东北大学20秋学期《线性代数》在线平时作业219
[东北大学]20秋学期《国际贸易(二)》在线平时作业3-资料答案
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[东北大学]20秋学期《国际贸易（二）》在线平时作业3
试卷总分:100 得分:100
一、单选题 (共 20 道试题,共 80 分)
1.—般说来，在其他条件不变的情况下，世界市场上主要国家的关税税率的增减幅度与国际贸易发展的速度（）。
[选项]A.成正比关系
[选项]B.成反比关系
[选项]C.没有关系
[选项]D.同方向变化
【正确答案是】:B
2.在资本主义自由竞争时期,对外贸易政策的基调是( )
[选项]A.重商主义
[选项]B.自由贸易
[选项]C.保护贸易
[选项]D.协调管理贸易
【正确答案是】:B
3.凯恩斯主义的贸易理论是（）。
[选项]A.自由贸易理论
[选项]B.超保护贸易理论
[选项]C.关税同盟理论
[选项]D.内部化理论
【正确答案是】:B
4.成员国之间签订贸易协定,在区内实行统一的关税政策,但各自保留对成员国以外的关税壁垒,这种经济一体化形式属于 ( )
[选项]A.优惠的贸易安排
[选项]B.自由贸易区
[选项]C.关税同盟
[选项]D.共同市场
【正确答案是】:B
5.进口限额针对某些商品的进口( )加以直接限制
[选项]A.数量
[选项]B.金额
[选项]C.数量和金额
[选项]D.数量或金额
【正确答案是】:D
6.《关税及贸易总协定》中最为重要的原则是( )
[选项]A.非歧视原则
[选项]B.关税保护和关税减让原则。
东大20秋学期《人员培训与开发》在线平时作业2【标准答案】
20秋学期《人员培训与开发》在线平时作业2
试卷总分:100 得分:100
一、单选题 (共 15 道试题,共 75 分)
1.（）是以工作说明书、工作规范等作为员工任职要求的依据，将其和员工平时工作中的表现进行对比寻找差距的方法。
A.面谈法
B.工作任务分析法
C.观察法
D.重点团队分析法
答案:B
2.实施人力资源培训开发无法达到下列哪一个目的?（）
A.使员工掌握基本的语言能力和其他技能、认识传统、适应社会
B.提高和增强员工对组织的认同感和归属感
C.提高组织和个人绩效
D.使员工能够胜任工作职责的要求
答案:A
3.（）是指由一位有经验的工人或直接主管人员在工作岗位上对受训者进行培训的方法。
A.特别任务法
B.工作轮换法
C.个别指导法
D.工作指导法
答案:C
4.在培训中要对培训效果进行跟踪与反馈，对培训机构和培训人员的评估不包括（）
A.教师的教学经验
B.管理人员工积极性
C.教师的领导能力
D.管理人员的合作精神
答案:C
对于新员工的培训需求分析，通常使用( )来确定其在工作中需要的各种技能。
A.行为分析法
B.层次分析法
C.任务分析法
D.绩效分析法
答案:C
6.（）是指一个人的行业、专业或领域。
如教师、医生、职员。
A.职位
B.职业。
↓答案↓东大19秋学期《国际法Ⅱ》在线平时作业3(参考)
B、新约不能完全取代旧约
C、新约须经丙国承认方能生效
D、丙国与甲乙两国间适用旧约
正确答案:
第7题,被誉为"国际法之父"的是( )
A、萨维尼
B、格劳秀斯
C、巴托鲁斯
D、胡伯
正确答案:
第8题,被称为国际民用航空活动的宪章性文件的是( )
A、《芝加哥公约》
第24题,在国际法主体中,拥有完全权利能力和行为能力的主体是政府间国际组织。
T、对
F、错
正确答案:
第25题,根据有关庇护的一般国际法规则,一个国家庇护外国人通常是在本国驻外使馆内。
T、对
F、错
正确答案:
【奥鹏】[东北大学]19秋学期《国际法Ⅱ》在线平时作业3
试卷总分:100 得分:100
第1题,以下关于《日内瓦公约》的适用范围,表述正确的是( )
A、可以对非缔约国紧急适用
B、不适用于有非缔约国参加的战争或武装冲突
C、只适用于国家之间的战争
D、不适用于一国内部的内战
正确答案:
B、《华沙公约》
C、《蒙特利尔公约》
D、海牙公约
正确答案:
第9题,戴某为某省政府的处级干部。两年前,戴父在甲国定居,并获甲国国籍。2006年7月,戴父去世。根据有效遗嘱,戴某赴甲国继承了戴父在甲国的一座楼房。根据甲国法律,取得该不动产后,戴某可以获得甲国的国籍,但必须首先放弃中国国籍。于是戴某当时就在甲国填写了有关表格,声明退出中国国籍。其后,戴某返回国内继续工作。针对以上事实,根据我国《国籍法》的规定,下列哪项判断是正确的?( )
A、甲国
B、乙国
东师《线性代数》18秋在线作业2(满分)
(单选题) 1: - A: -B: -C: -D: -正确答案: (单选题) 2: - A: -B: -C: -D: -正确答案: (单选题) 3: - A: -B: -C: -D: -正确答案: (单选题) 4: - A: -B: -C: -D: -正确答案: (单选题) 5: - A: -B: -C: -D: -正确答案: (单选题) 6: - A: -B: -C: -D: -正确答案: (单选题) 7: - A: -B: -C: -D: -正确答案: (单选题) 8: - A: -B: -C: -D: -正确答案: (单选题) 9: -正确答案: (单选题) 10: - A: -B: -C: -D: -正确答案: (多选题) 1: - A: -B: -C: -D: -正确答案: (多选题) 2: - A: -B: -C: -D: -正确答案: (多选题) 3: - A: -B: -C: -D: -正确答案: (多选题) 4: - A: -B: -C: -D: -正确答案: (多选题) 5: - A: -B: -C: -D: -正确答案: (多选题) 6: - A: -B: -C: -D: -正确答案: (多选题) 7: - A: -B: -C: -D: -正确答案:D: -正确答案: (多选题) 9: - A: -B: -C: -D: -正确答案: (多选题) 10: - A: -B: -C: -D: -正确答案: (判断题) 1: - A: 错误B: 正确正确答案: (判断题) 2: - A: 错误B: 正确正确答案: (判断题) 3: - A: 错误B: 正确正确答案: (判断题) 4: - A: 错误B: 正确正确答案: (判断题) 5: - A: 错误B: 正确正确答案: (判断题) 6: - A: 错误B: 正确正确答案: (判断题) 7: - A: 错误B: 正确正确答案: (判断题) 8: - A: 错误B: 正确正确答案: (判断题) 9: - A: 错误B: 正确正确答案: (判断题) 11: - A: 错误B: 正确正确答案: (判断题) 12: - A: 错误B: 正确正确答案: (判断题) 13: - A: 错误B: 正确正确答案: (判断题) 14: - A: 错误B: 正确正确答案: (判断题) 15: - A: 错误B: 正确正确答案: (判断题) 16: - A: 错误B: 正确正确答案: (判断题) 17: - A: 错误B: 正确正确答案: (判断题) 18: - A: 错误B: 正确正确答案: (判断题) 19: - A: 错误B: 正确正确答案: (判断题) 20: - A: 错误B: 正确正确答案: (单选题) 1: - A: -B: -C: -D: -正确答案: (单选题) 2: - A: -(单选题) 3: - A: -B: -C: -D: -正确答案: (单选题) 4: - A: -B: -C: -D: -正确答案: (单选题) 5: - A: -B: -C: -D: -正确答案: (单选题) 6: - A: -B: -C: -D: -正确答案: (单选题) 7: - A: -B: -C: -D: -正确答案: (单选题) 8: - A: -B: -C: -D: -正确答案: (单选题) 9: - A: -B: -C: -D: -正确答案: (单选题) 10: - A: -B: -C: -D: -正确答案: (多选题) 1: -正确答案: (多选题) 2: - A: -B: -C: -D: -正确答案: (多选题) 3: - A: -B: -C: -D: -正确答案: (多选题) 4: - A: -B: -C: -D: -正确答案: (多选题) 5: - A: -B: -C: -D: -正确答案: (多选题) 6: - A: -B: -C: -D: -正确答案: (多选题) 7: - A: -B: -C: -D: -正确答案: (多选题) 8: - A: -B: -C: -D: -正确答案: (多选题) 9: - A: -B: -C: -D: -正确答案:D: -正确答案: (判断题) 1: -。
