圆周角同步练习

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圆周角+同步练习++2024—2025学年人教版数学九年级上册

24.1.4 圆周角学习目标1. 理解圆周角的概念.2. 掌握圆周角定理及其推论.3. 理解圆内接四边形的性质，探究四点共圆时的性质.课堂学习检测一、填空题1. 在圆上，并且角的两边都的角叫做圆周角.2. 一条弧所对的圆周角等于圆心角的 .3. 所对的圆周角 .4. 所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是 .5. 圆内接四边形的对角 .̂的中点，则图中与∠BAC相等的角有6. 如图, 在⊙O中, 若点 C 是BD.二、选择题7. 如图, OA是⊙O的半径, 弦BC⊥OA, D 是⊙O上一点, 且点 D 在优弧BC 上. 若∠ADB =28°, 则∠AOC的度数为 ( ).(A) 14° (B) 28° (C) 56° (D) 84°综合·运用·诊断一、填空题8. 如图, AB是⊙O的直径, CD是弦. 若∠ACD =65°, 则∠BAD的度数为9. 如图, 点 B, C, D 在⊙O 上. 若∠BCD =130°, 则∠BOD 的度数为 .10. 如图, A, B, C是⊙O上的三点, 且四边形OABC是菱形. 若点 D 是圆上异于A, B, C 的另一点, 则∠ADC的度数是 .二、选择题11. 如图, 点A, B, C, D, E均在⊙O上, 且AC为⊙O的直径, 则∠A+∠B+∠C的度数为( ).(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 90°̂分成相等的三段弧，点P 在AĈ上. 若点Q在12. 如图, AB是⊙O的直径, 点C, D将ABAB̂上且∠APQ=115°,则点 Q所在的弧是 ( ).̂(B)PĈ(C)CD̂(D)DB̂(A)AP三、解答题.13. 如图, A, B, C, D四个点都在⊙O上, AD是⊙O的直径且AD=6cm,∠ABC=∠CAD.(1) 求弦AC的长;(2) 求∠CAD的度数.14. 如图, ⊙O为△ABC的外接圆，CE是⊙O的直径，CD⊥AB于点 D.求证：∠ACD=∠BCE.拓展·探究·思考15. 如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，∠A=60°,∠B=90°,AB=2,CD=1,求AD的长.16. 如图, AB是⊙O的直径, 弦(CD⊥AB,E是⌢AC上一点, AE, DC的延长线交于点 F.求证：∠AED=∠CEF.。

浙教新版九年级上册《3.5 圆周角》2024年同步练习卷(7)+答案解析

浙教新版九年级上册《3.5圆周角》2024年同步练习卷（7）一、选择题：本题共1小题，每小题3分，共3分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，AB、CD是的两条平行弦，交CD于E，过A点的切线交DC延长线于P，若，则的值是()A.18B.6C.D.二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

2.一圆周上有三点A，B，C，的平分线交边BC于D，交圆于E，已知，，，则______.3.如图，菱形OABC的顶点A、B、C在上，过点B作的切线交OA的延长线于点D，若的半径为5，则线段BD的长为______.4.如图，是的外接圆，AB为的直径，CD平分交AB于点D，CE切于点C，交AB的延长线于点E，若的半径为5，则DE的长为______.5.如图，AB是的直径，AC是弦，的平分线交于点D，于E，过点B作的切线交AD的延长线于F，若，则______.6.如图，中，弦AB、CD相交于点P，若，，，则DP为______.三、解答题：本题共4小题，共32分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

7.本小题8分如图，是的外接圆，AB为的直径，的平分线交于点D，点E在CA的延长线上，且DE为切线.求证：；连接AD，若，，求DE的长.8.本小题8分如图，设是直角三角形，点D在斜边BC上，已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点求证：9.本小题8分如图，是等边的外接圆，点E在边AB上，过E作交于点D、G交AC于点F，若，AE、DE的长都是整数，求DE的长.10.本小题8分如图，已知：AB是的直径，AC是切线，A为切点，BC交于点D，切线DE交AC于点求证：答案和解析1.【答案】A【解析】解：如图，连接AD、、CD是的两条平行弦，弧弧BD，过A点的切线交DC延长线于P，，交CD于E，，∽，，又，故选：连接AD、根据圆内两条平行弦所夹的弧相等，得弧弧BD，再根据等弧所对的圆周角相等，得，根据弦切角定理，得，则，根据平行线的性质，得，再根据相似三角形的判定得∽，再根据相似三角形的性质即可求解．此题综合运用了圆周角定理的推论、垂径定理的推论、平行线的性质、弦切角定理、相似三角形的判定及性质等，综合性较强，是一道好题．2.【答案】【解析】解：的平分线交边BC于D，交圆于E，，，，，，解得：，，故答案为：根据角平分线的性质得出，求出BD与CD的长，再利用相交弦定理求出即可．此题主要考查了相交弦定理以及角平分线的性质，根据角平分线性质得出，是解决问题的关键．3.【答案】【解析】解：连接OB，四边形OABC是菱形，，，，为等边三角形，，是的切线，，，，故答案为：连接OB，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，进而求出，根据切线的性质得到，根据正切的定义计算，得到答案．本题考查的是切线的性质、等边三角形的判定和性质、菱形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．4.【答案】【解析】解：连接OC，切于点C，，，是直径，，，，，，平分，，，，，，，∽，，设，，，即，解得或舍，，，，故答案为：连接OC，根据切线的性质可证，再根据CD平分，可得，得，由∽，得，设，，可求出x的值，从而解决问题．本题主要考查了圆周角定理，圆的切线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．5.【答案】【解析】解：连接BD，是的直径，，，与相切于点B，，，，，于E，，，的平分线交于点D，，，，，≌，，，设，，则，解关于x的方程得，不符合题意，舍去，，故答案为：连接BD，由AB是的直径，得，则，由BF与相切于点B，证明，则，所以，再证明≌，得，则，设，，则，求得符合题意的x值为，即可求得，于是得到问题的答案．此题重点考查同角的余角相等、锐角三角函数与解直角三角形、切线的性质定理、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的解法等知识，正确地作出所需要的辅助线并且推导出是解题的关键．6.【答案】【解析】解：由相交弦定理得，，，解得，，故答案为：根据相交弦定理列式计算即可．本题考查的是相交弦定理的应用，掌握圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等是解题的关键．7.【答案】证明：连接OD，如图，的平分线交于点D，，，，为切线，，；解：作于H，如图，为的直径，，，，，在中，，，，，，，，，四边形AHDO为正方形，，，，∽，，即，，【解析】连接OD，如图，由于，根据圆周角定理得，则利用垂径定理有，再利用切线的性质得，于是可判断；作于H，如图，根据圆周角定理得，，在中，利用的正切可计算出，接着利用勾股定理可计算出，然后证明四边形AHDO为正方形得到，再证明∽，利用相似比可计算出，最后计算即可．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．8.【答案】证明：作于E，则，，又是AB的中点，，，，，∽，，而，，即【解析】作于E，由切割线定理：，可证明∽，则，从而得出本题考查的是切割线定理，相似三角形的判定和性质．9.【答案】解：连接AD、BG，是等边三角形，，，，，，是等边三角形，，由圆和等边三角形的对称性得：，设，，，，∽，，，即，由得：，，、y都是正整数，的值必须是一个完全平方数，，，2，3，4，代入计算可知：只有时，是完全平方数，此时或9；，即【解析】根据等边三角形的性质、平行线的性质得到，得到是等边三角形，得到，根据相交弦定理得到，根据一元二次方程的求根公式、完全平方数求出y，得到答案．本题考查的是三角形的外接圆、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、一元二次方程根的判别式，熟练掌握等边三角形的判定与性质和相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．10.【答案】解：如图，连接AD，是圆的直径．，则，DE是圆的切线．又【解析】连接AD，根据直径所对的圆周角是直角，即可证得是直角三角形，再根据切线长定理即可证得，只要再证得即可．本题主要考查了切线长定理以及等腰三角形的判定定理，正确求证是解决本题的关键．。

圆周角的专项练习30题(有答案)ok

圆周角定理专项练习30题（有答案）1．如图AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，若AC=8cm，AB=10cm，OD⊥BC于点D，求BD的长．2．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°．（1）求∠B的大小；（2）已知AD=6，求圆心O到BD的距离．3．已知AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为上任意一点，E为弦BD上一点，且BE=AD，求证：△CDE为等腰直角三角形．4．如图，AB是圆O的直径，AD=DC，∠CAB=30°，AC=2．求AD的长．5．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD，BD．已知AD=BD=4，PC=6，求CD的长．6．如图，已知点C、D在以O为圆心，AB为直径的半圆上，且OC⊥BD于点M，CF⊥AB于点F交BD于点E，BD=8，CM=2．（1）求⊙O的半径；（2）求证：CE=BE．7．如图，A是以EF为直径的半圆上的一点，作AG⊥EF交EF于G，又B为AG上一点，EB的延长线交半圆于K，求证：（1）△AEB∽△KEA；（2）AE2=EB•EK．8．如图，BC是⊙O的直径，P为⊙O上一点，点A是的中点，AD⊥BC，垂足为D，PB分别与AD、AC相交于点E、F．（1）若∠BAD=36°，求∠ACB，∠ABP；（2）如果AE=3，求BE．9．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，弦AD交BC于点E，AE=4，ED=5，（1）求证：AD平分∠BDC；（2）求AC的长；（3）若∠BCD的平分线CI与AD相交于点I，求证：AI=AC．10．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AB=6，AC=5，求tanA的值．11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=60°，∠CEB=100°．求∠ADC的度数．12．已知如图，在⊙O中，弦BC平行于半径OA，AC交BO于M，∠C=25°．求∠AMB的度数．13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BD是直径，且BD=2，连接CD，求BC的长．14．已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC，且AB=5cm，求DE的长．15．已知如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=，D是BC中点，作半径是的圆经过点A和D且交AB于F，交AC于E．求∠ADF的正弦值．16．如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，⊙O与AC交于点D，AB=，∠B=60°，∠C=75°，求∠BOD的度数．17．如图：在⊙O中，AB是直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，AD=5cm．求：BD与⊙O半径的长．18．如图，AB是⊙O的直径，P是弦AC延长线上的一点，且AC=PC，直线PB交⊙O于点D，若∠BDC=30°，求∠P的度数．19．如图，△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=cm，以AB为直径的⊙O交BC于点D，求CD的长？20．如图，已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径．（1）求证：AC•AB=AD•AE；（2）若AB=6，AC=5，AD=3，求⊙O的面积．21．如图，⊙0为四边形ABCD的外接圆，AC为⊙0的直径，CD∥AB，点E、F分别在BC和AD上，且EF经过圆心0．求证：OE=OF．22．如图，等腰三角形ABC中，以腰AB为直径的⊙O交底边BC于点D，交AC于点E，连接DE．（1）求证：BD=DE；（2）若⊙O的半径为3，BC=4，求CE的长．23．如图，已知⊙0的半径为5，AB是⊙0的直径，点C、D都在⊙0上，若∠D=30°，求AC的长．24．如下图，已知△ABC内接于⊙O，若∠C=45°，AB=4，求⊙O的面积．25．如图，⊙O的直径AB为4cm，弦AC为3cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求：①BC的长；②AD与BD的长．26．如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，圆心O在AD上，OC∥AB．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AC=8，AC：CD=2：1，试求⊙O的半径．27．如图，点A、B、C、D在圆上，AB=8，BC=6，AC=10，CD=4，求AD的长．28．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=50°，∠ADC=45°，求∠CDB及∠CEB的度数．29．如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若∠AOD=54°，求∠DEB的度数；（2）若DC=2，AB=8，求⊙O的直径．30．如图，已知△ABC内接于⊙O，AE平分∠BAC，且AD⊥BC于点D，连接OA．求证：∠OAE=∠EAD．参考答案：1．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°；∵OD⊥BC，∴OD∥AC，又∵AO=OB，∴OD是△ABC的中位线，即BD=BC；Rt△ABC中，AB=10cm，AC=8cm；由勾股定理，得：BC==6cm；故BD=BC=3cm2．（1）∵∠APD=∠C+∠CAB，∴∠C=65°﹣40°=25°，∴∠B=∠C=25°；（2）作OE⊥BD于E，则DE=BE，又∵AO=BO，∴，圆心O到BD的距离为3．3．连接AC、BC，由圆周角定理得∠CBE=∠CAD，∵CO⊥AB，∴点C是弧ABC的中点，∴AC=BC，又∵BE=AD∴△ACD≌△BCE，∴CD=CE．∠ADC=∠BEC，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵∠BEC=∠DCE+∠CDB，∠ADC=∠ADB+∠CDB，∴∠DCE=∠ADB=90°，即△DCE是等腰直角三角形．4．连接OD；∵D 是的中点，∴OD垂直平分AC；∴∠AOD=90°﹣∠CAB=60°；又∵OA=OD，∴△OAD是等边三角形；∴OA=AD；Rt△ABC中，∠CAB=30°，AC=2；∴AB==4，OA=2；即：AD=OA=2．故AD的长为2．5．连接AC，∵AD=BD，∴=．∵∠C=∠BAD，又∵∠ADP=∠CDA，∴△ADP∽△CDA．∴=，即AD2=CD•DP．∵AD=4，PC=6，设CD=x，则42=x（x﹣6），解得：x1=8，x2=﹣2（不合题意，舍去）∴CD=8．6．1）解：∵OC为⊙O的半径，OC⊥BD，∴；∵DB=8，∴MB=4（1分）设⊙O的半径为r，∵CM=2，∴OM=r﹣2，在Rt△OMB中，根据勾股定理得（r﹣2）2+42=r2，解得r=5；（2）证明：方法一：连接AC、CB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°．∴∠ACF+∠FCB=90°．又∵CF⊥AB，∴∠CAF+∠ACF=90°∴∠FCB=∠CAF∵OC为⊙O的半径，OC⊥BD，∴C 是的中点，∴∠CAF=∠CBD．∴∠FCB=∠DBC．∴CE=BE；方法二：如图，连接BC，补全⊙O，延长CF交⊙O于点G；又∵CF⊥AB，AB为直径，∴=．∴OC为⊙O的半径，OC⊥BD．∴C 是的中点，∴=．∴=．∴∠FCB=∠DBC．∴CE=BE．7．（1）连接AK、AF，∴∠K=∠F=90°﹣∠AEF=90°﹣∠AEG．∠EAG=90°﹣∠AEG．∴∠K=∠EAG∠KEA=∠AEB．∴△AEB∽△KEA．（2）由①得△AEB∽△KEA，∴．∴AE2=EB•EK．8．（1）因为BC是⊙O的直径所以∠CAB=90°所以∠ABD+∠ACB=90°因为AD⊥BC所以∠ABD+∠BAD=90°所以∠ACB=∠BAD=36°因为A 是的中点，则所以∠ABP=∠ACB=36°．（2）因为∠ABP=∠ACB，∠BAD=∠ACB所以∠ABP=∠BAD因为AE=3所以BE=3．9．（1）∵AB=AC，∴；∴AD平分∠BDC；解：（2）∵∠ACB=∠ADB，∠CDA=∠ADB，∴∠CDA=∠ACB；∵∠CAE=∠DAC，∴△ACE∽△ADC；∴，即；∴AC=6；证明：（3）∠AIC=∠ADC+∠DCI，∠ACI=∠BCI+∠ACB；∴∠AIC=∠ACI；∴AI=AC．10．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，AC=5，∴BC===．∴tanA==．11．连接BC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ACD=60°，∴∠BCE=30°，∵∠CEB=100°，∴∠B=50°，∴∠ADC=∠B=50°．12．∵BC∥OA，∠C=25°，∴∠A=∠C=25°，在⊙O中，∵∠O=2∠C，∴∠O=50°，又∵∠AMB=∠A+∠O，∴∠AMB=75°13．在⊙O中，∵∠A=45°，∠D=45°，∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BC=BD•sin45°，∵BD=2，∴14．连接AE，BD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AC，∴∠ADE=∠CAD，∴∠ADE=∠BAD，∴AE=BD，∴AB=DE，∵AB=5cm，∴DE=5cm15．连接EF，ED（1分）在△ABC中∵AB=AC，∠BAC=90°，BD=CD，∴AD=，∠DAF=∠DCE=45°，∠ADC=90°，∴∠ADE+∠EDC=90°，在⊙O中，∵∠BAC=90°，∴EF是⊙O的直径，（3分）∴∠FDE=90°，∴∠FDA+∠ADE=90°，∴∠EDC=∠FDA，∴△EDC≌△FDA，∴AF=CE，（4分）设AF=x，则CE=x，AE=AC﹣CE=﹣x，∵⊙O 的半径是，∴EF=，在Rt△AEF 中，，解得，∠ADF=∠AEF，（5分）∴当x=1时，sin∠ADF=sin∠AEF==，当x=时，sin∠ADF=sin∠AEF==，∴∠ADF 的正弦值为或．16．在△ABC中，∵∠B=60°，∠C=75°，∴∠A=45°．∵AB是⊙O的直径，⊙O与AC交于点D，∴∠DOB=2∠A=90°．故答案为：90°17．∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD=∠BCD，∴AD=BD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵AD=5cm，∴BD=5cm；在Rt△ABD中，2AD2=AB2，∴AB=5cm，∴圆的半径为cm．18．连接BC，∵AB是直径，∴BC⊥AC，（2分）∵AC=CP，∴AB=BP，（3分）∴∠P=∠A，（4分）∵∠A=∠D=30°，（5分）∴∠P=30°．19．连接AD．（1分）∵AB是⊙O的直径．∴∠ADB=90°．（3分）在Rt△ADB中，AD=AB•sinB=2sin45°=2×=2（6分）在Rt△ADC中，CD=，即CD 的长为m．20．（1）证明：连接BE，∵AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，∴∠ADC=∠ABE=90°，∵∠C=∠E，∴△ADC∽△ABE．∴AC：AE=AD：AB，∴AC•AB=AD•AE；（2）解：∵AB=6，AC=5，AD=3，∴AE===10，∴OA=5，∴⊙O的面积为：π×52=25π21．∵AC为⊙0的直径，∴∠B=∠D=90°，∵CD∥AB，∴∠B+∠BCD=180°，∴∠BCD=90°，∴∠BCD+∠D=90°，∴AD∥BC，∴∠FAO=∠ECO，在△AOF和△COE中，，∴△AFO≌△CEO（ASA），∴OE=OF22．（1）证明：连接AD，∵AB为圆O的直径，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴D为BC的中点，即BD=CD，∵∠DEC为圆内接四边形ABDE的外角，∴∠DEC=∠B，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠DEC=∠C，∴DE=DC，∴BD=DE；（2）解：∵∠DEC=∠B，∠C=∠C，∴△DEC∽△ABC，∴=，即=，则EC=．23．连接BC．∵AB是⊙0的直径，∴∠ACB=90°，在直角△ABC中，∠A=∠D=30°，AB=2×5=10．∴AC=AB•cosA=10×=5．24．连接OA，OB；则OA=OB，∠AOB=2∠C；（2分）∵∠C=45°，∴∠AOB=90°，∴OA2+OB2=AB2；（4分）又∵AB=4，∴2OA2=42，OA2=8；（6分）∴S⊙O=π•OA2=8π．25．①∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵AB=4，AC=3，∴BC===；②∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=45°，∵∠ABD=∠ACD，∠BCD=∠BAD，∴∠DAB=∠DBA=45°，∴AD=DB，∵AD2+BD2=AB2，∴AD=DB=2，26．（1）证明：∵OC∥AB，∴∠OCA=∠CAB，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠CAB，即AC平分∠DAB；（2）解∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵AC=8，AC：CD=2：1，∴CD=4，在Rt△ACD中，AD==4，∴OA=AD=2，∴⊙O的半径为2．27．△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，∴AC2=AB2+BC2，∴∠B=90°，∴AC为直径，∴∠D=90°，Rt△ADC中，AD====2．∴AD的长为2．28．连接BC，则∠ACB=90°（圆周角定理），∵∠CBA=∠ADC=45°，∴∠CAB=90°﹣∠CBA=45°（直角三角形的两个锐角互余）；∴∠CEB=∠CAB+∠ACD=45°+50°=95°（外角定理）．∠CDB=∠CAB=45°．综上可得：∠CDB=45°，∠CEB=95°29．（1）∵OD⊥AB∴弧AD=弧BD∴∠DEB=∠AOD=×54°=27°…3分（2）∵OD⊥AB∴AC=AB=×8=4设⊙O的半径为R，则OC=R﹣2在Rt△AOC中，由勾股定理得：42+（R﹣2）2=R2解得：R=5∴⊙O的直径为1030．连接OE，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴=，∴OE⊥BC，∵AD⊥BC，∴OE∥AD，∴∠OEA=∠EAD，∵OA=OE，∴∠OEA=∠OAE，∴∠OAE=∠EAD．11。

