （1）当a<c<b时有 a r (t )dt a r (t )dt c r (t )dt b b （2）m 是常数时有 mr (t )dt m r (t )dt
a
b
a （3）如果 m 是常向量，则有
微分几何
第二章曲线的概念4学时
第三章空间曲线12学时
第四章曲面的概念4学时
第五章曲面的第一基本形式8学时
第六章曲面的第二基本形式12学时
第七章直纹面和可展曲面6学时
第八章曲面论的基本定理8学时
第九章曲面上的测地线10学时
第十章常高斯曲率的曲面4学时
如果总课时数少于70，可以只讲授第一至第八章。
第八节高斯曲率的几何意义
教学要求
领会：理解曲面第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率等的意义。
掌握：曲面的第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率，曲面的局部结构等基本概念及它们的相关运算。
第一章向量函数4学时第二章曲线的概念4学时第三章空间曲线12学时第四章曲面的概念4学时第五章曲面的第一基本形式8学时第六章曲面的第二基本形式12学时第七章直纹面和可展曲面6学时第八章曲面论的基本定理8学时第九章曲面上的测地线10学时第十章常高斯曲率的曲面4学时如果总课时数少于70可以只讲授第一至第八章
教学目的
引入正则参数曲面，曲面的切平面，切向量，法线，单位法向量等概念，为进一步学习曲面论作好铺垫。
主要内容
第一节简单曲面及其参数表示
第二节光滑曲面曲面的切平面和法线
第三节曲面上的曲线族和曲线网
教学要求
掌握：简单曲面的参数表示；简单曲面及其上面曲线族（网）的特征；曲面的法线、切面的求法。
第五章曲面的第一基本形式
第二节空间曲线的基本三棱形
第三节空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式
第四节空间曲线在一点邻近的结构
微分几何基础chen
微分几何基础微积分的基本定理大概地说，微分就是把曲线用它的切线来研究它的性质，知道了曲线每一点切线的性质，也就知道了曲线的总体性质。
这相当于说把函数线性化。
线性化后，可以加减乘除，可以计算，并得到一个数来。
数学要是能得到一个数来，总是很要紧的。
积分大概的说，是计算面积。
微分是积分的反运算。
如果()()⎰=x a dx x f x A ，则()()x f dxx dA =。
这就是微分与积分的基本关系，或叫微积分基本定理。
多元微积分2维积分情形就有了区域，我们叫它∆，那么它的边界叫γ，所以积分的一个自然推广是一个2重积分。
一维积分是把x 分成小段，然后取小段再乘上这个函数，求一个和。
在2重积分的时候，方法也是把区域分成小块，然后取每一小块的面积，在其上函数值乘上它的面积，然后求它的和。
很不得了的，假使函数好的话，无论你如何圈你的区域，极限是一样的，这极限就是2重积分：()⎰⎰=dxdy y x f I ,在2维的时候，甚至高维的时候，一个重要的现象是，我们现在有2个变数x,y,换变数怎么样？换变数是微积分很重要的方法，很多问题看你的变数选择是否适当，有时换变数，问题就立即简单化了。
现在换变数：()()⎩⎨⎧''=''=y x y y y x x x ,,其中，()y x '',是另外一组坐标。
我们发现一个事实，在高维的时候，微分的乘法，我们写成dy dx ∧。
在多维情况下，微积分有一个巨大的进步，就是引进外代数和外微分。
一维情况下，变量微分是dx ，二维情况下，我们引进一个乘法dy dx ∧，并假定这个乘法是反对称的dx dy dy dx ∧-=∧如果这样定义，则易得0=∧dx dx ，因为dx dx dx dx ∧-=∧。
这时的变数由dx 变为dy dx ∧，因为02=∧=dx dx dx ，所以就没有高次的东西了。
这样得到的代数是外代数。
dx ∧是微积分上最微妙的观点。
陈维桓 微分几何教学大纲
《微分几何》课程教学大纲一、课程基本信息1二、课程内容及基本要求第一章为预备知识。
要求学生掌握标架、向量函数的概念，及常用的公式与性质定理。
第二章介绍空间曲线的基本理论与研究方法。
了解曲线的参数化，正则曲线，弧长的概念。
会熟练地计算曲线的曲率、挠率。
掌握运用Frenet标架和Frenet公式研究空间（或平面）曲线的几何性质的基本方法。
了解曲线论基本定理的内容和证明方法。
第三章介绍曲面的第一基本形式。
掌握参数曲面、正则曲面、切平面、法线和切向量的概念。
能熟练计算曲面的第一基本形式，第一类基本量。
了解参数曲线网、正交曲线网、保长（等距）对应、保角（共形）对应的概念。
掌握可展曲面的定义和分类定理。
第四章介绍曲面的第二基本形式。
能熟练计算曲面的第二基本形式，第二类基本量。
掌握法曲率、高斯映射和Weingarten变换的概念。
了解渐近方向、主方向、主曲率和欧拉公式。
能计算曲面的主曲率，确定对应的主方向。
了解Dupin标形和曲面的局部近似形状。
了解常曲率旋转曲面和极小旋转曲面。
第五章介绍曲面论基本定理。
了解曲面的Gauss-Codazzi方程。
会计算Christoffel符号和Riemann 曲率。
了解曲面论基本定理的内容。
掌握Gauss定理的内容及其应用。
第六章介绍曲面上的测地曲率和测地线。
掌握测地曲率、测地挠率的概念，计算测地曲率的Liouville 公式。
了解测地线的局部短程性、测地平行坐标系和测地极坐标系，运用测地坐标系证明具有相同常曲率的曲面相互等距。
了解切向量沿曲面上一条曲线平行移动的概念。
掌握Gauss-Bonnet公式的内容。
三、学时分配表：四、课程教学的有关说明要求学生课前预习，认真完成课外作业。
每周安排一次课外答疑时间。
在授课过程中，对部分较容易理解的内容开展几次讨论和课堂报告，培养学生的自学能力。
2南昌大学课程教学进度表(2006—2007学年第二学期适用)任课教师在每学期开课前根据教学大纲编写“课程进度表”，经教研室讨论在开学后一周内发至学生班级，并送学生所在系一份。
微分几何课程教学大纲
“微分几何”课程教学大纲英文名称：课程编号：学时：学分：适用对象：理学院数学各专业本科生（二年级下）先修课程：数学分析、高等代数与几何使用教材及参考书：维恒著，《微分几何初步》，北大梅向明著，《微分几何》虞言林著，《微分几何》一、课程性质、目的和任务本课程主要介绍维芡氏空间中曲线和曲面的经典局部理论，使学生树立正确的几何观念，为进一步学习现代数学和物理提供基础和背景。
二、教学基本要求本课程要求学生建立正确的几何概念、掌握描述和刻划曲线及曲面形状的方法和手段，会进行初步的曲率计算，并能理解绝妙定理的重要意义。
三、教学容及要求第一章预备知识标架向量值函数第二章曲线论参数曲线曲线的弧长曲线的曲率和标架挠率和公式曲线论基本定理曲线在一点的标准展开平面曲线重点掌握：曲线的标架及公式第三章曲面的第一基本形式曲面的定义切不面及切向量曲面的第一基本形式曲面上正交参数曲面网的存在性保长对应和保角对应可展曲面重点掌握：第一基本形式的定义，计算及作用，可展曲面的三种基本形式。
第四章曲面的第二基本形式第二基本形式法曲率映射和映射主方向和主曲率的计算标形和曲面在一点的近似展开某些特殊曲面。
重点掌握：第二基本形式的定义，法曲率、主曲率、曲率、中曲率的计算。
第五章曲面论基本定理自然标架的运动公式曲面一唯一性定理曲面论基本议程曲面的存在定理定理。
重点掌握：自然标架的运动公司，曲面基本议程，曲率的在计算（定理）。
第六章测地曲率和测地线测地曲率和测地挠率测地线测地坐标系常曲率曲面向量场的平行移动公式重点掌握：测地曲率的定义和测地线议程，平行移动和协变微分。
大纲制定者：洪军执笔大纲审定者：红斌大纲批准者：胜利大纲校对者：洪军“数学分析”课程教学大纲英文名称：课程编号：课程类型：必修课学时：学分：适用对象：理学院数学各专业一、二年级本科生先修课程：高中数学使用教材及参考书：．传璋等，《数学分析》，高等教育。
．筑生主编，《数学分析新讲》，大学，年．一、课程性质、目的和任务本课程是理科数学专业的主要基本课之一，通过本课程的学习了解分析学的概貌，学会分析方法，培养学生的运算能力、抽象思维能力以及处理实际问题的综合应用能力。
《微分几何》PPT课件
3点到平面的距离：
点M 0 x0 , y0 , z0 到平面Ax By Cz D 0的距离
d Ax0 By0 Cz0 D A2 B2 C 2
结论：
平面
1：A1x B1 y C1z D1 0 2：A2 x B2 y C2 z D2 0
1 // 2
n1 // n2
n A, B, C为平面的法向量 , D 0平面过坐标原点,A=0
平面过x轴,A B 0平面平行于xoy面.