东大20秋学期《法理学Ⅱ》在线平时作业2【标准答案】
20秋学期《法理学Ⅱ》在线平时作业2试卷总分:100 得分:100一、单选题 (共 20 道试题,共 60 分)1.夫妻间有相互抚养的义务,这种法律关系的客体是()A.行为B.非物质财富C.物质财富D.无形财产答案:A2.下列选项中属于法的本质属性的是（）A.法是民族精神的体现B.法是统治阶级意志的体现C.法是公共意志的体现D.法是神的意志的体现答案:B3.关于法律语言、法律适用、法律条文和法律渊源,下列哪一选项不成立?()A.法律语言具有开放性，因此法律没有确定性B.法律适用并不是适用法律条文自身的语词，而是适用法律条文所表达的意义C.法律适用的过程并不是纯粹的逻辑推理过程，而有法律适用者的价值判断D.社会风俗习惯作为非正式的法律渊源，可以支持对法律所作的解释答案:A4.我国《合同法》规定：“个体经营户、农村社员同法人之间签订合同，应参照本法执行。
”该规定属于（）A.委任性规范B.准用性规范C.选择性规范D.授权性规范答案:B5.下列哪个选项不符合我国法律规定的“司法机关依法独立行使职权”原则的含义（）A.司法权不得由一般的行政机关来行使B.司法机关既要独立行使职权，又不得无限度地使用自由裁量权C.任何机关、团体和个人不得以任何形式干预司法活动D.司法机关及其工作人员在独立行使职权时不得违反程序规定答案:C6.我国宪法规定：中华人民共和国公民有言论、出版、集会、结社、游行、示威的自由，这些权利属于（）A.对人权利B.绝对权利C.相对权利D.道德权利答案:B7.孙某的狗曾咬伤过邻居钱某的小孙子，钱某为此一直耿耿于怀。
一天，钱某趁孙某不备，将孙某的狗毒死。
孙某掌握了钱某投毒的证据之后，起诉到法院，法院判决钱某赔偿孙某600元钱。
对此，下列哪一选项是正确的？（）A.孙某因对其狗享有所有权而形成的法律关系属于保护性法律关系B.由于孙某起诉而形成的诉讼法律关系属于第二性的法律关系C.因钱某毒死孙某的狗而形成的损害赔偿关系属于纵向的法律关系D.因钱某毒死孙某的狗而形成的损害赔偿关系中，孙某不得放弃自己的权利答案:B8.法律关系的客体包括物、行为和()A.人B.法人C.人格D.精神财富答案:D9.市民张某在城市街道上无照销售食品,在被城市综合管理执法人员查处过程中暴力抗法,导致一名城市综合管理执法人员受伤。
最新奥鹏东北大学21春学期《模拟电子技术基础Ⅰ》在线平时作业2-参考答案
9.集成运放的互补输出级采用( )。
【选项】：
A共射接法
B共基接法
C共集接法
D差分电路
【答案】：C
10.集成运算放大器能处理（）
【选项】：
A直流信号
B交流信号
C直流信号和交流信号
【答案】：C直流信号和交流信号|
11.对甲乙类功率放大器，其静态工作点一般设置在特性曲线的（）
【选项】：
A放大区中部
【选项】：
A共射电路
B共集电路
C共基电路
D共源电路
【答案】：D
5.直流稳压电源中滤波电路的目的是
【选项】：
A将交流变为直流
B将高频变为低频
C将交、直流混合量中的交流成分滤掉
【答案】：C
6.差分放大电路的差模信号是两个输入端信号的差，共模信号是两个输入端信号的（）。
【选项】：
A差
B和
C平均值
【答案】：C
7.在OCL乙类功放电路中，若最大输出功率为1W，则电路中功放管的集电极最大功耗约为（）。
【选项】：
A 1W
B 0.5W
C 0.2W
D无法确定
【答案】：C
8.功率放大电路的最大输出功率是在输入电压为正弦波时，输出基本不失真情况下负载上获得的最大（）。
【选项】：
A交流功率
B直流功率
C平均功率
D有功功率
B截止区
C放大区但接近截止区
D放大区但接近饱和区
【答案】：C
12.欲将正弦波电压转换成二倍频电压，应选用
【选项】：
A反相比例运算电路
B同相比例运算电路
C积分运算电路
D乘方运算电路
【答案】：D
↓答案↓东大19秋学期《行政诉讼法》在线平时作业2(参考)
【奥鹏】[东北大学]19秋学期《行政诉讼法》在线平时作业2 试卷总分:100 得分:100第1题,李某之子在部队演习中死亡,部队将《烈士证书》发给李某,李某一直凭该证书领取抚恤金,2007年,民政局换发《烈士证书》时,未将其换发给李某,遂停止向李某发放抚恤金。
李某得知后向法院提起诉讼。
下列选项正确的是( ) A、人民法院不予受理 B、人民法院不予立案 C、人民法院应当予以受理 D、李某应向其子原所属部队申请解决正确答案: 第2题,有权提起行政诉讼的公民季某死亡，其（）可以提起诉讼。
A、朋友陈某 B、单位领导黄某 C、弟弟季某 D、生前非法同居的岳某正确答案: 第3题,因不动产提起的行政诉讼，由（）人民法院管辖。
A、原告所在地 B、被告所在地 C、中级人民法院 D、不动产所在地正确答案: 第4题,甲市A 区政府依钱某申请作出复议决定,维持甲市A区公安局对钱某作出的罚款300元的行政处罚决定,钱某不服欲提起诉讼,下列哪种说法正确?（） A、甲市A区人民法院对本案有管辖权 B、甲市中级人民法院对本案有管辖权 C、甲市A区人民法院和甲市中级人民法院均有管辖权 D、本案必须先经过复议,对复议决定不服才能提起行政诉讼正确答案: 第5题,关于行政诉讼中的证据保全申请,下列哪一选项是正确的?( ) A、应当在第一次开庭前以书面形式提出 B、应当在举证期限届满前以书面形式提出 C、应当在举证期限届满前以口头形式提出 D、应当在第一次开庭前以口头形式提出正确答案: 第6题,对限制人身自由的行政强制措施不服提起的诉讼,由()人民法院管辖。
A、原告所在地 B、被告所在地 C、原告所在地或被告所在地 D、最先立案的正确答案: 第7题,公民、法人或者其他组织对（）不服的，不能提起行政诉讼。
A、行政处罚 B、行政处分C、行政许可 D、行政强制措施正确答案: 第8题,经复议的案件,复议机关改变原行政行为的,( )为被告。
东北大学线性代数期末试题 及答案
由于
x1 + ax2 = 0, x2 + bx3 = 0, x3 + cx4 = 0, x4 + dx1 = 0 .
1 a00
01b0
D=
= 1 − abcd ,
0 01c
d 001
5分 10 分
故当 abcd ≠ 1时，即当且仅当 x1 = x2 = x3 = x4 = 0 时，二次型 f (x1, x2, x3, x4 ) = 0 .
⇔ α1, a2,,αr 与 β1, β2,, βl 都是α1, a2,,αs , β1, β2,, βt 的极大线性无关组
⇔ R{α1, a2,,αs} = R{β1, β2,, βt}= R{α1, a2,,αs , β1, β2,, βt} .
（2）若
x
使
Ax
=
0
，则必使
β1 = (1,−1,0)T , β2 = (1,1,−1)T .
12 分
将α = (1,1,2)T , β1 = (1,−1,0)T , β2 = (1,1,−1)T 单位化，得正交矩阵
1
6
Q
=
1
6 2
6
1 2 −1 2
0
1
3
−
1
3 1
3
.