24.1.4圆周角同步训练(含答案)

24.1.4 圆周角一、课前预习(5分钟训练)1.在⊙O中，同弦所对的圆周角( )A.相等B.互补C.相等或互补D.都不对2.如图24-1-4-1，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数有( )A.5对B.6对C.7对D.8对图24-1-4-1 图24-1-4-23.下列说法正确的是( )A.顶点在圆上的角是圆周角B.两边都和圆相交的角是圆周角C.圆心角是圆周角的2倍D.圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半4.如图24-1-4-2,已知A、B、C、D、E均在⊙O上,且AC为⊙O的直径,则∠A+∠B+∠C=________度.二、课中强化(10分钟训练)1.如图24-1-4-3，把一个量角器放在∠BAC的上面，请你根据量角器的读数判断∠BAC的度数是( )A.30°B.60°C.15°D.20°图24-1-4-3 图24-1-4-4 图24-1-4-52.如图24-1-4-4，A、B、C是⊙O上的三点,∠ACB=30°,则∠AOB等于( )A.75°B.60°C.45°D.30°3.如图24-1-4-5，OB、OC是⊙O的半径，A是⊙O上一点，若已知∠B=20°，∠C=30°，则∠A=__________.4.在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是3和2，则∠BAC的度数是__________.5.如图24-1-4-15所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4 cm.(1)求证：AC⊥OD；(2)求OD的长；(3)若∠A=30°，求⊙O的直径.图24-1-4-15三、课后巩固(30分钟训练)1.如图24-1-4-7，已知⊙O中，AB为直径，AB=10 cm，弦AC=6 cm，∠ACB的平分线交⊙O 于D，求BC、AD和BD的长.图24-1-4-72.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图24-1-4-8所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？( )图24-1-4-83.已知A、C、B是⊙O上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC的度数是( )A.10°B.20°C.40°D.80°参考答案一、课前预习(5分钟训练)1.思路解析：同弦所对的圆周角有两个不同的度数，它们互补.因此同弦所对的圆周角相等或互补.答案：C2.思路解析：在同圆或等圆中，判断两个圆周角是否相等，即看它们所对的弧是否相等，因等角对等弧，等弧对等角.先找同弧所对的圆周角：弧AD所对的∠1=∠3；弧DC所对的∠2=∠4；弧BC所对的∠5=∠6；弧AB所对的∠7=∠8.找等弧所对的圆周角，因为弧AC=弧DC，所以∠1=∠4，∠1=∠2，∠4=∠3，∠2=∠3.由上可知，相等的圆周角有8对.答案：D3.思路解析：本题考查圆周角的定义.答案：D4.思路解析：根据圆周角定义,求得弧的度数是半圆周的一半.答案：90°二、课中强化(10分钟训练)1.思路解析：根据圆周角与圆心角的关系解答.答案：C2.思路解析：根据圆周角和圆心角的关系求得.答案：B3.思路解析：连结AO，则AO=OB，OA=OC，所以∠A=∠B+∠C=20°+30°=50°.答案：50°4.思路解析：如图(1)和图(2)，分两种情况，作直径AD，连结BD，易知∠BAD=30°，∠CAO=45°，∴∠BAC=15°或75°.(1) (2)答案：15°或75°5.思路分析：利用同圆和等圆中，等弧所对的弦相等.解：当∠BAP=∠CAQ 时，△ABC 是等腰三角形.证明：如图，作出△ABC 的外接圆，延长AP 、AQ 交该圆于D 、E ，连结DB 、CE ，由∠BAP=∠CAQ ，得弧BD=弧CE.从而弧BDE=弧CED ，所以BD=CE ，∠CBD=∠BCE.又BP=CQ ，则△BPD ≌△CQE ，这时∠D=∠E ，由此弧AB=弧AC ，故AB=AC,即△ABC 是等腰三角形.三、课后巩固(30分钟训练)1.思路分析：已知条件中若有直径，则利用圆周角定理的推论得到直角三角形，然后利用直角三角形的性质解题.解：∵AB 是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°.在Rt △ACB 中，BC=22AC AB -=22610-=8.∵CD 平分∠ACB ，∴弧AD=弧BD.∴AD=BD.在Rt △ADB 中，AD=BD=22AB=52(cm). 2.思路解析：本题考查圆周角定理的推论及圆周角定义在实际生产中的应用.认真观察图形，可得只有B 符合定理的推论.实际问题应读懂题意，看懂图形，并将实际问题转化成数学模型.A 和C 中的直角显然不是圆周角，因此不正确，D 中的直角只满足圆周角的一个特征，也不是圆周角，因而不能判断是否为半圆形.选B.答案:B3.思路解析：由“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”解答.答案：B。

浙教新版九年级上册《3.5 圆周角》2024年同步练习卷(4)+答案解析

浙教新版九年级上册《3.5圆周角》2024年同步练习卷（4）一、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列命题中，是假命题的为()A.的圆周角所对的弦是直径B.直径所对的圆周角是直角C.相等的圆周角所对的弧相等D.同弧或等弧所对的圆周角相等2.如图所示的暗礁区，两灯塔A，B之间的距离恰好等于圆半径的倍，为了使航船不进入暗礁区，那么S对两灯塔A，B的视角必须()A.大于B.小于C.大于D.小于3.如图，正方形ABCD内接于，点E是弧AB上任一点，则的度数是()A.B.C.D.4.如图，是的外接圆，，若的半径OC为2，则弦BC的长为()A.1B.C.2D.二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

5.如图，经过原点，并与两坐标轴分别交于A，D两点，已知，点A的坐标为，则点D的坐标为______.6.如图，若AB是的直径，CD是的弦，，则的度数为______.7.如图，在中，弦AB，CD相交于点P，，，则__________.8.如图，的半径是2，直线l与相交于A、B两点，M、N是上的两个动点，且在直线l的异侧，若，则四边形MANB面积的最大值是______.9.如图，已知内接于，，，则的半径为______.三、解答题：本题共5小题，共40分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

10.本小题8分如图，AB为的直径，，BC交于点D，AC交于点E，求的度数；求证：11.本小题8分如图，BC是的直径，弦，垂足为D点，，AE与BF相交于G点.求证：；12.本小题8分如图，已知BF、BE分别是的内角与外角的平分线，BF、BE分别与的外接圆O交于点F、求证：是的外接圆的直径；是AC的垂直平分线.13.本小题8分如图，等边内接于，点D为上任意一点，在AD上截取，连结求证：≌；14.本小题8分如图，BC为圆O的直径，，，BF和AD相交于求证：；若，，求AE的长.答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、的圆周角所对的弦是直径，是真命题；B、直径所对的圆周角是直角，是真命题；C、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，原命题是假命题；D、同弧或等弧所对的圆周角相等，是真命题；故选：根据直径、圆周角等有关圆的认识判断即可．本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．2.【答案】D【解析】解：连接OA，OB，AB，BC，如图所示：，，为直角三角形，，与所对的弧都为，，又为的外角，，即故选：连接OA，OB，AB及BC，由AB等于圆半径的倍，得到三角形AOB为直角三角形，根据直角三角形的性质可得，由同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，求出的度数，再由为的外角，根据三角形的外角性质：三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角，可得小于，即可得到正确的选项．此题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，灵活运用圆周角定理是解本题的关键．3.【答案】B【解析】解：连接BD，四边形ABCD是正方形，，，故选：连接BD，根据正方形的性质求出，根据圆周角定理得到的度数．本题考查的是圆周角定理的应用，掌握正方形的性质是解题的关键．4.【答案】D【解析】解：，，过点O作于点D，过圆心，，，，故选：先由圆周角定理求出的度数，再过点O作于点D，由垂径定理可知，，再由锐角三角函数的定义即可求出CD的长，进而可得出BC的长．本题考查的是圆周角定理、垂径定理及锐角三角函数的定义，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．5.【答案】【解析】解：连接AD，如图，，为直径，即C点在AD上，，点A的坐标为，，，，点坐标为，故答案为连接AD，如图，根据圆周角定理得到则AD为直径，即C点在AD上，，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出OD，从而得到D点坐标．本题考查了圆周角定理：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．6.【答案】【解析】解：如图，连接AC，是的直径，，，，，故答案为：连接AC，由圆周角定理可求得，，则可求得答案．本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．7.【答案】【解析】【分析】先根据三角形外角性质求出的度数，然后根据圆周角定理得到的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．【解答】解：，，故答案为8.【答案】【解析】【分析】本题也考查了圆周角定理以及三角形的面积．过点O作于C，交于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，根据圆周角定理得为等腰直角三角形，求出AB，得到M点运动到D点，N点运动到E点时所求面积最大，求解即可．【解答】解：过点O作于C，交于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，，，为等腰直角三角形，，，当M点到AB的距离最大时，的面积最大；当N点到AB的距离最大时，的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，此时四边形MANB面积的最大值故答案为9.【答案】【解析】解：连接OA，OB又，连接OA，OB，根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得，又，，根据勾股定理，得圆的半径是此题运用了圆周角定理以及勾股定理．10.【答案】解：是的直径，又，又，连接AD，是的直径，又，【解析】的度数等于，因而求的度数就可以转化为求和，根据等腰三角形的性质等边对等角，就可以求出．在等腰三角形ABC中，根据三线合一定理即可证得．考查圆周角定理及等腰三角形的性质的综合运用．关键是根据的度数等于进行解答．11.【答案】证明：是的直径，弦，，，，；连接BE，，，，，【解析】根据垂径定理得到，等量代换即可得到结论；连接BE，等量代换得到，根据圆心角、弧、弦的关系得到，根据等腰三角形的判定即可得到结论．本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，正确的作出辅助线是解题的关键．12.【答案】证明：、BE分别是的内角与外角的平分线，，，，即，是的外接圆的直径；是的平分线，，，又EF是的外接圆的直径，是AC的垂直平分线．【解析】根据角平分线的定义求出，根据圆周角定理证明结论；根据垂径定理及其推论证明即可．本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念及其性质、垂径定理及其推论，掌握的圆周角所对的弦是直径和过圆心平分弧则垂直平分弦是解题的关键．13.【答案】证明：是等边三角形，，在和中，，≌≌，，，，是等边三角形，【解析】本题考查了圆周角的性质的运用，等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．根据圆周角的性质可以得出，由SAS就可以得出结论；由≌就可以得出，，就可以求出而得出是等边三角就可以得出结论．14.【答案】证明：为圆O的直径，，，，，，，，；解：如图所示，连接AF，，，由知，，∽，，即，解得，故AE长为【解析】根据圆周角定理及直角三角形的性质推出，，从而得到，再根据圆心角、弧、弦之间的关系由得到，从而推出，根据三角形中等角对等边的性质证明即可；连接AF，根据圆心角、弧、弦之间的关系由得到，结合中的结论可推出，从而利用相似三角形的判定定理得到∽，进而结合题意根据相似三角形的性质进行求解即可．本题考查相似三角形的判定与性质、圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，解题的关键是根据圆心角、弧、弦的关系推出，，注意运用数形结合的思想方法，从图形中寻找角之间的关系，从而推出相似三角形或等腰三角形，利用其性质进行求解．。

2022-2023学年苏科版九年级数学上册《圆周角》同步练习题(含答案)

