三角形的三线及面积讲义及答案
三角形的三线
03
高线性质与应用
高线定义及性质
性质
直角三角形的高线就是两条直角 边。
定义：从三角形的一个顶点向它 的对边所在的直线作垂线，顶点 和垂足之间的线段叫做三角形的 高线，简称为三角形的高。
三角形三条高线交于一点，该点 称为三角形的垂心。
三角形的高线长与面积和底边长 度有关，满足面积公式$S = frac{1}{2} times text{底} times text{高}$。
中线在解题中应用
利用中线性质求三角形面积
01
通过中线将三角形分为两个面积相等的小三角形，可以简化计
算过程。
利用中线性质证明线段相等
02
根据中线性质，可以证明与中线相关的两条线段相等。
利用中线性质解决角度问题
03
中线与三角形的角度之间存在一定的关系，可以通过中线性质
解决与角度相关的问题。
典型例题分析
三角形内角和定理
三角形内角和定理
三角形的三个内角之和等于180 度。这是三角形的一个基本性质 ，也是解决与三角形相关问题的 关键定理之一。
内角和定理的应用
通过内角和定理，我们可以推导 出三角形外角的性质、多边形的 内角和公式等，为解决复杂的几 何问题提供思路。
三角形外角性质
三角形外角定义
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
三条内角平分线的交点，内心到三角形三边 距离相等。
三线长度关系
中线长度
任意三角形的三条中线交于一点 ，该点叫做三角形的重心。且任 意一条中线把原三角形分成两个 面积相等的小三角形，每个小三 角形的面积是原三角形面积的1/4 。
高线长度
从三角形的一个顶点向它的对边 所在的直线做垂线，顶点和垂足 间的线段叫做三角形的高线，简 称为高。
万点千题 解三角形的三线两圆及面积问题
ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ZZZZZZZZZZZZ ZZ ZZ 三角形的三线两圆及面积问题一、必备知识总结(一)中线中线定理：一条中线两侧所对边的平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的2倍．即：如图，在ΔABC 中，D 为BC 中点，则AB 2+AC 2=12BC 2+2AD 2．证明：在ΔABD 中，cos B =AB 2+BD 2-AD 22AB ⋅BD，在ΔABC 中，cos B =AB 2+BC 2-AC 22AB ⋅BC ．∴AB 2+AC 2=12BC 2+2AD 2．另外：已知两边及其夹角也可表述为：4AD 2=AB 2+AC 2+2AB ⋅AC ⋅cos A ．证明：由AD =12(AB +AC )，⇒AD 2=14(AB +AC )2=14AB 2+14AC 2+12AB ACcos A ，∴4AD 2=AB 2+AC 2+2AB ⋅AC ⋅cos A ．(二)角平分线角平分线定理：如图，在ΔABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，则AB AC =BDCD．证法1在ΔABD 中，AB sin ∠ADB =BDsin ∠BAD ，在ΔACD 中，AC sin ∠ADC =CD sin ∠CAD，∴AB AC =BDCD ．证法2该结论可以由两三角形面积之比得证，即S ΔABD S ΔACD =AB AC =BDCD ．(三)高高的性质：h 1，h 2，h 3分别为ΔABC 边a ，b ，c 上的高，则h 1:h 2:h 3=1a :1b :1c =1sin A :1sin B :1sin C求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度．(四)外接圆过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆．其圆心叫做三角形的外心．外接圆半径的计算：R =a 2sin A =b 2sin B =c2sin C．外接圆半径与三角形面积的关系：S △ABC =abc4R=(R 为△ABC 外接圆半径)． (五)内切圆与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆．其圆心叫做三角形的内心．内切圆半径与三角形面积的关系：S △ABC =12(a +b +c )·r (r 为△ABC 内切圆半径)，并可由此计算r ．二、【题型突破】(一)三线1.△ABC 中，AC =7，BC =2，B =60°，则BC 边上的高等于()A ．32B ．332C ．3+62D ．3+3942.在△ABC 中，若AB =4，AC =7，BC 边的中线AD =72，则BC =．μθημαz ︱e iπ+1=0微信公众号：数学史话3.在△ABC 中，B =120°，AB =2，A 的角平分线AD =3，则AC =．4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若tan C =125，a =b =13，BC 边上的中点为D ，则sin ∠BAC =，AD =．5.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，BC 边上的中线长为22，高线长为3，且b tan A =(2c -b )tan B ，则bc 的值为．6.已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为．7.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积为S ，且a =1，4S =b 2+c 2-1，则△ABC 外接圆的面积为()A ．4πB ．2πC ．πD ．π28.设△ABC 内切圆与外接圆的半径分别为r 与R ，且sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4，则cos C =；当BC=1时，△ABC 的面积为．9.在△ABC 中，D 为边AC 上一点，AB =AC =6，AD =4，若△ABC 的外心恰在线段BD 上，则BC =．10.已知△ABC 的外接圆半径为R ，且满足2R (sin 2A -sin 2C )=(2a -b )·sin B ，则△ABC 面积的最大值为．(二)计算三角形的面积三角形面积问题的题型及解题策略三角形的面积是与解三角形息息相关的内容，经常出现在高考题中，难度不大．解题的前提条件是熟练掌握三角形面积公式，具体的题型及解题策略为：(1)利用正弦定理、余弦定理解三角形，求出三角形的有关元素之后，直接求三角形的面积，或求出两边之积及夹角正弦，再求解．(2)把面积作为已知条件之一，与正弦定理、余弦定理结合求出三角形的其他各量．面积公式中涉及面数学︱数是万物的本原-毕达哥拉斯积、两边及两边夹角正弦四个量，结合已知条件列方程求解．1.在△ABC 中，A =60°，AC =4，BC =23，则△ABC 的面积等于．2.△ABC 的内角内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若b =6，a =2c ，B =π3，则△BDC 的面积是．3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b sin C +c sin B =4a sin B sin C ，b 2+c 2-a 2=8，则△ABC 的面积为．4.(4)(2017·浙江)已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2．点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连接CD ，则△BDC 的面积是，cos ∠BDC =．5.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则△ABC 的面积S =．6.在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C =3a cos B -c cos B ，BA ·BC=2，则△ABC 的面积为．7.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin (B +A )+sin (B -A )=2sin2A ，且c =6，C =π3，则△ABC 的面积是()A ．3B ．33C ．3或1D ．3或338.已知四边形ABCD 中，AB =2，BC =CD =4，DA =6，且D =60°，试求四边形ABCD 的面积．μθημαz ︱e iπ+1=0微信公众号：数学史话ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ZZZZZZZZZZZZ ZZ ZZ 三角形的三线两圆及面积问题一、必备知识总结(一)中线中线定理：一条中线两侧所对边的平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的2倍．即：如图，在ΔABC 中，D 为BC 中点，则AB 2+AC 2=12BC 2+2AD 2．证明：在ΔABD 中，cos B =AB 2+BD 2-AD 22AB ⋅BD，在ΔABC 中，cos B =AB 2+BC 2-AC 22AB ⋅BC ．∴AB 2+AC 2=12BC 2+2AD 2．另外：已知两边及其夹角也可表述为：4AD 2=AB 2+AC 2+2AB ⋅AC ⋅cos A ．证明：由AD =12(AB +AC )，⇒AD 2=14(AB +AC )2=14AB 2+14AC 2+12AB ACcos A ，∴4AD 2=AB 2+AC 2+2AB ⋅AC ⋅cos A ．(二)角平分线角平分线定理：如图，在ΔABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，则AB AC =BDCD．证法1在ΔABD 中，AB sin ∠ADB =BDsin ∠BAD ，在ΔACD 中，AC sin ∠ADC =CD sin ∠CAD，∴AB AC =BDCD ．证法2该结论可以由两三角形面积之比得证，即S ΔABD S ΔACD =AB AC =BDCD ．(三)高高的性质：h 1，h 2，h 3分别为ΔABC 边a ，b ，c 上的高，则h 1:h 2:h 3=1a :1b :1c =1sin A :1sin B :1sin C求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度．(四)外接圆过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆．其圆心叫做三角形的外心．外接圆半径的计算：R =a 2sin A =b 2sin B =c2sin C．外接圆半径与三角形面积的关系：S △ABC =abc4R=(R 为△ABC 外接圆半径)． (五)内切圆与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆．其圆心叫做三角形的内心．内切圆半径与三角形面积的关系：S △ABC =12(a +b +c )·r (r 为△ABC 内切圆半径)，并可由此计算r ．二、【题型突破】1.已知在△ABC 中，c =2b cos B ，C =2π3．(1)求B 的大小；(2)在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，并求BC 边上的中线的长度．①c =2b ；②周长为4+23；③面积为S △ABC =334．2.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，2b 2=(b 2+c 2-a 2)(1-tan A )．数学︱数是万物的本原-毕达哥拉斯(1)求角C ；(2)若c =210，D 为BC 的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD 的长度．条件①：△ABC 的面积S =4且B >A ，条件②：cos B =255．3.已知函数f (x )=sin 2x -cos 2x +23sin x cos x (x ∈R )．(1)求f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )=2，c =5，cos B =17，求△ABC 中线AD 的长．4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2-a 2=bc ．(1)求角A 的大小；(2)若a =3，求BC 边上的中线AM 的最大值．5.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2-a 2=bc ．(1)求角A 的大小；(2)若a =3，求BC 边上的中线AM 的最大值．6.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且a cos C +3a sin C -b -c =0．