16 分
1 1
1
1 1
2
6 2
3 0
6 6
6
则 A = QΛQT
=
1
6 2
6
−1 2
0
1
−
3 1
3
2
[东北大学]21秋《数据结构Ⅱ》在线作业3--答案
![[东北大学]21秋《数据结构Ⅱ》在线作业3--答案](https://img.taocdn.com/s3/m/f2c4447f84868762cbaed5b0.png)
《数据结构Ⅱ》在线平时作业3试卷总分:100 得分:100一、单选题 (共 20 道试题,共 100 分)1.一个含n个顶点和e条弧的有向图以邻接矩阵表示法为存储结构，则计算该有向图中某个顶点出度的时间复杂度为<-A.->O(n)<-B.->O(e)<-C.->O(n+e)<-D.->O(n2)<-参考选择->：A2.索引非顺序文件的特点是<-A.->主文件无序，索引表有序<-B.->主文件有序，索引表无序<-C.->主文件有序，索引表有序<-D.->主文件无序，索引表无序<-参考选择->：A3.二维数组A按行优先顺序存储，其中每个元素占1个存储单元。
若A［1］［1］的存储地址为420，A［3］［3］的存储地址为446，则A［5］［5］的存储地址为<-A.->470<-B.->471<-C.->472<-D.->473<-参考选择->：C4.在单链表中，指针p指向元素为x的结点，实现“删除x的后继”的语句是<-A.->p=p->next;<-B.->p->next=p->next->next;<-C.->p->next=p;<-D.->p=p->next->next;<-参考选择->：B5.引入二叉线索树的目的是<-A.->加快查找结点的前驱或后继的速度<-B.->为了能在二叉树中方便的进行插入与删除<-C.->为了能方便的找到双亲<-D.->使二叉树的遍历结果唯一<-参考选择->：A6.一棵树高为K的完全二叉树至少的结点是<-A.->2k –1<-B.->2k-1 –1。
大学《线性代数》第2版(清华大学出版社、居余马)课后习题详细答案-较完整精编版
= 10 ⋅ (−1)
1 1 1 −1 1 1 1 1 1 1
⋅1⋅ 2L 8 ⋅ 9 = 10!
11、
1 1 1 1 1 第2行 − 第1行 1 0 −2 0 0 第3行 − 第1行 = 1*(−2)3 = −8 −1 1 0 0 −2 0 第4行 − 第1行 1 −1 0 0 0 −2
12、该行列式中各行元素之和均为 10，所以吧第 2，3，4 列加到第 1 列，然后再把第 1 列 后三个元素化为零，再对第 1 列展开，即
1 0 0
18、 A = 1 2
0 = 1* 2*3 = 3!，
1 2 3
0 0 B =0
0 0 0
0 0
0 −1 −2 0 0 = (−1) 0 0 0 0
−3 0
5(5 −1) 2
(−1)(−2)(−3)(−4)(−5) = −5!
0 −4 0 −5 0 0
所以
* B
A = (−1)3*5 | A || B |= −3!5! 0
1 a2 可以看出， M 42 = (ab + bc + ca)M 44 ，即 1 b 2 1 c2
1 0 2 a a 0 2 1 a 2 0 b 0 第1，列 4 0 0 b 2 第2， 3行 5 23、 − 3 c 4 5 对换 5 c 4 3 对换 0 d 0 0 0 0 0 0 d 0
a3 1 a a2 b3 = (ab + bc + ca) 1 b b 2 ，得证. c3 1 c c2
所以n2n原式由公式得22n为阶范德蒙行列式nn原式n又1an所以原式31系数行列式njiij100110114220对换114220对换11145130110101112042204211111110114行1201111001111010113行112114行4120对换101110111121412053421001415d410110113210对换014321对换10145145110110011032102143110104行11101114行所以32系数行列式01111011101101011110112行对换011101110100110101001111101111101101014111001110410030010第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行120110000101511121第1行第5行10074第1行第3行111010101000第1行第4行110第1行第2行01111112111410115110第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行0111001101010100111按第1列展开17按第4列44展开14011510第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行1010100001110111100按第1列展开1113按第1列展开01111101111214111150第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行0101000011110101111按第1列0110展开101按第1列展开01111011111241105第5行第4行第4行第3行第3行第2行第2行第1行01010000110111111按第1列展开001101110115按第1列展开所以d4d4d4d4d433因为齐次线性方程组有非零解所以其系数行列式即2111aa1b第2行第1行第3行第1行第4行第1行110100所以34设直线方程由于直线过点所以2
东北大学线性代数第四章课后习题详解线性方程组
基本教学要求：1.理解非齐次线性方程组有解的充分必要条件，理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件.2.理解齐次线性方程组的基础解系及通解等概念.3.理解非齐次线性方程组解的结构及通解等概念.4.掌握用线性方程组的初等变换求通解的方法.第四章 线性方程组一、线性方程组1. 线性方程组的表示形式(1)代数形式 11112121n n 12112222n n 2m11m22mn n m a x a x a x b ,a x a x a x b ,a x a x a x b .+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ (4.1)记()11121n 21222n 12n m1m2mn a a a a a a A ,,,a a a ∆⎛⎫ ⎪ ⎪==ααα ⎪⎪⎝⎭()()11121n 121222n 212n m1m2mnm a a a b A a a a b B ,,,,a a a b ∆⎛⎫⎧β⎪⎪⎪==⎨ ⎪⎪αααβ⎪⎩⎝⎭(2)矩阵形式Ax =β. (4.2)(3)向量形式1122n n x x x α+α++α=β. (4.3)2. 基本概念非齐次线性方程组——当(4.1)式中的12m b ,b ,,b 不全为零. 齐次线性方程组——当(4.1)式中的12m b ,b ,,b 全为零.线性方程组的解(解向量)——使(4.1)式成立的12n x ,x ,,x 的一组取值12n c ,c ,,c (T 12n (c ,c ,,c )).解线性方程组(4.1)是指求解的集合(简称解集合).同解线性方程组——解集合完全相同的线性方程组.系数矩阵/增广矩阵——由变量前的系数构成的矩阵A/由变量前的系数与右端常数构成的矩阵B. 线性方程组的初等变换——互换两个方程的位置；用一个不为零的数乘某个方程； 某个方程的倍数加到另一个方程.二、解线性方程组解线性方程组涉及三个问题：1.解的存在性问题；2.解的数目问题；3.解的结构问题. 1. 解的存在性问题(P 86)注意到，线性方程组经初等变换得到的是同解方程组.即()()C C 0Ax CAx C A CA C ≠=β⇔=βββ可逆一般地，对于增广矩阵(A )β，存在可逆矩阵C ，使C 0(A )(CA C )≠ββ=不妨设r E A OO''β⎛⎫⎪''β⎝⎭， (4.4)1即 12x A x ,Ax .''+=β⎧=β⇔⎨''ο=β⎩ (4.4)2其中T T 11r 2r 1n x (x ,,x ),x (x ,,x )+==.由此可见，若''β=ο，则方程组有解，此时R (A)R (A )=β；若''β≠ο，方程组无解，此时R (A)1R (A )+=β.即有如下结论：定理4.1(解的存在定理) 线性方程组(4.2)有解的充分必要条件是R(A)=R(A β). (定理4.1 P 86)例4.1(例4.1 P 86) 判定线性方程组123123123 x 2x 3x 1,2x 3x 4x 5, x 3x 5x 1+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=-⎩是否有解.解 2131r 2r r r 12311 23 1(A )234501 2313510 122----⎛⎫⎛⎫⎪⎪β=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭32311 23101 2 30 0 0 1---⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭r r r r R(A)=2, R(A β)=3，故无解.2. 解的数目问题方程组(4.2)有解，即同解方程组(4.4)2有解.当r=n 时，由式(4.4)2得同解方程组x '=β，此时方程组有唯一解x '=β. (4.5)1若r<n ，同解方程组为12x A x ''+=β，亦即12x A x ''=β-， (4.5)2其中T T 11r 2r 1n x (x ,,x ),x (x ,,x )+==，此时有无穷多解，称1x 为固定变量，2x 为自由变量.令22x =c ，带入(4.5)2，即得全部解(称为通解)1n r 2x A c,c R x c,-''=β-⎧∈⎨=⎩. (4.6)定理4.2(解的数目定理) n 元线性方程组(4.2)当R(A β)= R(A)=n 时有唯一解；当R(A β)=R(A)<n 时有无穷多个解. (定理4.2 P 88)定理4.3 n 元齐次线性方程组A x =ο，当R(A)=n 时只有零解；当R(A)<n 时有无穷多个解. (定理4.3 P 88)例4.2(例4.2 P 88) λ为何值时，线性方程组123412341234 x 2x 3x x 1,3x 5x 6x 2x 5,2x 3x 3x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+-+=λ⎩ 有解？