2022-2023学年苏科版九年级数学上册《2.4圆周角》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、OC，∠ABC＝70°，AO∥CD，则∠OCD的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°2．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为（）A．3B．1+C．1+3D．1+3．如图，点A、B分别在x轴、y轴上（OA＞OB），以AB为直径的圆经过原点O，C是的中点，连结AC，BC．下列结论：①∠ACB＝90°；②AC＝BC；③若OA＝4，OB＝2，则△ABC的面积等于5；④若OA﹣OB＝4，则点C的坐标是（2，﹣2）．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．如图，AB是半圆O的直径，将半圆沿弦BC折叠，折叠后的圆弧与AB交于点D，再将弧BD沿AB对折后交弦BC于E，若E恰好是BC的中点，则BC：AB＝（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，P是AC上的一点，PH⊥AB于点H，以PH为直径作⊙O，当CH与PB的交点落在⊙O上时，AP的值为（）A．3B．4C．5D．66．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，若AC＝6，BC＝8，则的值为（）A．B．1C．D．7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD＝DC，分别延长BA、CD，交点为E，作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F．若AE＝AO，BC＝6，则CF的长为（）A．B．C．D．二．填空题8．如图，⊙O的半径为，四边形ABCD为⊙O的内接矩形，AD＝6，M为DC中点，E为⊙O上的一个动点，连结DE，作DF⊥DE交射线EA于F，连结MF，则MF的最大值为．9．如图，正方形ABCD的边长是4，F点是BC边的中点，点H是CD边上的一个动点，以CH为直径作⊙O，连接HF交⊙O于E点，连接DE，则线段DE的最小值为．10．如图，点D为边长是4的等边△ABC边AB左侧一动点，不与点A，B重合的动点D 在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，则四边形ADBC的面积S的最大值是．11．如图，在Rt△ABC中，已知∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，D是线段BC上的一点，以C为圆心，CD为半径的半圆交AC边于点E，交BC的延长线于点F，射线BE交于点G，则BE•EG的最大值为．三．解答题12．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论．（2）证明：P A+PB＝PC．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是劣弧上一点，AG，DC的延长线交于点F．（1）求证：∠FGC＝∠AGD．（2）若G是的中点，CE＝CF＝2，求GF的长．15．已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC、BD、CD的长；（2）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．16．如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．（1）求证：AM•MB＝CM•MD；（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．17．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠BAD是△ABC的一个外角，它的平分线交⊙O 于点E．不使用圆规，请你仅用一把不带刻度的直尺作出∠BAC的平分线．并说明理由．18．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B＝∠D；（2）若AB＝4，BC﹣AC＝2，求CE的长．19．已知⊙O的直径AB与弦CD垂直相交于点E．取上一点H，连CH，与AB相交于点F，连接BC．（1）如图1，连接AH，作AG⊥CH于G，求证：∠HAG＝∠BCE；（2）如图2，若H为的中点，且HD＝3，求HF的长．20．如图，在△ACE中，AC＝CE，⊙O经过点A，C且与边AE，CE分别交于点D，F，点B是上一点，且，连接AB，BC，CD．（1）求证：△CDE≌△ABC；（2）若AC为⊙O的直径，填空：①当∠E＝时，四边形OCFD为菱形；②当∠E＝时，四边形ABCD为正方形．21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．（1）求∠ADB的度数；（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由．22．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F，（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝12，AC＝16，求⊙O的半径和CE的长．23．如图，点A、B、C在⊙O上，用无刻度的直尺画图．（1）在图①中，画一个与∠B互补的圆周角；（2）在图②中，画一个与∠B互余的圆周角．24．如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，弦CD与AB相交于点N，∠ANC＝30°，ON：AN ＝2：3，OM⊥CD，垂足为M．（1）求OM的长；（2）求弦CD的长．25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．（1）若∠ADC＝86°，求∠CBE的度数；（2）若AC＝EC，求证：AD＝BE．参考答案一．选择题1．解：∵∠ABC＝70°，∴∠AOC＝2∠ABC＝140°，∵AO∥CD，∴∠AOC+∠OCD＝180°，∴∠COD＝40°．故选：A．2．解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．∵AQ＝QP，∴OQ⊥P A，∴∠AQO＝90°，∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大（也可以通过CQ≤QK+CK求解）在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC＝2，∴OH＝OC＝1，CH＝，在Rt△CKH中，CK＝＝，∴CQ的最大值为1+，故选：D．3．解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，故①符合题意；∵C是中点，∴AC＝BC，故②符合题意；∵AB2＝OB2+OA2＝22+42，∴AB＝2，∵△ACB是等腰直角三角形，∴AC＝BC＝AB＝，∴△ACB的面积为＝5，故③符合题意；作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠BCE+∠BCD＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠BCE＝∠ACD，∵AC＝BC，∴△ACD≈△BCE，∴CD＝CE，AD＝BE，∴OECD是正方形，设正方形的边长为a，∴OA﹣a＝OB+a，∴2a＝OA﹣OB＝4，∴a＝2，∴点C坐标为：（2，﹣2），故④符合题意，故选：A．4．解：过D点作BC的垂线，垂足为M，延长DM交于D′，连接CD、DE、BD′，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示：由等圆中圆周角相等所对的弧相等得：＝＝＝，∴AC＝CD＝DE，∴CM＝EM，∵E是BC的中点，∴CM＝BC，∵AB是半圆O的直径，∴AC⊥BC，∵DM⊥BC，∴DM∥AC，∴AD＝AB，设∠ABC＝α，则∠ACF＝α，∵AC＝CD，∴AD＝2AF，∴＝，∴AB＝2AC，BC＝＝AC，∴＝＝，∴BC：AB＝；故选：B．5．解：如图所示，当CH与PB的交点D落在⊙O上时，∵HP是直径，∴∠HDP＝90°，∴BP⊥HC，∴∠HDP＝∠BDH＝90°，又∵∠PHD+∠BHD＝90°，∠BHD+∠HBD＝90°，∴∠PHD＝∠HBD，∴HD2＝PD•BD，同理可证CD2＝PD•BD，∴HD＝CD，∴BD垂直平分CH，∴BH＝BC＝3，在Rt△ACB中，AB＝＝＝10，∴AH＝10﹣6＝4，∵∠A＝∠A，∠AHP＝∠ACB＝90°，∴＝，∴AP＝5，故选：C．6．解：如图，过点E作EM⊥BC于M，EN⊥AC于N，过点D作DH⊥BC于H，DG⊥CA 交CA的延长线于G．∴AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵CD平分∠ACD，∴＝，∴AD＝BD，∵EM⊥BC，EN⊥AC，DH⊥BC，DG⊥AC，∴EM＝EN，DH＝DH，∵•AC•BC＝•AC•EN+•BC•EM，∴EM＝EN＝，∵∠ECN＝∠CEN＝45°，∴CN＝EN＝，∴EC＝，∵∠AGD＝∠DHB＝90°，AD＝BD，DG＝DH，∴Rt△DGA≌Rt△DHB（HL），∴AG＝BH，同法可证，Rt△CGD≌Rt△CHB（HL），∴CG＝CH，∴AC+BC＝CG﹣AG+CH+BH＝2CG＝14，∴CG＝DG＝7，∴CD＝7，∴DE＝7﹣＝，∴＝＝．7．解：如图，连接AC，BD，OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝∠BDA＝90°．∵BF⊥EC，∴∠BFC＝90°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCF＝∠BAD，∵OD是⊙O的半径，AD＝CD，∴OD垂直平分AC，∴OD∥BC，∴＝，而AE＝AO，即OE＝2OB，BE＝3OB，BC＝6∴＝＝＝，＝2，∴OD＝4，CE＝DE，又∵∠EDA＝∠EBC，∠E公共角，∴DE•DE＝4×12，∴DE＝4，∴CD＝2，则AD＝2，∴＝，∴CF＝．故选：A．二．填空题8．解：如图，连接AC交BD于点O，以AD为边向上作等边△ADJ，连接JF，JA，JD，JM．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∵AD＝6，AC＝4，∴sin∠ACD＝＝，∴∠ACD＝60°，∴∠FED＝∠ACD＝60°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴∠EFD＝30°，∵△JAD是等边三角形，∴∠AJD＝60°，∴∠AFD＝∠AJD，∴点F的运动轨迹是以J为圆心JA为半径的圆，∴当点F在MJ的延长线上时，FM的值最大，此时FJ＝6，JM＝＝，∴FM的最大值为6+，故答案为：6+．9．解：连接CE，∵CH是⊙O的直径，∴∠CEH＝90°，∴∠CEF＝180°﹣90°＝90°，∴点E在以CF为直径的⊙M上，连接EM、DM，∵正方形ABCD的边长是4，F点是BC边的中点，∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°，CF＝BC＝2，∴FM＝MC＝EM＝1，在Rt△DMC中，DM＝＝＝，∵DE≥DM﹣EM，∴当且仅当D、E、M三点共线时，线段DE取得最小值，∴线段DE的最小值为﹣1，故答案为：﹣1．10．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝4，∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°，∵∠ADB＝120°，∴∠ADB+∠ACB＝180°，∴四边形ACBD是圆内接四边形，∴OA＝OB＝AB＝＝4，∴⊙O直径为8．如图，作四边形ACBD的外接圆⊙O，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，∴CD＝CH，∠DAC＝∠HBC，∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠DAC+∠DBC＝180°，∴∠DBC+∠HBC＝180°，∴点D，点B，点H三点共线，∵DC＝CH，∠CDH＝60°，∴△DCH是等边三角形，∵四边形ADBC的面积S＝S△ADC+S△BDC＝S△CDH＝CD2，∴当CD最大时，四边形ADBC的面积最大，∴当CD为⊙O的直径时，CD的值最大，即CD＝8，∴四边形ADBC的面积的最大值为CD2＝16，故答案为：16．11．解：如图，过点C作CH⊥EG于点H．∵CH⊥EG，∴EH＝GH，∵∠A＝∠CHE＝90°，∠AEB＝∠CEH，∴BE•EH＝AE•EC，∴BE•2EH＝2•AE•EC，∴EB•EG＝2AE•EC，设EC＝x，在Rt△ABC中，AC＝＝＝8，∴EB•EG＝2x•（8﹣x）＝﹣2（x﹣4）2+32，∵﹣2＜0，∴x＝4时，BE•EG的值最大，最大值为32，故答案为：32．三．解答题12．（1）解：△ABC是等边三角形，理由如下：由圆周角定理得，∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，∴△ABC是等边三角形；（2）证明：在PC上截取PH＝P A，∵∠APC＝60°，∴△APH为等边三角形，∴AP＝AH，∠AHP＝60°，在△APB和△AHC中，，∴△APB≌△AHC（AAS）∴PB＝HC，∴PC＝PH+HC＝P A+PB．13．（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝CE，∵AE＝EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC＝AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD＝x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∴AB2﹣AD2＝CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72＝42﹣x2，解得x＝1或﹣8（舍弃）∴AC＝8，BD＝＝，∴S菱形ABFC＝8．∴S半圆＝•π•42＝8π．14．（1）证明：如图1，连接AC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴＝，∴AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∵点A、D、C、G在⊙O上，∴∠FGC＝∠ADC，∵∠AGD＝∠ACD，∴∠FGC＝∠AGD；（2）解：如图，过点G作GH⊥DF于点H．∵∠DAG+∠DCG＝180°，∠DCG+∠FCG＝180°，∴∠DAC＝∠FCG，∵＝，∴AG＝CG，∵∠AGD＝∠FGC，∴△DAG≌△FCG（ASA），∴CF＝AD＝3，DG＝FG，∵GH⊥DF，∴DH＝FH，∵AB⊥CD，∴DE＝EC＝2，∴DF＝2+2+3＝7，∴DH＝HF＝3.5，∴AE＝＝＝，∴AF＝＝＝，∵GH∥AE，∴＝，∴＝，∴GF＝．15．解：（1）如图①，∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB＝∠BDC＝90°．∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，∴由勾股定理得到：AC＝＝＝8．∵AD平分∠CAB，∴＝，∴CD＝BD．在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，∴易求BD＝CD＝5；（2）如图②，连接OB，OD，∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，∴∠DAB＝∠CAB＝30°，∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．又∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD＝OB＝OD．∵⊙O的直径为10，则OB＝5，∴BD＝5．16．解：（1）∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，∴，即AM•MB＝CM•MD．（2）连接OM、OC．∵M为CD中点，∴OM⊥CD在Rt△OMC中，∵OC＝3，OM＝2∴CM＝DM＝，由（1）知AM•MB＝CM•MD．∴AM•MB＝•＝5．17．解：作直径EF交⊙O于F，连接AF，则AF是∠BAC的平分线．理由是：∵EF是⊙O的直径，∴∠EAF＝90°，即∠EAO+∠OAF＝90°，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠EAO，∴∠CAF＝∠OAF，∴AF是∠BAC的平分线．18．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，又∵DC＝CB，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D；（2）解：设BC＝x，则AC＝x﹣2，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，∴（x﹣2）2+x2＝42，解得：x1＝1+，x2＝1﹣（舍去），∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，∴∠D＝∠E，∴CD＝CE，∵CD＝CB，∴CE＝CB＝1+．19．（1）证明：如图1中，∵AB⊥CD，∴∠CEB＝90°，∵AG⊥CH，∴∠AGH＝90°，∵∠GAH+∠AHG＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∠ABC＝∠AHG，∴∠HAG＝∠BCE．（2）解：如图2中，连接AC，AD，DF．∵AB⊥CD，∴CE＝DE，∴AC＝AD，FC＝FD，∴∠FCD＝∠FDC，∠ACD＝∠ADC，∴∠ACF＝∠ADF，∵＝，∴∠ADF＝∠DCH＝∠ADH，∴∠ACF＝∠DCF＝∠FDC＝∠ADF，∵∠HFD＝∠FCD+∠FDC＝2∠FCD，∠HDF＝2∠FCD，∴∠HDF＝∠HFD，∴FH＝DH＝3．20．证明：（1）∵，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠CDE是圆内接四边形ABCD的外角，∴∠CDE＝∠ABC，在△CDE和△ABC中，，∴△CDE≌△ABC（AAS）；（2）如图，①连接AF，∵AC是直径，∴OA＝OC，∠ADC＝∠AFC＝90°，∵四边形OCFD是菱形，∴DF∥AC，OD∥CE，∵OA＝OC，∴AD＝DE（经过三角形一边的中点平行于一边的直线必平分第三边），∵DF∥AC，∴CF＝EF（经过三角形一边的中点平行于一边的直线必平分第三边），∵∠AFC＝90°，∴AC＝AE（垂直平分线上的点到两端点的距离相等），∵AC＝CE，∴AC＝AE＝CE，∴△ACE是等边三角形，∴∠E＝60°；故答案为：60°；②∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ACD＝45°，∵AC＝CE，CD⊥AE，∴∠DCE＝∠ACD＝45°，∴∠ACE＝90°，∵AC＝CE，∴△ACE是等腰直角三角形．∴∠E＝45°．故答案为：45°．21．解：（1）如图1，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，∴EA2+CF2＝EF2；22．解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠2＝90°﹣∠ABC＝∠A，又∵C是弧BD的中点，∴∠1＝∠A，∴∠1＝∠2，∴CF＝BF；（2）∵C是弧BD的中点，∴＝，∴BC＝CD＝12，又∵在Rt△ABC中，AC＝16，∴由勾股定理可得：AB＝20，∴⊙O的半径为10，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，∴CE＝＝9.6．23．解：（1）如图1，∠P即为所求：（2）如图2，∠CBQ即为所求．24．解：∵AB＝10，∴OA＝5，∵ON：AN＝2：3，∴ON＝2，∵∠ANC＝30°，∴∠ONM＝30°，∴OM＝ON＝1；（2）如图，连接OC，由勾股定理得：CM2＝CO2﹣OM2＝25﹣1＝24，∴CM＝2，∴CD＝2CM＝4．25．（1）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，又∵∠ADC＝86°，∴∠ABC＝94°，∴∠CBE＝180°﹣94°＝86°；（2）证明：∵AC＝EC，∴∠E＝∠CAE，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠E，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，又∵∠CBE+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠CBE，在△ADC和△EBC中，，∴△ADC≌△EBC，∴AD＝BE．。

2022年青岛版九上《圆周角》同步练习(答案版)