2 两平面的夹角
1：A1x B1 y C1z D1 0
2：A2 x B2 y C2 z D2 0
cos n1 n2
n1 n2
A1 A2 B1B2 C1C2 A12 B12 C12 A22 B22 C22
椭
球
面：
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
y
o x
z
椭圆抛物面：
x2 a2
y2 b2
2z
y
o
x
双曲抛物面：- x2 a2
y2 b2
2z
单叶双曲面：x 2 a2
y2 b2
z2 c2
1
双叶双曲面：x2 y2 z 2 1 a2 b2 c2
二
次
锥面：x 2 a2
y2 b2
z2 c2
0
z
o x
z
o x
a b a b sin a b
a b的方向垂直于 a与 b决定的平面，a b的指向 按右手规则，从 a转向 b，大拇指的指向即 a b 的方向.
i jk a b ax ay az
bx by bz
aybz azby i azbx axbz j axby aybx k
微分几何第二章曲面论2.1曲面的概念
1、2 光滑曲面、曲面的切平面和法线
一、光滑曲面、正常点、正规坐标网 1、若曲面 x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v) 或 r = r (u,v) 中的函数 有直到 k 阶的连续微商，则称为 k 阶正则曲面或 c k 类曲面。
c 类的曲面又称为光滑曲面。
2、过曲面上一点( u0 ,v0 ) 有一条u--曲线： r = r (u,v0)
1
r r r ( u , v ) ( u , v ), r ( u , v ) ( u , v ) 为 u 0 0 0 0 v 0 0 0 0 u v 如果它们不平行，即 ru× rv在该点不为零，则称该点为曲面
的正常点。
和一条v—曲线： r = r (u0 ,v) ,该点处这两条坐标曲线的切向量
6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅
公式、曲面上向量的平行移动）
7、常高斯曲率曲面（常高斯曲率的曲面、伪球面、罗
氏几何）
第一节 曲面的概念
1、1 简单曲面及其参数表示
一、初等区域 平面上的不自交的闭曲线称为约当曲线。约当曲线将平面分 成两部分，并且每一部分都以它为边界，它们中有一个是有限的， 另一个是无限的，有限的区域称为初等到区域。约当曲线的内部 称为初等区域。如矩形的内部、园的内部等。
三、法方向与法线 1、定义：曲面在正常点处垂直于切平面的方向称为曲面的法方 向，过该点平行于法方向的直线称作曲面在该点的法线。 r r 由定义，曲面的法方向为 N u v 单位法向量为 2、法线的方程
ru rv n ru rv
0
r ( u , v ) ( r r ) 则法线的方程为 R u v
微分几何_陈维桓_绪论-第一章-第二章讲稿
目录绪论 (1)内容简介 (1)第一章预备知识 (2)引言 (2)§ 1.1 三维欧氏空间中的标架 (2)一、向量代数复习 (2)二、标架 (3)三、正交标架流形 (3)四、正交坐标变换与刚体运动，等距变换 (3)§ 1.2 向量函数 (4)第二章曲线论 (6)§ 2.1 参数曲线 (6)§ 2.2 曲线的弧长 (8)§ 2.3 曲线的曲率和Frenet标架 (9)§ 2.4 曲线的挠率和Frenet公式 (13)§ 2.5 曲线论基本定理 (15)§2.7 存在对应关系的曲线偶 (21)§2.8 平面曲线 (21)绪论几何学是数学中一门古老的分支学科. 几何学产生于现实生产活动. “geometry”就是“土地测量”.Pythagoras定理和勾股定理(《周髀算经》). 数学：人类智慧的结晶，严密的逻辑系统. 以欧几里德(Euclid)的《几何原本》(Elements)为代表.《自然辩证法》和《反杜林论》：数学与哲学；数与形的统一：解析几何；坐标系：笛卡儿和费马引入.对微分几何做出突出贡献的数学家：欧拉(Euler)，蒙日(Monge)，高斯(Gauss)，黎曼(Riemann). 克莱因(Klein)关于变换群的观点. E. Cartan的活动标架方法.微分几何：微积分，拓扑学，高等代数与解析几何知识的综合运用.内容简介第一章：预备知识. 第二章：曲线论. 第三章至第五章：曲面论. 第六章：曲面上的曲线，非欧几何. 第七章*：活动标架和外微分.第一章 预备知识本章内容：向量代数知识复习；正交标架；刚体运动；等距变换；向量函数 计划学时：3学时难点：正交标架流形；刚体运动群；等距变换群引言为什么要研究向量函数？在数学分析中，我们知道一元函数()y f x =的图像是xy 平面上的一条曲线，二元函数(,)z f x y =的图像是空间中的一张曲面.采用参数方程，空间一条曲线可以表示成()()(),(),()r r t x t y t z t ==.这是一个向量函数，它的三个分量都是一元函数.所有这些例子中，都是先取定了一个坐标系. 所以标架与坐标是建立“形”与“数”之间联系的桥梁.§ 1.1 三维欧氏空间中的标架一、向量代数复习向量即有向线段：AB ，r ，r . 向量相等的定义：大小和方向. 零向量：0，0. 反向量：a -.向量的线性运算. 加法：三角形法则，多边形法则. 向量的长度. 三角不等式. 数乘. 内积的定义：:||||cos (,)ab a b a b =∠ 外积的定义.二重外积公式：()()()a b c a c b b c a ⨯⨯=⋅-⋅；()()()a b c a c b a b c ⨯⨯=⋅-⋅内积的基本性质：对称性，双线性，正定性. 外积的基本性质：反对称性，双线性.ba⨯a b二、标架仿射标架{};,,O OA OB OC . 定向标架.正交标架(即右手单位正交标架)：{};,,O i j k . 笛卡尔直角坐标系. 坐标. 内积和外积在正交标架下的计算公式. 两点距离公式. 三维欧氏空间3E 和3R .三、正交标架流形取定一个正交标架{};,,O i j k (绝对坐标系). 则任意一个正交标架{}123;,,P e e e 被P 点的坐标和三个基向量{}123,,e e e 的分量唯一确定：123111121322122233313233,,,.OP a i a j a k e a i a j a k e a i a j a k e a i a j a k ⎧=++⎪=++⎪⎨=++⎪⎪=++⎩ (1.6) 其中123(,,)a a a a =可以随意取定，而(,1,2,3)ij a i j =应满足31ikjk ij k aa δ==∑， (1.7)即过渡矩阵()ij a A =是正交矩阵. 又因为123,,e e e 是右手系，det 1A =，即矩阵111213212223313233(3)a a a A a a a SO a a a ⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭(1.8, 1.9) 是行列式为1的正交矩阵. 我们有一一对应：{正交标架}←→3(3)E SO ⨯，{}123;,,(,)P e e e a A ←→.所以正交标架的集合是一个6维流形.四、正交坐标变换与刚体运动，等距变换空间任意一点Q 在两个正交标架{};,,O i j k 和{}123;,,P e e e 中的坐标分别为(,,)x y z 和QOPki1e j2e 3e(,,)x y z ，则两个坐标之间有正交坐标变换关系式：111213121222323132333,,.x a xa ya za y a xa ya za z a xa ya za =+++⎧⎪=+++⎨⎪=+++⎩ (1.10) 如果一个物体在空间运动，不改变其形状和大小，仅改变其在空间中的位置，则该物体的这种运动称为刚体运动.在刚体运动33:E E σ→下，若σ将正交标架{};,,O i j k 变为{}123;,,P e e e ，则空间任意一点(,,)Q x y z 和它的像点(,,)Q x y z (均为在{};,,O i j k 中的坐标)之间的关系式为111213121222323132333,,.x a xa ya za y a xa ya za z a xa ya za =+++⎧⎪=+++⎨⎪=+++⎩ (1.11) 定理1.1 3E 中的刚体运动把一个正交标架变成一个正交标架；反过来，对于3E 中的任意两个正交标架，必有3E 的一个刚体运动把其中的一个正交标架变成另一个正交标架.空间3E 到它自身的、保持任意两点之间的距离不变的变换33:E E σ→称为等距变换. 刚体运动是等距变换，但等距变换不一定是刚体运动. 一般来说，等距变换是一个刚体运动，或一个刚体运动与一个关于某平面的反射的合成(复合映射).仿射坐标变换与仿射变换.§ 1.2 向量函数所谓的向量函数是指从它的定义域D 到3R 中的映射3::()r p r p →R D .设有定义在区间[,]a b 上的向量函数()((),(),()),r t x t y t z t a t b =≤≤.如果(),(),()x t y t z t 都是t 的连续函数，则称向量函数()r t 是连续的；如果(),(),()x t y t z t 都是t 的连续可微函数，则称向量函数()r t 是连续可微的. 向量函数()r t 的导数和积分的定义与数值函数的导数和积分的定义是相同的，即000()()limt t t r t t r t drdtt∆→=+∆-=∆QO()P O σ=ki1e j2e 3e ()Q Q σ=0000000()()()()()()lim ,,t x t t x t y t t y t z t t z t t t t ∆→+∆-+∆-+∆-⎛⎫= ⎪∆∆∆⎝⎭()000(),(),()x t y t z t '''=，0(,)t a b ∈， (2.6)()1()lim ()(),(),()nbbb bi i aaaai r t dt r t t x t dt y t dt z t dt λ→='=∆=∑⎰⎰⎰⎰， (2.7)其中01n a t t t b =<<<=是区间[,]a b 的任意一个分割，1i i i t t t +∆=-，1[,]i i i t t t -'∈，并且{}max |1,2,,i t i n λ=∆=. (由向量加法和数乘的定义可以得到)向量函数的求导和积分归结为它的分量函数的求导和积分，向量函数的可微性和可积性归结为它的分量函数的可微性和可积性.由(1.6)可得()()()()()(),()()()()()()a t b t a t b t t a t t a t t a t λλλ''''''+=+=+.