并在有解时求出全部解.解 1231 1(A )3562 52331 -⎛⎫⎪β=- ⎪ ⎪-λ⎝⎭2131r 3r r 2r 1 23 1 1 01 31 2 01 3 1 2λ---⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪---⎝⎭12322r 2r r r r (2)10 31 5 013 1 2 00 0 0 4λ+-⨯--⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪-⎝⎭所以，当λ=4时，R(A)=R(A β)=2，方程有无穷多解，通解为112212123142x 53c c ,x 23c c ,c ,c R x c ,x c ,=-+⎧⎪=-+-⎪∈⎨=⎪⎪=⎩.例4.3(例4.3 P 88) 齐次线性方程组123123123x x +x 0,x x +x 0,x x +x 0λ+=⎧⎪+λ=⎨⎪+λ=⎩ 是否有非零解？3. 解的结构问题(1)齐次线性方程组解的结构解的性质：记V {x Ax }==ο——解集合(V 是向量空间，见本章第三节).，则有 ①如果12,V ξξ∈，那么12V ξ+ξ∈； ②如果V,k ξ∈为任意常数，那么k V ξ∈.推论 齐次线性方程组的任意有限个解的任意线性组合仍然是它的解(P 89).定义4.1 V 的“极大线性无关组”称为齐次线性方程组A x =ο的基础解系. (定义4.1 P 89)定义4.1表明，当A x =ο有无穷多解，其任意一个解都可由其基础解系线性表示.定理4.4(基础解系存在定理) 对于n 元齐次线性方程组A x =ο，如果R(A)=r<n ，则它有基础解系，且基础解系含n-r 个解向量. (定理4.4 P 90)A x =ο的通解(全部解的一般表达式)为(P 91)1122n r n r c c c --ξ+ξ++ξ， 12n r c ,c ,,c R -∈，其中12n r ,,,-ξξξ为A x =ο的一个基础解系.例4.4(类似例4.4 P 91) 解齐次线性方程组12345123451234512345 x x x x x 0,2x x x x 4x 0,4x 3x x x 6x 0, x 2x 4x 4x x 0.+--+=⎧⎪++++=⎪⎨+--+=⎪⎪+---=⎩ 解 213141r 2r r 4r r r 11111111112111401332A 43116013321244101332-------⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=→⎪ ⎪--- ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭3212422(1)1111110223013320133200000000000000000000r r r r r r r -++---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪----⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.R(A)=2<5，故有无穷多解，同解方程组为13452345334455x 2x 2x 3x ,x 3x 3x 2x x x ,x x ,x x .=---⎧⎪=++⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩ 通解为12312345x 223x 332x c 1c 0c 0010x 001x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，123c ,c ,c R ∈. (其中(-2,3,1,0,0)T , (-2,3,0,1,0)T , (-3,2,0,0,1)T 是一个基础解系.)例4.5(例4.5 P 92) 设4阶矩阵A=(α1,α2,α3,α4)，α1,α2线性无关，α1+α2+α3+α4=ο，α1+2α2-α3-2α4=ο，求齐次线性方程组A x =ο的通解.解 分析：求通解的关键是 .已知条件表明 .(2)非齐次线性方程组解的结构 称A x =ο为A x =β的导出组.解的性质：若记C {x Ax }==β——解集合(C 不是向量空间，见本章第三节)，则 ①如果12,C ξξ∈，那么12V ξ-ξ∈； ②如果C,V η∈ξ∈，那么C η+ξ∈；③如果0C η∈，那么A x =β的任意一个解η都可以表示为0η=η+ξ，其中V ξ∈.A x =β的通解为(P 93)01122n r n r c c c --η+ξ+ξ++ξ，12n r c ,c ,,c R -∈.其中0η是A x =β的一个解(称为特解)，12n r ,,,-ξξξ是A x =ο的一个基础解系.例4.6 解线性方程组123412341234 x 2x 4x 3x 1,3x 5x 6x 4x 1,4x 5x 2x 3x 2.++-=⎧⎪++-=⎨⎪+-+=-⎩ 解 12 431(A )35 641452 32-⎛⎫⎪β=- ⎪ ⎪--⎝⎭213132122r 3r r 4r r 3r r 2r (1)r 1 2 4310165203181561 0873016520 0 00 01 08 730 1 65 20 0 0 0 0---+--⎛⎫⎪→--- ⎪⎪---⎝⎭--⎛⎫⎪→--- ⎪ ⎪⎝⎭--⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭R(A β)=R(A)=2<4，有无穷多解，同解方程组为1342343344x 38x 7x ,x 26x 5x ,x x ,x x .=-+-⎧⎪=-+⎪⎨=⎪⎪=⎩ 通解为121234x 387x 265c c x 010001x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 12c ,c R ∈.(其中(-3,2,0,0)T 为特解，(8,-6,1,0)T , (-7,5,0,1)T 为导出组的一个基础解系.)例4.8(例4.7 P 94) 问a,b 为何值时，线性方程组123412341234234 x x x x 0,2x 3x x 4x 1,3x 2x ax x b, 2x 2x ax 2+++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪-+=⎩ 无解？有唯一解？有无穷多个解？并在有无穷多个解时，求其通解.解 方法一(cramer 法则)4221313242c c c c c c c c c c 2111110002314211132a 131a 31022a022a 210002100(a 4).31a 4002a 4---+--=------==----所以，当a ≠4时，方程组有唯一解.而当a=4时，11110111102314101121(A )3241b 0112b 1022a202242⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪β=→⎪ ⎪--+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭10211011210000b 100000--⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪+ ⎪⎝⎭. 可见，当b ≠-1时，R(A)=2<R(A|β)=3，此时方程组无解；当b=-1时，R(A)=R(A β)=2，方程组有无穷多个解，同解方程组为1342343344x 12x x ,x 1 x 2x ,x x ,x x .=--+⎧⎪=+-⎪⎨=⎪⎪=⎩ 通解为 121234x 12 1x 112c c x 01 000 1x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 12c ,c R ∈.方法二(初等变换法 P 94)例4.9(例4.6 P 93) 设η1=(1,1,1,1)T , η2=(1,2,3,4)T , η3=(1,-1,2,3)T 都是4元非齐次线性方程组的A x =β的解，且R(A)=2，求方程组A x =β的通解.解 分析：三个解η1,η2,η3说明 ，R(A)=2则说明 .三、向量空间什么是向量空间？向量空间是符合一定条件的集合.为什么讲向量空间？当集合为向量空间时，该集合中的任意一个元素都可由该集合中的“极大线性无关组”线性表示.定义4.2 设V 是非空的n 维向量集合，如果V 对向量的加法和数乘运算是封闭的，则称V 是向量空间. (定义4.2 P 95)集合V 对向量的加法和数乘运算是封闭的是指： (1)如果,V αβ∈，那么V α+β∈； (2)如果V,k R α∈∈，那么k V α∈.例如，齐次线性方程组的解集合V 是向量空间，故也称为解空间；非齐次线性方程组的解集合C 不是向量空间.n 维向量集合R n 是向量空间.由向量组α1,α2,…,αm 的任意线性组合组成的集合L(α1,α2,…,αm )={k 1α1+k 2α2+…+k m αm |k 1,k 2,…,k m ∈R}是一个向量空间，称为由向量α1,α2,…,αm 生成的向量空间.例4.10(例4.8 P 96)定义4.3 设V 和U 是向量空间，如果V ⊂U ，则称V 是U 的子空间. (定义4.3 P 96)例如，n 元齐次线性方程组的解空间V 就是n 维向量空间R n 的一个子空间.定义4.4 向量空间V 的“极大无关组”称为V 的基，“极大无关组”的秩r 称为V 的维数，V 则称为r 维向量空间. (定义4.4 P 96)规定：不存在基的向量空间(即仅含零向量的向量空间)的维数为0.正交基——由正交向量组构成的基 规范正交基——由规范正交向量组构成的基例如，n 元齐次线性方程组的解空间V 是n-R(A)维向量空间，基础解系即是V 的基.R n 是n 维向量空间，标准单位向量组ε1,ε2,…,εn 即是R n 的一组规范正交基.生成空间L(α1,α2,…,αm )是R(α1,α2,…,αm )维向量空间，α1,α2,…,αm 的极大线性无关组即是L(α1,α2,…,αm )的基.