圆心角和圆周角◆随堂检测1．如图，图中圆周角的个数是( )A ．9B ．12C ．8D ． 142．如图，圆∠BOC=100 o ，那么圆周角∠BAC 为( )A ．100 oB ．130 oC ．50 oD ．80o3．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在QO 上，∠B=50 o ，那么∠A 等于( )A ．80 oB ．60 oC ．50 oD ．40 o4．如图，点A 、B 、C 都在⊙O 上，连结AB 、BC 、AC 、OA 、OB ，且∠BAO=25o ，那么∠ACB 的大小为___________．5．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 的长为a ，以腰AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ．那么BD 的长为___________．◆典例分析如图，在⊙O 中，直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC ，AD 和BD 的长．分析：所要求的三线段BC ，AD 和BD 的长，能否把这三条线段转化为是直角三角形的直角边问题，由于AB 为⊙O 的直径，可以得到△ABC 和△ADB 都是直角三角形，又因为CD 平分∠ACB ，所以可得 = ，可以得到弦AD=DB ，这时由勾股定理可得到三条线段BC 、AD 、DB 的长．解：∵AB 为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．在Rt △ABC 中，∵CD 平分∠ACB ，∴ = ．在等腰直角三角形ADB 中，点评：利用“直径所对的圆周角是直角〞构造直角三角形解题．第1题第2题第3题第4题第5题◆课下作业●拓展提高1．如图．⊙O 中OA ⊥BC ，∠CDA=25o ，那么∠AOB 的度数为_______．2．如图．AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BAC=50 o ．那么∠ADC=_______．3．如图，AB 是半圆O 的直径，∠BAC=30 o ，D 是AC 上任意一点，那么∠D 的度数是 ( )A ．150 oB ．120 oC ．100 oD ．90 o4．如图,∆ABC 内接于⊙O ，AD 是⊙O 的直径，∠ABC=30o ，那么∠CAD 等于( )A ．30 oB ．40 oC ．50 oD ． 60o5．如图，∠APC=∠CPB=60 o ，请推测△ABC 是什么三角形，并证明猜测的正确性．6．如图，AD 是∆ABC 的高，AE 是∆ABC 的外接圆的直径．试说明AB ·AC=AE ·AD ．7．如图，点A 、B 、C 为圆O 上的三个点，∠AOB=13∠BOC, ∠BAC=45 o ，求∠ACB 的度数．8．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，连结AC ，过点C 作直线CD ⊥AB ，垂足为点D(AD<DB)，点E 第1题第2题第3题是DB 上任意一点(点D 、B 除外)，直线CE 交⊙O 于点F ，连结AF ，与直线CD 交于点G ．(1)试说明AC 2=AG ·AF ；(2)假设点E 是AD(点A 、D 除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立?假设成立．请画出图形，并给予证明；假设不成立，请说明理由．●体验中考1．(温州)如图，∠AOB 是⊙0的圆心角，∠AOB=80°，那么弧AB 所对圆周角∠ACB 的度数是( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．80°2．(凉山州)如图，O ⊙是ABC △的外接圆，50ABO ∠=°，那么ACB ∠的大小为( )A ．40°B ．30°C ．45°D ．50°3．(山西省)如下图，A 、B 、C 、D 是圆上的点，17040A ∠=∠=°，°，那么D ∠= 度．4． (宁夏)：如图，AB 为O ⊙的直径，AB AC BC =，交O ⊙于点D ，AC 交O ⊙于点45E BAC ∠=，°．(1)求EBC ∠的度数；(2)求证：BD CD =．参考答案◆随堂检测1．B 提示：利用弧来找圆周角2．C 提示01502BAC BOC ∠=∠= 3．D 提示：000AB C 90B 5040A ∴∠=∠=∴∠=直径，，又，4．650 提示：000BAO OBA 251AOB 130C AOB 652OA OB =∴∠=∠=∴∠=∴∠=∠=，，， 5．011a AD AB ADB=90AD BC BD a 22∴∠∴⊥（提示：连接，直径，，，由“三线合一”得：=） ◆课下作业●拓展提高1． 500 提示：0,AC=AB,AOB=2ADC=50AO BC ⊥∴∠∠由垂径定理知： 2． 400 提示：连接BC ，000AB ACB=90,50,40,BAC ADC ∴∠∠=∴∠=直径，又 3． B 提示：连接BC ，00000AB ACB 90BAC 30ABC 60D ABC 180D=120∴∠=∠=∴∠=∠+∠=∴∠直径，，又，由圆的内接四边形性质可知：，4．D 5．ABC 解：是正三角形，00ABC APC 60BAC=60,ABC ∴∠=∠=∠∴同弧所对的圆周角相等，，同理是正三角形6．BE 证明：连接， 00AB AB C E AE ABE 90AD BC ADC 90ABE ADCABE ADC AD =AB AC AEAB AC AD AE∴∠=∠∴∠=⊥∴∠=∴∠=∠∴∴∴•=•=，，是直径，，，，，7．解：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半000BOC 2BAC 901AOB BOC 3031ACB AOB 152∴∠=∠=∠=∠=∴∠=∠=，8．(1)证明：BC 连接，()0002AB ACB B+CAB 90CD AB ACD CAB 90B ACD AC B F F ACD CAG AC AG CAG FAC AC AF AG AF AC2∴∠∴∠∠=⊥∴∠+∠=∴∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∠∴∴=∴=•直径，=90，，，，，，，又是公共角，，，仍然成立●体验中考1．A 提示：1B AOB 2AC ∠=∠ 2．A3．300 提示：00B 1A 30D B 30∠=∠-∠=∴∠=∠=，4．000000ABC AB=AC ABC C A ABC 67.5AB AEB 90ABE 45EBC 22.5AD AB ,AD DB BD=DC∴∠∠∠∴∠=∠=∴∠=∴∠=∴∠∴⊥∴解：（1）在等腰三角形中，，=，=45，直径，，，（2）连接，直径，ADB=90，第2课时等腰三角形的判定一、填空题1．如图〔1〕，△ABC 中，AB=AC ，DE 是AB 的中垂线，△BCE 的周长为14，BC=6，那么AB 的长为。

人教版九年级上册数学 24.1.4 圆周角同步练习(含答案)

人教版九年级上册数学24.1.4 圆周角同步练习一．填空题1．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝54°，则∠BAC＝°．2．如图，⊙O中，∠AOB＝80°，点C、D是上任两点，则∠C+∠D的度数是°．3．如图，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD＝25°，则∠AOD＝．4．如图，点A，D，B为⊙O上的三点，∠AOB＝120°，且过A的直线交BD延长线于点C，连接AD，且AD ＝CD，则∠C的度数为．5．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，AD为直径，∠C＝130°，则∠ADB的度数为．6．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，若∠AOB＝100°，则∠ABD＝．7．如图，已知⊙O的半径为6，C、D在直径AB的同侧半圆上，∠AOC＝96°，∠BOD＝36°，动点P在直径AB上，则CP+PD的最小值是．8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，（1）若CD＝16，BE＝4，则⊙O的半径为；（2）点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB，若∠M＝∠D，则∠D的度数为．9．如图，△ABC中，∠A＝60°，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC边于E、D，连接BD、CE交于点F．以下四个结论：①ED＝BC；②∠ACE＝30°；③BD平分∠ABC；④若连接AF，则AF⊥BC．其中正确的结论是（把你认为正确结论的序号都填上）10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE＝CD＝8，∠BOC＝2∠BAD，则⊙O的直径为．二．解答题11．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC并延长至点D，使DC＝CB．连接DA并延长，交⊙O 于另一点E，连接AC，CE．（1）求证：∠E＝∠D（2）若AB＝4，BC﹣AC＝2，求CE的长．12．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝62°，∠APD＝86°．（1）求∠B的大小；（2）已知AD＝6，求圆心O到BD的距离．13．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠BAC＝20°，∠DAC＝35°．求证：AD＝CD．14．如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，）为圆心，以长为半径作⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，连接AM并延长交⊙M于P点，连接PC交x轴于E．（1）求点C、P的坐标；（2）求证：BE＝2OE．15．如图，在△ABC中，∠A＝68°，以AB为直径的⊙O与AC、BC分别相交于点D、E，连接DE．（1）求∠CED的度数．（2）若DE＝BE，求∠C的度数．16．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠BAD是△ABC的一个外角，它的平分线交⊙O于点E．不使用圆规，请你仅用一把不带刻度的直尺作出∠BAC的平分线．并说明理由．参考答案一．填空题1．36．2．80．3．130°．4．30°．5．40°．6． 25°．7．6．8．30°．9．①②④．10． 10．二．解答题11．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC，∵DC＝CB，∴AD＝AB．∴∠B＝∠D，∵∠E＝∠B，∴∠E＝∠D；（2）解：∵∠E＝∠D，∴DC＝CE，∵DC＝CB，∴CB＝CE，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即（BC﹣2）2+BC2＝42解得，BC1＝1+，BC1＝1﹣（舍去），∴CE＝1+，即CE的长为1+．12．（1）∵∠APD＝∠CAB+∠C，∴∠C＝∠APD﹣∠CAB＝86°﹣62°＝24°，∴∠B＝∠C＝24°；（2）作OE⊥BD于E，如图所示：则DE＝BE，∵OA＝OB，∴OE是△ABD的中位线，∴OE＝AD＝×6＝3，即圆心O到BD的距离为3．13．证明：∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣20°＝70°，∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣70°＝110°，在△ABC中，∵∠DAC＝35°，∴∠DCA＝180°﹣∠DAC﹣∠D＝180°﹣35°﹣110°＝35°，∴∠DCA＝∠DAC，∵AD＝CD．14．（1）解：连接PB，∵PA是圆M的直径，∴∠PBA＝90°∴AO＝OB＝3又∵MO⊥AB，∴PB∥MO．∴PB＝2OM＝∴P点坐标为（3，）（2分）在直角三角形ABP中，AB＝6，PB＝2，根据勾股定理得：AP＝4，所以圆的半径MC＝2，又OM＝，所以OC＝MC﹣OM＝，则C（0，）（1分）（2）证明：连接AC．∵AM＝MC＝2，AO＝3，OC＝，∴AM＝MC＝AC＝2，∴△AMC为等边三角形（2分）又∵AP为圆M的直径得∠ACP＝90°得∠OCE＝30°（1分）∴OE＝1，BE＝2∴BE＝2OE．（2分）15．（1）∵四边形ABED 圆内接四边形，∴∠A+∠DEB＝180°，∵∠CED+∠DEB＝180°，∴∠CED＝∠A，∵∠A＝68°，∴∠CED＝68°；（2）连接AE．∵DE＝BE，∴＝，∴∠DAE＝∠EAB＝∠CAB＝34°，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AEC＝90°，∴∠C＝90°﹣∠DAE＝90°﹣34°＝56°．16．作直径EF交⊙O于F，连接AF，则AF是∠BAC的平分线．理由是：∵EF是⊙O的直径，∴∠EAF＝90°，即∠EAO+∠OAF＝90°，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠EAO，∴∠CAF＝∠OAF，∴AF是∠BAC的平分线．。

人教版九年级数学上册《24.1.4圆周角》同步测试题附答案

人教版九年级数学上册《24.1.4圆周角》同步测试题附答案一、单选题1．如图，点A，B，C在⊙O上∠BAC=52°，连结OB，OC，则∠BOC的度数为（）A．26°B．70°C．104°D．128°2．用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，在下面四种情形中，可判断工件是半圆环形的（）A．B．C．D．3．如图，⊙O的直径AB为10，弦AC＝6，⊙ACB的平分线交⊙O于D点，交AB于E点，则DE的长为（）A．7√2B．247√2C．257√2D．2454．如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=40°，∠APD=77°，则∠B的大小是（）．A．33°B．37°C．43°D．47°5．如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB=√3，则弦AB所对圆周角的度数为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°6．如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，且⊙BOD＝110°，则⊙BCD为（）A．110°B．115°C．120°D．125°7．如图，在半圆O中，若⊙ABC＝70°，则⊙ADC的度数为（）A．70°B．140°C．110°D．130°8．如图，⊙O中OC⊥AB，∠BOC=50°，则∠ADC的度数是（）A．20°B．24°C．25°D．30°9．如图，△ABC是等边三角形AB=2，点P是△ABC内一点，且∠BAP−∠CBP=30°，连接CP，则CP的最小值为（）A．12B．√32C．2−√3D．√3−1二、填空题10．如图，点A、B、C、D、E均在⊙O上，连接AB、BC、CD、AE，且∠A+∠C=155°，则弧DE所对圆心角的度数为．11．如图，△ABC内接于⊙O，连接OB，已知∠OBA=20°，则∠ACB=．12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在AD的延长线上∠ABC=135°，AC=4．（1）∠CDE的度数为；（2）⊙O的半径为．13．如图，点C、D在以AB为直径的半圆上∠BCD=120°，若AB=2，则弦BD的长为 .14．如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接EC ．若AB =8，OC =3则EC 的长为．15．如图，△ABC 内接于⊙O ．若⊙O 的半径为3，∠C =45°则弦AB 的长为．16．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是BE ⏜上的三等分点∠AOE =60°，则∠COE 的度数是．17．如图，四边形ABCD 的对角线AC 是⊙O 的直径AB =AD ，∠AOD =110°，则∠BCD = °．三、解答题18．如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点E，且AB=CD．求证：DE=BE．19．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦∠ACD=36°，求∠BOD的度数．20．如图所示，BC是⊙O的直径AD⊥BC，垂足为D，AB=AF，BF和AD相交于E，求证：BE=AE．21．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，⊙APB=⊙CPB=60°．(1)判断⊙ABC的形状，并证明你的结论．(2)证明：P A+PC=PB．22．（1）【问题情境】A是⊙O外一点，P是⊙O上一动点．若⊙O的半径为2，且OA=5，则点P到点A的最短距离为．（2）【直接运用】如图1，在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是．（3）【构造运用】如图2，已知正方形ABCD的边长为6，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿边BC，CD向终点C，D运动，连接AM和BN交于点P，求点P到点C的距离最小值．（4）【灵活运用】如图3，⊙O的半径为4，弦AB=4，C为优弧AB上一动点，AM⊥AC交直线CB于点M，则△ABM面积的最大值是．参考答案：1．C2．B3．C4．B5．D6．D7．C8．C9．D10．50°11．70°12．135°2√213．√3．14．2√1315．3√216．80°17．11018．证明：⊙AB=CD⌢=CD⌢⊙AB⌢−BD⌢=CD⌢−BD⌢⊙AB⌢=CB⌢⊙AD⊙AD=BC又⊙∠A=∠C，∠D=∠B⊙△ADE≌△CBE⊙DE=BE．19．⊙AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=36°⊙∠AOD=2∠ACD=72°⊙∠BOD=180°−∠AOD=108°．20．证明：延长AD交⊙O于H，如图∵AB=AF∴AB⌢=AF⌢∵AD⊥BC∴AB⌢=BH⌢∴BH⌢=AF⌢∴∠BAH=∠ABF ∴AE=BE．21．（1）解：△ABC是等边三角形，理由如下：由圆周角定理得，⊙BCA=⊙APB=60°，⊙BAC=⊙CPB=60°⊙⊙ABC=60°⊙⊙ABC=⊙ACB=⊙BAC=60°⊙⊙ABC是等边三角形；（2）证明：在PB上截取PH=P A⊙⊙APB=60°⊙⊙APH为等边三角形⊙AP=AH，⊙P AH=60°⊙⊙BAH+⊙CAH=⊙P AC+⊙CAH即⊙BAH=⊙P AC在△AHB和△APC中{AB=AC∠BAH=∠PACAH=AP⊙⊙AHB⊙⊙APC（AAS）,⊙BH=PC⊙PB=PH+BH=P A+PC．22．解：（1）当点P是OA与⊙O的交点时，PA为最短AP=AO−OP=5−2=3（2）如图，连接AO，当A、P、O在同一直线上时，点P到点A的最短∵AC=BC=2∴r=12BC=1∴AO=√22+12=√5∴AP的最小值为AO−r=√5−1故答案为：√5−1；（3）∵AB=BC,∠ABM=∠BCN∴△ABM≌△BCN∴∠BAM=∠CBN∴∠CBN+∠ABP=90°∴∠BAM+∠ABP=90°∴AM⊥BN故点P点在以AB为直径的圆上运动，连接OC，与⊙O的交点，此交点P即为PC最小时的位置；∵AB=6∴OC=√32+62=3√5∴PC的最小值为3√5−3；（4）连接OA,OB∵OA=OB=4=AB∴△AOB是等边三角形∴∠AOB=60°∴∠ACB=1∠AOB=30°2∵AM⊥AC∴∠M=60°∵AB=4，要使△ABM面积最大，则点M到AB的距离最大如图，∵∠M=60°∴点M在以∠ADB=120°的⊙D上当AM=BM时，点M到AB的距离最大∴△ABM是等边三角形∴△ABM的最大面积为12AB×√32AB=√34AB2=√34×16=4√3．第11页共11页。

人教版数学九年级上册：24.1.4 圆周角同步练习(附答案)