定理2.1 (Leibniz 法则) 假定(),(),()a t b t c t 是三个可微的向量函数，则它们的内积、外积、混合积的导数有下面的公式：(1) ()()()()()()()a t b t a t b t a t b t '''⋅=⋅+⋅；(2) ()()()()()()()a t b t a t b t a t b t '''⨯=⨯+⨯；(3) ()()()()(),(),()(),(),()(),(),()(),(),()a t b t c t a t b t c t a t b t c t a t b t c t ''''=++.定理2.2 设()a t 是一个处处非零的连续可微的向量函数，则 (1) 向量函数()a t 的长度是常数当且仅当()()0a t a t '⋅≡. (2) 向量函数()a t 的方向不变当且仅当()()0a t a t '⨯≡.(3) 设()a t 是二阶连续可微的. 如果向量函数()a t 与某个固定的方向垂直，那么 ()(),(),()0a t a t a t '''≡.反过来，如果上式成立，并且处处有()()0a t a t '⨯≠，那么向量函数()a t 必定与某个固定的方向垂直.证明 (1) 因为()()22()()()()|()|a t a t a t a t a t '''==，所以|()|a t 是常数2|()|a t ⇔是常数()()0a t a t '⇔⋅≡.(2) 因为()a t 处处非零，取()a t 方向的单位向量1()|()|()b t a t a t -=. 则()()()a t f t b t =，其中()|()|f t a t =连续可微. 于是()()2()()()()()()()()()()(),.a t a t f t b t f t b t f t b t f t b t b t t ''''⨯=⨯+=⨯∀“⇒”由条件知()b t c =是常向量，()0b t c ''==. 从而()()0a t a t '⨯≡.“⇐”由条件得()()0b t b t '⨯≡，所以()b t ，()b t '处处线性相关. 因为()b t 是单位向量，处处非零，所以()()()b t t b t λ'=. 用()b t 作内积，得()12()()()()()0t b t b t b t b t λ''=⋅=⋅≡. 于是()0b t '≡，()b t c =是常向量.(3) 设向量函数()a t 与某个固定的方向垂直，那么有单位常向量1e 使得1()0a t e ⋅≡. 求导得到1()0a t e '⋅≡，1()0a t e ''⋅≡. 从而(),(),()a t a t a t '''共面，()(),(),()0a t a t a t '''≡.反之，设()(),(),()0a t a t a t '''≡. 令()()()b t a t a t '=⨯. 由条件，()b t 处处非零. 且()b t '=()()a t a t ''⨯连续. 根据二重外积公式，()()()()()()()()()()()(),(),()()(),(),()()(),(),()()0.b t b t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t ''''⨯=⨯⨯⨯''''''=-'''=≡ 根据已经证明的(2)，()b t 的方向不变. 设这个方向为1e . 则1()|()|b t b t e =. 用()a t 作内积，得()1|()|()()()()()()0b t a t e a t b t a t a t a t '⋅=⋅=⋅⨯≡.由于()b t 处处非零，得到1()0a t e ⋅≡，即()a t 与固定方向1e 垂直. □课外作业： 1. 证明定理2.1.2. 设33:E E σ→为等距变换. 在3E 中取定一个正交标架{};,,O i j k . 令3R 为3E 中全体向量构成的向量空间. 定义映射33::()()AB A B σσ→R R A . 如果()O O σ=，证明A是线性映射.3. 设向量函数()r t 有任意阶导(函)数. 用()()k r t 表示()r t 的k 阶导数，并设()(1)()()k k r t r t +⨯处处非零. 试求()()(1)(2)(),(),()0k k k r t r t r t ++≡的充要条件.第二章 曲线论本章内容：弧长，曲率，挠率；Frenet 标架，Frenet 公式；曲线论基本定理 计划学时：14学时，含习题课3学时. 难点：曲线论基本定理的证明§ 2.1 参数曲线三维欧氏空间3E 中的一条曲线C 是一个连续映射3:[,]p a b E →，称为参数曲线. 几何上，参数曲线C 是映射p 的象.取定正交标架{};,,O i j k ，则曲线上的点()([,])p t t a b ∈与它的位置向量()Op t 一一对应. 令()()r t Op t =. 则()()()()((),(),())r t x t i y t j z t k x t y t z t =++=，[,]t a b ∈， (1.3) 其中t 为曲线的参数，(1.3)称为曲线的参数方程.由定义可知()()01()lim(),(),()()()t r t x t y t z t r t t r t t∆→''''==+∆-∆，(,)t a b ∈. (1.4)如果坐标函数(),(),()x t y t z t 是连续可微的，则称曲线()r t 是连续可微的. 此概念与标架的取法无关. (为什么？)导数()r t '的几何意义：割线的极限位置就是曲线的切线.()()()X u r t ur t '=+， (1.5)其中t 是固定的，u 是切线上点的参数，()X u 是切线上参数为u 的点的位置向量.定义. 如果()r t 是至少三次以上的连续可微向量函数，并且处处是正则点，即对任意的t ，()0r t '≠，则称曲线()r t 是正则参数曲线. 将参数增大的方向称为曲线的正向.上述定义与3E 中直角坐标系的选取无关. 正则曲线：正则参数曲线的等价类.曲线的参数方程中参数的选择不是唯一的. 在进行参数变换时，要求参数变换()t t u =满足：(1) ()t u 是u 的三次连续可微函数；(2) ()t u '处处不为零. 这样的参数变换称为可允许的参数变换. 当()0t u '>时，称为保持定向的参数变换.根据复合函数的求导法则，[]()(())()()d ddudt t t u r t u r t t u ='=⋅. 这种可允许的参数变换在所有正则参数曲线之间建立了一种等价关系. 等价的正则参数曲线看作是同一条曲线，称为一条正则曲线. 以下总假定()r t 是正则曲线.如果一条正则参数曲线只允许作保持定向的参数变换，则这样的正则参数曲线的等价类被称为是一条有向正则曲线. (返回Frenet 标架)()r t ()X u ()r t t +∆()r t '()r t btQαβγ例1.1 圆柱螺线()(cos ,sin ,),()r t a t a t bt t =∈R ，其中,a b 是常数，0a >.()()sin ,cos ,r t a t a t b '=-，22|()|0()0r t a b r t ''=+>⇒≠所以圆柱螺线是正则曲线.例1.2 半三次曲线32()(,),()r t t t t =∈R .2()(3,2)r t t t '=，(0)0r '=.这条曲线不是正则曲线.连续可微性和曲线的正则性（光滑性）是不同的概念. （与数学分析中的结论比较） 平面曲线的一般方程()y f x =和隐式方程(,)0F x y =. 空间曲线的一般方程(),()y f x z g x == (1.6)和隐式方程(,,)0,(,,)0.F x y zG x y z =⎧⎨=⎩ (1.8) 这些方程可以化为参数方程. (习题4：正则曲线总可以用一般方程表示)曲线(1.8)的切线方向，正则性. 课外作业：习题2，5§ 2.2 曲线的弧长设3E 中一条正则曲线C 的方程为(),[,]r r t t a b =∈. 则|()|bas r t dt '=⎰ (2.1)是该曲线的一个不变量，即它与正交标架的选取无关，也与曲线的可允许参数变换无关.不变量s 的几何意义是该曲线的弧长，因为1max||01|()|lim|()()|i nbi i at i s r t dt r tr t +∆→='==-∑⎰.其中01n a t t t b =<<<=是区间[,]a b 的任意一个分割，1i i i t t t +∆=-，max λ={|1,i t i ∆=}2,,n . (为什么？)y令()|()|tas t r d ττ'=⎰. (2.4)则()s s t =是曲线C 的保持定向的可允许参数变换，称为弧长参数. 它是由曲线本身确定的，至多相差一个常数，与曲线的坐标表示和参数选择都是无关的. 因此任何正则曲线都可以采用弧长s 作为参数，当然，允许相差一个常数.注意|()|ds r t dt '=也是曲线的不变量，称为曲线的弧长元素(或称弧微分).虽然理论上任何正则曲线都可以采用弧长参数s ，但是具体的例子中，曲线都是用一般的参数t 给出的. 由(2.4)，即使|()|r t '是初等函数，()s t 也不一定是初等函数. 下面的定理给出了判别一般参数是否是弧长参数的方法.定理2.1 设(),[,]r r t t a b =∈是3E 中一条正则曲线，则t 是它的弧长参数的充分必要条件是|()|1r t '=. 即t 是弧长参数当且仅当(沿着曲线C )切向量场是单位切向量场.证明. “⇐”由(2.4)可知，s t a =-. “⇒”如果t 是弧长参数，则s t =，从而|()|1dsr t dt'==. □ 以下用“﹒”表示对弧长参数s 的导数，如()r s ，()r s 等等，或简记为,r r 等等. 而“'”则用来表示对一般参数t 的导数.课堂练习：4课外作业：习题1，2(1)，3.§ 2.3 曲线的曲率和Frenet 标架设曲线C 的方程为()r r s =，其中s 是曲线的弧长参数. 令()()s r s α=. (3.1)对于给定的s ，令θ∆是()s α与()s s α+∆之间的夹角，其中0s ∆≠是s 的增量.定理表示向量()s s α+∆0lim()|ss s α∆∆→=. (3.2)证明. ()1||lim lim d ds s ααα∆==∆ ()()220002sin sin lim lim lim ||s s s s s s θθθ∆∆→∆→∆→∆∆===∆∆∆， 因为θ∆=定义 ()|s α为曲线()s 为该曲把曲线)s 平移到原点，其端点所描出的曲线称为. 其方程就是(3.3)例如圆柱螺线的切线象是单位球面上的一个圆2()πα圆柱螺线()(cos r t a =()(r t a '=-221()(a b t a α+=-(0)α(0)α2()πα()απ()απ32()πα32()πα当然，s αα()r s 0s =图2-5O()s αs L=()s s α+∆()r s s +∆()s s α+∆()s α()()s s s αα+∆-θ∆|()|()ds s ds s ds ακ==. (3.4)所以dss dsκ==， (3.5) 即曲率κ是切线象的弧长元素与曲线的弧长元素之比.