例如，集合V 1={(0, a 2,…,a n )|a 2,…,a n ∈R}是向量空间，标准单位向量组e 2,…,e n 是V 1的一组规范正交基，V 1是n-1维向量空间.定义4.5 设α1,α2,…,αr 是向量空间V 的一个基，那么V 中向量α可以表示为α=x 1α1+x 2α2+…+x r αr ，称x 1,x 2,…,x r 为向量α在基α1,α2,…,αr 下的坐标. (定义4.5 P 97)例4.11(例4.9 P 97)解 分析：向量组是基的条件 .如果β1,β2,…,βr 是向量空间V 的另一组基，那么存在可逆矩阵C ，使(β1,β2,…,βr )=(α1,α2,…,αr )C . (4.10)C 称为由基α1,α2,…,αr 到基β1,β2,…,βr 的过渡矩阵.式(4.10)称为基变换公式.设向量α在基β1,β2,…,βr 下的坐标为(y 1,y 2,…,y r )T ，那么1122r r112212r 12r r r y y y y y yy (,,,)(,,,)C y y α=β+β++β⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=βββ=ααα ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.于是，α在基α1,α2,…,αr 下的坐标1122r r x y x y C x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (4.11) 式(4.11)称为坐标变换公式.例4.12(例4.10 P 98) 已知向量空间R 3中的两个基：α1=(1,0,0)T ,α2=(-1,1,0)T ,α3=(-1,-1,1)T ，e 1=(1,0,0)T , e 2=(0,1,0)T , e 3=(0,0,1)T ，求由基α1,α2,α3到基e 1,e 2,e 3的过渡矩阵，并求向量β=(1,2,3)T 在基α1,α2,α3下的坐标.解 α1=e 1，α2=-e 1+e 2，α3=-e 1-e 2+e 3，即(α1,α2,α3)=(e 1,e 2,e 3)111011001--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.于是由基α1,α2,α3到基e 1,e 2,e 3的过渡矩阵C 为1111112011011001001---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C .令β=x 1α1+x 2α2+x 3α3，则β在基α1,α2,α3下的坐标为(x 1,x 2,x 3)T =(α1,α2,α3)-1β=C (e 1,e 2,e 3)-1β= C β=(9,5,3)T .四、习题(P 101)选择题：1.提示：(1,0,1,0)T 是A x =ο的基础解系，则有α1+α3=ο ⇒ 排除A,C与 R(A)=4-1=3 ⇒1234*****A O R(A )1R(A )4R(A),,,1A A O A x 0α⎧≠⇒≥⎪⎧≤-=⎨⎪=⇒⎨⎪=ααα⎪⎩⎩的解都是 ⇒ R(A *)=1 ⇒ 排除B ，选D2. 提示： C 0r 12E A b (A b)(CA Cb)=O O b ≠⎛⎫'→ ⎪⎝⎭不妨 有解表明R(A)=R(A b )，对任意的b 都有解则表明R(A b )=m. 选B3. 选D4. 选C5. 选D6. 提示：|A|=0且A ij ≠0 ⇒ R(A)=n-1 ⇒ 选A7. 选C8. 选C9. 选B10. 选D11. 提示：|A|=0 ⇒ R(A)<nD i ≠0 ⇒ R(A|b )=n 选A12. 选C填空题：1. k=n-r ， r=n2. r=n r<n3. 提示：A 是正交矩阵且a 11=1 ⇒ a 12=a 13=a 21=a 31=0⇒ A(1,0,0)T =(a 11,a 21,a 31)T =(1,0,0)T =b4. 提示：AB=O ⇒ B 的列向量都是A x =ο的解B ≠O ⇒ A x =ο有非零解 ⇒ R(A)<m 或 |A|=05. 提示：AB=AC ⇒ A(B-C)=O ⇒ R(A)<n6. a=-2解答题：2.(3) 解 2131r 4r r 3r 11026110264111105172531100041618------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭23223123r 15r 4r r r r r r (5)11026011755001221001101017001210⨯-++-⨯---⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪--⎝⎭-⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪-⎝⎭R(A)=R(A|β)<4，有无穷多解.同解方程组为14243444x x 1,x x 7, x 2x 10,x x .=+⎧⎪=-⎪⎨=+⎪⎪=⎩ 通解为(1,-7,10,0)T +c(1,1,2,1)T , c ∈R .3. 提示：32121r r 2r r 4r 10110141224122614230001---λλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪λ+→λ+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪λ+-λ+⎝⎭⎝⎭4. 提示：向量β能不能由向量组α1,α2,α3线性表示等同于非齐次线性方程组(α1,α2,α3)x =β是否有解.1 1 1 11 1 11 2a 2 b+2 30 a b+4103a a 2b 303a a 2b 311 110a b+4100a+5b+120--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+--+-⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭(1)当a=0且b ≠-12/5时， 11 1111110a b+4100 1000a+5b+12000 01--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有R(A)=2<R(A β)=3，此时β不能由向量组α1,α2,α3线性表示.(1) (2)当a+5b+12=0时，R(A)=R(A β)=2，这时β能由向量组α1,α2,α3线性表示，但表示式不唯一.由(2) 11 11 0a b+4100a+5b+12011 1 1101(b 4)a 1101(b 4)a 1a 01 1 1,a 000 0 000 0 0111 1110(b 5)(b 400 114)00 0 0-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭---+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+→-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→-++⎛⎫ ⎪+→ ⎪ ⎪⎝⎭)001 1(b 4),a 0000 0⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩有 1211(1)a a β=-α+α 或 13b 51b 4b 4+β=α+α++. (3) (3)当a(a+5b+12)≠0时，R(A)=R(A β)=3，这时β能由向量组α1,α2,α3唯一线性表示.由11 1111 1 1 0a b+4101(b+4)a 1a 00a+5b+12000 1 010011a 010 1a 001 0--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭， (4) 有1211(1)a aβ=-α+α. (5) 5.提示：方程组(Ⅱ)的系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=3.因为方程组(Ⅰ)与方程组(Ⅱ)同解，所以它们的解也是方程组[(Ⅰ)+(Ⅱ)]的解，从而方程组[(Ⅰ)+(Ⅱ)]满足：系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=3.23123415161425263r 2r r r r r r r 2r r 2r r (a 1)r r r r r 111111006601212010540012100121 1a1110a 100021b 1401b 212223c 1001c 21100660105400121000--------+--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭---→-53r (b 2)r 5(a 1)4(a 1)00b 242000c 401006601054001210005(a 1)4(a 1)0002(4b)b 4000c 40--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-→ ⎪--- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭因为系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=3，所以a-1=0,b-4=0,c-4=0 ⇒ a=1,b=c=4.6. 提示：BA 的行向量都是方程组P x =ο的解⇒ P(BA)T =P(A T B T )=OB ⇒可逆 PA T =O⇒ A 的行向量也都是方程组P x =ο的解7. 提示： AB=O ⇒ B 的列向量都是方程组A x =ο的解B ≠O ⇒ 方程组A x =ο有非零解 ⇒ R(A)<n ，故|A|=08. 提示：设A=(α1,α2,…,αn )，并取x =e i (i=1,2,…,n)，那么由A x =ο即得αi =ο(i=1,2,…,n)，所以A=O.9. 提示：由A η=b ⇒ a=c.10. 