24．1.4 圆周角第1课时圆周角定理及其推论1．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，若∠BOC＝50°，则∠A的度数是() A．25° B．20°C．80° D．100°2．如图，已知圆心角∠AOB＝110°，则圆周角∠ACB＝()A．55° B．110°C．120° D．125°3．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A＝66°，则∠OCB的度数是() A．24° B．28°C．33° D．48°4．如图是一个圆形人工湖的平面图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100 m，测得圆周角∠ACB＝30°，则这个人工湖的直径为 m.5．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝35°，则∠B的度数是() A．35° B．45° C．55° D．65°6．如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝60°，则∠BDC 的度数是( )A ．60°B ．45°C ．35°D ．30°7．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠BAC ＝50°，则∠AEC 的度数为( )A ．65°B ．75°C ．50°D ．55°8．如图，已知AB 是⊙O 的直径，∠D ＝40°，则∠CAB 的度数为 .9．已知⊙O 的弦AB 的长等于⊙O 的半径，则此弦AB 所对的圆周角的度数为． 10．如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD ，垂足为E ，连接CO ，AD ，∠BAD ＝20°，则下列说法中正确的是( )A ．AD ＝2OB B ．CE ＝EOC ．∠OCE ＝40°D ．∠BOC ＝2∠BAD11．如图，AB ︵是半圆，连接AB ，点O 为AB 的中点，点C ，D 在AB ︵上，连接AD ，CO ，BC ，BD ，OD.若∠COD ＝62°，且AD ∥OC ，则∠ABD 的大小是( )A ．26°B ．28°C ．30°D ．32°12．如图，A ，B ，C ，D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．55°13．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，∠BOD ＝130°，AC ∥OD 交⊙O 于点C ，连接BC ，则∠B ＝度．14．如图，⊙C 经过原点，并与两坐标轴分别交于A ，D 两点，已知∠OBA ＝30°，点A 的坐标为(2，0)，则点D 的坐标为．15．如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，AP ⊥BC 于点P ，AM 为⊙O 的直径．若∠BAM ＝15°，则∠CAP ＝ .16．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，以AB 为直径的⊙O 分别交BC ，AC 于点D ，E ，且点D 为边BC 的中点． (1)求证：△ABC 为等边三角形； (2)求DE 的长．17．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8 cm ，AC ︵＝CD ︵＝BD ︵，M 是AB 上一动点，CM ＋DM 的最小值为 .第2课时圆内接四边形1．如图，图中∠A＋∠C＝()A．90° B．180°C．270° D．360°2．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是()A．115° B．105° C．100° D．95°3．圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是()A．1∶2∶3∶4 B．1∶3∶2∶4C．4∶2∶3∶1 D．4∶2∶1∶34．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是．5．如图，AB 是半圆O 的直径，∠BAC ＝30°，D 是AC ︵的中点，则∠DAC 的度数是度．6．圆内接四边形相邻三个内角度数的比为2∶1∶7，求这个四边形各内角的度数．7．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠B ＝50°，∠ACD ＝25°，∠BAD ＝65°.求证： (1)AD ＝CD ；(2)AB 是⊙O 的直径．8．如图，在⊙O 中，点A ，B ，C 在⊙O 上，且∠ACB ＝110°，则∠α＝．9．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，DA ＝DC ，∠CBE ＝50°，则∠DAC 的大小为( )A ．130°B ．100°C ．65°D ．50°10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，∠DAB ＝48°，则∠AOC 的度数是( )A ．48°B ．96°C ．114°D ．132°11．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC.若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为．12．如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐标为(0，4)，M 是圆上一点，∠BMO ＝120°.求⊙C 的半径．13．如图，AB 是⊙O 的直径，D ，E 为⊙O 上位于AB 异侧的两点，连接BD 并延长至点C ，使得CD ＝BD.连接AC 交⊙O 于点F ，连接AE ，DE ，DF. (1)求证：∠E ＝∠C ；(2)若∠E ＝55°，求∠BDF 的度数．14．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F.(1)若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；(2)若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β.请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小．参考答案：24．1.4 圆周角第1课时圆周角定理及其推论1．A2．D3．A4．200 .5．C6．D7．A8．50°.9．30°或150°．10．D11．B12．D13．40．1415．15°.16．解：(1)证明：连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵点D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线．∴AB＝AC.又∵AB＝BC，∴AB＝AC＝BC.∴△ABC为等边三角形．(2)连接BE.∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.∴BE⊥AC. ∵△ABC是等边三角形，∴AE＝EC，即E为AC的中点．又∵D 是BC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线． ∴DE ＝12AB ＝12×2＝1.17．8__cm .第2课时圆内接四边形1．B 2．B 3．D 4．AB ∥CD ． 5．30．6．解：根据圆内接四边形的对角互补可知，其对角和相等，所以四个内角的度数的比为2∶1∶7∶8.设这四个内角的度数分别为2x °，x °，7x °，8x °，则 2x ＋x ＋7x ＋8x ＝360.解得x ＝20. 2x ＝40，7x ＝140，8x ＝160.答：这个四边形各内角的度数分别为40°，20°，140°，160°. 7．证明：(1)∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠ADC ＝180°－∠B ＝130°. ∵∠ACD ＝25°，∴∠DAC ＝180°－∠ACD －∠D ＝180°－25°－130°＝25°.∴∠DAC＝∠ACD.∴AD＝CD.(2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°. ∴AB是⊙O的直径．8．140°．9．C10．B11．50°．12．解：∵四边形ABMO内接于⊙C，∴∠BAO＋∠BMO＝180°.∵∠BMO＝120°，∴∠BAO＝60°.在Rt△ABO中，AO＝4，∠BAO＝60°，∴AB＝8.∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙C的直径．∴⊙C的半径为4.13．解：(1)证明：连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC.∴AB＝AC.∴∠B＝∠C.又∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C.(2)∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD＝180°－∠E.又∵∠CFD＝180°－∠AFD，∴∠CFD＝∠E＝55°.∵∠E＝∠C＝55°，∴∠BDF＝∠C ＋∠CFD＝110°.14．解：(1)证明：∵∠DCE＝∠BCF，∠E＝∠F，又∵∠ADC ＝∠E ＋∠DCE ，∠ABC ＝∠F ＋∠BCF ， ∴∠ADC ＝∠ABC.(2)由(1)知∠ADC ＝∠ABC ，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠ADC ＋∠ABC ＝180°.∴∠ADC ＝90°.在Rt △ADF 中，∠A ＝90°－∠F ＝90°－42°＝48°.(3)连接EF.∵四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∴∠BCD ＋∠A ＝180°.又∵∠BCD ＋∠ECD ＝180°，∴∠ECD ＝∠A.∵∠ECD ＝∠CEF ＋∠CFE ，∴∠A ＝∠CEF ＋∠CFE.∵∠A ＋∠CEF ＋∠CFE ＋∠DEC ＋∠BFC ＝180°， ∴2∠A ＋α＋β＝180°.∴∠A ＝90°－α＋β2.。

《27.1.3圆周角》同步练习(含答案解析)

27.1.3 圆周角知识点 1 圆周角的概念1．下列图形中的角是圆周角的是( )图27－1－432．如图27－1－44，在图中标出的4个角中，圆周角有________个．图27－1－44知识点 2 圆周角定理 3．2020·聊城如图27－1－45，⊙O 中，弦BC 与半径OA 相交于点D ，连结AB ，OC .若∠A ＝60°，∠ADC ＝85°，则∠C 的度数是( )图27－1－45A ．25°B ．27.5°C ．30°D ．35°4．2020·绍兴如图27－1－46，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝60°，则∠BDC 的度数是( )图27－1－46A ．60°B ．45°C ．35°D ．30° 5．如图27－1－47，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠A ＝35°，则∠B 的度数为( )图27－1－47A ．25°B ．45°C ．55°D ．65° 6．2020·衡阳如图27－1－48，点A ，B ，C 都在⊙O 上，且点C 在弦AB 所对的优弧上，如果∠AOB＝64°，那么∠ACB的度数是()A．26°B．30°C．32°D．64°7．如图27－1－49，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，则∠P的度数为()图27－1－49A．140°B．70°C．60°D．40°8．2020·咸宁如图27－1－50，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为()图27－1－50A．6 B．8 C．5 2 D．5 39．如图27－1－51，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连结CD，AD.求证：DB平分∠ADC.图27－1－5110．如图27－1－52，△ABC的三个顶点都在⊙O上，直径AD＝6 cm，∠DAC＝2∠B，求AC的长．图27－1－52知识点 3 圆周角定理的推论 11．2020·邵阳如图27－1－53所示，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠BCD ＝120°，则∠BOD 的大小是( )图27－1－53A ．80°B ．120°C ．100°D ．90°12．从下列三角尺与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是( )图27－1－5413．如图27－1－55，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A 上，BD 是⊙A 的一条弦，则cos ∠OBD 等于( )图27－1－55A .12B .34C .45D .3514.如图27－1－56，已知经过原点的⊙P 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，C 是劣弧OB ︵上一点，则∠ACB 等于( )图27－1－56A ．80°B ．90°C ．100°D ．无法确定 15．2020·杭州如图27－1－57，已知AC 是⊙O 的直径，点B 在圆周上(不与点A ，C 重合)，点D 在AC 的延长线上，连结BD 交⊙O 于点E ，若∠AOB ＝3∠ADB ，则( )图27－1－57A ．DE ＝EB B .2DE ＝EBC .3DE ＝DOD ．DE ＝OB16．如图27－1－58，已知等腰直角三角形ABC 的三个顶点都在⊙O 上，点D 是AC ︵上一点，BD 交AC 于点E ，若BC ＝4，AD ＝45，则AE 的长是( )图27－1－58A ．3B ．2C ．1D ．1.217．如图27－1－59，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点．若∠BCD ＝28°，则∠ABD ＝________°.图27－1－5918．如图27－1－60，海边立有两座灯塔A ，B ，暗礁分布在经过A ，B 两点的弓形(弓形的弧是⊙O 的一部分)区域内，∠AOB ＝80°.为了避免触礁，轮船P 与A ，B 两点的张角∠APB 的最大值为________．图27－1－6019．如图27－1－61，AB 是⊙O 的直径，AC ，BC 是⊙O 的弦，直径DE ⊥AC 于点P.若点D 在优弧ABC ︵上，AB ＝8，BC ＝3，则DP ＝________.图27－1－6120．如图27－1－62，已知AB是半径为1的⊙O的直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于点E，交AB于点F，且△AEF为等边三角形.(1)求证：△DFB是等腰三角形；(2)若DA＝7AF，求证：CF⊥AB.图27－1－6221．如图27－1－63，AB是⊙O的直径，弦BC＝4 cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.若动点E以2 cm/s的速度从点A出发沿着A→B→A的方向运动，设运动时间为t s(0≤t＜6)，连结EF，当△BEF是直角三角形时，t的值为________．图27－1－63详解详析1．B [解析] 顶点在圆上，两边与圆相交的角叫圆周角．满足条件的是选项B . 2．23．D [解析] ∵∠A ＝60°，∠ADC ＝85°，∴∠B ＝85°－60°＝25°，∠CDO ＝95°，∴∠AOC ＝2∠B ＝50°，∴∠C ＝180°－95°－50°＝35°.故选D .4．D5．C [解析] ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C ＝90°. ∵∠A ＝35°，∴∠B ＝55°.故选C .6．C [解析] 根据圆周角定理，同一条弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，可知∠ACB ＝12∠AOB ＝32°.故选C .7．B [解析] ∵CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，∠DCE ＝40°，∴∠DOE ＝180°－40°＝140°， ∴∠P ＝12∠DOE ＝70°.8．B [解析] 如图，延长AO 交⊙O 于点E ，连结BE ，则∠AOB ＋∠BOE ＝180°. 又∵∠AOB ＋∠COD ＝180°，∴∠BOE ＝∠COD ，∴BE ＝CD ＝6.∵AE 为⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°，∴AB ＝AE 2－BE 2＝102－62＝8. 故选B .9．证明：∵AB ＝BC ，∴AB ︵＝BC ︵， ∴∠BDC ＝∠ADB ， ∴DB 平分∠ADC.10．[解析] 连结OC ，先判定△AOC 是等边三角形，进而得到AC ＝AO ＝12AD ＝3 cm .解：如图，连接OC ，∵∠AOC ＝2∠B ，∠DAC ＝2∠B ， ∴∠AOC ＝∠DAC ， ∴OC ＝AC. 又∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形， ∴AC ＝AO ＝12AD ＝3 cm .11．B [解析] ∵四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形， ∴∠A ＝180°－∠BCD ＝60°.由圆周角定理，得∠BOD ＝2∠A ＝120°. 故选B . 12．B13．C [解析] 连结CD ，如图所示，∵D(0，3)，C(4，0)，∴OD ＝3，OC ＝4.∵∠COD ＝90°， ∴CD ＝32＋42＝5. ∵∠OBD ＝∠OCD ， ∴cos ∠OBD ＝cos ∠OCD ＝OC CD ＝45.故选C . 14．B [解析] ∵∠AOB 与∠ACB 是AB ︵所对的圆周角，∴∠AOB ＝∠ACB.∵∠AOB ＝90°，∴∠ACB ＝90°.故选B .15．D [解析] 如图，连结EO.∵OB ＝OE ， ∴∠B ＝∠OEB.∵∠OEB ＝∠D ＋∠DOE ， ∠AOB ＝3∠D ，∴∠B ＋∠D ＝∠D ＋∠DOE ＋∠D ＝3∠D ， ∴∠DOE ＝∠D ，∴DE ＝OE ＝OB.故选D . 16．C17．62 [解析] ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°. ∵∠BCD ＝28°，∴∠ACD ＝62°.由圆周角定理得∠ABD ＝∠ACD ＝62°.18．40° [解析] 如图，当点P 在⊙O 上的点P′时，∠AP′B 的度数最大，∠AP′B ＝12∠AOB ＝40°.19．5.5 [解析] ∵AB 和DE 是⊙O 的直径， ∴OA ＝OB ＝OD ＝4，∠C ＝90°. 又∵DE ⊥AC ，∴AP ＝CP ， ∴OP 是△ABC 的中位线，∴OP ＝1.5，∴DP ＝OD ＋OP ＝5.5. 20．证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.∵△AEF 为等边三角形， ∴∠CAB ＝∠EFA ＝60°，∴∠B ＝30°. ∵∠EFA ＝∠B ＋∠FDB ， ∴∠FDB ＝30°＝∠B ， ∴△DFB 是等腰三角形．(2)如图，过点A 作AM ⊥DF 于点M ，设AF ＝2a.∵△AEF 是等边三角形， ∴FM ＝EM ＝a ，AM ＝3a. 在Rt △DAM 中，DA ＝7AF ＝2 7a ， AM ＝3a ，∴DM ＝5a ，∴DF ＝BF ＝6a ，∴AB ＝AF ＋BF ＝8a. 在Rt △ABC 中，∠B ＝30°，∠ACB ＝90°， ∴AC ＝4a.∵AE ＝EF ＝AF ＝2a ，∴CE ＝AC －AE ＝2a ＝EF ， ∴∠ECF ＝∠EFC.∵∠AEF ＝∠ECF ＋∠EFC ＝60°， ∴∠EFC ＝30°，∴∠AFC ＝∠EFA ＋∠EFC ＝60°＋30°＝90°，即CF ⊥AB.21．2，72，92 [解析] ∵0≤t ＜6，动点E 以2 cm /s 的速度从点A 出发沿着A →B →A 的方向运动，∴当t ＝6时，点E 运动的路程是2×6＝12(cm )，即点E 运动的路程小于12 cm ，设点E 运动的路程是s cm ，则0≤s ＜12.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C ＝90°. ∵F 为BC 的中点，BC ＝4 cm ， ∴BF ＝CF ＝2 cm . ∵∠C ＝90°，∠B ＝60°， ∴∠A ＝30°，∴AB ＝2BC ＝8 cm . 分为以下三种情况： (1)当∠EFB ＝90°时，如图①. ∵∠C ＝90°，∴∠EFB ＝∠C ，∴AC ∥EF.∵FC ＝BF ，∴AE ＝BE ，即点E 和点O 重合，AE ＝4 cm ，∴t ＝4÷2＝2；(2)当∠FEB ＝90°时，如图②. ∵∠ABC ＝60°，∴∠BFE ＝30°， ∴BE ＝12BF ＝1 cm ，∴AE ＝8－1＝7(cm )，∴t ＝7÷2＝72；(3)当点E 到达点B 后再返回到点O 的过程中，∠FEB ＝90°，如图③.此时点E 运动的路程是8＋1＝9(cm )， ∴t ＝9÷2＝92.综上所述，当△BEF 是直角三角形时，t 的值为2，72，92.。

苏科版数学九年级上2.4圆周角(1)同步练习含答案

2.4 圆周角（1）【基础提优】1．如图，已知点A ，B ，C 都在⊙O 上，如果∠AOB +∠ACB=84°，那么∠ACB 的度数是（）A ．30°B ．25°C ．28°D ．40°第1题第3题2．已知△ABC 内接于⊙O ，OD ⊥BC 于点D ，∠A=50°，则∠OCD 的度数是（）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°3．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，且AE=CD=8，∠BAC=12∠BOD ，则⊙O 的半径为（）A ．B ．5C ．4D ．34．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，∠ABC=25°，则∠AOC 的度数是．第4题第5题5．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠C=20°，∠B=30°，则∠BOC= ．6．如图，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 分别交⊙O 于C ，D 两点，已知AB ⌒和CD ⌒所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P= ．第6题第7题7．如图，已知点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，OB ⊥AC ，如果∠BOC=56°，那么∠ADB= ．8．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC=60°，若⊙O 的半径为2，求弦BC 的长．【拓展提优】1．如图，∠AOB=100°，点C在⊙O上，且点C不与点A，B重合，则∠ACB的度数是（）A．50°B．80°或50°C．130°D．50°或130°第1题第2题2．如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（）A．68°B．88°C．90°D．112°3．如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，则∠BOC 的度数是（）A．26°B．52°C．38°D．76°第3题第4题⌒的中点，已知∠AOB=98°，∠COB=120°，则∠ABD的度数4．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，D是BC是（）A．95°B．98°C．109°D．101°5．如图，P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，一定不正确的是（）A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥ACC．当PO⊥AC时，∠ACP= 30°D．当∠ACP=30°时，△BPC是直角三角形第5题第6题6．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A，B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB=20°，则∠OCD= ．7．如图，AB是⊙O的直径，P为半圆上任意一点（不与点A，B 重合），Q为另一半圆上一定点，若∠POA 的度数为x°，∠PQB的度数为y°，则y与x之间的关系式是．第7题第8题⌒所在圆的圆心，∠AOC=108°，点D在AB的延长线上，BD=BC，则∠D的度数8．如图，点O为ACB为．9．在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD，交⊙O于点B．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，求∠DCA的度数．参考答案【基础提优】1-3 CAB4．50°5．100°6．20°7．28°8．【拓展提优】1-5 DBBDC6．65°7．190(0180) 2y x x=-+<<8．27°9．（1）233（2）40°。