(1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cos B =17，AD =1292，求△ABC 的面积．7.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2-(b -c )2=(2-3)bc ，sin A sin B =cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7．(1)求角A 和角B 的大小；(2)求△ABC 的面积．8.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b sin C +a sin A =b sin B +c sin C ．(1)求A ；(2)设D 是线段BC 的中点，若c =2，AD =13，求a ．9.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m =(a +b ，sin A -sin C )，向量n =(c ，sin A -sin B )，且m ∥n ．(1)求角B 的大小；(2)设BC 的中点为D ，且AD =3，求a +2c 的最大值及此时△ABC 的面积．10.(2015·全国Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin B sin C；(2)若AD =1，DC =22，求BD 和AC 的长．11.如图，在平面四边形ABCD 中，AC 与BD 为其对角线，已知BC =1，且cos ∠BCD =-35．(1)若AC 平分∠BCD ，且AB =2，求AC 的长；μθημαz ︱e iπ+1=0(2)若∠CBD =45°，求CD 的长．12.已知f (x )=12sin x +π6 cos x -3，x ∈0，π4．(1)求f (x )的最大值、最小值；(2)CD 为△ABC 的内角平分线，已知AC =f (x )max ，BC =f (x )min ，CD =22，求C ．13.已知函数f (x )=3sin (2018π-x )sin 3π2+x -cos 2x +1．(1)求函数f (x )的递增区间；(2)若△ABC 的角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，角A 的平分线交BC 于D ，f (A )=32，AD =2BD =2，求cos C ．14.在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =-17．(1)求∠A ；(2)求AC 边上的高．15.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2+b 2=λab ．(1)若λ=6，B =5π6，求sin A ；(2)若λ=4，AB 边上的高为3c6，求C ．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a +b )cos C +c cos B =0．(1)求角C ；(2)若△ABC 的面积S =83，其外接圆的半径R =4213，求△ABC 的周长．17.已知△ABC 内接于半径为R 的圆，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2R (sin 2B -sin 2A )=(b -c )sin C ，c =3．(1)求A ；(2)若AD 是BC 边上的中线，AD =192，求△ABC 的面积．18.已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足：sin A -sin B +sin C sin C =sin Bsin A +sin B -sin C．(1)求角A ；(2)若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值．19.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 成等比数列．(1)若1tan A +1tan C =233，求角B 的值；(2)若△ABC 外接圆的面积为4π，求△ABC 面积的取值范围．20.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且m =(2a -c ，cos C )，n =(b ，cos B )，m ∥n ．(1)求角B 的大小；(2)若b =1，当△ABC 的面积取得最大值时，求△ABC 内切圆的半径．数学︱数是万物的本原-毕达哥拉斯。
三角形的三线(一)
三角形的三线（一）引言概述：三线是指三角形内的三条特殊线段，包括中线、角平分线和高线。
这三条线段在三角形的性质和关系研究中具有重要的地位和作用。
本文将就三角形的三线进行详细的阐述，包括各个线段的定义、性质和关系，以及它们在解题和证明中的应用。
正文内容：一、中线（Median）1. 中线的定义：中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
2. 中线的性质：a. 中线的长度：中线的长度等于对边的一半。
b. 中线的交点：三条中线相交于三角形的质心，质心是三条中线的交点。
c. 中线的划分：质心将每条中线分成两段，其中一段是另外两条中线的中线。
d. 中线的平行性：三角形的中线平行于对边。
二、角平分线（Angle Bisector）1. 角平分线的定义：角平分线是从一个三角形内角的顶点出发，将该角平分为两个相等的角的线段。
2. 角平分线的性质：a. 角平分线的交点：三个角平分线的交点称为三角形的内心，内心是内切圆的圆心。
b. 角平分线的相交性：三个角平分线相交于内心，且相交角度相等。
c. 角平分线的垂直性：内心到三边的距离相等，即内心到三边的垂直距离相等。
三、高线（Altitude）1. 高线的定义：高线是从一个三角形的顶点垂直于对边的线段。
2. 高线的性质：a. 高线的交点：三条高线的交点称为三角形的垂心。
b. 垂心与三边的关系：垂心到三边的距离相等，且垂心与对边之间的连线垂直。
四、三线的关系1. 三线的交点关系：三角形的三线的交点在一条直线上，这条直线称为欧拉线。
2. 三线的划分关系：三线将三角形划分成七个小三角形，这些小三角形的面积之比有一定规律。
五、三线在解题和证明中的应用1. 利用三线的性质：在解题中，可以利用三线的性质推导、证明与解答相关的问题。
2. 利用三线的关系：在证明中，可以利用三线的关系简化证明过程或推导出新的结论。
总结：三角形的三线，即中线、角平分线和高线，在三角形的研究中起着重要的作用。
三角形三条重要线段(知识梳理与考点分类讲解)(人教版) (教师版) 24-2025学年八年级数学上册
专题11.3三角形三条重要线段（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】三角形的高（1）定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线作的垂线段叫做三角形边的高.（2）三角形高的画法：一靠：使三角尺的一条直角边靠在要作高的边上；二移：移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点；三画：画垂线段。
（3）三角形三条高的位置：①三角形三条高交于一个点，这个点称作三角形的垂心；②锐角三角形垂心在三角形内部；直角三角形垂心是直角顶点；③钝角三角形垂心在三角形外部.【例1】（23-24七年级下·广东深圳·期中）下列四个图形中，线段BE 是ABC ∆的高是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】本题考查了三角形的高，根据三角形高的定义及画法知，过点B 作AC 边上的高，垂足为E ，其中线段BE 是ABC 的高，再结合图形进行判断即可求解，掌握三角形高的定义和画法是解题关键．解：A 、线段BE 不是ABC 的高，不合题意；B 、线段BE 不是ABC 的高，不合题意；C 、线段BE 不是ABC 的高，不合题意；D 、线段BE 是ABC 的高，符合题意；故选：D ．【知识点二】三角形的中线（1）定义：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形这边上的中线；（2）三角形的重心：三角形三边上的中线交点叫做三角形的重心。
【例2】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在ABC 中，17AB =，12AC =，AD 为中线，则ABD △与ACD 的周长之差为（）A ．5B ．3C ．4D ．2【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线的性质得到BD CD =，再根据三角形周长公式进行求解即可．解：∵AD 为中线，∴BD CD =，∵ABD △的周长AB AD BD =++，ACD 的周长AC AD CD =++，∴ABD △与ACD 的周长之差为5AB AD BD AC AD CD AB AC ++---=-=，故选：A ．【知识点三】三角形的角平分线（1）定义：在三角形中；一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与对边交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三角形三线课件
三角形三线课件一、引言三角形是几何学中的基本图形之一，具有丰富的性质和应用。
在三角形中，三条边和三个角的关系密切相关，构成了三角形的基本要素。
本课件将重点介绍三角形的三条重要线段：中线、角平分线和垂线，以及它们在三角形中的应用和作用。
二、三角形的中线1.定义三角形的中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段。
每个三角形有三条中线，分别连接三个顶点和对边的中点。
2.性质（1）中线将对边平分：三角形的中线将对边平分成两个相等的线段。
（2）中线等于对边的一半：三角形的中线的长度等于其对边长度的一半。
3.应用（1）求三角形的中线长度：利用中线等于对边一半的性质，可以通过已知的对边长度求出中线的长度。
（2）证明三角形全等：通过证明两个三角形的中线相等，可以得出这两个三角形全等。
三、三角形的角平分线1.定义三角形的角平分线是从三角形的一个顶点出发，将顶点的角平分成两个相等的角的线段。
每个三角形有三条角平分线，分别从三个顶点出发。
2.性质（1）角平分线将角平分：三角形的角平分线将顶点的角平分成两个相等的角。
（2）角平分线相交于一点：三角形的三个角平分线相交于三角形内部的一点，称为内心。
3.应用（1）求三角形的角平分线长度：利用角平分线的性质，可以通过已知的角的大小求出角平分线的长度。
（2）证明三角形相似：通过证明两个三角形的角平分线相等，可以得出这两个三角形相似。
四、三角形的垂线1.定义三角形的垂线是从三角形的一个顶点向对边所作的垂直线段。
每个三角形有三条垂线，分别从三个顶点向对边作垂线。
2.性质（1）垂线垂直于对边：三角形的垂线与对边垂直相交。
（2）垂线相交于一点：三角形的三个垂线相交于三角形外部的一点，称为外心。
3.应用（1）求三角形的垂线长度：利用垂线的性质，可以通过已知的对边长度求出垂线的长度。
（2）证明三角形直角：通过证明三角形的两条垂线相等，可以得出这个三角形是直角三角形。
五、总结三角形的三线：中线、角平分线和垂线，在三角形中起着重要的作用。
人教版八年级上册11.1.2 三角形的三线
巩固练习
如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平分线，
则：
A
∠1 = ∠2 ；
12
F
E
∠3 =
1 2
∠ABC
B； 3
D
4
C
∠ACB = 2 ∠4 .
典例分析
如图，AD是△ABC的角平分线，DE//AB，
DF//AC，EF交AD于点O.DO是△DEF的角平分
线吗？请说明理由.
C
E O
A
F
D B
提高练习(1) 如图1，来自D是BC的中点，点E是AD的中点，
若S△CDE=2cm2，则S△ABC=_8_cm2 (2)如图2，在△ABC中,已知点D,E,F分别为BC,
AD,CE的中点,且S△ABC=4cm2,则S△BEF=_1__cm2.
A
A
E
B
D
C
图1
E
F
B
D 图2
C
提高练习
等腰△ABC中，AB=AC,一腰上的中线将这个三
①任何三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，交于一点.
②三角形的中线是一条线段.
③三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三
角形.
典例分析
如图，根据图形填空：
①若AD是△ABC的中线，
则BD=_C__D_=
1 2
__B_C__.
②若AE=DE，则BE是 △_A__B_D__的中线，CE B 是△_A_C__D__的中线.
角形的角平分线.