提示：11a 14(A B)=1a 112a 1122⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭123r r r a 2a 2a 2001a 112a 1122+++++⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭32r 2r a 2a 1a 2a 100000000000000012112121121101021122033060110211100000120000411100140010a 1012a 1a 1a 1002212010a 1a 12100+=-=≠-≠⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→--→--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫ ⎪→---- ⎪ ⎪---⎝⎭→----2a 1a 1⎧⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎨⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪- ⎪⎪--⎪⎝⎭⎩⎩当a=1时，无解；当a ≠-2且a ≠1时，解唯一；当a=-2时，解不唯一.11. 提示：A ηi =β(i=1,2,…,n)⇒ A(k 1η1+k 2η2+…+k s ηs )=(k 1+k 2+…+k s )β=β⇔ k 1+k 2+…+k s =112. 解 A 的各行元素之和都等于零，即A (1,1,…,1)T =οT ，所以(1,1,…,1)T 是A x =ο的解.另因R(A)=n-1，所以(1,1,…,1)T 是基础解系.于是A x =ο的通解为c(1,1,…,1)T ,c ∈R .13. 提示：设B=(β1,β2,…,βs )，则AB=O ⇔ A(β1,β2,…,βs )=O⇔ A βi =ο，i=1,2,…,s ，⇒ B 的各列都是A x =ο解⇒ R(B)≤n-R(A)⇒ R(A)+R(B)≤n14. 提示：n ijlj j 1A 0,a A 0,i,l 1,2,,n,i l ====≠∑()n ijlj j 1T k1k2kn R(A)n,a A 0,i,l 1,2,,n R(A)n,A A ,A ,,A =⇒<==⇒<=ο∑ 又 ()kl k1k2kn R(A)n 1,A 0A ,A ,,A .≥-⎧⎪≠⇒⎨≠ο⎪⎩ 所以R(A)=n-1，且(A k1, A k2, …,A kn )T 是A x =ο的一个基础解系.15. 提示：234123,,R(A)32⇒ααα⎧=⎨α=α-α⎩线性无关T 1232A(1,2,1,0)α=α-α⇒-=ο，T 1234A(1,1,1,1)β=α+α+α+α⇒=β，故A x =β的通解为(1,1,1,1)T + c(1,-2,1,0)T , c ∈R .16. 提示：因为A≠O,AB=O ，所以R(A)≥1, R(A)+R(B)≤3，因此R(B)≤2.于是若k≠9，则R(B)=2,R(A)=1，此时A x =ο的通解为c 1(1,2,3)T +c 2(3,6,k)T , c 1,c 2∈R.若k=9，则R(B)=1.那么(1)当R(A)=2时，A x =ο的通解为c(1,2,3)T , c ∈R ；(2)当R(A)=1时，A x =ο的同解方程为ax+by+cz=0，通解为c 1(b,-a,0)T +c 2(c,0,-a)T , c 1,c 2∈R .17. V 1是n-1维向量空间，一个基为(1,0,…,0,-1)T , (0,1,…,0,-1)T ,…, (0,0,…,1,-1)T .V 2不是.18. 提示：(1) 因为(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)C ，所求过渡矩阵为C=(α1,α2,α3)-1(β1,β2,β3)=…(2) 设α=(α1,α2,α3)x ，则x =(α1,α2,α3)-1α=…19. 提示：设采购前后仓库A,B,C 三件物品的件数分别为x 0,y 0,z 0和x 1,y 1,z 1，则x 1=0.3y 0+0.5z 0+x 0, y 1=0.3x 0+y 0, z 1=0.6y 0+z 0，即x 0+0.3y 0+0.5z 0 =290,0.3x 0+ y 0 =330,0.6y 0+ z 0=380.五、计算实践实践指导：(1)了解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件.(2)理解齐次线性方程组的基础解系及通解等概念.(3)理解非齐次线性方程组解的结构及通解等概念.(4)掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法.例4.1 a,b 为何值时，线性方程组123123123123(1a)x x x 1, 2x (2a)x 2x 2, 3x 3x (3a)x 3,4x 4x 4x (4a).+++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪++=+⎩ 无解，有解？并在有解时求其解.解 ()1a 11122a 22A 333a 34444a +⎛⎫ ⎪+ ⎪β= ⎪+ ⎪+⎝⎭10a 10a 10a 10a 22a 22333a 34444a ++++⎛⎫ ⎪+ ⎪→ ⎪+ ⎪+⎝⎭. 当a≠-10时，111122a 22(A )333a 34444a ⎛⎫ ⎪+ ⎪β→ ⎪+ ⎪+⎝⎭11111,a 0111111a a 1111a 0,a 000⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪→≠⎪⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪→⎨ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎪==⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩ ⇒ 当a≠-10且a≠0，无解；当a=0，有无穷多个解，通解为(1,0,0)T +c 1(-1,1,0)T +c 2(-1,0,1)T , c 1,c 2∈R.当a=-10时，()9111010201028221411A 337301510000000000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪β→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 14111411012102010320032000000000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1011100140101201012002320013400000000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⇒ 当a=-10，有唯一解(-1/4,-1/2,-3/4)T .例4.2 证明：*n,R(A)n, R(A )1,R(A)n 1,0,R(A)n 1.=⎧⎪==-⎨⎪<-⎩证 *AA A E = ******ij **ij R(A)n A 0A R(A )nAA O R(A)R(A )n R(A)n 1R(A )1A 0R(A )1R(A)n 1A 0A O R(A )0=⇒≠⇒⇒=⎧=⇒+≤⎪=-⇒⇒=⎨∃≠⇒≥⎪⎩<-⇒∀=⇒⇒=可逆＝六、知识扩展1.设A 是m×n 矩阵，B 是n×m 矩阵，则线性方程组AB x =ο[D ].(A)当n>m 时仅有零解；(B)当n>m 必有非零解；(C)当n<m 时仅有零解； (D)当n<m 时必有非零解. （2002 数三）提示：AB 是m×m 矩阵，R(AB)≤min{ R(A), R(B)}⇒ 当m≤n ，R(AB)≤m ，由此推不出R(AB)=m 或必≠m ⇒ 排除A,B ；当n≤m ，R(AB)≤n ⇒ AB x =ο有非零解 ⇒ 排除C ，故选D.2.设A 是m×n 矩阵，A x =ο是A x =β的导出组，则下列结论正确的是[D ].(A)若A x =ο仅有零解，则A x =β有唯一解；(B)若A x =ο有非零解，则A x =β有无穷多个解；(C)若A x =β有无穷多个解，则A x =ο仅有零解；(D)若A x =β有无穷多个解，则A x =ο有非零解.提示：由(A)、(B)推不出R(A)=R(A β)；由(C)、(D)可推出R(A)<n ，故选(D).3.非齐次线性方程组A x =β中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵的秩为r ，则[A ].(A) 当r=m 时, 则A x =β有解；(B) 当r=n 时, 则A x =β有唯一解；(C) 当n=m 时, 则A x =β有唯一解；(D) 当r<n 时, 则A x =β有无穷多个解.（1997 数四）提示：由(B)、(C)、(D)推不出R(A)=R(A β)，而由(A)可推出R(A)=R(A β)= m ，故选(A).4.设n 阶矩阵A 的伴随矩阵A *≠O ，若η1,η2,η3,η4是非齐次方程组A x =β的互不相等的解，则对应的齐次方程组A x =ο的基础解系[B ].(A)不存在；(B )仅含一个非零解向量；(C)含有两个线性无关的解向量；(D)含有三个线性无关的解向量.提示：A *≠O ⇒ R(A)≥n -1η1,η2,η3,η4是互不相等的解 ⇒ R(A)<n⇒ R(A)=n-1 ⇒ A x =ο的基础解系仅含一个非零解向量，故选D.5.已知非齐次线性方程组123412341234 x x x x 14x 3x 5x x 1ax x 3x bx 1+++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩有3个线性无关的解，(1)证明方程组系数矩阵A 的秩R(A)=2；(2)求a,b 的值及方程组的通解.提示：(1)非齐次线性方程组有3个线性无关的解, 所以其导出组至少有两个解，因此R(A)≤2.