人教版九年级上册数学 24.1.4圆周角同步练习

人教版九年级上册数学24.1.4圆周角同步练习一.单选题1．如图，⊙O 的弦CD 与直径AB 相交，若∠ACD=35°，则∠BAD=（）A．55°B．40°C．35°D．30°2．如图，直径为10的A 经过点C 和点O ，点B 是y 轴右侧A 优弧上一点，30OBC ∠=︒，则点C 的坐标为（）．A．(B．()0,5C．⎛⎝D．⎛⎝3．如图，AB 是O 的直径，点在O 上，若20AED ∠=︒，则BCD ∠的度数为（）A．120︒B．110︒C．100︒D．90︒4．如图，点A，B，C 在⊙O 上，连结AB，AC，OB，OC．若∠BAC＝50°，则∠BOC 的度数是（）A．80°B．90°C．100°D．110°5．正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（）A．10B．8C．6D．56．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB，E 为弧BC 上一点，若∠CEA=28°，则∠ABD=（）A．14°B．28°C．56°D．80°7．如图，C ，D 是O 上直径AB 两侧的两点．设25ABC ∠=︒，则BDC ∠=（）A．85︒B．75︒C．70︒D．65︒8．如图，在菱形ABCD 中，AB＝BD，点E、F 分别是AB、AD 上任意的点（不与端点重合），且AE＝DF，连接BF 与DE 相交于点G，连接CG 与BD 相交于点H.给出如下几个结论：①△AED≌△DFB：②GC 平分∠BGD；③S 四边形BCDG ＝4CG 2；④∠BGE 的大小为定值.其中正确的结论个数为（）A．1B．2C．3D．49．如图，点A，B，C 在一条直线上，△ABD，△BCE 均为等边三角形，连接AE 和CD，AE 分别交CD，BD 于点M，P，CD 交BE 于点Q，连接PQ，BM，下面的结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ 为等边三角形；④MB 平分∠AMC，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图所示，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB ，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（）A．CE=DEB．弧BC=弧BD C．∠BAC=∠BAD D．AC﹥AD二.填空题11．已知O 中，直径6cm AB ，弦A C 的长为3cm，则弦A C 的长为3cm，则弦AC 所对圆周角的度数为．12．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=1，CD=2，过A，B，D 三点的⊙O 分别交BC，CD 于点E，M，下列结论：①DM=CM；②弧AB=弧EM；③⊙O 的直径为2；④AE=AD.其中正确的结论有（填序号）.13．如图，某博览会上有一圆形展示区，准备在圆形边缘的五等分点A，B，C，D，E 处安装5台相同的监视器，为了使5台监视器能够监控整个展区，则监视器的监控角度至少要度．14．如图，在矩形ABCD 中，点E 在AD 边上，AE=4ED，BE 的中垂线分别交BE，BC 的延长线于点H，N.且BC=CN，⊙C 为△BNH 的外接圆，CF∥BE，交⊙C 于点F，FM⊥AB 于点M（FM＜BC），若FM=20，则tan ∠AEB=；矩形ABCD 的周长为.15．如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，∠ACB=40°，则∠OAB=.三.解答题16．如图，AB 是⊙O 直径，弦CD 与AB 相交与点E，∠ADC=26°，求∠CAB 的度数．17．如图，A，C，B．D 四点都在⊙O 上，AB 是⊙O 的直径，且AB＝6，∠ACD＝45°，求弦AD 的长．18．如图所示，AB 是半圆O 的直径，C，D 是半圆上两点，且//OD AC OD ，与BC 相交于点E .（1）求证：E 是BC 的中点.（2）若BC=8，DE=3，求AB 的长.19．如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，直径AD＝6cm，∠DAC＝2∠B，求AC 的长．20．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，C 为 BD的中点，若30CBD ∠=︒，⊙O 的半径为12．（1）求BAD ∠的度数；（2）求扇形OCD 的面积．21．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD 是△ABC 的角平分线，过A、C、D 三点的圆与斜边AB 交于点E，连接DE．（1）求BE 的长；（2）求△ACD 外接圆的半径．22．如图所示，在Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，以AC 为直径的O 交AB 于点D ，弦//DE BC ，交AC 于点 F AD DE=，，连结AE.（1）求证：ADE 是等边三角形.（2）连结OB，若2BD =，求OB 的长.。

24.1.4 圆周角人教版数学九年级上册同步练习(含答案)

24.1.4圆周角知识点1 圆周角定理例1．如图，«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的直径，«Skip Record If...»为圆内一点，则下列说法中正确的是（）A．«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的弦B．«Skip Record If...»是圆心角C．«Skip Record If...»是圆周角D．«Skip Record If...»变式2．如图，在«Skip Record If...»中，点«Skip Record If...»是«Skip Record If...»上一点，若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的度数是（）A．80°B．100°C．120°D．130°3．AB是⊙O的直径，C.D是圆上两点，∠BDC＝32°，则∠AOC的度数为（）A．32°B．64°C．116°D．128°知识点2 同弧或等弧所对的圆周角相等例4．如图，«Skip Record If...»、«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的直径，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»交«Skip Record If...»于点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的度数为（）A．20°B．40°C．60°D．70°变式5．如图，«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的直径，点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»在圆上，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»等于（）A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»6．如图CD是⊙O的直径，CD=10，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为«Skip Record If...»的中点，P是直径CD上一动点，则PA+PB的最小值为（）A．5«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．5D．«Skip Record If...»知识点3 直径所对的圆周角例7．如图，半径为5的«Skip Record If...»经过点C和点O，点B是y轴右侧«Skip Record If...»的优弧上一点，«Skip Record If...»，则点C的坐标为（）A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»变式8．如图，在圆内接五边形ABCDE中，∠EAB∠+∠C+∠CDE+∠E＝430°，则∠CDA ＝_____度．9．如图，扇形OAB的圆心角为124°，C是弧«Skip Record If...»上一点，则∠ACB＝_______．课堂练习10．如图，在⊙O 中，AC =«Skip Record If...»AB ，直径BC =2«Skip Record If...»， «Skip Record If...»，则AD =___．11．如下是小华设计的“作«Skip Record If...»的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空（保留作图痕迹）．步骤作法推断第一步在«Skip Record If...»上任取一点C ，以点C 为圆心，«Skip Record If...»为半径作半圆，分别交射线«Skip Record If...»于点P ，点Q ，连接«Skip Record If...»«Skip Record If...» ①«Skip Record If...»，理由是② 第二步过点C 作«Skip Record If...»的垂线，交«SkipRecord If...»于点D ，交«Skip Record If...»于点E«Skip Record If...»，«Skip Record If...» ③ 第三步作射线«Skip Record If...»射线«Skip Record If...»平分«Skip Record If...»射线«Skip Record If...»为所求作．12．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点C 是优弧AB 上一点（点C 不与A ，B 重合），设∠OAB ＝α，∠C ＝β，（1）当α＝35°时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给以证明．13．如图所示，已知AB为圆O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC.OC.BC．（1）求证：∠ACO＝∠BCD；（2）若EB＝2cm，CD＝8cm，求圆O的直径．14．如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB为直径，点C是弧AD的中点，连接OC，BC 分别交AD于点F，E．（1）求证：∠ABD＝2∠C．（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．参考答案1．B【分析】根据弦、圆心角、圆周角的概念可直接进行排除选项．【详解】解：A.点C不在«Skip Record If...»上，所以AC不是«Skip Record If...»的弦，故错误，不符合题意；B.因为点O是圆心，所以∠BOC是圆心角，故正确，符合题意；C.点C不在«Skip Record If...»上，所以∠C不是圆周角，故错误，故不符合题意；D.当点C在圆上时，则OC=OA=OB，若«Skip Record If...»成立，则AC+OC＜OA+OB，∴AC＜OA，与题干矛盾，∴D选项错误，不符合题意；故选B．【点拨】本题主要考查弦、圆心角、圆周角的概念，熟练掌握弦、圆心角、圆周角的概念是解题的关键．2．D【分析】在优弧AC上取点D，连接AD.CD，由∠AOC= 100° 求出∠ADC= «Skip Record If...»∠AOC，根据四边形ABCD是圆内接四边形，得到∠ADC+∠ABC= 180° ，即可求出∠ABC的度数．【详解】在优弧AC上取点D，连接AD.CD，∵∠AOC= 100° ，∴∠ADC= «Skip Record If...»∠AOC=50° ，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC= 180° ，∴∠ABC= 180° -50° =130° ，故选：D．【点拨】此题考查圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．3．C【分析】根据圆周角定理可求∠AOC，根据邻补角定义可求∠AOC的度数．【详解】∵AB是⊙O的直径，C.D是圆上两点，∠BDC＝32°∴∠BOC=2∠D=2×32°=64°∴∠AOC=180°-∠BOC=116°故选：C【点拨】考核知识点：圆周角定理．理解圆周角定理是关键．4．C【分析】先根据圆周角定理可得∠EOD＝2∠A＝40°，再根据平行线的性质可得∠ADB＝∠A ＝20°，由三角形外角定理即可得出答案．【详解】解：∵∠A＝20°，∴∠EOD＝2∠A＝40°，又∵«Skip Record If...»，∴∠ADB＝∠A＝20°，∴∠AFC＝∠EOD＋∠ADB＝40°＋20°＝60°．故选：C．【点拨】本题主要考查了圆周角定理，熟练应用圆周角定理进行求解是解决本题的关键．5．B【分析】由圆周角定理得出∠ACB＝90°，由直角三角形的性质求出∠B＝55°，再由圆周角定理得出∠ADC＝∠B＝55°即可．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝35°，∴∠B＝90°﹣35°＝55°，∴∠ADC＝∠B＝55°．故选：B．【点拨】此题主要考查了三角形的外接圆、圆周角定理以及直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．6．A【分析】首先作A关于CD的对称点Q，连接BQ，然后根据圆周角定理、圆的对称性质和勾股定理解答．本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是找到点A的对称点，把题目的问题转化为两点之间线段最短解答．【详解】解：作A关于MN的对称点Q，连接CQ，BQ，BQ交CD于P，此时AP+PB=QP+PB=QB，根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值为QB的长度，连接OQ，OB，∵B为«Skip Record If...»的中点，∴∠BOD=∠ACD=30°，∴∠QOD=2∠QCD=2×30°=60°，∴∠BOQ=30°+60°=90°．∵直径CD=10，∴OB=«Skip Record If...»CD=«Skip Record If...»×10=5，∴BQ=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=5«Skip Record If...»，即PA+PB的最小值为5«Skip Record If...» ．故选A．【点拨】此题主要考查圆周角定理的应用，解题的关键是熟知圆周角定理、圆的对称性质应用．7．A【分析】先根据«Skip Record If...»可得CD是«Skip Record If...»的直径，进而求得«Skip Record If...»，再利用圆周角定理得出∠CDO的度数，进而利用含30°的直角三角形的性质得出答案．【详解】解：如图，设«Skip Record If...»与x轴的交点为D，连接CD．«Skip Record If...»∴CD是«Skip Record If...»的直径，∵«Skip Record If...»的半径为5，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，∴点C的坐标为«Skip Record If...»，故选：A．【点拨】此题主要考查了圆周角定理及其推论以及含30°的直角三角形的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键．8．70【分析】先利用多边的内角和得到∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E=540°，则可计算出∠B=110°，然后根据圆内接四边形的性质求∠CDA的度数．【详解】解：∵五边形ABCDE的内角和为（5-2）×180°=540°，∴∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E=540°，∵∠EAB+∠C+∠CDE+∠E=430°，∴∠B=540°-430°=110°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠B+∠CDA=180°，∴∠CDA=180°-110°=70°．故答案为70．【点拨】本题考查了多边形的内角和与圆内接四边形的性质，运用圆内接四边形的性质是解决问题的关键．9．118°【分析】在⊙O上取点D，连接AD，BD，根据圆周角定理求出∠D的度数，由圆内接四边形的性质即可得出结论．【详解】解：如图所示，在⊙O上取点D，连接AD，BD，∵∠AOB＝124°，∴∠ADB＝«Skip Record If...»∠AOB＝«Skip Record If...»×124°＝62°．∵四边形ADBC是圆内接四边形，∴∠ACB＝180°﹣62°＝118°．故答案为：118°．【点拨】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆心角与它的圆周角的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.10．«Skip Record If...»【分析】过D点作DE⊥AB交AB于E，连接BD，DC，根据«Skip Record If...»和BC是直径可以得到，∠DAB=∠DAC=45°=∠DBC=∠DCB，即可得到AE=DE，利用勾股定理先求出AB，BD再求出AE，即可求出AD.【详解】解：如图所示，过D点作DE⊥AB交AB于E，连接BD，CD∵BC是圆的直径∴∠BAC=90°=∠BDC∵«Skip Record If...»∴∠DAB=∠DAC=45°=∠DBC=∠DCB∴BD=DC∵DE⊥AB∴∠AED=90°∴∠EDA=∠DAB=45°∴AE=DE在Rt△ABC中，AC=«Skip Record If...»AB，BC=2«Skip Record If...»，«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»同理«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»设AE=DE=x，则BE=4-x在Rt△DEB中，«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»解得«Skip Record If...»或«Skip Record If...»∵«Skip Record If...»，«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴AE=DE=3∴«Skip Record If...»故答案为：«Skip Record If...».【点拨】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是90°，勾股定理，等腰三角形的判定等等，大角对大边，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.11．见解析；①90；②直径所对的圆周角是直角；③«Skip Record If...»【分析】根据直径所对的圆周角是直角，和同弧所对的圆周角相等即可得出结论【详解】解：补全的图形如图1所示．①∵OQ是直径∴∠OPQ=90°故答案为：90；②故答案为：直径所对的圆周角是直角；③∵CE⊥PQ∴由垂径定理得：«Skip Record If...»«Skip Record If...»．故答案为：«Skip Record If...»【点拨】本题考查圆周角定理的推论，垂径定理，熟练掌握圆周角定理及推论是关键12．（1）55°；（2）α+β=90°，证明见解析．【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OBA=35°，根据三角形内角和定理求出∠AOB，根据圆周角定理计算即可；（2）根据三角形内角和定理和圆周角定理计算．【详解】解：（1）连接OB，∵∠OAB=α=35°，∴∠OBA=35°，∴∠AOB=110°，∴β=«Skip Record If...»∠AOB=55°；（2）结论：α+β=90°．证明：∵∠AOB=180°-2α，β=«Skip Record If...»∠AOB∴β=90°-α，∴α+β=90°．【点拨】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、三角形内角和定理是解题的关键．13．（1）翙解析；（2）圆O的直径为10cm．【分析】（1）由AB为⊙O的直径，AB⊥CD，根据垂径定理即可得«Skip Record If...»，然后由圆周角定理可得∠BCD=∠BAC，又由OA=OC，根据等边对等角，可得∠BAC=∠ACO，继而证得结论；（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．【详解】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴«Skip Record If...»，∴∠BCD=∠BAC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO，∴∠ACO=∠BCD；（2）设⊙O的半径为R cm，则OE=OB-EB=（R-2）cm，CE=«Skip Record If...»CD=«Skip Record If...»×8=4（cm）．在Rt△CEO中，由勾股定理可得OC2=OE2+CE2，即R2=（R-2）2+42，解得R=5，∴OB=5 cm．故圆O的直径为10 cm．【点拨】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．14．（1）见解析；（2）BD＝2.8【分析】（1）利用弧的中点，等腰三角形的性质计算即可．（2）利用勾股定理，三角形中位线定理，垂径定理的推论计算即可．【详解】（1）证明：∵C是«Skip Record If...»的中点，∴«Skip Record If...»，∴∠ABC＝∠CBD，∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠C，∴∠ABC＝∠CBD＝∠C，∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝2∠C；（2）解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝«Skip Record If...»＝6，∵C是«Skip Record If...»的中点，∴OC⊥AD，∴«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，∴OF＝1.4，又∵O是AB的中点，F是AD的中点，∴OF是△ABD的中位线，∴BD＝2OF＝2.8．【点拨】本题考查了垂径定理及其推论，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握垂径定理，灵活运用勾股定理和三角形中位线定理是解题的关键．。

九年级数学下册27.1.3圆周角同步练习(含解析)