由|()|1s α=可知()()0s s αα⋅=. 所以曲率向量()s α是曲线的一个法向量场. 如果在一点s 处()0s κ≠，则向量11()|()|()()()s s s s s βαακα--==称为曲线在该点的主法向量场. 于是在该点有()()()s s s ακβ=. (3.6) 在()0s κ≠处，令()()()s s s γαβ=⨯. (3.7)它是曲线的第二个法向量场，称为在该点的次法向量场(副法向量场).这样，在正则曲线上()0s κ≠的点，有一个完全确定的正交标架{}();(),(),()r s s s s αβγ，称为曲线在该点的Frenet 标架(见图2-2). 它的确定不受曲线的保持定向的参数变换的影响.注意. 如果在一点0s 处0()0s κ=，则一般来说无法定义在该点的Frenet 标架. 1. 若()0s κ≡，则C 是直线，可以定义它的Frenet 标架.2. 若0s 是κ的孤立零点, 则在0s 的两侧都有Frenet 标架. 如果00()()s s ββ-+=，则可以将Frenet 标架延拓到0s 点.3. 在其他的情况下将曲线分成若干段来考察.切线、主法线和次法线，法平面、从切平面和密切平面，以及它们的方程.切线：()()()u r s u s ρα=+；主法线：()()()u r s u s ρβ=+；次法线：()()()u r s u s ργ=+ 法平面：[()]()0X r s s α-=；从切平面：[()]()0X r s s β-=；密切平面：[()]()0X r s s γ-=在一般参数t 下，曲率κ和Frenet 标架的计算方法.()s α()s γ()s β()r s3|()()|()|()|r t r t t r t κκ'''⨯=='，()|()|r t r t α'='，()()|()()|r t r t r t r t γ'''⨯='''⨯，βγα=⨯. (3.13) 证明. 设()s s t =为弧长参数，()t t s =为其反函数. 则由(2.4)，()|()|dss t r t dt''==. 故(())()()()|()|(())()(),():(())|()|dr s t ds t r t r t r t s t s t t s t ds dt r t αααα''''====='. (3.12) 由曲率κ的定义，||0κα=≥，可知主法向量||αβα=满足ακβ=. 上式再对t 求导，得 2d d dsr s s s s s s ds dtααααακβ'''''''''''=+=+=+.于是2333)()||s s s s s r r s αακβκαβκγκ''''''''''⨯+=⨯=⇒⨯=所以3|()|r t κ='. |()()|r t r t '''⨯. 例 求圆柱螺线()(cos ,sin ,)r t a t a t =∈R 的曲率和Frenet 标架，其中0>. 解. 2a =sin ,cos t ab -2a a 所以3||()|r a r t '='sin ,cos ,)t a t b 22()((sin |()()|r t r b r t r t a bγ'''⨯=='''⨯+(cos βγα=⨯=-维维安尼(Viviani)例.数为22t k ππ=+，其中k 为整数. 不妨设/2t π=. 22()(2sin cos ,cos sin ,cos )(sin2,cos2,cos )r t t t t t t t t t '=--=-，()(2cos2,2sin2,sin )r t t t t ''=---.于是当/2t π=时，(0,0,1),(0,1,0),(2,0,1)r r r '''==-=-，||1,(1,0,2)r r r ''''=⨯=，(0,1,0)α=-，1,0,2)γ=，5(2,0,1)βγα=⨯=-.所以在(0,0,1)点处的曲率5κ=，Frenet 标架为(0,0,1)r =，(0,1,0)α=-，1)β=-，,0,2)γ. □解法2. 设曲线的弧长参数方程为(),(),()x x s y y s z z s ===，(,)s εε∈-，点(0,0,1)对应的参数为0s =. 则有(0)((0),(0),(0))(0,0,1)r x y z ==， (1)以及22222222()()()1,(,).()()()0,()()()1,x s y s z s s x s y s x s x s y s z s εε⎧++=⎪∀∈-+-=⎨⎪++=⎩ (3.14) 求导得到()()()()()()0,2()()2()()()0,()()()()()()0.x s x s y s y s z s z s x s x s y s y s x s x s x s y s y s z s z s ++=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩(3.15) 令0s =，由(1)和上述方程组得到(0)(0)0x z ==，(0)1y =±. 通过改变曲线的正方向，可设(0)1y =，于是(0)((0),(0),(0))(0,1,0)x y z α==. (3.16)对(3.15)前两式再求导，利用(3.14)得22()()()()()()1,2()()2()2()()2()()0.x s x s y s y s z s z s x s x s x s y s y s y s x s ++=-⎧⎨+++-=⎩ (3.17) 令0s =，由(3.15)和(3.16)得(0)0y =；由(1)和(3.17)第1式得(0)1z =-；再由(3.17)第2式得(0)2x =. 所以(0)(0)((0),(0),(0))(2,0,1)r x y z α===-.由此得(0)(0,0,1)r =处的曲率(0)|(0)|5κα==，Frenet标架为：(0)(0,0,1)r =；(0)(0,1,0)α=，115(0)(0)(2,0,1)βα==-，(0)(0)(0)1,0,2)γαβ=⨯=--. □课外作业：习题1(2,4)，4，7§ 2.4 曲线的挠率和Frenet 公式密切平面对弧长s 的变化率为||γ，它刻画了曲面偏离密切平面的程度，即曲线的扭曲程度. 定义 4.1 函数τγβ=-⋅，即()()()s s s τγβ=-⋅称为曲线的挠率. 注. 由0γγ⋅=，()0γαγαγκβ⋅=-⋅=-⋅=可知//γβ. 因此可设γτβ=-， (4.1)从而||||τγ=，即挠率的绝对值刻画了曲线的扭曲程度.定理4.1 设曲线C 不是直线，则C 是平面曲线的充分必要条件是它的挠率0τ≡. 证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，[0,]s L ∈. 因为C 不是直线，0κ≠(见定理3.2 )，存在Frenet 标架{};,,r αβγ.“⇒” 设C 是平面曲线，在平面:()0X a n ∏-=上，其中a 是平面上一个定点的位置向量，n 是平面的法向量，a 和n 均为常向量. 则有(())0,[0,]r s a n s L -=∀∈.求导得()0,()()0()0,s n s s n s n s ακββ==⇒=∀.于是()//s n γ, 由于|()|||1s n γ==，所以()s n γ=±是常向量，从而0γ≡，||||0τγ=≡. 即有0τ≡.“⇐”设0τ≡. 由(4.1)得0γτβ=-=. 所以()0s c γ=≠是常向量. 由(())()()()0dr s c r s c s s dsαγ=== 可知()r s c 是一个常数，即0()()r s c r s c =，其中0[0,]s L ∈是固定的. 于是曲线C 上的点满足平面方程0[()()]0r s r s c -=，其中0()r s 是平面上一个定点的位置向量，c 是平面的法向量. □设正则曲线C 上存在Frenet 标架. 对Frenet 标架进行求导，得到Frenet 公式,,,.r αακββκατγγτβ⎧=⎪=⎪⎨=-+⎪⎪=-⎩ (4.8) 上式中的后三式可以写成矩阵的形式0000ακαβκτβγτγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (4.9)作为Frenet 公式的一个应用，现在来证明定理4.2 设曲线()r r s =的曲率()s κ和挠率()s τ都不为零，s 是弧长参数. 如果该曲线落在一个球面上，则有222111d a ds κτκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， (4.10) 其中a 为常数.证明. 由条件，设曲线所在的球面半径是a ，球心是0r ，即有()220()r s r a -=. (4.11)求导得到()0()()0r s r s α-=.这说明0()r s r -垂直于()s α，可设0()()()()()r s r s s s s λβμγ-=+. (4.12)再求导，利用Frenet 公式得()()()()[()()()()]()()()()()s s s s s s s s s s s s s αλβλκατγμγμτβ=+-++-.比较两边,,αβγ的系数，得1λκ=-，λμτ=，μλτ=-， (4.13)其中略去了自变量s . 所以1λκ=-，111d d ds ds λλμτττκ⎛⎫===- ⎪⎝⎭. (4.14)将(4.12)两边平方可得()22220r r a λμ+=-=，再将(4.14)代入其中，即得(4.10). □注记 由证明过程中的(4.13)第3式还可得110d d ds ds τκτκ⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. (4.16) 在一般参数下挠率的计算公式.2(,,)||r r r r r τ''''''='''⨯. (4.18)证明. 因为()|()|dss t r t dt''==，利用Frenet 公式，有 ()()(())ds dr r t s t s t dt dsα''==，2()()(())()(())(())r t s t s t s t s t s t ακβ'''''=+，23(())()()(())3()()(())(())()(())()(())[(())(())(())(())].d s t r t s t s t s t s t s t s t s t s t dts t s t s t s t s t s t κακββκκατγ''''''''''=++'+-+ 于是3()()()(())(())r t r t s t s t s t κγ''''⨯=，从而()362()()()()(())(())()(),(),()()(())(()).r t r t r t s t s t s t r t r t r t r t s t s t s t κγκτ''''''''''''''''=⨯⋅=⋅'=由(3.13)可知622()(())|()()|s t s t r t r t κ''''=⨯，代入上式即得(4.18). □定理4.3 曲线()r r t =是平面曲线的充要条件是(,,)0r r r ''''''=. □ 例 求圆柱螺线()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =的挠率.