又()21321r 4r r 1a r ar 11111(A )43511a 13b 111111011530042a b 4a 542a -+---⎛⎫ ⎪β=-- ⎪ ⎪-⎝⎭-⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪--+--⎝⎭⇒ R(A)≥2 ⇒ R(A)=2(2) R(A)=R(A β)=2 ⇒42a 0a 2b 4a 50b 3-==⎧⎧⇒⎨⎨-+-==-⎩⎩1111112064(A )43511011532133100000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪β=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是通解为(-4,0,3,0)T +c 1(-2,1,1,0)T +c 2(-6,0,5,1)T , c 1,c 2∈R.6.已知四元齐次线性方程组(Ⅰ) 12312342x 3x x 0 x 2x x x 0+-=⎧⎨++-=⎩和另一个四元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系α1=(2,-1,a+2,1)T , α2=(-1,2,4,a+8)T ，(1)求方程组(Ⅰ)的一个基础解系；(2)当a 为何值时，方程组(Ⅰ) 与(Ⅱ)有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解. （2002 数四）提示：(1) (Ⅰ)的一个基础解系为β1=(5,-3,1,0)T , β2=(-3,2,0,1)T .(2) 设方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解，于是将(Ⅱ)的通解k 1α1+k 2α2代入(Ⅰ)中，得()()()112a 1k 0a 1k a 1k 0+=⎧⎪⎨+-+=⎪⎩ 当a≠-1时，k 1=k 2=0，则(Ⅰ)与(Ⅱ)无非零公共解；当a=-1时，k 1,k 2任意，故此时(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解，且全部非零公共解为k 1α1+k 2α2，k 1,k 2为不全为零的任意实数.7.已知向量组β1=(0,1,-1)T ,β2=(a,2,1)T ,β3=(b,1,0)T 与向量组α1=(1,2,-3)T ,α2=(3,0,1)T ,α3=(9,6,-7)T 有相同的秩，且β3可由α1,α2,α3线性表示，求a,b 的值. (2000 数二） (答案：a=15,b=5)提示：()123123αααβββ1390ab 206121317110⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪---⎝⎭ 11103122130124220002a 13b 5⎛⎫ ⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭⇒ R(A)=2因β3可由α1,α2,α3线性表示，故b-5=0，即b=5.()123123αααβββb 51100310a 150=-⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭ 因为R(A)=R(B)=2，故a-15=0，即a=15.8.设A 是实方阵，证明：线性方程组A x =ο与A T A x =ο是同解方程组. （2000数三） 提示：显然A x =ο的解是A T A x =ο的解；反之，若x 是A T A x =ο的解，则x T A T A x =0 ⇔ |A x =ο|=0 ⇔ A x =ο，故x 也是A x =ο的解.9.设向量组(α1,α2,…,αt )是齐次线性方程组A x =ο的一个基础解系，向量β不是方程组A x =ο的解.证明：向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αt 线性无关.提示：方法一由α1,α2,…,αt 是齐次线性方程组A x =ο的一个基础解系，β不是方程组A x =ο的解，知β,α1,α2,…,αt 线性无关.令k 0β+k 1(β+α1)+k 2(β+α2)+…+k t (β+αt )=ο即(k 0+k 1 +k 2+…+k t )β+k 1α1+k 2α2+…+k t αt =ο01t 011t t k k k 0k 0 k 0k 0k 0k 0+++==⎧⎧⎪⎪==⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎪⎪⎪⎪==⎩⎩ 故向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αt 线性无关.方法二由α1,α2,…,αt 是齐次线性方程组A x =ο的一个基础解系，β不是方程组A x =ο的解，知β,α1,α2,…,αt 线性无关.另有()()()()12t 12t t 1t 1 ,,,,111010,,,,BK 001∆+⨯+ββ+αβ+αβ+α⎛⎫ ⎪ ⎪=βααα= ⎪ ⎪⎝⎭ 而K 可逆，故β,β+α1,β+α2,…,β+αt 线性无关.10. 设A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量，若秩T AR R(A)α⎛⎫= ⎪αο⎝⎭，则线性方程组[D ].(A) A x =α必有无穷多个解；(B) A x =α必有唯一解；(C) T Ax y α⎛⎫⎛⎫=ο ⎪⎪αο⎝⎭⎝⎭仅有零解； (D) T Ax y α⎛⎫⎛⎫=ο ⎪⎪αο⎝⎭⎝⎭必有非零解. （2001 数三） 提示：T AR R(A)α⎛⎫= ⎪αο⎝⎭ ⇒ T A R n 1α⎛⎫<+ ⎪αο⎝⎭ ⇒ 排除C ，选D 此外，由T AR R(A )R(A)α⎛⎫≥α≥ ⎪αο⎝⎭⇒ R(A α)= R(A) ⇒ A x =α有解，但不能确定是有唯一解，还是有无穷多个解，故排除A,B .11. 设α=(1,2,1)T ,β=(1,1/2,0)T ,γ=(0,0,8)T ,A=αβT ,B=βT α，求解方程2B 2A 2x =A 4x +B 4x +γ. 提示：241120A 210,B 2,A 2A,A 8A 1120⎛⎫ ⎪==== ⎪ ⎪⎝⎭方程化简为8(A-2E)x =γ，解之得x =(1/2,1,0)T +c(1,2,1)T , c ∈R.12.设11a A 010,b 1111λ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=λ-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪λ⎝⎭⎝⎭，已知线性方程组A x =b 存在2个不同的解，(Ⅰ)求λ和a ；(Ⅱ)求方程组A x =b 的通解. (2010(一)(二)(三))13.设矩阵222a 1a 2a A 1a 2a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，现矩阵A 满足方程A x =b ，其中x =(x 1,x 2,…x n )T ,b=(1,0,…,0)T ， (1)求证|A|=(n+1)a n ； (2)a 为何值时，方程组有唯一解？求x 1；(3)a 为何值时，方程组有无穷多解？求通解. (2008(一)(二)(三))提示：(1)2222n2a12a130a1a2a2Aa2a11a2aa2a 2a130a124(n1)a.a31n10an====++或22n n-1n-22n2n n-1n-1n-221n222nnn2a1a2aD2aD a D1a2aD aD a(D aD)a(D aD)a(3a2a)aD(n1)a.--==-⇒-=-=-=-=⇒=+(2)当a≠0时，方程组有唯一解，根据Cramer法则，得n1n11nnD na nxD(n1)a(n1)a--===++.(3)当a=0时，方程有无穷多解，通解为x=(0,1,0,…,0)T+c(1,0,0,…,0)T, c∈R.。
最新奥鹏东北大学21春学期《网站建设与管理(一)(录题)》在线平时作业2-参考答案
【答案】：D我们可以在菜单域中选择多项信息|
10. CSS表示()
【选项】：
A层
B行为
C样式表
D时间线
【答案】：C样式表|
11.以下关于GET方式提交和POST方式提交数据说法错误的是。
【选项】：
A get是把参数数据队列加到提交表单的ACTION属性所指的URL中，值和表单内各个字段一一对应，在URL中可以看到。
【选项】：
A对
B错
【答案】：B错|
19.电子商务网站的改版工作是指用新制作的网站覆盖原网站
【选项】：
A对
B错
【答案】：B错|
20.服务器将获取到的静态资源通过HTTP请求发送到浏览器端。
【选项】：
A对
B错
【答案】：B错|
21.表单由表单标签和表单元素两部分组成。
【选项】：
A对
B错
【答案】：A对|
22.电子商务网站就是为实现电子商务功能而建设的网站
【选项】：
A站点的CI######
B版面布局
C浏览方式
D采用的编程语言
【答案】：D采用的编程语言|
7.如果要删除Cookie，可以使用下列哪个函数（
）
【选项】：
A earcookie()
B setcookie()
C destroy()
D ob_end_flush()
【答案】：B setcookie() |
8. Dreamweaver的修改菜单中，删除当前链接的选项是（）
【选项】：
A页眉属性
B所选属性
C移除链接
D链接目标
【答案】：C移除链接|
9.下列关于各表单域的描述不正确的一项是。（）
[答案][东北大学]2020秋《生产管理(二)》在线平时作业3
![[答案][东北大学]2020秋《生产管理(二)》在线平时作业3](https://img.taocdn.com/s3/m/b4d6f16969dc5022abea0000.png)
1.()管理人员和维护员工一起进行观察、检查、校正、清洁和报告。
[答案：E]A.合作B.管理者C.事后D.六西格玛E.自主2.设定劳动标准的最不受推荐的方法是()。
[答案：C]A.时间研究B.工作抽样C.历史经验D.预定时间标准3.下面哪种决策覆盖的时间期间最长?()[答案：B]A.作业计划B.产能计划C.综合计划D.产品出产计划4.下面哪种描述是对办公室布置最好的表述?()[答案：A]A.对员工、设备和空间/办公室进行分类，以促进信息的流动B.大型项目，如造船业和建筑业的布置要求C.在重复或连续性生产中，个人或机器的利用率达到最高D.根据顾客的行为特点来分配空间E.处理的是多品种小批量问题5.设计一个流水线，生产的产品完成时间需要21分钟。