圆周角一、选择题1．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100°答案：D解析：解答：如图，∵∠AOC=160°，∴∠ABC=12∠AOC=12×160°=80°，∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°-∠ABC=180°-80°=100°．∴∠ABC的度数是：80°或100°．故选：D．分析：首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得∠ABC的度数．2．如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100°D．无法确定答案：B解析：解答：∵∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，∴∠AOB=∠ACB，∵∠AOB=90°，∴∠ACB=90°．故选B．分析：由∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，即可求得∠ACB=∠AOB=90°．3．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A=72°，则∠BCO的度数为（）A．15°B．18°C．20°D．28°答案：B解析：解答：连结OB，如图，∠BOC=2∠A=2×72°=144°，∵OB=OC，∴∠CBO=∠BCO，∴∠BCO=12（180°-∠BOC）=12×（180°-144°）=18°．故选B．分析：连结OB，如图，先根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=144°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠BCO的度数．4．如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上异于B，C的一点，则∠A的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．90°答案：D解析：解答：∵BC是⊙O的直径，∴∠A=90°．故选D．分析：利用直径所对的圆周角为直角判断即可．5．如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（）A．68°B．88°C．90°D．112°答案：B解析：解答：如图，∵AB=AC=AD，∴点B、C、D在以点A为圆心，以AB的长为半径的圆上；∵∠CBD=2∠BDC，∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，∴∠CAD=2∠BAC，而∠BAC=44°，∴∠CAD=88°，故选B．分析：如图，作辅助圆；首先运用圆周角定理证明∠CAD =2∠CBD ，∠BAC =2∠BDC ，结合已知条件∠CBD =2∠BDC ，得到∠CAD =2∠BAC ，即可解决问题．6．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，∠BOD =48°，则∠BAC 的大小是（） A ．60°B ．48°C ．30°D ．24°答案：D解析：解答： ∵直径AB ⊥CD ，∴ BCBD =， ∴∠BAC =12∠BOD =12×48°=24°．故选D ．分析：先根据垂径定理得到 BCBD =，然后根据圆周角定理求解． 7．如图，⊙O 的半径是2，AB 是⊙O 的弦，点P 是弦AB 上的动点，且1≤OP ≤2，则弦AB 所对的圆周角的度数是（） A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．30°或150°答案：C解析：解答：作OD ⊥AB ，如图， ∵点P 是弦AB 上的动点，且1≤OP ≤2， ∴OD =1， ∴∠OAB =30°，∴∠AOB=120°，∴∠AEB=12∠AOB=60°，∵∠E+∠F=180°，∴∠F=120°，即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．分析：作OD⊥AB，如图，利用垂线段最短得OD=1，则根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OAB=30°，根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°，则可根据圆周角定理得到∠AEB=12∠AOB=60°，根据圆内接四边形的性质得∠F=120°，所以弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．8．如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为（）A．80°B．100°C．110°D．130°答案：D解析：解答：连接OC，如图所示，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=40°，∴∠BOC=100°，∵∠1+∠BOC=360°，∴∠1=260°，∵∠A=12∠1，∴∠A=130°．故选：D．分析：连接OC，然后根据等边对等角可得：∠OCB=∠OBC=40°，然后根据三角形内角和定理可得∠BOC=100°，然后根据周角的定义可求：∠1=260°，然后根据圆周角定理即可求出∠A的度数．9．如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为（）A．25°B．50°C．60°D．30°答案：A解析：解答：∵∠BOC=2∠BAC，∠BOC=50°，∴∠BAC=25°，∵AC∥OB，∴∠BAC=∠B=25°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠B=25°，故选：A．分析：由圆周角定理求得∠BAC=25°，由AC∥OB，∠BAC=∠B=25°，由等边对等角得出∠OAB =∠B =25°，即可求得答案．10．如图，△ABD 的三个顶点在⊙O 上，AB 是直径，点C 在⊙O 上，且∠ABD =52°，则∠BCD 等于（） A ．32°B ．38°C ．52°D ．66°答案：B解析：解答： ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB =90°， ∵∠ABD =52°，∴∠A =90°-∠ABD =38°； ∴∠BCD =∠A =38°．故选：B ．分析：由AB 是⊙O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB 的度数，继而求得∠A 的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．11．如图，在⊙O 中，直径CD 垂直于弦AB ，若∠C =25°，则∠BOD 的度数是（） A ．25°B ．30°C ．40°D ．50°答案：D解析：解答： ∵在⊙O 中，直径CD 垂直于弦AB ，∴AD BD ， ∴∠DOB =2∠C =50°．故选：D．分析：由“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推知∠DOB=2∠C，得到答案．12．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°答案：C解析：解答：连接O B，∵∠ACB=25°，∴∠AOB=2×25°=50°，由OA=OB，∴∠BAO=∠ABO，∴∠BAO=12（180°-50°）=65°．故选C．分析：连接OB，要求∠BAO的度数，只要在等腰三角形OAB中求得一个角的度数即可得到答案，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB=50°，然后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求得．13．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．80°C．100°D．130°答案：D解析：解答：∵∠BOD=100°，∴∠BAD=100°÷2=50°，∴∠BCD=180°-∠BAD=180°-50°=130°故选：D．分析：首先根据圆周角与圆心角的关系，求出∠BAD的度数；然后根据圆内接四边形的对角互补，用180°减去∠BAD的度数，求出∠BCD的度数是多少即可．14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°答案：D解析：解答：∵OA=OC，∠ACO=45°，∴∠OAC=45°，∴∠AOC=180°-45°-45°=90°，∴∠B=12∠AOC=45°．故选D．分析：先根据OA=OC，∠ACO=45°可得出∠OAC=45°，故可得出∠AOC的度数，再由圆周角定理即可得出结论．15．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（）A．20°B．30°C．40°D．70°答案：A解析：解答：∵∠DOB=140°，∴∠AOD=40°，∴∠ACD=12∠AOD=20°，故选：A．分析：根据∠DOB=140°，求出∠AOD的度数，根据圆周角定理求出∠ACD的度数．二、填空题16．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠AOC=80°，则∠B= ．答案：40°解析：解答：∵∠AOC=80°，∴∠B=12∠AOC=40°．故答案为：40°分析：直接根据圆周角定理求解．17．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=130°，则∠BOD= °．答案：100°解析：解答：∵∠A+∠C=180°，∴∠A=180°-130°=50°，∴∠BOD=2∠A=100°．故答案为：100．分析：先根据圆内接四边形的性质得到∠A=180°-∠C=50°，然后根据圆周角定理求∠BOD．18．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠CAB=40°，则∠ABC的度数为．答案：50°解析：解答：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°-∠CAB=90°-40°=50°．故答案为：50°．分析：根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后根据三角形内角和定理计算∠ABC的度数．19．如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22．5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧 AE是劣弧BD的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是．答案：①②④解析：解答：连接AD，AB是直径，则AD⊥BC，又∵△ABC是等腰三角形，故点D是BC的中点，即BD=CD，故②正确；∵AD是∠BAC的平分线，由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=12∠BAC=22．5°，故①正确；∵∠ABE=90°-∠EBC-∠BAD=45°=2∠CAD，故④正确；∵∠EBC=22．5°，2EC≠BE，AE=BE，∴AE≠2CE，③不正确；∵AE=BE，BE是直角边，BC是斜边，肯定不等，故⑤错误．综上所述，正确的结论是：①②④．故答案是：①②④．分析：根据圆周角定理，等边对等角，等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角等知识，运用排除法逐条分析判断．20．如图，点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB，则∠ACB= 度．答案：150°解析：解答：∵点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB，∴OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠BAC+∠ABC=30°，∴∠ACB=150°，故答案为：150分析：根据AO=AB，且OA=OB，得出△OAB是等边三角形，再利用圆周角和圆心角的关系得出∠BAC+∠ABC=30°，解答即可．三、解答题21．在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．答案：解答：（1）连结OQ，如图1，∵PQ∥AB，OP⊥PQ，∴OP⊥AB，在Rt△OBP中，∵tan∠B=OP OB，∴OP=3tan在Rt△OPQ中，∵OP OQ=3，∴PQ =；（2）连结OQ ，如图2，在Rt △OPQ 中，PQ =当OP 的长最小时，PQ 的长最大，此时OP ⊥BC ，则OP =12OB =32，∴PQ 解析：分析：（1）连结OQ ，如图1，由PQ ∥AB ，OP ⊥PQ 得到OP ⊥AB ，在Rt △OBP 中，利用正切定义可计算出OP =3tan Rt △OPQ 中利用勾股定理可计算出PQ ；（2）连结OQ ，如图2，在Rt △OPQ 中，根据勾股定理得到PQ OP 的长最小时，PQ 的长最大，根据垂线段最短得到OP ⊥BC ，则OP =12OB =32，所以PQ 长的最大值 22.如图，AB 是⊙O 的弦，∠OAB =20°，求弦AB 所对的圆周角的度数．答案：解答：∵AO =BO ， ∴∠OBA =∠OAB =20°，∴∠AOB =180°-20°-20°=140°，∴弦AB 所对的圆周角的度数是：140°÷2=70°； ∵弦AB 所对的优弧的度数为：360°-140°=220°， ∴弦AB 所对的圆周角的度数是：220°÷2=110°；综上，可得弦AB 所对的圆周角的度数是70°或110°．解析：分析：首先根据AO =BO ，可得∠OBA =∠OAB =20°，然后根据三角形的内角和定理，判断出∠AOB =180°-20°-20°=140°，最后根据圆周角定理，判断出弦AB 所对的圆周角是多少即可．23．如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，以AC为直径画⊙O交BC于点D，交AB于点E，连接CE．（1）求证：BD=CD；（2）求CE的长．答案：解答：连结AD，如图，∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD；（2）解：在Rt△ADC中，∵AC=13，CD=12BC=5，∴AD，∵AC为直径，∴∠AEC=90°，∴12CE•AB=12AD•BC，∴CE=1210120 1313⨯=．解析：分析：（1）连结AD，如图，根据圆周角定理得到∠ADC=90°，而AB=AC，则根据等腰三角形的性质可得BD=CD；（2）先利用勾股定理计算出AD=12，然后利用面积法计算CE的长．24．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．解析：分析：（1）根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD=180°，根据邻补角互补可得∠DCE+∠BCD=180°，进而得到∠A=∠DCE，然后利用等边对等角可得∠DCE=∠AEB，进而可得∠A=∠AEB；（2）首先证明△DCE是等边三角形，进而可得∠AEB=60°，再根据∠A=∠AEB，可得△ABE 是等腰三角形，进而可得△ABE是等边三角形．25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．答案：解答：（1）解：∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=39°，∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；（2）证明：∵EC=BC，∴∠CEB=∠CBE，而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，∵∠BAE=∠CBD，∴∠1=∠2．解析：分析：（1）根据等腰三角形的性质由BC=DC得到∠CBD=∠CDB=39°，再根据圆周角定理得∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，所以∠BAD=∠BAC+∠CAD=78°；（2）根据等腰三角形的性质由EC=BC得∠CEB=∠CBE，再利用三角形外角性质得∠CEB=∠2+∠BAE，则∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，加上∠BAE=∠CBD，所以∠1=∠2．。

人教版九年级数学上册《24.1.4 圆周角》同步练习

24.1.4 圆周角一．选择题1．如图，⊙O的直径AB过弦CD的中点E，∠COB＝40°，则∠BAD等于（）A．80°B．50°C．40°D．20°2．如图，点A、B、C在⊙O上，点D是AB延长线上一点，若∠CBD＝55°，则∠AOC 的度数为（）A．100°B．105°C．125°D．110°3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝20°，则∠BAD为（）A．40°B．50°C．60°D．70°4．如图，点A、B、C在⊙O上，BC∥OA，连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AC，DC．若∠A＝25°，则∠D的大小为（）A．25°B．30°C．40°D．50°5．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是（）A．54°B．30°C．36°D．60°6．⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC平分∠BAD，则正确结论是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C．＝D．∠BCA＝∠DCA 7．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，若∠AOC＝120°，则∠D的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．45°8．如图，在⊙O中，＝，∠C＝70°，则∠A的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．50°9．如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上的五个点，圆心O在AD上，∠BCD＝110°，则∠AEB的度数为（）A．70°B．35°C．40°D．20°10．在同圆或等圆中，下列说法正确的有（）①平分弦的直径垂直于弦；②圆内接平行四边形是菱形；③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；④如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把它的4个内分角成8个角，用下列关于角的等量关系不一定成立的是（）A．∠1＝∠4B．∠1+∠2+∠3+∠5＝180°C．∠4＝∠7D．∠ADC＝∠2+∠512．如图，四边形ABCD内接于⊙O上，∠A＝60°，则∠BCD的度数是（）A．15°B．30°C．60°D．120°13．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠AOD+∠BOC＝180°．若AD＝2，BC＝6，则△BOC的面积为（）A．3B．6C．9D．1214．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C＝120°．若AD＝2，则AB的长为（）A．B．2C．2D．415．如图，点A、B、C、D在⊙O上，OC⊥AB，若的度数为50°，则∠ADC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．50°二．填空题16．如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝100°，则∠α＝．17．如图，A、B、C、D四点都在⊙O上，AD是⊙O的直径，且，若∠ABC＝∠CAD，则弦AC＝．18．在平面直角坐标系中，一个圆经过O（0，0），A（3，9），B（6，0）三点，则该圆的圆心的坐标是．19．如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧上，AB＝10，BC＝4，则DP＝．20．如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝65°．则∠CDB的大小等于．21．若平行四边形ABCD是圆内接四边形，则∠A的度数为．22．如图所示，四边形ABCD是圆内接四边形，其中∠A＝80°，则∠C＝．23．如图，点A、B、C、D在⊙O上，若∠ABC＝110°，则∠ADC＝．24．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接OA、OC，∠AOC＝150°，则∠B＝°．25．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE＝85°，∠F＝30°，则∠E的度数为．三．解答题26．如图1，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为AC的中点，连接BC，OD．（1）求证：OD∥BC；（2）如图2，过点D作AB的垂线与⊙O交于点E，作直径EF交BC于点G．若G为BC中点，⊙O的半径为2，求弦BC的长．27．半圆O的直径AB＝8，C为半圆上一点．（1）若AC＝6，则BC的长是；（2）①如图①，若D是的中点，且AD＝2，求BC的长；②如图②，若D、E是的三等分点，且AD＝2，直接写出BC的长．28．已知AB是⊙O的直径．（Ⅰ）如图①，＝＝，∠MON＝35°，求∠AON的大小；（Ⅱ）如图②，E，F是⊙O上的两个点，AD⊥EF于点D，若∠DAE＝20°，求∠BAF 的大小．29．用两种方法证明命题“在圆的内接四边形中，如果一组对边相等，那么另一组对边平行”．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB＝CD．求证：AD∥BC．证法1：∵，∴＝．∴．即＝，∴∠DCB＝∠ABC，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴．∴∠BAD+∠ABC＝180°，∴AD∥BC．请把证1补充完整，并用不同的方法完成证法2．30．如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点D．求证：△ABC是等边三角形．参考答案一．选择题1．解：∵直径AB过弦CD的中点E，∴AB⊥CD，∴＝，∴∠BAD＝∠COB＝×40°＝20°．故选：D．2．解：设点E是优弧AC（不与A，C重合）上的一点，连接AE、CE，如图所示：∵∠CBD＝55°．∴∠E＝∠CBD＝55°．∴∠AOC＝2∠E＝110°．故选：D．3．解：连接BD，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠ACD＝20°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝70°．故选：D．4．解：∵BC∥OA，∴∠ACB＝∠A＝25°，∠B＝∠AOB＝2∠ACB＝50°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∴∠D＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，故选：C．5．解：∵∠ACB＝54°，∴圆心角∠AOB＝2∠ACB＝108°，∵OB＝OA，∴∠ABO＝∠BAO＝（180°﹣∠AOB）＝36°，故选：C．6．解：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴＝，∴BC＝CD．故选：B．7．解：∵∠AOC＝120°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，∴∠BDC＝∠BOC＝30°．故选：B．8．解：∵＝，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C＝70°，∴∠A＝180°﹣2×70°＝40°，故选：C．9．解：如图，连接DE，∵四边形BCDE是⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BED＝180°，∵∠BCD＝110°，∴∠BED＝70°，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＝∠AED﹣∠BED＝90°﹣70°＝20°，故选：D．10．解：①平分弦的直径垂直于弦，错误，此弦不是直径，才能成立．②圆内接平行四边形是菱形，错误，圆内接平行四边形是矩形．③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，正确．④如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．错误，弦所对的圆周角有两个，也可能互补．故选：A．11．解：∵∠1，∠4所对的弧都是弧CD，∴∠1＝∠4，∵∠2，∠7所对的弧都是弧BC，∴∠2＝∠7，∵∠5，∠8所对的弧都是弧AB．∴∠5＝∠8，∵∠1+∠2+∠3+∠8＝180°，∠ADC＝∠8+∠7，∴∠1+∠2+∠3+∠5＝180°，∠ADC＝∠2+∠5，故A，B，D都正确，∵和不一定相等，∴BC与DC不一定相等，∴∠4与∠7不一定相等，故C错误，故选：C．12．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝60°，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝120°，故选：D．13．解：延长BO交⊙O于E，连接CE，则∠COE+∠BOC＝180°，∠BCE＝90°，即CE⊥BC，∵∠AOD+∠BOC＝180°，∴∠AOD＝∠COE，∴＝，∴AD＝CE＝2，∵BC＝6，∴△BEC的面积为BC•CE＝×6×2＝6，∵OB＝OE，∴△BOC的面积＝△BEC的面积＝×6＝3，故选：A．14．解：连接OD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∵∠C＝120°，∴∠A＝60°，∵OD＝OA，∴△AOD是等边三角形，∴AD＝OD＝OA，∵AD＝2，∴OA＝OD＝OB＝2，∴AB＝2+2＝4，故选：D．15．解：∵的度数为50°，∴∠BOC＝50°，∵OC⊥AB，∴＝，∴∠ADC＝∠BOC＝25°．故选：B．二．填空题16．解：如图，在优弧上取一点E，连接AE、BE，∵A、C、B、E四点共圆，∴∠ACB+∠AEB＝180°，∵∠ACB＝100°，∴∠AEB＝80°，∵由圆周角定理得：∠AEB＝AOB＝，∴∠α＝2∠AEB＝160°，故答案为：160°．17．解：连接OC，由圆周角定理得，∠ABC＝∠AOC，∠CAD＝∠COD，∵∠ABC＝∠CAD，∴∠AOC＝∠COD，∴AC＝CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴AC＝AD＝3，故答案为：3．18．解：由题意圆心在线段OB的垂直平分线上，设圆心O′（3，m），则有32+m2＝（9﹣m）2，解得m＝4，∴圆心O′（3，4），故答案为：（3，4）．19．解：∵AB是⊙O的直径，AB＝10，∴∠C＝90°，OA＝OD＝5，∴AC＝＝＝2，∵DE⊥AC，∴AP＝CP＝AC＝，∴OP＝＝＝2，∴DP＝OD+OP＝5+2＝7，故答案为：7．20．解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ADC＝∠ABC＝65°，∴∠CDB＝90°﹣65°＝25°．故答案为25°．21．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A＝∠C，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∴2∠A＝180°，∴∠A＝90°，故答案为90°．22．解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∠A＝80°，∴∠C＝180°﹣80°＝100°．故答案为：100°．23．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝110°，∴∠ADC＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70°．24．解：如图，∵四边形ABCD内接于⊙O，∵∠AOC＝150°，∴∠B＝75°或105°，故答案为：75或105．25．解：∵∠DCE＝∠F+∠B，∠DCE＝85°，∠F＝30°，∴∠B＝∠DCE﹣∠F＝85°﹣30°＝55°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠EDC＝∠B＝55°，∴∠E＝180°﹣∠DCE﹣∠EDC＝180°﹣85°﹣55°＝40°，故答案为40°．三．解答题26．（1）证明：连接BD，如图1所示：∵D为AC的中点，∴＝，∴∠ABD＝∠CBD，∵OD＝OB，∴∠ABD＝∠BDO，∴∠CBD＝∠BDO，∴OD∥BC；（2）解：∵G为BC中点，∴OF⊥BC，由（1）得：OD∥BC，∴DO⊥EF，∴△DOE是等腰直角三角形，∴∠OED＝45°，∵DE⊥AB，∴∠EOA＝∠BOG＝45°，∴△OGB是等腰直角三角形，∴BG＝OB＝×2＝，∴BC＝2BG＝2．27．解：（1）如图1中，连接AC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝2．故答案为2．（2）如图1中，连接OD交AC于H，连接OC，则OA＝OC＝OD＝4．∵D是的中点，∴＝，∴CD＝AD＝2，OD垂直平分线段AC，设DH＝x，则OH＝4﹣x，∵AC⊥OD，∴∠CHD＝∠CHO＝90°，∴CD2﹣DH2＝CO2﹣OH2，∴22﹣x2＝42﹣（4﹣x）2，解得x＝，∴CH＝＝＝，∵OD垂直平分AC，∴AC﹣2CH＝，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝7．②连接AE，AC，过点A作AH⊥ED交ED的延长线于H，过的C作CI⊥DE交DE的延长线于I．∵D，E，C是的三等分点，∴＝＝，∴EC＝DE＝AD＝2，∠DEA＝∠EAC，∴DE∥AC，∵∠H＝∠I＝90°，∴∠HAC＝180°﹣90°＝90°，∴四边形AHIC是矩形，∴AH＝CI，AC＝HI，∵AD＝CE，∠H＝∠I＝90°，∴Rt△AHD≌Rt△CIE（HL），∴EI＝DH，设DH＝x，则HE＝x+2，∵∠H＝90°，∴AE2﹣EH2＝AH2＝AD2﹣DH2，∴（）2﹣（x+2）2＝22﹣x2，解得x＝，∵EI＝DH＝，∴HI＝DH+DE+EI＝+2+＝，∴AC＝HI＝，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝．28．解：（I）∵＝＝，∠MON＝35°，∴∠MON＝∠MOC＝∠BOC＝35°，∴∠AON＝180°﹣∠MON﹣∠MOC﹣∠BOC＝180°﹣35°﹣35°﹣35°＝75°；（II）连接BF，∵AD⊥直线l，∴∠ADE＝90°，∵∠DAE＝20°，∴∠AEF＝∠ADE+∠DAE＝110°，∵A、E、F、B四点共圆，∴∠ABF+∠AEF＝180°，∴∠ABF＝70°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF＝180°﹣∠AFB﹣∠ABF＝20°．29．证法1，∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，即＝，∴∠DCB＝∠ABC，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠DCB+∠BAD＝180°，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴AD∥BC，故答案为：AB＝CD；+＝+；∠DCB+∠BAD＝180°；证法2，如图，连接OA、OB、OC、OD、AC，∵AB＝CD，∴＝，∴∠AOB＝∠COD，由圆周角定理得，∠ACB＝∠AOB，∠CAD＝∠COD，∴∠ACB＝∠CAD，∴AD∥BC．21 /2130．证明：∵∠ABC ＝∠APC ，∠BAC ＝∠BPC ，∠APC ＝∠CPB ＝60°， ∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形．。