解. ()(sin ,cos ,)r t a t a t b '=-，()(cos ,sin ,0)r t a t a t ''=-，2|()|r t a '=2(sin ,cos ,)(sin ,cos ,)r r ab t ab t a a b t b t a '''⨯=-=-，2||r r a a '''⨯=()(sin ,cos ,0)r t a t t '''=- 所以2(,,)r r r a b ''''''=，22b a b τ=+. □课外作业：习题1(2, 4)，4，10§ 2.5 曲线论基本定理已经知道正则参数曲线的弧长、曲率、挠率是曲线的不变量，与坐标系取法及保持定向的参数无关，都是曲线本身的内在不变量. 在空间的刚体运动下，弧长、曲率、挠率保持不变(为什么？). 反之，这三个量也是曲线的完备不变量系统，对确定空间曲线的形状已经足够了，即有定理5.1 (唯一性定理) 设111222:(),:()C r r s C r r s ==是3E 中两条以弧长s 为参数的正则参数曲线，[0,]s l ∈. 如果它们的曲率处处不为零，且有相同的曲率函数和挠率函数，即12()()s s κκ=，12()()s s ττ=，则有3E 中的一个刚体运动σ将1C 变成2C .证明 选取3E 中的刚体运动σ将2C 在0s =处的Frenet 标架{}2222(0);(0),(0),(0)r αβγ变为1C 在0s =处的Frenet 标架{}1111(0);(0),(0),(0)r αβγ. 则这个刚体运动σ将2C 变为正则曲线3C . 设3C 的弧长参数方程为33()r r s =. 由于在刚体运动下，弧长、曲率、挠率保持不变，1C 与3C 也有相同的曲率和挠率函数：13()()s s κκ=，13()()s s ττ=.且在0s =处它们有相同的Frenet 标架：13131313(0)(0),(0)(0),(0)(0),(0)(0).r r ααββγγ====令{}1111();(),(),()r s s s s αβγ和{}3333();(),(),()r s s s s αβγ分别为1C 和3C 的Frenet 标架. 则它们都满足一阶线性常微分方程组初值问题,,,.r αακββκατγγτβ⎧=⎪=⎪⎨=-+⎪⎪=-⎩ (5.6) 1111(0)(0),(0)(0),(0)(0),(0)(0).r r ααββγγ=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ (5.7)根据解的唯一性(见附录定理1.1)，有13()()r s r s =，即1C 与3C 重合. □注 常微分方程组(5.6)中，共有12个未知函数：()()(),(),()r s x s y s z s =，()123()(),(),()s s s s αααα=，()123()(),(),()s s s s ββββ=，()123()(),(),()s s s s γγγγ=.初始条件为：()1123(0)(,,)(0),(0),(0)r a a a x y z ==，()123111213(0),(0),(0)(,,)a a a ααα=，()123212223(0),(0),(0)(,,)a a a βββ=，()123313233(0),(0),(0)(,,)a a a γγγ=.定理5.2设111222:(),:()C r r t C r r u ==是3E 中两条正则参数曲线，它们的曲率处处不为零. 如果存在三次以上的连续可微函数()u t λ=([,]t a b ∈)，()0t λ'≠，使得这两条曲线的弧长函数、曲率函数和挠率函数之间满足121212()(()),()(()),()(())s t s t t t t t λκκλττλ===， (5.4) 则有3E 中的一个刚体运动σ将1C 变成2C .证明 不妨设()0t λ'>. 对2C 作可允许参数变换()u t λ=，可将2C 的参数方程写成32()(())r t r t λ=. 则1C 的弧长为11()|()|tas t r d ξξ'=⎰，2C 的弧长为()23322()()|()||()|(())()ttt aa a dr s t r d d d s t r du λλξξλξξηλη'''====⎰⎰⎰.由条件，可取132()()()s s t s t s t λ===作为1C 和2C 的弧长参数. 因为13()()s t s t =有相同的反函数()t s μ=，即111111322()s s s s μλλ-----====，12s λμ-=. 于是 1111112222()()()()()()s s s s s s s s κκκμκλμκκ--≡===≡.同理，21()()s s ττ= 根据定理5.1，有3E 中的一个刚体运动σ将1C 变成2C . □[,]a b 11[,]a b [0,]l λ1s 2s R 1κ2κμ定理 5.3 (存在性定理) 设(),()s s κτ是定义在区间[,]a b 上的任意二个给定的连续可微函数，并且()0s κ>. 则除了相差一个刚体运动之外，存在唯一的3E 中的正则曲线:()C r r s =，[,]s a b ∈，使得s 是C 的弧长参数，且分别以给定的函数()s κ和()s τ为它的曲率和挠率.证明 唯一性由定理5.1即得. 只要证明存在性.考虑含有12个未知函数的一阶线性常微分方程组初值问题(5.6)，(5.7).：,,,.drds d ds d ds d dsαακββκατγγτβ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=-+⎪⎪⎪=-⎩ (5.6) 0000(0),(0),(0),(0).r r ααββγγ=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ (5.7)根据解的唯一存在定理(见附录定理1.1)，对任意给定的初始条件(5.7)，(5.6)都有定义在区间[,]a b 上的解. 取(5.6)的满足初始条件(0)0,(0),(0),(0)r i j k αβγ==== (5.7)’的解，其中{};,,O i j k 是一个正交标架(即右手单位直角标架). 为了使用求和号，记123,,,ij i j e e e g e e αβγ====, (5.9)11121321222331323300000a a a a a a a a a κκττ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭. (5.5) 因为123,,,r e e e 是(5.6)的解，所以()r r s =是三阶连续可微的. 下面来证明()r r s =就是所要求的曲线. 由(5.6)可得311,,1,2,3iij j j de dre a e i dsds ====∑ (5.6)’ 首先来证明(),,1,2,3ij ij g s i j δ==. (5.10)由(5.6)得333111()()ij i j j ij i ik k j jk i k ik kj jk ki k k k dg d e e de de e e a e e a e e a g a g dsds ds ds =====+=+=+∑∑∑， 由初始条件(5.7)’可知有(0)(0)(0)ij i j ij g e e δ==，,1,2,3i j =. 这说明9个函数()ij g s 满足一阶线性常微分方程组初值问题31()ij ik kj jk ki k dF a F a F ds==+∑，(0)ij ij F δ=，,1,2,3i j =.另一方面由(5.5)可知ij ji a a =-，,1,2,3i j =. 于是9个函数()ij ij F s δ=也满足上面的一阶线性常微分方程组初值问题. 由解的唯一性，必有()()ij ij ij g s F s δ==.因此123(),(),()e s e s e s 是两两正交的单位向量. 从而混合积()123(),(),()1e s e s e s =±. 但是函数()123()(),(),()f s e s e s e s =是连续的，并且由初始条件得()123(0)(0),(0),(0)1f e e e ==. 所以123(),(),()e s e s e s 构成右手系.现在，由(5.6)’可知11dre ds==. 所以()r r s =是正则曲线，并且s 是:()C r r s =的弧长参数，1()()s e s α=是C 的单位切向量场. 由(5.6)第2式及()0s κ>可知C 的曲率为()s κ，主法向量场为2()()s e s β=. 最后，因为123(),(),()e s e s e s 是右手单位正交基，所以3()()s e s γ=是次法向量场. 再由(5.6)第3式可知C 的挠率为()()()s s s γβτ-=. □例 求曲率和挠率分别是常数00κ>，0τ的曲线C 的参数方程.解 我们已经知道圆柱螺线()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =的曲率和挠率都是常数，分别为22a a b +和22b a b +. 根据定理5.1，曲线C 一定是圆柱螺线. 由022a a b κ=+和022ba b τ=+解出02200a κκτ=+，02200b τκτ=+. 因此所求曲线C 的参数方程为()00022001()cos ,sin ,r t t t t κκτκτ=+. 因为C 的弧长参数s bt κ=+=，将上式中的t 就可得到C 的弧长参数方程：))()00022001()cos ,sin,r s κκτκτ=+. □课外作业：习题1，4，6§ 2.6 曲线参数方程在一点的标准展开对于定义在区间[,]a b 上的n 次连续可微的函数()f x ，可以在区间(,)a b 内任意一点0x 邻近展开为Taylor 展式：2()1100000000!()()()()()()()()()n n n n f x f x f x x x f x x x fx x x o x x '''=+-+-++-+-. 同样，对于一条三次连续可微的弧长参数曲线(),(,)r r s s εε=∈-，可在0s =处展开为233112!3!