A
符号语言：
AD 是AB的 C 角平分线
BAD CAD
B
C
1 BAC
D
2
三角形的角平分线
三角形的三线及面积(二)2024
三角形的三线及面积（二）引言:三角形是高中数学中的基本概念之一，它具有许多特性和性质。
在前一篇文档中，我们已经介绍了三角形的基本知识和一些重要概念。
在本文中，我们将继续探讨三角形的三线及其与面积的关系。
正文:一、三角形的三线1. 欧拉线：欧拉线是连接三角形的重心、外心和垂心的线段。
它具有许多重要的性质，如重心将欧拉线分成两等分部分，垂心到三角形三条边的距离之和等于三角形的周长等。
2. 高线：高线是从三角形的顶点到相对边上的垂线。
每个三角形都有三条高线，它们的交点称为三角形的垂心。
高线具有许多特性，如垂线互相垂直，垂心到三角形三个顶点的距离相等等。
3. 中线：中线是连接三角形两个顶点和中点的线段。
每个三角形都有三条中线，它们的交点称为三角形的重心。
中线具有许多特性，如重心将中线分成两等分部分，重心到三角形三个顶点的距离之和等于三角形三个顶点到重心距离的三倍等。
4. 垂径：垂径是从三角形的顶点到相对边上的垂线的长度。
一般情况下，三角形的三个顶点到相对边上的垂径长度是不相等的。
5. 辅助线：辅助线是在三角形内部或外部引入的额外线段，用于研究三角形的性质。
常见的辅助线有角平分线、中垂线等。
二、三角形面积与三线的关系1. 欧拉线与面积关系：三角形的面积等于欧拉线长度乘以外接圆半径的两倍。
2. 高线与面积关系：三角形的面积等于高线长度乘以对应底边的长度的一半。
3. 中线与面积关系：三角形的面积等于中线长度乘以对应底边的长度的四分之一。
4. 垂径与面积关系：三角形的面积等于垂径长度乘以对应底边的长度的一半。
5. 辅助线与面积关系：通过引入合适的辅助线，可以简化计算三角形面积的过程。
常见的方法包括利用角平分线将三角形分成两个形状相同的小三角形，或者利用中垂线将三角形分成两个底边相等的梯形。
总结:在本文中，我们介绍了三角形的三线及其与三角形面积的关系。
这些性质和关系对于解决与三角形相关的问题非常有用。
通过深入理解三角形的性质，我们可以更好地应用它们来解决实际问题，从而提高数学问题解决的能力。
2024年度部编版八年级上册三角形的三线课件
在解决一些与三角形面积相关的问题时，可以通过引入中 线来简化计算过程。例如，已知三角形某一边上的中线和 这边所对的角，可以求出三角形的面积。
中线与面积关系的证明
可以通过作辅助线将三角形划分为两个等底等高的小三角 形，从而证明中线与面积之间的关系。
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三角形高线性质与应用
2024/3/24
求面积
利用角平分线与面积的关 系，可以求出三角形的面 积。
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角平分线与面积关系探讨
面积公式
三角形的面积可以通过底和高来计算，当底为角平分线时，高就是与角平分线垂直的线段 。
面积关系
角平分线将三角形分为两个小三角形，这两个小三角形的面积之比等于它们底边之比。
2024/3/24
应用
利用角平分线与面积的关系，可以解决一些与三角形面积相关的问题，如求三角形的面积 、证明两个三角形面积相等或比较两个三角形面积的大小等。
等边三角形的高线特点
等边三角形的三条高线长度相等，且 都交于一点（重心），同时每条高线 都是对应边的中线和对应角的平分线 。
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三角形角平分线性质与应用
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角平分线定义及性质
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定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的 顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线。 性质
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提高训练：挑战难题，提升能力
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复杂图形中的三线问题
在复杂图形中找出并应用三角形的三线性质解决问题，如求面积 、证明线段相等或平行等。
构造法解题
几何法巧解三角形“三线”问题(两篇)2024
引言概述：三角形是初中数学中的重要内容，涉及到许多性质和定理。
其中一个重要的问题是三角形的“三线”问题。
通过几何方法解决三角形的“三线”问题可以帮助我们更深入地理解三角形的性质和关系。
本文将以几何方法巧解三角形“三线”问题为主题，通过分析和推导，介绍解决这一问题的具体方法和步骤。
正文内容:1. 角平分线1.1 定义角平分线就是从一个角的顶点出发，将角平分为两个相等角的直线。
1.2 性质三角形的内角平分线相交于三角形内部的一点，称为内心，且与三个角的顶点连线相交于三边的中点。
1.3 求解方法通过给定的三角形，我们可以利用角平分线的性质简化求解。
首先，画出三角形的三边，然后利用直尺和圆规，将三个角的角平分线画出，并延长到三边上。
连接三个角平分线的交点，就是三角形的内心。
2. 中位线2.1 定义中位线是指连接一个三角形的两个非对顶顶点的中点的直线。
2.2 性质三角形的三条中位线交于一点，称为三角形的质心，且质心到三个顶点的距离相等，即三条中位线的交点是三角形重心。
2.3 求解方法同样地，通过给定的三角形，我们可以利用中位线的性质求解。
首先，根据给定的三角形，求出三个顶点的坐标，然后根据坐标计算出中位线的中点坐标，并连接这些中点。
通过求解三个中线的交点即可得到三角形的质心。
3. 垂心线3.1 定义垂心线是指从一个三角形的顶点作出垂直于对边的直线。
3.2 性质三角形的三条垂心线交于一点，称为三角形的垂心，且垂心到三边的距离相等。
3.3 求解方法在给定的三角形中，我们可以通过直尺和圆规画出垂心线的步骤。
首先，选取一个顶点，在对边上找一个点，使得与该顶点与对边上的点连线垂直。
然后，用圆规以该垂直线段为半径，画个弧与其他两条边交于两点，连接这两点与原始顶点，就得到了三条垂心线的交点。
4. 重心线4.1 定义重心线是指从一个三角形的顶点分别作出三角形的对边的中垂线，即垂直于对边的直线并且通过对边的中点。
4.2 性质三角形的三条重心线交于一点，称为三角形的重心，且重心到三边的距离与各边的长度成正比。
三角形的三线
三角形的三线在数学的世界里，三角形是一个基础且重要的图形。
而三角形的三线，即三角形的高线、中线和角平分线，更是深入理解三角形性质和解决相关问题的关键。
让我们先来聊聊三角形的高线。
高线，简单来说，就是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就叫做三角形的高线。
每个三角形都有三条高线，并且这三条高线所在的直线会相交于一点。
锐角三角形的三条高线都在三角形的内部；直角三角形有两条高线就是它的两条直角边，另一条高线在三角形的内部；钝角三角形有两条高线在三角形的外部，一条在内部。
高线在计算三角形的面积时非常有用。
我们都知道三角形的面积等于底乘以高除以二，如果知道了三角形的底和对应的高，就能轻松算出它的面积。
接下来是中线。
中线是连接三角形顶点和它对边中点的线段。
一个三角形有三条中线，这三条中线也相交于一点，并且这个交点位于三角形的内部。
中线的一个重要性质是，它把三角形分成了两个面积相等的部分。
为什么呢？因为中线平分了对边，所以以中线为底边的两个小三角形，高是相同的，底边也相等，面积自然就相等了。
在解决一些与三角形面积相关的问题或者证明一些线段关系时，中线的这个性质常常能发挥很大的作用。
最后要说的是角平分线。
角平分线就是三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。
每个三角形同样有三条角平分线，它们也相交于一点，这个点也在三角形的内部。
角平分线的一个重要性质是，角平分线上的点到角两边的距离相等。
这个性质在很多几何证明和计算中都是很关键的依据。
为了更好地理解三角形的三线，我们不妨通过一些具体的例子来看看。
假设我们有一个等边三角形，它的边长是 6 厘米。
由于等边三角形的三条边相等，三个角也相等，都是 60 度。
那么它的三条高线、中线和角平分线是重合的。
我们先求它的面积。
根据等边三角形的面积公式，面积等于根号 3 乘以边长的平方除以 4，计算可得面积约为 9 倍根号3 平方厘米。
三角形讲义(一)
三角形讲义（一）知识讲解三角形：由不在同一条直线上的线段首尾顺次连接组成的图形叫三角形。
三角形的三要素：⎪⎩⎪⎨⎧在三角形内部的角内角：相邻两边组成的端点顶点：相邻两边的公共线段边：组成三角形的三条三角形的表示方法：如果三角形的三个顶点为A 、B 、C ，三角形可表示为ABC ∆三角形三边的表示法：三角形的三边都是线段，可用表示线段的办法表示边。
用表示端点的两个大写字母或一个小写字母表示。
三角形的周长：用代数式表示为c b a C ++=。
三角形的面积：用代数式表示为Cab ah S ∠==sin 2121 三角形的稳定性：如果三角形的三边固定，那么三角形的形状和大小就固定了。
三角形的分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧钝角三角形锐角三角形斜角三角形直角三角形按角分类等边三角形腰、底不相等等腰三角形不等边三角形按边分类三角形 三角形的三线和五心三线⎪⎩⎪⎨⎧高线中线角平分线角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和对边交点之间的线段。
定理：三角形的三条角平分线交于一点。
已知：AD,BD 分别平分ABC ∆的内角B A ∠∠,，求证：CD 平分C ∠证明：过点D 作AC DF BC DE ⊥⊥,,AB DG ⊥CCD DFDE DEDG BCDE AB DG B DFDG ACDF AB DG A ∠∴=∴=∴⊥⊥∠=∴⊥⊥∠平分平分平分,,BD ,,AD注意：角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段。
三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边的中点的线段。
定理：三角形的三条中线交于一点。
已知：AF,BD 分别是ABC ∆的中线，CE 过AF,BD 的交点，求证：CE 是ABC ∆的中线。
证明：连接DF,与CE 交于点G 。
,,11//,,221212D E AC BC DF DH DF AB DG AE AB DB DG DH EB DB DG EB AE EB CE ABC ∴===∴==∴=∴=∴∆分别是的中点是的中线三角形的高线：从三角形的顶点向对边做垂涎，顶点与垂足之间的线段。
三角形的三条重要线段(4种题型)(解析版)(浙教版)
三角形的三条重要线段（4种题型）【知识梳理】一、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：过点A作AD⊥BC于点D取BC边的中点D，连接AD．作∠BAC的平分线AD，交于点D．．AD是△ABC的高．．AD是△ABC的中线．．AD是△ABC中BC边．AD是△ABC的角平分二．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S △＝×底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．【考点剖析】题型一、三角形的高例1．如图，△ABC 中AB 边上的高是（ ）A ．线段ADB ．线段ACC ．线段CDD ．线段BC【分析】根据三角形高线的定义进行判断． 【解答】解：△ABC 中AB 边上的高是线段CD ． 故选：C ．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，正确理解三角形的角平分线、中线和高的定义是解决问题关键．【变式1】小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( ) ．【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．【变式2】如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．【答案】A．例2．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，试作出BC边上的高AE，并求AE的长．【分析】利用等积法求得AE的长度即可．【解答】解：如图，过点A作BC边上的高线AE，交CB延长线于点E．∵BC•AE＝AC•BD，AC＝8，BC ＝4，高BD＝3，∴×4AE＝×8×3，则AE＝6．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟记三角形的面积公式即可解题，属于基础题．例3．如图，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点O．（1）在△BOC中，OB边上的高是，OC边上的高是，BC边上的高是．（2）在△AOC中，OA边上的高是，OC边上的高是，AC边上的高是．（3）在△AOB中，OA边上的高是，OB边上的高是，AB边上的高是．【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据三角形高的定义判断．【解答】解：（1）由图可得，在△BOC中，OB边上的高是CE，OC边上的高是BF，BC边上的高是OD．（2）由图可得，在△AOC中，OA边上的高是CD，OC边上的高是AF，AC边上的高是OE．（3）由图可得，在△AOB中，OA边上的高是BD，OB边上的高是AE，AB边上的高是OF．故答案为：CE，BF，OD；CD，AF，OE；BD，AE，OF．【点评】本题主要考查了三角形高线的定义，解决问题的关键是掌握：钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．题型二、三角形的中线例4．BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是2．【分析】根据三角形的中线的定义可得AD＝CD，再求出△ABD和△BCD的周长的差＝AB﹣BC．【解答】解：∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，∴△ABD和△BCD的周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC，∵AB＝5，BC＝3，∴△ABD和△BCD的周长的差＝5﹣3＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于AB﹣BC 是解题的关键．【变式1】已知BD是△ABC的一条中线，△ABD与△BCD的周长分别为21，12，则AB﹣BC的长是9．【分析】由于BD是△ABC的一条中线，由此可以得到AD＝CD，而△ABD与△BCD的周长分别为21，12，并且BD公共，利用三角形的周长公式即可求出AB﹣BC的长．【解答】解：∵BD是△ABC的一条中线，∴AD＝CD，而△ABD与△BCD的周长分别为21，12，并且BD公共，∴AB﹣BC的长＝21﹣12＝9．【点评】此题主要考查了三角形的中线的性质，也考查了三角形的周长公式，比较简单．例5.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC 的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比△ACD的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵CD为△ABC的AB边上的中线，∴AD＝BD，即BC-AC＝3．又∵BC＝8，∴AC＝5．答：AC的长为5cm．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD＝BD是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法．例6.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．