24.1.4 圆周角同步练习(含答案)

24.1.4 圆周角同步练习一、选择题1．下列说法正确的是（） A ．相等的圆周角所对的弧相等 B ．直径所对的角是直角 C ．顶点在圆上的角叫圆周角D ．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形2．如图1，量角器外缘上有A 、B 两点，它们的读数分别为70°，030，则∠1的度数应为（） A ．15°B ．20°C ．35°D ．40°图1 图2 图33．正三角形ABC 内接于圆0，动点P 在圆周上运动，且不与A ，B ，C 重合，则∠BPC 等于( ) A ．60oB ．120oC ．60o或120° D ．不确定4．(2008年湖州市)如图2，已知圆心角78BOC ∠=，则圆周角BAC ∠的度数是（）A ．156B ．78C ．39D ．125．(2009年南充)如图3，AB 是O ⊙的直径，点C 、D 在O ⊙上，110BOC ∠=°，AD OC ∥，则AOD ∠=（） A ．70° B ．60° C ．50° D ．40°二、填空题6．如图4所示，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是半圆上两点，∠BAC=20°， AD CD=，则∠BAD 的度数是_______________．7. 如图5，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在劣弧AD 上，则∠BEC 等于图4 图5 图68.如图6, 已知，如图：AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝450。

给出以下五个结论：①∠EBC＝22.50，；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧⋂AE是劣弧⋂DE的2倍；⑤AE＝BC其中正确结论的序号是。

；三、解答题9．如图，在ABC△中，90ACB=∠，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交ABC△的边于G F E，，点．求证：（1）F是BC的中点；（2）A GEF=∠∠．10．（2008年沈阳市）如图，在ABC△中，90ACB=∠，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交ABC△的边于G F E，，点．求证：（1）F是BC的中点；（2）A GEF=∠∠．△内接于⊙O，点P是劣弧⌒BC上的一点（端点除外），延长BP至D，11.已知：如图等边ABC，连结CD．使BD AP△是什么三角形？并说明理由．(1）若AP过圆心O，如图①，请你判断PDC△又是什么三角形？为什么？(2）若AP不过圆心O，如图②，PDC参考答案一、选择题1．D 2．B3．C 4.C 5. D二、填空题6．55° 7．45° 8．①②④三、解答题9．(1）连结DF ，90ACB = ∠，D 是AB 的中点12BD DC AB ∴==DC 是⊙O 的直径，DF BC ∴⊥ BF FC ∴=，即F 是BC 的中点．(2）D F ，分别是AB BC ，的中点， DF AC ∴∥A BDF ∴=∠∠，BDF GEF ∴=∠∠，A GEF ∴=∠∠10. （1）OD AB ⊥ ， AD DB∴= 11522622DEB AOD ∴∠=∠=⨯= （2）OD AB ⊥ ，AC BC ∴=，AOC △为直角三角形，3OC = ，5OA =，由勾股定理可得4AC ==28AB AC ∴==11．答：（1）PDC △为等边三角形．理由：ABC ∵△为等边三角形，AC BC =∴，又∵在⊙O 中PAC DBC ∠=∠ 又AP BD =∵，APC BDC ∴△≌△．PC DC =∴ 又AP ∵过圆心O ，AB AC =，60BAC ∠=° 1302BAP PAC BAC ∠=∠=∠=∴°ABCDEFGO∠=∠=°30PBC PAC∴°，30BAP BCP∠=∠=∴△为等边三角形．∴°°°，PDC∠=∠+∠=+=303060CPD PBC BCP(2）PDC△仍为等边三角形理由：先证APC BDC△≌△（过程同上），∠+∠=∵°BAP PAC=∴，60PC DC又BAP BCP∠=∠∵，PAC PBC∠=∠=∵∴°，又PC DC60∠=∠+∠=∠+∠=CPD BCP PBC BAP PAC∴△为等边三角形．PDC。

人教版九年级数学下圆周角同步练习含答案

24.1.4　圆周角知识点 1　圆周角的概念1．下列四个图中，∠α是圆周角的是( )图24－1－452．如图24－1－46，图中有多少个圆周角？所对的圆周角有几个？所对的圆周BC ︵CD ︵角有几个？图24－1－46知识点 2　圆周角定理3．2017·徐州如图24－1－47，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠AOB ＝72°，则∠ACB 等于( )图24－1－47A．28°B．54°C．18°D．36°4．如图24－1－48所示，把一个量角器放置在△ABC的上面，根据量角器的读数可得∠BAC的度数是( )图24－1－48A．60°B．30°C．20°D．15°5．如图24－1－49，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB 的长为( )图24－1－4922A.B．2 C．2 D．46．2017·义乌如图24－1－50，一块含45°角的三角尺，它的一个锐角顶点A在⊙O 上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠EOD＝________°.图24－1－50知识点 3　圆周角定理的推论7．如图24－1－51，在⊙O 中，＝，∠BAC ＝50°，则∠AEC 的度数为( )AB ︵ AC ︵图24－1－51A ．50°B ．55°C ．65°D ．75°8．如图24－1－52，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠CAB ＝40°，则∠ABC ＝________°.图24－1－529．2017·湖州如图24－1－53，已知在△ABC 中，AB ＝AC .以AB 为直径作半圆O ，交BC 于点D .若∠BAC ＝40°，则的度数是________度．AD ︵图24－1－5310．如图24－1－54所示，已知四边形ABCD 的四个顶点均在⊙O 上，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E .求证：DB 平分∠ADC .图24－1－54知识点4　圆内接多边形11．2017·淮安如图24－1－55，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是________°.图24－1－5512．如图24－1－56所示，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：(1)AD＝CD；(2)AB是⊙O的直径．图24－1－5613．2017·云南如图24－1－57，B，C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E，F两点，与线段AC交于点D.若∠BFC＝20°，则∠DBC＝( )图24－1－57A．30°B．29°C．28°D．20°14．2017·西宁如图24－1－58，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD＝120°，则∠DCE＝________°.图24－1－5815．如图24－1－59，一块三角尺ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，点D 对应的刻度是58°，则∠ACD ＝________°.图24－1－5916．已知：如图24－1－60，AB 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC ＝45°.(1)求∠EBC 的度数；(2)求证：BD ＝CD .图24－1－6017．如图24－1－61，AB 是⊙O 的直径，C 为的中点，CD ⊥AB 于点D ，交AE 于AE ︵点F ，连接AC .求证：AF ＝CF .图24－1－6118．2017·六盘水如图24－1－62，MN 是⊙O 的直径，MN ＝4，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为的中点，P 是直径MN 上一动点．AN ︵ (1)利用尺规作图，确定当PA ＋PB 最小时点P 的位置(不写作法，但要保留作图痕迹)；(2)求PA ＋PB 的最小值．图24－1－62教师详解详析1．C [解析] 根据圆周角的定义，顶点在圆上，可排除选项D .根据两边都与圆相交可排除选项A ，B .故选C .2．解：图中有8个圆周角，所对的圆周角有1个，是∠BDC ；所对的圆周角有BC ︵ CD ︵ 2个，分别是∠CBD ，∠CAD.3．D [解析]根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得∠ACB ＝∠AOB ＝×72°＝36°.12124．D5．C [解析]如图，连接OA ，OB.因为∠APB 和∠AOB 分别是所对的圆周角和AB ︵圆心角，所以∠AOB ＝2∠APB ＝2×45°＝90°.在Rt △AOB 中，OA ＝OB ＝2，由勾股定理，得AB ＝2 .故选C .26．90　[解析] ∠EOD ＝2∠A ＝2×45°＝90°.7．C [解析] ∵＝，∴AB ＝AC.∵∠BAC ＝50°，∴∠ABC ＝(180°－50°)AB ︵ AC ︵ 12＝65°，∴∠AEC ＝∠ABC ＝65°.故选C .8．50　[解析]∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ABC ＝90°－∠CAB ＝90°－40°＝50°.9．140　[解析] 连接AD ，OD.∵AB 为圆的直径，∴∠ADB ＝90°.又∵AB ＝AC ，∠BAC ＝40°，根据“等腰三角形三线合一”得到AD 平分∠BAC ，∴∠OAD ＝20°.又∵OA ＝OD ，∴∠BOD ＝2∠OAD ＝40°，∴∠AOD ＝140°.即的度数是140度．AD ︵10．证明：∵AB ＝BC ，∴＝，∴∠ADB ＝∠BDC ，AB ︵ BC ︵即DB 平分∠ADC.11．120　[解析] 因为四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，所以∠A ＋∠C ＝∠B ＋∠D ＝180°.因为∠A ，∠B ，∠C 的度数之比为4∶3∶5，所以∠A ，∠B ，∠C ，∠D 的度数之比为4∶3∶5∶6，所以∠D ＝×180°＝120°.63＋612．证明：(1)∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠D ＝180°－∠B ＝130°.又∵∠ACD ＝25°，∴∠DAC ＝180°－∠D －∠ACD ＝180°－130°－25°＝25°，∴∠DAC ＝∠ACD ，∴AD ＝CD.(2)∵∠BAC ＝∠BAD －∠DAC ＝65°－25°＝40°，∠B ＝50°，∴∠ACB ＝180°－∠B －∠BAC ＝180°－50°－40°＝90°，∴AB 是⊙O 的直径．13．A [解析]∵∠BFC ＝20°，∴∠BAC ＝2∠BFC ＝40°.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝＝70°.180°－40°2又∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD ，∴∠A ＝∠ABD ＝40°，∴∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝70°－40°＝30°.故选A .14．60　[解析] ∵∠BOD ＝120°，∴∠BAD ＝60°.又∵∠BAD ＋∠BCD ＝180°，∠DCE ＋∠BCD ＝180°，∴∠DCE ＝∠BAD ＝60°.15．61　[解析] 设AB 的中点为O ，连接OD.∵三角尺ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，∴点C 在以AB 为直径的圆上．∵点D 对应的刻度是58°，∴∠DCB ＝×58°＝29°，∴∠ACD ＝90°－29°12＝61°.16．解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°.又∵∠BAC ＝45°，∴∠ABE ＝45°.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝67.5°，∴∠EBC ＝∠ABC －∠ABE ＝67.5°－45°＝22.5°.(2)证明：连接AD.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ⊥BC.又∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD.17．证明：如图，连接BC.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，即∠ACF ＋∠BCD ＝90°.∵CD ⊥AB ，∴∠B ＋∠BCD ＝90°，∴∠ACF ＝∠B.∵C 为的中点，AE ︵ ∴＝，AC ︵ CE ︵ ∴∠B ＝∠CAE ，∴∠ACF ＝∠CAE ，∴AF ＝CF.18．[解析] (1)画出点A 关于MN 的对称点A′，连接A′B ，与MN 的交点即为点P.(2)利用∠AMN ＝30°得∠AON ＝∠A′ON ＝60°，又由B 为的中点，可得AN ︵ ∠BON ＝30°，∴∠A ′OB ＝90°，再由勾股定理求得PA ＋PB 的最小值为2 .2解：(1)如图，点P 即为所求．(2)如图，连接OA ，OA ′，OB.由(1)可得，PA ＋PB 的最小值即为线段A′B 的长．∵点A′和点A 关于MN 对称且∠AMN ＝30°，∴∠AON ＝∠A′ON ＝2∠AMN ＝60°.又∵B 为的中点，AN ︵ ∴∠BON ＝∠AON ＝30°，∴∠A ′OB ＝90°.∵MN ＝4，∴OB ＝OA ′＝2.在Rt △12A ′OB 中，由勾股定理得A ′B ＝＝2 .∴PA ＋PB 的最小值是2 .22＋2222。

圆周角同步练习