()(0)(0)(0)(0)()r s r sr s r s r o s =++++， (6.1)其中3()o s 是一个向量函数，满足330()lim 0s o s s→=. (6.2) 由Frenet 公式可得2(0)(0),(0)(0)(0),(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)r r r ακβκακβκτγ===-++ (6.3)代入(6.1)得23233300000()(0)(0)(0)(0)()6266r s r s s s s s o s κκκκταβγ⎛⎫⎛⎫=+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中000(0),(0),(0)κκκκττ===.以0s =处的Frenet 标架{}(0);(0),(0),(0)r αβγ建立右手直角坐标系，则曲线C 在0s =附近的参数方程为2330123300233003(),6(),26().6x s s o s y s s o s z s o s κκκκτ⎧=-+⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=+⎪⎩(6.4) 上式称为曲线:()C r r s =在0s =处的标准展开式.在标架{}(0);(0),(0),(0)r αβγ下，考虑C 的近似曲线232300000011:(),,(0)(0)(0)(0)2626C r s s s s r s s s κκτκκταβγ⎛⎫=≡+++ ⎪⎝⎭. (6.5)近似曲线1C 与原曲线C 在0s =处有相同的Frenet 标架{}(0);(0),(0),(0)r αβγ，有相同的曲率0κ和相同的挠率0τ. 这是因为s 是1C 的一般参数，并且1(0)(0,0,0)(0)r r ==，1(0)(1,0,0)(0)r α'==，100(0)(0,,0)(0)r κκβ''==，10000(0)(0,0,)(0)rκτκτγ'''==， 从而1(0)1r '=，111(0)(0)(0)(0)r r αα'=='，()1100(0)(0)(0)(0)(0)r r ακβκγ'''⨯=⨯=， 110(0)(0)r r κ'''⨯=，111031(0)(0)(0)(0)r r r κκ'''⨯=='，11111(0)(0)(0)(0)(0)(0)r r r r γγ'''⨯=='''⨯， 111(0)(0)(0)(0)(0)(0)βγαγαβ=⨯=⨯=，2111001022011(0)(0)(0)(0)(0)(0)r r r r r κτττκ''''''⨯⋅==='''⨯. 在0s =邻近，近似曲线1C 的性状近似地反映了原曲线C 的性状. 近似曲线1C 的图形见下图，其在各坐标平面上的投影见书上图2-6.α0γβ(0)r在密切平面上的投影是抛物线：20,,02x s y s z κ===，在从切平面上的投影是三次曲线：300,0,6x s y z s κτ===，在法平面上的投影是半三次曲线：230000,,26x y s z s κκτ===.定义 设两条弧长参数曲线111222:(),:()C r r s C r r s ==相交于0p ，012(0)(0)Op r r ==. 取1122,p C p C ∈∈，使得0102p p p p s ==∆. 若有正整数n 使得121200|||()()|limlim 0n n s s p p r s r s s s ∆→∆→∆-∆==∆∆，1210|()()|lim 0n s r s r s s +∆→∆-∆≠∆， (6.9) 则称1C 与2C 在0p 处有n 阶切触.定理 6.1 设两条弧长参数曲线111222:(),:()C r r s C r r s ==在0s =处相交. 则它们在0s =处有n 阶切触的充分必要条件是()()12(0)(0)k k r r =，1,2,,k n =，(1)(1)12(0)(0)n n r r ++≠. (6.10) 证明 在0s =处，有0s s s ∆=-=. 因为12,C C 在0s =处相交，所以12(0)(0)r r =. 根据Taylor 公式，12()()12121()()()(0)(0)!k n n k k k s r s r s o s r r k ++=-=+⎡⎤-⎣⎦∑. 充分性. 由(6.10)，12(1)(1)1212()()()(0)(0)(1)!n n n n s r s r s o s r r n ++++-=+⎡⎤-⎣⎦+，所以 2(1)(1)12121210001()||()()lim lim lim ||0(0)(0)(1)!n n n n n n s s s o s p p r s r s s r r n s s s++++∆→→→-===+⎡⎤-⎣⎦+∆， 2(1)(1)1212121110001()||()()lim lim lim 0(0)(0)(1)!n n n n n n s s s o s p p r s r s r r n s s s ++++++∆→→→-==≠+⎡⎤-⎣⎦+∆. 即12,C C 在0s =处有n 阶切触.必要性. 由条件，12,C C 在0s =处有n 阶切触，则1n ≥. 如果12(0)(0)r r ''≠，则12121200||()()limlim 0(0)(0)s s p p r s r s r r s s∆→→-''==>-∆， 从而120||lim0ns p p s ∆→≠∆，矛盾. 设1m ≥是满足()()12(0)(0)k k r r =，1,2,,k m =，(1)(1)12(0)(0)m m r r ++≠的正整数. 由充分性，12,C C 在0s =处有m 阶切触. 由条件得m n =，故(6.10)成立. □ 推论 (1) 一条曲线与它在一点的Taylor 展开式中的前1n +项之和(即略去()ns ∆的高阶无穷小)至少有n 阶切触；与它在一点的切线至少有1阶切触；与它在一点的近似曲线至少有2阶切触.(2) 两条相交曲线在交点处有二阶以上切触的充分必要条件是这两条曲线在该点处相切，且有相同的有向密切平面和相同的曲率.曲率圆(密切圆)：在弧长参数曲线:()C r r s =上一点()r s 处的密切平面上，以曲率中心1()()()r s s s βκ+为圆心，以曲率半径1()R s κ=为半径的圆. 它的方程是：()11()()()cos ()sin ()()()X t r s s t s t s s s βαβκκ=+++. 曲线与曲面的切触阶，密切球面，曲率轴. (略)课外作业：习题2，3§2.7 存在对应关系的曲线偶设两条正则参数曲线111222:(),:()C r r t C r r u ==之间存在一个一一对应关系()t u t ↔=，()0u t '≠. 对曲线2C 作参数变换，可设222:()C r r t =，从而12,C C 之间的一一对应就是参数相同的点之间的一一对应.定义7.1 如果两条互不重合的曲线12,C C 之间存在一个一一对应，使得它们在对应点有公共的主法线，则称这两条曲线为Bertrand 曲线偶，其中每一条曲线称为另一条曲线的侣线，或共轭曲线.注 在平面上，每一条正则曲线():()(),()C r r s x s y s ==都有侣线，构成Bertrand 曲线偶. 证明 设s 是C 的弧长参数，()()(),()s x s y s α=是C 的单位切向量场，()s κ是C 的曲率.令()()(),()n s y s x s =-. 取充分小的非零实数λ使得|()|1s λκ<,[0,]s b ∀∈. 则11:()()()C r s r s n s λ=+是曲线C 的侣线.事实上，因为221n n x y αα⋅=+=⋅=，所以0nn =，n n ⊥. 另一方面由0n α=可知n α⊥. 因此//n α. 设r n κα=. 于是C 的曲率()2()|()|||)()|()|||(),()r s s s y s n s x s y s κακ===+==.当常数λ充分小时，1()[1()]()0r r s s s λκα'=+≠，所以1C 是正则参数曲线. 因为0λ≠，所以曲线C 和1C 不重合.现在来证明在对应点C 和1C 有相同的主法线. 在相同的参数s 点处，C 的主法线l 是过()r s (的终)点且垂直于()s α的直线，所以l 的方程为()()()X u r s un s =+，u ∈R .同理，在相同的参数s 点处，1C 的主法线1l 是过1()r s 点且垂直于1()//()rs s α'的直线. 所以1//l l (因为它们都垂直于()s α). 由定义可知1()r s 在直线l 上，所以l 与1l 重合. □αn下面考虑空间挠曲线，即挠率0τ≠的曲线.定理7.1 设1C 和2C 是Bertrand 曲线偶. 则1C 和2C 在对应点的距离是常数，并且1C 和2C 在对应点的切线成定角.证明 设曲线1C 的弧长参数方程为11()r r s =，Frenet 标架为{}1111();(),(),()rs s s s αβγ，曲率和挠率分别为1()s κ和1()s τ. 因为1C 和2C 之间存在一一对应，设2C 上与1()r s 对应的点是22()r r s =，s 是2C 的一般参数，2C 的Frenet 标架为{}2222();(),(),()r s s s s αβγ，曲率和挠率分别为2()s κ和2()s τ. 再设2C 的弧长参数为()s s s =.由条件，2()r s 在曲线1C 上的点1()r s 处的主法线11()()()X u r s u s β=+上，所以()121//()()()s r s r s β-，并且12()()s s ββ=±. 因此可设211()()()()r s r s s s λβ=+，21()()s s βεβ=， (7.3)其中1ε=±是常数，()121()()()()s s r s r s λβ=-是可微函数.将(7.3)两边对s 求导，利用Frenet 公式，得21111()()()()()()[()()()()]s s s s s s s s s s s ααλβλκατγ''=++-+111[1()()]()()()()()()s s s s s s s s λκαλβλτγ'=-++. (7.4)以21βεβ=分别与上式两边作内积，可得()0s λ'=，()s c λ=是常数. 再由(7.3)得211|()()||()()|||r s r s s s c λβ-==，即1C 和2C 在对应点的距离是常数||(0c >，因为1C 和2C 不重合).设12()((),())s s s θαα=∠，则()12()()cos ()s s s ααθ=. 因为()112212122211120d s s dsκβακαβεκβαεκαβαα''=+=+=， 所以()cos ()s θ是常数，从而()s θ是常数. □定理7.2 设正则曲线C 的曲率κ和挠率τ都不为零. 