工厂每天开工400分钟。
有5个工作站的生产线是否能每天完成100件产品?()[答案：C]A.是，还多余100分钟B.不，4个工作站足够了C.不，即使是很完美的平衡线，工作站也是短缺的D.是，但是生产线的效率很低E.根据所提供的信息无法做出判断6.工作环境包括的因素有()。
[答案：A]A.光线、噪音、温度和空气质量B.照明、地毯和高天花板C.足够的会议和电视会议空间D.噪音、湿度和共同工作者的数量E.工作扩大化和空间分析7.下列行为不是生产运作管理主要内容的是()。
[答案：B]A.生产运作系统的设计B.企业战略的制定C.生产运作系统的运行D.生产运作系统的改善8.在约翰逊算法中应被安排在最后完成的作业是哪种作业?()[答案：E]A.两台机器上总的加工时间最长B.两台机器上总的加工时间最短C.第一台机器上的加工时间最长D.第二台机器上的加工时间最长E.第二台机器上的加工时间最短9.下面哪种描述不支持零售布置将产品尽可能展示给顾客的目标?() [答案：C]A.将吸引力大的商品环绕商店四周进行布置B.将即兴购买率高和边际利润率高的商品放在突出的位置C.最贵的商品曝光度最大D.使用通道末端的位置E.认真选择起始部门的位置以准确表达商店的任务10.在制定工作负荷时使用哪种直观工具()。
20秋学期《网络安全技术》在线平时作业2[附答案]
![20秋学期《网络安全技术》在线平时作业2[附答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/4a1ecb6026fff705cc170ae8.png)
[东北大学]20秋学期《网络安全技术》在线平时作业2
试卷总分:100 得分:100
一、单选题 (共 10 道试题,共 30 分)
1.完整性是指信息是真实可信的，其发布者不被冒充，来源不被伪造，内容不被篡改，主要防范措施是（）。
A.密码技术
B.访问控制
C.校验与认证技术
D.密码技术
[正确选择是]:C
2.ISO 7498-2描述了8种特定的安全机制，这8种特定的安全机制是为5类特定的安全服务设置的，以下不属于这8种安全机制的是( )。
A.安全标记机制
B.加密机制
C.数字签名机制
D.访问控制机制
[正确选择是]:A
3.从安全属性对各种网络攻击进行分类，截获攻击是针对（）的攻击。
A.机密性
B.可用性
C.完整性
D.真实性
[正确选择是]:A
4.网络安全的基本属性是（）
A.机密性
B.可用性
C.完整性
D.上面3项都是
[正确选择是]:D
5.ISO 7498-2从体系结构的观点描述了5种可选的安全服务，以下不属于这5种安全服务的是( )。
A.身份鉴别
B.数据报过滤
C.授权控制
D.数据完整性
[正确选择是]:B
6.在网络通信中，纠检错功能是由OSI参考模型的（）实现的。
A.传输层
B.网络层。
[东北大学]20秋学期《线性代数》在线平时作业2辅导答案
![[东北大学]20秋学期《线性代数》在线平时作业2辅导答案](https://img.taocdn.com/s3/m/2e3812f6a8956bec0875e370.png)
注：每学期试题都会有所不同，请认真做好复习！
一、单选题 (共 20 道试题,共 100 分)
1.{图}
[A选项]-A
[B选项]-B
[C选项]-C
[D选项]-D
解析：试题难度4颗星
【参考选择】：D
2.{图}
[A选项]-A
[B选项]-B
[C选项]-C
[D选项]-D
解析：试题难度4颗星
【参考选择】：A
[D选项]-D
解析：试题难度4颗星
【参考选择】：D
3.{图}
[A选项]-A
[B选项]-B
[C选项]-C
[D选项]-D
解析：试题难度4颗星
【参考选择】：D
4.{图}
[A选项]-A
[B选项]-B
[C选项]-C
[D选项]-D
解析：试题难度4颗星
【参考选择】：A
5.{图}
[A选项]-A
[B选项]-B
[C选项]-C
[D选项]-D
解析：试题难度4颗星
【参考选择】：D
12.{图}
[A选项]-A
[B选项]-B
[C选项]-C
[D选项]-D
解析：试题难度4颗星
【参考选择】：D
13.{图}
[A选项]-A
[B选项]-B
[C选项]-C
[D选项]-D
解析：试题难度4颗星
【参考选择】：A
14.{图}
[A选项]-A
[B选项]-B
[C选项]-C
[D选项]-D
解析：试题难度4颗星
【参考选择】：C
18.{图}
[A选项]-A
[B选项]-B
【东大】20秋学期《电算化会计与审计》在线平时作业2答案
20秋学期《电算化会计与审计》在线平时作业2
学校：东北大学学期：2020年秋季
一、单选题 (共 5 道试题,共 25 分)
1.将一个日期型数据转变为字符串的函数是。
A.Left( )
B.Instr( )
C.Str( )
D.Cstr( )
[本题正确选择]：D
2.如果要删除一个字符变量中首部空格，应用使用函数。
A.Rtrim（）
B.Ltrim（）
C.Str（）
D.Mid（）
[本题正确选择]：B
3.如果要删除一个字符变量中尾部空格，应用使用函数。
A.Rtrim（）
B.Ltrim（）
C.Str（）
D.Mid（）
[本题正确选择]：A
4.系统的初步调查不包含以下哪个内容？
A.开发会计信息系统的总体目标及近期任务
B.信息系统与系统外界有哪些信息联系
C.新的信息系统开发是否可行
D.计算机应用水平及可供利用的资源
[本题正确选择]：C
5.将一个数转变为字符串的函数是。
A.Left( )
B.Instr( )
C.Str( )
D.Cstr( )
[本题正确选择]：C
二、多选题 (共 7 道试题,共 35 分)
6.数据处理的基本内容包括。
A.数据转换
B.数据的组织。
东北大学19秋学期《市场营销学》在线平时作业2答案
东大19秋学期《市场营销学》在线平时作业2
试卷总分:100 得分:100
一、单选题 (共 15 道试题,共 75 分)
1.制定市场营销组合的起点是（）。
A.分销
B.促销
C.价格
D.产品
【运用所学知识，完成上述题目】
参考选择:D
2.人们购买空调所获得的核心产品是（）。
A.调节室内温度
B.终身保修
C.空调机
D.制造新鲜空气
【运用所学知识，完成上述题目】
参考选择:A
3.（）是介于取脂定价策略和渗透定价策略之间的定价策略。
A.满意定价策略
B.招徕定价策略
C.心理定价策略
D.习惯定价策略
【运用所学知识，完成上述题目】
参考选择:A
4.在市场营销中，营销管理者可以控制的变量被称为（）。
A.环境变量
B.市场营销组合
C.促销组合
D.产品组合
【运用所学知识，完成上述题目】
参考选择:B
5.体积大分量重技术性强的专用产品适用于（）渠道。
A.长
B.窄
C.短
D.宽
【运用所学知识，完成上述题目】
参考选择:C
6.汽车和化妆品市场细分的最主要依据（）。
东北大学线性代数笔试考试题
东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷答案） 2011 — 2012学年 第二学期课程名称：线性代数 （共2页）┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ (15分)设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=322222221A ，求1*)(-A 。
其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵。
解 由于02≠-=A ,所以，A 可逆。
5分 于是，11*2---==A A A A 10分所以，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=2/311111112/121)(1*－＝－A A 15分 分) 设向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1211α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1122α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2113α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a 92β，问 a 取何值时向量β可由向量组321,,ααα线性表示？表示式是否唯一？并求表示式。
解 由于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a 21191122121),,,(321βααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--→233053302121a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--→70003/51103/16101a 5分所以，7-=a 时，向量β可由向量组321,,ααα线性表示，且表示式不唯一。
10分表示式为： R k k k k ∈++-+=,)3/5()3/16321αααβ（ 15分 分) 证明⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=R c b a c b c b a a V ,,|00是32⨯R 的子空间，求V 的一组基和维数。
并在V 上定义内积运算，使V 成为欧几里得空间(不用证明)。
解 由于⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∀001111111c b c b a a A ，R k V c b c b a a B ∈∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=,00222222都有： V c c b b c c b b a a a a B A ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++=+00212121212121， V kc kb kc kb ka ka kA ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=001111111 所以，V 是32⨯R 的子空间。