【思路点拨】因为中线BD的端点D是AC边的中点，所以AD＝CD，造成两部分不等的原因是BC边与AB、AC边不等，故应分类讨论．【答案与解析】解：如图(1)，设AB＝x，AD＝CD＝12 x．(1)若AB+AD＝12，即1122x x+=，所以x＝8，即AB＝AC＝8，则CD＝4．故BC＝15-4＝11．此时AB+AC＞BC，所以三边长为8，8，11．(2)如图(2)，若AB+AD＝15，即1152x x+=，所以x＝10．即AB＝AC＝10，则CD＝5．故BC＝12-5＝7．显然此时三角形存在，所以三边长为10，10，7．综上所述此三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7．【总结升华】BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，问题中没有交代，因此，必须进行分类讨论．题型三、三角形的三条重要线段例7．已知△ABC，如图，过点A画△ABC的角平分线AD、中线AE和高线AF．【分析】分别根据角平分线、三角形高线作法以及垂直平分线的作法得出答案即可．【解答】解：由题意画图可得：【点评】此题主要考查了复杂作图中线段垂直平分线的作法以及角平分线作法等知识，熟练掌握作图方法是关键．例8．在△ABC中，线段AP，AQ，AR分别是BC边上的高线，中线和角平分线，则（）A．AP≤AQ B．AQ≤AR C．AP＞AR D．AP＞AQ【分析】根据垂线段最短即可判断．【解答】解：∵AP是BC边上的高线，∴根据垂线段最短可知：PA≤AQ，故选：A．【点评】本题考查三角形的角平分线、高、中线，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE 于点H，下面说法正确的是（）①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④AF＝FB．A．①②③④B．①②④C．①②③D．③④【分析】根据三角形中线的性质可证明①；根据三角形的高线可得∠ABC＝∠CAD，利用三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解∠AFC＝∠AGF，可判定②；根据角平分线的定义可求解③；根据已知条件无法判定④．【解答】解：∵BE是△ABC的中线，∴AE＝CE，∴△ABE的面积等于△BCE的面积，故①正确；∵AD是△ABC的高线，∴∠ADC＝90°，∴∠ABC+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠CAD，∵CF为△ABC的角平分线，∴∠ACF＝∠BCF＝∠ACB，∵∠AFC＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠ACF+∠CAD，∴∠AFC＝∠AGF＝∠AFG，故②正确；∵∠BAD+∠CAD＝∠ACB+∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠ACD，∴∠BAD＝2∠ACF，即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；根据已知条件无法证明AF＝FB，故④错误，故选：C．【点评】本题主要考查三角形的中线，高线，角平分线，灵活运用三角形的中线，高线，角平分线的性质是解题的关键．题型四：三角形面积例9．若△ABC中，∠ACB是钝角，AD是BC边上的高，若AD＝2，BD＝3，CD＝1，则△ABC的面积等于．【分析】首先根据题意画出图形，求出BC，再根据三角形的面积公式列式计算即可．【解答】解：如图．∵BD＝3，CD＝1，∴BC＝BD﹣CD＝2，又∵AD是BC边上的高，AD＝2，∴△ABC的面积＝BC•AD＝×2×2＝2．故答案为2．【点评】本题考查了三角形的面积，三角形的高的定义，掌握钝角三角形的高的画法进而画出图形是解题的关键．【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S =△，则S 阴影为________．【答案】1【变式2】如图，AD 为△ABC 的中线，BE 为△ABD 的中线． （1）猜想：△ABD 与△ADC 的面积有何关系？并简要说明理由； （2）在△BED 中作BD 边上的高；（3）若△ABC 的面积为40，BD=5，则△BDE 中BD 边上的高为多少？【答案】解：（1）△ABD 与△ADC 的面积相等，理由如下： 作AF ⊥BC ，如图1：因为BD=DC ，AF=AF ，所以△ABD 与△ADC 的面积相等； （2）作图，如图2：（3）因为△ABC的面积为40，BD=5，所以△ABD的面积为20，因为BE为△ABD的中线，所以△BDE的面积为10，所以△BDE中BD边上的高为4．【过关检测】一．选择题（共10小题）1．（2022秋•苍南县期中）如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（）A．AB＝AC B．BD＝CD C．BD＝AD D．AC＝AD【分析】根据三角形的中线的定义即可判断．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，故选：B．【点评】本题考查三角形的中线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．2．（2022秋•东阳市期中）已知，图中的虚线部分是小玉作的辅助线，则下列结论正确的是（）A．BD是边CB上的高B．BD是边AC上的高C．CD是边AB上的高D．CD是边AC上的高【分析】根据三角形高的定义即可得到结论．【解答】解：CD是边AB上的高，故选：C．【点评】本题考查了三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键．3．（2022秋•拱墅区月考）三角形三条中线（）A．交点在三角形外B．交点在三角形内C．交点在三角形顶点D．交点在三角形边上【分析】三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．【解答】解：三角形的三条中线的交点一定在三角形内部．故选：B．【点评】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高．三角形的角平分线、三角形的中线、角平分线一定在三角形的内部，而直角三角形的高线的交点是直角顶点，锐角三角形的高线交点在三角形内部，钝角三角形的高线的交点在三角形的外部．4．（2022秋•乐清市月考）如图，CM是△ABC的中线，AB＝10cm，则BM的长为（）A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm【分析】根据三角形的中线的概念解答即可．【解答】解：∵CM是△ABC AB＝10cm，∴BM＝AB＝5cm，故选：C．【点评】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．5．（2020秋•拱墅区期末）在三角形中，一定能将其面积分成相等两部分的是（）A．中线B．高线C．角平分线D．某一边的垂直平分线【分析】根据三角形的中线的概念、三角形的面积公式解答即可．【解答】解：根据同底等高的两个三角形面积相等可知，在三角形中，三角形的中线一定能将其面积分成相等两部分，故选：A．【点评】本题考查的是三角形的中线的概念、三角形的面积计算，掌握三角形的中线的概念和三角形的面积公式是解题的关键．6．（2022•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（）A．线段CD是△ABC的AC边上的高线B．线段CD是△ABC的AB边上的高线C．线段AD是△ABC的BC边上的高线D．线段AD是△ABC的AC边上的高线【分析】根据三角形的高的概念判断即可．【解答】解：A、线段CD是△ABC的AB边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意；B、线段CD是△ABC的AB边上的高线，本选项说法正确，符合题意；C、线段AD不是△ABC的BC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；D、线段AD不是△ABC的AC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．7．（2022秋•义乌市校级月考）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D是BC边上的中点，连接AD，若△ACD的周长为20，则△ABD的周长是（）A．16B．18C．20D．22【分析】根据线段中点的概念得到BD＝CD，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵点D是BC边上的中点，∴BD＝CD，∵△ACD的周长为20，∴AC+AD+CD＝20，∵AC＝8，∴AD+CD＝AD+BD＝12，∵AB＝10，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝22，故选：D．【点评】本题考查的是三角形的中线的概念，掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是解题的关键．8．（2022秋•富阳区校级月考）如图，已知△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵点D是边BC的中点，△ABC的面积等于8，∴S△ABD＝S△ABC＝4，∵E是AB的中点，∴S△BDE＝S△ABD＝4＝2，故选：A．【点评】本题考查了三角形的中线，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．9．（2022秋•临海市期末）如图，△ADC中DC边上的高是（）A．线段AB B．线段AD C．线段AC D．线段BC【分析】根据三角形高线的定义（从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高线）进行判断．【解答】解：△ADC中DC边上的高是线段AB．故选：A．【点评】本题考查了三角形的高，正确理解三角形的高线的定义是解决问题关键．10．（2020秋•萧山区期末）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据三角形的周长的计算方法得到△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差．【解答】解：∵AD是△ABC中BC边上的中线，∴BD＝DC＝BC，∴△ABD与△ACD的周长之差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+DC+AD）＝AB﹣AC＝10﹣8＝2．则△ABD与△ACD的周长之差＝2．故选：B．【点评】本题考查三角形的中线的定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，同时考查了三角形周长的计算方法．二．填空题（共12小题）11．（2022秋•红花岗区期中）如图，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△AEF＝4cm2，则△ABC的面积为cm2．【分析】由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，根据点F是CE的中点得到S△CAF＝S△AEF＝4cm2，于是得到S△CAE＝8cm2，根据点E是AD的中点求出S△CDE＝8cm2，利用点D为BC的中点得到S △ABD＝S△ACD＝16cm2，然后利用S△ABC＝2S△ABD求解．【解答】解：∵F点为CE的中点，∴S△CAF＝S△AEF＝4cm2，∴S△CAE＝8cm2，∵E点为AD的中点，∴S△CDE＝S△CAE＝8cm2，∴S△ACD＝16cm2，∵D点为BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝16cm2，∴S△ABC＝2S△ABD＝32cm2．故答案为：32cm2．【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．12．（2022秋•临平区月考）如图，△ABC中，D是BC边上的一点（不与B，C重合），点E，F是线段AD 的三等分点，记△BDF的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S1+S2＝3，则△ABC的面积为．【分析】点E，F是线段AD的三等分点，根据同高三角形面积之比等于对应底边之比，可得出S△ABD＝3S1，S△ADC＝3S2，最后便可以求出△ABC的面积．【解答】∵点E，F是线段AD的三等分点，∵点E，F是线段AD的三等分点，∴∴S△ABD＝3S1同理S△ADC＝3S2，∴S△ABC＝S△ABD+S△ADC＝3S1+3S2＝3（S1+S2）＝3×3＝9，故答案为：9．【点评】本题考查了三角形的面积，关键是掌握同高三角形面积之比等于对应底边之比．13．（2022秋•诸暨市期中）如图，∠D＝∠E＝∠F AC＝90°，则线段是△ABC中AC边上的高．【分析】根据过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．【解答】解：∵∠D＝90°，∴BD⊥CD，∴△ABC中AC边上的高是线段BD．故答案为：BD．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，是基础题，熟记三角形的高的概念是解题的关键．14．（2022秋•金东区校级月考）如图，BD是△ABC的中线，AB＝5cm，BC＝3cm，那么△ABD的周长比△CBD的周长多．【分析】根据三角形的中线的概念得到AD＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵BD是△ABC的中线，∴AD＝DC，∴△ABD的周长﹣△CBD的周长＝（AB+AD+BD）﹣（BC+DC+BD）＝AB﹣BC＝5﹣3＝2（cm），∴△ABD的周长比△CBD的周长多2cm，故答案为：2cm．【点评】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．15．（2022秋•上城区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点D在BC边上，作DE⊥AB 于E、DF⊥AC于F，若DE＝5cm，△ABC的面积为122cm2，则DF的长为．【分析】连接AD，根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD列式计算即可得解．【解答】解：如图，连接AD，∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝AB•DE+AC•DF，AB＝20cm，AC＝12cm，DE＝5cm，△ABC的面积为122cm2，∴×20×5+×12•DF＝122，∴DF＝12（cm）．故答案为：12cm．【点评】本题考查了三角形的面积，作辅助线把△ABC分成两个三角形列出方程是解题的关键．16．（2022秋•兰溪市期中）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△BEF ＝4cm2，则S△ABC＝cm2．【分析】由于D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，可判断出AD、BE、CE、BF为△ABC、△ABD、△ACD、△BEC的中线，根据中线的性质可知将相应三角形分成面积相等的两部分，据此即可解答．【解答】解：∵由于D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，∴△ABE、△DBE、△DCE、△AEC的面积相等，∴S△BEC＝S△ABC，S△BEF＝S△BEC，，∴S△BEF＝S△ABC，∵S△BEF＝4cm2，S△ABC＝4S△BEF＝4×4＝16（cm2），故答案为：16．17．（2022秋•龙港市期中）如图所示，在△ABC中，AD为△ABC的中线，E为AD的中点．若△ABC的面积为4，则△AEC的面积为．【分析】根据△ACD的面积为△ABC面积的一半，△AEC的面积为△ACD面积的一半，即可得答案．