则C 是Bertrand 曲线的充分必要条件是：存在常数,λμ，且0λ≠，使得1λκμτ+=.证明 必要性. 设曲线C 有侣线1C ，它们的参数方程分别是()r s 和1()r s ，其中s 是C 的弧长参数. 如同定理7.1的证明过程一样，设{}();(),(),()r s s s s αβγ和{}1111();(),(),()r s s s s αβγ分别是C 和1C 的Frenet 标架，11,κτ分别是1C 的曲率和挠率，s 是1C 的弧长参数. 现在(7.3)和(7.4)分别成为 1()()()r s r s s λβ=+，1()()s s βεβ=， (7.3)1()()[1()]()()()s s s s s s s αλκαλτγ'=-+. (7.5)其中0λ≠是常数. 因此由0τ≠得|()|[10s s '=≠，1()[1s s ε'=其中11ε=±也是一个常数.由定理7.1，1()()s sc αα=是常数. 用()s α与(7.5)两边作内积，得22221()(1)[1()][()]c s c s c s ελκλκλτ=-⇒--=.由()0s λτ≠可知2(1)0c -≠，从而 1():()s s λκμτ-== 是常数. 这就是说，存在常数0,λμ≠，使得1.充分性. 设正则弧长参数曲线:()C r r s =的曲率κ和挠率τ满足1λκμτ+=，其中,λμ是常数，且0λ≠. 令1()()()r s r s s λβ=+，则1()[1()]()()()()[()()]0r s s s s s s s s λκαλτγτμαλγ'=-+=+≠.所以由参数方程11()r r s =定义的曲线1C 是正则曲线，并且与曲线C 不重合(因为0λ≠).由于21||r τλ'=1C 的单位切向量场1()[sin ()cos ()]s s s αθαθγ=±+，其中arctan(/)θμλ=是常数，满足sin θ=，cos θ=.设s 是1C 的弧长参数，利用Frenet 公式，有111(sin cos )d ds ds ds ακβθκθτβ==±-. 如果sin cos 0θκθτ-≠，则有1ββ=±，从而曲线1C 是C 的侣线，1C 和C 是Bertrand 曲线偶(在参数s 相同的点，1C 和C 得主法线有相同方向，并且1()r s 在()r s 处的主法线上).如果sin cos 0θκθτ-=，则μκλτ=. 结合1λκμτ+=可知κ和τ都是非零常数，C 是圆柱螺线，从而是Bertrand 曲线. □定义7.2 如果两条曲线12,C C 之间存在一个一一对应，使得曲线1C 在任意一点的切线正好是2C 在对应点的法线(即垂直于2C 在该点的切线)，则称曲线2C 是1C 的渐伸线. 同时称曲线1C 是2C 的渐缩线.定理7.3 设:()C r r s =是正则弧长参数曲线. 则C 的渐伸线的参数方程为1()()()()r s r s c s s α=+-. (7.7)证明 设渐伸线1C 上与()r s 对应的点为1()r s . 则1()r s 在曲线C 上()r s 点处的切线上，故有函数()s λλ=使得1()()()()r s r s s s λα=+. (7.8)由渐伸线的定义，1()()r s s α'⊥，所以10()()[()()()()()()]()1()r s s s s s s s s s s ααλαλκβαλ'''==++=+.由此得()1s λ'=-，()s c s λ=-. 代入(7.8)即得(7.7). □曲线C 的渐伸线可以看作是该曲线的切线族的一条正交轨线，位于C 的切线曲面∑上. 定理7.4设:()C r r s =是正则弧长参数曲线. 则C 的渐缩线的参数方程为()111()()()tan ()()()()r s r s s s ds s s s βτγκκ=+-⎰. (7.10) 证明 设渐缩线1C 上与()r s 对应的点为1()r s . 由定义，1[()()]()()r s r s r s s α-⊥=，可设1()()()()()()r s r s s s s s λβμγ=++. (7.11)求导得1()()()()()[()()()()]()()()()()r s s s s s s s s s s s s s s αλβλκατγμγμτβ'''=++-++- [1()()]()[()()()]()[()()()]()s s s s s s s s s s s λκαλμτβμλτγ''=-+-++.因为11()//[()()]()()()()r s r s r s s s s s λβμγ'-=+，所以1()[()()()()]0r s s s s s λβμγ'⨯+=，即有()()1s s λκ=，()[()()()]()[()()()]s s s s s s s s μλμτλμλτ''-=+. (7.12)所以()1/()s s λκ=，且由(7.12)第2式得22()μλλμμλτ''-=+，arctan μτλ'⎛⎫⇒=- ⎪⎝⎭，()()()tan ()s s s ds μλτ⇒=-⎰. 所以有(7.10). □课外作业：习题4，8§2.8 平面曲线本节研究平面曲线的特殊性质.一、平面曲线的Frenet 标架在平面2E 上取定一个正交标架(右手直角标架){};,O i j . 则平面曲线C 的弧长参数方程为 ()((),())r s x s y s =， [,]s a b ∈.(8.1) 它的单位切向量为()()()(),()cos(()),sin(())s x s y s s s αθθ==， (8.2) 其中()(,())s i s θα=是由i 到()s α的有向角(允许相差2π的整数倍)，逆时针方向为正. 当区间[,]a b 是闭区间时，函数()s θ可以成为定义在整个[,]a b 上的连续可微函数.将()s α右旋/2π，得到与()s α正交的单位向量()s β，()()()22()cos(()),sin(())sin(()),cos(())(),()s s s s s y s x s ππβθθθθ=++=-=-. (8.3)这样，得到沿曲线C 的(平面)Frenet 标架{}();(),()r s s s αβ.C y x 0s =s l =O()s α()s β(),()x f x i。
微分几何初步 课后答案(陈维桓 著) 北京大学出版社
C (c1 , c2 , c3 ) 成定角,则
1 2 , 若 r t t (1, 2 , 2 ) * (t ) 与 单 位 常向 量 1 2t 2
cos (r* (t ), C ) r * (t ) C
1 (c1 2c2t 2c3t 2 ) a , a 为常数 2 1 2t
c12 c2 2 c32 1
则 c1 c3 a
2 , c2 0 . 2 2 2 , 0, ) 的方向始终成定角 . 2 2 4
所以, r (t ) 的切线与 (
l 是曲 3.设平面曲线 c 与同一平面的一条曲线 l 相交于正则点 P ,且落在直线 l 的一侧.证明： 线 c 在点 P 的切线.
2 2
dr r (t ) 1 (3cos 2 t sin t ,3sin 2 t cos t , 2sin 2t ). ds | r (t ) | | 5sin t cos t |
3.设曲线 c 是下面两个曲面的交线：
x2 y 2 z 2 1, x ach , a, b 0. 求 c 从点 (a, 0, 0) 到点 2 a b a
2a 4 2a 2 2a 2 r (t ) r (t ) t4 , t3 , t2 . | r (t ) r (t ) | 2t 2 . 2 3 2 a t 1 | r (t ) |
（2） r (t ) (3 3t , 6t ,3 3t ), r (t ) 6t , 6, 6t ,
( x, y, z ) 的弧长.
t t , y bsh a a t t c 的参数方程为 r (t ) (ach , bsh , t ) a a t b t r (t ) ( sh , ch ,1) a a a
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微分几何初步(陈维桓著) 课后答案下载微分几何初步(陈维桓著)内容介绍绪论第一章预备知识1标架2向量函数第二章曲线论1参数曲线2曲线的弧长3曲线的`曲率和Frenet标架4挠率和Frenet公式5曲线论基本定理6曲线在一点的标准展开7平面曲线第三章曲面的第一基本形式1曲面的定义2切平面和法线3曲面的第一基本形式4曲面上正交参数曲线网的存在性5保长对应和保角对应6可展曲面第四章曲面的第二基本形式1第二基本形式2法曲率3 Gauss映射和Weingarten映射4主方向和主曲率的计算5 Dupin标形和曲面在一点的标准展开 6某些特殊曲面第五章曲面论基本定理1 自然标架的运动公式2曲面的唯一性定理3曲面论基本方程4曲面的存在性定理5 Gauss定理第六章测地曲率和测地线1测地曲率和测地挠率2测地线3测地坐标系4常曲率曲面5曲面上切向量的平行移动6 Gauss—Bonnet公式第七章活动标架和外微分法1外形式2外微分3 E3中的标架族4曲面上的标架场5曲面上的曲线附录1关于常微分方程的几个定理2一阶偏微分方程组的可积性3张量索引微分几何初步(陈维桓著)目录《微分几何初步》是北京大学数学系微分几何课程的教材。
主要讲述三维欧氏空间中曲线和曲面的局部理论，内容包括：预备知识，曲线论，曲面的第一基本形式，曲面的第二基本形式，曲面论基本定理，测地曲率和测地线，活动标架和外微分法。
另有附录叙述了《微分几何初步》所用的微分方程的定理，并介绍了张量的概念。
《微分几何初步》力图向近代微分几何的语言和方法靠近，因此在讲述时尽量结合现代流形的概念，并且自始至终使用附属在曲线、曲面上的标架场，对外微分形式有相当详细的介绍。
《微分几何初步》叙述深入浅出，条理清楚，论证严密，突出几何想法，便于读者理解与掌握。
《微分几何初步》可作为综合大学及高等师范院校的微分几何课程教材，也可作为高等教育自学考试的教学参考书。
微分几何第一章
q
1.1 向量代数-混合积的计算公式
设 ai = (xi , yi , zi)（ i = 1, 2, 3 ）是 R3 中的三 个向量，则有：
x1 (a1 , a2 , a3 ) x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 . z3
两个向量垂直的充分必要条件是它们的内 积为零，两个向量平行的充分必要条件是 它们的叉积为零，三个向量共面的充分必 要条件是它们的混合积为零．
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1.1 向量代数-拉格朗日公式
设 a、b、c、d 是 R3 的四个向量，则
a c a d (a b) (c d ) bc bd
(a c)(b d ) (a d )(b c).