【解答】解：∵AD为△ABC的中线，E为AD的中点，根据等底同高可知，S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝2，S△AEC＝S△ACD＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了三角形的面积，关键是利用三角形中线平分三角形的面积这一性质计算即可．18．（2022秋•余姚市期中）如图，在△ABC中，已知D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝8cm2，则图中阴影部分△BEF的面积等于cm2．【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．【解答】解：∵点E是AD的中点，∴S△ABE＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，∴S△ABE+S△ACE＝S△ABC＝×8＝4，∴S△BCE＝S△ABC＝4，∵点F是CE的中点，∴S△BEF＝S△BCE＝×4＝2（cm2）．故答案为：2．【点评】原理为等底等高的三角形的面积相等．19．（2022秋•滨江区校级期中）如图，已知AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，若△ABC的面积为18，则△ABE的面积为．【分析】根据AD是△ABC的中线，可得△ADB的面积＝△ABC的面积＝9，然后再利用BE是△ABD的中线，可得△ABE的面积＝△ABD的面积，进行计算即可解答．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，△ABC的面积为18，∴△ADB的面积＝△ABC的面积＝9，∵BE是△ABD的中线，∴△ABE的面积＝△ABD的面积＝4.5，故答案为：4.5．【点评】本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．20．（2022•金华校级开学）如图，D、E分别是△ABC边AB，BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF 的面积为S1，△FCE的面积为S2，若S△ABC＝24，则S1﹣S2的值为．【分析】S△ADF﹣S△CEF＝S△ABE﹣S△BCD，所以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积即可，因为AD＝2BD，BE＝CE，且S△ABC＝24，就可以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积．【解答】解：∵BE＝CE，∴BE＝BC，∵S△ABC＝24，∴S△ABE＝S△ABC＝12．∵AD＝2BD，S△ABC＝24，∴S△BCD＝S△ABC＝8，∵S△ABE﹣S△BCD＝（S1+S四边形BEFD）−（S2+S四边形BEFD）＝S1−S2＝4，故答案为：4．【点评】本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，据此可求出三角形的面积，然后求出差．21．（2022秋•临平区月考）如图，△ABC中，D是AB的中点，且AE：CE＝2：1，S△CEP＝1，则S△ABC ＝．【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，得到S△ADC＝S△BCD，S△PAD＝S△PBD，进一步得到S△BPC＝S△APC，结合同高不等底的三角形面积关系求出S△AEP＝2，即可求得S△APC＝3，得到S△BCE＝4，由AE：CE＝2：1，得到S△ABE＝8，即可得到S△ABC＝12．【解答】解：连接PA，∵D是AB的中点，∴S△ADC＝S△BCD，S△PAD＝S△PBD，∴S△BPC＝S△APC，∵AE：CE＝2：1，S△CEP＝1，∴S△AEP＝2S△CEP＝2，∴S△APC＝3，∴S△BPC＝3，∴S△BCE＝4，∵AE：CE＝2：1，∴S△ABE＝8，∴S△ABC＝12，故答案为：12．【点评】本题考查了三角形的面积，熟练掌握等底同高的三角形面积的关系，不等底的三角形面积关系是解题的关键．22．（2022秋•钱塘区月考）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点，若△ABC的面积等于36，则△BEF的面积为．【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分即可求得．【解答】解：∵点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点，∴AE＝DE＝AD，EF＝CF＝CE，BD＝DC＝BC，∵△ABC的面积等于36，∴S△ABD＝S△ACD＝＝18，S△ABE＝S△BED＝＝9，S△AEC＝S△CDE＝S△ACD＝9，∴S△BEC＝S△BDE+S△CDE＝9+9＝18，∴S△BEF＝S△BCF＝S△BEC＝＝9，故答案为：9．【点评】本题考查了三角形的面积，等底同高的两个三角形的面积相等是解题的关键．三．解答题（共3小题）23．（2022秋•桐乡市期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D是BC上一点，连结AD．设：＝k，当AD分别满足下列条件时，求k的值．（1）AD为BC边上的中线；（2）AD为∠BAC的平分线．【分析】（1）根据三角形面积公式求解即可；（2）根据角平分线性质得到DM＝DN，再根据三角形面积公式求解即可．【解答】解：（1）∵AD为BC边上的中线，∴BD＝CD，∴＝＝1，∵＝k，∴k＝1；（2）如图，过点D作DM⊥AB于点M．DN⊥AC于点N，∴DM＝DN，∵△ABD的面积＝AB•DM，△ACD的面积＝AC•DN，∴＝＝，∵AB＝6，AC＝5，∴＝，∴k＝．【点评】此题考查了三角形面积，熟练掌握三角形面积公式是解题的关键．24．（2022秋•海曙区期中）如图，在△ABC中，AE是边BC上的高．（1）若AD是BC边上的中线，AE＝3cm，S△ABC＝12cm2，求DC的长；（2）若AD是∠BAC的平分线，∠B＝40°，∠C＝50°，求∠DAE的大小．【分析】（1）三角形的面积知道了，高知道了，根据三角形的面积公式，求出底边长，再根据中线性质求出DC的长度．（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC，再由角平分线性质求出∠BAD的度数，三角形外角与内角的关系可求出∠ADE的度数，在直角三角形中进而求出∠DAE的大小．【解答】解：（1）∵AE＝3cm，S△ABC＝12cm2，∴BC＝12×2÷3＝8（cm），∵AD是BC边上的中线，∴DC＝BC＝4cm；（2）∵∠B＝40°，∠C＝50°，∴∠BAC＝90°，∴∠BAD＝45°，∠ADE是△ABD的一个外角，∠ADE＝∠B+∠BAD＝40°+45°＝85°，在直角三角形ADE中∠DAE＝90°﹣85°＝5°．【点评】本题考查了三角形面积、三角形内角和、外角和内角的关系，三角形中线、三角形角平分线、高，关键要掌握这些要素之间的关系进行相关的计算．25．（2022秋•余姚市期中）如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高．（1）若AE＝5cm，S△ABC＝30cm2．求DC的长．（2）若∠B＝40°，∠C＝50°，求∠DAE的大小．【分析】（1）利用三角形的中线平分三角形面积得出S△ADC＝15cm2，进而利用三角形面积得出CD的长．（2）依据∠B＝40°，∠C＝50°，可知△ABC为直角三角形，再根据AD为中线，即可得到△ABD为等腰三角形，即可得到∠ADE的度数，进而得出∠DAE的度数．【解答】解：（1）∵AD，AE BC上的中线和高，AE＝5cm，S△ABC＝30cm2，∴S△ADC＝15cm2，∴×AE×CD＝15，∴×5×CD＝15，解得：CD＝6（cm）；（2）∵∠B＝40°，∠C＝50°，∴∠BAC＝90°，又∵AD为中线，∴AD＝BC＝BD，∴∠ADE＝2∠B＝80°，又∵AE⊥BC，∴∠DAE＝10°．【点评】此题主要考查了三角形的面积以及三角形中线以及高线的性质，根据已知得出S△ADC是解题关键．。
人教版八年级数学上册 三角形的三线 讲义
三角形的三线总结：1、三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线2、三角形中，其中一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线3、三角形中，从一个顶点向它的对边作一条垂线段，这条线段叫做三角形的高注意：钝角三角形的高是一个难点，很多可爱的男孩子经常画错！例1、请画出下列三角形的三条中线、三条角平分线、三条高（1）三条中线（2）三条角平分线（3）三条高总结：1、三角形的三线都是_______2、三角形的三条中线交于三角形的__________3、三角形的三条角平分线交于三角形的__________4、（1）锐角三角形的三条高交于三角形的_______________（2）直角三角形的三条高交于三角形的_______________（3）钝角三角形的三条高所在的直线交于三角形的_______________例2、在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE=ED=DC，∠1=∠2，则①AD是△ABC的边______上的高，也是______的边BD上的高，还是△ABE的边______上的高②AD既是_______的边_______上的中线，又是边________上的高，还是________的角平分线例3、如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点Ｄ．（1）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，则∠BDC＝________（2）若∠ABC＋∠ACB＝120°，则∠BDC＝________1、如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC=60°，那么∠EAC=（）A.40°B.30°C.15°D.45°2、如图，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，则∠AEB的度数是_____.3、如图，CB是∠ACD的角平分线，AB∥CD，∠A＝96°，∠B＝∠BCA，则∠BCD＝________4、如图，AD是△ABC的角平分线，BE是△ABC的高，∠BAC=40°，则∠AFE的度数为__________5、如图，△ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠BAC=50°，∠C=70°，求∠DAC 及∠BOA 。
解三角形中的“三线”问题
解三角形中的“三线”问题在解三角形的过程中，我们常常会遇到“三线”问题，即中线、角平分线和高线。
这些线段在三角形中具有特殊的意义和作用，了解它们的性质和特点是解决三角形问题的关键。
一、中线中线是指连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段。
中线的性质主要有：1、三角形中线的三条中线线段相等，且相互平行。
2、三角形中线的交点称为三角形的重心，重心分每条中线线段为两段，且这两段长度相等。
3、三角形三边中线的长度分别等于对应边长的一半。
在解三角形时，可以利用中线的性质进行证明和计算。
例如，可以利用中线的平行性质证明某个线段平行于三角形的某一边；利用中线的长度性质解决一些等量关系的问题。
二、角平分线角平分线是指将三角形的两个相等的角平分的线段。
角平分线的性质主要有：1、三角形的一个角平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段称为三角形的角平分线。
2、三角形任意两角平分线的夹角为90度，这个夹角的平分线称为三角形的内切线。
3、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
4、三角形三条角平分线交于一点，这个交点称为三角形的内心，内心到三角形的三边的距离相等。
在解三角形时，可以利用角平分线的性质进行证明和计算。
例如，可以利用角平分线的性质证明某个线段平行于三角形的某一边；利用角平分线的长度性质解决一些等量关系的问题。
三、高线高线是指从三角形的顶点向底边垂下的线段。
高线的性质主要有：1、三角形的高线所在的直线是三角形的对称轴。
2、三角形的高线与对应边的夹角为90度。
3、三角形任意两高线的夹角为钝角。
4、三角形三条高线交于一点，这个交点称为三角形的垂心，垂心到三角形的三边的距离相等。
在解三角形时，可以利用高线的性质进行证明和计算。
例如，可以利用高线的对称性质证明某个图形是轴对称的；利用高线的长度性质解决一些等量关系的问题。
“三线”问题在解三角形中具有重要的意义和作用。
掌握它们的性质和特点是解决三角形问题的关键之一。
三角形的三线及面积讲义及答案
三角形的三线及面积（讲义）一、知识点睛：1.三角形的三线：（1）在三角形中，连结一个极点与它对边中点的 ________，叫做这个三角形的中线，三角形的三条中线 _____________交于一点，这点称为三角形的 __________．（2）在三角形中，一个内角的角均分线与它的对边订交，这个角的极点与交点之间的______叫做三角形的角均分线，三角形的三条角均分线________________交于一点，这点称为三角形的 _________．（ 3）从三角形的一个极点向它的对边所在直线作垂线，极点和垂足之间的________叫做三角形的高线（简称三角形的高），三角形的三条高________________交于一点，这点称为三角形的 ________；锐角三角形的三条高线及垂心都在其________，直角三角形的垂心是 ________，钝角三角形的垂心和两条高线在其________．如图，在△ ABC中，作出 AC边上的高线．________即为所求．2.面积问题：（1）办理面积问题的思路①；②；③．（2）办理面积问题方法举例①利用平行转移面积如图，知足 S△ABP=S△ABC的点 P 都在直线 l 1， l 2上．②利用均分点转移面积两个三角形底相等时，面积比等于 _____之比；高相等时，面积比等于 _____之比．二、精讲精练：1.如图，△ ABC的角均分线 AD，中线 BE交于点 O，则结论：①AO是△ ABE的角均分线；② BO是△ABC的中线．此中（）A．①②都正确B．①②都不正确C．①正确，②不正确D．①不正确，②正确2.如下图，在△ ABC中， BC边上的高是 _______， AB边上的高是 _______；在△ BCE中， BE边上的高是 ________，EC边上的高是 _________；在△ ACD中， AC边上的高是________，CD边上的高是 ________．3.假如一个三角形的三条高的交点正是三角形的一个极点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．都有可能4.如图，在正方形 ABCD中， BC=2，∠ DCE是正方形 ABCD的外角， P 是∠ DCE的均分线 CF 上随意一点，则△ PBD的面积等于 _________．5.如图，在梯形 ABCD中， AB∥CD，延伸 DC到 E，使 CE=AB，连结 BD， BE．若梯形 ABCD2的面积为 25cm，则△ BDE的面积为 __________．第5题图第6题图6.正方形 ABCD，正方形 BEFG和正方形 RKPF的地点如下图，点 G在线段 DK上，正方形BEFG的边长为 4，则△ DEK的面积为 ____________．7. 已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为 1 的正方形， A， B 两点在小方格的极点上，地点如下图，点 C 也在小方格的极点上，且以A，B，C 为极点的三角形面积为1，则点 C 的个数是 _______个．第 7题图第8题图8.在如下图的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，点 A， B是方格纸中的两个格点（即正方形的极点），在这个 5×5的方格纸中，找出格点 C 使△ ABC的面积为2，则知足条件的格点 C 的个数是 _______个．9.如图， AD是△ ABC的边 BC上的中线，点 E 在 AD上， AE=2DE，若△ ABE的面积是4，则△ABC的面积是 _______．10.如图，在△ ABC中，点 D， E， F 分别为 BC，AD，CE的中点，且 S△ABC=16，则S△DEF=_____________．11.如图，在△ ABC中， E 是 BC边上的一点， EC=2BE，点 D 是 AC的中点，设△ ABC，△ADF，△ BEF的面积分别为 S△ABC， S△ADF，S△BEF，且 S△ABC，则 S△ADF S△BEF（）=12 ? =A．1B．2C．3D．412.如下图， S△ABC=6，若 S△BDE=S△DEC=S△ACE，则 S△ADE=______．13.如图，设 E，F 分别是△ ABC的边 AC，AB上的点，线段 BE， CF交于点 D．若△ BDF，△ BCD，△ CDE的面积分别是 3， 7， 7，则△ EDF的面积是 _______，△ AEF的面积是______．2 14. 如图，梯形 ABCD被对角线分为 4 个小三角形，已知△ AOB和△ BOC的面积分别为 25cm2和 35cm，那么梯形的面积是 _____________．15. 如图，在长方形ABCD中，△ ABP的面积为2，△ CDQ的面积为2，则暗影四边20cm 35cm形EPFQ的面积是．_________16. 如图，若梯形 ABCD面积为 6，E，F 为 AB的三均分点， M， N为 DC的三均分点，则四边形 EFNM的面积是 _________．【参照答案】一、知识点睛1.（1）线段，在三角形内部，重心．（2）线段，在三角形内部，心里．（3）线段，所在直线，垂心，内部，直角极点，外面．作图略2.（1）①公式法；②割补法；③转变法．（2）②对应高，对应底．二、精讲精练1. C2.AF，CE；CE，BE；DC， AC．3. C4. 225. 25cm6. 167. 68. 59. 1210. 211. B12. 113.3， 1514.144 cm215.55 cm216. 2。
三角形的三线及面积(等分点转移面积)(人教版)含答案7页word
三角形的三线及面积（等分点转移面积）（人教版）一、单选题(共8道，每道12分)1.如图，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，AC的中点，且，则△DEF的面积为( )A.1B.2C.4D.8答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：等分点转移面积2.如图，AD是△ABC的边BC上的中线，点E在AD上，AE=2DE，若△ABE的面积是4，则△ABC的面积是( )A.8B.10C.12D.15答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：等分点转移面积3.如图，在△ABC中，点D是BC上的一点，点E是AD上的一点，若BD：CD=2：3，DE：AE=1：4，△ABC的面积是8，则△DEC的面积为( )A. B.1C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：等分点转移面积4.如图，点D在BC上，点E在AD上，且BD=CD，，若△ABE的面积是6，则△ABC的面积为( )A.6B.12C.18D.24答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：等分点转移面积5.如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若S△AOD=5，S△COD=4，S△COB=16，则四边形ABCD的面积为( )A.20B.35C.41D.45答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：等分点转移面积6.如图，在△ABC中，已知D，E分别是边BC，AD上一点，点F是CE的中点，且，，若，则阴影部分的面积为( )A.1B.2C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：等分点转移面积7.如图，在△ABC中，E是BC边上的一点，D是AC的中点，AE与BD交于点F，且，若，则下列说法错误的是( )A.CE：BE=4:1B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：等分点转移面积8.如图，设E，F分别是△ABC的边AC，AB上的点，线段BE，CF交于点D．若△BDF，△BCD，△CDE的面积分别是6，14，14，则下列说法正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：等分点转移面积。
三角形的三线及面积(一)2024
三角形的三线及面积（一）引言概述：三角形是平面几何中的基本图形之一，具有丰富的性质和特点。
其中三角形的三线以及与之相关的面积是三角形研究的重要内容之一。
本文将详细介绍三角形的三线和面积的相关知识，帮助读者更好地理解三角形的性质和特点。
正文：1. 三角形的三线1.1. 外心连线：介绍三角形外心连线的定义和性质；1.2. 重心连线：探讨三角形重心连线的定义和性质；1.3. 垂心连线：解释三角形垂心连线的定义和性质；1.4. 内心连线：介绍三角形内心连线的定义和性质；1.5. 顶点连线：探讨三角形顶点连线的定义和性质。
2. 三线的关系与性质2.1. 三线的交点：讨论三线的交点的性质和重要性；2.2. 三线的长度关系：详细介绍三线的长度关系及其证明；2.3. 三线与三个顶点的关系：探究三线与三个顶点的关系及其特点；2.4. 三线与三个边上点的关系：研究三线与三个边上点之间的关系；2.5. 三线与三角形内部点的关系：分析三线与三角形内部点之间的性质。
3. 三角形的面积3.1. 面积的定义：介绍三角形面积的定义和计算方法；3.2. 海伦公式：详细介绍海伦公式的原理和应用；3.3. 海伦公式的推广：探究海伦公式在其他图形中的推广；3.4. 面积与三线的关系：分析三线与三角形面积之间的关系；3.5. 面积的性质与应用：总结面积的性质和应用场景。
4. 三角形的边长与三线的关系4.1. 边长与外心连线的关系：研究边长与外心连线之间的性质；4.2. 边长与重心连线的关系：探究边长与重心连线之间的关系；4.3. 边长与垂心连线的关系：分析边长与垂心连线之间的性质；4.4. 边长与内心连线的关系：讨论边长与内心连线之间的关系；4.5. 边长与顶点连线的关系：详细介绍边长与顶点连线之间的性质。
5. 三线和面积的推广5.1. 三线的推广：探究将三线的概念推广到其他图形的可能性；5.2. 面积的推广：研究将面积的概念推广到其他图形的方法；5.3. 三线和面积的应用：讨论三线和面积在几何问题中的应用场景；5.4. 三线和面积的发展历程：回顾三线和面积在数学历史中的重要发展；5.5. 三线和面积的未来：展望三线和面积在未来数学研究中的潜在发展方向。
人教版 八年级数学 等腰三角形“三线合一”的性质讲义 (含解析)
第6讲等腰三角形“三线合一”的性质知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要重点学习等腰三角形“三线合一”的性质。
我们知道等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形所有的性质外，还有许多特殊性，正是由于它的这些特殊性，使得它比一般三角形的应用更广泛。
因此，我们有必要把这部分内容学得更扎实。
知识梳理讲解用时：20分钟等腰三角形1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边和腰的夹角叫做底角。
2、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）（2）等腰三角形的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.（简写成“三线合一”）3、等腰三角形的判定方法：（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（定义法）（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角对应的边也相等.（简写成“等角对等边”） AB C等边三角形我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形，所以接下来要研究等边三角形的性质和判定！1、等边三角形的概念：在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形。
2、等边三角形的性质：（1）等边三角形的三条边都相等；（定义）（2）等边三角形的三个内角都相等，都等于60°；（3）等腰三角形“三线合一”的性质同样适用于等边三角形.3、等边三角形的判定方法：（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（定义）（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.AB C课堂精讲精练【例题1】在△ABC中，AB=AC，∠A﹣∠B=15°，则∠C的度数为（）A．50°B．55°C．60°D．70°【答案】B【解析】根据已知可得到该三角形的为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和公式即可求得∠C的度数．解：∵AB=AC，∠A﹣∠B=15°∴∠B=∠C，∠A=∠B+15°∵∠B+∠C+∠A=180°∴∠C=55°．故选：B．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了三角形内角和等腰三角形的性质；进行角的等量代换是解答本题的关键．教学建议：熟记等腰三角形中等边对等角，利用三角形内角和做题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】3．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是AC上一点，BC=BD=AD，求∠A的大小？【答案】【解析】由BD=BC=AD可知，△ABD，△BCD为等腰三角形，设∠A=∠ABD=x，则∠C=∠CDB=2x，又由AB=AC可知，△ABC为等腰三角形，则∠ABC=∠C=2x，在△ABC中，用内角和定理列方程求解．解：∵BD=BC=AD，∴△ABD，△BCD为等腰三角形，设∠A=∠ABD=x，则∠C=∠CDB=2x，又∵AB=AC可知，∴△ABC为等腰三角形，∴∠ABC=∠C=2x，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，即x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠A=36°．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质．关键是利用等腰三角形的底角相等，外角的性质，内角和定理，列方程求解．教学建议：熟记等腰三角形中等边对等角，利用三角形内角和做题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】在△ABC中，AB=AC，那么在这个三角形中，三线重合的线段是（）A．∠A的平分线，AB边上的中线，AB边上的高B．∠A的平分线，BC边上的中线，BC边上的高C．∠B的平分线，AC边上的中线，AC边上的高D．∠C的平分线，AB边上的中线，AB边上的高【答案】B【解析】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．解：∵在△ABC中，AB=AC，∴∠A是顶角，∴∠A的平分线，BC边上的中线，BC边上的高相互重合．故选：B．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质．利用等腰三角形“三线合一”的性质时，首先要找到顶角．教学建议：熟悉等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习2.1】如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，则下列结论中错误的是（）A．∠BAD=∠CAD B．AD⊥BC C．∠B=∠C D．∠BAC=∠B【答案】D【解析】由在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，根据等边对等角与三线合一的性质，即可求得答案．解：∵AB=AC，点D为BC的中点，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，∠B=∠C．故A、B、C正确，D错误．故选：D．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．教学建议：熟悉等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，那么下列结论不一定成立的是（）A．△ABD≌△ACD B．∠B=∠CC．AD是△ABC的中线D．△ABC是等边三角形【答案】D【解析】根据等腰三角形三线合一的性质，即可作出判断．解：∵在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，∴∠B=∠C，AD是△ABC的中线，高线，∴BD=DC，∠ADB=∠ADC=90°，∵在Rt△ABD与Rt△ACD中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（SAS），故A、B、C都成立，只有D不一定成立．故选：D．讲解用时：3分钟解题思路：考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．[三线合一]教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】如图，在△ABC，AB=AC，BC=6cm，AD平分∠BAC，则BD= cm．【答案】3【解析】根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=BC．解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=BC=×6=3cm．故答案为：3．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形三线合一是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并应用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习3.2】如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，若AB=4，则AD= ．【答案】2【解析】根据△ABC是等边三角形可知AB=AC，再由BD⊥AC可知AD=AC，由此即可得出结论．解：∵△ABC是等边三角形，AB=4，∴AB=AC=4，∵BD⊥AC，∴AD=AC=×4=2．故答案为：2讲解用时：3分钟解题思路：本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并应用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC．求证：∠1=∠2．【答案】∠1=∠2【解析】D是BC的中点，那么AD就是等腰三角形ABC底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等，那么DE=DF，再根据等边对等角即可求解．证明：连接AD．∵点D是BC边上的中点∴AD平分∠BAC（三线合一性质），∵DE⊥AB，DF⊥AC．∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠1=∠2（等边对等角）．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质，利用等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并应用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】如图，在△ABC中，AB=AC，DB=DC．