特别地有
a a a b |a b| | a |2 | b |2 (a b)2 . ba bb
k a O i
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j
1.1 向量代数-线性运算
设 a1 = (x1, y1, z1)，a2 = (x2, y2, z2)，则它们 的和定义为 a1 + a2 = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2).
a1
a1+a2 a2
再设 a = (x, y, z)，l∈R，则 l 与 a 的数 乘定义为 la = lxi + lyj + lzk = (lx, ly, lz).
2
看证明
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练习题 1．证明 (a ∧ b) ∧ c = (a ⋅ c) b – (b ⋅ c) a （提 示：用分量验证，并由此证明拉格朗日公 式．
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1.2 向量分析
内容：向量函数的导数、积分、泰勒公式、 复合函数求导的链式法则 重点：链式法则
微分几何第二章
2.1 曲线的概念
一元向量函数 r(t) 所描绘的图形 C 叫曲线， r(t)叫曲线 C 的参数化，或者叫曲线的向量函 数，t 叫曲线的参数．曲线 C 连同它的参数化 r(t) 一起叫参数曲线．
参数曲线用 C : r = r(t) 表示．如果对某个 t0 使得 r'(t0) ≠ 0，就称 r(t0)（或者简称 t0）是曲 线的正则点．如果曲线上处处是正则点，就称 该曲线是正则曲线，相应的参数叫正则参数．
解：直接计算得
r' (t) = (– sint, cost, 1),
r'' (t) = (– cost, – sint, 0). 在给定点 P 处的参数 t = 0，所以有 r' (0) = (0,1,1)，r'' (0) = (– 1,0,0)． 代入上面的基本向量计算公式得
α 1 (0,1,1), β (1, 0, 0), γ 1 (0, 1,1).
k ( x)
1
| y | ( y)2
3/ 2
.
平面曲线为直线的充分必要条件是其曲率
为零．
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2.2 平面曲线-例子
例. 求椭圆 (x2/a2) + (y2/b2) = 1 的曲率．
解：椭圆可参数化为 r(t) = (a cost, b sint)， 参数方程为 x = acost, y = bsint，所以有
t O cost
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2.1 曲线的概念 -曲线的例子抛物线
抛物线. 曲线 C: r = (x, x2), x∈(–∞, +∞) 也 是一条正则曲线，它是抛物线．
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2.1 曲线的概念 -曲线的例子圆柱螺线
《微分几何》课件
汇报人：
01
02
03
04
05
06
微分几何是研究光滑曲线和曲面的 学科
微分几何的基本概念包括：切向量、 曲率、测地线等
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主要研究对象是光滑曲线和曲面的 局部性质
微分几何在物理学、工程学、计算 机科学等领域有广泛应用
微分几何主要研究光滑曲线和曲面的性质 微分几何的研究对象包括曲线、曲面、流形等 微分几何的研究对象还包括曲线和曲面上的向量场、联络等 微分几何的研究对象还包括曲线和曲面上的微分方程和积分等
如向量场、流形等。
切线定理在微分几何中有广泛 的应用，如曲面的切线场、曲
面的曲率等。
切面定理是微分几何的基本定理之一，描述了曲面与切面的关系。
切面定理指出，曲面上的每一点都有一个唯一的切面与之对应。
切面定理在微分几何中具有重要的应用，如曲面的局部参数化、曲面的微分几何性质等。
切面定理是微分几何中研究曲面的一个重要工具，对于理解曲面的性质和几何结构具有 重要意义。
面的变化量
微分几何在计算 机图形学中的应 用：模拟曲线和 曲面的变化量， 实现三维建模和
动画制作
微分几何在数 学分析中的应 用：研究曲线 和曲面的变化 量，解决数学
问题
曲面积分：对曲面上的函数进 行积分，得到曲面上的积分值
曲线积分：对曲线上的函数进 行积分，得到曲线上的积分值
曲线积分分为第一类曲线积 分和第二类曲线积分
物理中的应用：如计算流体力学中 的流量、压力等
计算机图形学中的应用：如计算曲 面的曲率、法线等
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工程中的应用：如计算结构力学中 的应力、应变等
微分几何初步 课后答案(陈维桓 着) 北京大学出版社
2.求曲线的密切平面方程： （1） r (t )= a cos t , a sin t , bt , a b 0.
2 2
（2） r (t )= a cos t , b sin t , e
（1） r = at , a 2 ln t , （3） r = a t sin t , a 1 cos t , bt . a 0 （4） r = cos t ,sin t , cos 2t . 解： （1） r (t ) (a,
3
3
2a a 2a 2a , 2 ), r (t ) 0, 2 , 3 , t t t t
2 2
dr r (t ) 1 (3cos 2 t sin t ,3sin 2 t cos t , 2sin 2t ). ds | r (t ) | | 5sin t cos t |
3.设曲线 c 是下面两个曲面的交线：
x2 y 2 z 2 1, x ach , a, b 0. 求 c 从点 (a, 0, 0) 到点 2 a b a
( x, y, z ) 的弧长.
t t , y bsh a a t t c 的参数方程为 r (t ) (ach , bsh , t ) a a t b t r (t ) ( sh , ch ,1) a a a
解： ：令 z t ,则 x ach
z a 2 b2 t z ch dt a 2 b 2 sh s | r (t ) | dt 0 0 a a a
微分几何(第一课)讲义资料
在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域 的性质，常常用所谓“活动标形的方法”。对任意 曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换 把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。
在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可 以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂 的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可 以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方 法。
上去的一个结构，因此在同一流形上可以有众多的黎曼测度 。Riemann意识到这件事是非凡的重要，把诱导测度与外加 的黎曼测度两者区分开来，从而开创了黎曼几何，作出了杰 出的贡献。其后，Levi-Civita等人进一步丰富了经典的黎曼几
何。
克莱因（德国）：1872年在德国埃尔朗根大 学作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》， 用变换群对已有的几何学进行了分类。
R.Riemann（1826~1866）才进一步发展了Gauss的内在几何学 ，1854年他在哥丁根大学就职演讲中深刻地揭示了空间与几 何两者之间的差别。Riemann将曲面本身看成一个独立的几 何实体，而不是仅仅把它看作欧氏空间中的一个几何实体，
从而他认识到二次微分形式（现称为黎曼测度）是加到流形
这是我们的教材
陈维恒编著的《微分几何》是北京大学微分 几何课程教材，并为普通高等教育“十五” 国家级规划教材，其前身《微分几何初步》 曾于1995年获教育部优秀教材一等奖。
本书主要介绍了微分几何方面的基础知识、 基本理论和基本方法。主要内容有：Euclid 空间的刚性运动，曲线论，曲面的局部性质， 曲面论基本定理，曲面上的曲线，高维 Euclid空间的曲面等，除第一章外其余各章 均配有习题，以巩固知识并训练解题技巧与 钻研数学的能力。 本书可作为大学数学各专业本科生的教学用 书，也可供数学教师和数学工作者参考。
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四、正交坐标变换与刚体运动,等距变换. .......................................................................... 3§ 1.2向量函数. .............................................................................................................................. 4第二章曲线论. ..................................................................................... 6
对微分几何做出突出贡献的数学家:欧拉(Euler,蒙日(Monge,高斯(Gauss,黎曼(Riemann.克莱因(Klein关于变换群的观点. E. Cartan的活动标架方法.
微分几何:微积分,拓扑学,高等代数与解析几何知识的综合运用.
引言........................................................................................................................................... 2§ 1.1三维欧氏空间中的标架. ........................................................................................................ 2
§ 2.1参数曲线. .............................................................................................................................. 6§ 2.2曲线的弧长. .......................................................................................................................... 8§ 2.3曲线的曲率和Frenet标架................................................................................................. 9§ 2.4曲线的挠率和Frenet公式............................................................................................... 13 § 2.5曲线论基本定理. ................................................................................................................ 15 §2.7存在对应关系的曲线偶. ..................................................................................................... 21 §2.8平面曲线. ............................................................................................................................. 21
一、向量代数复习. .................................................................................................................. 2
二、标架. .................................................................................................................................. 3
绪论
几何学是数学中一门古老的分支学科.几何学产生于现实生产活动. “ geometry ”就是“土地测量” .
Pythagoras定理和勾股定理(《周髀算经》.数学:人类智慧的结晶,严密的逻辑系统.以欧几里德(Euclid的《几何原本》(Elements为代表.
《自然辩证法》和《反杜林论》:数学与哲学;数与形的统一:解析几何;坐标系:笛卡儿和费马引入.
绪论. ............................................................................................... 1内容简介. .................................................................................................................................. 1第一章预备知识. ................................................................................. 2