求证：（1）∠BAD=∠CAD．（2）AD⊥BC．【答案】（1）∠BAD=∠CAD；（2）AD⊥BC．【解析】（1）利用“边边边”证明△ABD和△ACD全等，根据全等三角形对应角相等证明即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAD，然后根据等腰三角形三线合一证明即可．证明：（1）在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD=∠CAD；（2）∵△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，又∵AB=AC，∴AD⊥BC．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，求出两个三角形全等是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并应用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】△ABC中，AB=AC，中线BD将△ABC周长分成12和9两部分．求△ABC三边．【答案】8，8，5或6，6，9【解析】设AB=AC=2x，BC=y，则AD=BD=x，则有两种情况，根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系解答．解：设AB=AC=2x，BC=y，则AD=BD=x，∵AC上的中线BD将这个三角形的周长分成12和9两部分，∴有两种情况：1、当3x=12，且x+y=9，解得x=4，y=5，∴三边长分别为8，8，5；2、当x+y=12且3x=9时，解得x=3，y=9，此时腰为6，三边长分别为6，6，9，综上，三角形的三边长为8，8，5或6，6，9．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形和三角形三边关系求解，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关键．教学建议：学会分情况讨论及掌握三角形的三边关系.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】有一条长为21cm的细绳围成一个等腰三角形．（1）如果腰长是底边长的3倍，那么底边长是多少？（2）能围成一边长为5cm的等腰三角形吗？说明理由．【答案】（1）3cm；（2）底边是5cm，腰长是8cm的等腰三角形【解析】（1）设底边长为xcm，表示出腰长，然后根据周长列出方程求解即可；（2）分5是底边和腰长两种情况讨论求解．解：（1）设底边长为xcm，则腰长为3xcm，根据题意得，x+3x+3x=21，解得x=3cm；（2）若5cm为底时，腰长=（21﹣5）=8cm，三角形的三边分别为5cm、8cm、8cm，能围成三角形，若5cm为腰时，底边=21﹣5×2=11，三角形的三边分别为5cm、5cm、11cm，∵5+5=10＜11，∴不能围成三角形，综上所述，能围成一个底边是5cm，腰长是8cm的等腰三角形．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的周长，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判断．教学建议：熟悉等腰三角形的性质以及三角形的三边关系.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．【答案】（1）△DEF是等腰三角形；（2）70°【解析】（1）由AB=AC，∠ABC=∠ACB，BE=CF，BD=CE．利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．（2）根据∠A=40°可求出∠ABC=∠ACB=70°根据△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△DBE和△CEF中，∴△DBE≌△CEF，∴DE=EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△CEF，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=（180°﹣40°）=70°∴∠1+∠2=110°∴∠3+∠2=110°∴∠DEF=70°讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题．教学建议：通过证明两个三角形全等得到角相等，再利用等角对等边判断为等腰三角形是关键.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AB的垂直平分线．（1）求证：△BCD是等腰三角形；（2）若△ABD的周长是a，BC=b，求△BCD的周长．（用含a，b的代数式表示）【答案】（1）△BCD是等腰三角形；（2）a﹣b【解析】（1）先由AB=AC，∠A=36°，可求∠B=∠ACB==72°，然后由DE是AC的垂直平分线，可得AD=DC，进而可得∠ACD=∠A=36°，然后根据外角的性质可求：∠CDB=∠ACD+∠A=72°，根据等角对等边可得：CD=CB，进而可证△BCD是等腰三角形；（2）由（1）知：AD=BD=CB=b，由△ABD的周长是a，可得AB=a﹣2b，由AB=AC，可得CD=a﹣3b，进而得到△BCD的周长=CD+BD+BC=a﹣3b+b+b=a﹣b．（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB==72°，∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=DC，∴∠ACD=∠A=36°，∵∠CDB是△ADC的外角，∴∠CDB=∠ACD+∠A=72°，∴∠B=∠CDB，∴CB=CD，∴△BCD是等腰三角形；（2）∵AD=BD=CB=b，△ABD的周长是a，∴AB=a﹣2b，∵AB=AC，∴CD=a﹣3b，∴△BCD的周长长=CD+BD+BC=a﹣3b+b+b=a﹣b．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换．教学建议：熟练掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过A点的直线EF∥BC，且AE=AF，求证：DE=DF．【答案】DE=DF【解析】连接AD，先根据等腰三角形三线合一的性质得出AD⊥BC，再结合已知条件EF∥BC，得到AD⊥EF，又AE=AF，即AD垂直平分EF，然后根据线段垂直平分线的性质即可证明DE=DF．证明：如图，连接AD．∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵EF∥BC，∴AD⊥EF，又AE=AF，∴AD垂直平分EF，∴DE=DF．讲解用时：4分钟解题思路：本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质并应用.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1】如图．BD平分∠ABC，点E在AB边上，满足DE=BE．试判断DE与BC的位置关系，并证明你的结论．【答案】DE∥BC【解析】根据角平分线的定义可得∠1=∠2，根据等边对等角可得∠2=∠3，然后求出∠1=∠3，再根据内错角相等，两直线平行解答．解：DE∥BC．理由如下：如图，∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2，∵DE=BE，∴∠1=∠3，∴DE∥BC．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的判定，是基础题，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．教学建议：熟练掌握等腰三角形的性质并应用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题8】在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长．【答案】2.5【解析】求出∠CAD=∠BAD=∠EDA，推出AE=DE，求出∠ABD=∠EDB，推出BE=DE，求出AE=BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠BAD=∠ADE，∵AD⊥DB，∴∠ADB=90°，∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°，∴∠ABD=∠BDE，∴DE=BE，∵AB=5，∴DE=BE=AE=AB=2.5．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，关键是求出DE=BE=AE．教学建议：熟练掌握等腰三角形的性质和判定并应用.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习8.1】如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，过点B作BE⊥AC 于E，交AD于F，又知AF=2BD，△BCE与△AFE全等吗？为什么？【答案】全等【解析】根据等腰三角形的性质得到BC=2BD，AD⊥BC，由已知条件得到AF=BC，由垂直的定义得到∠AEF=∠BEC=90°，推出∠EAF=∠CBE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．解：△BCE与△AFE全等，理由：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴BC=2BD，AD⊥BC，∴AF=BC，∵BE⊥AC于E，∴∠AEF=∠BEC=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠EAF=∠CBE，在△BCE与△AFE中，，∴△BCE≌△AFE．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．教学建议：熟练掌握全等三角形的判定和等腰三角形的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如图，已知DE∥BC，AB=AC，∠1=125°，则∠C的度数是（）A．55°B．45°C．35°D．65°【答案】A【解析】首先根据∠1=125°，求出∠ADE的度数；然后根据DE∥BC，AB=AC，可得AD=AE，∠C=∠AED，求出∠AED的度数，即可判断出∠C的度数是多少．解：∵∠1=125°，∴∠ADE=180°﹣125°=55°，∵DE∥BC，AB=AC，∴AD=AE，∠C=∠AED，∴∠AED=∠ADE=55°，又∵∠C=∠AED，∴∠C=55°．故选：A．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业2】如图，在△ABC中，D为AB边上一点．BD=BC，AD=DC，∠B=36°．求∠ACB的度数．【答案】108°【解析】根据等腰三角形两底角相等求出∠BCD=∠BDC，再根据等边对等角和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACD，然后相加即可．解：∵BD=BC，∠B=36°，∴∠BCD=∠BDC=（180°﹣∠B）=（180°﹣36°）=72°，∵AD=DC，∴∠A=∠ACD，∴∠ACD=∠BDC=×72°=36°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=36°+72°=108°．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】下列说法中正确的是（）A．等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C．等腰三角形三条高都在三角形内D．等腰三角形的一边不可能是另一条边的两倍【答案】A【解析】从各选项提供的已知条件进行思考，根据等腰三角形的性质进行证明后直接选择答案，其中只有选项A是正确的．解：A正确，可以通过证明验证．如图所示，△ABC中，AB=AC，AE是BA的延长线，AF是∠EAC的角平分线求证：AF∥BC证明：∵AB=AC∴∠B=∠C∵AF是∠EAC的角平分线∴∠EAF=∠FAC∵∠EAC=∠B+∠C=∠EAF+∠FAC∴∠B=∠C=∠EAF=∠FAC∴AF∥BC∴选项A正确；其它选项无法证明是正确的．故选：A．讲解用时：4分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．求证：BE⊥AC．【答案】BE⊥AC【解析】根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，再得出∠CBE+∠C=90°．证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠CAD+∠C=90°，又∵∠CBE=∠CAD，∴∠CBE+∠C=90°，∴BE⊥AC．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】如图，已知△ABC中，AB=AC，BC=6，AM平分∠BAC，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE=BC．（1）求ME的长；（2）求证：△DMC是等腰三角形．【答案】（1）3；（2）△DMC是等腰三角形【解析】（1）由条件可知M是BC的中点，可知BM=CM=CE=3；（2）由条件可知DM为Rt△AMC斜边上的中线，可得DM=DC，则可证得△DMC是等腰三角形．（1）解：∵AB=AC，AM平分∠BAC，∴BM=CM=BC=CE=3，∴ME=MC+CE=3+3=6；（2）证明：∵AB=AC，AM平分∠BAC，∴AM⊥BC，∵D为AC中点，∴DM=DC，∴△DMC是等腰三角形．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。
2020年秋人教版八年级数学上册第11章《三角形的三线及面积》(讲义、随堂练习、习题及答案)
人教版八年级数学上册第11章三角形的三线及面积（讲义）➢ 课前预习1. 三角形有关的性质和定理：定义：由___________________的三条线段_________________所组成的图形叫做三角形，三角形可以用符号“_______”表示． 性质：边：三角形两边之和______第三边，两边之差______第三边； 角：三角形的内角和等于_______； 直角三角形两锐角________；三角形的一个外角等于______________________________． 2. 如图，在△ABC 中，（1）若点D 是BC 的中点，则S △ABD :S △ACD =__________； （2）若BD :CD =2:1，则S △ABD :S △ACD =__________； （3）若BD :CD =a :b ，则S △ABD :S △ACD =__________．DCBA➢ 知识点睛1. 三角形的三线：（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的________，叫做这个三角形的中线，三角形的三条中线_____________交于一点，这点称为三角形的__________．（2）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的______叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线________________交于一点，这点称为三角形的_________．（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的________叫做三角形的高线（简称三角形的高），三角形的三条高________________交于一点，这点称为三角形的________；锐角三角形的三条高线及垂心都在其________，直角三角形的垂心是________，钝角三角形的垂心和两条高线在其________．如图，在△ABC中，作出AC边上的高线．CA________即为所求．2.面积问题：（1）处理面积问题的思路①_____________________________；②_____________________________；③_____________________________．（2）处理面积问题方法举例①利用平行转移面积21如图，满足S△ABP =S△ABC的点P都在直线l1，l2上．②利用等分点转移面积两个三角形底相等时，面积比等于_____之比；高相等时，面积比等于_____之比．➢精讲精练1.如图，△ABC的角平分线AD、中线BE交于点O，则结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABC的中线．其中（）A．①②都正确B．①②都不正确C ．①正确，②不正确D ．①不正确，②正确AC DE OE DAF第1题图第2题图2. 如图所示，在△ABC 中，BC 边上的高是_______，AB 边上的高是_______；在△BCE 中，BE 边上的高是________，EC 边上的高是_________；在△ACD 中，AC 边上的高是________，CD 边上的高是________．3. 如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 于点H ，交AB 于点F ．下列说法：①AD 是△ABE 的角平分线；②BE 是△ABD 的中线；③CH 为△ACD 边AD 上的高；④AH 是△ACH 边CH 上的高；⑤AH 是△ACF 的角平分线．其中正确的说法有_______（填序号）．ABCDEF G H第3题图第4题图4. 如图，在正方形ABCD 中，BC =2，∠DCE 是正方形ABCD 的外角，P 是∠DCE 的平分线CF 上任意一点，则△PBD 的面积等于_________．5. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，延长DC 到E ，使CE =AB ，连接BD ，BE ．若梯形ABCD 的面积为25cm 2，则△BDE 的面积为__________．EDC BA第5题图第6题图6. 正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK 的面积为____________． 7. 在如图所示4×4的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A ，B 两点在小方格的顶点上，点C 也在小方格的顶点上，且以A ，B ，C 为顶点的三角形面积为1，则点C 的个数是_______个．第7题图第8题图8. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A ，B 是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C 使△ABC 的面积为2，则满足条件的格点C 的个数是_______个． 9. 如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别为BC ，AD，CE 的中点，且S △ABC =16，则S △DEF =_____________．10. 如图，在△ABC 中，E 是BC 边上的一点，EC =2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC ，△ADF ，△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC =12，则S △ADF -S △BEF =（） A ．1B ．2C ．3D．4F ED CA第10题图第11题图11. 如图所示，S △ABC =6，若S △BDE =S △DEC =S △ACE ，则S △ADE =______．12. 如图，设E ，F 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，线段BE ，CF 交于点D ．若△BDF ，△BCD ，△CDE 的面积分别是3，7，7，则△EDF 的面积是_______，△AEF 的面积是______．EFDCBAC 1B 1A 1CBA第12题图第13题图13. 如图，对面积为1的△ABC 进行以下操作：分别延长AB ，BC ，CA 至点A 1，B 1，C 1，使得A 1B =2AB ，B 1C =2BC ，C 1A =2CA ，顺次连接A 1，B 1，C 1，则△A 1B 1C 1的面积为______．14. 如图，梯形ABCD 被对角线分为4个小三角形，已知△AOB 和△BOC 的面积分别为25cm 2和35cm 2，那么梯形的面积是_____________．15. 如图，在长方形ABCD 中，△ABP 的面积为20cm 2，△CDQ 的面积为35cm 2，则阴影四边形EPFQ 的面积是_________．16. 如图，若梯形ABCD 面积为6，E ，F 为AB 的三等分点，M ，N 为DC 的三等分点，则四边形EFNM 的面积是_________．E F DCBA MNO C D BA 2535【参考答案】➢课前预习1.不在同一条直线上，首尾顺次相接，△大于，小于180°互余和它不相邻的两个内角的和2.（1）1:1（2）2:1（3）a:b➢知识点睛1.（1）线段，在三角形内部，重心．（2）线段，在三角形内部，内心．（3）线段，所在直线，垂心，内部，直角顶点，外部．作图略2.（1）①公式法；②割补法；③转化法．（2）②对应高，对应底．➢精讲精练1. C2.AF，CE；CE，BE；DC，AC．3. ③④⑤4. 25. 25 cm 26. 167. 68. 59. 2 10. B 11. 112. 3，15 13. 1914. 144 cm 2 15. 55 cm 2 16. 2三角形的三线及面积（随堂测试）1. 下列四个图形中，线段BD 是△ABC 的高的是（）A ．B ．C ．D ．2. 如图，正方形ABCD 和正方形BEFG 的位置如图所示，点E 在线段AB 上，已知正方形ABCD 的面积为50cm 2，则△AFC 的面积是___________．3. 已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A ，B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A ，B ，C 为顶点的三角形面积为1，则点C 的个数是_______个（在图中标出点C 的位置）．DCBA C DA BA BD C DC AAB EFG CD4. 如图，在△ABC 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，连接EF ，若△ABC的面积是8cm 2，则△BEF 的面积是______．【参考答案】1. D2. 25cm²3. 64. 2 cm²三角形的三线及面积（习题）➢ 例题示范例1：已知在4×4的正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A ，B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A ，B ，C 为顶点的三角形面积为1，则点C 的个数为__________个．【思路分析】连接AB ，则AB 作为△ABC 的底，要使△ABC 的面积为1，利用同底等高，即平行转移面积即可．具体操作：①先在AB 的一侧找一个点C ，使△ABC 的面积为1，过点C 作AB 的平行线； ②再在AB 的另一侧找一个点C ，使△ABC 的面积为1，过点C 作AB 的平行线． 如图所示：F E CBA共6个．➢巩固练习正确的是（）A．AC是△ABC的高B．DE是△BCD的高C．DE是△ABE的高D．AD是△ACD的高3.在直角三角形、钝角三角形和锐角三角形中，有两条高在三角形外部的是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．都有可能4.如图，∠ABC=∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°-∠ABD；④∠BDC=∠BAC．其中正确的有______________（填序号）．第4题图第5题图5. 在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A ，B 是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C 使△ABC 的面积为2，则满足条件的格点C 的个数是_______个．6. 如图，直线AE ∥BD ，点C 在BD 上，若AE =4，BD =8，△ABD 的面积为16，则△ACE 的面积为___________．7. 如图，在△ABC 中，已知点D ，E，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且S △ABC =4cm 2，那么阴影部分的面积是_________．8. 已知：如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在三边上，E 是AC 的中点，BD =2CD ，AD ，BE ，CF 交于一点G ，S △BGD =8，S △AGE =3，那么△ABC 的面积是____________．F E DC BAA DEF G9. 如图，将△ABC 的三边AB ，BC ，CA 分别延长至D ，E ，F ，且使BD =AB ，CE =2BC ，AF =3AC ．若S △ABC =1，则S △DEF =____．10. 如图，两条对角线把梯形分割成四个三角形，若S △EDC =6，S △BEC =18，则△AEB的面积是____________，△AED 的面积是___________．11. 如图所示，在△ABC 中，点D是AB 的中点，点E 在边BC 上，CE =2BE ，12. 部分的面积是______________．【参考答案】1. D2. C3. B4.①②③5. 56.87. 1 cm²8.309.1810.6 211.112.6 cm²。
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三角形的三线及面积讲
义及答案
Revised by Chen Zhen in 2021
三角形的三线及面积（讲义）
一、知识点睛：
1.三角形的三线：
（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的________，叫做这个三角形的中线，三角形的三条中线_____________交于一点，这点称为三角形的__________．
（2）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的______叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线________________交于一点，这点称为三角形的_________．
（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的________叫做三角形的高线（简称三角形的
高），三角形的三条高________________交于一点，这点称为三角形的________；锐角三角形的三条高线及垂心都在其________，直角三角形的垂心是________，钝角三角形的垂心和两条高线在其________．
如图，在△ABC中，作出AC边上的高线．
________即为所求．
2.面积问题：
（1）处理面积问题的思路
①_____________________________；
②_____________________________；
③_____________________________．
（2）处理面积问题方法举例
①利用平行转移面积
如图，满足S△ABP=S△ABC的点P都在直线l1，l2上．
②利用等分点转移面积
两个三角形底相等时，面积比等于_____之比；高相等时，面积比等于_____之比．
二、精讲精练：
1.如图，△ABC的角平分线AD，中线BE交于点O，则结论：
①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABC的中线．其中
（）
A．①②都正确B．①②都不正确
C．①正确，②不正确D．①不正确，②正确2.如图所示，在△ABC中，BC边上的高是_______，AB边上的
高是_______；在△BCE中，BE边上的高是________，EC边上的高是_________；在△ACD中，AC边上的高是
________，CD边上的高是________．
3.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那
么这个三角形是（）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．都有可能4.如图，在正方形ABCD中，BC=2，∠DCE是正方形ABCD的外
角，P是∠DCE的平分线CF上任意一点，则△PBD的面积等于_________．
5.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，延长DC到E，使CE=AB，
连接BD，BE．若梯形ABCD的面积为25cm2，则△BDE的面积为__________．
第5题图第6题图
6.正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，
点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为____________．
7.已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，
A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数是_______个．
第7题图第8题图
8.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方
形，点A，B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C使△ABC的面积为2，则满足条件的格点C的个数是_______个．
9.如图，AD是△ABC的边BC上的中线，点E在AD上，
AE=2DE，若△ABE的面积是4，则△ABC的面积是_______．10.如图，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，
且S△ABC=16，则S△DEF=_____________．
11.如图，在△ABC中，E是BC边上的一点，EC=2BE，点D是AC
的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，
S
，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF S△BEF=（）
△ADF
A．1 B．2 C．3
D．4
12.如图所示，S△ABC=6，若S△BDE=S△DEC=S△ACE，则S△ADE=______．
13.如图，设E，F分别是△ABC的边AC，AB上的点，线段BE，
CF交于点D．若△BDF，△BCD，△CDE的面积分别是3，7，7，则△EDF的面积是_______，△AEF的面积是______．14.如图，梯形ABCD被对角线分为4个小三角形，已知△AOB和
△BOC的面积分别为25cm2和35cm2，那么梯形的面积是
_____________．
15.如图，在长方形ABCD中，△ABP的面积为20cm2，△CDQ的
面积为35cm2，则阴影四边形EPFQ的面积是_________．16.如图，若梯形ABCD面积为6，E，F为AB的三等分点，M，N
为DC的三等分点，则四边形EFNM的面积是_________．【参考答案】
一、知识点睛
1.（1）线段，在三角形内部，重心．
（2）线段，在三角形内部，内心．
（3）线段，所在直线，垂心，内部，直角顶点，外部．作图略
2.（1）①公式法；②割补法；③转化法．
（2）②对应高，对应底．
二、精讲精练
1. C
2.AF，CE；CE，BE；DC，AC．
3. C
4. 2
5.25cm2
6.16
7.6
8.5
9.12
10.2
11.B
12.1
13.3，15
14.144 cm2
15.55 cm2
16.2。